LƯỢNG GIÁC - CHƯƠNG 5

Chia sẻ: Nguyen Ngoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

225
lượt xem 104
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'lượng giác - chương 5', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: LƯỢNG GIÁC - CHƯƠNG 5

CHÖÔNGV PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG THEO SINX, COSX a ( sin x + cos x ) + b sin x cos x = c (1) C aù c h giaû i Ñ aët t = sin x + cos x vôùi ñieàu kieän t ≤ 2 π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ T hì t = 2 sin ⎜ x + ⎟ = 2 cos ⎜ x − ⎟ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ T a coù : t 2 = 1 + 2 sin x cos x neân (1) thaønh b2 ( ) at + t −1 = c 2 ⇔ bt 2 + 2at − b − 2c = 0 G iaû i (2) tìm ñöôïc t, roà i so vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 π⎞ ⎛ 2 sin ⎜ x + ⎟ = t t a tìm ñöôï c x g iaû i phöông trình 4⎠ ⎝ Baø i 106 : G iaû i phöông trình sin x + sin2 x + cos3 x = 0 ( *) ( ) ( *) ⇔ sin x (1 + sin x ) + cos x 1 − sin2 x = 0 ⇔ (1 + sin x ) = 0 hay sin x + cos x (1 − sin x ) = 0 (1 ) ⎡sin x = −1 ⇔⎢ ⎢sin x + cos x − sin x cos x = 0 ( 2 ) ⎣ π • (1) ⇔ x = − + k2π ( k ∈ Z ) 2 π⎞ ⎛ •Xeùt ( 2 ) : ñaët t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ ñieàu kieän t ≤ 2 thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x t2 − 1 V aä y (2) thaø n h t − =0 2 ⇔ t 2 − 2t − 1 = 0 ⎡t = 1 − 2 ⇔⎢ ⎢ t = 1 + 2 ( loaïi ) ⎣ π⎞ ⎛ D o ñoù ( 2 ) ⇔ 2 cos ⎜ x − ⎟ = 1 − 2 4⎠ ⎝
2 π⎞ ⎛ ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = − 1 = cos ϕ vôùi 0 < ϕ < 2π 4⎠ 2 ⎝ 2 π ⇔ x− = ±ϕ + h2π, h ∈ , vôùi cos ϕ = −1 4 2 2 π ⇔ x = ± ϕ + h2π, h ∈ , vôùi cos ϕ = −1 4 2 3 sin 2x ( *) B aø i 107 : G iaû i phöông trình −1 + sin 3 x + cos3 x = 2 3 ( *) ⇔ −1 + ( sin x + cos x )(1 − sin x cos x ) = sin 2x 2 π⎞ ⎛ Ñ aët t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ V ôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 T hì t2 = 1 + 2sin x cos x t2 − 1 ⎞ 3 2 ⎛ ( ) Vaä y (*) thaø n h : −1 + t ⎜ 1 − t −1 ⎟= ⎜ 2⎟2 ⎝ ⎠ ( ) ( ) ⇔ −2 + t 3 − t 2 = 3 t 2 − 1 ⇔ t 3 + 3t 2 − 3t − 1 = 0 ( ) ⇔ ( t − 1) t 2 + 4t + 1 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = −2 + 3 ∨ t = −2 − 3 ( loaïi ) 1 π⎞ π ⎛ v ôùi t = 1 thì sin ⎜ x + ⎟ = = sin 4⎠ 4 2 ⎝ π 3π ππ ⇔ x + = = k2π ∨ x + = + k2π, k ∈ 44 4 4 π ⇔ x = k2π ∨ x = + k2π , k ∈ 2 3−2 π⎞ ⎛ v ôù i t = 3 − 2 thì sin ⎜ x + ⎟ = = sin ϕ 4⎠ 2 ⎝ 3−2 π π ⇔ x+ = ϕ + m2π ∨ x + = π − ϕ + m2π, m ∈ , vôùi = sin ϕ 4 4 2 3π 3−2 π ⇔ x =ϕ− + m2π ∨ x = − ϕ + m2π, m ∈ , vôùi = sin ϕ 4 4 2 2 ( sin x + cos x ) = tgx + cot gx ( *) B aø i 108 : Giaû i phöông trình ⎧sin x ≠ 0 ⇔ sin 2x ≠ 0 Ñ ieà u kieä n ⎨ ⎩cos x ≠ 0 sin x cos x Luù c ñoù (*) ⇔ 2 ( sin x + cos x ) = + cos x sin x
sin2 x + cos2 x 1 ⇔ 2 ( sin x + cos x ) = = sin x cos x sin x cos x π⎞ ⎛ Ñ aët t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ T hì t 2 = 1 + 2 sin x cos x vôùi t ≤ 2 vaø t 2 ≠ 1 2 2t = ( *) thaøn h 2 t −1 3 ⇔ 2t − 2t − 2 = 0 ( Hieå n nhieâ n t = ±1 k hoâ n g laø nghieä m ) ( )( ) 2t 2 + 2t + 2 = 0 ⇔ t− 2 ⎡t = 2 ⇔⎢2 ⎢ t + 2t + 1 = 0 ( voâ nghieäm ) ⎣ π⎞ ⎛ V aä y ( *) ⇔ 2 sin ⎜ x + ⎟ = 2 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ ⇔ sin ⎜ x + ⎟ = 1 4⎠ ⎝ ππ ⇔ x + = + k2π, k ∈ 42 π ⇔ x = + k2π, k ∈ 4 B aø i 109 : G iaû i phöông trình 3 ( cot gx − cos x ) − 5 ( tgx − sin x ) = 2 ( *) V ôù i ñieà u kieä n sin 2x ≠ 0 , nhaâ n 2 veá phöông trình cho sinxcosx ≠ 0 thì : ( *) ⇔ 3 cos2 x (1 − sin x ) − 5 sin2 x (1 − cos x ) = 2 sin x cos x ⇔ 3 cos2 x (1 − sin x ) − 5 sin2 x (1 − cos x ) = 5 sin x cos x − 3 sin x cos x ⇔ 3 cos x ⎡cos x (1 − sin x ) + sin x ⎤ − 5 sin x ⎡sin x (1 − cos x ) + cos x ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⇔ 3 cos x ( cos x − sin x cos x + sin x ) − 5 sin x ( sin x − sin x cos x + cos x ) = 0 ⎡sin x + cos x − sin x cos x = 0 (1) ⇔⎢ ( 2) ⎢3 cos x − 5 sin x = 0 ⎣ ( G hi chuù : A .B + A.C = A.D ⇔ A = 0 h ay B + C = D ) π⎞ ⎛ G iaû i (1) Ñaë t t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ T hì t2 = 1 + 2sin x cos x vôù i ñieà u kieä n : t ≤ 2 vaø t ≠ ±1 t2 − 1 = 0 ⇔ t 2 − 2t − 1 = 0 ( 1) thaøn h : t − 2 ( ) ⎡ t = 1 + 2 loaïi do t ≤ 2 ⇔⎢ ⎢ t = 1 − 2 ( nhaän so vôùi ñieàu kieän ) ⎣
π⎞ 1− 2 ⎛ = sin α ( 0 < α < 2π ) V aä y sin ⎜ x + ⎟ = 4⎠ 2 ⎝ π π ⎡ ⎡ x + = α + k2π x = α − + k2π ⎢ ⎢ 4 4 ⇔⎢ ⇔⎢ 3π π ⎢ x + = π − α + k2π, k ∈ ⎢x = − α + k2π, k ∈ ⎢ ⎢ 4 4 ⎣ ⎣ 3 ( 2) ⇔ tgx = = tgβ ⇔ x = β + hπ, h ∈ ( vôùi 0 < β < π ) 5 B aø i 110 : G iaû i phöông trình 3 (1 + sin x ) ⎛π x⎞ = 8 cos2 ⎜ − ⎟ ( *) 3tg3 x − tgx + ⎝4 2⎠ cos x 2 Ñ ieà u kieä n : cos x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ±1 ⎡ ⎞⎤ ⎛π ( ) ( ) Luù c ñoù : (*) ⇔ tgx 3tg 2 x − 1 + 3 (1 + sin x ) 1 + tg 2 x = 4 ⎢1 + cos ⎜ − x ⎟ ⎥ ⎝2 ⎠⎦ ⎣ = 4 (1 + sin x ) ⇔ tgx ( 3tg2 x − 1) + (1 + sin x ) ⎡3 (1 + tg2 x ) − 4 ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⇔ ( 3tg 2 x − 1) ( tgx + 1 + sin x ) = 0 ⇔ ( 3tg 2 x − 1) ( sin x + cos x + sin x cos x ) = 0 ⎡3tg 2 x = 1 (1) ⇔⎢ (2) ⎢sin x + cos x + sin x cos x = 0 ⎣ 1 3 π •(1) ⇔ tg 2 x = ⇔ x = ± + kπ ⇔ t gx = ± 3 3 6 π⎞ ⎛ • Giaûi ( 2 ) ñaët t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ V ôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 vaø t ≠ ±1 T hì t 2 = 1 + 2 sin x cos x t2 −1 (2) thaøn h : t + = 0 ⇔ t 2 + 2t − 1 = 0 2 ( ) ⎡ t = −1 − 2 loaïi do ñieàu kieän t ≤ 2 ⇔⎢ ⎢ t = −1 + 2 ( nhaän so vôùi ñieàu kieän ) ⎣ 2 −1 π⎞ ⎛ V aä y sin ⎜ x + ⎟ = = sin ϕ 4⎠ 2 ⎝ π π ⎡ ⎡ ⎢ x + 4 = ϕ + k2π, k ∈ ¢ ⎢ x = ϕ − 4 + k2 π, k ∈ ¢ ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢ x = 3π − ϕ + k2 π, k ∈ ¢ ⎢ x + π = π − ϕ + k2π, k ∈ ¢ ⎢ ⎢ 4 4 ⎣ ⎣
B aø i 111 : G iaû i phöông trình 2sin 3 x − sin x = 2 cos3 x − cos x + cos2x ( *) (*) ⇔ 2 ( sin 3 x − cos3 x ) − ( sin x − cos x ) + sin 2 x − cos2 x = 0 ⇔ sin x − cos x = 0 hay 2 (1 + sin x cos x ) − 1 + ( sin x + cos x ) = 0 ⎡sin x − cos x = 0 (1) ⇔⎢ ⎢sin x + cos x + sin 2x + 1 = 0 ( 2 ) ⎣ • (1) ⇔ tgx = 1 π ⇔x= + kπ, k ∈ ¢ 4 π⎞ ⎛ •xeùt ( 2 ) ñaët t = sin x + cos x = 2 cos x ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ V ôù i ñieà u kieä n : t ≤ 2 t 2 = 1 + sin 2x Vaäy ( 2 ) thaønh t + ( t 2 − 1) + 1 = 0 ⇔ t ( t + 1) = 0 ⇔ t = 0 ∨ t = −1 π⎞ ⎛ K hi t = 0 thì cos ⎜ x − ⎟ = 0 4⎠ ⎝ π π ⇔ x − = ( 2k + 1) , k ∈ ¢ 4 2 3π ⇔x= + kπ, k ∈ ¢ 4 1 3π π⎞ ⎛ K hi t = −1 thì cos ⎜ x − ⎟ = − = cos 4⎠ 4 2 ⎝ 3π π ⇔ x− =± + k2 π, k ∈ ¢ 4 4 π ⇔ x = π + k2 π hay x = − + k2 π, k ∈ ¢ 2 B aø i 112 : G iaû i phöông trình sin x + sin 2 x + sin3 x + sin 4 x = cos x + cos2 x + cos3 x + cos4 x ( *) T a coù : (*) ⇔ ( sin x − cos x ) + ( sin 2 x − cos2 x ) + ( sin 3 x − cos3 x ) + ( sin 4 x − cos4 x ) = 0 ⇔ ( sin x − cos x ) = 0 hay 1 + ( sin x + cos x ) + (1 + sin x.cos x ) + ( sin x + cos x ) = 0 ⎡sin x − cos x = 0 (1) ⇔⎢ ⎢2 ( sin x + cos x ) + sin x cos x + 2 = 0 ( 2 ) ⎣ T a coù : (1) ⇔ tgx = 1 π ⇔ x = + kπ, k ∈ ¢ 4
π⎞ ⎛ X eù t (2) : ñaë t t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ V ôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 T hì t 2 = 1 + 2 sin x cos x t2 −1 (2) thaø n h 2t + +2 = 0 2 ⇔ t 2 + 4t + 3 = 0 ⇔ t = −1 ∨ t = −3 ( loaïi ) 1 3π π⎞ ⎛ k hi t = -1 thì cos ⎜ x − ⎟ = − = cos 4⎠ 4 2 ⎝ π 3π ⎡ x− = + k2 π, k ∈ ¢ ⎢ 44 ⇔⎢ ⎢ x − π = − 3π + k2 π, k ∈ ¢ ⎢ 4 4 ⎣ ⎡ x = π + k2 π, k ∈ ¢ ⇔⎢ ⎢ x = − π + k2 π, k ∈ ¢ 2 ⎣ ( ) B aø i 113 : G iaû i phöông trình tg 2 x 1 − sin 3 x + cos3 x − 1 = 0 ( *) Ñ ieà u kieä n : cos x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ±1 sin 2 x (1 − sin3 x ) + cos3 x − 1 = 0 Luù c ñoù (*) ⇔ cos x 2 ⇔ (1 − cos x ) (1 − sin 3 x ) − (1 − cos3 x ) (1 − sin 2 x ) = 0 2 ⇔ (1 − cos x )(1 − sin x ) = 0 hay (1 + cos x ) (1 + sin x + sin 2 x ) − (1 + cos x + cos2 x ) (1 + sin x ) = 0 ⎡ cos x = 1 ( nhaän do ñieàu kieän ) ⎢ ⇔ ⎢sin x = 1 ( loaïi do ñieàu kieän ) ⎢2 ⎢sin x + sin x cos x − cos x − sin x cos x = 0 2 2 2 ⎣ ⎡ cos x = 1 ⇔⎢ 2 ⎣sin x − cos x + sin x cos x ( sin x − cos x ) = 0 2 ⎡ cos x = 1 ⇔⎢ ⎣sin x − cos x = 0 hay sin x + cos x + sin x cos x = 0 ⎡ cos x = 1 ∨ tgx = 1 ⇔⎢ ⎣sin x + cos x + sin x cos x = 0 ⎡ x = k2 π, k ∈ ¢ ⎢ π ⇔ ⎢ x = + kπ, k ∈ ¢ 4 ⎢ ⎢sin x + cos x + sin x cos x = 0 ⎣
x eù t pt sin x + cos x + sin x cos x = 0 ñaë t ( ) π⎞ ⎛ t = sin x + cos x = 2 cos x ⎜ x − ⎟ ñieàu kieän t ≤ 2 vaø t ≠ ±1 4⎠ ⎝ ⇒ t = 1 + 2 sin x cos x 2 t2 − 1 T a ñöôï c phöông trình t + = 0 ⇔ t 2 + 2t − 1 = 0 2 ⎡ t = −1 − 2 ( loaïi ) ⇔⎢ ⎢ t = − 1 + 2 ( nhaän so vôùi ñk ) ⎣ 2 −1 π⎞ ⎛ V aä y cos ⎜ x − ⎟ = = cos ϕ 4⎠ 2 ⎝ π π ⇔ x − = ±ϕ + k2 π, k ∈ ¢ ⇔ x = ± ϕ + k2 π, k ∈ ¢ 4 4 B aø i 114 : C ho phöông trình m ( sin x + cos x + 1) = 1 + sin 2x ( *) ⎡ π⎤ T ìm m ñeå phöông trình coù nghieäm thuoäc ñoaï n ⎢ 0, ⎥ ⎣ 2⎦ π⎞ ⎛ Ñ aë t t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟ , ñieà u kieä n t ≤ 2 4⎠ ⎝ T hì t = 1 + sin 2 x 2 Vaä y (*) thaø n h : m ( t + 1) = t 2 π 3π π π Neá u 0 ≤ x ≤ thì ≤ x + ≤ 2 4 44 2 π⎞ ⎛ D o ñoù ≤ sin ⎜ x + ⎟ ≤ 1 2 4⎠ ⎝ ⇔1≤ t ≤ 2 t a coù m ( t + 1) = t 2 t2 ⇔m= ( do t = -1 khoâ n g laø nghieä m cuû a phöông trình) t +1 t2 treân ⎡1, 2 ⎤ Xeù t y = ⎣ ⎦ t +1 t 2 + 2t > 0 ∀t ∈ ⎡1, 2 ⎤ Thì y ' = ⎣ ⎦ ( t + 1) 2 V aä y y taê n g treâ n ⎡1, 2 ⎤ ⎣ ⎦ ( 2) ⎡ π⎤ V aä y (*) coù nghieä m treâ n ⎢1, ⎥ ⇔ y (1) ≤ m ≤ y ⎣ 2⎦ 1 ( ) ⇔ ≤ m ≤ 2 2 −1 2
B aø i 115 : C ho phöông trình cos3 x + sin 3 x = m sin x cos x ( *) a / Giaû i phöông trình khi m = 2 b / Tìm m ñeå (*) coù nghieä m T a coù : (*) ⇔ ( cos x + sin x ) (1 − sin x cos x ) = m sin x cos x π⎞ ⎛ Ñ aë t t = sin x + cos x = 2 cos x ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ ( ) V ôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 T hì t 2 = 1 + 2 sin x cos x ⎛ t2 − 1 ⎞ ⎛ t2 − 1 ⎞ Vaä y (*) thaø n h t ⎜ 1 − = m⎜ ⎟ ⎟ 2⎠ ⎝2⎠ ⎝ ⇔ t ( 3 − t 2 ) = m ( t 2 − 1) a / Khi m = 2 t a coù phöông trình ( ) t ( 3 − t 2 ) = 2 ( t 2 − 1) ⇔ t 3 + 2t 2 − 3t − 2 = 0 ( )( ) ⇔ t − 2 t 2 + 2 2t + 1 = 0 ⇔ t = 2 hay t = − 2 + 1 hay t = − 2 − 1( loaïi ) π⎞ π π ⎛ V aä y • cos x ⎜ x − ⎟ = 1 ⇔ x − = k2 π, k ∈ ¢ ⇔ x = + k2 π, k ∈ ¢ 4⎠ 4 4 ⎝ π ⎞ 1− 2 ⎛ • cos ⎜ x − ⎟ = = cos α 4⎠ 2 ⎝ π π ⇔ x − = ±α + k2 π, k ∈ ¢ ⇔ x = ± α + k2π, k ∈ ¢ 4 4 b/ Xeù t phöông trình t ( 3 − t ) = k ( t − 1) ( **) 2 2 D o t = ±1 khoâ n g laø nghieä m cuû a (**) neâ n 3t − t 3 ( * *) ⇔ m = 2 t −1 3t − t 3 ( C ) treân ⎡− 2, 2 ⎤ \ {±1} X eù t y = 2 ⎣ ⎦ t −1 −t 4 − 3 T a coù y ' = < 0∀t = ±1 ( t 2 − 1) 2 s uy ra y giaûm treân ( −1,1 ) vaø lim y = + ∞ , lim− y = − ∞ x → − 1+ x→ 1 Do ñoù treân ( − 1,1 ) ⊂ ⎡ − 2, 2 ⎤ \ {±1} ta coù ⎣ ⎦ 3t − t 3 (d) y = m caét (C) y = 2 vôùi ∀m ∈ R t −1 V aä y (*) coù nghieä m ∀m ∈ R
B aø i 116 : C ho phöông trình 1⎛ 1 1⎞ m ( sin x + cos x ) + 1 + ⎜ tgx + cot gx + = 0 ( *) + sin x cos x ⎟ 2⎝ ⎠ 1 a / Giaû i phöông trình khi m = 2 ⎛ π⎞ b / Tìm m ñeå (*) coù nghieä m treâ n ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠ Vôùi ñ ieàu kieän sin 2x ≠ 0 ta coù 1 ⎛ sin x cos x 1 1⎞ ( *) ⇔ m ( sin x + cos x ) + 1 + ⎜ =0 + + + 2 ⎝ cos x sin x sin x cos x ⎟ ⎠ ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + sin 2x + (1 + cos x + sin x ) = 0 ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + sin 2x + 1 + cos x + sin x = 0 ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + ( sin x + cos x ) + sin x + cos x = 0 2 ⎡sin x + cos x = 0 (1) ⇔⎢ ⎢ m sin 2x + sin x + cos x + 1 = 0 ( 2 ) ⎣ π⎞ ⎛ X eù t (2) ñaë t t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ T hì t = 1 + sin 2 x 2 Do sin 2x ≠ 0 neân t ≤ 2 vaø t = ±1 ⎡t = 0 V aä y (*) thaø n h : ⎢ ⎢ m ( t − 1) + t + 1 = 0 2 ⎣ ⎡ t = 0 ( nhaän so ñieàu kieän ) ⇔⎢ ⎢ m ( t − 1) + 1 = 0 ( do t ≠ −1) ⎣ 1 a / Khi m = t hì ta ñöôï c : 2 ⎡t = 0 ⎢ ⎢ t = − 1 ( loaïi do ñieàu kieän ) ⎣ V aä y sinx + cosx = 0 ⇔ tgx = −1 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ ¢ 4 π π ππ b / Ta coù : 0 < x < ⇔ − < x − < 2 4 44 L uù c ñoù 2 π⎞ ⎛ < cos ⎜ x − ⎟ ≤ 1 ⇒ 1 < t ≤ 2 2 4⎠ ⎝ ( D o t = 0 ∉ 1, 2 ⎤ ⎦
N eâ n ta xeù t phöôn g trình : m ( t − 1) + 1 = 0 ( **) (**) ⇔ mt = m − 1 1 ( do m = 0 thì (**) voâ nghieä m ) ⇔ t = 1− m 1 Do ñoù : yeâ u caà u baø i toaùn ⇔ 1 < 1 − ≤ 2 m ⎧1 ⎧m < 0 ⎪− m > 0 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ 1 ⎪m ≤ 1 − 2 = − 2 − 1 ⎪1 − 2 ≤ 1 ⎩ ⎪ m ⎩ ⇔ m ≤ − 2 −1 B aø i 117 : C ho f ( x ) = cos2 2x + 2 ( sin x + cos x ) − 3sin 2x + m 3 a / Giaû i phöông trình f(x) = 0 khi m = -3 b / Tính theo m giaù trò lôù n nhaá t vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa f(x) 2 T ìm m cho ⎡ f ( x ) ⎤ ≤ 36 ∀x ∈ R ⎣ ⎦ ( ) π⎞ ⎛ Ñaë t t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟ ñieàu kieän t ≤ 2 4⎠ ⎝ Thì t = 1 + sin 2 x 2 V aø cos2 2x = 1 − sin 2 2x = 1 − ( t 2 − 1) = −t 4 + 2t 2 2 Vaä y f ( x ) thaønh g ( t ) = − t 4 + 2t 2 + 2t 3 − 3 ( t 2 − 1) + m a / Khi m = -3 thì g(t) = 0 ( ) ⇔ −t 2 t 2 − 2t + 1 = 0 ⇔ t = 0∨ t =1 vaäy khi m = -3 thì f( x) = 0 1 π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = 0 hay cos ⎜ x − ⎟ = 4⎠ 4⎠ 2 ⎝ ⎝ π π π π ⇔ x − = ( 2k + 1) hay x − = ± + k2π, k ∈ ¢ 4 2 4 4 3π π ⇔x= + kπ hay x = + k2 π ∨ x = k2 π, k ∈ ¢ 4 2 b / Ta coù g ' ( t ) = −4t + 6t − 2t = −2t ( 2t 2 − 3t + 1) 3 2 ⎧g ' ( t ) = 0 1 ⎪ V aä y ⎨ ⇔ t = 0 ∨ t = 1∨ t = ⎪t ∈ ⎡ − 2, 2 ⎤ 2 ⎩⎣ ⎦ ⎛ 1 ⎞ 47 T a coù : g ( 0 ) = 3 + m = g (1) , g⎜ ⎟ = +m ⎝ 2 ⎠ 16 ( 2) = 4 ( 2) = m −3−4 g 2 − 3 + m, g 2
V aä y : Maxf ( x ) = Max g ( t ) = m + 3 t∈ ⎡ − 2 , 2 ⎤ x∈ ¡ ⎣ ⎦ Minf ( x ) = Min g ( t ) = m − 3 − 4 2 t ∈ ⎡− 2 , 2 ⎤ x∈ R ⎣ ⎦ 2 D o ñoù : ⎡ f ( x ) ⎤ ≤ 36, ∀x ∈ R ⇔ −6 ≤ f ( x ) ≤ 6, ∀x ∈ R ⎣ ⎦ ⎧Max f ( x ) ≤ 6 ⎪ ⇔⎨ R ⎪Min f ( x ) ≥ − 6 ⎩R ⎧m + 3 ≤ 6 ⎪ ⇔⎨ ⎪m − 3 − 4 2 ≥ −6 ⎩ ⇔ 4 2 −3 ≤ m ≤ 3 ( ) 2 C aù c h khaù c : T a coù g ( t ) = −t 2 t 2 − 2t + 1 + 3 + m = − ⎡ t ( t − 1) ⎤ + 3 + m ⎣ ⎦ Ñ aë t u = t 2 − t ⎡1 ⎤ Khi t ∈ ⎡ − 2, 2 ⎤ thì u ∈ ⎢ − ,2 + 2 ⎥ = D ⎣ ⎦ ⎣4 ⎦ V aä y g ( t ) = h ( u ) = − u + 3 + m 2 Max f ( x ) = Max g ( t ) = Max h ( u ) = m + 3 R u∈D t ∈ ⎡− 2 , 2 ⎤ ⎣ ⎦ Min f ( x ) = g ( t ) = Min h ( u ) = m − 3 − 4 2 Min R ⎡ ⎤ t ∈ ⎣− 2 , 2 ⎦ u∈D C huù yù 1 : P höông trình giaû ñoá i xöù n g a ( sin x − cos x ) + b ( sin x cos x ) = 0 ñ aë t t = sinx – cosx π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ thì t = 2 sin ⎜ x − ⎟ = − 2 cos ⎜ x + ⎟ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ v ôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 thì t = 1 − 2 sin x cos x 2 B aø i 118 : G iaû i phöông trình 2sin x + cot gx = 2sin 2x + 1 ( *) Ñ ieà u kieä n : sin x ≠ 0 ⇔ cos x = ±1 cos x Luù c ñoù (*) ⇔ 2 sin x + = 4 sin x cos x + 1 sin x ⇔ 2 sin2 x + cos x = 4 sin2 x cos x + sin x ( ) ⇔ 2 sin2 x − sin x − cos x 4 sin2 x − 1 = 0 ⇔ sin x ( 2 sin x − 1) − cos x ( 2 sin x − 1) ( 2 sin x + 1) = 0 ⇔ 2 sin x − 1 = 0 hay sin x − cos x ( 2 sin x + 1) = 0 (1 ) ⎡2 sin x − 1 = 0 ⇔⎢ ( 2) ⎢sin x − cos x − sin 2x = 0 ⎣
1 • Ta coù (1) ⇔ sin x = ( nhaän do sin x ≠ 0) 2 5π π ⇔x= + k2π ∨ x = + k2π, k ∈ 6 6 π⎞ ⎛ • Xeùt ( 2 ) Ñaët t = sin x − cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ V ôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 vaø t ≠ ± 1 T hì t2 = 1 − sin 2x ( ) Vaä y (2) thaø n h : t − 1 − t 2 = 0 ⇔ t2 + t − 1 = 0 −1 + 5 −1 − 5 ( loaïi ) ⇔t= ∨t= 2 2 π ⎞ −1 + 5 ( ) ⎛ D o ñoù : 2 sin ⎜ x − ⎟ = nhaän do t ≤ 2 vaø t ≠ ±1 4⎠ 2 ⎝ 5 −1 π⎞ ⎛ ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = = sin ϕ 4⎠ 22 ⎝ π ⎡ ⎢ x − 4 = ϕ + k2π, k ∈ ⇔⎢ ⎢ x − π = π − ϕ + k2π, k ∈ ⎢ 4 ⎣ π ⎡ ⎢ x = ϕ + 4 + k2π, k ∈ ⇔⎢ ⎢ x = 5π − ϕ + k2π, k ∈ ⎢ 4 ⎣ B aø i 119 : G iaû i phöông trình cos 2x + 5 = 2 ( 2 − cos x ) ( sin x − cos x ) ( *) ( ) T a coù : ( *) ⇔ cos2 x − sin2 x + 5 = 2 ( 2 − cos x )( sin x − cos x ) ⇔ ( sin x − cos x ) ⎡ 2 ( 2 − cos x ) + ( sin x + cos x ) ⎤ − 5 = 0 ⎣ ⎦ ⇔ ( sin x − cos x ) [sin x − cos x + 4] − 5 = 0 π⎞ ⎛ Ñ aë t t = sin x − cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ V ôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 ( *) thaøn h : t ( t + 4 ) − 5 = 0 ⇔ t 2 + 4t − 5 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = −5 ( loaïi ) 1 π⎞ π ⎛ V aä y ( *) ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = = sin 4⎠ 4 2 ⎝
π 3π ππ ⇔ x− = + k2π ∨ x − = + k2π, k ∈ 44 4 4 π ⇔ x = + k2π ∨ x = π + k2π, k ∈ 2 B aø i 120 : G iaû i phöông trình cos3 x + sin 3 x = cos 2x ( *) T a coù (*) ⇔ ( cos x + sin x ) (1 − sin x cos x ) = cos2 x − sin2 x ⇔ cos x + sin x = 0 hay 1 − sin x cos x = cosx − sin x (1 ) ⎡sin x + cos x = 0 ⇔⎢ ( 2) ⎢sin x − cos x − sin x cos x + 1 = 0 ⎣ T a coù : (1) ⇔ tgx = −1 π ⇔x=− + kπ, k ∈ 4 π⎞ ⎛ X eù t (2) ñaë t t = sin x − cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ V ôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 T hì t2 = 1 − 2sin x cos x 1 − t2 + 1 = 0 ⇔ t 2 + 2t + 1 = 0 (2) thaøn h t − 2 ⇔ t = −1 1 π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ v aä y (2) ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = − = sin ⎜ − ⎟ 4⎠ ⎝ 4⎠ 2 ⎝ π π ⎡ ⎡ x = k2π, k ∈ x − = − + k2π, k ∈ ⎢ 4 4 ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢ x = 3π + k2π, k ∈ π 5π ⎢x − = + k2π, k ∈ 2 ⎣ ⎢ 4 4 ⎣ (1 ) B aø i 121 : C ho phöông trình cos3 x − sin 3 x = m a / Giaû i phöông trình (1) khi m = 1 baè n g caù c h ñaë t aå n phuï t = cos x − sin x ⎡ π π⎤ b/ Tìm m sao cho (1) coù ñuù n g hai nghieä m x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4 4⎦ T a coù (1) ⇔ ( cos x − sin x ) (1 + sin x cos x ) = m π⎞ ⎛ Ñ aë t t = cos x − sin x = 2 cos ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ V ôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 T hì t2 = 1 − 2sin x cos x 1 − t2 ⎞ ⎛ Vaä y (1) thaø n h : t ⎜ 1 + ⎟=m ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( 2) ⇔ t 3 − t 2 = 2m
a / Khi m = 1 thì (2) thaø nh t3 − 3t + 2 = 0 ( ) ⇔ ( t − 1) t 2 + t − 2 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = −2 ( loaïi ) 2 π⎞ π π ⎛ V aä y cos ⎜ x + ⎟ = ⇔ x + = ± + k2π, k ∈ 4⎠ 2 4 4 ⎝ π ⇔ x = k2π ∨ x = − + k2π, k ∈ 2 ππ π π⎤ ⎡ b / Neá u x ∈ ⎢ − , ⎥ thì 0 ≤ x + ≤ ⎣ 4 4⎦ 42 π⎞ ⎛ n eâ n 0 ≤ cos ⎜ x + ⎟ ≤ 1 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ ⇔ 0 ≤ t = 2 cos ⎜ x + ⎟ ≤ 2 4⎠ ⎝ n haä n xeù t raè n g vôù i moãi t tìm ñöôï c treâ n ⎡0, 2 ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ π π⎤ t a tìm duy nhaá t moä t x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4 4⎦ x eù t f ( t ) = −t + 3t treân ⎡0, 2 ⎤ 3 ⎣ ⎦ ⇒ f ' ( t ) = −3t + 32 ⎡ π π⎤ v aä y (1) coù ñuù n g hai nghieä m x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4 4⎦ ⇔ ( d ) y = 2m caét ( C ) y = −t 3 + 3t treân ⎡0, 2 ⎤ taï i 2 ñieå m phaâ n bieä t ⎣ ⎦ ⇔ 2 ≤ 2m < 2 2 ≤ m
π⎞ ⎛ ( ñieà u kieä n t ≤ 2 ) Ñ aë t t = cos x − sin x = 2 cos ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ Thì t = 1 − 2 sin x cos x 2 Ta coù : (1) ⇔ sin x = − cos x π ⇔ tgx = −1 ⇔ x = − + kπ, k ∈ 4 1 − t2 T a coù : (2) thaø nh 2t + =m 2 ⇔ −t 2 + 4t + 1 = 2m ( * *) a / Khi m = 2 thì (**) thaø n h t 2 − 4t + 3 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = 3 ( loaïi ) 2 π⎞ π π ⎛ v aä y cos ⎜ x + ⎟ = ⇔ x + = ± + k2π, k ∈ 4⎠ 2 4 4 ⎝ π ⇔ x = k2π ∨ x = − + kπ, k ∈ 2 D o ñoù : π π ( *) ⇔ x = − + kπ ∨ x = k2π ∨ x = − + k2π, k ∈ 4 2 π ⎡ π 3π ⎤ ⎡ π⎤ b / Ta coù x ∈ ⎢0, ⎥ ⇔ x + ∈ ⎢ , ⎥ ⎣ 2⎦ 4 ⎣4 4 ⎦ 2 2 π⎞ ⎛ ≤ cos ⎜ x + ⎟ ≤ v aä y − 2 4⎠ 2 ⎝ ⇒ −1 ≤ t ≤ 1 π ⎡ π⎤ D o nghieä m x = − + kπ ∉ ⎢0, ⎥ , ∀ k ∈ 4 ⎣ 2⎦ N eâ n yeâ u caà u baø i toaù n ⇔ ( * *) coù nghieä m treâ n [ −1,1] X eù t y = −t 2 + 4t + 1 thì y ' = −2t + 4 > 0 ∀t ∈ [ −1,1] ⇒ y taêng treân [ −1,1] D o ñoù : yeâ u caà u baø i toaùn ⇔ −4 = y ( −1) ≤ 2m ≤ y (1) = 4 ⇔ −2 ≤ m ≤ 2 * C huù yù 2 : Phöông trình löôï n g giaù c daï n g a ( tgx ± cot gx ) + b ( tg 2 x + cot g 2 x ) = 0 t a ñaët t = tgx ± cot gx thì t 2 = tg 2 x + cot g 2 x ± 2 2 thì t ≥ 2 ( do sin 2x ≤ 1) khi t = tgx + cot gx = sin 2x B aø i 123 : G iaû i phöông trình 3tg 2 x + 4tgx + 4 cot gx + 3cot g 2 x + 2 = 0 ( *)
2 Ñ aë t t = tgx + cot gx = sin 2x V ôù i ñieà u kieä n t ≥ 2 T hì t 2 = tg 2 x + cot g 2 x + 2 (*) thaøn h : 3 ( t 2 − 2 ) + 4t + 2 = 0 ⇔ 3t 2 + 4t − 4 = 0 2 ⎡ ⎢ t = 3 ( loaïi do ñieàu kieän ) ⇔ ⎢ ⎣ t = −2 2 T a coù : t = −2 ⇔ = −2 ⇔ sin 2x = −1 2 sin x π ⇔ 2x = − + k2π, k ∈ 2 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ 4 B aø i 124 : G iaû i phöông trình tgx + tg 2 x + tg 3 x + cotgx + cotg 2 x + cotg 3 x = 6 ( *) T a coù (*) ⇔ ( tgx + cot gx ) + ( tg 2 x + cot g 2 x ) + ( tg 3 x + cot g 3 x ) = 6 ( ) 2 ⇔ ( tgx + cot gx ) + ( tgx + cot gx ) − 2 + ( tgx + cot gx ) tg 2 x + cot g 2 x − 1 = 6 2 2 ⇔ ( tgx + cot gx ) + ( tgx + cot gx ) + ( tgx + cot gx ) ⎡( tgx + cot gx ) − 3⎤ = 8 ⎣ ⎦ 2 ( ñieàu kieän t ≥ 2) Ñ aë t t = tgx + cot gx = sin 2x V aä y (*) thaø n h : t + t 2 + t ( t 2 − 3) = 8 ⇔ t 3 + t 2 − 2t − 8 = 0 ⎡t = 2 ( ) ⇔ ( t − 2 ) t 2 + 3t + 4 = 0 ⇔ ⎢ 2 ⎣ t + 3t + 4 = 0 ( voâ nghieäm ) ⇔t=2 2 = 2 ⇔ sin 2x = 1 V aä y sin 2x π ⇔ 2x = + k2π, k ∈ 2 π ⇔ x = + kπ, k ∈ 4 B aø i 125 : G iaû i phöông trình 2 + 2tg 2 x + 5tgx + 5 cot gx + 4 = 0 ( *) sin x 2 ( ) C aù c h 1 : (*) ⇔ 2 1 + cot g 2 x + 2tg 2 x + 5 ( tgx + cot gx ) + 4 = 0
( ) ⇔ 2 tg 2 x + cot g 2 x + 5 ( tgx + cot gx ) + 6 = 0 2 ⇔ 2 ⎡( tgx + cot gx ) − 2⎤ + 5 ( tgx + cot gx ) + 6 = 0 ⎣ ⎦ 2 Ñ aë t t = tgx + cot gx = , vôùi t ≥ 2 sin 2x T a ñöôï c phöông trình : 2t 2 + 5t + 2 = 0 1 ⇔ t = −2 ∨ t = − ( loaïi ) 2 2 V aä y ( *) ⇔ = −2 ⇔ sin 2x = −1 sin 2x π ⇔ 2x = − + k2π, k ∈ 2 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ 4 C aù c h 2 : Ñ aë t u = tgx (vôù i ñieà u kieä n u ≠ 0 ) 2 5 Vaä y (*) thaø n h : 2 + + 2u 2 + 5u + + 4 = 0 u u 2 ⇔ 2 + 2u 4 + 5u 3 + 5u + 6u 2 = 0 ( ) ⇔ ( u + 1) 2u 3 + 3u 2 + 3u + 2 = 0 ( 2u ) 2 ⇔ ( u + 1) 2 +u+2 =0 ⎡u = −1 ( nhaän ) ⇔⎢ 2 ⎢2u + u + 2 = 0 ( voâ nghieäm ) ⎣ V aä y (*) ⇔ tgx = -1 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ 4 B aø i 126 : C ho phöông trình 1 + cot g 2 x + m ( tgx + cot gx ) + 2 = 0 (1 ) cos x 2 5 a / Giaû i phöông trình khi m = 2 b / Tìm m ñeå phöông trình coù nghieä m T a coù : (1) ⇔ tg 2 x + cot g 2 x + m ( tgx + cot gx ) + 3 = 0 2 ( ñieàu kieän t ≥ 2) Ñ aë t t = tgx + cot gx = sin 2x ⇒ t 2 = tg 2 x + cot g 2 x + 2 ( 2) V aä y (1) thaø n h : t 2 + mt + 1 = 0 5 a / Khi m = t a ñöôï c phöông trình 2t 2 + 5t + 2 = 0 2
1 ( loaïi ) ⇔ t = −2 ∨ t = − 2 2 = −2 ⇔ sin 2x = −1 D o ñoù sin 2x π ⇔ 2x = − + k2π, k ∈ 2 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ 4 b / C aù c h 1 : T a coù : (2) ⇔ mt = −1 − t 2 1 ⇔ m = − − t (do t = 0 khoâ n g laø nghieä m cuû a (2)) t 1 Xeù t y = − − t vôùi t ≥ 2 t 1 1 − t2 T hì y ' = 2 − 1 = t t2 T a coù : y ' = 0 ⇔ t = ±1 D o ñoù (1) coù nghieäm ⇔ (d) caét ( C ) treân ( −∞, −2] U [ 2, +∞ ) 5 5 ⇔m≤− ∨m≥ 2 2 5 ⇔m≥ 2 C aù c h 2 : Yeâ u caà u baø i toaù n ⇔ f ( t ) = t 2 + mt + 1 = 0 coù nghieä m t thoû a t ≥ 2 N haä n xeù t raè n g do P = 1 neâ n neá u f(t) coù hai nghieäm t1 , t 2 ( vôùi t1 ≤ t2 ) vaø coù ⎧ t1 ≤ 1 ⎧ t1 ≥ 1 ⎪ ⎪ nghieäm thì ta coù ⎨ ∨⎨ ⎪ t2 ≥ 1 ⎪ t2 ≤ 1 ⎩ ⎩ D o ñoù : Yeâ u caà u baø i toaù n ⇔ t1 ≤ −2 < t1 < 2 ∨ −2 < t1 < 2 ≤ t 2 ⎪1f ( −2) ≤ 0 ⎪1f ( 2 ) ≤ 0 ⎧−2m + 5 ≤ 0 ⎧−2m + 5 > 0 ⎧ ⎧ ⇔⎨ ∨⎨ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎪1f ( 2 ) > 0 ⎪1f ( −2 ) > 0 ⎩2m + 5 > 0 ⎩2m + 5 ≤ 0 ⎩ ⎩ 5 5 ⇔m≥ ∨m≤− 2 2
BAØI TAÄP 1. Giaû i caù c phöông trình : a/ 1 + cos3 x − sin 3 x = sin x b / cos3 x + cos2 x + 2 sin x − 2 = 0 c / cos 2x + 5 = 2 ( 2 − cos x ) ( sin x − cos x ) d / cot gx − tgx = sin x + cos x e / sin 3 x − cos3 x = sin x − cos x f / 1 + tgx = sin x + cos x π⎞ ⎛ g / sin 2x + 2 sin ⎜ x − ⎟ = 1 4⎠ ⎝ k / sin 2x − 12 ( sin x − cos x ) + 12 = 0 sin x + cos x =1 l/ sin 2x + 1 1 − cos 2x 1 − cos3 x m/ = 1 + cos 2x 1 − sin3 x n / 5 ( sin x + cos x ) + sin 3x − cos 3x = 2 2 ( 2 + sin 2x ) o / 1 + sin x + cos x + sin 2x + 2 cos 2x = 0 p / sin 2 x cos x − cos 2x + sin x = cos2 x sin x + cos x r / cos 2x + 5 = 2 ( 2 − cos x )( sin x − cos x ) s / cos2 x + sin 3 x + cos x = 0 t / 4 sin3 x − 1 = 3sin x − 3 cos 3x Cho phöông trình sin 2x ( sin x + cos x ) = m (1) 2. a / Chöù n g minh neá u m > 2 t hì (1) voâ nghieä m b/ Giaû i phöông trình khi m = 2 Cho phöông trình sin 2x + 4 ( cos x − sin x ) = m 3. a / Giaû i phöông trình khi m = 4 b/ Tìm m ñeå phöông trình coù nghieä m Cho phöông trình : sin x cos x − m ( sin x + cos x ) + 1 = 0 4. a / Giaû i phöông trình khi m = 2 ( ÑS : m ≥ 1) b / Tìm m ñeå phöông trình coù nghieä m 3 + 3tg 2 x = m ( tgx + cot gx ) = 1 5. Cho phöông trình sin x 2 ( ÑS : m ≥ 4 ) T ìm m ñeå phöông trình coù nghieä m T h.S Ph ạm H ồ ng Danh T T luyệ n thi ĐH CLC V ĩ nh Viễ n