LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ TỚI HAI TRỤC TỌA ĐỘ, HAI TIỆM CẬN
Cho hàm số
( ) ( ) ( )
: , ; ;
o
o o o
o
ax b
ax b
C y M x y C M x
cx d cx d
+
+
= ∈ →
+ +
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n tr
ụ
c Ox là
1
+
= =
+
o
o
o
ax b
d y
cx d
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n tr
ụ
c Oy là
2
=
d x
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng
d
x
c
= −
là
3
= +
o
d
d x
c
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n ngang
a
y
c
=
là
4
= −
o
a
d y
c
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n
đườ
ng th
ẳ
ng
52 2
: 0
+ +
+ + = → = +
o o
Ax By C
d Ax By C d
A B
Kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đ
i
ể
m
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
; , ;
A A B B A B A B
A x y B x y AB x x y y→ = − + −
Ví dụ 1: Cho hàm số
( )
−
=
+
2
: .
1
x
C y x
Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho
a) khoảng cách từ M đến Oy bằng ba lần khoảng cách từ M đến Ox.
b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
G
ọ
i
( ) ( )
2
2
; : ;
1 1
o
o o o
o
x
x
M x y C y M x
x x
−
−
∈ = →
+ +
a)
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n các tr
ụ
c t
ọ
a
độ
l
ầ
n l
ầ
n l
ượ
t là
1 2
; .
= =
o o
d x d y
Theo bài ta có
2
1 2 2
3 6
2 6 0
1
2
3 3 3 3 6
1
4 6 0 2 10
1
−
=
− + = ⇒
+
−
= ⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔
−
++ − = → = − ±
= −
+
o
o
o o o
o
o
o o o
o
oo o o
o
o
xxx x vn
x
x
d d x y x x
xx x x
x
x
V
ậ
y có hai
đ
i
ể
m
M
v
ớ
i hoành
độ
là
2 10
o
x= − ±
th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
b)
Đồ
th
ị
hàm s
ố
có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng là
x
=
−
1 và ti
ệ
m c
ậ
n ngang là
y
= 1.
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng là
1
1.
= +
o
d x
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng là
2
2
3
1 1
1 1
−
= − = − =
+ +
o
o
o o
x
d y x x
Theo bài ta có
1 2
6
2 1 1 6 1 6
1
= ⇔ + = ⇔ + = ± → = − ±
+
o o o
o
d d x x x
x
V
ậ
y có hai
đ
i
ể
m
M
v
ớ
i hoành
độ
là
1 6
o
x
= − ±
th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Ví dụ 2: Cho hàm số
( )
+
=−
2 1
: .
3
x
C y x
Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến điểm I ngắn nhất, với I là giao điểm của hai
đường tiệm cận.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
G
ọ
i
( ) ( )
2 1 7 7
; : 2 ;2
3 3 3
o o o
o
x
M x y C y M x
x x x
+
∈ = = + → +
− − −
Đồ
th
ị
có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng là
x
= 3 và ti
ệ
m c
ậ
n ngang là
y
= 2 nên giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai ti
ệ
m c
ậ
n là
I
(3 ; 2).
04. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ # P1
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
Ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2
2
7 49
3 2 3 3
3
3
M I M I o o o o
oo
MI x x y y x y x x
xx
= − + − = − + − = − + = − +
−−
Áp d
ụ
ng b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Cô-si ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
49 49
3 2 3 . 14 14
3 3
o o
o o
x x MI
x x
− + ≥ − = → ≥
− −
V
ậ
y
( ) ( ) ( )
2 2
min 2
49
14 3 3 7 3 7 3 7
3
o o o o
o
MI x x x x
x
= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = ± → = − ±
+
V
ậ
y có hai
đ
i
ể
m M v
ớ
i hoành
độ
là
3 7
o
x= − ± th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Ví dụ 3. Tìm M thuộc đồ thị hàm số
+
=
+
2 3
1
x
yx sao cho
a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy.
c) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
G
ọ
i M(x
0
; y
0
) là
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đồ
th
ị
0
0
0
2 3
; .
1
x
M x x
+
⇒
+
Đồ
th
ị
có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng là x + 1 = 0 và ti
ệ
m c
ậ
n ngang là y
−
2 = 0
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng là d
1
= |x
0
+ 1|
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n ngang là d
2
= |y
0
– 2|
Theo bài ta có
0 0
1 2 0 0
0 0
3
2 1 2
1
y x
d d x y y x
= +
= ⇔ + = − ⇔
= − +
V
ớ
i
0 0
2
0
0 0 0 0 0
0 0
0
0 3
2 3
3 3 2 0
2 1
1
x y
x
y x x x x x y
x
=⇒=
+
= + ⇔ = + ⇔ + = ⇔
= − ⇒=
+
V
ớ
i
2
0
0 0 0 0 0
0
2 3
1 1 2 2 0,
1
x
y x x x x
x
+
= − + ⇔ = − + ⇔ + + =
+ ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
V
ậ
y trên
đồ
th
ị
có hai
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn
đề
bài là M(0; 3) và M(–2; 1).
b)
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng là d1 = |x0 + 1|
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n tr
ụ
c Oy là d2 = |x0|
Theo bài ta có
0 0
1 2 0 0
0 0
1 8
2 3
3 1 3
1 10
4 3
x y
d d x x
x y
=⇒=
= ⇔ + = ⇔
= − ⇒=
V
ậ
y trên
đồ
th
ị
có hai
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn là
1 8 1 10
; , ; .
2 3 4 3
M M
−
c)
Ta có
2 3 2 2 1 1
2
1 1 1
x x
y
x x x
+ + +
= = = +
+ + +
Gọi M(x
0
; y
0
) là điểm thuộc đồ thị
0
0
1
;2 .
1
M x x
⇒
+
+
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là h
1
= |x
0
+ 1|
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là
2 0
0
1
2
1
h y x
= − =
+
Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là o-s
1 2 0 0
0 0
1 1
1 2 1. 2 2
1 1
BDT C i
d h h x x d
x x
= + = + + ≥ + = ⇒≥
+ +
D
ấ
u b
ằ
ng
đạ
t
đượ
c khi
( )
20 0 0
0 0
00 0 0
7
1 1 0
1
1 1 1
3
1
1 1 2 1
x x y
x x
xx x y
+ = ⇒=⇒=
+ = ⇔ + = ⇔
+
+ = − ⇒= − ⇒=
V
ậ
y trên
đồ
th
ị
có hai
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u là
( )
7
0; , 2;1 .
3
M M
−
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
BÀI TẬP LUYỆN TẬP :
Bài 1. Cho hàm số
( )
2 1
: .
1
x
C y
x
+
=
−
Tìm điểm M trên (C) sao cho
a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Ox.
b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cậng bằng nhau.
c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I là giao của hai tiệm cận.
Bài 2. Cho hàm số
( )
1
: .
2 3
x
C y
x
+
=
+
Tìm điểm M trên (C) sao cho
a) tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng IM, với I là giao điểm của hai tiệm cận
b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cậng bằng nhau.
c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I là giao của hai tiệm cận.
II. TỔNG KHOẢNG CÁCH ĐẾN HAI TIỆM CẬN
Giả sử có đồ thị hàm số
( )
,
( )
f x
y
g x
=trong
đ
ó f(x) và g(x) là các hàm b
ậ
c nh
ấ
t.
Đ
i
ể
m M thu
ộ
c
đồ
th
ị
nên
( )
; .
( )
f a
M a
g a
Đồ
th
ị
có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng là x =
α
hay x –
α
= 0 và có ti
ệ
m c
ậ
n ngang là y =
β
hay y –
β
= 0.
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n các ti
ệ
m c
ậ
n l
ầ
n l
ượ
t là
1
1 2
α
α
( )
α
β
( ) α
d a
k
d d d a
k
f a a
dg a a
= −
→ = + = − +
−
= − =
−
Theo bất đẳng thức Cô-si ta được
α2α. 2
α α
k k
d a a k
a a
= − + ≥ − =
− −
min
2α α α
α
k
d k a a k a k M
a
⇒
= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ± →
−
Ví dụ 1: Cho hàm số
( )
=+
, .
2
x
y C
x Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho
a) M có tọa độ là số nguyên.
b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
Ta có
2 2 2
1
2 2 2
x x
y
x x x
+ −
= = = −
+ + +
Gọi M(x; y) thuộc đồ thị, để M có tọa độ là số nguyên thì
( )
2 1
2 2
2 2
x
xx
+ = ±
+ ⇔
+ = ±
⋮
(
)
2 1 1 1 1; 1
x x y M
+ = ⇔ = − ⇒= − ⇒− −
(
)
2 1 3 3 3;3
x x y M+ = − ⇔ = − ⇒=⇒−
(
)
2 2 0 0 0;0
x x y M+ = ⇔ = ⇒=⇒
(
)
2 2 4 2 4;2
x x y M+ = − ⇔ = − ⇒=⇒−
V
ậ
y trên
đồ
th
ị
hàm s
ố
có 4
đ
i
ể
m M có t
ọ
a
độ
là nh
ữ
ng s
ố
nguyên.
b) Gi
ả
s
ử
( )
;2
a
M a C
a
∈
+
là
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm.
Đồ
th
ị
có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng x + 2 = 0 và ti
ệ
m c
ậ
n ngang y – 1 = 0.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là
1
2
d a
= +
, khoảng cách đến tiệm cận ngang là
2
2
1
2 2
a
da a
= − =
+ +
Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 2
2 2
2 2 2 . 2 2
2 2
d d d a a
a a
= + = + + ≥ + =
+ +
V
ậ
y
min
2
2 2 2 2 2 2 2
2
d a a a
a
= ⇔ + = ⇔ + = ± ⇔ = − ±
+
T
ừ
đ
ó ta
đượ
c hai
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn là
1 2
2 2 2 2
2 2; , 2 2; .
2 2
− + +
− + − −
M M
Ví dụ 2: Cho hàm số
( )
+
=−
2 1
, .
3
x
y C
x Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho
a) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận bằng 8.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
2 1 2( 3) 7 7
2 .
3 3 3
+ − +
= = = +
− − −
x x
y
x x x
Giả sử
( )
7
;2 3
+ ∈
−
M a C
a là
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm.
Đồ
th
ị
có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng x
−
3 = 0 và ti
ệ
m c
ậ
n ngang y – 2 = 0.
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng là
1
3
= −
d a
, kho
ả
ng cách
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n ngang là
2
7 7
3 3
= =
− −
da a
a)
T
ổ
ng kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n hai ti
ệ
m c
ậ
n là
1 2
7 7
3 2 3 . 2 7
3 3
= + = − + ≥ − =
− −
d d d a a
a a
V
ậ
y
min
7
2 7 3 3 7 3 7
3
= ⇔ − = ⇔ − = ± ⇔ = ±
−
d a a a
a
T
ừ
đ
ó ta
đượ
c hai
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
b)
Theo bài ta có
( )
2
1 2
4
3 1
2
7
3 8 3 8 3 7 0
10
33 7
4
=
− =
=
= + = − + = ⇔ − − − + = ⇔ ⇔
=
−− =
= −
a
aa
d d d a a a a
aa
a
T
ươ
ng
ứ
ng trên
đồ
th
ị
có 4
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn là
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 4
4;9 , 2; 5 , 10;3 , 4;1 .
− −M M M M
Ví dụ 3: Cho hàm số
( )
+
=−
2
, .
1
x m
y C
x Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số.
Tìm m để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất bằng 10.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Gi
ả
s
ử
( )
2
;1
a m
M a C
a
+
∈
−
là
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm.
Đồ
th
ị
hàm s
ố
có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng x – 1 = 0 và ti
ệ
m c
ậ
n ngang là y – 2 = 0.
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng là 1
1
d a
= −
và kho
ả
ng cách
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n ngang là
2
2 2
2
1 1
a m m
da a
+ +
= − =
− −
Khi
đ
ó, t
ổ
ng kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n hai ti
ệ
m c
ậ
n là
1 2
2 2
1 2 1 . 2 2
1 1
m m
d d d a a m
a a
+ +
= + = − + ≥ − = +
− −
min
23
2 2 10 2 25
27
m
d m m m
=
⇒= + = ⇔ + = ⇔
= −
V
ớ
i m = 23 ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n cho dmin:
(
)
( )
6 6;7
25
1 1 5
1
4 4; 3
a M
a a
aa M
=
⇒
− = ⇔ − = ⇔
−
= −
⇒
− −
V
ớ
i m = −27 ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n cho dmin:
(
)
( )
6 6; 3
25
1 1 5
1
4 4;7
=
⇒
−
− = ⇔ − = ⇔
−= −
⇒
−
a M
a a
aa M
V
ậ
y có hai giá tr
ị
c
ủ
a m th
ỏ
a mãn và t
ươ
ng
ứ
ng có hai
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
BÀI TẬP LUYỆN TẬP :
Bài 1. Cho hàm số
( )
1
: .
2 1
+
=
−
x
C y
x
Tìm điểm M trên (C) sao cho
a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Oy.
b) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất.
c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I là giao của hai tiệm cận.
d) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận bằng 2.
Bài 2. Cho hàm số
( )
3 2
: .
2 3
−
=
+
x
C y
x
Tìm điểm M trên (C) sao cho
a) M có tọa độ là số nguyên.
b) khoảng cach từ M đến hai trục tọa độ bằng nhau.
c) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất.