Một số chuyên đề khảo sát hàm số bám sát kỳ thi THPT Quốc gia: Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:85

Thêm vào BST

Báo xấu

61
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cuốn sách được chia làm 27 phần nhỏ kết hợp kiến thức cả 3 lớp 10, 11, 12. Mỗi phần nhỏ là sự kết hợp giữa tóm tắt lý thuyết,lý thuyết nâng cao, bài tập ví dụ và giải bài tập. Sách được chia thành 2 phần, mời các bạn cùng tham khảo phần 1 cuốn sách.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số chuyên đề khảo sát hàm số bám sát kỳ thi THPT Quốc gia: Phần 1

NGƯT. ThS. l i : HOÀNH PHÒ C ác ch u yên đ ề 'i BáminTĐCTHi T H P T Q U Ố C G iA EB
Th.s NHÀ GIÁO u ư TỦ LÊ H O À N H P H Ò CÁC CHUYÊN ĐÊ BÁM SÁT ĐỀ THI THPT QUỐC GIA KHẢO SÁT HÀM SỐ N H À X U Ấ T B Ả N Đ Ạ I HỌC Q ưốc G IA HÀ N Ộ I
LỜI N Ó I ĐẦU Các Km học sinh thân môn! Nhằm mục dích giúp các bạn học sinh lỚỊ) 12 chuan bị thật tôl cho KY THI TRUNG HỌC R H ổ THÒNG QUỐC GIA dạt diếm khá, diổm cao dể trúng tuyến vào các trường Cao dang, Đại học mà mình dã xác dịnh nghề nghiệp cho tưpng lai, theo định hướng mỏi. Hộ sách này gồm 8 cuôn cho 8 chuvên dề, dê các em tiện dùng trong ôn luyện theo chư
ÔN GIỚI HẠN CỦA HÀM số Giới hạn của hàm số tại một điếm: Giả sử (a; b) là một khoáng chứa điểm Xo và f là một hàm sổ xác định trên tập hợp (a; b) \ {xo}. Ta có lim f (x) = L nếu với mọi dãy số (x^ trong tập hợp (a; b) x -> x „ \ {Xo} và lim x„ = Xo, ta đểu cỏ lim f(x^ = L. Định nghĩa tương tự cho các giới hạn khác. Định lý: Già sừ lim f (x) = A và lim g(x) = B (A, B e R). X~>X^ x —*x„ Khi đó: lim ff(x) + g(x)] = A + B; lim [f(x) - g(x)J = A - B X -> X o ' x -> x „ lim Ịf(x).g(x)J = AB; Nếu B thì lim = —. *->*■, g(x) B Giới hạn một bên: Già sử hàm số f xác định trên khoảng (Xoi b) (Xo e R). Giới hạn bên phải: lim f(x) = L nếu với mọi dãy so (Xn) trong khoảng (Xo; b) mà lim x„ = Xo, ta đểu có X -^x J lim f(x„) = L. Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; Xo) (Xo e R). Giới hạn bên trái: lim f(x) = L nếu với mọi dãy số (Xn) trong khoảng (a; Xo) mà lim x„ = Xo, ta đểu có x-^xỏ‘ lỉm f(Xr) = L. Định lý: Nếu lim f(x) = lim f(x) = L thì hàm số f có giới hạn tại điểm Xo và x -> x ; x^x* lim f(x ) = L. Bài toán 1.1: Tính: X- X a) lirn 1x ; ^-4 b) lim x->V3l X->1 ( 2 x - l) ( x - 3 ) Giải a ) Tacó: lini (x ^ -4 )= lirnx^- lini 4 = 3 - 4 = 1 nên lirn x " -4 = - 1 = 1 . X -> v 3 x -> v 3 b) Ta có: lim (x - x^) = 1 - 1 = 0 X ->1 lim (2 x - l)(x ^ -3 ) = (2 - 1)(1 -3 ) = - 2 ^ 0 x^l x -x nên lim = — = 0. ( 2 x - l X x '- 3 ) -2
Bài toán 1.2: Tính; X+ 4 a) lim — b) lim x->(-.i)‘ X + 4 x + 3 (x - 2 )^ 4 -x Giải x^^+l _ x^+l 1 a) Với mọi X < -3, ta có: x^+4x + 3 ~ x + 1 'x + 3 x" +3 84 1 Vì lim am ------- = —— = -4 2 < 0 và lim -00, nên x->(-3)“ X +1 - 2 x->(-3r X + 3 x ' +3 lim = + 00. x^(-3)- x'' + 4x 4-3 b) Vì lim ---- = +00 và lim = ,1 ^ = ^/3 > 0 , nên X“ 2 (x _ 2Ý XA2 V 4 -X V2 X+ 4 lim- + 00. >‘-^2 ( x - 2 ) " ' \ 4 - x Bài toán 1.3: Tính các giới hạn một bên: a) l i m ^ ^ b) lim ^ ^ ^ ^ X- 3 x -3 Giải a) Vì lim (2x + 1) = 7 > 0, lim (x - 3) = 0 và X - 3 > 0 với mọi X > 3 nên: 1! 2x + l lim ——— = + 00. x->3* X - 3 b) Vì lim (7x + 2) = 23 > 0, lim (x - 3) = 0 và X - 3 < 0 với mọi X < 3 nên: x->3" x-»3 7x + 2 lim ——— = -00 . x -3 Bài toán 1.4: Có tôn tai lim^------ - không ? X- 2 Giải x -2 |x- Ta tính các giới hạn một bên: lim ------- -, lim X- 2 > ‘->•2- X - 2 I Với mọi X > 2, ta có X - 2 = X - 2. I Do đó: lim ^ ^ = lim —— - = lim 1 = 1. x->2"^x —2 x->2*x —2 I Với mọi X < 2, ta có X - 2 = 2 - X. I
X —2 2 —X Do đó: limn "^------ -- - l iIim m -----= --- = um lim (-1) = -1 . 2 x -2 >:~>2 x - 2 'í >2 Vì kết quả giới hạn bôn trái và bên phải lại Xo = 2 khác nhau nên không tồn tại X - 2| lim ;->í x - 2 [x’ - 2 x -f 3 khi x < 2 Bài toán 1.5: Cho hàm số: f(x) = 4x^ - 29 khi X > 2 Có tồn tại lim / (x) không ? •V>2 ' Giải 'Fa tính các giới hạn một bên: lim f(x). lim f'(x): X -> 2 ’ \ >?. Với X < 2 thì f(x) x" - 2x t 3 nôn lim f(x) = lim (x" - 2x t 3 ) 4 - 4 t 3 = 3. \ »2 X>2 Với X > 2 thì f(x) ■ 4x^ - 29 ncn lim f(x) - lim (4x^ - 29) - 32 - 29 = 3 X >2 X -> 2' Vì lim f(x) = lim f(x) - 3 ncn lim f(x) = 3. \ >2 \ >2 N^2 1'---2 ỊịỊ^ị X < 1 Bài toán 1.6: Cho hàm số f(x) = x -1 x + 2 + a khi 1 < X < 3 Tùy theo tham số a xét sự tồn tại giới hạn lim f ( x ) . \ -> l Giải |x - lỊ ^ - ( x - 1) Với X < 1 thi f(x) -1 nên lim f(x) = lim (-l) = -1 Với 1 < X < 3 thì f(x) = X t 2 I a ncn lim F(x) = lim(x -f2-t-a) = 3-(-a X >1' X -> 1 ' Ta có 3 + a = -1 a = -4, do đó; Khi a = -4 thi lim f(x) = -1. Khi a -4 thì không tồn tại lim f(x ). X ->1 X >1 BÀI T Ậ P Bài tập 1.1: Chứng minh không tồn tại: lim sin X. * X—♦ + » IID -D S Lấy 2 dãy x„ = n;:, X,, = -- + 2n7t có lim Xn = -t 00, lim X,, = +00. nhưng lim l’(x„) = 0 còn lim f(x'n) = 1.
Bài tập 1.2: Tính: ^ i:„ V x - 3 2x + 3 a) lim -------- T- b) lim x->9 9 x - x x-*\ ( x - 1 ) ' ‘2 x - 3 HD-ĐS ^íx - 3 a) ^ = lim -----. 9 x -x ^-^’ x (V x + 3 ) 54 b) lim ^ - 00. x-»l (x -1 )^ 2 x - 3 4 x '- 5 x khi X < 2 Bài tập 1.3: Cho hàm sổ f(x) = [Vx + 7 + 4a khi X > 2 Tìm a để hàm số có giới hạn khi x-> 2. HD-ĐS lim f (x) = lim f(x ) 6 = 3 + 4 a < :í> a = —. x->2" x->2* 4 X+ 2 + a k h i \ < x
- Nếu mẫu thức tiến đến 0 và tử thức tiến đến một sổ khác 0 thì giới hạn là dạng +oohoặc -oo, tuỳ theo dấu các thừa sổ, của tử và mẫu. ' 0 00 - Nêu có dang vô đinh —, —, 0. OCỊ co-oo thì chon phương pháp tương ứng đê 0 00 khử dạng vô định. Chú ý: Thêm bớt đại lượng đơn giản nhai theo X hoặc hằng sổ mà các giới hạn mới vẫn giữ nguyên dạng vô định. K hử dạng vô định — k h i x —>^Xo. - Đối với hàm phân thức, ta phân tích tử thức và mẫu thức ra thừa số dạng (x - Xo).g(x) rồi rút gọn. - Dổi với biểu thức chửa căn thức, ta nhân chia lượng liên hợp để khử căn, tạo ra thừa số (x - Xo) rồi rút gọn. - Đổi với biểu thức lượng giác, ta dùng công thức cộng, công thức nhân, công thức biển đổi để đưa về định lý. = 1. X-Í.0 X Bài toán 2.1: Tíiứi: x ' -1 6 X -27x a) lim b) lim V_k1 X + 6x + 8 >
4x - X x ^ -x -l (x - l)(4x^ + 3x^ + 2x +1) lim , lim , _ X^l X + X -2 ( x - l ) ( x + X + 2) 4x'^ + 3x^ + 2x +1 _ 10 _ 5 = lim x-^1 X + X+ 2 ~T^2' x + x^ +x^ + ...+ x" - 1 1 x-1 x“ - l x^ -1 x "-n b) lim lim X —►! X-^1 x ' - l x '- - l x '- l x '- l . 1 X + 1 x^ + X + 1 x '» + x ‘^ +... + P lim •+ — — + — — — + ...+ x^l x + 1 x + 1 x+1 x+1 1 2 3 11 —+ —+ ^ + ... + — = 33. 2 2 2 2 Bài toán 2.3: Tính: x^ -1 V x '+ 1 - 1 a) lim — ^ b) lim xTi -^ '‘^o X + X Giải 0 a) Dạng vô định — , với mọi 1, ta có V 2 x -X “ -1 2 x - x ^ -1 X - X x(x - l)(V 2 x - x ^ + 1 ) - ( x - 1 )^ 1-x x ( x - l) ( V 2 x - x ^ + 1) x('y 2 x^^õí^ + l) 1-x Do đó: lim —ỉ-= lim - I---------------- = 0. X^I x ^ -x x(V 2 x - x ^ + l ) , .,.„ V x ^ + l- l x^ _ x^ b)lim— r-------= lim---------- -. ■. ----- = lim ------------ , ...... . = 0 . x->0 X + x ^ ^ x (x + l)(V x'+ l+ l) ’‘-^°(x + l ) ( V x '+ l + l ) Bài toán 2.4: Tính: X+ l4 x , , ,. Vx^ - 7 x + 12 a) lim b) lim ----- ^ x -> 0 * x -V x In " x T r ^/ỘTx -.2 Giải a)V óix>0.tacó: Ĩ L tĩệ . ^ ^ ệ l l X -V x V x ( V x - l) V x -1 r„- ^ + 2 Vx V x+2 2 Do đó: lim ------- = lim - 7=-— = — = -2 X -V x -1 10
b) Với -3 < X
,, _ ị / T + x + a/3 + X - 4 ị ỉ T + x - 2 ^|3 + x - 2 b) f ( x ) = ----------- ------------------------------------------------- x ^ -1 X -1 X -1 , Ml+X- 2 x -1 Ta cóá: ----- 7-------= x ’ -1 ( x ' - l ) ịỊil + x ỷ + 2 ịh + x + 4 1 { x ' + x + l)[ự(7 + x)^ + 2Ự t T x +4 V3 + X - 2 _ x -1 _ 1 x' -1 ” (x’ - 1 ) ( V ^ X +2) " (x- + X + 1)(/3T x + 2) nên lim I (x) = — —+ = —. 3.12 3.4 9 Bài toán 2.7: Tính: 1 - cos X ,^ 14-sinX - cosX a) lim- b) lim^— ——---------- x->0 1- s i n x - c o s x Giải ( . xV 1 2sin^~ , sin-^ . l-c o sx 2 I_ 1 2 a) lim— — = Iim-----^ = lim-} x->0 2 X 2 2 V 2 ; , . 2sin^ —-t-2sin —cos — l-fsinx-cosx 0 9 9 b) lim^---- —---------- = linỊ-------- -------------------— ^-^Ol-sinx-cosx ^->0 ^ - i X ~ .X X 2 sm - - - 2 sin - cos — 2 2 2 X X sin ” -fC0S“- 1 lim 2 2 ^0 +1 = -l. x->0 . X X 0-1 s in ^ -c o s ~ 2 2 Bài toán 2.8: Tính; , , ._ 1 - V 2 x '+ 1 „ 1-V2X + 1 -I- sinx a) lim --------------- b) lim — ^------- >‘^0 l- c o s 2 x v3x-f-4-2-x Giải l- V 2 x '- f l a ,) ------- ::----- = ------------ - 2 =x ■ ' ^ X l-c o s 2 x 2sin^x(l + V2x^-fl) v sin x j 'l + V 2 x ^ Do đó: = -l X-To l- c o s 2 x 2 2 12
1- V2x + 1 +sinx I - V 2x + 1 sinx V3x + 4 - 2 - x b) yj3x + 4 - 2 - x X X -2 sinx^ -1 -x 1+ -\/2x +1 X y VBx + 4 + 2 + X 1 - V2jr+T + sinX -2 -1 Do đó lim — , — -------- + 1 = 0. v3x + 4 - 2 - x 00 Khử dạng vô định — k h i X —> +00, X —^-00. 00 - Đối với hàm phân thức, ta chia tử thức và mẫu thức cho luỹ thừa cao nhất của X, việc này cũng như đặt thừa chung cho luỹ thừa cao nhất đỏ: a „x "+ a iX '"-'+ ... + a , f(x) , Oo ^ 0, bo ^ 0. b„x" +b,x"-‘ + ... + b„ 0 khi m < n Kết quả: lim f (x) = • — khi m = n . ± 00 khi m > n - Đối với biếu thức chứa căn, ta nhân chia lượng liên hiệp để khử căn thức, đưa về dạng phân thức đã nêu: - ị = (A + B)(A - B) A^-B^ = (A- B)(A^ + AB + B^),A^ + B^ = (A + B)(A^ - AB + B^),.. Bài toán 2.9: Tính: , 2 x ^ - x + 10 2 x ‘‘ + 7 x '- 1 5 a) lim —r— ------ b) lim ^ x ^ + 3 x -3 5x +1 Giải J_ 10 , 2 x ' - x + 10 ^ + 3 ,^ _ _ 2 x '- x + 10 2 ^ x ^ + 3 x -3 , J ___ ^ j^^+“ x ^ + 3 x - 3 1 ^ X2 X3 15 2+ 2 x ^ + 7 x -1 5 X x '" 2 x '+ 7 x '- 1 5 _ 2 b) . ^ - nên lim - = 5x^+1 5x^+1 5+ - 13
Bài toán 2.10: Tính: , 3 x ''+ 5 x " + 7 a) lim b) lin, +^ X ’ -1 5 x T;:; x 2x ^ - 1 Giải . 5 7 3x H--- H---- : 3 x ^ + 5x^ + 7 X___ x : . 3 x U 5x^ + 7 a) • llt nên lim = +00 x ' - 15x 15 X -1 5 x x^ , 1 3 1- - + , x'’ - x^ + 3 , ,,_ x ^ - x ^ + 3 _ ^ x x"* nên b) Ta có: —■ r lim ----- ——— = 0. 2 x^-7 7 2x - 7 2x' x^ Bài toán 2.11: Tính: . ^ I^ + 2 a) lim b) lim 2x - 3 3x' - 5 Giăi a) Với X > 0: 1 1 5 1 5 yjx^ - X + 5 =, 1 --+ -^ = XU1 — + - ^ = x 1— +- ^ V X X ; V XX V XX 1 1 5 . a/ x “ - x +5 X X X X 1 im ------------- nên lim —^----- — = limim —- = lim 2x—3 x->+co J^ x- >+
Bài toán 2.12: Tính: a) lim1 — b) lim x-->0\ x X x->2" x -2 X -4 J Giải I ___ \_ . x -1 a) lim = lim 2 ■ x~»0 ^X x^. x->0 X Vì limíx - 1) = -1 < 0, lim X' = 0 và x^ > 0 với mọi X 0 nên: lim 1 - — ì= ■-00 X-To x~>0 x->0 u x^/ x+1 b) Với moi X < 2, ta có: —^ r-— = —;----- ^ x -2 x ^ -4 x '- 4 Vì lim(x + l) = 3 > 0 , lim ( x ^ - 4 ) = 0 và x^ - 4 < 0 v ớ i-2 < X < 2 x->2 x->2“ 1 nên: limI ------------ ;— r^ = -CO . x->2 \ x - 2 X--4 Bài toán 2.13: Tính: a) lim (Vx^ + 3 - x) Ix + X ■^/4 + X" ) b) lim(v> X -> + M X —>-00 Giải a) Dạng vô định 00 - 00, lim (Vx^ +3 - x) = lim , -----= 0 ’‘-"^ V x ^ + 3 + x b) Với mọi X < -1, la có: x -4 x -4 Vx^ + x -V 4 + x^ = Vx^ + x +-\/4 + x^ x -4 1 4 1 X x^ 1 -Jl + V X 1 rỉ Do đó lim (-\/x^ + X - V4 + x ^ ) = x-->-co 1-1 2 Bài toán 2.14: Tính: x -1 m a) lim (x + 2). X -» + o o ’ X +X X->1[ l - x ' ' \-x" Giải a) x->+oo lim (x + 2) y1-4 X' -I- X 15
í,1+ 21 í, 1 ì 1- Ị(x + 2)"(x - 1) ^ V xy L x j \ lim >->y. X +X lim V.. = 11- n m ( n 1 m 1 1 b) lim lim (-- - - 1- X ; r - , A>1V1 )-(, -) - 1- .V J X- V V. 1 >1 l, 1“ .V 1- .r X ) n 1 _ n --(1 + X + X ' + ... + x" ') 1 X 1- X 1- X Ta có .. + .. + ••• + 1 -x " 1 -x I- X 1 -x " 1 1+ X + X+ ...-f x" •+ - + ...+ + X-f ...4' x" ' 1+ X -f ... + x" ' + X + ...+ x" 1 1f 2 + . . . f ( n - l ) _ (n - l)n n-1 Do dó liiT -- \ >1U - x " l-x j n 2 N n- 1 m- T ư ongtựlhì: lim V >1 1- Jf" 1 - x" / 2 2 Bài toán 2.15: Tính: 71 1 a) lim X - tan X b) lim •>, sin(x’ - 4). V 2y ' X -8 Giải ' 71' 7l' n a) lim X - tan X = lim X - .cot l 2j ' 2 , V 71 X- -- lim .cosị \ — = - 1. X/ • ^ 71^ ^ \ ?. sin X- _ V V 2j J Lx 1 - í ■ / ^ IX 1 - x " - 4 s i n ( x " - 4 ) b) lim---.....-sin(x - 4 ) = lim , , '>’ x - 8 x -8 X -4 x +2 sin(.r"- 4 ) 4 1 lim 1 . = = '■>’ X- -f 2.V 4-4 .V--4 12 3 BÀI T Ậ P Bài tập 2.1: 1inh; b, ■ ' X -4 ' >' ' 3- X 16
H D -Đ S —8 (x —2)(x^ + 2x + 4) x^+ 2x + 4 .. x ' - 8 a) —5---- = ^ ^----- nên lim =3. X -4 (x -2 )(x + 2) x+2 x-^2 X - 4 x^+3V 3 (x + V 3 )(x ^ -x V 3 + 3 ) x ' + 3 V3 b) 3 -x ^ " -(X + V 3 )(x -V 3 ) 3 -x ^ 2 V3 ■ Bài tập 2.2: Tính: x" - 1 x^ + x^ - 2 a) lim b) lim xTi x - 1 x“ i X "-1 H D -Đ S x" -1 ./1-1 , ^^n-1 x" -1 a) ... + x + lnên lim =n. x -1 ” ■ x-»l X -1 2 — fx ^ -l X ^ -0 = 5 3 , b) lim ----- 5-------- = lim — + X -> 1 x"^ —1 i ^ x '- l x '- l ; 2 2 Bài tập 2.3: Tính: a) lim - b) ,i xTõ* X x-í-o X H D -Đ S X V x ^ + X -V x _ a) lim --------- z--------= ------------------ =+ 00. +CO >^^0" X , . Vl + 4 x .ự l + x - 1 Vl + 4xV l + x - ị l ỉ + x +ịj\ + x -1 b ) -------- --------------------------------------------------------------- X X _ — Vl + 4x - 1 ự l + x - 1 . ,• Vl + 4 x .ự l + x - 1 7 = v l + x .------- -------- 1------—^----- nên lim ---------- —----------- Y V X -> 0 V 3 Bài tập 2.4: Tính: , 2x - s i n x ,. v ĩ+ ta n x - v ĩ+ sin X a) lim b) lim---------------r------------- x^ o‘ V ĩ^ cosx « ._ v n + x->0 H D -Đ S , 2 x -s in x 2 x -s in x 2 x - s i n x _ /T a) lim , ■ — = lim ■" —— = lim -------------= V2 . Vl - c o s x >‘^0* X x->0+ /T- . X Í2sin' _ v 2 .s in ^ (1-------- )sinx , ,^ Vl + tanx - 7 l + sinx = lim----- i . b) lim X -+ 0 x^(vl + ta n x + v l + sinx) 4 17
Bài tập 2.5: Tính: Xy/x - 5 a) lim b) lim X -X +2 x-y-oo l _ 3 x IID -D S ^ x4 x - 5 ^ V x ''-x a) lim —7 —------ = 0 . b) l i m ------------= + 00. X - X + 2 1- 3x Bài tập 2.6: Tính; b) h m ^ y - 7— x-H-ty VX -1 •'■--'•r l- x ^ VX ' +3x + 4 IID -D S 3x a )(x ^ + 1) = (x + lX x ^ -x + 1). ^ 0. x"-l ( x - l ) ( x + l) 1 X -3x + 2 ÍÕ r- l) (x - 2 ) b): hoo. 1-x^ Vx^+3x+4 (l-x )(l+ x + ...+ x '‘) V x^+3x + 4 Bài tập 2.7: Tính: sinx - S cosx a) lim tan 2 X. tan - X b) lim n X —> — 2cosx -1 4 H D-D S . ^ 71 , , 71 71 .. a) Dặt t = — - x t h ì x = — - t, X--> — < = > t^ 0 4 4 4 lim tan2x.tan( — - x) = lim C0t2t. tant ■ í x -—> — X 4 ^4 ĨTo '-»0 2 4 sinx - V3 cosx 2 b) lim 2 cos X - 1 S ' 3 ÔN HÀM SỐ LIÊN TỤC Hàm số Hên tục - Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; h) và Xo ^ (a; h). Hàm số f liên tục tại điểm Xo nếu: lim f(x) = f(Xo). x->x„ Hùm sổ không liên lục tại Xo gọi là gián đoạn lại Xo- Hàm sỗ f liên tục trên khoang K nếu flién lục lại mọi diêm thuộc tập hợp đó. 18
Hàm sổ fliên lục Irên đoạn [a; b] nếu (liên tục trên khoảng (a; b) và lim f(x) = f(a), lim f(x) = f(b). x->a^ x^b“ - Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm sổ liên tục tại một điếm là những hàm sổ liên tục tại điếm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu lại điếm đó phải khác 0). - Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ liên lục trên tập xác định cùa chúng. Các hàm sổ lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx liên tục trên tập xác định của chủng. Bài toán 3.1; Xét sự liên tục của các hàm số: 'x “ - 3 x + 2 khi a) f(x ) = X- 2 tại Xo = 2. khi X =2 í(x + l)^ k h ix < 0 b )f(x )= tạ ix = 0. [x^ + 2 khi x> 0 Giải a) Ta có f(Xo) = f(2) = 1 ^7 ^ ^_ X '-3 x + 2 (x - l)(x -2 ) , Với moi x ^ 2 i a có: f(x) = ------- ^ = X - 1 X- 2 X- 2 Do đó lim f(x) = lim (x-1) = 1 = f(2). x-*2 x->2 Vậy hàm số f liên tục tại điểm Xo = 2. b ) T acó: lim f(x ) = lim (x +1)^ = 1 x->0“ x^O'" lim f (x) = lim (x^ + 2) = 2 ít lim f (x) x-»0^ x->0* x->0 Do đó không tồn tại lim f (x) nên hàm số gián đoạn tại X = 0. x-»0 Bài toán 3.2: Chứng minh các hàm số sau liên lục ừên tập xác định. 'ỰỊ x - 2 khi x ^ 2 X- 2 a) f(x) b) g(x) = V s-2 x ^ khi x = 2 Giải a) Hàm số f xác định trên R. •v/ĩx- 2 Với X 2 thì f(x) = — ----- liên tuc. X-2 19
Với X = 2 thì f(2) = — và lim f (x) = lim —- 3 x->2 “^2 x - 2 4x - 8 4 = lim -------------- F- ' ---------- = = ------ I = lim—7= = = — ^— — z-------- (x - 2)[v i6 x ' + 2V4x + 4] ^ 2ự4x + 4 = — = f(2) nên f liên tục. Vậy hàm số liên tục trên R. b) Hàm số g(x) = ^J8-2x^ xác định trên D = [-2; 2] Với mọi Xo e (-2; 2) ta có: lim g(x) = J s - 2 x ^ = f(Xp) Do đó hàm số f liên tục trên khoảng (-2; 2) và lim ^(x) = 0 = g ( - 2 ) , lim g(x) = 0 = g(2) Vậy hàm số g liên tục trên D = [-2; 2]. Bài toán 3.3: Tìm các khoảng, nửa khoảng mà hàm số liên tục X + 3x + 4 a) f(x) b) g(x) = V x + T - 2-v/x- 3 . 2x + l Giải 1 a) Điều kiện 2 x + l9 tO < » x íẾ -—, V ì f l à hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên tập xác định D = (-oo; - —) u ; +oo). b) Điều kiện: x + 1 > O v à x > 3 o x > 3 nên D = [3; +oo) Vậy g liên tục trên D = [3; +oo). Bài toán 3.4: Tìm các điểm gián đoạn của hàm số 2 sin x a) f(x) = tanx 4- 2cotx b) g(x) = ^ ------- sin X - v3 cosx Giái a) Hàm số y = tanx liên tục tại X — + kTĩ, k e z . y = cotx liên tục tại X kn, k e z . Do đó hàm số f(x) = tanx + 2cosx gián đoạn tại các điểm ĩí , , , 71 , _ X = — + k 7ĩ, x = k7ix = k —, k e z. 2 2 b) Hàm số g(x) gián đoạn tại các điểm x: sinx - ^|2 cosx = 0 ị- sinx - ^ cosx = 0 2 2 20
sin(x - —) = 0 < = > x - ^ = k 7 ĩ< = > x = ^ + kĩi, k e z. 3 3 3 Bài toán 3.5: Tìm các giá trị tham số a để hàm số liên tục trên R. 9 2 í .ỈZĨ xsin^ khix>0 6ax^ + khi X 5^0 a)f(x)=< X b) g(x) ^ a c o s í-5 khix< 0 khix = 0 Giải 2 a) Với X > 0 thì f(x) = xsin— liên tục X Với X < 0 thì f(x) = acosx - 5 liên tục Với X = 0 thì f(0) = a.cosO - 5 - a - 5 lim f (x) = lim (a cos X - 5) = a - 5 = f (0) x-»0" »->•0 Vì f gián đoạn tại X = 0 với mọi a nên không tồn tại a để hàm số liên tục trên R. Bài toán 3.6: Tuỳ theo tham số, xét sự liên tục của hàm số: -v/x-1 khi x > 1 ự ĩ-\ f(x) = ax + b khi - 3 < X