LƯỢNG GIÁC - CHƯƠNG 2

Chia sẻ: Nguyen Ngoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

278
lượt xem 125
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'lượng giác - chương 2', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: LƯỢNG GIÁC - CHƯƠNG 2

C höông 2: PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏ N G GIAÙ C CÔ BAÛ N ⎡ u = v + k2π sin u = sin v ⇔ ⎢ ⎣ u = π − v + k2π cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π π ⎧ ⎪u ≠ + kπ ( k, k ' ∈ Z ) tgu = tgv ⇔ ⎨ 2 ⎪u = v + k ' π ⎩ ⎧u ≠ kπ cot gu = cot gv ⇔ ⎨ ⎩u = v + k ' π π Ñ aë c bieä t : sin u = 0 ⇔ u = kπ cos u = 0 ⇔ u = + kπ 2 π + k2π ( k ∈ Z) cos u = 1 ⇔ u = k2π ( k ∈ Z ) sin u = 1 ⇔ u = 2 π cos u = −1 ⇔ u = π + k2π sin u = −1 ⇔ u = − + k2π 2 C huù yù : sin u ≠ 0 ⇔ cos u ≠ ±1 cos u ≠ 0 ⇔ sin u ≠ ±1 B aø i 28 : ( Ñeà thi tuyeå n sinh Ñaï i hoï c khoá i D, naê m 2002) Tìm x ∈ [ 0,14 ] n ghieä m ñuù ng phöông trình cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0 ( * ) T a coù (*) : ⇔ ( 4 cos3 x − 3 cos x ) − 4 ( 2 cos2 x − 1) + 3 cos x − 4 = 0 ⇔ 4 cos3 x − 8 cos2 x = 0 ⇔ 4 cos2 x ( cos x − 2 ) = 0 ⇔ cos x = 0 hay cos x = 2 ( loaïi vì cos x ≤ 1) π + kπ ( k ∈ Z ) ⇔ x= 2 π T a coù : x ∈ [ 0,14] ⇔ 0 ≤ + kπ ≤ 14 2 1 14 1 π π ⇔ − ≤ kπ ≤ 14 − ⇔ −0, 5 = − ≤ k ≤ − ≈ 3, 9 2 2 2 π2 ⎧ π 3π 5π 7π ⎫ M aø k ∈ Z n eâ n k ∈ {0,1, 2, 3} . Do ñoù : x ∈ ⎨ , , , ⎬ ⎩2 2 2 2 ⎭ B aø i 29 : ( Ñeà thi tuyeå n sinh Ñaï i hoï c khoá i D, naê m 2004) G iaû i phöông trình : ( 2 cos x − 1)( 2 sin x + cos x ) = sin 2x − sin x ( *)
T a coù (*) ⇔ ( 2 cos x − 1) ( 2 sin x + cos x ) = sin x ( 2 cos x − 1) ⇔ ( 2 cos x − 1) ⎡( 2 sin x + cos x ) − sin x ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⇔ ( 2 cos x − 1)( sin x + cos x ) = 0 1 ⇔ cos x = ∨ sin x = − cos x 2 π ⎛ π⎞ ⇔ cos x = cos ∨ tgx = −1 = tg ⎜ − ⎟ 3 ⎝ 4⎠ π π ⇔ x = ± + k2π ∨ x = − + kπ, ( k ∈ Z ) 3 4 B aø i 30 : G iaû i phöông trình cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0 (*) T a coù (*) ⇔ ( cos x + cos 4x ) + ( cos 2x + cos 3x ) = 0 5x 3x 5x x ⇔ 2 cos .cos + 2 cos .cos = 0 2 2 2 2 5x ⎛ 3x x⎞ 2 cos ⎜ cos + cos ⎟ = 0 ⇔ 2⎝ 2 2⎠ 5x x 4 cos cos x cos = 0 ⇔ 2 2 5x x cos = 0 ∨ cos x = 0 ∨ cos = 0 ⇔ 2 2 5x π xπ π = + kπ ∨ x = + kπ ∨ = + kπ ⇔ 2 2 2 22 π 2kπ π ∨ x = + kπ ∨ x = π + 2π, ( k ∈ Z ) x= + ⇔ 5 5 2 B aø i 31: G iaûi phöông trình sin 2 x + sin 2 3x = cos2 2x + cos2 4x ( * ) 1 1 1 1 (1 − cos 2x ) + (1 − cos 6x ) = (1 + cos 4x ) + (1 + cos 8x ) T a coù (*) ⇔ 2 2 2 2 ⇔ − ( cos 2x + cos 6x ) = cos 4x + cos 8x ⇔ −2 cos 4x cos 2x = 2 cos 6x cos 2x ⇔ 2 cos 2x ( cos 6x + cos 4x ) = 0 ⇔ 4 cos 2x cos 5x cos x = 0 ⇔ cos 2x = 0 ∨ cos 5x = 0 ∨ cos x = 0 π π π ⇔ 2x = + kπ ∨ 5x + kπ ∨ x = + kπ, k ∈ 2 2 2 π kπ π kπ π ∨ x = + kπ , k ∈ ⇔ x= + ∨x= + 4 2 10 5 2 B aø i 32 : C ho phöông trình ⎛π x⎞ 7 ( *) sin x.cos 4x − sin 2 2x = 4 sin 2 ⎜ − ⎟ − ⎝4 2⎠ 2 T ìm caù c nghieä m cuû a phöông trình thoû a : x − 1 < 3
1 ⎤7 ⎡ π (1 − cos 4x ) = 2 ⎢1 − cos ⎛ − x ⎞ ⎥ − T a coù : (*)⇔ sin x.cos 4x − ⎜ ⎟ 2 ⎝2 ⎠⎦ 2 ⎣ 11 3 sin x cos 4x − + cos 4x = − − 2sin x ⇔ 22 2 1 sin x cos 4x + cos 4x + 1 + 2sin x = 0 ⇔ 2 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ cos 4x ⎜ sin x + ⎟ + 2 ⎜ sin x + ⎟ = 0 ⇔ 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ 1⎞ ⎛ ( cos 4x + 2) ⎜ sin x + ⎟ = 0 ⇔ 2⎠ ⎝ π ⎡ ⎡cos 4x = −2 ( loaïi ) ⎢ x = − 6 + k 2π ⎢ ⇔ ⎢sin x = − 1 = sin ⎛ − π ⎞ ⇔ ⎢ ⎢ x = 7π + 2hπ ⎜ ⎟ ⎢ 2 ⎝ 6⎠ ⎣ ⎢ 6 ⎣ coù : x − 1 < 3 ⇔ −3 < x − 1 < 3 ⇔ −2 < x < 4 Ta π V aä y : −2 < − + k2π < 4 6 11 21 π π ⇔ − 2 < 2kπ < 4 + −
3 sin 4x = sin3 4x ⇔ 4 ⇔ 3sin 4x − 4 sin3 4x = 0 ⇔ s in12x = 0 kπ ( k ∈ Z) ⇔ 12x = kπ ⇔ x= 12 B aø i 34 : ( Ñeà thi tuyeå n sinh Ñaï i hoï c khoá i B, naê m 2002) G iaû i phöông trình : sin 2 3x − cos2 4x = sin 2 5x − cos2 6a ( * ) T a coù : (*)⇔ 1 1 1 1 (1 − cos 6x ) − (1 + cos 8x ) = (1 − cos10x ) − (1 + cos12x ) 2 2 2 2 ⇔ cos 6x + cos 8x = cos10x + cos12x ⇔ 2 cos7x cos x = 2 cos11x cos x ⇔ 2 cos x ( cos 7x − cos11x ) = 0 ⇔ cos x = 0 ∨ cos7x = cos11x π ⇔ x = + kπ ∨ 7x = ±11x + k 2π 2 kπ kπ π ⇔ x = + kπ ∨ x = − ∨x= ,k ∈ 2 2 9 B aø i 35 : G iaû i phöông trình ( sin x + sin 3x ) + sin 2x = ( cos x + cos 3x ) + cos 2x ⇔ 2 sin 2x cos x + sin 2x = 2 cos 2x cos x + cos 2x ⇔ sin 2x ( 2 cos x + 1) = cos 2x ( 2 cos x + 1) ⇔ ( 2 cos x + 1) ( sin 2x − cos 2x ) = 0 1 2π ⇔ cos x = −= cos ∨ sin 2x = cos 2x 2 3 2π π ⇔ x=± + k2π ∨ tg2x = 1 = tg 3 4 2π π π + k2π ∨ x = + k , ( k ∈ Z ) ⇔ x=± 3 8 2 B aø i 36: G iaû i phöông trình cos 10x + 2 cos2 4x + 6 cos 3x. cos x = cos x + 8 cos x. cos3 3x ( * ) T a coù : (*)⇔ cos10x + (1 + cos 8x ) = cos x + 2 cos x ( 4 cos3 3x − 3 cos 3x ) ⇔ ( cos10x + cos 8x ) + 1 = cos x + 2 cos x.cos 9x ⇔ 2 cos 9x cos x + 1 = cos x + 2 cos x.cos 9x ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k2π ( k ∈ Z ) B aø i 37 : G iaû i phöông trình
4 sin 3 x + 3 cos3 x − 3sin x − sin 2 x cos x = 0 ( * ) T a coù : (*) ⇔ sin x ( 4 sin 2 x − 3) − cos x ( sin 2 x − 3 cos2 x ) = 0 ⇔ sin x ( 4 sin 2 x − 3) − cos x ⎡sin 2 x − 3 (1 − sin 2 x ) ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⇔ ( 4 sin x − 3) ( sin x − cos x ) = 0 2 ⇔ ⎡ 2 (1 − cos 2x ) − 3⎤ ( sin x − cos x ) = 0 ⎣ ⎦ 1 2π ⎡ cos 2x = − = cos ⇔⎢ 2 3 ⎢ ⎣sin x = cos x π ⎡ 2π x = ± + kπ ⎡ ⎢ ⎢2x = ± 3 + k2π 3 ( k ∈ Z) ⇔ ⇔⎢ ⎢ ⎢ x = π + kπ ⎣ tgx = 1 ⎢ 4 ⎣ B aø i 38 : ( Ñeà thi tuyeå n sinh Ñaï i hoï c khoá i B naê m 2005) G iaû i phöông trình : sin x + cos x + 1 + sin 2x + cos 2x = 0 ( * ) T a coù : (*) ⇔ sin x + cos x + 2sin x cos x + 2 cos2 x = 0 ⇔ sin x + cos x + 2 cos x ( sin x + cos x ) = 0 ⇔ ( sin x + cos x ) (1 + 2 cos x ) = 0 ⎡sin x = − cos x ⇔⎢ ⎢cos 2x = − 1 = cos 2π 2 3 ⎣ ⎡ tgx = −1 ⇔⎢ ⎢ x = ± 2π + k 2π 3 ⎣ π ⎡ ⎢ x = − 4 + kπ ( k ∈ Z) ⇔⎢ ⎢ x = ± 2π + k2π ⎢ 3 ⎣ B aø i 39 : G iaû i phöông trình ( 2 sin x + 1)( 3 cos 4x + 2 sin x − 4 ) + 4 cos2 x = 3 ( *) T a coù : (*) ⇔ ( 2 sin x + 1) ( 3 cos 4x + 2 sin x − 4 ) + 4 (1 − sin 2 x ) − 3 = 0 ⇔ ( 2 sin x + 1)( 3 cos 4x + 2 sin x − 4 ) + (1 + 2 sin x ) (1 − 2 sin x ) = 0 ⇔ ( 2 sin x + 1) ⎡ 3 cos 4x + 2 sin x − 4 + (1 − 2 sin x ) ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⇔ 3 ( cos 4x − 1)( 2 sin x + 1) = 0 1 ⎛ π⎞ ⇔ cos 4x = 1 ∨ sin x = − = sin ⎜ − ⎟ 2 ⎝ 6⎠
7π π ⇔ 4x = k2π ∨ x = − + k2π ∨ x = + k2π 6 6 kπ 7π π + k2π, ( k ∈ Z) ⇔ x= ∨ x = − + k2π ∨ x = 2 6 6 B aø i 40: G iaû i phöông trình sin 6 x + cos6 x = 2 ( sin 8 x + cos8 x ) ( * ) T a coù : (*) ⇔ sin6 x − 2sin8 x + cos6 x − 2 cos8 x = 0 ⇔ sin 6 x (1 − 2 sin 2 x ) − cos6 x ( 2 cos2 x − 1) = 0 ⇔ sin6 x cos 2x − cos6 x. cos 2x = 0 ⇔ cos 2x ( sin 6 x − cos6 x ) = 0 ⇔ cos 2x = 0 ∨ sin6 x = cos6 x ⇔ cos 2x = 0 ∨ tg 6 x = 1 π ⇔ 2x = ( 2k + 1) ∨ tgx = ±1 2 π π ⇔ x = ( 2k + 1) ∨ x = ± + kπ 4 4 π kπ ⇔ x= + ,k ∈ 4 2 B aø i 41 : G iaû i phöông trình 1 ( *) cos x.cos 2x.cos 4x.cos 8x = 16 T a thaá y x = kπ k hoâ n g laø nghieä m cuû a (*) vì luù c ñoù cos x = ±1, cos 2x = cos 4x = cos 8x = 1 1 ( *) thaøn h : ±1 = v oâ nghieä m 16 Nhaâ n 2 veá cuû a (*) cho 16sin x ≠ 0 t a ñöôï c (*) ⇔ (16 sin x cos x ) cos 2x.cos 4x.cos 8x = sin x v aø sin x ≠ 0 ⇔ ( 8 sin 2x cos 2x ) cos 4x.cos 8x = sin x v aø sin x ≠ 0 ⇔ ( 4 sin 4x cos 4x ) cos 8x = sin x v aø sin x ≠ 0 ⇔ 2 sin 8x cos 8x = sin x v aø sin x ≠ 0 ⇔ sin16x = sin x v aø sin x ≠ 0 k2π π kπ , ( k ∈ Z) ⇔x = ∨x= + 15 17 17 D o : x = hπ khoâ n g laø nghieä m neâ n k ≠ 15m v aø 2k + 1 ≠ 17n ( n, m ∈ Z ) B aø i 42: G iaû i phöông trình 8cos ⎛ x + π⎞ = cos 3x ( * ) 3 ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ π π Ñ aët t = x + ⇔x=t− 3 3
T hì cos 3x = cos ( 3t − π ) = cos ( π − 3t ) = − cos 3t V aä y (*) thaø n h 8 cos3 t = − cos 3t ⇔ 8 cos3 t = −4 cos3 t + 3 cos t ⇔ 12 cos3 t − 3 cos t = 0 ⇔ 3 cos t ( 4 cos2 t − 1) = 0 ⇔ 3 cos t ⎡2 (1 + cos 2t ) − 1⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⇔ cos t ( 2 cos 2t + 1) = 0 1 2π ⇔ cos t = 0 ∨ cos 2t = − = cos 2 3 2π π ⇔ t = ( 2k + 1) ∨ 2t = ± + k2π 2 3 π π ⇔ t = + kπ ∨ t = ± + kπ 2 3 π M aø x = t − 3 2π π + kπ, ( vôùik ∈ Z ) V aä y (*) ⇔ x = + k2π ∨ x = kπ ∨ x = 6 3 G hi chuù : K hi giaû i caù c phöông trình löôï n g giaù c coù chöù a tgu, cotgu, coù aå n ôû maã u , hay chöù a caê n baä c chaü n ... ta phaû i ñaë t ñieà u kieä n ñeå phöông trình xaù c ñònh. Ta seõ duø n g caù c caù c h sau ñaâ y ñeå kieå m tra ñieà u kieä n xem coù nhaä n nghieä m hay khoâ n g. + Thay caùc giaù trò x tìm ñöôï c vaø o ñieà u kieä n thöû laï i xem coù thoû a Hoaë c + Bieå u dieã n caù c ngoï n cung ñieà u kieä n vaø caù c ngoï n cung tìm ñöôïc treâ n cuø n g moä t ñöôø n g troø n löôï n g giaù c . Ta seõ loaï i boû ngoï n cung cuû a nghieä m khi coù truø n g vôù i ngoï n cung cuû a ñieà u kieä n . Hoaë c + So vôi caù c ñieà u kieä n trong quaù trình giaûi phöông trình. B aø i 43 : G iaû i phöông trình tg 2 x − tgx.tg3x = 2 ( * ) π hπ ⎧cos x ≠ 0 ⇔ cos3x ≠ 0 ⇔ x ≠ + Ñ ieà u kieä n ⎨ 6 3 ⎩cos 3x = 4 cos x − 3 cos x ≠ 0 3 L uù c ñoù ta coù (*) ⇔ tgx ( tgx − tg3x ) = 2 sin x ⎛ sin x sin 3x ⎞ ⎟=2 ⇔ − ⎜ cos x ⎝ cos x cos 3x ⎠ ⇔ sin x ( sin x cos 3x − cos x sin 3x ) = 2 cos2 x cos 3x ⇔ sin x sin ( −2x ) = 2 cos2 x. cos 3x ⇔ −2 sin2 x cos x = 2 cos2 x cos 3x ⇔ − sin2 x = cos x cos 3x ( do cos x ≠ 0 ) 1 1 ⇔ − (1 − cos 2x ) = ( cos 4x + cos 2x ) 2 2 ⇔ cos 4x = −1 ⇔ 4x = π + k2π
π kπ ( k ∈ Z) ⇔x = + 4 2 s o vôù i ñieà u kieä n π kπ ⎛ 3π 3kπ ⎞ 2 ≠ 0 ( nhaän ) Caù c h 1 : Khi x = + t hì cos 3x = cos ⎜ + ⎟=± 4 2 ⎝4 2⎠ 2 C aù c h 2 : Bieå u dieã n caù c ngoï n cung ñieà u kieä n vaø ngoï n cung nghieä m ta thaá y khoâ n g coù ngoï n cung naø o truø n g nhau. Do ñoù : π kπ (*) ⇔ x = + 4 2 L öu yù caù c h 2 raá t maá t thôøi gian Caù c h 3 : 3π 3kπ π Neá u 3x = = + hπ + 4 2 2 T hì 3 + 6k = 2 + 4h ⇔ 1 = 4h − 6k 1 ⇔ = 2h − 3k ( voâ lyù vì k, h ∈ Z ) 2 B aø i 44: G iaûi phöông trình 11 ( *) tg 2 x + cot g 2 x + cot g 2 2x = 3 ⎧cos x ≠ 0 ⎪ Ñ ieà u kieä n ⎨sin x ≠ 0 ⇔ sin 2x ≠ 0 ⎪sin 2x ≠ 0 ⎩ Do ñoù : ⎛1 ⎞⎛1 ⎞⎛ 1 ⎞ 11 − 1⎟ + ⎜ − 1⎟ + ⎜ − 1⎟ = (*) ⇔ ⎜ ⎝ cos x ⎠ ⎝ sin x ⎠ ⎝ sin 2x 3 2 2 2 ⎠ 1 1 1 20 + + = ⇔ cos x sin x 4 sin x cos x 3 2 2 2 2 4 sin x + 4 cos x + 1 20 2 2 = ⇔ 4 sin2 x cos2 x 3 5 20 = ⇔ sin2 2x 3 3 ⇔ sin2 2x = ( nhaä n do sin2x ≠ 0 ) 4 1 3 ⇔ (1 − cos 4x ) = 2 4 1 2π ⇔ cos 4x = − = cos 2 3 2π ⇔ 4x = ± + k2π 3 π kπ ( k ∈ Z) ⇔x = ± + 6 2
2 C huù yù : Coù theå deã daø n g chöù n g minh : tgx + cot gx = sin 2x ⎞ 11 ⎛1 V aä y (*) ⇔ ( tgx + cot gx ) − 2 + ⎜ 2 − 1⎟ = ⎝ sin x 3 2 ⎠ 5 20 = ⇔ sin 2x 3 2 B aø i 45 : ( Ñeà thi tuyeå n sinh Ñaï i hoï c khoá i D, naê m 2003) G iaû i phöông trình ⎛x π⎞ x sin 2 ⎜ − ⎟ tg 2 x − cos2 = 0 ( *) ⎝2 4⎠ 2 Ñ ieà u kieä n : cos x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ±1 luù c ñoù : 1⎡ π ⎞ ⎤ sin 2 x 1 ⎛ − [1 + cos x ] = 0 (*) ⇔ ⎢1 − cos ⎜ x − ⎟ ⎥ 2⎣ 2 ⎠ ⎦ cos2 x 2 ⎝ (1 − sin x ) (1 − cos2 x ) − (1 + cos x ) = 0 ⇔ 1 − sin 2 x 1 − cos2 x − (1 + cos x ) = 0 ⇔ 1 + sin x ⎡ 1 − cos x ⎤ ⇔ (1 + cos x ) ⎢ − 1⎥ = 0 ⎣ 1 + sin x ⎦ ⇔ (1 + cos x ) ( − cos x − sin x ) = 0 ⎡cos x = −1 ( nhaändo cos x ≠ 0 ) ⇔⎢ ⎣ tgx = −1 ⎡ x = π + k2π ⇔⎢ ⎢ x = − π + kπ 4 ⎣ B aø i 46 : G iaû i phöông trình sin 2x ( cot gx + tg2x ) = 4 cos2 x ( * ) ⎧cos x ≠ ±1 ⎧sin x ≠ 0 ⎧sin x ≠ 0 ⎪ Ñ ieà u kieä n : ⎨ ⇔ ⇔ ⎨ 2 ⎨ ⎩cos 2x ≠ 0 ⎩2 cos x − 1 ≠ 0 2 ⎪cos x ≠ ± 2 ⎩ cos x sin 2x T a coù : cot gx + tg2x = + sin x cos 2x cos 2x cos x + sin 2x sin x = sin x cos 2x cos x = sin x cos 2x cos x ⎛ ⎞ L uù c ñoù : (*) ⇔ 2 sin x cos x ⎜ ⎟ = 4 cos x 2 ⎝ sin x cos 2x ⎠
2 cos2 x = 4 cos2 x ( Do sin x ≠ 0 ) ⇔ cos 2x ⎡ ⎛ ⎞ 2 ⎡cos x = 0 ⎢cos x = 0 ⎜ Nhaän do cos x ≠ vaø ≠ ±1 ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⇔⎢ 1 ⇔⎢ ⎝ ⎠ ⎢ =2 ⎢ 1 π ⎣ cos 2x ⎢cos 2x = = cos , ( nhaän do sin x ≠ 0) 2 3 ⎣ π ⎡ ⎢ x = 2 + kπ ( k ∈ Z) ⇔⎢ ⎢ x = ± π + kπ ⎢ 6 ⎣ B aø i 47 : G iaû i phöông trình: cot g 2 x − tg 2 x = 16 (1 + cos 4x ) cos 2x cos2 x sin 2 x T a coù : cot g 2 x − tg 2 x = − sin2 x cos2 x cos4 x − sin4 x 4 cos 2x = = sin2 x cos2 x sin2 2x ⎧sin 2x ≠ 0 ⇔ sin 4x ≠ 0 Ñ ieà u kieä n : ⎨ ⎩cos 2x ≠ 0 4 = 16 (1 + cos 4x ) L uù c ñoù (*) ⇔ sin2 2x ⇔ 1 = 4 (1 + cos 4x ) sin2 2x ⇔ 1 = 2 (1 + cos 4x ) (1 − cos 4x ) ( ) ⇔ 1 = 2 1 − cos2 4x = 2 sin 2 4x 1 ( nhaän do sin 4x ≠ 0) ⇔ sin2 4x = 2 1 1 ⇔ (1 − cos 8x ) = 2 2 π kπ ⇔ cos 8x = 0 ⇔ x = ,k ∈ + 16 8 7 π⎞ ⎛π ⎛ ⎞ cot g ⎜ x + ⎟ cot g ⎜ − x ⎟ ( *) B aø i 48 : Giaûi phöông trình: sin 4 x + cos4 x = 8 3⎠ ⎝6 ⎝ ⎠ ⎧ ⎧ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎪sin ⎜ x + 3 ⎟ ≠ 0 ⎪sin ⎜ x + ⎟≠0 3⎠ 2π ⎞ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎛ ⇔ sin ⎜ 2x + ⎟≠0 Ñ ieà u kieä n ⎨ ⇔ ⎨ 3⎠ ⎪sin ⎛ π − x ⎞ ≠ 0 π⎞ ⎝ ⎪cos ⎛ x + ⎟≠0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎪ ⎪ ⎝6 3⎠ ⎠ ⎝ ⎩ ⎩
1 3 ⇔ − sin 2x + cos 2x ≠ 0 2 2 ⇔ tg2x ≠ 3 1 ( ) 2 T a coù : sin4 x + cos4 x = sin2 x + cos2 x − 2sin2 x.cos2 x = 1 − sin2 2x 2 π⎞ ⎛π π⎞ ⎛π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ V aø : cot g ⎜ x + ⎟ .cot g ⎜ − x ⎟ = cot g ⎜ x + ⎟ .tg ⎜ + x ⎟ = 1 3⎠ ⎝6 3⎠ ⎝3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 7 L uù c ñoù : (*) ⇔ 1 − sin2 2x = 2 8 1 1 ⇔ − (1 − cos 4x ) = − 4 8 1 ⇔ cos 4x = 2 π kπ π ⇔ 4x = ± + k2π ⇔ x = ± + 3 12 2 3 ( nhaä n do tg2x = ± ≠ 3) 3 1 ( *) Baø i 49: Giaû i phöông trình 2tgx + cot g2x = 2 sin 2x + sin 2x ⎧cos 2x ≠ 0 ⇔ sin 2x ≠ 0 ⇔ cos 2x ≠ ±1 Ñ ieà u kieä n : ⎨ ⎩sin 2x ≠ 0 2 sin x cos 2x 1 = 2 sin 2x + L uù c ñoù : (*) ⇔ + cos x sin 2x sin 2x ⇔ 4 sin x + cos 2x = 2 sin 2x + 1 2 2 ( ) ⇔ 4 sin2 x + 1 − 2 sin 2 x = 8 sin2 x cos2 x + 1 ( ) ⇔ 2 sin2 x 1 − 4 cos2 x = 0 ⇔ 2 sin2 x ⎡1 − 2 (1 + cos 2x ) ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⎡sin x = 0 ( loaïi do sin 2x ≠ 0 ⇒ sin x ≠ 0 ) ⇔⎢ ⎢cos 2x = − 1 = cos 2π ( nhaän do cos 2x ≠ ±1) ⎢ 2 3 ⎣ 2π + k2π ( k ∈ Z ) ⇔ 2x = ± 3 π ⇔ x = ± + kπ, k ∈ 3 3 ( sin x + tgx ) − 2 (1 + cos x ) = 0 ( *) B aø i 51: Giaû i phöông trình: tgx − sin x
sin x Ñ ieà u kieä n : tgx − sin x ≠ 0 ⇔ − sin x ≠ 0 cos x ⎧sin x ≠ 0 sin x (1 − cos x ) ⎪ ≠ 0 ⇔ ⎨cos x ≠ 0 ⇔ sin 2x ≠ 0 ⇔ cos x ⎪cos x ≠ 1 ⎩ 3 ( sin x + tgx ) .cot gx − 2 (1 + cos x ) = 0 L uù c ñoù (*)⇔ ( tgx − sin x ) .cot gx 3 ( cos x + 1) − 2 (1 + cos x ) = 0 ⇔ (1 − cos x ) 3 − 2 = 0 ( do sin x ≠ 0 neân cos x + 1 ≠ 0) ⇔ 1 − cos x ⇔ 1 + 2 cos x = 0 1 ⇔ cos x = − ( nhaä n so vôù i ñieà u kieä n ) 2 2π ⇔ x=± + k2π, k ∈ 3 B aø i 52 : G iaû i phöông trình 2 2 (1 − cos x ) + (1 + cos x ) − tg 2 x sin x = 1 1 + sin x + tg 2 x * ( ) () 4 (1 − sin x ) 2 ⎧cos x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ 0 Ñ ieà u kieä n : ⎨ ⎩sin x ≠ 1 2 (1 + cos2 x ) sin 3 x 1 sin 2 x = (1 + sin x ) + L uù c ñoù (*)⇔ − 4 (1 − sin x ) 1 − sin 2 x 2 1 − sin 2 x ⇔ (1 + cos2 x ) (1 + sin x ) − 2 sin 3 x = (1 + sin x ) (1 − sin 2 x ) + 2 sin 2 x ⇔ (1 + sinx ) (1 + cos2 x ) = (1 + sin x ) cos2 x + 2 sin 2 x (1 + sin x ) ⎡1 + sin x = 0 ⇔⎢ ⎣1 + cos x = cos x + 2 sin x 2 2 2 ⎡sin x = −1 ( loaïi do cos x ≠ 0 ) ⇔ c os2x = 0 ⇔⎢ ⎣1 = 1 − cos 2x π ⇔ 2x = + kπ 2 π π ⇔ x = + k ( nhaä n do cosx ≠ 0 ) 4 2 B aø i 53 : G iaû i phöông trình cos 3x.tg5x = sin 7x ( * ) Ñ ieà u kieä n cos 5x ≠ 0 sin 5x Luù c ñoù : (*) ⇔ cos 3x. = sin 7x cos 5x
⇔ sin 5x.cos 3x = sin 7x.cos 5x 1 1 ⇔ [sin 8x + sin 2x ] = [sin12x + sin 2x ] 2 2 ⇔ sin 8x = sin12x ⇔ 12x = 8x + k2π ∨ 12x = π − 8x + k2π kπ π kπ ⇔x = ∨ x= + 2 20 10 S o laï i vôù i ñieà u kieä n kπ 5kπ kπ x= thì cos 5x = cos = cos ( loaï i neá u k leû ) 2 2 2 kπ ⎛ π kπ ⎞ π x= thì cos 5x = cos ⎜ + ⎟ ≠ 0 nhaän + ⎝4 2⎠ 20 10 π kπ Do ñoù : (*)⇔ x = hπ ∨ x = , v ôù i k, h ∈ + 20 10 B aø i 54 : G iaû i phöông trình sin4 x + cos4 x 1 = ( tgx + cot g2x ) ( *) sin 2x 2 Ñieà u kieä n : sin 2x ≠ 0 Ta coù : sin 4 x + cos4 x = ( sin 2 x + cos2 x ) − 2 sin 2 x cos2 x 2 1 =1− sin2 2x 2 sin x cos 2x tgx + cot g2x = + cos x sin 2x sin 2x sin x + cos x cos 2x = cos x sin 2x cos ( 2x − x ) 1 = = cos x sin 2x sin 2x 1 1 − sin 2 2x 1 2 Do ñoù : (*) ⇔ = sin 2x 2 sin 2x 1 1 ⇔ 1 − sin 2 2x = 2 2 ⇔ sin 2x = 1 ( nhaän do sin 2x ≠ 0 ) 2 ⇔ cos2 2x = 0 π ⇔ 2x = + kπ, k ∈ 2 π kπ ⇔x = + ,k ∈ 4 2 B aø i 55 : G iaû i phöông trình tg 2 x.cot g 2 2x.cot g3x = tg 2 x − cot g 2 2x + cot g3x ( * ) Ñ ieà u kieä n : cos x ≠ 0 ∧ sin 2x ≠ 0 ∧ sin 3x ≠ 0
⇔ sin 2x ≠ 0 ∧ sin 3x ≠ 0 Luùc ñoù (*) ⇔ cotg3x ( tg 2 x cot g 2 2x − 1) = tg 2 x − cot g 2 2x ⎡⎛ 1 − cos 2x ⎞ ⎛ 1 + cos 4x ⎞ ⎤ 1 − cos 2x 1 + cos 4x ⇔ cot g3x ⎢⎜ ⎟ − 1⎥ = − ⎟⎜ ⎣⎝ 1 + cos 2x ⎠ ⎝ 1 − cos 4x ⎠ ⎦ 1 + cos 2x 1 − cos 4x ⇔ cot g3x ⎡(1 − cos 2x ) (1 + cos 4x ) − (1 + cos 2x ) (1 − cos 4x ) ⎤ ⎣ ⎦ = (1 − cos 2x )(1 − cos 4x ) − (1 + cos 4x )(1 + cos 2x ) ⇔ cot g3x [ 2 cos 4x − 2 cos 2x ] = −2 ( cos 4x + cos 2x ) cos 3x [ −4 sin 3x sin x] = −4 cos 3x cos x ⇔ sin 3x ( do sin 3x ≠ 0) ⇔ cos 3x sin x = cos 3x cos x ⇔ cos 3x = 0 ∨ sin x = cos x π ⇔ 3x = + kπ ∨ tgx = 1 2 π kπ π ∨ x = + lπ ( k, l ∈ Z ) ⇔x= + 6 3 4 So vôù i ñ ieà u kieä n : sin 2x.sin 3x ≠ 0 π kπ ⎛ π 2kπ ⎞ ⎛π ⎞ * K hi x = + t hì sin ⎜ + ⎟ .sin ⎜ + kπ ⎟ ≠ 0 6 3 ⎝3 3⎠ ⎝2 ⎠ ⎛ 1 + 2k ⎞ ⇔ sin ⎜ ⎟π ≠ 0 ⎝3⎠ L uoâ n ñuù n g ∀ k thoûa 2k + 1 ≠ 3m ( m ∈ Z ) ⎛ 3π 2 π ⎛π ⎞ ⎞ * Khi x = + lπ t hì sin ⎜ + 2lπ ⎟ sin ⎜ + 3lπ ⎟ = ± ≠0 4 ⎝2 ⎝4 2 ⎠ ⎠ luoâ n ñuù n g π kπ ⎡ ⎢ x = 6 + 3 , k ∈ Z ∧ 2k ≠ 3m − 1 ( m ∈ ) Do ñoù : (*) ⇔ ⎢ ⎢ x = π + lπ, l ∈ ⎢ 4 ⎣ Caù c h khaù c: (*) ⇔ cotg3x ( tg 2 x cot g 2 2x − 1) = tg 2 x − cot g 2 2x tg 2 x − cot g 2 2x tg 2 2x.tg 2 x − 1 ⇔ cot g3x = = tg 2 x cot g 2 2x − 1 tg 2 x − tg 2 2x (1 + tg2x.tgx ) (1 − tg2x.tgx ) ⇔ cot g3x = (tg2x − tgx) ( tg2x + tgx) ⇔ cot g3x = cot gx. cotg3x ⇔ cos 3x = 0 ∨ sin x = cos x BAØI TAÄP
⎛π ⎞ Tìm caù c nghieä m treâ n ⎜ , 3π ⎟ cuû a phöông trình: 1. ⎝3 ⎠ 5π ⎞ 7π ⎞ ⎛ ⎛ sin ⎜ 2x + ⎟ − 3 cos ⎜ x − ⎟ = 1 + 2 sin x 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ ⎛ π⎞ Tìm caù c nghieä m x treâ n ⎜ 0, ⎟ c uû a phöông trình 2. ⎝ 2⎠ sin 4 x − cos 6x = sin (10, 5π + 10x ) 2 2 3. Giaû i caù c phöông trình sau: ( ) a / sin 3 x + cos3 x = 2 sin5 x + cos5 x sin x + sin 2x + sin 3x =3 b/ cos x + cos 2x + cos 3x 1 + cos x c / tg 2 x = 1 − sin x d / tg2x − tg3x − tg5x = tg2x.tg3x.tg5x 4 e / cos x = cos2 x 3 1 1 π⎞ ⎛ f / 2 2 sin ⎜ x + ⎟ = + 4 ⎠ sin x cos x ⎝ 2 i / 2tgx + cot g2x = 3 + sin 2x 2 h / 3tg3x + cot g2x = 2tgx + sin 4x 2 2 2 k / sin x + sin 2x + sin 3x = 2 sin 2x + 2 cos x = 0 l/ 1 + sin x 25 − 4x 2 ( 3sin 2πx + 8 sin πx ) = 0 m/ sin x.cot g5x =1 n/ cos 9x 2 o / 3tg6x − = 2tg2x − cot g4x sin 8x ( ) p / 2 sin 3x 1 − 4 sin 2 x = 1 1 + cos x q / tg 2 x = 1 − sin x 2 r / cos3 x cos 3x + sin 3 x sin 3x = 4 ⎛x⎞ ⎛x⎞ 5 s / sin4 ⎜ ⎟ + cos4 ⎜ ⎟ = ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 8 t / cos x − 4 sin x − 3 cos x sin2 x + sin x = 0 3 3 x x u / sin4 + cos4 = 1 − 2sin x 2 2
π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ v / sin ⎜ 3x − ⎟ = sin 2x.sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ ( 2 − sin x ) sin 3x 2 4 w / tg x + 1 = cos4 x x ⎛ ⎞ y / tgx + cos x − cos2 x = sin x ⎜ 1 + tg tgx ⎟ 2 ⎝ ⎠ Cho phöông trình: ( 2 sin x − 1) ( 2 cos 2x + 2 sin x + m ) = 3 − 4 cos2 x (1) 4. a / Giaû i phöông trình khi m = 1 b / Tìm m ñeå (1) coù ñuù n g 2 nghieä m treâ n [ 0, π ] ( ÑS: m = 0 ∨ m < −1 ∨ m > 3 ) 5. Cho phöông trình: 4 cos5 x sin x − 4 sin5 x.cos x = sin2 4x + m (1) B ieá t raè n g x = π l aø moä t nghieä m cuû a (1). Haõ y giaû i phöông trình trong tröôø n g hôï p ñoù . Th.S Phạm Hồ ng Danh T T luy ệ n thi Đ ạ i h ọ c CLC V ĩ nh Vi ễ n