Luật yếu số lớn cho tổng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

37
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các định lý giới hạn, đặc biệt là các định lý về luật số lớn, đóng một vai trò vô cùng quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống kê Toán học. Bài viết đưa ra một dạng mở rộng cho luật yếu số lớn Kolmogorov – Feller cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm với điều kiện các biến ngẫu nhiên này bị chặn ngẫu nhiên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luật yếu số lớn cho tổng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm

Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 64 (06/2021) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh 1 LUẬT YẾU SỐ LỚN CHO TỔNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC CỘNG TÍNH TRÊN ÂM WEAK LAW OF LARGE NUMBERS FOR SUMS OF NEGATIVELY SUPERADDITIVE DEPENDENT RANDOM VARIABLES Võ Thị Vân Anh1, Nguyễn Lê Bảo Khuyên2 1 Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM, Việt Nam. 2 Trường Cao đẳng Y tế Kiên Giang, Việt Nam. Ngày toà soạn nhận bài 5/4/2021, ngày phản biện đánh giá 20/4/2021, ngày chấp nhận đăng 03/5/2021. TÓM TẮT [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] Các định lý giới hạn, đặc biệt là các định lý về luật số lớn, đóng một vai trò vô cùng quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống kê Toán học. Luật số lớn được Bernoulli thiết lập năm 1713 là nguồn gốc của lý thuyết xác suất hiện đại ngày nay mà dựa trên hệ tiên đề xác suất của Kolmogorov đưa ra vào năm 1933. Các kết quả nổi bật về luật số lớn thông thường có hai dạng là luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn. Trong số những thành tựu trên có thể kể đến định lý Kolmogorov cho các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối cũng như các kết quả khác của Khintchine, Feller, Birkhoff, Prohorov, Petrov, Martikainen, Gut và nhiều nhà nghiên cứu khác. Xu hướng chung của các bài báo là mở rộng các kết quả cổ điển bằng cách thay thế bởi các điều kiện phụ thuộc yếu hơn, chẳng hạn như phụ thuộc martingale, phụ thuộc Markov, m-phụ thuộc, m-phụ thuộc theo khối, phụ thuộc âm, liên kết âm và phụ thuộc cộng tính trên âm. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một dạng mở rộng cho luật yếu số lớn Kolmogorov – Feller cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm với điều kiện các biến ngẫu nhiên này bị chặn ngẫu nhiên. Từ khóa: phụ thuộc cộng tính trên âm; bị chặn ngẫu nhiên; luật số lớn; biến đổi đều; hội tụ theo xác suất. ABSTRACT The limit theorems, especially the theorems of the law of large numbers, play a very important role in the theory of probability and mathematical statistics. Law of the large number established by Bernoulli in 1713 was the origin of the modern probability theory based now on the solid axiomatic foundation proposed by Kolmogorov in 1933. There are a number of brilliant results concerning the law of large numbers in weak and strong forms. Among them one can mention, e.g., the Kolmogorov theorem for independent identically distributed random variables, the results by Khintchine, Feller, Birkhoff, Prohorov, Petrov, Martikainen, Gut and many other researchers. The general trend is to extend the classical results by analysis of dependent summands, such as martingale dependence, Markov dependence, m-dependence, blockwise m-dependence, negative quadrant dependence, negatively association, and negatively superadditive dependence. In this paper, we give a version of the Kolmogorov - Feller law of the large number for negatively superadditive dependent random variables and stochastically dominated random variables. Keywords: negatively superadditive dependent; stochastically dominated; law of large numbers; regularly varying; convergence in probability. yếu số lớn Kolmogorov – Feller, nghĩa là hai 1. GIỚI THIỆU mệnh đề sau là tương đương Cho  X , X n , n  1 là dãy các biến ngẫu (i) nP  X  n   0. nhiên độc lập cùng phân phối thỏa mãn luật
Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 64 (06/2021) 2 Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh 1 n thiệu trong [10] và một điều kiện mở rộng cho (ii)  X i  EX I  X  n   0 theo xác suất. n i 1 tính phụ thuộc âm được gọi là phụ thuộc cộng tính trên âm được trình bày trong [9]. Luật yếu số lớn Kolmogorov – Feller đã được nhiều tác giả chứng minh và mở rộng Định nghĩa 2. Ánh xạ  : n  được gọi (xem [1], [2], [3]). Trong luật yếu số lớn là cộng tính trên (superadditive) nếu với mọi Kolmogorov – Feller, điều kiện các biến x, y thuộc n thì ngẫu nhiên độc lập là rất mạnh. Vì thế, nhiều nhà toán học đã không ngừng thay thế điều   x  y    x  y    x    y. kiện độc lập bởi các điều kiện yếu hơn, trong đó chẳng hạn độc lập đôi một (pairwise independent) (xem [4]), phụ thuộc âm x  y   max{x1, y1}, max{x2 , y2}, ... , max{xn , yn} (negative quadrant dependent) (xem [5]), liên x  y   min{x1, y1},min{x2 , y2}, ... , min{xn , yn} kết âm (negatively associated) được đưa ra bởi Alam và Saxena (xem [6]) và được với x   x1, x2 , ... , xn  và y   y1, y2 , ... , yn  . nghiên cứu bởi Joag – Dev và Proschan (xem Định nghĩa 3. Dãy hữu hạn các biến ngẫu [7]) và Block (xem [8]). Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng điều kiện phụ thuộc cộng nhiên X1 , X 2 , ... , X n được gọi là phụ thuộc tính trên âm (negatively superadditive cộng tính trên âm nếu thỏa mãn dependent) (xem [9]). Hu [9] đưa ra ví dụ chỉ E  X1, X 2 , ... , X n   E Y1, Y2 , ... , Yn  , (2) ra rằng, điều kiện này rất yếu so với điều kiện liên kết âm. Trong bài báo này, chúng trong đó Y1 , Y2 , ... , Yn là các biến ngẫu nhiên tôi thiết lập luật yếu số lớn Kolmogorov – độc lập sao cho X i và Yi cùng phân phối với Feller cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm với điều kiện các biến ngẫu mọi i : 1  i  n và  là ánh xạ cộng tính nhiên bị chặn ngẫu nhiên. trên sao cho các kỳ vọng trong bất đẳng thức (2) là tồn tại. Định lý sau đây là kết quả chính của bài báo này. Định nghĩa 4. Dãy vô hạn các biến ngẫu nhiên  X i , i  1 được gọi là phụ thuộc cộng Định lý 1. Giả sử  X i , i  1 là dãy các biến tính trên âm nếu mọi tập con hữu hạn của ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X sao  X i , i  1 là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm. cho P  X  x  thuộc R V   ,   1. Tiếp theo chúng tôi trình bày khái niệm Khi đó, với các số thực không âm  ,  : hàm biến đổi đều và hàm biến đổi chậm (xem [11]). 1 0    ,   0 và lim 2 n   nP X  n    0 thì  Định nghĩa 5. Cho a thuộc , hàm số 1 k X i  EX i I  X i  n    0 U :  a,    0,  được gọi là biến đổi đều max 1 k  n n  i 1 i (regularly varying) bậc  , ký hiệu theo xác suất khi n  . (1) U R V   nếu mọi giá trị t dương thì 2. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ U  tx   lim t . Trước khi chứng minh kết quả chính, x  U  x  chúng tôi trình bày một số khái niệm và bổ đề phục vụ chứng minh Định lý 1. Đặc biệt, nếu   0 thì hàm số U được gọi là hàm biến đổi chậm (slowly varying), Đầu tiên chúng tôi sử dụng khái niệm ánh xạ cộng tính trên (superadditive) được giới ký hiệu U  SV.
Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 64 (06/2021) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh 3 Định nghĩa sau đây trình bày dãy các Bổ đề 10. Giả sử  là số thực dương thỏa biến ngẫu nhiên bị chặn ngẫu nhiên bởi một 1 biến ngẫu nhiên. mãn 0    . Khi đó, tồn tại hằng số C 2 Định nghĩa 6. Dãy các biến ngẫu nhiên dương sao cho bất đẳng thức sau được thỏa mãn  X i , i  1 được gọi là được gọi là bị chặn ngẫu nhiên (stochastically dominated) bởi n 1 biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số C i  i 1 2  Cn1 2 . dương sao cho Bổ đề kế tiếp là một kết quả nổi tiếng P  X n  x   CP  X  x  , của Karamata (xem [11]). Bổ đề 11. (Karamata) Giả sử f xác định với mọi x  0 và n  1. Hai bổ đề sau đây được sử dụng để trên  X ;  và f thuộc R V    . Khi đó, chứng minh Định lý 1 (xem [9]). với mọi       1 thì Bổ đề 7. Giả sử X1 , X 2 , ... , X n là các biến x 1 f  x  ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm và lim      1. x  x  t f  t  dt  f1 , f 2 , ... , f n là các hàm đơn điệu tăng. Khi X đó, f1  X1  , f2  X 2  , ... , f n  X n  là các biến Cuối cùng, chúng tôi đưa ra một bổ đề ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm. được sử dụng trực tiếp để chứng minh Định lý 1. Bổ đề 8. Giả sử X 1 , X 2 ,..., X n , n  2 là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm Bổ đề 12. Giả sử  X i , i  1 là dãy các biến khả tích bậc hai có kỳ vọng 0. Khi đó, với ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm bị mọi  dương thì chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X thỏa  k  8 n mãn P  X  x  thuộc R V    ,   1. Với P  max  X     2  Var X i .   i 1 i  1k n i 1 mỗi i : i  1 và các số thực không âm  ,  : Bổ đề tiếp theo là một tính chất cơ bản 0   1 ,   0 đặt của dãy các biến ngẫu nhiên bị chặn ngẫu 2 nhiên, chúng tôi lược bỏ chứng minh chi tiết. Bổ đề đã được chứng minh trong [12]. X i  n   I  X i  n    Bổ đề 9. Giả sử dãy các biến ngẫu nhiên  X i I  X i  n     n   I  X i  n    ,  X i , i  1 bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X . Khi đó, với mọi  dương và b  mi ,n  E X i I  X i  n    .  dương, tồn tại các hằng số dương C1 , C2 sao Khi đó, nếu lim nP  X  n     0 thì các cho các mệnh đề sau là đúng n  mệnh đề sau là đúng (i) E X n I  X n  b    1 k E X i  mi ,n C1E X I  X  b   b P  X  b  .   (i) lim max n  1 k  n n  i 1 i  0. (ii) E X n I  X n  b   C2 E X I  X  b  .  E X i I  X i  n      0.   n 1 Bổ đề sau đây là một kết quả đơn giản. (ii) lim  n  n i 1 i 
Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 64 (06/2021) 4 Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh (iii) lim 1 n  E X i 2 I  X i  n      0. (iii) Áp dụng Bổ đề 9, Bổ đề 10, Bổ đề 11, n  n 2   i 2 ta có   i 1 E X i 2 I  X i  n    P  Xi  n   0. n 1 (iv) lim n2  n   n2   i 1 i 2 n  i 1 i 2 1 n  E X i 2 I  X i  n      2 n  i 2 Chứng minh. i 1 (i) Áp dụng Bổ đề 10, ta có 1 n  C E X 2 I  X  n      2  i 2 1 k E X i  mi ,n n i 1 max  1 k  n n  i  n 2 P  X  n     n i 1 1 i 2  I  Xi  n  i 1     1 k E n  max 1 k  n n  i   Cn2 P  X  n     n 1 i 1 i 1 i 2 1 n  E n   I  X i  n      CnP  X  n     0.   n  i 1 i (iv) Ta có n P  X i  n     n  n P  X i  n    i 1 i n 2  i 2  Cn P  X  n    1 n i 1     Cn2 P  X  n     i 1 i n 1 i 2  Cn 2 P  X  n     2 n 1 i 1  CnP  X  n     0. i 1 i  CnP  X  n     0. Bổ đề được chứng minh. (ii) Áp dụng Bổ đề 9, Bổ đề 10, Bổ đề 11, ta có 3. KẾT QUẢ CHÍNH 1 n  E X i I  X i  n     n  i 1 i  3.1. Chứng minh Định lý 1 Với mỗi k  1, đặt,    C E  X I X  n     n   P X  n       1 n Sk   k X i  mi ,n , Sk   k X i  mi ,n .  n  i 1 i  i 1 i i 1 i   C E  X I X  n     n   P X  n       n 1 Khi đó, với mọi   0 , ta có  2   1  n   i 1 i P   max Sk      n 1 k  n  C E  X I X  n       CnP X  n      1    P  X i  n     P   max Sk    n     1 n i 1 n 1 k  n   CnP  X  n     0. : I1  I 2
Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 64 (06/2021) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh 5 với mãn P  X  x  thuộc R V   ,   1. Khi đó, với các số thực không âm  ,  : I1   P  X i  n     CnP  X  n     0, n i 1 1 0    ,   0 và lim nP  X  n     0 n  2 và thì k 1 Xi  1 I 2  P   max Sk     max 1 k  n n  i 0 n 1 k  n  i 1  k X m  theo xác suất, khi n  .  P  max  i  i ,n   n    1k n i 1 i  Chứng minh.   Với mọi   0, áp dụng Bổ đề 12 (ii), ta có   k X EX k E X i  mi ,n    P  max   i  i      n   k   1 k  n  i 1  1 Xi   i i 1 i    P  max   1 k  n n  i i 1     k X i  mi ,n  k X i  E X i  n   P  max  1     P  max  1k n  i   2   1 k  n n i 1 i 2  i 1  1 k mi ,n  P  max  1 k  n n  i    k E X i  mi ,n  n   i 1 2  P  max  1k n  i   2   i 1  1 k X i  mi ,n   P  max   i    I1,1  I1,2 .  1k n n i 1 2  1 n mi ,n  Từ Bổ đề 12 (i), ta có I1,2  0. Áp dụng  P  max       0. Bổ đề 7, Bổ đề 8, Bổ đề 13, ta có  1 k  n n i 1 i 2  X i  E X i  n  k Hệ quả được chứng minh. I1,1  P  max  1k n  i   2  Ví dụ 14. Giả sử  X i , i  1 là dãy các biến  i 1 ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm và bị   2 4 n E Xi chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X có  2 2  n  i 1 i 2 hàm phân phối  CnP  X  n    1  e  x  log x khi x  e, FX ( x )   0 khi x  e, C n  E X i 2 I  X i  n      0.  2 n  i 1 i 2 trong đó   1. Khi đó, với các số thực 1 không âm  ,  : 0    ,   0 sao cho Định lý được chứng minh. 2 3.2. Hệ quả và ví dụ  (   )  1  0 thì ta có luật yếu số lớn, Hệ quả 13. Giả sử  X i , i  1 là dãy các biến 1 k X i  E X i I  X i  n    ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm và bị max  1 k  n n  i 1 i 0 chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X thỏa theo xác suất, khi n  .
Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 64 (06/2021) 6 Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H. Naderi, P. Matuła, M. Amini, H. Ahmadzade, A version of the Kolmogorov–Feller weak law of large numbers for maximal weighted sums of random variables, Commun. Stat., Theory Methods 48 (2018), no. 21, p. 5414-5418. [2] V. V. Petrov, Limit theorems of probability theory – Sequences of independent random variables. Clarendon Press, (1995). [3] D. Yuan, X. Hu. A conditional version of the extended Kolmogrov-Feller weak law of large numbers, Statistics and Probability Letters, (2015) 97, 99–107. B. D. Choi, S. H. Sung, On convergence of  Sn  ESn  / n ,1  r  2 for pairwise 1/ r [4] independent variables, Bull. Korean Math. Soc. 22(1985), no.2, pp.79-82. [5] F. Ma, J. Li, T. Hou, Some limit theorems for weighted negative quadrant dependent random variables with infinite mean, Journal of Inequalities and Applications (2018). [6] K. Alam, K. M. L. Saxena, Positive dependence in multivariate distributions, Commun. Stat., Theory Methods 10 (1981), p. 1183-1196. [7] K. Joag-Dev, F. Proschan, Negative association of random variables with applications, Ann. Stat. 11 (1983), p. 286-295. [8] H. W. Block, T. H. Savits, M. Shaked, Some concepts of negative dependence, Ann. Probab. 10 (1982), p. 765-772. [9] T. Hu, Negatively superadditive dependence of random variables with applications, Chin. J. Appl. Probab. Stat. 16 (2000), no. 2, p. 133-144. [10] J. H. B. Kemperman, On the FKG - inequalities for measures on a partially ordered space, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 80 (1977), no. 4, 313–331. [11] N. H. Bingham, C. M. Goldie, J. L. Teugels, Regular variation, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 27, Cambridge University Press, 1987. [12] F. Ma, Y. Miao, J. Mu, A note on the weak law of large numbers of Kolmogorov and Feller, Indian Academy of Sciences (2020). Tác giả chịu trách nhiệm bài viết: Võ Thị Vân Anh Trường Đại học Sư Phạm Kỹ thuật Tp.HCM Email: anhvtv@hcmute.edu.vn