BOÄ GIAÙO DUÏC ÑAØO TAÏO ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KHOA HOÏC TÖÏ NHIEÂN
TRAÀN NGOÏC DIEÃM XAÁP XÆ TUYEÁN TÍNH CHO MOÄT VAØI PHÖÔNG TRÌNH SOÙNG PHI TUYEÁN LUAÄN VAÊN THAÏC SYÕ TOAÙN HOÏC CHUYEÂN NGAØNH : TOAÙN GIAÛI TÍCH MAÕ SOÁ : 1.01.01 THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH 10-1998
LUAÄN VAÊN ÑÖÔÏC HOAØN THAØNH TAÏI TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KHOA HOÏC TÖÏ NHIEÂN THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH
PTS Nguyeãn Thaønh Long Ban Toaùn _ Tin hoïc Tröôøng Ñaïi Hoïc Ñaïi Cöông Thaønh Phoá Hoà Chí Minh
PGS-PTS Döông Minh Ñöùc Khoa Toaùn Tröôøng Ñaïi Hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Thaønh Phoá Hoà Chí Minh
PTS Nguyeãn Bích Huy Khoa Toaùn Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Thaønh Phoá Hoà Chí Minh
Traàn Ngoïc Dieãm Ban Toaùn _ Tin hoïc Tröôøng Ñaïi Hoïc Ñaïi Cöông Thaønh Phoá Hoà Chí Minh
Ngöôøi Höôùng Daãn : Ngöôøi Nhaän Xeùt 1 : Ngöôøi Nhaän Xeùt 2 : Ngöôøi Thöïc Hieän :
LUAÄN VAÊN ÑÖÔÏC BAÛO VEÄ TAÏI HOÄI ÑOÀNG CHAÁM LUAÄN VAÊN THAÏC SYÕ TOAÙN HOÏC TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KHOA HOÏC TÖÏ NHIEÂN THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH
Lôøi ñaàu tieân, toâi xin kính gôûi ñeán Thaày Nguyeãn Thaønh Long, lôøi caûm ôn saâu saéc veà söï taän tình giuùp ñôõ cuûa thaày ñoái vôùi toâi trong suoát khoùa hoïc vaø nhaát laø trong vieäc hoaøn thaønh luaän vaên naøy.
Xin chaân thaønh caûm ôn Thaày Döông Minh Ñöùc vaø Thaày Nguyeãn Bích Huy ñaõ ñoïc vaø cho nhöõng yù kieán quyù baùu cuõng nhö nhöõng lôøi pheâ bình boå ích ñoái vôùi luaän vaên.
Toâi cuõng xin caûm ôn taát caû quyù Thaày trong hoäi ñoàâng chaám luaän vaên ñaõ daønh cho toâi thôøi gian quyù baùu vaø nhöõng goùp yù saâu saéc cho buoåi baûo veä luaän vaên.
Xin caûm ôn quyù Thaày Coâ khoa Toaùn, Tröôøng Ñaïi Hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân, Tröôøng Ñaïi Hoïc Ñaïi Cöông, Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Thaønh Phoá Hoà Chí Minh ñaõ taän tình höôùng daãn vaø cung caáp cho toâi nhöõng tö lieäu caàn thieát trong suoát thôøi gian hoïc taäp.
Xin caûm ôn quyù Thaày Coâ thuoäc Phoøng quaûn lyù sau Ñaïi hoïc Tröôøng Ñaïi Hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Thaønh Phoá Hoà Chí Minh ñaõ taïo moïi ñieàu kieän thuaän lôïi cho toâi veà thuû tuïc haønh chính trong khoùa hoïc.
Caûm ôn caùc Baïn hoïc vieân lôùp Cao hoïc khoùa 6 ñaõ hoå trôï raát nhieàu cho toâi veà moïi maët trong thôøi gian qua.
Lôøi thaân thöông nhaát xin gôûi ñeán gia ñình toâi, nôi taïo cho toâi moïi ñieàu kieän thuaän tieän ñeå hoïc taäp vaø laøm toát luaän vaên naøy.
Traàn Ngoïc Dieãm
MUÏC LUÏC
trang Muïc luïc. 0
1. Phaàn môû ñaàu. 1
2. Chöông 1. Moät soá khoâng gian haøm vaø kyù hieäu. 6
1. Caùc kyù hieäu veà khoâng gian haøm. 6
2. Vaøi boå ñeà quan troïng. 6
3. Chöông 2. Khaûo saùt phöông trình soùng phi tuyeán vôùi
ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát. 8
1. Môû ñaàu. 8
2. Söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi cuûa baøi toaùn bieân
hoãn hôïp thuaàn nhaát. 9
3. Khai trieån tieäm caän cuûa lôøi giaûi. 18
4. Chuù yù veà baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp
khoâng thuaàn nhaát. 23
5. Xeùt moät tröôøng hôïp cuï theå. 25
4. Chöông 3. Phöông trình soùng phi tuyeán vôùi toaùn töû Kirchoff-Carrier. 30
1. Môû ñaàu. 30
2. Söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi. 30
5. Keát luaän. 39
6. Taøi lieäu tham khaûo. 40
PHAÀN MÔÛ ÑAÀU
1
Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi khaûo saùt moät soá phöông trình soùng phi tuyeán moät chieàu lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát hoaëc khoâng thuaàn nhaát. Chuùng toâi thu ñöôïc lôøi giaûi baèng caùch thieát laäp moät daõy qui naïp hoäi tuï maïnh trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp. Moät soá tính chaát veà lôøi giaûi thu ñöôïc cuõng ñöôïc khaûo saùt sau ñoù.
Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi taäp trung vaøo vieäc khaûo saùt hai baøi toaùn chính naèm ôû chöông 2 vaø chöông 3.
(0.1)
,
,t,u,u ,u ,
0
1 0 ,
t T
−
=
x < <
< <
)
(
u u f x xx
tt
x t
0
−
=
x
0
(0.2)
) =
+
( ( , 1
) , )
, )
lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát ( ) ( , u t huot g t 0 ( ) ( , , 1 u t hu t g t 1
x
1
vaø ñieàu kieän ñaàu
(0.3)
,
=
, ~ , ( 0 ux
, ~ ) 0 u x u x =
( )
)
(
( ) u x 1
t
0
3 R
trong ñoù h0 , h1 laø caùc haèng soá khoâng aâm cho tröôùc vôùi h0 + h1 > 0; go , g1 ∈ C3([0,∞)) ; 1 f C ∈
, 0 × ∞ ×
laø caùc haøm cho tröôùc.
)
] , 0 1
[
( [
)
Phöông trình (0.1) vôùi caùc daïng khaùc nhau cuûa f vaø caùc ñieàu kieän bieân khaùc
nhau ñaõ ñöôïc khaûo saùt bôûi nhieàu taùc giaû.Cuï theå laø moät soá tröôøng hôïp sau:
Trong [8]. Ficken vaø Fleishman ñaõ thieát laäp söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi toaøn
cuïc vaø tính oån ñònh cuûa lôøi giaûi naøy cho phöông trình
- 2
3 u u b
,
(0.4)
0 beù.
Ñoái vôùi baøi toaùn thöù nhaát chuùng toâi xeùt phöông trình soùng phi tuyeán sau ñaây
1α
2
tt
xx
u t
Rabinowitz [19]ñaõ chöùng minh söï toàn taïi cuûa lôøi giaûi tuaàn hoaøn cho phöông
trình
(0.5)
, , , , ,
− u u − α = + ε ε >
) u f uu u xt
(
+ 2 1α
tt
xx
x t
t
trong ñoù ε laø tham soá beù vaø f tuaàn hoaøn theo thôøi gian.
Trong [2] Caughey vaø Ellison ñaõ goäp laïi caùc tröôøng hôïp tröôùc ñoù ñeå baøn veà söï toàn taïi,duy nhaát vaø oån ñònh tieäm caän cuûa caùc lôøi giaûi coå ñieån cho moät lôùp caùc heä ñoäng löïc lieân tuïc phi tuyeán.
Trong [4], Alain Phaïm Ngoïc Ñònh ñaõ chöùng minh söï toàn taïi vaø duy nhaát cuûa moät lôøi giaûi yeáu cuûa baøi toaùn (0.1), (0.3) lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân Dirichlet thuaàn nhaát
0 ,
(0.6)
− u u = ε
( ) ) ( 1 u t u t , =
= , 0
2
(0.7)
vôùi soá haïng phi tuyeán trong (0.1) coù daïng ( = ε ,u . f f t
)
Baèng söï toång quaùt cuûa [4], Alain Phaïm Ngoïc Ñònh vaø Nguyeãn Thaønh Long ñaõ
xeùt baøi toaùn (0.1), (0.3), (0.6) vôùi soá haïng phi tuyeán coù daïng
, ,
=
(0.8)
.
)
( f f tuut
Trong [13], [14],Nguyeãn Thaønh Long vaø Alain Phaïm Ngoïc Ñònh ñaõ nghieân
cöùu baøi toaùn (0.1), (0.3) vôùi soá haïng phi tuyeán coù daïng
(0.9)
) , .
( f f uut
Trong [13], caùc taùc giaû ñaõ xeùt baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng
thuaàn nhaát
,
0
, (0.10)
=
( ) ) 1 0 , u t hu t gt u t ,
( )
)
(
( x 0 ,
trong ñoù h>0 laø haèng soá cho tröôùc ; trong [14] vôùi ñieàu kieän bieân ñöôïc xeùt toång quaùt hôn
t
, 0
,
0
.
(0.11)
=
+
−
−
=
) ( ) , u t gt hu t 0
(
(
)
( ) ( , kt su sds u t , 1 0
) (
)
x
∫
0
Trong [15] chuùng toâi xeùt baøi toaùn (0.1), (0.2), (0.3) vôùi tröôøng hôïp
(0.12)
= . 0
( ) g t g t =
( )
0
1
vaø
3 R
3 R
)
)
Chuùng toâi lieân keát vôiù phöông trình (0.1) moät daõy qui naïp tuyeán tính lieân heä vôùi moät baát phöông trình tích phaân Volterra phi tuyeán vaø daõy naøy bò chaän trong moät khoâng gian haøm thích hôïp.Söï toàn taïi lôøi giaûi cuûa (0.1), (0.2), (0.3), (0.12) ñöôïc chöùng minh baèng phöông phaùp Galerkin vaø compact yeáu.Chuù yù raèng phöông phaùp tuyeán tính hoùa trong caùc baøi baùo[5], [15] khoâng duøng ñöôïc trong caùc baøi baùo [13], [14]. Neáu caùc 1 haøm soá thì moät khai trieån f C ∈ 1
2 f C ∈ 0
[ , 0 × ∞ ×
[ , 0 × ∞ ×
] , 0 1
] , 0 1
( [
( [
)
)
tieäm caän ñeán caáp 2 theo ε cuûa lôøi giaûi baøi toaùn (0.1), (0.2), (0.3), (0.12) thu ñöôïc vôùi veá phaûi cuûa (0.1) coù daïng
,
(0.13)
,, , ,
,, , ,
=
+
)
(
)
(
)
( ,, , , f xtuu u f xtuu u f xtuu u x t
x t
x t
1ε
0
vôùi ε ñuû nhoû.Keát quaû naøy ñaõ toång quaùt hoùa töông ñoái cuûa[1], [5]vaø ñaõ ñöôïc coâng boá trong [15].
Baøi toaùn thöù hai trong luaän vaên naøy ñöôïc xeùt vôùi phöông trình soùng phi tuyeán
2
,
,
,
0
, t T
(0.14)
+
∇
=
+
Ω ∈ =
< <
( )
(
)
(
) , 0 1
0
sau ñaây chöùa toaùn töû Kirchoff-Carrier (
)
(
,
0
(0.15)
= , 0
) u b B u u f u F xt x Δ tt − lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân Dirichlet thuaàn nhaát ( ) ) ( = 1 u t u t ,
= + =
3
,
( )
( ) u x
vaø ñieàu kieän ñaàu , ~ ~ )ux,0 = ( ) 1= , 0 u x u x 0
t
T
,
0
0
>
>
( (0.16) laø caùc haèng soá cho tröôùc ;B , f, F, ~u0 , ~u1 laø caùc haøm cho trong ñoù b 0 tröôùc. Caùc giaû thieát veà caùc haøm naøy seõ ñöôïc chæ roõ sau ñoù. Trong phöông trình (0.14) haøm B(
)∇u2 phuï thuoäc vaøo tích phaân
2
(0.17)
2 ) . yt dy ,
= ∫u ∇
∂ u ( ∂ y
Ω
Phöông trình (0.14) lieân quan ñeán moät phöông trình dao ñoäng phi tuyeán sau
ñaây cuûa moät sôïi daây ñaøn hoài [3] :
L
(0.18)
2 , yt dyu
x L
. t T
0
,
, 0
+
< <
< <
)
tt
xx
hu P = ρ 0
Eh ∫ 2 L
u ∂ ( y ∂
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
0
ÔÛ ñaây u laø ñoä voõng, ρ laø maät ñoä khoái löôïng (khoái löôïng rieâng), h laø thieát
dieän, L laø chieàu daøi ban ñaàu, E laø suaát Young vaøP0 laø löïc caêng ban ñaàu cuûa daây.
Khi f= 0, baøi toaùn Cauchy hay hoãn hôïp cho (0.14) ñaõ ñöôïc nghieân cöùu bôûi nhieàu taùc giaû; chaúng haïn nhö Ebihara, Medeiros vaø Miranda [7], Pohozaev [18],Yamada [21] vaø caùc taùc giaû xuaát hieän trong taøi lieäu tham khaûo ôû ñoù.
Trong [17] Medeiros ñaõ nghieân cöùu baøi toaùn (0.14), (0.15), (0.16) vôùi 2 ,trong ñoù b laø haêøng soá döông cho tröôùc, Ω laø moät taäp môû bò chaän cuûa R3 .
( )f u bu=
0
laø caùc haèng soá cho tröôùc .
Trong [9] Hosoya vaø Yamada ñaõ xeùt baøi toaùn (0.14), (0.15), (0.16) vôùi αuu , trong ñoù δ
( )f u = δ
Trong [16] Nguyeãn Thaønh Long vaø caùc ñoàng taùc giaû ñaõ nghieân cöùu söï toàn taïi
2
1 −
α
,
,
,
0
∇
Δ
+
−
+
=
ε
Ω ∈ =
< <
t T ,
(0.19)
(
)
(
) , 0 1
2 u B u u u u F xt x λΔ t
u tt
t
vaø duy nhaát lôøi giaûi cho phöông trình sau (
)
1
<
<α
trong ñoù λ > 0 , ε > 0 , 0
laø caùc haèng soá cho tröôùc .
Trong [10] Ikehata vaø Okazawa ñaõ xeùt baøi toaùn (0.14), (0.15), (0.16) nhö moät phöông trình tieán hoùa caáp hai aù tuyeán tính theo thôøi gian trong moät khoâng gian Hilbert thöïc H vôiù giaû thieát sau ñaây treân haøm f, trong tröôøng hôïp cuûa chuùng toâi cuï theå ra thì ñieàu kieän ñoù laø:
,
,
,
(0.20)
≤
+
−
∀
( ) ( ) − f u f v
1 ∈ uv H 0
2 L
1 H 0
1 H 0
1 H 0
( L u
) v u v
laø moät haøm khoâng giaûm. ÔÛ tröôøng hôïp cuûa chuùng toâi thì
trong ñoù
+∞0,
′f bò
) )
(0.21)
, x R , ∀ ∈
( [ L C∈ chaän bôûi moät haøm khoâng giaûm L ) ( ) f x L x ' ≤
(
α> 0 , ≥
4
do ñoù (0.20) seõ ñöôïc thoûa maõn .
Trong baøi toaùn thöù hai naøy, chuùng toâi lieân keát baøi toaùn (0.14), (0.15), (0.16) moät thuaät giaûi qui naïp tuyeán tính maø söï toàn taïi duy nhaát lôøi giaûi ñòa phöông ñöôïc chöùng minh baèng phöông phaùp compact yeáu lieân keát vôùi baát phöông trình tích phaân Volterra. Thuaät giaûi naøy cho pheùp chuùng ta söû duïng ñöôïc moät soá thuaät giaûi tính soá hieäu quaû ñeå giaûi baøi toaùn (0.14), (0.15), (0.16). Keát quaû thu ñöôïc ñaõ toång quaùt töông ñoái caùc keát quaû [7], [9], [10], [16], [17], [18] vaø seõ ñöôïc coâng boá trong [6].
thaønh caùc chöông
luaän vaên naøy
seõ chia
Toaøn boä sau ñaây: _Chöông môû ñaàu laø phaàn giôùi thieäu toång quaùt veà caùc baøi toaùn vaø ñieåm qua caùc
keát quaû tröôùc ñoù, ñoàng thôøi giôùi thieäu toùm taét caùc chöông tieáp theo .
_Chöông 1 laø phaàn giôùi thieäu moät soá kyù hieäu vaø caùc khoâng gian haøm thoâng
duïng . Moät soá keát quaûveà pheùp nhuùng cuõng ñöôïc nhaéc ñeán ôû ñaây.
3
1
2
1 f C ∈
0
1
) )
( [
( [
0
> . Phöông phaùp söû duïng laø xaây döïng moät
+
,
) [ ) , ∞ × thoûa h h0 1
1
_Chöông 2 ñi vaøo vieäc khaûo saùt baøi toaùn thöù nhaát (0.1) -(0.3), keát quaû chính cuûa chöông naøy laø chöùng minh moät ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi yeáu trong ~ ] tröôøng hôïp ,caùc , 0 1 × 0 haèng soá khoâng aâm h h0 daõy qui naïp tuyeán tính hoäi tuï maïnh.
, , , , 0 0 , ∞ ∈ ∈ ∈ ~ 3 R u H u H g g C 1
0
=
≡ nhö laø moät tröôøng hôïp rieâng.
Keát quaû naøy ñaõ toång quaùt nheï nhaøng keát quaû [15] cuûa chuùng toâi vaø chöùa
,, , ,
,, , ,
tröôøng hôïp g g0 1
(
)
(
)
1ε
0
( ,, , , f xtuu u f xtuu u f xtuu u x t
x t
x t
, = + Vaãn trong chöông naøy, chuùng toâi cuõng thu ñöôïc caùc keát quaû veà khai trieån tieäm caän theo moät tham soá beù ε ñeán caáp i cuûa lôøi giaûi baøi toaùn (0.1), (0.2), (0.3) vôùi soá haïng phi tuyeán f coù daïng sau : )
3
, 1 2
.
, 0 × ∞ ×
=
i f C ∈ 0
3 R
, 0 × ∞ ×
) )
] . 0 1 ] . 0 1
[ [
1 f C ∈ 1
( [ ( [
) , R i )
Keát quaû naøy cuõng ñaõ toång quaùt caùc keát quaû ñaõ coù [1], [5], [15].
Moät soá khai trieån tieäm caän cuõng ñöôïc khaûo saùt trong moät soá tröôøng hôïp cuï theå
cuûa soá haïng phi tuyeán.
chính laø baèng caùch tuyeán tính hoùa caùc soá haïng phi tuyeán
_ Chöông 3 laø phaàn khaûo saùt baøi toaùn thöù hai (0.14), (0.15), (0.16). Keát quaû , chuùng toâi
( )f u vaø
( B u∇ 2
)
chöùng minh söï toàn taïi duy nhaát cuûa moät lôøi giaûi yeáu cuûa baøi toaùn (0.14), (0.15), (0.16) trong tröôøng hôïp
1
,
,
0
∈
∈
, ∞
B ≥
) f C R B C
(
) )
( [ 1 0
trong ñoù
5
vaø moät soá ñieàu kieän phuï sau ñoù.
Keát quaû ñaõ toång quaùt hoùa töông ñoái caùc keát quaû tröôùc ñoù vaø seõ ñöôïc coâng boá
trong [6].
_ Chöông cuoái cuøng laø phaàn keát luaän veà caùc keát quaû thu löôïm ñöôïc trong luaän
vaên.
Sau cuøng laø phaàn taøi lieäu tham khaûo.
6
Chöông 1
MOÄT SOÁ KHOÂNG GIAN HAØM VAØ KYÙ HIEÄU
1. Caùc kyù hieäu veà khoâng gian haøm
Chuùng ta boû qua ñònh nghóa caùc khoâng gian haøm thoâng duïng vaø söû duïng caùc
0
,
Ω
=
=
×
Ω
>
p
m
m
,
,
kyù hieäu goïn laïi nhö sau: ( p L L =
( H H =
Ω
) , 0 1 ( Ω
Q , T )
) T T , , 0 ) ( Ω
(
) .
m H H = 0
m 0
Caùc kyù hieäu .,. vaø . duøng ñeå chæ tích voâ höôùng vaø chuaån sinh bôûi tích voâ höôùng töông öùng treânL2 . Kyù hieäu .,. cuõng duøng ñeå chæ caëp tích ñoái ngaãu giöõa phieám haøm tuyeán tính lieân tuïc vaø moät phaàn töû trong khoâng gian haøm naøo ñoù naèm trong L2 . Ta kyù hieäu .X laø chuaån treân khoâng gian Banach X. Goïi ′X laø ñoái ngaãu cuûa X.
thay
cho
Ta
vieát u(t) ,
xx = Δ u
( ) &&ut , ux = ∇u, u
theo thöù töï.
) , xt
∂ u ) ( ( , , uxt ∂ t
∂ u ) ( , , xt ∂ x
( ) &ut , 2 ∂ u ) ( xt , , 2 ∂ x
2 ∂ u ) ( xt , , 2 ∂ t
p
,
≤ ≤ ∞ laø khoâng gian Banach caùc haøm ño ñöôïc
) , , , 1 L TX
( p 0 Ta kyù hieäu ) : 0, → sao cho f T X
(
1
p
f
< ∞ , 1 ≤ < ∞p
, ;
( ) p 0 L T X
⎞ p ( ) f t dt ⎟ ⎠ X
⎛ T = ∫ ⎜ ⎝ 0
vaø
∞
f
.
=
( ) f t
, ;
X
) 0 L T X
(
sup ess 0 t T < <
2. Vaøi boå ñeà quan troïng
Cho ba khoâng gian Banach B0, B, B1 vôùi
(1.2)
B0 ⊂ B vôùi pheùp nhuùng compact.
(1.1) B0 ⊂B⊂B1; B0, B1 phaûn xaï,
p 1
, ; 0
:
∈
=
∈
′ =
p ( W v L T B v 0
)
(
)
0
L T B , ; 0 1
dv dt
⎫ ⎬ ⎭
⎧ ⎨ ⎩
,1 < ∞ <
< ∞
trong ñoù T
, i = 0,1.
pi
Trang bò treân W moät chuaån nhö sau
Ta ñònh nghóa :
v
v
=
v + ′
p 0
p 1
W
, ;
, ;
(
)
(
)
0 L T B 0
0 L T B 1
7
) ( p⊂ 0 0, ; . W L T B
Ta coù keát quaû sau :
Boå ñeà 1.1 (Boå ñeà veà tính compact cuûa J.L Lions, xem [11], trang 57)
thieát (1.1), (1.2) vaø neáu 1 <
, i=0,1, pheùp nhuùng
< ∞pi
Döôùi giaû ) ( p⊂ 0 0, ; laø compact. W L T B
Boå ñeà 1.2 (xem[11] trang 12)
)Lq O , 1 < < ∞q thoûa
(
Cho O laø môû bò chaän cuûa RN, g, gm∈
(i)
g
≤
, C m ∀,
m Lq O
(
)
(ii) g
gm → haàu heát trong O.
Khi ñoù g
)Lq O yeáu.
(
gm → trong
Khi ñoù W laø khoâng gian Banach. Hieån nhieân
8
Chöông 2
KHAÛO SAÙT PHÖÔNG TRÌNH SOÙNG PHI TUYEÁN
LIEÂN KEÁT VÔÙI ÑIEÀU KIEÄN BIEÂN HOÃN HÔÏP
1. Môû ñaàu
Trong chöông 2, chuùng toâi xeùt baøi toaùn giaù trò bieân vaø giaù trò ban ñaàu sau ñaây
,
u u f xtuu u x
,, , ,
, t T
(2.1)
−
=
∈
,Ω 0
< <
)
(
tt
xx
x t
, 0
, 0
(2.2)
−
=
+
=
, 0 < ( ( (
,
1 (
,
1 ) ) ) 0 1 1 0 x x , x∈Ω , (2.3) )
, ~
)
(
=
ux
0 ( )
( )
u t hu t g t u t hu t g t
,
, ~
)
( )
=
u x u x
,
0 ( ( )
u x
1 0 t 0 1
C 3
R ,× ∞ × . vôùi h0, h1 laø caùc haèng soá khoâng aâm cho tröôùc, soá haïng phi tuyeán f cuõng laø haøm cho
tröôùc thuoäc lôùp ) ]
,
0 1 [ (
[ ) . + ε ) ) Trong chöông naøy, ta seõ thieát laäp moät ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi yeáu
cuûa baøi toaùn (2.1)-(2.3) baèng phöông phaùp xaáp xæ tuyeán tính keát hôïp vôùi phöông phaùp
Galerkin vaø phöông phaùp compact yeáu. Sau ñoù chuùng toâi khaûo saùt vaán ñeà khai trieån
tieäm caän cuûa lôøi giaûi baøi toaùn (2.1)-(2.3) theo tham soá beù ε khi soá haïng phi tuyeán f
trong (2.1) ñöôïc thay bôûi
(
,, , ,
f xtuu u
x t (
,, , ,
gxtuu u
x t Ta thaønh laäp caùc giaû thieát sau , , 0 0 > h
1 ∈ ≥
~
1 3
R , 1
f C
∈ ,
0
× ∞ × ,
) ∈
[ ) h
0
~
1
2
u H u H
,
0
(
[
∈ )
H
1
)
H
2
)
H
3
) )
)
, .
0
∞ ]
,
0 1
[
( (
(
(
(
3
,
H g g C
0 1 4 Xeùt haøm soá phuï (
h x
0 hx
1 . (2.4) )
1
−− )
(
, =
ϕ xt −
( )
g te 1 0 [
( )
g te ] 1
h h
+
1 0 Ñaët = − 0 0 x (2.5) , 0 < = 1 1 x )
(
(
)
,
,
Bv v t hv t
0
0
⎧
⎨
)
)
(
(
Bv v t hv t
,
,
+
1
1
⎩ Khi ñoù, vôùi pheùp ñoåi bieán , , ,
t T (2.6) − ϕ ∈ ,Ω 0 < < )
)
wxt uxt
,
= ( ( ( )
xt x
, thì w thoûa maõn phöông trình 9
(2.7) w w f xtww w x ,, , , , ,
t T − = ∈ , Ω 0 < < ) ~
( tt xx x t vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát 0 (2.8) , 0 < 0 Bw
=
⎧
0
⎨
Bw
=
⎩
1 vaø ñieàu kieän ñaàu ϕ (2.9) Ω
∈
x − (
ϕ , ~ ,
( )
)
=
x w x
0
0
, ~ ,
)
(
( )
=
x w x
0 ( )
−
u x
0
( )
u x
1 1 t , ~
(
)
=
wx
0
⎧
⎨
, ~
)
(
=
w x
0
⎩
t trong ñoù , , ϕ − ϕ + ϕ ( )
xt
, ( )
xt
, tt xx (2.10) t
,
x
0 ϕ = w
,
x t
ϕ
− +
( )
)
, 1 t ~
(
)
(
f xtww w f xtw w
,, , ,
,,
ϕ
ϕ
+
+
=
⎧
x t
x
⎨
~
~
~
, ~
)
( )
( )
(
( )
( )
w x u x
x w x u x
,
0
−
=
⎩
1
0
0 thoûa 3 2 . (2.11) 1
R w H w H , , ~
1
f C
∈ ,
× ∞ × ∈ ∈ ) [
0Ω ~
0 ~
1 ( ) Nhö vaäy töø baøi toaùn bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát (2.1)-(2.3) vôùi pheùp bieán
ñoåi (2.6) seõ töông ñöông vôùi baøi toaùn bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát (2.7)-(2.9). Do ñoù,
khoâng laøm maát tính toång quaùt ta coù theå giaû söû raèng 0 1 i , = , . (2.12) g i = 0 2. Söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi cuûa baøi toaùn bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát Treân H1 ta söû duïng moät chuaån töông ñöông sau : 1 1 2 . (2.13) v 2
v = + ′ ( )
0 H1 ∫ ⎞
2
( )
v x dx
⎟
⎠ ⎛
⎜
⎝ 0 Trong chöông naøy, ta ñònh nghóa daïng song tuyeán tính treânH1 nhö sau : 1 (2.14) , hu v , = + + ∀ 1
uv H
∈ ( )
(
'
auv u xv xdx hu v ( ) ( )
0
0 ( )
' ) ( ) ( )
1 1 , 0 1 ∫ 0 Khi ñoù ta coù caùc boå ñeà sau Boå ñeà 2.1 Pheùp nhuùng 0⊂
H C1 Ω laø compact vaø ( ) 2 v , 1
v H . ∀ ∈ 0
C 1
H Ω ≤ )v
( Boå ñeà 2.1 laø moät keát quaû quen thuoäc maø chöùng minh cuûa noù coù theå tìm thaáy , daïng song tuyeán tính ñoái xöùng ñònh nghóa bôûi (2.14) , nghóa laø: trong nhieàu taøi lieäu lieân quan ñeán lyù thuyeát veà khoâng gian Sobolev, chaúng haïn [20].
)H1
Boå ñeà 2.2 Vôùi giaû thieát (
1×
lieân tuïc, cöôõng böùc treân H H1 10 1 , , , , ∀ 1
uv H
∈ 1 1
H H , , 1
.
u H ≥ ∀ ∈ ( )
)
i auv C u v
≤
( )
)
ii auu C u (
( 0 2
1
H . vôùi = = } C
0 {
}
h C
min , ,
1
1 0 {
max , ,
2
h h
1
1 0 Chöùng minh : Söû duïng baát ñaúng thöùc Schwartz vaø boå ñeà 2.1 ta coù (i) ñuùng . Chöùng minh (ii) thì deã daøng neân ta boû qua . Boå ñeà 2.3 Toàn taïi moät cô sôû Hilbert tröïc chuaån { }wj cuûa L2 goàm caùc vector rieâng wj öùng vôùi trò rieâng λ j sao cho (2.15) 0 , , < λ ≤ λ ≤ ≤ λ = ∞ L 1 2 ≤
Lj j λ
lim
j
→∞ 1 , , vôùi moïi v H j (2.16) ∈ = = λ ,
w v
j j , ,L .
1 2 cuõng laø cô sôû tröïc chuaån Hilbert cuûa H1 töông öùng jλ } vôùi tích voâ höôùng )
(
,
aw v
j
Hôn nöõa daõy {
wj
)a.,. .
( Maët khaùc, chuùng ta cuõng coù haøm wj thoûa maõn baøi toaùn giaù trò bieân sau: (2.17) trong Ω , , − Δw = wj
λ
j j (2.18) 0 , − = ∈ ∞
w C ( )
0 ( )
0 ( )
1 ( )
1 ( )
Ω . 1 w
′
j hw
j
0 = ′
j w hw
+
j j Chöùng minh boå ñeà 2.3 coù theå tìm trong [20] (ñònh lyù 6.2.1, p.137, vôùi
2
1
,
V H H L vaø = = )a.,. ñònh nghóa nhö (2.14)).
( ,
0 0 ta ñaët Vôùi M T> > ,
fTMK , sup ,, , K , (2.19) = = )wvutxf
(
, ( ) 0 0 K fTMK
, , sup f f f f wvutx
,,
, , (2.20) = = ( ) ). ( )( 1 1 ′+′+′+′+′
f
x
u
w v t ,
1 0 t T , sup trong (2.19), (2.20) ñöôïc laáy treân mieàn 0 , .
,u v w M≤ 2 ≤ ≤
x ≤ ≤ 2 1 ∞ ∞ ∞ , 0
, ; 0
, ; 0
, ; , = ∈ ∈ ∈ ( ( ( ( { ∞ ∞ ∞ )
v )
M ≤ ≤ ≤ ;
(2.21)
}
. 2
0
L T H 1
0
L T H 2
0
L T L , ; , ; , ; )
2
:
WMT v L T H v L T H v L T L
&
, v
M
& )
&&
, v
M
&& ( ) ( ) ( ) ( Tieáp theo, ta xaây döïng daõy { )WMT, baèng qui naïp. Daõy { }um trong ñöôïc chöùng minh hoäi tuï veà lôøi giaûi cuûa baøi toaùn (2.1)-(2.3) trong }um seõ
)WMT, (vôùi söï ( choïn löïa M vaø T thích hôïp). Choïn soá haïng ban ñaàu u0 ∈ ( )WMT, . Giaû söû raèng (2.22) um-1 ∈ )WMT, . ( 11 Ta lieân keát baøi toaùn (2.1)-(2.3) vôùi baøi toaùn bieán phaân tuyeán tính sau: Tìm um ∈ )WMT, thoûa ( (2.23) , vôùi moïi v ∈ H1, , , < > + =< ) m m (2.24) = = >
u v au v F v
&& ,
m
( )
0 ( )
0 ~,
u
1 u
m (
~ ,&
u u
0
m trong ñoù . (2.25) ,, , = )
,
F xt f xtu xt u xt u xt )
, ,
∇ ) ( ( ( ( ( ) m m
1
− m
1
− m
1
− )
, ,& Söï toàn taïi cuûa um cho bôûi ñònh lyù döôùi ñaây. Ñònh lyù 2.1([15]) Giaû söû ( ( ) )WMT, cho tröôùc, toàn taïi moät daõy qui naïp tuyeán tính {um}⊂ ( ñuùng. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá M > 0 vaø T > 0 sao cho:
)WMT, )
H H1
−
3
( vôùi moïi u0 ∈
xaùc ñònh bôûi (2.23)-(2.25). Chöùng minh :Chöùng minh bao goàm ba böôùc. k Böôùc 1 : Duøng phöông phaùp xaáp xæ Galerkin ñeå xaây döïng lôøi giaûi xaáp xæ ) ( )u tm
( . λ w wj
=
j j cuûa(2.23)-(2.25).
Goïi { }wj laø cô sôû tröïc chuaån cuûa H1 nhö trong boå ñeà 2.3 ( ) Ñaët k , (2.26) = (
) ( )
k
u t
m ) ( )
c tw
j (
k
mj ∑ j
=
1 k thoûa heä phöông trình vi phaân tuyeán tính sau: trong ñoù ) ( )c tmj
( , 1 ,
j k (2.27) + = ≤ ≤ ) ( )
, ( )
, m j j ( (
(
) ( )
k
k
u t w au t w F t w
,
&&
j
m
m (2.28) , = = ) ( )
0 ) ( )
0 (
k
u
m )
~
u
k
1 ~
(
k
,
u u
&
m
k
0 vôùi k 2
H trong = → , (2.29) ~
u
0 ~
u
0 k )
(
k
j w
j ∑ α j
=
1 k 1
H )
(
k
j ∑ β 1 j
= k > 0 sao cho baøi toaùn (2.27), (2.28) coù duy nhaát )Tm
( k trong . (2.30) = → ~
u
1
k w
j ~
u
1 (
0,Tm ]
)
k . ( treân lôøi giaûi Töø giaû thieát (2.22), toàn taïi
) ( )u tm
(
[ k = , vôùi moïi k vaø vôùi )T Tm Caùc ñaùnh giaù sau ñaây trong böôùc 2 cho pheùp ta laáy moïi m. k 12 Böôùc 2 : Ñaùnh giaù tieân nghieäm. (
)( )
&u tm 2 ta coù * Trong (2.27) thay wj bôûi ) ( )
, ) ( ) ( ) (
k
m (
k
m (
k
m m )
(
) ( )
au t u t F t u t (
) ( )
k
u t
&
m , + = ,& d
dt d
dt 1
2 1
2 t sau ñoù tích phaân theo t ta ñöôïc ) ( )
0 ) ( )
τ (
) ( )
k
p t p
m (
k
m m (
k
( )
,&
F u
τ
m 0 , (2.31) = d
τ 2
+ ∫ 2 trong ñoù ) ( )
=
p t u t ) ( ) (
k
m (
k
m (
k
m (
k
m (
) ( )
) ( )
,
au t u t ) . + jwΔ , khi ñoù 1
λ j , + = ) ( )
,
Δ ( )
,
Δ (
k
m m j j ( ) (
) ( )
k
,
u t w au t w F t w
Δ
&&
j
m hay . + Δ ) ( )
,
Δ ( )
, u t w aF t w
=
j (
k
m m j ( ) ) (
(
) ( )
k
,
au t w
&&
m
j k trong ñaúng thöùc treân,keát hôïp vôùi (2.18) sau ñoù laáy tích (
)( )
&u tm Thay wj bôûi
phaân theo t, ta ñöôïc t 2 = + Δ = τ . (2.32) ) ( ) ) ( ) ) ( )
0 ) ( )
τ (
k
m (
k
m (
) ( )
k
u t
m (
k
q
m ) )
d (
(
) ( )
k
q t au t u t
&
m ,& (
(
k
( )
,&
aF u
τ
m
m + ∫ 0 k ta coù * Ñaïo haøm (2.27) theo t, sau ñoù thay wj bôûi (
) ( )
&&u tm 2 . + = ) ( ) ) ( ) ( ) (
k
m (
k
m (
k
m ′
m )
(
) ( )
au t u t F t u t (
) ( )
k
u t
&&
m ,&& ,& * Trong (2.27) thay wj bôûi − d
dt d
dt 1
2 1
2 Tích phaân hai veá theo t t 2 2 d + = + τ . (2.33) ) ( ) ) ( )
0 ) ( )
τ (
) ( )
k
r t u t
=
m (
k
m (
k
m (
k
r
m ′
m (
) ( )
) ( )
au t u t ) (
k
&&
m ,& & (
k
( )
,&&
F u
τ
m ∫ 0 Töø (2.31)-(2.33) daãn ñeán = = + + ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( )
0 (
(
(
k
k
k
s t p t q t r t s
m
m
m (
k
m (
k
m t t t (2.34) 2 2 2
+ + + d
τ d
τ ) ( )
τ ) ( )
τ ) ( )
τ m ′
m )
d
τ (
k
( )
F u
,&
τ
m (
(
k
( )
aF u
,&
τ
m
m (
k
( )
F u
,&&
τ
m ∫ ∫ ∫ 0 0 0 Caùc tích phaân ôû veá phaûi (2.34) laàn löôït ñöôïc ñaùnh giaù döôùi ñaây. + Tích phaân thöù nhaát Töø (2.19) vaø (2.22) ta coù & 13 t t t . (2.35) 2 2 2 d
τ ≤ d
τ ) ( )
τ ) ( )
τ (
k
F u d K p
≤
τ
m )
(
k
m m m 0 (
k
( )
,&
F u
τ
m & ∫ ∫ ∫ 0 0 0 + Tích phaân thöù hai Do boà ñeà 2.2 ta coù t . (2.36) 2 2 ≤ τ d
τ ) ( )
τ (
(
k
( )
,&
aF u
τ
m
m ∫ 1
H 0 t
)
)
(
k
d C F u
∫
&
1
1
m H m
0 Töø (2.19), (2.20) vaø (2.22) ta tìm ñöôïc 2 (
)
,
F t
0
, 2
m F + F
m 2
= ∇
1
m H
(
)
2
,
F t K
0
0 2
m 1 2 2 , ≤ ) ( 1 1 ∫ 0 1 2 2 2 2 2 dx ∇ = F
m f f u
′ + ′∇
1
u m
x
− f u
+ ′
Δ
u m
−
∇ f u
+ ′∇
&
u m
−
& 1 1 2
2
f
f
f
′ + ′ + ′
u
x
u
∇ ( ∫ 0 ≤ + ∇ + + ∇ Δ u
1
m
− u
m
− u
&
m
− )
dx f
+ ′
u
& 2
1 2
2
1
m H
− 2
1
1
m H
− )(
1
) ≤ + u
& 2
1 (
1
4
K u
+
(
2
1 2
4
K M
+ )
. ≤ 2 Vaäy F
m 2
1 (
2
+
1 2
4
K M ) . ∇ ≤ 2 F Vaø do ñoù 2
4
K M K
0 2
1 (
+
1 2 ) 2
m H1 . (2.37) ≤ + t t 2 ( Töø (2.32), (2.36), (2.37) ta coù ) ( )
τ ) (
)
k
aF u d
,&
τ
m m ∫ ∫ ( )
(
k
M K q
0
m 0 0 2 . (2.38) ≤ 1 2
+ + d
τ K
2
1 C
2
1
C
0 + Tích phaân thöù ba t t 2 2 Ta coù )
(
k
F u d
,&&
τ
′
m m )
(
k
F u d
τ
&&
m ∫ ∫ 0 0 . (2.39) ≤ ′
m 2 2 ( 1 )
fu dx
+ ′
&&
u m
1
−
& ∫ 0 2 2 2 Töø (2.20) vaø (2.22) ta thu ñöôïc
1 = F
′
m f fu
′ + ′
&
u m
t
1
− f u
+ ′ ∇
&
u m
−
∇ 1 2
1 ) + ∇ + ≤ u
&
m
1
− u
&&
m
− 2
1 (
1
4
K u
+
&
m
1
−
(
2
1 3
4
K M
+ ) . ≤ Do ñoù töø (2.39) ta suy ra t t 2 14 ) ( )
τ (
k
F u d K M r
1
m )
k
′
m m (
,&& ∫ ∫ 0 0 (2.40) 4 d 2 1 3
+ ≤ τ τ . d Töø (2.34), (2.35), (2.38), (2.40) ta thu ñöôïc ≤ τ , ) ( )
0 ) ( )
τ ) ( )
(
(
k
k
s t s
m
m + ∫ t
(
k
K s
m
0 (2.41) 2 2 4 , , . (2.42) + 1 2
+ + + 1 4
+ = )
(
M KMT f 2
K K
=
0 2
K
1 )
M K K
1
0 ( C
2
1
C
0 trong ñoù ) ( )
k 0 . Ta coù (
sm 2 2 2 Tieáp theo ta ñaùnh giaù soá haïng ) ( )
0 ) ( )
0 ) ) (
k
s
m k k ~ ,~
(
2
au u
k
k
1
1 ~
u
k
1 ~
u
0 ~ ,~
(
au u
k
0
0 (
k
u
&&
m k . (2.43) = + + + Δ + ) ( )
(
&&u tm 2 , sau ñoù laáy t = 0 ta ñöôïc Trong (2.27), thay wj bôûi ) ( )
0 ) ( )
0 ) ) ( )
0 0 0 1 (
k
u
&&
m . − = ~ ,&&
(
k
u u
Δ
0
k m , ,~ , ~ ,~ ,&&
(
k
(
f x u u u u
0
∇
m Töø ñaây suy ra ) ( )
0 ) 0 k (
k
u
&&
m . (2.44) ≤ Δ + ~
u
0 , ,~ , ~ ,~
(
0
f x u u u
∇
1
0 M 42 Ta suy töø (2.29), (2.30), (2.43), (2.44) raèng toàn taïi moät soá M > 0 ñoäc laäp vôùi k vaø m sao cho ≤ ) ( )
(
k 0
s
m , vôùi moïi k vaø m . (2.45) )H3 ,
0 i 0 1
, , suy ra töø (2.19), (2.20) raèng Ta löu yù, vôùi giaû thieát ( = = ( )
iTK MT f
, , lim
0
T
→ + . (2.46) Keát hôïp (2.42) vaø (2.46),tìm ñöôïc T> 0 sao cho )
, , ≤ ( .
TKMT f M (2.47) vaø , , 1 + + < )
TK MT f ( 1 k
T = (
2 1 ⎛
)
2 1
⎜
⎝ ⎞
⎟
⎠ 1
C
0 . (2.48) 0 d Cuoái cuøng ta suy ra töø (2.41), (2.45) raèng τ, ≤ + ≤ ≤ ) ( )
τ )
(
k
t T
m (
) ( )
k
s t
m 2
M
4 t
(
k
K s
∫
m
0 . (2.49) Maët khaùc, haøm ( )
st M Kt ( (2.50) +2 = 2 2
) 15 t laø lôøi giaûi cöïc ñaïi cuûa phöông trình tích phaân Volterra phi tuyeán sau ñaây treân [0,T]
vôùi nhaân khoâng giaûm s (xem [12]). K s d ( )
st ( )
τ ∫ 2
M
4 0 (2.51) 0 τ, = + ≤ ≤ ,
t T 2 vaø do ñoù töø (2.49)-(2.51) ta nhaän ñöôïc , ,
0 ( ) ) ( ) (
(
)
k
k
s t st M t T
m
m [ ( . (2.52) ≤ ≤ ∀ ∈ ]
k = , vôùi moïi m vaø k vaø ta suy ra töø ñaây raèng )T Tm Töø ñaây ta coù )
, .
u WMT ( )
(
k ∈
m (2.53) kj ( ) ( Böôùc 3 : Qua giôùi haïn )
k vaø toàn taïi um sao cho }um
{ ∞ cuûa Töø (2.53), toàn taïi moät daõy con 2
, ;
L T H
0 )
(
k
u
j →
m u
m }um
{
) ( ∞ trong yeáu *, 1
, ;
L T H
0 ) ( )
(
k
u
j →
&
m u
&
m ∞ (2.54) trong yeáu *, 2
, ;
L T L
0 ) ( )
(
k
u
j →
&&
m u
&&
m trong yeáu *, thoûa )
(
, .
u WMT
m ∈ (2.55) )
L T∞ 0, yeáu *. ( Töø (2.55) qua giôùi haïn trong (2.27), (2.28) ta coù theå kieåm tra deã daøng raèng um thoûa maõn (2.23), (2.24) trong Ñònh lyù 2.2 ([15]) Ñònh lyù 2.1 chöùng minh hoaøn taát. )WMT, . Giaû söû (H1)-(H3) ñuùng. Khi ñoù toàn taïi M > 0, T > 0 sao cho baøi toaùn (2.1)-(2.3) coù duy nhaát moät lôøi giaûi yeáu u ∈ ( 1 ∞ ∞ Maët khaùc, daõy qui naïp tuyeán tính {um} xaùc ñònh bôûi (2.2ø2)-(2.24) hoäi tuï maïnh veà lôøi giaûi yeáu u trong khoâng gian 2
, ;
W T u L T H u L T L
0 , ;
0 ( ) 1 ( ) ( {
= ∈ }
) & : . (2.56) ∈ ∞ ∞ Hôn nöõa ta cuõng coù ñaùnh giaù sai soá u u
− + ≤ m m m
Ck
T , ; , ; u u
−
&
& (
1
0
L T H ) (
2
0
L T L ) 1 < (2.57) , vôùi moïi m , trong ñoù 0 xaùc ñònh bôûi(2.48) vaø C laø haèng soá chæ phuï thuoäc T, u0, uù1, vaø kT. Chöùng minh : a/ Söï toàn taïi lôøi giaûi u : 16 ∞ ∞ Tröôùc heát ta löu yù raèng W1(T) laø khoâng gian Banach ñoái vôùi chuaån (xem [11]) u u , ; , ; u
& (
)
W T
1 (
1
0
L T H ) (
2
0
L T L ) . = + }um laø daõy Cauchy trong )W T1
( = . Ta seõ chöùng minh raèng { u
m , 1
v H , , < = < − > ∀ ∈ F v
,
m F
1
m
+ . Khi ñoù vm thoûa maõn baøi toaùn bieán phaân sau : Ñaët v u
−+1
m
m . m
= = (
( )
0 )
v v av v
&& ,
> +
m
( )
v
0
0
m ⎧
⎨
⎩ v
&
m (2.58) t 2 trong (2.58) vaø söû duïng giaû thieát (H3), ta suy töø ñònh lyù 2.1, sau khi Laáy v um= & tích phaân theo t ta coù F F v d
τ ) (
av v
,
m m m m 1
m
+ v
&
m ,& ∫ 0 2 + = − (2.59) v ) 1 1
1
m H
− v d
τ
&
m (
2 1 t
)
(
K v
∫
&
1
m
−
0 2 ≤ + + 2 Söû duïng boå ñeà 2.2 (ii) vaø (2.59) ta thu ñöôïc v [
]
,
t T
0 m 0 1
− 2
1
m H )
)
m W T m W T ( ( v C v
+
& (
2 1 )
KTv
1 1 1 2 , . (2.60) ≤ + ∀ ∈ Töø (2.60) daãn ñeán ≤ ( k v
)
T m W T
1
− ( v
)
m W T
1 1 (2.61) , vôùi moïi m . u u ≤ Vì vaäy u u
−
0 1 + −
m p (
)
W T
1 ( m W T
)
1 1 m
k
T
k
−
T }um laø daõy Cauchy trong W1(T), do ñoù toàn taïi (2.62) , vôùi moïi m, p . sao cho Keát hôïp (2.48) vaø (2.62) ta coù{
( )
u W T∈ 1 )
u W T ( m → trong
u 1 maïnh . (2.63) Baèng caùch aùp duïngmoät lyù luaän töông töï maø chuùng ta ñaõ söû duïng trong ñònh lyù }um sao cho ∞ cuûa { (2.1), ta coù theå laáy ra moät daõy con { u 2
, ;
L T H
0 u
mj ∞ trong 0
, ;
L T H trong → (2.64) yeáu * , }umj
(
( )
)
1 yeáu * , u
& u
&
mj ∞ (2.65) → , ;
L T L
0 )
2 yeáu * , ( u
trong
&& u
&&
mj (2.66) → )
(
, .
u WMT (2.67) ∈ vaãn kyù }umj−1 Aùp duïng ñònh lyù Riesz-Fischer, töø (2.63), toàn taïi daõy con cuûa {
}umj−1 sao cho: hieäu laø { u h.h , 17 u
m 1 , (2.68) u m )
(
xt Q
∈
T
)
(
h.h ,
xt Q
∈
T j− →
−u
j 1 h.h , (2.69) , ∇ → ∇ ( 1 )
xt Q
∈
T j− → u
&
m u
& (2.70) . Do f lieân tuïc, aùp duïng ñònh lyù hoäi tuï bò chaän Lebesgue, töø (2.68)-(2.70) ta coù ) ) (
→ ,, , , trong 2
f xtuu u
x t (
L Q
T F
m
j (2.71) maïnh . Maët khaùc vì F 2 ∞ K
0 j m L T L
(
, ;
0 (2.72) , vôùi moïi j , ≤ )
neân ta coù theå trích ñöôïc töø { }Fmj }Fmj ∞ F trong 2
, ;
0
L T L sao cho moät daõy con vaãn goïi laø { ( ) F
mj (2.73) → yeáu * . So saùnh (2.71) vaø (2.73) suy ra ,, , , , , ( ) )
, h.h ( (
F xt f xtuu u
x t )
xt Q
∈
T (2.74) . = ∞ trong 2
0
L T L
, ; Vaäy ) (
,, , ,
f xtuu u
x t ) ( F
m
j (2.75) → yeáu * . Qua giôùi haïn (2.23), (2.24), baèng söï keát hôïp vôùi (2.64), (2.66), (2.75), ta thu ñöôïc u thoûa baøi toaùn bieán phaân sau : , ) ( )
,, , , , x t + = , vôùi moïi v H∈ 1 , = = (
uv auv f xtuu u v
&&,
( )
0
u ( )
0 ~
u
1 ~
,
u u
&
0 , )
L T∞ 0, yeáu * . ( trong b/ Söï duy nhaát lôøi giaûi ∈WMT, , ( ) i=1,2. Giaû söû uù1vaø uø2 laø hai lôøi giaûi yeáu cuûa baøi toaùn (2.1)-(2.3),thoûa ui , , , + ∀ ∈ = − 2 , khi ñoù u laø lôøi giaûi cuûa baøi toaùn bieán phaân sau : Ñaët u = u u1
2− 0
, )
= = 1
&&,
uv auv F F v v H
⎧
1
⎨
( )
0
u
⎩ (
,
( )
0
u
& (2.76) F xt f xtu u u i , ,
1 2 . = = )
, ( ) ( ,, ,
∇
i i i i ,& trong ñoù Laáy v u= & trong (2.76), sau khi tích phaân theo t ta coù t 2 18 + = − ( )
(
( )
aut ut
, ) F F ud
τ
2 1 ( )
u t
&
m ,& ∫ 0 2 ≤ + ∇ + ( )
τ ( )
u
τ ( )
τ 1 (2.77) t
(
K u
2
∫
0 ( )
)
.
u u d
τ
τ
&
& 2 Ñaët + ( )
( )
zt ut
= ( )
(
( )
,
aut ut ) & (2.78) . t 2 2 Khi ñoù, ta suy töø (2.77) raèng + ( )
τ τ .
z d ( )
≤
zt K
1 ⎛
⎜
⎝ ⎞
⎟ ∫
⎠ 2
C
0 0 (2.79) , hay
0 Söû duïng boå ñeà Gronwall ta suy ra = ( )zt =
u u
2 1 . Ñaùnh giaù sai soá (2.57) ñöôïc suy töø (2.62), (2.63) baèng caùch cho p→ ∞ . 3. Khai trieån tieäm caän cuûa lôøi giaûi Vaäy ta ñaõ chöùng minh xong ñònh lyù 2.2. )h h0
, 1 )~ ~u u0
, 1 laàn löôït thoûa maõn caùc giaû vaø ( )H2 . Ta ñöa vaøo giaû thieát sau : thieát ( , ( Trong phaàn naøy, ta giaû söû raèng (
)H1 1
,
H f g C 3
R ∈ Ω ,
× ∞ ×
0 ) ) [ 5 ( ) . ( ,, , , ,
t T = − ∈ Ω 0
, < < 0 1
(,) ,
= 0 1 Chuùng ta xeùt baøi toaùn nhieãu sau ñaây, trong ñoù ε laø tham soá beù: = 0 . + ) x t (
,, , ,
gxtuu u
ε
x t ε )
(
,
u u F xtuu u x
⎧
xx
tt
x t
ε
⎪
1
(,)
0
0
( ,)
( ,)
u t hu t u t hu t
+
=
−
⎪
x
x
⎨
, ~ ,
, ~
( )
)
)
(
( )
(
0
0
,
u x u x
ux
u x
=
⎪
t
1
⎪
)
(
)
(
,, , ,
,, , ,
F xtuu u f xtuu u
=
⎩
x t )H5 (Pε) ε < 1 , thoûa maõn cuûa daõy xaáp xæ Galerkin , khi ñoù caùc ñaùnh giaù tieân nghieäm
)
k trong chöùng minh ñònh lyù 2.1 töông öùng vôùi f = Fε , vôùi Tröôùc heát ta chuù yù raèng neáu f, g thoûa (
}um
{
( )
(
, ,
u WMT (
)
k ∈
m , ,
K MT f i , (2.80) )
, = 0 1 seõ ñöôïc thay bôûi , ,~ , ~ ,~
(
∇
0 0
f x u u u
1 0 i vaø trong ñoù caùc haèng soá M, T ñoäc laäp vôùi ε . Thaät vaäy, trong quaù trình chöùng minh,
chuùng ta choïn caùc haèng soá döông M vaø T trong (2.43)-(2.45), (2.47), (2.48) maø trong
(
ñoù caùc ñaïi löôïng , , , , ) ) )
)
K MT f K MTg
+ ( ( , ,~ , ~ ,~
(
f x u u u
∇
0 0
1 0 )
, ,~ , ~ ,~
(
gx u u u
∇
0 0
1 0 i i + vaø theo thöù töï. ( )
k khi 19 }um
{ Vì vaäy, giôùi haïn uε trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp cuûa daõy )Pε thoûa maõn k→ +∞, sau ñoù m→ +∞ , laø lôøi giaûi yeáu cuûa baøi toaùn ( )
(
, .
u WMT ε ∈ (2.81) Khi ñoù, theo caùch töông töï vôùi chöùng minh ñònh lyù 2.2, ta coù theå chöùng minh
trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp khi ε → 0 laø lôøi ñöôïc raèng giôùi haïn cuûa hoï { }uε
giaûi yeáu duy nhaát u0 cuûa baøi toaùn (P0)(öùng vôùi ε = 0 ) thoûa maõn )
(
, .
u WMT 0 ∈ (2.82) Ñònh lyù 2.3 [15] Hôn nöõa ta coù ñònh lyù sau : ) ) (
,
H H1
2 )H5 ñuùng. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá M > 0 vaø T > 0
sao cho, vôùi moïiε, ε < 1 , baøi toaùn (Pε) coù duy nhaát moät lôøi giaûi yeáu uε∈W(M,T) thoûa
maõn moät öôùc löôïng tieäm caän , Giaû söû ( vaø ( u u
−
0 ε CW T
≤
ε
) ( 1 , (2.83) ( )
, , , vaø
K MT f ( 1 0 0 1 ,
, laø lôøi giaûi yeáu duy nhaát cuûa baøi toaùn ( )
, , ,
K MTg
)P0 öùng vôùi ε = 0. )
(
u WMT 0 ∈ trong ñoù C laø moät haèng soá chæ phuï thuoäc vaøo h h T
, =
Ñaët u u u 0 . Khi ñoù u thoûa maõn baøi toaùn bieán phaân sau : −ε Chöùng minh : ~
, , + = ε
+ g 1
v v H
,
∀ ∈ ,
0 )
= , − ) ( ,, ,
∇
0 0 ε =
)
( ε (
uv auv f v
&&,
,
⎧
⎪
( )
( )
u
u
0
0
⎪
&
⎨
~
(
(
,&
,
f xt f xtu u u f xtu u u
=
⎪
0
ε
⎪
,, ,
g gxtu u u
∇
=
⎩
ε
ε ,, ,
∇
ε
)
,& . (2.84) )
,& , t 2 2 Trong (2.84), laáy v u= & , sau khi tích phaân theo t ta ñöôïc , , , + + + + ( )
, ( ) ( ) ) 1 ( )
ut
& ( )
(
u auu d
τ
& ∫ ⎛
)
(
aut ut K MT f
≤
⎜
⎝ ⎞
⎟
⎠ 0 t 2 2 , , + + ε τ ) ( 2
u d K MTgT
.
&
0 ∫ 0 2 2 2
C
0 (2.85) t 2 2 Do ñoù (
( )
( )
aut ut
, ) ( ) 1 ( )
ut
& ( )
(
u auu d
τ
& ∫ 0 2 , , 2 , + ≤ + + + ⎛
)
2
K MT f
⎜
⎝ ⎛
⎜
⎝ ⎞
⎟ +
⎠ ⎞
1
⎟
⎠ (2.86) 2
C
0 ( ) 2
0 K MTgT
. , , ε + Baèng caùch aùp duïng boå ñeà Gronwall, töø (2.86) ta thu ñöôïc 2 + (
( )
( )
aut ut
, ) ( )
ut
& (2.87) 2 2 K MTgT , , ≤ ε + ( ( ]
[
.
0
,
t T 2
0 1 ⎛
)
, , exp
⎜
⎝ ⎛
⎜
⎝ ⎛
)
2
K MT f
⎜
⎝ ⎞
⎟ +
⎠ ⎞
1
⎟
⎠ ⎞
,
t
⎟ ∀ ∈
⎠ 2
C
0 Keát hôïp vôùi boå ñeà 2.2 ta coù u , ..
1 (2.88) = ≤ C
ε ε < u u
−
0 ε (
)
W T
1 (
)
W T
1 Vaäy ñònh lyù 2.3 ñöôïc chöùng minh .¦ Moät keát quaû maø chuùng toâi tìm ñöôïc tieáp theo sau laø veà khai trieån tieäm caän cuûa lôøi giaûi yeáu uε ñeán caáp 2 theo ε , vôùi ε ñuû nhoû. Chuùng toâi ñöa theâm giaû thieát sau . 3
R , g 1
C 3
R ,
0
× ∞ × ∈ Ω ,
0
× ∞ × ∈ Ω ) ) (
2
H f C ) [ 6 ) ( ) , laø lôøi giaûi yeáu cuûa baøi toaùn ( )P0 nhö trong ñònh lyù 2.3. Goïi (
[
)
(
u WMT , (vôùi M, T thích hôïp) laø lôøi giaûi yeáu duy nhaát cuûa baøi toaùn 0 ∈
Goïi
)
(
1 ∈
u WMT , 0 ,
t T = ∈ Ω < < )
, 1 1 ,& ~
(
1
,
0 i ) (
P
1 0 , = = =
) =
(
0
,
u x
&
1 ,, ,
Lu F xtu u u x
∇
⎧
1
1
⎪
,
0 1
,
Bu
⎨
1
i
⎪
)
(
0
,
u x
⎩
1 trong ñoù 2 2 20 L = − ) u 1 1 1 0 1 0 u
x ) + (2.89) ∂
∂
2
2
x
t
∂
∂
,, ,
∇
1 ,, ,
∇
0 ,& (
( (
,, ,
∇
0 1 0 0 )
)
u f xtu u u gxtu u u
,&
&
0
0 u
& , + + u f xtu u u
,&
,, ,
∇
+ ∇
0
0
)
( ,, ,
∇
0 ~
(
F xtu u u u f xtu u u
,&
=
0
1
,& vaø Bi ñònh nghóa nhö (2.5). )
(
u WMT , laø lôøi giaûi yeáu duy nhaát cuûa baøi toaùn ( ε ∈ )Pε . Ñaët Giaû söû 0 1 ε ε ,
v u u u u h
ε
− − = = − khi ñoù v thoûa maõn baøi toaùn sau )
,
xt x ( [ ]
Lv f v h f h
+ ]
[ ]
[
)
(
gv h gh ,
t T = − + ε + − + α ε, , ∈ Ω 0
, < < (2.90) ]
0 1
,,
) [
i
0
,
=
(
vx
0
& , 0
. = = Bv
=
i
)
(
vx
0
, trong ñoù (
α ε ) [ ] ] [ [ 0 1 1 ]
u f u u f u
+
0 1 0 1 )
] u
x u
& (
[
]
[
xt f u u fu
u f u
, ,
+
0
0
u
[
]
[
(
gu u gu
−
ε
0
1 0 = − − ε ε + & (2.91) + + ε + ∇
]
) 21 ôû ñaây, ñeå laøm goïn caùch vieát, ta söû duïng kyù hieäu )
,, , , [ ]
(
fu f xtuu ux t (2.92) = ] vaø ñeán caáp 1 + ε [
fu u0
1
. Sau ñoù do tính bò chaän cuûa caùc haøm ) 0 1
L T H , ; cho + ε ,
∇
i (
∞ 0 ) , ta thu ñöôïc Chuùng ta söû duïng khai trieån Taylor ñeáùn caáp 2 cho
]
[
taïi (
∇
gu u0
xtu u u
,&
,, ,
1
0
0
0 1, trong khoâng gian haøm
=,
,
,&
u u u i
i
i 2 , h.h (
α ε ~
)
xt K
, ,
≤
ε ( )
xt QT
,
∈ , (2.93) 2 vôùi ( )
(
MK MTg 2 1 , , , (2.94) , , 9 3 2 , , = + ~
)
K M K MT f )
K MT f ( [ ] [ ] 2 [ ]
f u f u f u f u
′′
uu (
sup + [ ] [ ]
+ ′′
uu
& &
[ ] )
, uxux
+ ′′
uxu
& f u f u
′′
uu
& = + ′′ + ′′
uux (2.95) . trong ñoù sup laáy treân 0 ,
1 0 , , 2 x
≤ ≤ ≤ ≤ t T u u u M
∇ ≤ , & }vm nhö sau Baây giôø ta ñònh nghóa daõy haøm{ , 0 = )
α ε, ,
xt
, ( [ [ ]
]
h f h
− m ε + + + + [ ]
]
)
h gh
−
t T
,
< < (2.96) 0 i ,
0 ,
0 .
1 m
≥ = = =
) v
⎧
0
⎪
[
(
gv
Lv f v
=
⎪⎪
1
1
m
m
−
−
x
,
Ω
∈
⎨
⎪
,
Bv
0 1
,
i m
⎪
)
(
⎪
,
v x
0
⎩
m =
(
,
v x
0
&
m Vôùi m = 1, ta coù baøi toaùn (
,
0 0 ,
t T ∈ ,
Ω < < = α ε, , i (2.97) )
,
xt x
,
,
0 1
) 0 , = = =
) Lv
⎧
1
⎪
Bv
⎨
1
i
⎪
(
,
0
v x
⎩
1 =
(
,
0
v x
&
1 2 2 2 ∞ Tích voâ höôùng hai veá (2.97) vôùi &v1 , sau ñoù laáy tích phaân theo t, keát hôïp (2.93) ta coù ) 1 1 1 , , 0 & ( ) , 2 + ≤ ~
(
av v K Tv L TL
ε v
&
1 Vì vaäy ~
KT ≤ + 2
ε . v
1 (
)
W T
1 ⎛
2 1
⎜
⎝ ⎞
⎟
⎠ 1
C
0 (2.98) 2 Ta seõ chöùng minh toàn taïi moät haèng soá CT ñoäc laäp m vaø ε sao cho v m 1 ≤ + ε, ,
1
< ∀ C
ε
T ( )
m W T
1 ⎛
⎜
⎝ ⎞
⎟
⎠ 1
C
0 . (2.99) 22 2 Tích voâ höôùng hai veá (2.96) vôùi &vm , sau khi laáy tích phaân theo t ta coù: ) (
av v
,
m m t 2 ∞ ∞ + v
&
m ( ) [ [
f v
1
−
m [ ]
]
h f h gv
1
−
m 2
m L T L 2
m L T L , ; , ; 0 0 [ ]
]
h gh v
& ∫ ) ( ) ( 0 2 2 . ≤ + + − + − + ε τ ~
d KT v
& (2.100) Ñaët γ m m W Tv=
(
) 1 , (2.101) Töø (2.100), (2.101) suy ra ≤ σγ δ m +−1
m , (2.102) γ trong ñoù ( ( ( ) 1 1 )
)
)
TK MT f K MTg 2 , , , , , 2 σ = + + ⎛
2 1
⎜
⎝ ⎞
(
1
⎟ +
⎠ 1
C
0 (2.103) , δ ~
KT
ε = + ⎛
2 1
⎜
⎝ ⎞
⎟
⎠ 1
C
0 Vôùi giaù trò thích hôïp cuûa T, giaû söû raèng σ thoûa σ < 1 . (2.104) Baây giôø ta caàn boå ñeà döôùi ñaây, maø noù coù theå ñöôïc chöùng minh raát deã daøng. }γ m thoûa 0 1 2
, ,... , Boå ñeà 2.4 Giaû söû daõy { 1
m
− m
,
0 0 ≤ γ ≤ σγ + δ =
m, (2.105) γ = trong ñoù 0 1 < <σ vaø δ ≥ 0 laø caùc haèng soá cho tröôùc. Khi ñoù m ≤ , vôùi moïi m = 1,2,... . (2.106) γ σ δ
−1 Ta suy ra raèng, töø (2.101)-(2.104) vaø (2.106) raèng 2
ε , ( )
m W T
1 (2.107) v 1 ≤ + C
T ⎛
⎜
⎝ ⎞
⎟
⎠ 1
C
0 trong ñoù T = ~ (2.108) C KT
2
1 σ 1
− }vm ñònh nghóa bôûi (2.96) hoäi tuï maïnh
trong W1(T) veà lôøi giaûi v cuûa baøi toaùn (2.90). Vì vaäy qua giôùi haïn (2.107) khi
m→ ∞ ta coù Maët khaùc, daõy qui naïp tuyeán tính { 23 − ε ≤ + 2
CTε . 1 0 ε u u u W T
−
1( ) ⎛
1
⎜
⎝ ⎞
⎟
⎠ 1
C
0 (2.109) Vaäy, ta coù ñònh lyù döôùi ñaây. ,
0 0 Ñònh lyù 2.4 [15] ) ) (
,
H H1
2 )H6 ñuùng. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá M T> , , thoûa öôùc löôïng tieäm caän ñeán caáp hai nhö (2.109), caùc haøm u u0
1 ε ∈ > Giaû söû ( vaø ( )P1 laàn löôït . )P0 sao cho,vôùi moïi ε, ε < 1 ,baøi toaùn (Pε) coù duy nhaát moät lôøi giaûi yeáu duy nhaát
)
(
laø
u WMT
caùc lôøi giaûi yeáu cuûa caùc baøi toaùn ( vaø ( ,
0 0 ≠ ≠ 4. Chuù yù veà baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát (2.1)-(2.3) )H4 vaø thoûa giaû thieát ( nhaát (2.1)-(2.3) öùng vôùi tröôøng hôïp g
1 Trong phaàn naøy, chuùng toâi ruùt ra keát quaû cuûa baøi toaùn giaù trò bieân khoâng thuaàn
. Töø pheùp
g
2 bieán ñoåi (2.4), (2.6) vaø löu yù (2.11), ta daãn baøi toaùn (2.1)-(2.3) toång quaùt veà vieäc giaûi
baøi toaùn bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát (2.7)-(2.9). )H1 − ( )H4 }wm bôûi: Giaû söû ( thoûa maõn. Ta xaây döïng daõy haøm { )
(
, .
w WMT 0 ∈ Choïn soá haïng ñaàu tieân )
w WMT ( m− ∈1 , thoûa maõn baøi toaùn bieán phaân tuyeán tính: Giaû söû , , ta lieân keát baøi toaùn (2.7)-(2.9) vôùi baøi toaùn : )
(
w WMT m ∈ Tìm m m )
1
w v aw v F v v H
&& ,
=
⎧
⎨
( )
( )
w
0
0
⎩
m (
~
w w
,
&
0
m , , + ∀ ∈ ~
m (2.110) , = = ,
~,
w
1 trong ñoù , − ϕ (
0
,
x
( t )
)
0
,
x
,
∇ ( )
( )
(
, 1
m
− , − ϕ (2.111) , = ( ) tt − ϕ + ϕ .
xx ϕ
& ,, , ,&
∇ ,&
w
+ , thay cho , , u u f
1 0 0 1 ,
0 ~
~
( )
w x u x
=
⎧
0
0
⎪
~
~
( )
w x u x
=
⎪
1
1
⎨
~
~
(
)
)
,&
,,
F xt f xtw w w
⎪
1
1
m
m
m
−
−
~
⎪
(
)
,,
,
f xtw ww f xtw
w
ϕ
+ ∇ + ∇ϕ
=
⎩
~ ~ ~
w w f ,
}wm xaùc ñònh bôûi (2.110), vôùi
sao cho daõy {
}wm hoäi tuï maïnh trong Theo ñònh lyù (2.1) vôùi
> , cuûa baøi toaùn (2.7)-(2.9). laàn löôït, thì toàn taïi hai
(
)
, cho
0 ∈
w WMT
)W T1
(
veà lôøi giaûi ∈ haèng soá M T>
0
tröôùc. Maët khaùc, theo ñònh lyù 2.2 thì daõy {
(
)
duy nhaát
w WMT Khi ñoù ta coù ñònh lyù sau: ,
0 0 Ñònh lyù 2.5 ( ) )
−
H H1
4 sao cho: ñuùng. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá M T> > Giaû söû ( (
)
u WMT 0
, xaùc ñònh bôûi : 24 , cho tröôùc, toàn taïi moät daõy qui naïp tuyeán tính (i) Vôùi moïi ∈ ( } m ⊂ {
)
u WMT m 1, + ϕ, m
≥ u w
=
m 0 = + ϕ . wm xaùc ñònh töø (2.110), (2.111) öùng vôùi giaù trò ban ñaàu w u
0 )
(
, .
u WMT (ii) Baøi toaùn (2.1)-(2.3) toàn taïi duy nhaát moät lôøi giaûi yeáu ∈ )
u W T ( 1 maïnh. (iii) → trong u
m Hôn nöõa ta cuõng coù ñaùnh giaù , vôùi moïi m m m
Ck
T )
(
W T
1 (2.112) −
u u ≤ laø haèng soá döông thoûa maõn trong ñoù k
T (
2 1 1 ,
0 0 1 , , , < = + + ~
)
(
TK MT f k
T ⎞
⎟
⎟
⎠ ⎛
)
⎜
2 1
⎜
⎝ 1
C
0 . (vôùi M T> > thích hôïp), C laø haèng soá chæ tuøy thuoäc vaøo T, w0, w1 vaø k
T Ñoái vôùi baøi toaùn khai trieån tieäm caän cuûa lôøi giaûi theo tham soá beù ε , ta xeùt baøi toaùn nhieãu sau ñaây: ,, , , t T
, , = − ∈ < < ,
Ω 0 0 1 1 ( ) ) t 0 (,)
1
= ~
P
ε ) (
gxtuu u
,, , ,
ε
x t x t ε (
)
u u F xtuu u x
⎧
xx
tt
x t
ε
⎪
( )
( )
u t hu t g t u t hu t g t
,
(,)
( ,)
( ,)
,
1
0
0
+
=
−
⎪
0
x
x
(2.113)
⎨
, ~ ,
, ~
( )
(
(
( )
)
u x u x
u x
ux
,
0
0
=
=
⎪
1
⎪
(
)
)
(
F xtuu u f xtuu u
=
⎩
x t , , ,, , , ,, , , . + ) ( 1 (
H H H
4
2 5 laø ñuùng . vaø (
)~
P0 )H
öùng vôùi ε = 0 vaø baøi toaùn ( )~
Pε , , trong ñoù M, T laø caùc haèng soá döông thích hôïp ñoäc (
)
u WMT laàn löôït coù duy Giaû thieát (
)
)
Theo ñònh lyù 2.5, baøi toaùn (
ε ∈ nhaát lôøi giaûi u0 vaø
laäp vôùi tham soá beù ε . 0 laø lôøi giaûi yeáu cuûa baøi toaùn , , 0 ,
t T − − = + ∈ Ω < < ] [ ] tt xx ]
[
gu x
ε
ε ε
, (2.114) 0 . = = 1
u
t [
u u f u fu
⎧
0
⎪
Bu Bu
0
=
=
⎨
0
⎪
( )
( )
u
0
0
⎩ Chöùng minh töông töï trong ñònh lyù 2.3 ta coù ñaùnh giaù u 1 = ≤ C
ε ε, < , (2.115) u u
−
0 ε (
)
W T
1 (
)
W T
1 , , , , , , , . trong ñoù C laø haèng soá chæ tuøy thuoäc vaøo )
h h T K MTg K MT f )
, ( ( 0 1 0 1 Khi ñoù u u u = −ε 25 Khi ñoù ta coù ñònh lyù Ñònh lyù 2.6 ) (
, ) (
, ) 1 H H H
4
2 Giaû söû (
,
0
0
M T>
> vaø (H5) ñuùng. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá vaø
sao cho , vôùi moïi ε, ε ñuû beù , baøi toaùn (Pε) coù duy nhaát moät lôøi giaûi yeáu uε∈W(M,T) thoûa öôùc löôïng tieäm caän sau , (2.116) u u
−
0 ε CW T
≤
ε
) ( 1 vôùi C laø moät haèng soá nhö ñaõ noùi ôû treân. Ñoái vôùi khai trieån tieäm caän ñeán caáp hai, ta coù ñònh lyù sau ñaây maø chöùng minh coù phaàn ñieàu chænh chuùt ít so vôùi chöùng minh cuûa ñònh lyù 2.4, vì vaäy ta boû qua. Ñònh lyù 2.7 Giaû söû toàn taïi caùc haèng soá ) (
(
,
H H1
2 )H6 ñuùng. Khi ñoù toàn taïi duy nhaát moät lôøi giaûi 0 ,
0
M T> > )~
Pε , thoûa öôùc löôïng tieäm caän ñeán caáp hai nhö sau yeáu duy nhaát , H 4 vaø(
) (
)
sao cho,vôùi moïi ε, ε < 1 , baøi toaùn (
)
(
ε ∈
u WMT 2 − ε ≤ (2.117) + 0 1 ε CTε , u u u W T
−
1( ) ⎛
1
⎜
⎝ ⎞
⎟
⎠ 1
C
0 , ( 0 = )~
laàn löôït chính laø caùc lôøi giaûi yeáu cuûa caùc baøi toaùn (
P0
, ~
( )
( )
,
0
0
=
=
u x u x ( )
=
g t g t ( ) ~
1 1 0 0 + + , CT laø haèng soá chæ phuï thuoäc vaøo T, M, ] )
trong ñoù
∈
1,
u u WMT
(öùng vôùi ε = 0 ) vaø baøi toaùn (
]
[
F u f u
+ ∇
ε =
u
1
0
(
)
(
,
, , )~
P1 , öùng vôùi ε = 1 ,
[
[
]
[
u f u u f u gu
&
u
1
0
1
0
u
&
x
)
(
, , .
, ,
K MT f K MT f K MTg ]
0
)
, 1 1 2 4. Xeùt moät tröôøng hôïp cuï theå cuûa f, g cho baøi toaùn bieân khoâng thuaàn nhaát
Trong phaàn cuoái cuûa chöông 2 naøy chuùng toâi xem xeùt moät ví duï veà khai trieån
tieäm caän vôùi tröôøng hôïp (2.118) f = 0, g = ( )gu u& &= 3 . . (2.119) Ñaàu tieân, chuùng toâi xeùt tröôøng hôïp toång quaùt vôùi g thoûa maõn giaû thieát sau
( )
g C RN∈ , 1 0
, t T
, ε x
< < ε ( ) P
ε = = =
ε
( )
0 =
( )
0 0 1
,,
~.
u
1 0 , thích hôïp ta tìm laàn löôït laø lôøi giaûi cuûa caùc Goïi uε laø lôøi giaûi cuûa baøi toaùn
(
)
Lu gu
0
< <
=
⎧
&
ε
⎪
( )
Bu g t i
,
⎨
i
i
⎪
~
u
u u
,
&
⎩
0
ε
ε
Vôùi M T>
,
0 > )
u u WMT
∈ ( 1, 0 baøi toaùn sau 26 t T ,
1 0 x
< < < < = ,,
0 1 ( ) P
0 = = =
0
( )
0 =
( )
0 ,
0 0
( )
,
i
~
u u
,
&
0
0 ~,
u
1 Lu
⎧
0
⎪
Bu g t i
⎨
i
⎪
u
⎩
0 , 0 ,
1 0 t T x
< < < < 0 1
,, ( ) P
1 0
. = , laø lôøi giaûi baøi toaùn )
(
Lu gu
=
⎧
&
0
1
⎪
0
,
Bu
i
=
=
⎨
1
i
⎪
( )
( )
0
0
u
⎩
1
Vôùi 2 ≤ ≤p N, goïi =
)
(
u WMT u
&
1
p ∈ t T
, = = x
< < < < 0 , 1 0
, 0 1 ) i = p
0
, (
P
p ) = = 0
, ( )
0 u
&
p (
⎧
Lu F F xtu u u
,,& ,& ,...,&
1
p
p
p
−
⎪⎪
0 1
Bu
,,
=
⎨
i p
⎪
( )
0
u
⎪
⎩
p trong ñoù = ′ ) & , & (
F g u u
1 2 0 α 2 p
1
− 1 ( , 3 p + ≥ = ′ (2.120) ) ) & p 0 ) (
k
g u
&
0 (
F g u u
&
p
1
− α
α
p
−
& ...&
u u u
2
&
p
2
2
1
−
!
...
!
α
α α
2
1 !
2 p
− 2 α k
= p k
− =
2 p
1
= − ...
α α
+ +
+
1
2
p
2
−
∑
i i
α
i
1
= Ñaët N , (2.121) − = − ε v u h u u
− =
0 up
p ε ε ∑ 1
p
= 0 1 0
, ,
t T + x
< < < < = − & (
α ε )
,
, ,
xt ] (2.122) = 0
, = = )
1 2
, ,
) Khi ñoù v laø lôøi giaûi baøi toaùn
[
(
( )
Lv gv h gh
ε
+
⎧
&
&
⎪
0
,
Bv
i
=
⎨
i
⎪
(
(
)
0
0
,
& ,
vx
vx
⎩ trong ñoù N (2.123) = ε − (
α ε )
xt
, , ( Fp
.
p [
( )
gh gu
−
ε
&
& 2 p
= Ñaët ( )
k , , , , ,..., ,
1 2
N (2.123) = = (
)
K Tg (
g u xt k ) ( ) & k 0 sup
x
0
1
≤ ≤
t T
0
≤ ≤ ( , , = (2.124) ( ) ( )
N
g v ~
)
K MTg
N v ≤ sup
)
(
+
N M
1
2 vaø (2.119) ñuùng, khi ñoù toàn taïi haèng soá ~
K sao ) (
, ) (
, ) Khi ñoù, ta coù boå ñeà sau ñaây
H H H
4
2 1 Boå ñeà 2.5 Giaû söû (
cho 1 N
+ ∞ (2.125) ~
K
ε ≤ (
α ε )
xt
, , , ; (
2
L T L
0 ) , ,...,
1 2 N 1 ~
K chæ phuï thuoäc vaøo N, M, T vaø caùc haèng soá 27
, − )K Tg k
, = (
k , , , . ôû ñaây
~
)
(
K MTg
N Chöùng minh
Tröôøng hôïp N = 1 chöùng minh deå daøng, ta boû qua chöùng minh chi tieát. ÔÛ ñaây ta chæ xeùt tröôøng hôïp N≥ 2 . N up p . Baèng caùch khai trieån Taylor cho Ñaët U = )
(
0 +
gu U&
& quanh ñieåm &u0 ∑ ε 1
p
= ñeán caáp N . Ta coù N ( ( 1
N
− θ ) ) ( − − = + = + & k
U
& N
U
& ( ( ) ) ) & & (
( )
gh gu gu U gu
&
&
0 0 0 ∑ (2.126) ) (
k
g u
&
0
k
! )
g u U
+
&
&
0
N
! 1 k
= 0 1 < <
θ k N α α N 2 N 2 α
1 k
U
& ( ) ( ) (
... ) ∑ ∑ i
1
= 2 N k
=
0
≥ p p , (2.127) = ε ε ε u
&
N u
&
2 u
ε
&
1 ⎛
⎜
⎝ ⎞
i
u
⎟ =
&
i
⎠ !
N k
!
...
!
α
2 !
α α
1 ( ) ( )
,
g
ε ]
[
C pg
ε (
)
1
N N
−
~
]
[
1
CN pg
, ,
ε
− + R N ( )
gh gu
−
&
&
0 ...
+
+ +
α α
α
1
inguyen
α
$
Töø (2.126), (2.127) ta coù
1
N
−
∑ ∑ 1
p
= p N
= (2.128) = + α p p 2 ( trong ñoù ) [
]
C pg ∑ 0
) (
k
g u
& ∑ α
1
u u
&
&
2
1
!
α α
1 α
u
...&
p
!
!...
α
p
2 α k
1
= ...
+ + p k
= α α
+
1 p 2
p
∑
i i
α
=
i
1
= N
1
− ( , (2.129) = ) ) (
k
g u
&
0 ∑ ∑ 1 k
= = ~
[
]
1
CN pg
, ,
− ! r
α
u
&
α N (
η α ) (2.130) ) ( )
(
R g g u U
& ) ( N 0 ∑ k
=
α
(
)
p
=
η α
r
α
u
&
!
α N = α , = α ∈ α α
1 , ,...,
α
2
α )
N
...
+ +
α N
Z
+
, !
α + = !,
N !
...
α
2 !
α α
1 (2.131) , 1
=
α 2
2
+ N
α α 2 1 N α N 2 1 N
r , , ,..., ... . ∈ = N
...
+ +
) N α
1 α
1 2 = + ,
ε θ ε & ) ( p , , (2.132) = ε (
α ε )
xt
, , ( + R N )
(
1
N N
−
~
∑ 1
[
]
CN pg
−
ε ⎛
⎜
⎜
⎝ ⎞
)
⎟
g
,
ε
⎟
⎠ p N
= trong (2.130), ta ñaõ söû duïng caùc kyù hieäu ña chæ soá sau :
(
=
α α
(
)
η α
r
α
(
v v v v R v v v v
=
N
1
Vaäy töø (2.120), (2.123), (2.128)-(2.131)
α ε, ,xt ñöôïc vieát laïi nhö sau 28 , ,..., N 1
L T H , ; bò chaän trong khoâng gian haøm , ta (
∞ 0 ) Do caùc haøm & ,
i = 1 2
u i suy ra töø (2.123), (2.124), (2.130) raèng + ∞ 1 (
α ε )
,.,. 2
L T L
0 , ; ( ) trong ñoù N k N
1
− ~
NK
ε ≤ (2.133) (
)
K Tg ( ( k )
(
MN
!
N (
)
MN
!
k k
1
= }vm ñònh nghóa bôûi , , , + − = ~
)
K MTg
N ~
∑2
)
2
K N N
Boå ñeà 2.5 ñaõ ñöôïc chöùng minh xong.(cid:132)
Tieáp theo, ta xeùt daõy haøm {
,
0 ≡ v
0 (
α ε )
,
xt x
, , )
( )
h gh
−
&
& ] 0 , + ∈ < < = + Ω ,
t T
(2.134) [
(
gv
ε
&
1
m
−
0 1
0
,
,,
i
=
)
(
,
0
v x
&
m 0 , .
1 = = m
≥ =
) , 0 ,
t T ∈ Ω < < α ε, , = (2.135) = )
,
xt x
,,
0 1
) 2 1 + ∞ , = = =
) i
(
& ,
vx
0 Lv
m
Bv
i m
(
0
,
v x
m
Vôùi m = 1, ta coù
(
Lv
1
Bv
,
0
1
i
(
v x
,
0
1 + ≤ ) 1 1 1 , ; 2
0
L T L av v K TvN
(
2
& v
&
1 ( ) . (2.136) .
0
Nhaân hai veácuûa (2.135) vôùi &v1 , ta suy ra töø (2.125) raèng
~
ε 1 ∞ ∞ Töø (2.136) ta coù + ≤ + ~
N
+
.
K T
ε v
1 1
0
L T H , ; 2
0
L T L , ; v
&
1 ( ) ( ) ⎛
2 1
⎜
⎝ ⎞
⎟
⎠ 1
C
0 N
+ ,
1 v (2.137) 1
ε
,
T ∞ ∞ v
& 2
m L T L 1
m L T H
0 , ; , ; 0 ( ( ) )
Nhaân hai veá cuûa (2.134) vôùi &vm , sau khi tích phaân theo t ta thu ñöôïc t 2 ∞ m (2.138) ∀ ≤ + ε Ta seõ chöùng minh raèng toàn taïi moât haèng soá CT , ñoäc laäp m vaø ε sao cho
≤
C
T ) ( )
& ) (
av v
,
m m m 2
m L T L , ; 0 (
gv h gh d v
−
& ( ) ∫ 0 ∞ + ≤ + ε τ & v
&
1
m & (2.139) 2
m L T L , ; 0 ( ) . ~
N
1
+
2
K Tv
+
ε
& v v = = + ∞ ∞ v
& ~
γ
m 0 , ; , ; 1
m L T H
0 m L T L ( )
m W T
1 ( ) ( 2 .
) Ñaët Töø (2.139) suy ra m −1 (2.140) ~
,
δ + ~ ~~
≤
σγ
γ
m trong ñoù 29 ( )
)
TK MTg 1
+ , 2 , , ~
σ = + ~
1 ⎛
2 1
⎜
⎝ ⎞
(
1
⎟ +
⎠ 1
C
0 (2.141) , ~
δ = + ~
KT N
ε ⎛
2 1
⎜
⎝ ⎞
⎟
⎠ 1
C
0 Vôùi giaù trò cuûa T > 0 thích hôïp, giaû söû raèng ~σ thoûa ~σ < 1 . (2.142) ≤ ~
γ
m ~
σ 1 , vôùi moïi m = 1,2,... . (2.143) Aùp duïng boå ñeà 2.4, ta coù
~
δ
−1 +~
N
C
ε
T ( )
m W T
1 hay v , (2.144) ≤ trong ñoù ~
C + T = ~
KT
1 ~
σ 1
− ⎞
⎟
⎠ 1
C
0 . (2.145) }vm ñònh nghóa bôûi (2.134) hoäi tuï maïnh veà lôøi giaûi v
. Vì vaäy qua giôùi haïn (2.144) khi m→ ∞ ta ñöôïc N 1 N
+ v cuûa baøi toaùn (2.122) trong ~
C
T p
u
p u
ε (
)
W T
1 ⎛
2 1
⎜
⎝
Daõy qui naïp tuyeán tính {
)W T1
(
∑ 0 p
= (
)
W T
1 (2.146) − ε = ε ≤ Khi ñoù ta coù , , ñuùng vaø ) ( ) 1 Ñònh lyù 2.8 . Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá )
(
H H H
2
4
sao cho vôùi moïi ε ε, (
< 1, baøi toaùn ( )
g C RN∈
)P ε coù duy nhaát moät lôøi giaûi yeáu ε N , thoûa moät öôùc löôïng tieäm caän ñeán caáp N + 1 nhö (2.146), trong ñoù caùc ∈ , = 0 1 2,, ,..., .
N p haøm u p )P p
p
)
g C R∈ ∞ ( . Ta cuõng Giaû söû (
M T>
>
0
,
0
)
(
u WMT
, = 0 1 2,, ,..., laàn löôït laø caùc lôøi giaûi cuûa caùc baøi toaùn (
Trong ñoaïn sau cuøng ta xeùt g cuï theå nhö (2.118), khi ñoù )g
(
k =
löu yù raèng
trong (2.132) laø 0 , 4 , do ñoù phaàn dö trong khai trieån Taylor cuûa g xuaát hieän k
∀ ≥ N 0 N . 4 , (2.147) ≥ )R g
(
ε, =
)
(
α ε, ,xt trong (2.132) vieát laïi )
(
−
1
N N 3 p ( Do ñoù (
α ε )
xt
, , ) ) (
k
g u
&
0 ∑ ∑ ∑ =
p N =
k
1 = ε ε (2.148) α
(
η α ⎞
⎟
⎟
⎟
⎠ ⎛
⎜
⎜
⎜
⎝ r
α
u
&
!
α
=
k
)
=
p 1 N
+ 3 2 ∞ 2 3 (2.149) ≤ + − + ε (
α ε )
,.,. (
3
2
N N N N M )
3 )( 2
L T L
0 , ; ( ) Do ñoù ta coù ñaùnh giaù 30 Caùc bieåu thöùc F
p p trong baøi toaùn ( )P = F
0 1 0 2 + = ′ ′′ ) & & , ,
0
)
(
& ,
F gu
=
0
)
(
F g u u
= ′
1
)
(
F g u u
&
2 0 3 (
2
g u u
&
1
0 1
2 + + ′′ = ′ ′′′ ) ( ) ( ) & & , F g u u g u uu
& &
2
3
1 4 0 0 (
3
g u u
&
1
0 1
!
3 α 2 1 3 ( , p N. 4 + ≤ ≤ = ′ ) ) & & & & , 0 ) (
k
g u
&
0 p (
F g u u
&
−
1
p ∑ α
α
−
p
u u u
& ...&
2
&
−
2
2
1
p
!...
!
α
α α
1
2 !
2 −
p 2 =
k k =
i = −
p
1 ∑
−
p
2
∑
α
=
i
1
−
p
2
∑
α
i i
=
i
1 Cuoái cuøng ta coù keát quaû Giaû söû caùc giaû thieát cuûa ñònh lyù 2.8 ñöôïc thoûa maõn vaø (2.118) laø ñuùng. Khi ñoù
coù duy nhaát lôøi giaûi yeáu )P ε , thoûa öôùc löôïng tieäm caän ∈ Ñònh lyù 2.9
toàn taïi caùc haèng soá döông M vaø T sao cho baøi toaùn (
)
(
u WMT ε N +
N
1 , − ε ≤ ε (
)
C ,
NT p
u
p u
ε ∑ 0 =
p (
)
W T
1 trong ñoù 3 2 , 3 2 + − + + )
(
C NT
, = )
3 )( (
2
N N N N T
1 σ 1
− ⎛
⎜
2 1
⎜
⎝ ⎞
⎟
⎟
⎠ 1
C
0 2
TM . σ = + + (
24 1 ⎛
)
⎜
2 1
⎜
⎝ ⎞
⎟
⎟
⎠ 1
C
0 & 31 Chöông 3
PHÖÔNG TRÌNH SOÙNG PHI TUYEÁN
VÔÙI TOAÙN TÖÛ KIRCHHOFF-CARRIER 1. Môû ñaàu Trong chöông 3, chuùng toâi xeùt baøi toaùn giaù trò bieân vaø giaù trò ban ñaàu sau: t T ∇ = + + ∈ Ω, 0 < < , (3.1) ( ) ( 0 )
)
2 Δ
)
, , x
u b B u u f u F xt
tt − (3.2) ,
0 = ,
0 , (3.3) = (
(
)
(
)
(
u t u t
,
1
=
, ~ ,
( )
(
ux
0 ) , ~
)
=
u x u x
0 ( ( )
u x
1 t 0 laø caùc haèng soá döông cho tröôùc; B, f, F cuõng laø caùc haøm cho 0 > > ôû ñaây, b
,
0
T
0
tröôùc seõ ñöôïc giaû thieát sau ñoù. Nhö chöông 2, chuùng toâi seõ keát hôïp baøi toaùn (3.1)-(3.3) vôùi moät thuaät giaûi qui
naïp tuyeán tính, maø söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi ñòa phöông ñöôïc chöùng minh baèng
phöông phaùp compact yeáu keát hôïp vôùi baát phöông trình tích phaân Volterra 2. Söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi Ta thaønh laäp caùc giaû thieát sau : 2 , , ∈ 1
A u H H u H
0 ~
1 0 > 1 + 0 , ∈ 1 )
,
, (
(
(
( ~
)
0
1
)
A b
0
2
)
A
3
) )
A f C R
∈ 4 0, ; , vôùi moät T > 0 thích hôïp maø ta seõ choïn sau. ) ( 1
∈ ∩
0
,
(
B C R B
≥
(
(
1
∈ 2
A 5 F L T H
0 ) Vôùi M vaø T > 0, ta ñònh nghóa : , , (3.4) = ≤ ( {
sup }
( )
f u u M )
0=
K K f M 0 , , (3.5) = = = ≤ ,
′ ′ ( ( )
)
K K f M K f M ( ) {
sup }
f u u M
: 0 1 : 0 , 2
s M , (3.6) = ≤ ≤ ( {
( )
Bs
sup } 0 : 0 , 2
s M , (3.7) = = ≤ ≤ ,
′ ( ( ( )
B s
′ {
sup } 1
~ ~
)
K K BM
=
0
~ ~
)
)
K K BM K B M
=
1 ~
0 1 2 ∞ ∞ 0
, ; 0
, ; : , ∩ ∈ ∈ ) ( ( ( ) ( {
= ∈ & )
,&& 2
VMT v L T H H v L T H v L Q
T 1
0 1
0 (3.8) ∞ ∞ v M ≤ ≤ ≤ 0 2
L T H H
, ; , ; ∩ , &
M v ,&&
M v 1
0 1
L T H
0
0 2
(
)
L QT ( ) ( ) )
,
}
. Laáy u0 = 0 vaø giaû söû ñaõ bieát um-1 vaø thoûa 32 (3.9) ( )
, .
m− ∈1
u VMT Ta lieân keát baøi toaùn (3.1)-(3.2) vôùi baøi toaùn tuyeán tính hoùa ( )Pm nhö sau ∈VMT, thoûa maõn baøi toaùn bieán phaân Baøi toaùn ( ( ) m 2 , , + ∇ ∇ = ( )
, ( )
,
∇ + ( ) )
, ( m 1
m
− u t v f u t v F v
1
m
− ( )
u t v b B u t
+
&&
0
m )Pm : tìm u
( ( ) ) 1 , (3.10) ∀ ∈v H0 (3.11) = = ( )
0 ( )
0 u
m ~
u
1 ~
,
u u
&
0
m Khi ñoù ta coù ñònh lyù sau . Ñònh lyù 3.1 sao cho , 0 0 > toàn taïi daõy { (
Giaû söû (
)
)
ñuùng. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá M T>
A A
−
5
1
)
(
}
, ñöôïc xaùc ñònh bôûi (3.10)-(3.11) .
m ⊂
u VMT 1 , ñöôïc laäp töø caùc haøm rieâng )
= sin π cuûa
j x ( ( )
w x
j }wj cuûa H0 2 . toaùn töû Δ = − Chöùng minh
Laáy moät cô sôû {
∂
2x
∂ k thoûa maõn Xeùt baøi toaùn sau ñaây: Tìm = (
) ( )
k
u t
m ) ( )
c tw
j (
k
mj ∑ 1
j
= , , 1 j k , (3.12) ∇ + + + = ≤ ≤ ) ( )
, ( )
, ( ) ( ) m m j j j (
(
) ( )
k
k
,
u t w b B t u t w f t w F w
∇
&&
j
m
m , (3.13) = = ) ( )
0 ) ( )
0 (
k
u
m ~
u
1
k ~
(
k
,
u u
&
k m
0 vôùi 2 ∇ = = , ( ) m 1 1 m
− m
− (
( )
( )
t f u t ) (
( )
B t B u t )
, f
m vaø ôû ñaây 1 ~
u maïnh , (3.14) 2∩
0→ , trong H H0 1 maïnh . (3.15) ~
uk0
~
~
uk1
u 1→ , trong H0 k treân khoaûng Heä (3.12), (3.13) xaùc ñònh duy nhaát moät lôøi giaûi ) ( )u tm
( 0 ≤ ≤ ≤ )
(
k
.
t T Tm ( Döïa vaøo moät soá ñaùnh giaù tieân nghieäm sau ñaây ta coù theå laáy k = , vôùi moïi )T Tm m vaø vôùi moïi k . Ñaùnh giaù tieân nghieäm k , sau ñoù laáy tích phaân töøng phaàn theo t ta coù _Trong (3.12), thay wj bôûi (
) ( )
&u tm 33 2 2 ) ( )
p t u t
≡ ) ( ) ) ( )
(
)
( )
b B t u t (
k
m (
k
m (
k
m m 0 t t 2 ) ( )
0 ( )
τ ) ( )
τ ( )
τ ) ( )
τ (
k
p
m (
k
u
m (
k
( )
f u
,&
τ
m
m ∫ ∫ 0 0 2 + ∇ + & (3.16) F d 2 = + + ∇ + − d
τ τ . B
′
m ( ) j ( ) j _Trong (3.12), thay , khi ñoù ta thu ñöôïc Δ λ j
π = − = w
j w
j 1
λ ) ( )
,
∇ ) ( )
,
Δ ( ) ) ( (
k
m m j 0 (
k
u t w b B t u t w
+
&&
j
m ( )
f t w
.
∇
j
m k Δ ∇ + + (3.17) ,
1 .
j k + ∇ ≤ ≤ F w
,
= ∇ ∇
j (
) ( )
&u tm 2 2 k , sau ñoù tích phaân töøng phaàn ta ñöôïc Trong (3.17) thay wj bôûi )
(
) ( )
( )
b B t u t 0 (
) ( )
k
q t
m (
) ( )
k
u t
&
m (
m m t t ≡ ∇ + + Δ 2 k ) ( )
0 ( )
Δτ ) ( )
τ ( )
τ ( )
τ ) ( )
τ (
q
m (
k
u
m (
k
u
, &
∇
m ∫ ∫ 0 0 (3.18) F 2 = + + + ∇ − ∇ d
τ d
.
τ B
′
m f
m Maët khaùc, (3.12) coù theå ñöôïc vieát laïi nhö sau ) ( )
, ) ( )
, ( ) ) ( ( )
, (
k
m m j 0 (
k
u t w b B t u t w
+
&&
j
m k , ,
1 Δ − + + = ≤ ≤ j k f t w F w
j
j
m (
) ( )
&&u tm t 2 vaø tích phaân theo t ta coù Vì vaäy thay wj bôûi ) ( )
τ ) ( )
(
k
r t
m (
k
u
&&
m ∫ 0 ≡ d
τ = t t 2 2 2 (3.19) ( )
τ ) ) ( )
τ ( )
τ ( )
τ (
b B
+
m (
k
u
m 0 ∫ ∫ 0 0 F 2 2 = d
τ + − d
.
τ Δ f
m Ñaët = + ) ( ) ) ( ) ) ( ) (
) ( )
k
s t p t q t r t
+
m (
k
m (
k
m (
k
m . (3.20) t 2 2 Töø (3.16), (3,18)-(3.20) ta suy ra ) ( )
0 ) ( )
τ ) ( )
τ (
(
) ( )
k
k
s t s
m
m (
k
u
m (
k
u
m ∫ ≤ + + ∇ + Δ d
τ + B
′
m 0 t t 2 2 2 ( )
τ ) ) ( )
τ ( )
τ ( )
τ 0 (
b B
+
m (
k
u
m ∫ ∫ 0 0 t t 2 F 2
+ Δ d
τ + − d
τ (3.21) f
m ( )
τ ) ( )
τ ( )
τ ( )
τ ) ( )
τ (
k
( )
,&
f u
τ
m
m (
k
, &
u
∇
m ∫ ∫ 0 0 F 2 F 2
+ − d
τ + ∇ − ∇ .
d
τ f
m Töø giaû thieát (A3), (A4) vaø (3.9) ta thu ñöôïc , ≤ ) ( )
f t
m
= ∇ 1
m
−
)
∇ f
m 2 (3.22) 0 , ≤ ∇ (
( )
f u t K
=
0
(
,
KM
f u
u
′
1
1
1
m
m
−
−
~
≤ /
K
0 m 2 ∇ = ( ) ′
m (
2
B t B u
1
m
− ≤
)
u
1
m
− u
, &
∇
1
m
− 2 . ∇ 2
≤ ∇ ≤ ~
2
2
M K
1 u
1
m
− 1
m
− ( )
B t B u
=
1
m
−
)
(
′ ∇
(
u B u
′ ∇
&
1
m
− ) k Cuoái cuøng, keát hôïp (3.21) vaø (3.22) ta suy ra raèng thoûa maõn baát phöông ) ( )s tm
( trình tích phaân t , d (3.23) ≤ + τ , ) ( )
0 ( ) ( ) ) ( )
τ (
(
) ( )
k
k
s t s
m
m (
k
C MT C M s
+
m 2 1 ∫ 0 trong ñoù 2 , F F = + + τ , )
(
C MT ( ( )
τ ( )
τ )
KM d 1 2
)
K d
τ
0 1 T
3
∫ 0 T
(
+ ∇
∫
0 (3.24) 2 1 2 = + + ( ~
)
C M K
1 2 0 ~
(
b K
+
0 )
. 2
M
b
0 Baèng caùch söû duïng boå ñeà Gronwall, ta suy ra töø (3.23) raèng ≤ + ∀ ∈ ) ( )
0 1 2 (
(
(
) ( )
k
k
s t s
m
m [
)
(
k
,
0
t T
m ]
, (3.25) )
)
(
(
)
)
(
,
, exp
C Mt
C MT
T T T , . 0 0 ∀ > < ≤ (
)
k
m Maët khaùc ta laïi coù 2 2 2 2 2 . (3.26) = + ∇ + ∇ + ∇ + ) ( )
0 (
k
s
m ~
u
k
1 ~
u
k
1 0 ~
u
0 k ~Δ
u
0 k (
(
~
b B u
0 ) )( ) Töø (3.14), (3,15), (3.26), ta coù theå choïn ñöôïc M> 0 sao cho k . (3.27) ∀ , ≤ ) ( )
(
k 0
s
m 2
M
2 , Chuù yù, töø (3.24) ta coù = 0 , vì vaäy ta seõ choïn T> 0 sao cho )
(
C MT 1 lim
0
T
→ + ≤ + . (3.28) ( ) 1 2 2
M
2 ⎞
)
(
(
)
2
C MT
C MT M
, exp
⎟
⎠ ⎛
⎜
⎝ Töø (3.25), (3.27) vaø (3.28) ta coù 2 , ∀ ≤ (3.29) ) ( ) ]
, ,
0 [ (
k
, ,
s t M t T km
∀ ∈
m ( nghóa laø )T Tm
k = . kj ) ( ( cuûa )
k sao Ta suy ra töø ñaùnh giaù (3.29) raèng toàn taïi moät daõy con }um
{ }um
{ cho 34 35 ∞ (3.30) trong 2
L T H H , ;
0 ∩ yeáu *, )
(
k
u
j →
m u
m 1
0 ) ( ∞ (3.31) trong yeáu *, 1
0
, ;
L T H
0 ( ) )
(
k
u
j →
&
m u
&
m yeáu , (3.32) ) (
L Q
T )
(
k
j → trong 2
u
u
&&
&&
m
m (3.33) )
(
,
m ∈
u VMT Töø (3.30)-(3.33), qua giôùi haïn trong (3.12), (3.13) ta chöùng minh khoâng khoù khaên raèng um(t) laø lôøi giaûi cuûa baøi toaùn (3.10), (3.11) . Ñònh lyù 3.1 ñöôïc chöùng minh hoaøn taát ¦ Söï hôïi tuï cuûa daõy { }um Ñaët vm =u , khi ñoù vm thoûa maõn phöông trình um
+ −1
m , + ∇ + − Δ ( )
, ( ) ) m m m 1 0 1
m
+ m
+ (3.33) ,
0 + ( ) (
( )
1
w H
,
= ∀ ∈
0 m ( )
)
( )
(
,
v t w b B t v t w B t B t u w
∇ −
&&
m
( )
f t f t w
,
−
1
m
+ vôùi ñieàu kieän ban ñaàu 0 . (3.34) = = ( )
0 ( )
0 v
m v
&
m 2 2 + + ∇ (
( )
b B t ) ( )
v t
m 0 m
1
+ d
dt (3.35) .
0 Δ Trong (3.33), thay w bôûi &vm ta coù
1
2
− − + − = ( )
v t
&
m
(
( )
)
( )
B t B t u t v t 1
2
( ) ( ) ( ) d
dt
( ) m m m m 1 m
1
+ ( )
f t f t v t
m
m
+ ,& ,& Ta thu ñöôïc sau khi tích phaân töøng phaàn (3.35) t 2 2 2 + ∇ + = ∇ d
τ ) ( )
τ ( )
τ m v
m 0 1 (
( )
( )
b B t v t
m
1
+ B
′
m
+ ( )
v t
&
m ∫ 0 (3.36) t t 2 2
+ − − − Δ d
τ .
d
τ ( )
τ ( )
τ ) ( )
τ ( )
τ ( )
τ ( )
τ ( )
τ 1 B
m u
m f
m (
B
m
+ f
1
m
+ v
,&
m v
,&
m ∫ ∫ 0 0 Ta cuõng ñeå yù raèng , (3.37) ( ) ′
m 1 ~
1 2
+B t KM
≤ 2 2 − ∇ = − ∇ ( )
( )
B t B t B u t ( ) m m 1
m
+ 1
m
− ) (3.38) (
( )
B u t
. ≤ 2
)
(
~
( )
KM v t
2
∇
1 1
m
− = ( ) ) ( )
(
f u t
1
m
− (3.39) ( )
f t f t
−
1
m
m
+ ≤ 1 ≤ ( )
)
(
f u t
−
m
( )
K v t
1
m
−
( )
K v t
∇ 1 1
m
− Ta suy ra töø (3.37)-(3.39) raèng 36 t 2 2 2 2 4 ≤ ∇ ∇ + + τ ( )
b v t ( )
τ ( )
τ m m + ∇
0 1 ~
1 2
d KM K v
m
1
− ( ) ( )
v t
&
m ( )
v d
τ
τ
& ∫ t
~
2
KM v
2
∫
m
1
0 0 . (3.40) Choïn T> 0 sao cho 2 0 1 1 1 + + < = + ~
K
T ~
2
KM K T
+
1 1 ~
2
KM
1 ) ( ⎛
⎜
⎝ ⎞
⎟
⎠ ⎞
⎟
⎠ ⎛
⎜
⎝ ⎞
⎟
⎠ K
1
2 1
b
0 1
b
0 ⎡
⎛
exp
⎜
⎣⎢
⎝ ⎤
T
⎦⎥ < (3.41) Baèng caùch choïn T nhö vaäy ta thu ñöôïc töø (3.40) raèng ~ (3.42) m 1
≤
q K q
T m
− ôû ñaây 1 2 2 2 ∞ ∞ v . = + ∇ q
m , ; , ; v
′
(
2
m L T L
0 ) (
2
m L T L
0 ) ( ) }um laø daõy Cauchy trong khoâng gian Banach Vaäy suy töø (3.42) raèng {
ñònh nghóa bôûi )V T1
( ∞ ∞ : 2
, ;
V T v L T H v L T L
0 , ;
0 . (3.43) ∈ ( ) 1 1
0 ) ( ( {
= ∈ )
} & sao cho Do ñoù toàn taïi ( )
u V T∈ 1 maïnh . (3.44) )
u W T ( m → trong
u 1 Ta cuõng löu yù raèng , , khi ñoù ta trích ñöôïc töø { )
(
m ∈
u VMT }um moät daõy con sao cho }umj
{ ∞ trong u 2
L T H H , ;
0 (3.45) → ∩ yeáu *, 1
0 ) ( u
mj ∞ trong (3.46) → yeáu *, 1
, ;
L T H
0
0 ) ( u
&
mj u
& yeáu , (3.47) → trong 2 ) (
L Q
T u
&&
m
j u
&& (3.48) ∈ )
(
, .
u VMT Tieáp theo ta xeùt caùc soá haïng phi tuyeán. Ta coù 2 + ∇ + ) 0 m 0 (3.49) 2 u (
+ − − = (
( ) ( ) ( )
(
∇ ) )
)
(
b B t u b B u
∇
∇ −
m
(
)
(
b B t u u B t B u
∇
+ ( u
) )
∇ m m m 0 Töø (3.49) ta suy ñöôïc 2 u ∇ + ( ( ) m 0 (3.50) u . 2 (
∇ − ∇ + ∇ + = (
~
1 0 )
)
∇
2
u M K u
− ∇−
m
1 )
b B t u b B u
∇ −
+
m
0
~
(
)
b K u
m
0 37 Töø (3.44) ta suy ra veá phaûi cuûa (3.50) daàn veà 0 khi m→ ∞ , vì theá 2 ∞ u trong 2
, ;
0
L T L ∇ + maïnh khim→ ∞ (3.51) ( ) (
b B t u
m
m 0 0 ( ) (
(
)
b B u
∇ → + )
)
∇ Töông töï ∞ ∞ u 0 khi m (3.52) − ≤ − → → ∞ ) ( )
f u (
f u
−
1
m K u
−
1
1
m , ; , ; (
2
L T L
0 ) (
2
L T L
0 ) , thoûa maõn phöông trình bieán phaân ∈ Ta thu ñöôïc nhôø (3.45)-(3.47), (3.51) vaø (3.52) sau khi qua giôùi haïn trong
)
(
u VMT 2 , 1 , (3.53) ∇ = ∇ + + (
( )
,
ut v f ut v F v
∇ + ( ) )
, , ∀ ∈v H0 ( )
( )
ut v b B ut
&& ,
0 (3.10), (3.11) khi m mj= → ∞ raèng
( ( ) ) vaø ñieàu kieän ñaàu . (3.54) = = ( )
u
0 ( )
0 ~
u
1 ~
u u
,
&
0 Söï duy nhaát lôøi giaûi Giaû söû ui, i = 1,2 laø hai lôøi giaûi yeáu cuûa baøi toaùn (3.53), (3.54) thoûa maõn u VM T i 1 2
, (3.55) ∈ = )
, ( ,
i i i Khi ñoù thoûa maõn baøi toaùn bieán 0, t T = − ≤ ≤ = ( ) ) ( )
( )
wt u t u t
1 2 (
min ,
T T
2
1 phaân sau ∇ + + ) 0 (3.56) 0 − + − − = (
( )
, ( ) ~
( )
( )
,
wt v b B t wt v
&& ,
∇
1
)
)
(
( )
( )
f u t v
Δ ( )
( )
, ( ~
( )
B t B t u t v f u t
2
1 ~
2 2 1 vaø ñieàu kieän ñaàu 0 (3.57) = ( ) ( )
0 =
w w0
& 2 . ∇ = ( ) i trong ñoù
~
(
( )
B t B u t
i ) Trong (3.56) thay v bôûi 2 2 ≡ ∇ + + = ′ ( )
( )
t w t
ρ ~
1 0 t t 2 2 + − Δ ( )
u w d
,
τ
τ
′ ( )
τ ( )
τ ( )
τ ( )
τ ( )
τ ~
B
2 2 ~
B w d
∇
τ
′
1 ′w , sau khi tích phaân töøng phaàn ta coù
)
(
( )
( )
b B t wt
~
(
B
1 ) ∫ ∫ 0 0 t t (2.58) 2 2 2 − − ∇ τ ′ ( )
τ ) (
f u w d M K w d
2
≤
τ ( )
τ ( )
τ ( )
τ )
, (
f u
1 2 ~
1 ∫ ∫ 0 0 t t 2 2 + M K w w d K w w d
4
τ
τ ∇ + ′ ′ ( )
τ ( )
τ ( )
τ ( )
τ ~
1 1 ∫ ∫ 0 0 M vôùi . ) (
= max ,1
M M
2 Ñaët 38 2 2 + , (3.59) ~
K = + ~
2
2
M K
1
b
0 2 ~
4
M K K
1
1
b
0 Ta suy ra töø (3.58), (3.59) raèng . (3.60) ,
0 ∀ ∈ ≤ ( )
ρ τ ]
( )
,
t K d t T
τ
ρ [ t
~
∫ 0 Söû duïng boå ñeà Gronwall ta thu ñöôïc 0 i.e 0 ρ ≡ ≡ ]
u u t T, .
∀ ∈ [ 1 2 Khi ñoù ta coù ñònh lyù nhö sau Ñònh lyù 3.2 ñöôïc thoûa. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá M> 0 Giaû söû caùc giaû thieát ( ) ) (
−
A A1
5
vaø T> 0 sao cho baøi toaùn (3.1)-(3.3) coù duy nhaát lôøi giaûi yeáu u ( )
∈VMT, }um ñònh bôûi (3.10), (3.11) hoäi tuï maïnh veà u trong khoâng gian . Maët khaùc daõy qui naïp tuyeán tính hoùa {
)V T1
( 39 Chöông 4
PHAÀN KEÁT LUAÄN Luaän vaên söû duïng phöông phaùp xaáp xæ tuyeán tính ñeå khaûo saùt moät soá phöông
trình soùng phi tuyeán vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát, khoâng thuaàn nhaát.
Phöông phaùp naøy khoâng nhöõng cho ta chöùng minh söï toàn taïi lôøi giaûi, khai trieån tieäm
caän lôøi giaûi theo moät tham soá nhieãu, maø baûn thaân noù coøn cho ta thieát laäp lôøi giaûi
tuyeán tính hoùa baèng moät thuaät toaùn giaûi tích soá thích hôïp. Noäi dung chính cuûa luaän vaên vaø caùc keát quaû môùi thu ñöôïc chöùa ñöïng trong hai chöông 2 vaø 3. ÔÛ chöông 2 chuùng toâi nghieân cöùu phöông trình soùng phi tuyeán = − )
,, , , (
u u f xtuu u
x t xx tt , 2 ,, , , vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát vaø khoâng thuaàn nhaát. Chuùng toâi thu ñöôïc keát
quaû veà söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi baèng phöông phaùp noùi treân vôùi f C∈ 1 . Neáu f
1 thì chuùng toâi thu ñöôïc
ñöôïc thay bôûi ∈ ∈ + )
(
gxtuu u f C g C
ε
, ) (
,, , ,
f xtuu u
x t x t
lôøi giaûi töông öùng coù moät khai trieån tieäm caän ñeán caáp hai theo ε , vôùi ε ñuû nhoû. Keát
quaû naøy laø söï toång quaùt hoùa töông ñoái caùc keát quaû tröôùc ñoù trong [1], [2], [4], [5], [8],
[11], [13], [14], [15], [19], maø moät phaân keát quaû naøy chuùng toâi ñaõ coâng boá trong [15]. caän ñeán caáp N + 1 vôùi f = 0, g = g(ut), caáp cao hôn hai khi veá phaûi f coù daïng . + ε Cuõng trong chöông 2, chuùng toâi ñaõ thu ñöôïc lôøi giaûi baøi toaùn coù khai trieån tieäm
(
)
g C RN∈
. Ñoù laø yù töôûng khai trieån tieäm caän
)
)
(
,, , ,
f xtuu u
x t (
,, , ,
gxtuu u
x t ÔÛ chöông 3, vaãn vôùi phöông phaùp xaáp xæ tuyeân tính keát hôïp vôùi phöông phaùp
Galerkin ñeå nghieân cöùu söï toàn taïivaø duy nhaát lôøi giaûi cuûa phöông trình soùng phi tuyeán
coù chöùa toaùn töû Kirchoff-Carrier. Keát quaû thu ñöôïc ñaõ toång quaùt hoùa töông ñoái caùc
keát quaû trong [7], [9], [10], [16], [17],[18], [21] vaø seõ coâng boá trong [6]. _Caùc keát quaû treân ñaây ñaõ tham gia baùo caùo trong caùc hoäi nghò Toái öu vaø ñieàu khieån, taïi Qui Nhôn (27/5 - 1/6/1996), Hoäi thaûo Toaùn Hoïc Vieät-Phaùp, taïi Thaønh phoá Hoà Chí Minh (3 - 8/3/1997), Hoäi nghò Toaùn Hoïc Vieät Nam toaøn quoác laàn 5, taïi Haø Noäi (17 - 20/9/1997).
_Moät phaàn keát quaû ñaõ ñöôïc coâng boá trong [15] vaø seõ ñöôïc coâng boá trong [6]. 40 TAØI LIEÄU THAM KHAÛO 1. Boujot J., Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Veyrier J.P., Oscillateurs harmoniques
faiblement perturbeùs: L’algorithme numeùrique des “par de geùants” RAIRO,
Analyse numeùrique 14 (1980), 3-23.
2. Caughey T., Ellison J., Existence,uniqueness and stability of solutions of a
class of nonlinear differential equations, J. Math. Analysis Applic. 51 (1975),
1-32.
3. Carrier C.F., On the vibration problem of elastic string., Q. J. Appl. Math., 3
(1945), 151-165 .
4. Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Sur un probleøme hyperbolique faiblement non-
lineùaire en dimension 1, Demonstratio Math., 16 (1983), 269-289 .
5. Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Nguyeãn Thaønh Long, Linear approximation and
asymptotic expansion associated to the nonlinear wave equation in one
dimension, Demonstratio Math., 19 (1986), 45-63.
6. Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Nguyeãn Thaønh Long, Traàn Ngoïc Dieãm, Linear
recursive schemes associated with the Kirchhoff-Carrier operator., (baøi gôûi
ñaêng).
7. Ebihara Y., Medeiros L.A. and Milla Miranda M., Local solutions for a
nonlinear degenerate hyperbolic equation., Nonlinear Anal.TMA., 10 (1986),
27-40.
8. Ficken F., Fleishman B., Initial value problems and time periodic solutions
for a nonlinear wave equation, Communs pure appl. Math., 10 (1957),
331-356.
9. Hosoya M. and Yamada Y., On some nonlinear wave equations I: local
existence and regularity of solutions., J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. IA, Math.,
38 (1991), 225-238 .
10. Ikehata R. and Okazawa N., A class of second order quasilinear evolution
equations., J. of Diff. Equat., 114 (1994), 106-131.
11. Lions J.L., Quelques meùthodes de reùsolution des probleømes aux limites
nonlineùaires., Dunod, Gauthier-Villars, Paris, 1969.
12. Lakshmikantham V., Leela S., Differential and integral inequalities, Vol.1.
Academic Press, New York, 1969.
13. Nguyeãn Thaønh Long, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, On the quasilinear wave
equation:
0 associated with a mixed nonhomogeneous , = − ( ) u u f uu
+
t
xx tt condition, Nonlinear Analysis, 19 (1992), 613-623.
14. Nguyeãn Thaønh Long, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, A semilinear wave equation
associated with a linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear
Analysis, 24 (1995), 1261-1279. 41 = − ) tt xx 15. Nguyeãn Thaønh Long, Traàn Ngoïc Dieãm, On the nonlinear wave equation
(
,, , , associated with the mixed homogeneous conditions,
u u f xtuu u
x t
Nonlinear Analysis, 29 (1997), 1217-1230.
16. Lan H.B., Thanh L.T., Long N.T., Cuong T.L., Bang N.T, Minh T.N., On the
nonlinear vibrations equation with a coefficient containing an integral.,Comp.
Maths. Math. Phys., 33 (1993), 1171-1178 .
17. Medeiros L.A., On some nonlinear perturbation of Kirchhoff-Carrier
operator., Comp. Appl. Math., 13 (1994), 225-233.
18. Pohozaev S.I., On a class of quasilinear hyperbolic equation., Math. U.S.
S.R.-Sb, 25 (1975), 145-158.
19. Rabinowitz P.H., Periodic solutions of nonlinear hyperbolic differential
equations, Communs pure appl. Math., 20 (1967), 145-205.
20. Raviart P.A., Thomas L.M., Introduction aø l’analyse numeùriques des
equations aux deùriveùes partielles. Masson, Paris, 1983. 21. Yamada Y., Some nonlinear degenerate wave equation., Nonlinear
Anal.TMA., 11 (1987), 1155-1168. Caùc baùo caùo ñaõ tham gia hoäi nghò 22. Nguyeãn Thaønh Long, Traàn Ngoïc Dieãm, On the nonlinear wave equation
associated with the mixed homogeneous conditions , Kyû yeáu hoäi nghò “Toái öu
vaø ñieàu khieån”, Qui Nhôn 27 - 1/6/1996, 6(1996), 76-82 ; Baùo caùo Hoäi thaûo
Toaùn hoïc Vieät - Phaùp, Thaønh phoá Hoà Chí Minh, toùm taét baùo caùo trang 35. 23. Döông Thò Thanh Bình, Traàn Ngoïc Dieãm, A non linear equations with
mixed boundary conditions, Baùo caùo Hoäi nghò Toaùn hoïc Vieät nam laàn 5, 17-
20/9/1997, toùm taét baùo caùo trang 7.∑
∑
∑0
]
)
[
( )
τ
]
