Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Thể tích khối chóp

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (Phần 01)

ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Thể tich khối chóp (Phần 01) thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn

kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Thể tich khối chóp (Phần 01).

ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1. Cho hình chóp SABCD có ñáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với ñáy hình chóp. Cho

AB = a, SA = a 2 . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông gãc của A lên SB, SD. Chứng minh SC ⊥ (AHK) và tính thể tích khối chóp OAHK. Giải: + BC vuông góc với (SAB)

⇒ BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB ⇒ AH vuông góc với (SBC) ⇒ AH vuông góc SC (1)

+ Tương tự AK vuông góc SC (2)

2

2

2

(1) và (2) ⇒ SC vuông góc với (AHK ) 23 a SB

AB

SA

=

+

=

a

6

⇒ = SB

a

3

⇒

AH.SB

=

SA.AB AH

⇒ =

3

3

2

3

⇒ =

2 SH

⇒ = SK

a 3

a 3 (do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A)

2

2

.

Ta có HK song song với BD nên

⇒

HK

=

a 3

Kẻ OE// SC

suy ra OE là ñường cao của hình chóp OAHK và OE=1/2

HK SH = BD SB AHK (

⊥

⇒ ⊥ OE

(

AHK doSC )(

))

IC=1/4SC = a/2

Gọi AM là ñường cao của tam giác cân AHK ta có 2

2

2

2

AM

=

AH

−

HM

=

⇒ AM=

a 2 3

a 4 9

3

a

2

V

=

. OE S

=

. HK AM

=

OAHK

AHK

a 1 1 . 3 2 2

27

1 3

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với ñáy và SA= a . Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của SB và SD; I là giao ñiểm của SC và mặt phẳng (AMN). Chứng minh SC vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MBAI. Giải:

, (

⊥

⊥

,

)

AM BC BC SA BC AB ⊥

⇒

⊥ AM SC

Ta có

(1)

⊥

=

)

AM SB SA AB , (

  

(2) SC⊥

Tương tự ta có AN SC⊥ AI Từ (1) và (2) suy ra

- Trang | 1 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Thể tích khối chóp S

Vẽ IH song song với BC cắt SB tại H. Khi ñó IH vuông góc với (AMB)

H

Suy ra

V

=

S

.

IH

ABM

ABMI

I

M

1 3 2

Ta có

S

=

ABM

N

a 4

2

2

B

A

=

=

=

= ⇒ =

IH

BC

=

a

2

2

2

SI IH = BC SC

SA 2 +

AC

a

2

a

a +

1 3

1 3

1 3

SA 3

V

=

=

Vậy

ABMI

SI SC . 2 SC 2 a a 1 3 4 3

a 36

D

C

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ñáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng ñáy một góc 600 .Trên cạnh SA lấy ñiểm M sao

a

3

cho AM =

, mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD tại N .Tính thể tích khối chóp S.BCNM

3

Giải: Tính thể tích hình chóp SBCMN. ( BCM)// AD nên mặt phẳng này cắt mp( SAD) theo giao tuyến MN // AD

⊥ BC AB

Ta có :

.

⇒ ⊥

BC BM

⊥ BC SA

  

Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là ñường cao

a

3

−

a

3

3

Ta có SA = AB tan600 = a 3 ,

⇔

=

MN SM = SA AD

MN a 2

2 = 3

a

3

2

a

Suy ra MN =

. BM =

a 4 3

3

Diện tích hình thang BCMN là :

2

2

a

+

2

a 4 3

BM

=

=

S =

2

+ BC MN 2

a 3

a 10 3 3

    

    

Hạ AH ⊥ BM . Ta có SH ⊥ BM và BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SH. Vậy SH ⊥ ( BCNM) ⇒ SH là ñường cao của khối chóp SBCNM

Trong tam giác SBA ta có SB = 2a ,

=

.

AM AB = SB MS

Vậy BM là phân giác của góc SBA ⇒

1 2 ⇒ SH = SB.sin300 = a 030

3

SBH∠ =

Gọi V là thể tích chóp SBCNM ta có V = SH dtBCNM = .( ) 1 3 a 10 3 27

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với ñáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. Giải: Gọi M là hình chiếu vuông góc của B lên SC. Chứng minh ñược góc DMB = 1200 và ∆ DMB cân tại M

- Trang | 2 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Thể tích khối chóp

S

2 3

Tính ñược: DM2 = a2

2

2

2

M

1 ∆ SCD vuông tại D và DM là ñường cao nên = + 1 1 DM DS DC

A

B

Suy ra DS = a 2 . Tam giác ASD vuông tại A suy ra SA = a.

D

C

Vậy thể tích S.ABCD bằng a3 1 3

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC, trong ñó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). ðáy là tam giác ABC cân tại A, ñộ dài trung tuyến AD là a , cạnh bên SB tạo với ñáy một góc α và tạo với mặt (SAD) góc β. Tìm thể

tích hình chóp S.ABC Giải:

ABC

Thể tích hình chóp S.ABC là: V = SA S∆ . . 1 3

SA mp ABC

⊥

⇒ ∠

=

SBA

,

= SB mp ABC α

Tam giác ABC cân ñỉnh A nên trung tuyến AD cũng là ñường cao của tam giác. Theo giả thiết:

(

)

)

( = BSD β

BD mp SAD

⊥

⇒ ∠

( (

) )

2

2

2

α

AB

=

a

+ ⇒ =

SA

x

a

+

x

2 .tan

ðặt BD = x suy ra:

2

2

SB = = α BD sin β SA sin

2

2

2 ⇒ = x

α α β x sin a x tan sin ⇒ = +

3

2

2

V

=

a

+

x

.tan . . a x α

=

.

β 2 sin sin + a 2 c os α β

1 3

a c os

sin .sin α β 2 2 + sin β α

(

)

Do ñó:

a 3 a > 0

Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có SC ⊥ (ABC) và ∆ABC vuông tại B. Biết rằng AB = a, AC =

α=

và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng α với tan . 13 6

2

Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. Giải: Gọi H, K là hình chiếu của C lên SA, SB. Ta chứng minh ñược CK ⊥ (SAB), SA ⊥ (CHK) suy ra ∆CHK vuông tại K và SA ⊥ KH.

α

α

( ) 1

2

2

2

Do ñó α=∠CHK. Từ tan = ⇒ sin = ⇔ = 13 6 13 19 13 19 CK CH

2

2

2

2

2 a x 3 2 + a 3

2

2

ðặt SC = x >0. Trong tam giác vuông SAC có = + ⇒ CH = 1 CH 1 CA 1 CS x

2

2 a x 2 2 + a 2

- Trang | 3 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tương tự trong tam giác vuông SAC có CK = x

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Thể tích khối chóp

2

2

3

V

=

SC S .

=

2

a

( ) 1

ABC

SABC

2

2

1 3

) )

( a 2 3 ( 3 2 a

S

. Suy ra ⇒ = ⇔ = x 6 a 13 19 x x + +

Bài 7. Khối chóp tam giác SABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân ñỉnh C và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC = a . Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) ñể thể tích khối chóp lớn nhất . Giải: Gọi ϕ là góc giữa hai mp (SCB) và (ABC) .

ϕ=

(cid:1) SCA

3

2

3

2

Ta có : ; BC = AC = a.cosϕ ; SA = a.sinϕ

V

=

S .

SA .

=

.

AC BC SA

.

.

=

a

sin .

=

a

sin

ϕ ϕ cos

ABC

SABC

Vậy

( ϕ − 1 sin

) ϕ

1 6

1 6

1 6

1 3

B

A

(

)

C

Ta có : f’(x) = 1 – 3x2 . = ⇔ = ± 0 x x f ' Xét hàm số: f(x) = x – x3 trên khoảng ( 0; 1) 1 3

Từ ñó ta thấy trên khoảng (0;1) hàm số f(x) liên tục và có một ñiểm cực trị là ñiểm cực ñại, nên tại ñó hàm

( ) Max f x ( ) 0;1 ∈ x

3

số ñạt GTLN hay = f = 1 3 2 3 3      

ϕ<

π 2

a 9 3

hay ( với 0 < ) sin arcϕ= , ñạt ñược khi sinϕ = Vậy MaxVSABC = 1 3 1 3

Bài 8. Cho hình chóp SABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a, ñiểm M∈AD,

.

a 4

Gọi N là trung ñiểm của BM, K là giao ñiểm của AN và BC. Tính thể tích khối E∈CD, AM = CE =

chóp SADK theo a và chứng minh rằng: (SKD) ⊥ (SAE). Giải

ADK

ADK

∆

∆

S

S SA . = S a . + VSADK = 1 3 1 3

ADK

∆

ABCD

ABK

DCK

CK CD .

Mà : S = S − S − S

1 2

= a2 - SABM -

M

D

A

.

23 a 8

a 2

N

2

3

a = .

.

(cid:1) VSADK=

M

A

E

a 1 . 3 2

a 6

B

C

K

= a2 - . a . AB AM - 1 2 a 1 3 . 2 4 2 = a2 - = a - . a 1 . 2 4

N

+ ( Lưu ý: Vì AM//BK nên theo hệ quả của ñịnh lý talet

B

ta có . = NM NA = NK NB AM BK

∠

K CDK

= ∠

0

0

⊥ AE DK

=> ∠

CDK

AED

DAE

AED

+ ∠

=>

∠

=

=

.

- Trang | 4 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Mà N là trung ñiểm của BM (cid:2)NM=NB => NA=NK, AM=BK). + Ta thấy tam giác vuông ADE = tam giác vuông DCK ( vì CK=DE, AD=DC) => DAE Mặt khác: + ∠ 90 90 .

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Thể tích khối chóp

DK AE ⊥

DK

SAE

=>

⊥

DK SA ⊥

  

S

C'

=>

⊥

Ta có: , mà DK ⊂ (SKD) => (SAE) ⊥ (SKD). ( )

Bài 9. Cho hình chóp SABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a; A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung ñiểm của SC, SD, SA, SB. S’ là tâm hình vuông ABCD. Tính thể tích khối chóp S’A’B’C’D’. Giải - (A’B’C’D’)// (ABCD). - ABCD ⊥

A B C D '

SA

SA

')

(

)

(

'

'

D'

=>

⊥

SA SA / /

S A '

'

(

A B C D '

'

'

')

B'

A'

S .

S A . .

'

'

-

'

'

'

'

A

1 3 A B C D

B

VS’A’B’C’D’=

Mà:

S'

1 2

a 2

D

+ SA’= SA=

C

2

2

3

+ A’B’C’D’ là hình vuông.

(cid:1) SA’B’C’D’ = A’B’.A’D’=

a 2

a 2

1 3

a 2

a 4

a 4

a 24

. = . . = => VS’A’B’C’D’ =

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương

Nguồn :

Hocmai.vn

- Trang | 5 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt