Một số dạng toán về tính giới hạn của hàm số qua các kỳ Olympic

Chia sẻ: Huyết Thiên Thần | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết "Một số dạng toán về tính giới hạn của hàm số qua các kỳ Olympic" nêu lên các lý thuyết về tính giới hạn của hàm số, cũng như đưa ra một số bài toán ứng dụng luyện tập trong các kì thi Olympic toán học. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết mội dung bài viết!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số dạng toán về tính giới hạn của hàm số qua các kỳ Olympic

Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ QUA CÁC KỲ O LYMPIC Nguyễn Viết Sơn Trường THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa Tóm tắt nội dung 1 Cơ sở lí thuyết Định nghĩa 1.1. Cho E ⊂ R, hàm f : E → R, x0 ∈ E và một số L ∈ R. Hàm số y = f ( x ) được gọi là có giới hạn bằng L khi x dần tới x0 nếu với ∀ε > 0 bé tùy ý, ∃δ > 0 sao cho với ∀ x ∈ E thỏa mãn 0 < | x − x0 | < δ thì | f ( x ) − L| < ε. Lúc này ta kí hiệu: lim f ( x ) = L x → x0 hoặc f ( x ) → L khi x → x0 . Nhận xét 1.1. Nếu hàm số có giới hạn tại điểm x0 thì giới hạn đó là duy nhất. Tính chất 1.1. Nếu tồn tại các giới hạn lim f ( x ) = L, lim g ( x ) = K thì x → x0 x → x0 a) lim [ f ( x ) ± g ( x )] = L ± K. x → x0 b) lim [ f ( x ) .g ( x )] = L.K. x → x0 f (x) L c) lim = (K 6= 0). x → x0 g ( x ) K d) Nếu f ( x ) ≤ g ( x ) trong một lân cận của x0 thì L ≤ K. e) lim | f ( x )| = | L|. x → x0 Xét một số định nghĩa giới hạn mở rộng. Định nghĩa 1.2. Hàm số y = f ( x ) được gọi là có giới hạn bằng +∞ khi x dần tới x0 nếu với ∀α > 0, ∃δ > 0 sao cho với ∀ x ∈ E thỏa mãn 0 < | x − x0 | < δ thì f ( x ) > α. Lúc này ta kí hiệu: lim f ( x ) = +∞ hoặc f ( x ) → +∞ khi x → x0 . x → x0 Định nghĩa 1.3. Hàm số y = f ( x ) được gọi là có giới hạn bằng −∞ khi x dần tới x0 nếu với ∀α > 0, ∃δ > 0 sao cho với ∀ x ∈ E thỏa mãn 0 < | x − x0 | < δ thì f ( x ) < −α. Lúc này ta kí hiệu: lim f ( x ) = −∞ hoặc f ( x ) → −∞ khi x → x0 . x → x0 Định nghĩa 1.4. Hàm số y = f ( x ) được gọi là có giới hạn bằng L khi x dần ra +∞ nếu với ∀ε > 0 bé tùy ý, ∃α > 0 sao cho với ∀ x ∈ E thỏa mãn x > α thì | f ( x ) − L| < ε. Lúc này ta kí hiệu: lim f ( x ) = L hoặc f ( x ) → L khi x → +∞. x →+∞ 1
Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Định nghĩa 1.5. Hàm số y = f ( x ) được gọi là có giới hạn bằng L khi x dần ra −∞ nếu với ∀ε > 0 bé tùy ý, ∃α > 0 sao cho với ∀ x ∈ E thỏa mãn x < −α thì | f ( x ) − L| < ε. Lúc này ta kí hiệu: lim f ( x ) = L hoặc f ( x ) → L khi x → −∞. x →−∞ Định nghĩa 1.6 (Hàm liên tục). Hàm số y = f ( x ) được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ E nếu với ∀ε > 0 bé tùy ý, ∃δ > 0 sao cho với ∀ x ∈ E thỏa mãn | x − x0 | < δ thì | f ( x ) − f ( x0 )| < ε. Lúc này ta viết: lim f ( x ) = f ( x0 ). x → x0 Định nghĩa 1.7. Hàm số y = f ( x ) được gọi là liên tục trên E nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc E. Một số định lí về tính liên tục của hàm số. Định lý 1.1 (Định lí Weierstrass). Nếu hàm f : [ a; b] → R liên tục trên [ a; b] thì nó đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [ a; b], nghĩa là tồn tại c, d ∈ [ a; b] sao cho f (c) ≤ f ( x ) ≤ f (d) với ∀ x ∈ [ a; b]. Định lý 1.2 (Định lí về giá trị trung gian). Nếu hàm f : [ a; b] → R liên tục trên [ a; b] và f ( a) . f (b) < 0 thì tồn tại c ∈ [ a; b] sao cho f (c) = 0. Định lý 1.3 (Định lí Bolzano - Cauchy). Nếu hàm f : [ a; b] → R liên tục trên [ a; b] và f ( a) = u, f (b) = v thì với mọi giá trị w nằm giữa (u; v) đều tồn tại c ∈ ( a; b) sao cho f (c) = w. Định lý 1.4 (Định lí Rolle). Cho hàm số f liên tục trên [ a; b] và khả vi trên ( a; b). Giả sử f ( a) = f (b) thì tồn tại c ∈ ( a; b) sao cho f 0 (c) = 0. Định lý 1.5 (Định lí Lagrange về giá trị trung bình). Cho hàm số f liên tục trên [ a; b] và f (b) − f ( a) khả vi trên ( a; b). Tồn tại c ∈ ( a; b) sao cho f 0 (c) = . b−a 2 Một số ứng dụng Ví dụ 2.1. Cho f là một hàm liên tục và đơn ánh trên ( a; b). Chứng minh rằng f là một hàm đơn điệu ngặt trên ( a; b). Cách giải. Giả sử f không phải đơn điệu ngặt trên ( a; b). Do f là một hàm liên tục và đơn ánh trên ( a; b)nên tồn tại x1 , x2 , x3 ∈ ( a; b) sao cho x1 < x2 < x3 và f ( x1 ) < f ( x2 ) f ( x3 ) < f ( x2 ) hoặc f ( x1 ) > f ( x2 ) f ( x3 ) > f ( x2 ) . f ( x1 ) < f ( x2 ) + Nếu . Đặt m = max { f ( x1 ) ; f ( x3 )} ; M = f ( x2 ). Chọn k ∈ f ( x3 ) < f ( x2 ) [m; M]. 2
Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Lúc này k ∈ [m; M ] ⊂ [ f ( x1 ) ; f ( x2 )] và k ∈ [m; M] ⊂ [ f ( x3 ) ; f ( x2 )]. Vậy theo định lí Bolzano - Cauchy, tồn tại c1 , c2 ∈ ( a; b) sao cho x1 < c1 < x2 < c2 < x3 thỏa mãn f (c1 ) = f (c2 ) = k. Mâu thuẫn với tính đơn ánh của hàm f . f ( x1 ) > f ( x2 ) + Nếu , làm tương tự ta cũng có mâu thuẫn. f ( x3 ) > f ( x2 ) Vậy f phải là một hàm đơn điệu ngặt trên ( a; b). Ví dụ 2.2. Cho f , g : [0; 1] → [0; 1] là các hàm liên tục thỏa mãn f ( g ( x )) = g ( f ( x )) với ∀ x ∈ [0; 1] và f là một hàm đơn điệu trên [0; 1]. Chứng minh rằng tồn tại x0 ∈ [0; 1] sao cho f ( x0 ) = g ( x0 ) = x0 . Cách giải. Đặt h ( x ) = g ( x ) − x, do g liên tục trên [0; 1] nên h cũng liên tục trên [0; 1]. Đồng thời ta cũng có h (0) = g (0) ≥ 0, h (1) = g (1) − 1 ≤ 0⇒ h (0) .h (1) ≤ 0. Theo định lí giá trị trung gian, tồn tại a ∈ [0; 1] sao cho h ( a) = 0, tức là g ( a) = a. Đặt x1 = f ( a) , x2 = f ( x1 ) , . . . , xn = f ( xn−1 ) với ∀n ∈ [0; 1]. ∞ Do f là hàm đơn điệu trên [0; 1] nên ( xn )+ n=1 là một dãy đơn điệu và bị chặn. Vậy tồn tại x0 ∈ [0; 1] sao cho lim xn = x0 . Lúc này, do tính liên tục của hàm f nên ta có: f ( x0 ) = f (lim xn ) = lim f ( xn ) = lim xn+1 = x0 . (1) Mặt khác g ( x0 ) = g ( f ( x0 )) = f ( g ( x0 )) = f ( g (lim xn )) = lim f ( g ( xn )). Lại có g ( xn ) = g ( f ( xn−1 )) = f ( g ( xn−1 )) = · · · = f ( f (. . . f ( g( x1 )) . . . ) | {z } n −1 = f ( f (. . . f ( a)) . . . ) = · · · = xn . | {z } n Vậy g ( x0 ) = lim f ( g ( xn )) = lim f ( xn ) = f ( x0 ) = x0 . (2) Từ (1) và (2) cho ta f ( x0 ) = g ( x0 ) = x0 với x0 ∈ [0; 1]. f (2x ) Ví dụ 2.3. Giả sử f : R → R là hàm đơn điệu sao cho lim = 1. Chứng minh rằng x →∞ f (x) f (kx ) lim = 1 với ∀k > 0. x →∞ f (x) f (2x ) Cách giải. Do lim = 1 nên x →∞ f ( x ) f (2n x ) f 2n −1 x f (2n x ) f (2x ) lim = lim . ... = 1, ∀n ∈ N∗ . (3) x →∞ f ( x ) x → ∞ f (2n −1 x ) f (2n −2 x ) f (x) Giả sử f là hàm tăng trên R. + Xét với k ≥ 1. Do [1; +∞) = 1; 21 ∪ 21 ; 22 ∪ · · · ∪ 2m ; 2m+1 ∪ . . . nên tồn tại n ∈ N sao cho 2n ≤ k < 2n+1 . Theo tính đơn điệu của hàm f , ta có f (2n x ) ≤ f (kx ) < f 2n+1 x 3
Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 hoặc ngược lại f (2n x ) ≥ f (kx ) > f 2n+1 x . (4) f (kx ) Từ (3) và (4) cho ta lim = 1 với ∀k ≥ 1. x →∞ f ( x ) + Xét với 0 < k < 1, dựa vào kết quả trên ta có được f (kx ) f (u) lim = lim u = 1. x →∞ f (x) x →∞ f k f (kx ) Vậy lim = 1 với ∀k > 0. x →∞ f (x) 1 1 Ví dụ 2.4. Chứng minh rằng nếu lim f x − = 0 thì lim f ( x ) = 0. x →0x x x →0 1 1 Cách giải. Từ giả thiết lim f x − = 0 ⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho nếu
x x →0 x
1 1
0 < | x | < δ thì
f x −
< ε. x x
1 1 1−t Lấy n ∈ N đủ lớn sao cho < δ. Với 0 < t < , ta đặt x = thì n n+1 n 1 1 1− 1−t 1 1 1 = n + 1 < = x < . Do đó ta có được n < < n + 1 ⇒ = n. n+1 n n n x x 1 1 1 1−t Lúc này x − =x −n = 1− .n = t. x x x n 1 Vậy với ∀ε > 0, ∃δ0 = thỏa mãn với 0 < t < δ0 thì | f (t)| =
n+1
f x 1 − 1
< ε.
x x
Nếu t < 0 cũng xử lí tương tự. Vậy lim f ( x ) = 0. x →0 Ví dụ 2.5. Cho số thực dương a và một hàm f : (− a; a) \ {0} → (0; +∞) thỏa mãn 1 lim f ( x ) + = 2. Chứng minh rằng lim f ( x ) = 1. x →0 f (x) x →0 1 Cách giải. Với x ∈ (− a; a) \ {0} thì f ( x ) > 0 nên ta có được f ( x ) + ≥ 2. f ( x) 1 Theo giả thiết lim f ( x ) + = 2 nên với ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho với x thỏa x →0 f (x) 1 mãn 0 < | x | < δ thì 0 ≤ f ( x ) + − 2 < ε. f (x) Vậy 1 0 ≤ ( f ( x ) − 1) + − 1 < ε. (5) f (x) 1 ⇔ 0 ≤ ( f ( x ) − 1) 1 − < ε. (6) f (x) Bình phương hai vế của (5), ta được 4