intTypePromotion=3

Lý thuyết và bài tập Đại số tuyến tính: Phần 2

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:97

0
94
lượt xem
24
download

Lý thuyết và bài tập Đại số tuyến tính: Phần 2

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiếp nối phần 1, mời các bạn cùng tham khảo tiếp phần 2 Tài liệu sau đây. Trong mỗi chương có trình bày phần tóm tắt lý thuyết, các ví dụ, các bài tập tự giải và cuối mỗi chương có phần hướng dẫn hoặc đáp số. Các bài tập được chọn từ dễ đến khó, có những bài tập mang tính lý thuyết và có những bài tập rèn luyện kỹ năng nhằm giúp sinh viên hiểu sâu thêm môn học.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết và bài tập Đại số tuyến tính: Phần 2

  1. C - BAT TAP §1 KHONG GIAN VEC TO VA ANH XA TUYEN TINH 2.1. Cho ma tran X E in. ]K) 7 0, 6 )1 9H- X = (a,), A 1 = la cot tha j ca» ma tran X, =1,2, 1) a ) B,, B.,. , B„ la cite cot cUa ma tran X. X' Chang minh rang cite khong gian con rim R" sinh boa Al, A„ va sinh bai 13 1 , , B„ trimg nhau, tit de suy ra rangX = rang(X. 2.2. Chang minh rang mei ma ran hang r d ou via dude duai clang tang cua r ma tran hang 2.3. Cho E 19 la hai K - khang gian vec to va u e Hom w (E, F). Cac vec tel x 1 , , x , thuoc Kern; y l , y, la nhang vec to brit k9 thuec E. Chang minh rang hai trong ha khang dinh sau keo theo khang dinh MEI ha. 1) lx,, , la cd sa can Ecru. 2) B(y,), u(ydl la cd sa cUa Imu. 3) K r , y s} la ed so ciia E. Tit do suy ra nen E hau han chieu thi dimE = dim(Keru) + dim(tmu). 96
  2. 2.4. a) GM sit E va Fla hai kheng gian vec to him han chieu tren truring IK, dimE = dimF = n. u e Hom K(E, F). Chung minh rang u don cgu khi va chi khi u town b) Neu vi du chUng to rang neeu E va F có so" chie"u vo han, menh da tren kfrong dung MM. 2.5. Cho a la mat ph6p thgbac n va u E End(C) xac dinh bar u(Z,, Za) = (Z.K0 , Zem •• • )- ;II) a) Hay tam ma tran A cim u trong co sa to nhien te r , &la C. It) Tim tat ca the ma trait B e Mat(n, giao hoan duple vdi A. 2.6. X6t kh8ng gian vec td E him han chigu tren truang K. a) GM s>i fe„ , e„) la mot co so cim E, a„ , a,, la nhiing vo hudng doi mat klMc nhau, u e End(E) the dinh bai u(ei) = ° ; e; = 1, , n). Chung minh rang nth v e End(E) ye u.v = v. d thi ton tai nhUng vo hudng p„...,j3„ sao cho v(ei) = [3;e;. b) ChUng minh rang nth to clang cgu tuygn tinh u giao hoan vdi moi to clang eau tuyeIn tinh tha E, thi t6n tai ve hitting E K u(x) = 7rx vdi moi x e E. ..2.7. Cho A =(aIii )e Mat(n, K); det(A) x 0; V la mat killing *4, vec to tren truang K va uj e End(V), j = 1, ..., n. Chting minh rang nth cac to deng cgu tuygn tinh vi = (i = 1, 2, n) giao hoan vat nhau, thi cac u3 cling giao hoan vdi nhau. 97
  3. 2.8. Gia sil A e Mat(n, R), detA # 0 va trong moi (long efn A co dung mot s6 khac khong, bang ± 1. Chung minh rang: a) Al = A-1 b) Co seta nhien m de Arl = A'. 2.9. Cho V la khong gian vac to Hen truing K va u End(V), x la vec to cria V them man IOW = 0 va u° 4 (x) # 0 v6 mat se' nguyen throng q nao do. Chimg minh rang he {x = u°(x) u(x), , 10-1 (x)} lap thanh mat he [lac lap tuygn tinh. 2.10. Gin sir) V la lit - khong gian vec to n chialt; f, g End(V), Id la anh xa clang nhdt cim V. Chung minh rang nei Id - g o f la clang cdu dm V thi fog - Id cling lA (tang cdu ciaa V. 2.11. a) Hai tu citing cdu u, v E EndK(V) duac goi la Worn during ngu c6 die dang cdu p, q cem V sao cho uep=q v Chung CO rang u va v taking during khi va chi khi chung NS cum hang. b) Tit a) suy ra rang nalu X E Mat(n, K), hang X = r, thi tar tai cac ma trnn khong suy bP6n P, Q e Mat(n, K) sao cho: 'Ir 0 I, 0 X = Q . .P a do la ma tran vuong cap n 0 0 00 , al gee tren b8n trai la ma trnn don vi h cap r. 2.12. a) Cho V a khong gian vac to n chigu tren trUang Ira u, v e End(V) sao cho u o v = 0. Chung minh rang hang(u) + hang(v) < n. 98
  4. (^ri±ng 11111111 rang vo. mai hi ci6ng eau u e End(V) deu Ong cdu V e End(V) sao cho u 0 v = 0 va hang(u)+ hang(v) = n. 2.11 Cho E, F, G, H la cac khong gian vec td hitu Mtn cht4u men trodng K, u c Hom(F. 0), u ce hang r. Hay tim hang dm cac anh xa tuyeho t(nh sau: a) cp: Hom(E. F) —> Horn(E, G) uv b) di; Hom(G, H) —> Bom(F, H) F--> 0)01.1. 2.14. Cho E la khong gian vec to n chien, u, v e End(E) sao cho rang (u - Id E) = r, rang(V - Id E) = s. Chiing minh rang range o v - id s) r + s. 2.15. Cho E la khOng gian vec to tren trtiang K Nth u e End(E), rang u = 1. ChUng minh rang t6n tai 1. e 1K a u2 = Min ntm, neAl X # 1 thi Id E - u la clang mill. 2.16. Gia s>i V la khong gian vac td tren trtfong so thuc R; dim V = n; f e End (V). Chdng minh rang en sdN nguyen ding sao cho rang (fk) = rang (F`') vol moi k 2 N. 2.17. Cho ma tran A e Mat (n, K), A = (a id ma a ii = 0 vol moi i = 1, 2, n. Chimg minh rang t6n tai ma trail B, C e Mat (n, R) de A = BC — CB. 99
  5. 2.18. Cho hai ma tram A, B E Mat (n, K). a) Chiang minh rang ma tren A d6ng clang vol X In thi A=X I„ X e ]K, In la ma tran ddn vi. b) Neu A, B la hai ma train d6ng dang, thi A 2 deing clang vet B2, At &Ong clang vdi 13' va ndu A, B kha nghich, thi A -1 &ling dang vdi B-'. 2.19. Chung minh rang m8i ma trail vuong cep hai tren truring K &et' d6ng clang vdi ma tran chuydn vi eila no. 2.20. a) Chung minh rang to d6ng ceu tuyen trnh u e End(V) thCla man didu kien u2 (Id — u) = u (Id — u) 2 = 0 thi u lily clang, nghia la u 2 = u. b) Flay tim phep bign del tuygn tinh kluing lily clang u thda man (Id — u) = 0. c) Hay dm phep bign ddi tuygn tinh khong lily ding u th6a man u (Id — u)2 = 0. 2.21. Cho V la kh8ng gian tree td tren trtiang K. a) Neu f, g la nhfing dang tuyen tinh tren klreng gian vac td V thOa man f(x) = 0 nett g(x)-e 0, thi co v8 Inking a e K M f=a. g. b) Cho f, f„ f„ la nhung dang tuyen tinh trail khong gian •vdc td V sao cho f(x) = 0 neM fl(x) = 0, i = 1, 2, ..., n. Chung minh rang ton tai nhung vo hudng a l , c(2 , , an sao cho f = a 1 f, +a2f2 n. +a„f 2.22. rot khong gian vec td n chigu V veil cd sa le l , e„) vk V* la khong gian lien hop ens, V, nghia la khong gian cac dang 100
  6. tuyen Utah tren V. Vdi moi = 1, 2, n xec dinh clang Wyk tinh e V* bait j Qej) = Sij = 1i=j Chung minh rang (£ 1 , ...,1„1 la cd sa cua V* va do do.dim V* = dim V = n. Cd sa fb, f„} ciudc goi la cd sa lien hop hay ed sa d6i ngau N:i ed sa ••., 2.23. Chang minh rang nen fil, la nhfing dang tuy6n tinh tren khong gian vec to n chieu V, vdi m < n thi ton tai phiin ti x t 0 trong V sao cho fi (x) = 0 vdi moi i = 1, 2, ..., m. TU do hay suy ra met k6t qua v6 nghiem cua he phudng trinh thuan nht. 2.24. Cho V* Fa khong gian lien hdp cna khong gian vec td V; u e End(V). Xet u*: V* —> V* the dinh bat u* (y) = you. a) Chling minh rang u la phep Men dot tuyen tinh cua V*, u* chive goi la phep Bien d6i tuyen tinh lien hop vdi u. b) co sa{e..., en} (1) cila V va cd sa{f i , •••, in} (2) cua V* lien hdp vdi ed sa (1). Chung minh rang ma tran (l u), cua u* trong cd sa (2) la ma trait chuye'n vi cua (ct ii)„ cua u trong Cd sa (1), nghia la Po = a3; vdi moi 1 5 i, j n. 2.25. Cho V* la khong gian lien hop vdi khong gian vac td V, S la be phan dm V. RI hie, u 8° la tap tal ca the phan to f E V* sao cho f(x) = 0 vdi moi x e S. a) ChUng minh S° la kitting gian con cua V* b) ChUng minh rang nett dimV = n va S la kitting gian con m chieu cua V thi dim S ° = n-m. 101
  7. 2.26. GiA s& V* IA khong gian lien hop vdi V, T la met be phan ciia V. Ki hieu T ° IA tap tat ca cat x e V sao cho f(x) = vdi moi f E T. a) Ch'ing minh I"' la khong gian con ciaa V. h) Xet S c V va S' ) c V* duct dinh nghia a bai 2.25. Chung minh rang (St la khong gian con oils. V shill bal. S. Dao biet. S la khOng gian con thi (S")" = S. c) Gia st V hfiu han chi6u. Chung minh (T") ) la Xining gian con cfm V* sinh boi T. D4c biet, neal T la khong gian con cUa V* thi (T") ) = T. d) Chting t6 rang Meal V ve han °hien thi trong Wee khong gian con T sao cho (1 1°)° # T. 2.27. Cho V* la khong gian lien hop ciia khong gian vet td V. IV,I, €1 la ho nhfing khong gian con oda V. Chiang minh: a) n VID = ier Biel .0 1, ( fl y; = I Vi° neat V Mitt han chi6u. IET / ki c) Khang dinh b) van ching n6u I Mill han, con V ce the vo han chigu. d) Khang dinh b) khong con dting neal I ve han va V ve hat. chi6u. 2.28. Cho (1',), e i IA ho the khong gian con ciaa khong gian V* lien hop vdi khong gian vec to V. 102
  8. Chung minh: a) ETi I = nrE \ iel iE=.1 b) n ieL = n6u V heti hen chiau. c) NC, u N.2 va han, thi trong V* cia hai khong gian can T, (T,11T,r, Ti r12. 2.29. Cho E la te'ng true tipcim hai khong gian con V va W; x e E viet dupe duy nhat dUdi clang x= y+ z; y c V va z e W. Ta goi phep chigu cea E len V song song vdi W la clang eau tuyen tinh p: E —> E xAc dinh bai p(x) = y. Ching minh rang cl8ng cad tuyan tinh p: E E la phep chi6u khi ve. chi khi p= = p. 2.30. Cho E la khong gian vec td va p e End (E). Chiing minh rang p la phep chi6u khi va chi khi Id — p la phep chi6u. Khi do Imp = Ker (1d-p); Keep = Im (Id-p). 2.31. Cho V Ea khong gian vec td tren tnidng K va f E End(V). Chung minh rang P = 0 khi va chi khi Imf c Kerf. ChUng minh rang trong trUCing hap nay g = hi + f la melt tkt deng ceu dm V. 2.32. Cho V la khong gian vec td hilu han chiau va u e End(V). 103
  9. a) Cluing minh rang co hai co sa {e„ e„) va {E D ..., en} cna V via soi nguyen s (0 s n) sao cho u(e,) = 6, vdi i i< s va u(e) = 0 vii s < i < b) Tit do suy ra bin tai to clang caiu tuygn tinh v mart V sao cho you la phep chigu. 2.33. a) Cho p la met phep chigu caa kheng gian huu han chigu V. Chung minh rang trong V co cd sa trong do ma Wm A = (a3 ) ena p co clang dac biet: a, 4 = 0 ngu i # j; ail = 1 neu 1 s. b) Tu (Icing Pau tuygn tinh u duos got la del hop ngu u 2 = id. ChUng minh rang clang thuc u = 2p - id thigt lap mat song finh tit tap tail ca cac phep chigu p trong V len tap Cal ca cac doi hop u. 6 day V la khong gian vec to tren truing K voi dac s6 khac hai. c) Tit a) va b) co thd not gi lid ma tran cua phdp del hop teen mat khang gian huu han chidu. §2 HE PHUCNG TRINH TUYEN TiNH 2.34. Tim met he nghiem cd ban caa he phuong trinh sau: x1 - 7x 2 + 4x3 + 2x 4 -0 2x 1 -5x.2 +3x3 +2x 4 + X 5 =0 5x 1 -8x. 2 + 5x 3 + 4x 4 +3x5 = 0 • 4x 1 -x 2 + X 3 + 2x 4 + 3X 5 = 0.
  10. ▪ - 2.35. Cho hee, phudng trinh thuan nhat: 2x 1 5x, + x 3 + 2x4 = 0 5x 1 - 9x 2 2x3 7x4 = 0 -3x1 7X9 X3 + 4x 4 = 0 4x1 6X2 + X3 - kX4 = 0 Hay giai va bien Man then A he phudng trinh Wen. 2.36. ret he phudng trinh: 1 a(b -c)x + b(c -4 + c(a. -13) z = 0 (b-c)x 2 + (c -4 2 + (a. -b)z2 = 0 GM sit a, b, c cloi met phan Wet. Chung to rang he tren co ghiem hoac x = y = z hoac ab -be + ea bc -ca +ab ca -ab +bc 2.37 Gigi he, plutAng trinh: -X1 1 + X 2 4- X3 x 4 a - x2 X3 + X xl + X9 + X3 + x4 X1 + X2 + X3 + x4 2.38. Giai va bien Man he phudng trinh tuyen tinh sau: 2x + y z = a X + my z 3x + y mz = c 105
  11. 2.39. Tim digu kien din va du a 4 dim A,(x l , VI), Ai(xi, 312), A3(x3, 310, Ai(xi. y1 ) khong ce 3 digm nao thang hang ngm tren met &tang trOn. 2.40. Tim da the bac 3 vdi he so thoc f(x) sao cho £(-1) = 0, f(1) = 4. f(2) = 3 va f(3) = 16. 2.41, Ch9 A = (a i g e Mat (n. K) sao cho dot A = 0. Goi la phan phu dal ce cUa phgn to a,,, gia thigt A 11 # 0. Hay tam mat he nghiem co ban cila he phtiong trinh thuan nhal sau: L Auxi 1=1 §3. CAU TRUC CUA MOT TV DONG CAU 2.42. Ching minh rang m6i gig tri rieng ciga phep chiegi dgu bang 0 hoar 1 va m6i gia tri rieng oda phep dM hop dgu bang 1 hogc bang —1. (xem bai 2.29 va 2.33). 2.43. Cho A, B la hai ma trail vuong gang a) ChUng minh rang neu A, B deng Bang thi cluing ca clang met da fink dac trting. b) Chung minh rang n6u A, B ce cling da thug dac thi det A = det B. c) Cac khang dish dao dm va cua b) có dung khong? 2.44. Gia sit ip la met to d6ng ca/u cua khong gian vec to thkic n chigu V, trong mot ca sa nao do co ma Han A. Chung minh rang da tilde dac trong oua pee dang: 106
  12. PTO,) = (-2,)" + c,(-2,)"1 + + + 'Prong do ck Yang cua tat ca the dinh thew con chin)) cap k cua ma Han A, )inh thew eon chinh la dinh thfic con lap nen tit the (long va re c.0t vdi chi s6giang nhau). 2.45. Gia sa ( la to deng Ha.' cua khong gian yen to V n nen trru trtfong K. Gni la mot nF,Thi e. m cua da ',hue dac Hang cua 9, 2,„ co hieu r= rang (9-2, 0M). Hay cluang minh I < n — r 5 p. Y.46. Havain) nghiem dac trung cua ma tran AeMat (n, C). 0 -1 0 1 0 -1 1 1 2.47. Tim da the dac bung cua ma tran vuong cap n. 0 1 0 1 A= 0 1 a va a an Tit do suy ra m6; da thin; bac n yea he t>i cao nhat (-1)" den a da their dac Hung cua met ma trdn valuing cap n nao do. 107
  13. 2.48. GM V lk khong gian vec W n chieu troll trUang K, cp E End (V), X° la mOt gia tri rieng ena gyp,700 la khong gian con rieng cna V, ling vdi gia tri rieng A 0 . ChUng minh rang so chigu cim g1 /.0 khOng vuyt qua sei bOi p cem nghiem 700 cua da thdc (lac trung dm. T. Hay chi ra VI du trong do dim "91 A, < p. 2.49. Cho o la mot phop thg bac n va u e End (0 1) xac dinh ban u (Z„ Z„) = (74,„„), ..., Hay tim da thfic dac trung va the gia tri rieng ctia tu clemg tau u. 2.50. Cho f e End (R"), trong co se, to nhien {o„ ..., e n} co ma tran A=(a d),tldoa1 = a vOi moi i va a d = b yen ix j; a # b. Hay tim mOt ccI so cem R" a ma tran cua f trong cd sa do co Bang 2.51. Cho A, B e Mat (n, C). a) Chung minh rang the ma train AB va BA co cling tap hdp the gia tri rieng b) HOi AB va BA co clang da thne dac trung hay killing? 2.52. Gia sU V la khOng gian vec td phito him han chieu, f e End (V) ma co se N, nguyen during dg fN = Id. Chtng minh rang trong V co co sä gom nhfing vec td rieng cua f. 2.53. GM sif ma tran S e Mat (n, K) co anh chgt: Kai moi ma tran A e Mat (n, 1K), to Mon viet duye mot each duy nhfit 108
  14. dual. dang A = A, + A2, a do A, giao haw vdi S va A2 phan giao hoan vdi S, nghia la A,S = SA„ A 2S = -SA2 . Chung minh rang 52 = X. I„ la ma tran dun vi. 2.54. Cho E la khOng gian vec td huu han chieu va f e End(E). Vai m8i i = 1, 2, ... dat V; = kern va W, = Im(P). a) Chung minh V, c Vm , voi moi i = 1, va t6n tai s6 m V„, = v„,+, va khi do V. = V,„„ vdi moi j x 1. b) Chung minh E = V„, W„, vdi m tim chide trong can a). c) Vm va tim duo trong a) la nhUng khong gian con bOt Bien doi vdi f. Hon nua, f Iny linh tren va kha nghich tren W„,. 2.55. Cho V la khong gian vec to tren truOng 1K (1K bang R hoac C), 9 e End (V) va p lily linh. Chting minh rang: a) Moi gia tri rieng cua cp deli bang 0. b) Neu dim V = n thi da thlic dac trung cem 9 la oon. 2.56. Chiang minh rang neu W la tv d6ng ca'u cua khong gian vec td phac han han chieu ma moi gia tri rieng deli bang khong thi linh. 2.57. Gia s>t V la Haling gian vec td tren &Jiang ]K va dim V = n. f e End (V) la tv clang cali lily linh dm V. ChUng minh rang PI = O. 2.58. Gin sO V lh khong gian vec td tren trUang K va f e End (V), rang f = 1. 109
  15. Chung minh rang ton tai met co so dm V de trong do r tran cern f c6 dang: 'a 0 . 0 ' to p 0 0 0 . 0 0 0 hoac 0 0 0 \ 0 0 ... 0 Neu f co ma Den a dang thu hai, thi f lay linh va c2 = O. 2.59. Chung to rang neu hai tp deing cau L g gem kh6) gian V Dacia man he thew f.g—g f = Id (0 thi vai moi k e ta — &c.f. = k.g" (2). Tit d6 suy ra rang khong the t6n tai the tp dgng cit'u tiv man he theic (1). 2.60. Chung minh rang, d6i yeti ho bat kY CAC torn to tuy tinh giao hoan vdi nhau Ding doi mgt trong khong gian vac hem han chigu- tren trang so" Ode, tan tai yen to rieng chui cho tat cA the Loan to tuyen tinh cria ho do. D. HU6NG DAN HOAC DAP S6 §1 KHONG GIAN VEC TO VA ANH XA TUYEN TINI 2.1. GM sU V, W Ian hurt 1a cac kheng gian sinh bai A„ ka B 1 , ..., Dr Veli mei = 1, 2, n thi B, = a,,A, + a 2A2 + u„,A„.. Do do W c V. De chUng mini) W = V, ta chi can char minh dim W dim V. Ta c6 dim W = rang (X . X') = n — d, trong do d bang chigu cua khong gian H the nghiem ena phudng trinh: 110
  16. t„). (X . Xt) = (0, 0, .., 0). Neat Y = (t,, t) E H Y. XX' = 0 X.)4' . = 0o Y . X. X' . = (Y.X) . (Y.X)' = 0 Y.X = 0. Nhtt vay Y e M la khOng gian nghiem cim phuong trinh t„) . X = 0 to do dim W=n—cln— dim M = rang X = dim V. Do do W = V. 2.2. Gia su A„ ..., la the vec to cot. (-Ala ma tran X hang r. C6 th6 gia thi6t A„ (lac lap tuy6n tinh. Khi do cac Ai ; r < 5 n bie'u thi tuyett tinh qua A„ ..., A,. Al = a,,A, + cii2A2 + + a„ A, N611 dung ki hieu (A„ A2, ..., A ,) (16 chi ma tran co cac vec to cot la A l , A2, A„ thi aciAl) Mei ma tran 6 v6phili c6 hang 1. 'Pa co digu phai cheing minh. 2.4. b) Xet R [x] la khong gian vec td the da thew sr& he s6 thitc. Xet u: R [x] —> R[x] f(x) --) x . 116 rang u la chin caM, nhting khong than eau, vi Imu khong chiia nhiing da theic bac khOng. 2.5. a) Theo each the dinh caa u thi trong ea so tu nhien (e l , ..., en} cern C", to ca u(e) = e,„„ Vay A = (ad la ma trait cua u trong co so {e„ thi 111
  17. {1 i (j) auo = 0 voi # a (j) b) Gia sii B = e Mat (n, C) Xem B IA ma tram cila phep bien den tuygn tinh trong cd to nhien cna en : v(e i )= Eb n a . Khi do AB = BA a uV = vu < uv(ej ) = vu(a) j = 1, 2, in n Eb u(a)= v(e a0)), j = 1, n < n n n E bijecro) = Ebi,wei = i=1 b ;,= bc,(;) „„, voi mci i j , 1, ..., n, nhu vay, the ma tran giao hoan dime vo i A la cic m tran B = (130 sao cho b u = bum on) voi myi i, j = 1, 2, . n. 2.6. a) De dang. 11) Gia stl u e End s (E) giao hoan voi d6ng eau v End K (E). Theo a) u (e) = p ie, voi {e„ cd so nao do dm I Gia sV i # j, 1 g 3 , j < n to hay chfing minh 13, = pi . Clam v EndK (E) sao cho v(e k) = Vk 1, 2, ..., n. Tit vou = uov say vou(e) = uov(e,). Nhu vay j3, e 3 = u (a) = rija a (D i -13i) =0= P: -pj=A. Tit dou(x)=Axvoimoixe E. 2.7. Ta co the bieu din n clang (laic Ea nu i= jet n) &MI dang clang (Mk ma tran sant , . .v ( ail 312 aIn ‘ Ill 1 [a21 a22 v2 an1 ant ann / n Vn 112
  18. VI ma Han A = (an ) khong suy men, nen co ma tran nghich dge 11 = A- ' = (bd. Do b(au) = (ba) u voi nun vo Imang a, b va voi moi phep bi6n den tuyen tinh u nen La co: ul (u i B. =[B .A]. • Aun j .. 0 ul 1 bin 0 u2 = 6 21 b2n v2 Tie do to co: 01 ••- l 0 1 Lon) bn bnn v ni Hay u ; = ybi,v; Theo gig thigt, eac vi giao &ban voi nhau, nen suy ra the u, thing giao honn voi nhau. 2.8. a) Vi A khOng suy bign nen mei cot ena no cling co dung met phAn to klthe khong. Gig set A = (a n), A t = fa t) a t _ a ,, ij Hat A.AL = B = (b 0). Ta c6 b ii = L a ik -a ki = L a ikaik=sij k=1 Vi vgy A.AL = In = A-1 . 113
  19. b) Cacti 1: Goi G la tap cac ma tran clang troll Ta thdy A e G, B E G thi A. B e G, A- ' =A° e G. Do do C lam thanh nhgm con cim nhian GL (n, R) cite ma Dan vuong cdp n khong suy bign. Vi s6 cac phial to °Pa nhOm G la lulu han, nen vdi A e G, t6n tai k e N k 21, dd = Ak - ' = = At, nhtt vay A"' = At vdi m = k — 1 e N. Cad' 2: Gia sit (e ) , ..., en) la co sa W nhien cim f e End(R") c6 ma trait A trong co sa {e l , enL Ta e6 f(e,) = ± no) 6 d6 a la phep thg bac n. Vdi m61 i = 1, 2, n xet a(i), a 2(i), tai k,deg ak'(i)=i, khi do f(e,) = ea p o = e, PLi(6) = e, Dat k = 2 . k, kn thi gc(e) = e, V ; = 1, n hay f" = Id Ak = In, ldy m = k — 1 to c6 = AL-1 = At. 2.10. GM sit f.g — Id khong la clang cdu claa V, khi do t6n tai x E V, x # 0 a (fog — id) (x) = 0. Hay fog (x) = x. Dant g(x) = y e V, to co f(y) = xz 0= yx 0. Xet (Id — gof) (y) = y — g (fly)) = y — g(x) = y — y = 0. Digu nay chfing to rang c6 y x 0 dO (Id — gof) y = 0, trai vdi gia thief Id — gof la (fang cdu. 2.11. a) D6 thdy u, v Wong ding thi co gang hang. Ngudc lai, n6u hang u = hang v = r, theo bai 2.3, trong V c6 cac cd sd {6, ..., en}, (e),, e'„1 t(ei) = e't = 1, r), u(u) = 0 > r), va c6 cac cc' sa e„}, e'„} v(e) = e,' vdi i = 1, r, v(el) = 0, j > r. Xgt p E End (V) p (e,) = e; voi moi i= 1, n; Xet q e End (V) sao cho q(s) = e', (i = 1, n) thi uop = qov. b) Suy ra tit a) 114
  20. 2.12. a) De dang do Tiny c Keru va dim Imu + dim keru = dim V. b) Xet co so ..., en/ va {c1 , c„} rim V sao cho u(e,) = e, (i = 1, 2, r) va u(e,) = 0 (j > r). Xet v E End (V): v (c,) = 0 (i 1, r); v(c,) = ei vai r + 1 5 j < n. Khi (id vou = 0 va hang u + hang 2.13. a) rang rp= dim E x r b) rang ty = dim FI x r. 2.14. WE( u, = u — Id E , v, = v — Tit do u.v —Id E = + IdE) (v, + IdE) — Id E = = u, . v1 + u, + v, = u, (v i-lIdE) + v, nhung rang u, (v, + IdE) ic rang u, va rang fu l (v, + IdE) + rang u, (v, +14) + rang v 1 . Do vdy: rang (uov — H E) < rang u, + rang v, = r + s. (xem vi du 2.14). 2.15. Vi rang u = 1 dim (Imu) = 1. Gia sii {x,4 la ed sd GM Imu. Do u(x 0) e Imu nen co 2, e 1K: u(x o) = Ax„. Ta hay thing minh u = = Au. Vol x e E u(x) = a . x o u2(x) = a u (x0) = a . Xxo = X a. xo = Au(x) vdi moi x e E u2 = Au. Gia # 1, tim 71 a (Id — u) (Id - nu) = Id. 1 Di5u do tudng &tong vdi (fik x_1 .14.y 1 Id-u Icha nghich va nghich dao mid no la: Id + u. 1-X 115

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản