Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ TỚI HAI TRỤC TỌA ĐỘ, HAI TIỆM CẬN
Cho hàm số
( ) ( ) ( )
: , ; ;
o
o o o
o
ax b
ax b
C y M x y C M x
cx d cx d
+
+
= ∈ →
+ +
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n tr
ụ
c
Ox
là
1
+
= =
+
o
oo
ax b
d y
cx d
Kho
ả
ng cách t
ừ
M đế
n tr
ụ
c
Oy
là
2
=
d x
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng
d
x
c
= −
là
3
= +
o
d
d x
c
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n ngang
a
y
c
=
là
4
= −
o
a
d y
c
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n
đườ
ng th
ẳ
ng
52 2
: 0
+ +
+ + = → = +
o o
Ax By C
d Ax By C d A B
Kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đ
i
ể
m
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
; , ;
A A B B A B A B
A x y B x y AB x x y y→ = − + −
Ví dụ 1:
[ĐVH].
Cho hàm số
( )
−
=
+
2
: .
1
x
C y x
Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho
a) khoảng cách từ M đến Oy bằng ba lần khoảng cách từ M đến Ox.
b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
G
ọ
i
( ) ( )
2
2
; : ;
1 1
o
o o o
o
x
x
M x y C y M x
x x
−
−
∈ = →
+ +
a)
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n các tr
ụ
c t
ọ
a
độ
l
ầ
n l
ầ
n l
ượ
t là
1 2
; .
= =
o o
d x d y
Theo bài ta có
2
1 2 2
3 6
2 6 0
1
2
3 3 3 3 6
1
4 6 0 2 10
1
−
=
− + = ⇒
+
−
= ⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔
−
++ − = → = − ±
= −
+
ooo o o
o
o
o o o o
oo o o
o
o
xxx x vn
x
x
d d x y x x
xx x x
x
x
V
ậ
y có hai
đ
i
ể
m
M
v
ớ
i hoành
độ
là
2 10
o
x= − ±
th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
b)
Đồ
th
ị
hàm s
ố
có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng là
x
=
−
1 và ti
ệ
m c
ậ
n ngang là
y
= 1.
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng là
1
1.
= +
o
d x
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng là
2
2
3
1 1
1 1
−
= − = − =
+ +
o
oo o
x
d y x x
Theo bài ta có
1 2
6
2 1 1 6 1 6
1
= ⇔ + = ⇔ + = ± → = − ±
+
o o o
o
d d x x x
x
V
ậ
y có hai
đ
i
ể
m
M
v
ớ
i hoành
độ
là
1 6
o
x
= − ±
th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Ví dụ 2:
[ĐVH].
Cho hàm số
( )
+
=−
2 1
: .
3
x
C y x
Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến điểm I ngắn nhất, với I là giao điểm của hai
đường tiệm cận.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
G
ọ
i
( ) ( )
2 1 7 7
; : 2 ;2
3 3 3
o o o
o
x
M x y C y M x
x x x
+
∈ = = + → +
− − −
Đồ
th
ị
có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng là
x
= 3 và ti
ệ
m c
ậ
n ngang là
y
= 2 nên giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai ti
ệ
m c
ậ
n là
I
(3 ; 2).
BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ - P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2
2
7 49
3 2 3 3
3
3
M I M I o o o o
oo
MI x x y y x y x x
xx
= − + − = − + − = − + = − +
−−
Áp d
ụ
ng b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Cô-si ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
49 49
3 2 3 . 14 14
3 3
o o
o o
x x MI
x x
− + ≥ − = → ≥
− −
V
ậ
y
( ) ( ) ( )
2 2
min 2
49
14 3 3 7 3 7 3 7
3
o o o o
o
MI x x x x
x
= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = ± → = − ±
+
V
ậ
y có hai
đ
i
ể
m
M
v
ớ
i hoành
độ
là
3 7
o
x= − ± th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Ví dụ 3:
[ĐVH].
Tìm M thuộc đồ thị hàm số
+
=
+
2 3
1
x
yx sao cho
a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy.
c) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
G
ọ
i M(x
0
; y
0
) là
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đồ
th
ị
0
00
2 3
; .
1
x
M x x
+
⇒
+
Đồ
th
ị
có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng là x + 1 = 0 và ti
ệ
m c
ậ
n ngang là y
−
2 = 0
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng là d
1
= |x
0
+ 1|
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n ngang là d
2
= |y
0
– 2|
Theo bài ta có
0 0
1 2 0 0 0 0
3
2 1 2
1
y x
d d x y y x
= +
= ⇔ + = − ⇔
= − +
V
ớ
i
0 0
2
0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 3
2 3
3 3 2 0
2 1
1
x y
x
y x x x x x y
x
=⇒=
+
= + ⇔ = + ⇔ + = ⇔
= − ⇒=
+
V
ớ
i
2
0
0 0 0 0 0
0
2 3
1 1 2 2 0,
1
x
y x x x x
x
+
= − + ⇔ = − + ⇔ + + =
+ ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
V
ậ
y trên
đồ
th
ị
có hai
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn
đề
bài là M(0; 3) và M(–2; 1).
b)
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng là d1 = |x0 + 1|
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n tr
ụ
c Oy là d2 = |x0|
Theo bài ta có
0 0
1 2 0 0
0 0
1 8
2 3
3 1 3
1 10
4 3
x y
d d x x
x y
=⇒=
= ⇔ + = ⇔
= − ⇒=
V
ậ
y trên
đồ
th
ị
có hai
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn là
1 8 1 10
; , ; .
2 3 4 3
M M
−
c)
Ta có
2 3 2 2 1 1
2
1 1 1
x x
y
x x x
+ + +
= = = +
+ + +
Gọi M(x
0
; y
0
) là điểm thuộc đồ thị
00
1
;2 .
1
M x x
⇒
+
+
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là h
1
= |x
0
+ 1|
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là
2 0 0
1
2
1
h y x
= − =
+
Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là o-s
1 2 0 0
0 0
1 1
1 2 1. 2 2
1 1
BDT C i
d h h x x d
x x
= + = + + ≥ + = ⇒≥
+ +
D
ấ
u b
ằ
ng
đạ
t
đượ
c khi
( )
20 0 0
0 0
00 0 0
7
1 1 0
1
1 1 1
3
1
1 1 2 1
x x y
x x
xx x y
+ = ⇒=⇒=
+ = ⇔ + = ⇔
+
+ = − ⇒= − ⇒=
V
ậ
y trên
đồ
th
ị
có hai
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u là
( )
7
0; , 2;1 .
3
M M
−
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
II. TỔNG KHOẢNG CÁCH ĐẾN HAI TIỆM CẬN
Giả sử có đồ thị hàm số
( )
,
( )
f x
y
g x
=trong
đ
ó
f
(
x
) và
g
(
x
) là các hàm b
ậ
c nh
ấ
t.
Đ
i
ể
m
M
thu
ộ
c
đồ
th
ị
nên
( )
; .
( )
f a
M a
g a
Đồ
th
ị
có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng là x =
α
hay x –
α
= 0 và có ti
ệ
m c
ậ
n ngang là y =
β
hay y –
β
= 0.
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n các ti
ệ
m c
ậ
n l
ầ
n l
ượ
t là
1
1 2
α
α
( )
α
β
( ) α
d a
k
d d d a
k
f a a
dg a a
= −
→ = + = − +
−
= − =
−
Theo bất đẳng thức Cô-si ta được
α2α. 2
α α
k k
d a a k
a a
= − + ≥ − =
− −
min
2α α α
α
k
d k a a k a k M
a
⇒
= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ± →
−
Ví dụ 1:
[ĐVH].
Cho hàm số
( )
=+
, .
2
x
y C
x Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho
a) M có tọa độ là số nguyên.
b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
Ta có
2 2 2
1
2 2 2
x x
y
x x x
+ −
= = = −
+ + +
G
ọ
i M(x; y) thu
ộ
c
đồ
th
ị
,
để
M có t
ọ
a
độ
là s
ố
nguyên thì
( )
2 1
2 2
2 2
x
xx
+ = ±
+ ⇔
+ = ±
⋮
(
)
2 1 1 1 1; 1
x x y M
+ = ⇔ = − ⇒= − ⇒− −
(
)
2 1 3 3 3;3
x x y M+ = − ⇔ = − ⇒=⇒−
(
)
2 2 0 0 0;0
x x y M+ = ⇔ = ⇒=⇒
(
)
2 2 4 2 4;2
x x y M+ = − ⇔ = − ⇒=⇒−
V
ậ
y trên
đồ
th
ị
hàm s
ố
có 4
đ
i
ể
m M có t
ọ
a
độ
là nh
ữ
ng s
ố
nguyên.
b) Gi
ả
s
ử
( )
;2
a
M a C
a
∈
+
là
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm.
Đồ
th
ị
có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng x + 2 = 0 và ti
ệ
m c
ậ
n ngang y – 1 = 0.
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng là
1
2
d a
= +
, kho
ả
ng cách
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n ngang là
2
2
1
2 2
a
da a
= − =
+ +
Khi
đ
ó, t
ổ
ng kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n hai ti
ệ
m c
ậ
n là 1 2
2 2
2 2 2 . 2 2
2 2
d d d a a
a a
= + = + + ≥ + =
+ +
Vậy
min
2
2 2 2 2 2 2 2
2
d a a a
a
= ⇔ + = ⇔ + = ± ⇔ = − ±
+
Từ đó ta được hai điểm M thỏa mãn là
1 2
2 2 2 2
2 2; , 2 2; .
2 2
− + +
− + − −
M M
Ví dụ 2:
[ĐVH].
Cho hàm số
( )
+
=−
2 1
, .
3
x
y C
x Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho
a) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận bằng 8.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
2 1 2( 3) 7 7
2 .
3 3 3
+ − +
= = = +
− − −
x x
y
x x x
Gi
ả
s
ử
( )
7
;2 3
+ ∈
−
M a C
a là
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm.
Đồ
th
ị
có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng x
−
3 = 0 và ti
ệ
m c
ậ
n ngang y – 2 = 0.
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là
1
3
= −
d a
, khoảng cách đến tiệm cận ngang là
2
7 7
3 3
= =
− −
da a
a) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 2
7 7
3 2 3 . 2 7
3 3
= + = − + ≥ − =
− −
d d d a a
a a
V
ậ
y
min
7
2 7 3 3 7 3 7
3
= ⇔ − = ⇔ − = ± ⇔ = ±
−
d a a a
a
T
ừ
đ
ó ta
đượ
c hai
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
b)
Theo bài ta có
( )
2
1 2
4
3 1
2
7
3 8 3 8 3 7 0
10
33 7
4
=
− =
=
= + = − + = ⇔ − − − + = ⇔ ⇔
=
−− =
= −
a
aa
d d d a a a a
aa
a
T
ươ
ng
ứ
ng trên
đồ
th
ị
có 4
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn là
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 4
4;9 , 2; 5 , 10;3 , 4;1 .
− −M M M M
Ví dụ 3:
[ĐVH].
Cho hàm số
( )
+
=−
2
, .
1
x m
y C
x Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số.
Tìm m để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất bằng 10.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Gi
ả
s
ử
( )
2
;1
a m
M a C
a
+
∈
−
là
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm.
Đồ
th
ị
hàm s
ố
có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng x – 1 = 0 và ti
ệ
m c
ậ
n ngang là y – 2 = 0.
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng là
1
1
d a
= −
và kho
ả
ng cách
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n ngang là
2
2 2
2
1 1
a m m
da a
+ +
= − =
− −
Khi
đ
ó, t
ổ
ng kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n hai ti
ệ
m c
ậ
n là
1 2
2 2
1 2 1. 2 2
1 1
m m
d d d a a m
a a
+ +
= + = − + ≥ − = +
− −
min
23
2 2 10 2 25
27
m
d m m m
=
⇒= + = ⇔ + = ⇔
= −
V
ớ
i m = 23 ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n cho dmin:
(
)
( )
6 6;7
25
1 1 5
1
4 4; 3
a M
a a
aa M
=
⇒
− = ⇔ − = ⇔
−
= −
⇒
− −
V
ớ
i m =
−
27 ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n cho dmin:
(
)
( )
6 6; 3
25
1 1 5
1
4 4;7
=
⇒
−
− = ⇔ − = ⇔
−= −
⇒
−
a M
a a
aa M
V
ậ
y có hai giá tr
ị
c
ủ
a m th
ỏ
a mãn và t
ươ
ng
ứ
ng có hai
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: [ĐVH].
Cho hàm s
ố
( )
2 1
: .
1
x
C y
x
+
=
−
Tìm điểm M trên (C) sao cho
a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Ox.
b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cậng bằng nhau.
c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I là giao của hai tiệm cận.
Bài 2: [ĐVH].
Cho hàm số
( )
1
: .
2 3
x
C y
x
+
=
+
Tìm điểm M trên (C) sao cho
a) tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng IM, với I là giao điểm của hai tiệm cận
b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cậng bằng nhau.
c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I là giao của hai tiệm cận.
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Bài 3: [ĐVH].
Cho hàm số
( )
1
: .
2 1
+
=
−
x
C y
x
Tìm điểm M trên (C) sao cho
a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Oy.
b) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất.
c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I là giao của hai tiệm cận.
d) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận bằng 2.
Bài 4: [ĐVH].
Cho hàm số
( )
3 2
: .
2 3
−
=
+
x
C y
x
Tìm điểm M trên (C) sao cho
a) M có tọa độ là số nguyên.
b) khoảng cach từ M đến hai trục tọa độ bằng nhau.
c) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất.