zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Nắm trọn chuyên đề môn Toán năm 2021: Mũ - Logarit và Tích phân - Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:279

Báo xấu

21
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Nắm trọn chuyên đề Mũ - Logarit và Tích phân" sẽ trình bày nội dung về chủ đề 5: Bất phương trình mũ, bất phương trình logarit và tìm hiểu về nguyên hàm, tích phân. Cùng tham khảo nội dung chi tiết của cuốn sách để không bỏ lỡ những điều thú vị và bổ ích nhé.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nắm trọn chuyên đề môn Toán năm 2021: Mũ - Logarit và Tích phân - Phần 2

CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT. CHỦ ĐỀ 5: BPT MŨ, BPT LOGARIT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: • Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ax  b (hoặc a x  b , a x  b , a x  b ) với a  0, a  1. 2. Định lí, quy tắc: Ta xét bất phương trình dạng ax  b. • Nếu b  0 thì bất phương trình vô nghiệm. • Nếu b  0 thì bất phương trình tương đương với . ax  aloga b . . ▪ Với a  1 thì nghiệm của bất phương trình là x  log a b (Hình 1). ▪ Với 0  a  1 thì nghiệm của bất phương trình là x  log a b (hình 2). Hình 1. Hình 2. • Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình ax  b được cho bởi bảng sau: Tập nghiệm ax  b a 1 0a1 b0 b0 ( log a b; +  ) ( −; log b ) a 3. Phương pháp đưa về cùng cơ số • Nếu gặp bất phương trình a ( )  a ( ) thì xét hai trường hợp: f x g x Trường hợp 1: Nếu a  1 thì bất phương trình a ( )  a ( )  f ( x )  g ( x ) . f x g x ▪ Trường hợp 2: Nếu 0  a  1 thì bất phương trình a ( )  a ( )  f ( x )  g ( x ) . f x g x ▪ 4. Phương pháp đặt ẩn phụ • Ta thường gặp các dạng: m.a ( ) + n.a ( ) + p  0,(1) . 2f x f x Đặt t = a ( ) , t  0 đưa pt ( 1) về dạng phương trình bậc 2: mt 2 + nt + p  0 . f x ▪ ▪ Giải bất phương trình tìm nghiệm t và kiểm tra điều kiện t  0 sau đó tìm nghiệm x . 1 m.a ( ) + n.b ( ) + p  0 , trong đó a.b = 1 . Đặt t = a ( ) , t  0 , suy ra b ( ) = . f x f x f x f x ▪ t f ( x) f ( x) a + n. ( a.b ) 2 f ( x) 2 f ( x) 2 f ( x) ▪ m.a + p.b  0 . Chia hai vế cho b và đặt   =t 0. b ▪ Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học. 172 Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT. 5. Phương pháp hàm số, đánh giá • Định nghĩa ▪ Hàm số f được gọi là đồng biến trên K khi và chỉ khi u, v  ( a; b ) ; u  v  f ( u )  f ( v ) . ▪ Hàm số f được gọi là nghịch biến trên ( a; b ) khi và chỉ khi u, v  ( a; b ) ; u  v  f ( u )  f ( v ) • Định lí, quy tắc: ▪ Tính chất 1. Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng ( a; b ) thì u, v  ( a; b ) ; f ( u )  f ( v )  u  v ▪ Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng ( a; b ) thì u, v  ( a; b ) ; f ( u )  f ( v )  u  v . ▪ Tính chất 2. Nếu hàm số f đồng biến trên đoạn  a; b  thì min f ( x ) = f ( a ) và max f ( x ) = f ( b )  a ; b   a ; b  ▪ Nếu hàm số f nghịch biến trên đoạn  a; b  thì min f ( x ) = f ( b ) và max f ( x ) = f ( a ) .  a ; b   a ; b  • Nhận xét ▪ Khi bài toán yêu tìm tham số m để bất phương trình m  f ( x ) (hoặc m  f ( x ) ) có nghiệm đúng với mọi x  D thì m  max f ( x ) (hoặc m  min f ( x ) ) . D D ▪ Khi bài toán yêu tìm tham số m để bất phương trình m  f ( x ) (hoặc m  f ( x ) ) có nghiệm với mọi x  D thì m  max f ( x ) (hoặc m  min f ( x ) ) . D D Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0. Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”. 173
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT. VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ 1. Giải các bất phương trình sau: x x x2 − x +1 2x −1 1 1 2x 5 5 a)    32. b)    3 . x +1 c)     . 2 9 7 7 3x d) 2x + 2x+1  3x + 3x−1 . e)  3. f) 11 x+6  11x . 3x − 2 Lời giải x x −5 1 1 1 a) Ta có:    32        x  −5 2 2 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −; −5 ) . b) Điều kiện: x  −1 x 1 2x −2 x 2x 2x 2x  1     3 x +1  3  3 x +1  −2 x   + 2x  0  2x  + 1  0 9 x+1 x+1  x+1  2x ( x + 2 )  x  −2  0 x+1  −1  x  0 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −; −2 )  ( −1; 0 ) . x2 − x +1 2x −1 5 5 c) Ta có:      x 2 − x + 1  2x − 1  x 2 − 3x + 2  0  1  x  2 7 7 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( 1; 2 ) . x x +1 x −1 4 3 9 d) Ta có: 2 + 2 x 3 +3 x  3.2  .3x      x  2 x 3 2 4 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( 1; 2 ) . 3x 3x − 3  3x  3 x  1 e) 3 x 0 x  3 −2 3 −2  3  2  x  log 3 2 x Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −;log 3 2 )  (1; + ) . x  0  −6  x  0 x+6 x+6 x + 6  0  f) Ta có: 11  11x 11  11  x + 6  x   x  x  0  −6  x  3  x  0   −2  x  3    x + 6  x 2  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = −  6; 3  . Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học. 174 Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT. VÍ DỤ 2. Giải các bất phương trình sau: 1 1 a) 16x − 4x − 6  0. b) 4x − 3.2x + 2  0 c)  x +1 3 + 5 3 −1 x d) 2x + 4.5x − 4  10x . e) 2 x − 21− x 1 f) Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình: 9 x + ( m − 1) .3 x + m  0 nghiệm đúng x  1 . Lời giải a) Đặt t = 4x ( t  0 ), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với t 2 − t − 6  0  −2  t  3  0  t  3  x  log 4 3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là . S = ( −;log 4 3 . . 2x  2 x  1 b) Ta có: 4 − 3.2 + 2  0   x x x   2  1 x  0 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −;0 )  ( 1; + ) . c) Đặt t = 3x ( t  0 ), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với 1 1 3t − 1  0 1     t  3  −1  x  1. t + 5 3t − 1 3t − 1  t + 5 3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −1;1 . ( d) Ta có: 2 x + 4.5x − 4  10 x  2 x − 10 x + 4.5x − 4  0  2 x 1 − 5 x − 4 1 − 5 x  0 ) ( )  1 − 5x  0  5x 1  x  x  2 − 4  0  2 4 x  2 (  1 − 5x )( 2 −4 0   x )   x   1 − 5  0  5 1 x  0 x   2 − 4  0  2 x  x  4 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −; 0 )  ( 2; + ) . e) Điều kiện: x  0 Ta có: 2 x − 21− x 1 2 x − 2 x 1 ( 2 ) . Đặt t = 2 x . Do x  0  t  1 2 t  1 t  1 ( 2 )  t − 2  1  t 2 − t − 2  0  1  t  2  1  2 x  2  0  x 1  t    Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =  0;1) . −1 log x  0 0  x  1 f) Đặt log x 3 − log x 3  0  0 3  bất phương trình đã 3 log 3 x. ( log 3 x − 1) log 3 x  1 x  3 t2 − t cho thành: t 2 + ( m − 1) .t + m  0 nghiệm đúng t  3   − m nghiệm đúng t  3 t +1 Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0. Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”. 175
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT. Xét hàm số g ( t ) = t − 2 + , t  3, g ' ( t ) = 1 − 2 2  0, t  3 . t +1 ( ) 2 t + 1 Hàm số đồng biến trên  3; + ) và g ( 3 ) = . Yêu cầu bài toán tương đương −m   m  − . 3 3 3 2 2 2 VÍ DỤ 3. a) Giải bất phương trình 3.2x + 7.5x  49.10x − 2 b) Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình m.4x + (m − 1).2x+ 2 + m − 1  0 nghiệm đúng với mọi x  . c) Cho bất phương trình 4x − 2018m.2x−1 + 3 − 1009m  0 . Tìm giá trị nguyên dương nhỏ nhất của tham số m để bất phương trình đã cho có nghiệm là? Lời giải x x x 3.2 x + 7.5x + 2 1 1  1  a) Ta có 3.2 x + 7.5x  49.10 x − 2  x  49  3.   + 7.   + 2.    49 10 5 2  10  x x x 1 1  1  Xét hàm số f ( x ) = 3.   + 7.   + 2.   , x  5 2  10  x x x 1 1 1 1  1  1 Mặt khác: f  ( x ) = 3.   .ln   + 7.   .ln   + 2.  .ln    0, x   Hàm số f ( t ) 5 5 2 2  10   10  nghịch biến trên Mặt khác f ( −1) = 49  f ( x )  f ( −1)  x  −1 Vậy nghiệm của bất phương trình là x  −1 . 4.2 x + 1 b) Ta có: m.4 x + ( m − 1).2 x + 2 + m − 1  0  m  4 x + 4.2 x + 1 ( 1) 4t + 1 Đặt 2x = t , t  0  Bất phương trình ( 1)  m  t + 4t + 1 2 4t + 1 −4t 2 − 2t Xét hàm số f (t ) = , t  ( 0; + ) có f '( t ) =  0,  t  (0; +)  Hàm số t 2 + 4t + 1 ( ) 2 t 2 + 4t + 1 f ( t ) nghịch biến trên khoảng (0; + ) . Ta có bảng biến thiên Từ đó ta có 0  f ( t )  1, t  ( 0; + ) Để (1) nghiệm đúng với mọi x thuộc tập thì m  1 . c) Đặt t = 2x ( t  0 ) Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học. 176 Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT. t2 + 3 Khi đó bất phương trình trở thành t 2 − 1009mt + 3 − 1009m  0  1009 m  t +1 t2 + 3 t 2 + 2t − 3 Xét hàm số f ( t ) = , t  ( 0; + ) có f  ( t ) = , t +1 ( t + 1) 2 t = 1 Giải phương trình: f  ( t ) = 0  t 2 + 2t − 3 = 0   t = −3  0 ( L ) Ta có bảng biến thiên: Bất phương trình có nghiệm khi 1009m  min f ( t ) = 2  m  2 ( 0; + ) 1009 Vậy m = 1 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa yêu cầu bài toán. Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0. Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”. 177
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: • Bất phương trình lôgarit đơn giản có dạng log a x  b (hoặc loga x  b, log a x  b, log a x  b ) với a  0, a  1. 2. Định lí, quy tắc: • Ta xét bất phương trình dạng loga x  b. ▪ Nếu a  1 thì log a x  b  x  ab (Hình 1). ▪ Nếu 0  a  1 thì log a x  b  0  x  a b (Hình 2). Hình 1. Hình 2. • Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình log a x  b được cho bởi bảng sau: Tập nghiệm log a x  b a 1 0a1 x  ab 0  x  ab 3. Phương pháp đưa về cùng cơ số • Nếu gặp bất phương trình log a f ( x )  log a g ( x ) thì xét hai trường hợp:  g ( x )  0 ▪ Trường hợp 1. Nếu a  1 thì bất phương trình   .  f ( x )  g ( x )  f ( x )  0 ▪ Trường hợp 2. Nếu 0  a  1 thì bất phương trình   .  f ( x )  g ( x ) 4. Phương pháp đặt ẩn phụ • Nếu gặp bất phương trình m.log 2a f ( x ) + n log a f ( x ) + p  0, (1) ▪ Đặt t = log a f ( x ) , đưa ( 1) về dạng mt 2 + nt + p  0 ; giải tìm t từ đó tìm nghiệm x . 5. Ngoài ra, chúng ta còn có thể sử dụng linh hoạt các quy tắc về hàm số, phương pháp đánh giá đã nêu ở bài phương trình mũ, phương trình logarit và bất phương trình mũ. Việc sử dụng đa dạng các phương pháp sẽ giúp các em tối ưu hóa các bài toán trở nên đơn giản và dễ dàng hơn. Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học. 178 Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT. VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ 1. Giải các bất phương trình sau: a) log 0 ,4 (5 x + 2)  log 0 ,4 ( 3 x + 6 ) . ( ) b) 1 + log 2 ( x − 2 )  log 2 x 2 − 3 x + 2 . c) 2log 2 x + 1  2 − log 2 ( x − 2 ) . ( ) d) log 2 x 2 − x − 2  log 0,5 ( x − 1) + 1 . e) log 1 ( log 2 ( 2 x − 1) )  0 . 2 Lời giải 2 a) Điều kiện: x  − . 5 Ta có: log 0 ,4 (5 x + 2)  log 0 ,4 ( 3 x + 6 )  5x + 2  3x + 6.  2x  4  x  2  2  Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là: S =  − ; 2  .  5  ( ) b) Ta có: 1 + log 2 ( x − 2 )  log 2 x 2 − 3 x + 2   2 ( ) log x2 − 3x + 2 − log 2 ( x − 2 )  1  x  2 log ( x − 1)  1  2  2  x  3. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = ( 2; 3 ) .  x  2 x + 1  0  c) Ta có: 2log 2 x + 1  2 − log 2 ( x − 2 )   x − 2  0 log x + 1 + log x − 2  2  2( ) 2( )  x  2  x  2 x  2   2  2x3 ( x + 1)( x − 2 )  4  x − x − 6  0 −2  x  3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = ( 2; 3  . d) Điều kiện : x  2 ( )  ( ) log 2 x 2 − x − 2  log 0,5 ( x − 1) + 1  log 2  x 2 − x − 2 ( x − 1)   1   1− 2  x  0 ( )  x 2 − x − 2 ( x − 1) − 2  0  x 3 − 2 x 2 − x  0    x  1 + 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = 1 − 2; 0   1 + 2; + .    ) 2 x − 1  0 e) Điều kiện:   x  1. log 2 (2 x − 1)  0 Ta có: log 1 ( log 2 ( 2 x − 1) )  0  log 1 ( log 2 ( 2 x − 1) )  log 1 1 2 2 2 log (2 x − 1)  1 0  2 x − 1  2 3  2  1 x  . log 2 (2 x − 1)  0 2 x − 1  1 2 Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0. Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”. 179
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT.  3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S =  1;  .  2 VÍ DỤ 2. Giải các bất phương trình sau: a) log 02 ,2 x − 5log 0 ,2 x  −6 . b) log x 3 − log x 3  0 . 3 1 2 log 2 c) 2log x − 10 x 2 x +3  0. Lời giải a) Điều kiện: x  0 1 1 2 log 0,2 − 5log 0,2 x  −6  2  log 0,2 x  3  x 125 25 b) Điều kiện : x  0; x  1; x  3 −1 log x  0 0  x  1 log x 3 − log x 3  0  0 3  3 log 3 x. ( log 3 x − 1) log 3 x  1 x  3 c) Điều kiện: x  0 (*) . Đặt u = log 2 x  x = 2u. ( ) 2 −u 2 10 Bất phương trình đã cho trở thành 2u − 10 2u + 3  0  2u − 2 + 3  0 (1) 2u t  −5 (l) u  1 Đặt t = 2u , t  1. (1)  t 2 + 3t − 10  0   2 2  2 u  2  u2  1   t  2 u  1 Với u  1  log 2 x  1  x  2 1 Với u  −1  log 2 x  −1  x  2 1 Kết hợp điều kiện (*), ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là x  2 hoặc 0  x  . 2 VÍ DỤ 3. a) Tìm số nghiệm của phương trình log 2 ( )  1 x − 2 + 4  log 3   x −1  + 8.  b) Có tất cả bao nhiêu cặp số thực ( x; y ) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 3 x2 − 2 x − 3 −log3 5 = 5−( y + 4 )   4 y − y − 1 + ( y + 3 )  8 2 c) Có bao nhiêu số nguyên dương m trong đoạn −  2018 ; 2018  sao cho bất phương trình log x 11 (10 x ) đúng với mọi x  ( 1;100 ) . m+ log x 10  10 10 Lời giải x − 2  0 a) Điều kiện xác định:  x2 x − 1  0 VT = log 2 ( ) x − 2 + 4  log 2 ( 4 ) = 2 . Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học. 180 Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT. 1 1 Ta có x  2  x − 1  1  1 +89 x −1 x −1  1  VP = log 3  + 8   log 3 9 = 2  x −1   x−2 =0 VT = 2  Suy ra VT  2  VP . Do đó phương trình có nghiệm khi   1 x=2 VP = 2  = 1  x −1 Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất. 3 x2 −2 x−3 −log3 5 = 5−( y + 4)  b)  (1) 4 y − y − 1 + ( y + 3 )  8 ( 2 ) 2 Biến đổi phương trình ( 1) ta được 3 x2 − 2 x − 3 = 5− y − 3 x2 − 2 x − 3 Do x 2 − 2 x − 3  0, x  3  1, x   5− y − 3  1  − y − 3  0  y  −3 Với y  −3 , ta có bất phương trình ( 2 )  −4 y + y − 1 + ( y + 3 )  8  y 2 + 3 y  0  y  −3 2  x = −1  y = −3  x 2 − 2 x − 3 = 0   . x = 3 Vậy có hai cặp ( x; y ) thỏa mãn ( 3; −3 ) , ( −1; −3 ) . log x 11  log x  (10x )  ( log x + 1)  log x 11 m+ log x c) 10  10 10  m+  10  10  ( log x + 10 m )( log x + 1) − 11log x  0  10 m ( log x + 1) + log 2 x − 10log x  0 10log x − log 2 x Do x  ( 1;100 )  log x  ( 0 ; 2 ) 10m ( log x + 1) + log 2 x − 10log x  0  10 m  log x + 1 10t − t 2 Đặt t = log x , t  ( 0 ; 2 ) . Xét hàm số f ( t ) = , t  ( 0; 2 ) t +1 10 − 2t − t 2 Đạo hàm: f  ( t ) =  0 t  ( 0; 2 )  Hàm số f ( t ) đồng biến trên ( t + 1) 2 Do đó f ( 0 )  f ( t )  f ( 2 )  0  f ( t )  16 3 10log x − log 2 x 16 8 Để 10m  đúng với mọi x  ( 1;100 ) thì 10m   m  log x + 1 3 15 8  Do đó m   ; 2018  hay có 2018 số thỏa mãn.  15  Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0. Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”. 181
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT. Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học. 182 Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT. BIỆN LUẬN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT Câu 1: Có bao nhiêu số nguyên m  ( −20; 20 ) để phương trình log ( x 2 + mx + 1) = log ( x + m ) có hai nghiệm thực phân biệt A. 18 . B. 19 . C. 17 . D. 16 . Câu 2: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 1 + log 6 ( x 2 + 1) = log 6 ( mx 2 + 2 x + m ) có nghiệm thực A. 0 . B. 3 . C. Vô số. D. 2 . log 5 ( mx ) Câu 3: Có bao nhiêu số nguyên m  ( −20; 20 ) để phương trình = 2 có hai nghiệm thực phân log 5 ( x + 1) biệt A. 22 . B. 3 . C. 15 . D. 23 . Câu 4: Có bao nhiêu số nguyên không âm m để phương trình ln ( 2 x 2 + mx + m ) = 2 ln ( x + 2 ) có hai nghiệm phân biệt là A. 3 . B. 8 . C. 5 . D. 4 . Câu 5: Tập tất cả các giá trị thực của m để phương trình log 2 ( x + m + 1) = log 2 ( m2 − 4 x + 4mx ) có đúng một nghiệm thực là  −2 3 2 3   −2 3 2 3  A.   3 ; 3  B.  ;  42 2 3       3  −2 3 2 3   −2 3 2 3   3 ; 3  4+2 2 C.     3 ; 3  42 2 D.        Câu 6: Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên m nằm trong đoạn  −2017; 2017  để phương trình log ( mx ) = 2 log ( x + 1) có nghiệm duy nhất. A. 2017 B. 4014 C. 2018 D. 4015 Câu 7: Cho phương trình 2 log 9+ 4 5 ( 2x 2 − x − 4m 2 + 2m ) + log 5 −2 x 2 + mx − 2m 2 = 0 . Tìm tập hợp giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x12 + x22  1 . 2  2 1  2  1 A. ( −;0 )   ; +   . B. ( −1;0 )   ;  . C.  0;  . D.  −1;  . 5  5 2  5  2 Câu 8: Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình log 2 ( 64 x + m ) − 6 = log 3 ( x ) có nghiệm thực. A. 10 . B. 9 . C. 11. D. 8 . Câu 9: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình log 5 ( 5 x + m ) = log 3 ( x ) có hai nghiệm thực phân biệt. A. 23 . B. Vô số. C. 21 . D. 22 . Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0. Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”. 183
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT. Câu 10: Có bao nhiêu số nguyên m  2018 để phương trình log 6 ( 2018 x + m ) = log 4 (1009 x ) có nghiệm thực? A. 2019 . B. 2018 . C. 2017 . D. 2020 . Câu 11: Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để phương trình log ( m − x ) = 3log 4 − 2 x − 3 có hai nghiệm ( ) thực phân biệt. A. 6 . B. 2 . C. 3 . D. 5 . Câu 12: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho 10m và phương trình 2 log mx −5 ( 2 x − 5 x + 4 ) = log 2 mx −5 (x 2 + 2 x − 6 ) có nghiệm thực duy nhất. Tìm số phần tử của S . A. 15 . B. 14 . C. 13 . D. 16 . Câu 13: Tìm tập hợp các giá trị thực của m để tham số phương trình log1+ 2 ( x + m − 1) + log 2 −1 ( x − mx + 2m − 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt. 2 1   1  1 A.  ; +  \ 1 . B. ( 0; + ) \ 1 . C.  0;   1 . D.  0;  . 2   2  2 Câu 14: Có bao nhiêu số nguyên m  ( −2018; 2018 ) để phương trình log 2 ( mx ) = 3log 2 ( x + 1) có đúng hai nghiệm thực phân biệt? A. 2011 . B. 2012 . C. 4028 . D. 2017 . Câu 15: Tập hợp các giá trị thực của tham m để số phương trình 2 ( log 3+ 2 2 ( x + m − 1) + log3−2 x 2 − mx + 2m − 1) = 0 có nghiệm duy nhất là 1   1  1 A.  ; +  \ 1 . B. ( 0; + ) \ 1 . C.  0;   1 . D.  0;  . 2   2  2 Câu 16: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2 log mx −1 ( x 2 + 1) = log mx −1 (2 x 2 − 3x + 3) có nghiệm duy nhất. A. 3. B. 1. C. Vô số. D. 2. Câu 17: Có bao nhiêu số nguyên m (−20;20) để phương trình 2 log mx −1 ( x 2 + 1) = log mx −1 (2 x 2 − 3x + 3) có hai nghiệm thực phân biệt. A. 18. B. 17. C. 19. D. 16. ln(mx − 8) Câu 18: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình = 2 có hai nghiệm thực phân biệt. ln( x − 1) A. 7. B. 3. C. 2. D. 5. Câu 19: Có bao nhiêu số m nguyên để phương trình log5 (6 x + m) = log 2 (x + 1) có hai nghiệm thực phân biệt? A. 3. B. 1. C. Vô số. D. 2. Câu 20: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình ln(x + 2) = ln(x 3 − 2 x + m) có ba nghiệm thực phân biệt? A. 3 B. 4 C. 2 D. 5 Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học. 184 Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT. Câu 21: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình log 2 (mx − 6 x 3 ) + 2 log 1 (−14 x 2 + 29 x − 2) = 0 có 2 nghiệm duy nhất A. 18 B. Vô số C. 23 D. 22  1 Câu 22: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình ln  x −  = ln ( mx − 6 ) có hai nghiệm thực phân biệt.  x A. 9 . B. 7 . C. 8 . D. 10 . Câu 23: Có bao nhiêu số nguyên m  ( −20; 20 ) để phương trình log 2 ( x ) = log 3 ( x 2 + m ) có nghiệm thực duy nhất. A. 18 . B. 20 . C. 1 . D. 19 . Câu 24: Có bao nhiêu số nguyên m  ( −20; 20 ) để phương trình log 2 ( mx ) = log 2 ( x 3 + 8 ) có nghiệm thực duy nhất. A. 18 . B. 20 . C. 12 . D. 19 . Câu 25: Có bao nhiêu số nguyên m ( 20; 20) để phương trình log 2 ( mx) log 2 x 3 8 có hai nghiệm thực phân biệt. A. 18 B. 20 C. 12 D. 19 Câu 26: Có bao nhiêu số nguyên m ( 20; 20) để phương trình log 3 x 2 mx log 5 x 2 mx 2 có bốn nghiệm thực phân biệt. A. 5 B. 7 C. 32 D. 34 Câu 27: Có bao nhiêu số nguyên m ( 20; 20) để phương trình log 3 x 2 mx log 5 x 2 mx 2 có hai nghiệm thực phân biệt. A. 5 B. 7 C. 3 D. 9 Câu 28: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log 2 (mx) = log 2 x 3 + 3 x + 2 có ( ) nghiệm thuộc ( 0; + ) . A. (3 + 2 2; +) . B. [6; +) . C. ( 6; +  ) . ) D. 3 + 2 2; + . Câu 29: Có bao nhiêu số nguyên m  ( −20; 20 ) để phương trình log 3+ 2 2 ( x + m − 1) + log 3− 2 2 ( mx + x ) = 0 có nghiệm duy nhất. 2 A. 18 . B. 19 . C. 21 . D. 20 . Câu 30: Biết rằng phương trình log 2 ( 2 x − 1 + m) = 1 + log 3 ( m + 4 x − 4 x 2 ) có nghiệm duy nhất. Mệnh đề nào đúng? A. m (0;1) . B. m (1;3) . C. m (3;6) . D. m (6;9) . Câu 31: Có bao nhiêu số nguyên m  ( −20; 20 ) để phương trình log 2 x + log 3 ( m − x ) = 2 có nghiệm thực A. 24 . B. 14 . C. 23 . D. 15 . Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0. Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”. 185
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT. Câu 32: Có bao nhiêu số nguyên m  ( −20; 20 ) để phương trình log 2 x + log 3 ( m − x 3 ) = 2 có hai nghiệm thực phân biệt. A. 12 . B. 11. C. 13 . D. 10 . Câu 33: Cho phương trình 3log 27  2 x 2 − ( m + 3) x + 1 − m  + log 1  x 2 − x + 1 − 3m  = 0 . Số các giá trị 3 nguyên của m sao cho phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 − x2  15 là: A. 14 . B. 11. C. 12 . D. 13 . Câu 34: Tập hợp tất cả các giá trị thực của m để phương trình log 2 ( 2sin x − 1) + log 1 ( cos 2 x + m ) = 0 có 2 nghiệm là −5  −1   −1   −1  A.  ; +   . B.  ; 2  . C.  ; +   . D.  ; 2  . 2  2   2   2  Câu 35: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 3x 2 − 4 x + m +1 ( + 3x − m+1 = 3 3x 2 −3 x ) + 1 có ba nghiệm thực phân biệt, đồng thời tích của ba nghiệm đó nhỏ hơn 27? A. 7 . B. 8 . C. 10 . D. 9 . Câu 36: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m thỏa phương trình log mx −5 ( x − 6 x + 12 ) = log 2 mx −5 x + 2 có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của S . A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1 . Câu 37: Cho phương trình 2 x = m.2 x.cos ( x ) − 4 . Phương trình có đúng một nghiệm thực khi và chỉ khi m = m0 , mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m0  −5 . B. m0  0 . C. m0   −5; −1) . D. m0   −1;0 ) . ( Câu 38: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 9.32 x − m 4 4 x 2 + 2 x + 1 + 3m + 3 .3x + 1 = 0 có đúng ) 3 nghiệm thực phân biệt? A. Vô số. B. 3 . C. 1 . D. 2 . Câu 39: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a sao cho phương trình 9 x + 9 = a3x cos ( x ) có nghiệm thực duy nhất. A. a = −6 B. a = 3 C. a = −3 D. a = 6 Câu 40: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a sao cho phương trình 10 x + 102− x = a cos ( x ) − 2 có nghiệm thực duy nhất. A. a = −20. B. a = 18. C. a = −22. D. a = 22. Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tồn tại hai số thực x , y thỏa mãn đồng thời e3x+5 y −10 − ex+3 y −9 = 1 − 2 x − 2 y và log 52 ( 3x + 2 y + 4 ) − ( m + 6 ) log 5 ( x + 5 ) + m 2 + 9 = 0 ? A. 6 . B. 5 . C. 3 . D. 4 . Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học. 186 Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT. ( )( ) Câu 42: Cho phương trình e3m + e m = 2 x + 1 − x 2 1 + x 1 − x 2 . Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm.  1  1   1  1  A.  0; ln 2  . B.  ln 2; +  . C.  0;  . D.  −; ln 2  .  2  2   e  2  Câu 43: Cho phương trình 2x + x −2 x+m − 2x + x + x3 − 3x + m = 0 . Tập tất cả các giá trị thực của m để phương 3 2 2 trình có 3 nghiệm phân biệt có dạng ( a; b ) . Tổng a + 2b bằng A. 1 . B. 0 . C. −2 D. 2 . Câu 44: Có bao nhiêu số nguyên a  ( −200; 200 ) để phương trình e x + e x + a = ln (1 + x ) − ln ( x + a + 1) có nghiệm thực duy nhất. A. 399 . B. 199 . C. 200 . D. 398 . 3x 2 + 3x + m + 1 Câu 45: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình log 2 = x 2 − 5 x + 2 − m có hai 2 2x − x +1 nghiệm phân biệt lớn hơn 1. A. 3 . B. 6 . C. 2 . D. 4 . Câu 46: Phương trình 52 x + 1− 2 x − m.51− 1− 2 x = 4.5 x có nghiệm khi và chỉ khi m   a ; b  . Giá trị biểu thức b − a bằng 9 1 A. . B. 9 . C. . D. 1 . 5 5 Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên ( a; b ) thỏa mãn 0  a, b  100 sao cho đồ thị của hai hàm số 1 1 1 1 y = x + và y = x + cắt nhau tại đúng hai điểm phân biệt a b b a A. 9704 B. 9702 . C. 9698 . D. 9700 . Câu 48: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình sau có ba nghiệm thực phân biệt: ( mx + 9 ) .log3 ( x 2 + 1) . ( mx + 9 ) = 9 − ( x 2 − 1) ( mx + 9 ) ? A. 8 B. 10 . C. 9 . D. 7 . 2 1 1 Câu 49: Có bao nhiêu số nguyên m 20; 20 để phương trình m có ba nghiệm 3x x 1 x 2 thực phân biệt? A. 19 . B. 20 . C. 21 . D. 18 . Câu 50: Biết rằng có duy nhất một số thực x thoả mãn bất phương trình log a 11 + log 1 7 ( ) x 2 + ax + 10 + 4 .log a ( x 2 + ax + 12 )  0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a  ( 6;9 ) . B. a  ( 0;3) . C. a  ( 3; 6 ) . D. a  ( 9; + ) . Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0. Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”. 187
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn A  x + m  0 ( ) Ta có: log x 2 + mx + 1 = log ( x + m )   2  x + mx + 1 = x + m (*) (*)  m ( x − 1) = − x 2 + x − 1 . Với x = 1  phương trình vô nghiệm 1 Với x  1, (*)  m = − x − x −1 1 1 x = 0 Xét f ( x ) = − x − ; f  ( x ) = −1 + =0 x −1 ( x − 1) x = 2 2 Bảng biến thiên Để phương trình log ( x 2 + mx + 1) = log ( x + m ) có hai nghiệm thực phân biệt thì  1  x  −m x  x + x −1 x  1 m  −1     m  1   m  1  m  1  m  1  m  1   m  −3        m  −3   m  −3   m  −3 Vậy có 18 giá trị của m  ( −20; 20 ) để phương trình log ( x 2 + mx + 1) = log ( x + m ) có hai nghiệm thực phân biệt Câu 2: Chọn B  x 2 + 1  0 Ta có : 1 + log 6 ( x + 1) = log 6 ( mx + 2 x + m )   2 2 6 ( x + 1) = mx + 2 x + m (*) 2 2 ( *)  ( 6 − m ) x 2 − 2 x + 6 − m = 0 Với m = 6  x = 0 Với m  6  phương trình có nghiêm khi  = 1 − ( 6 − m )  0    m  7 2 Vậy có 3 giá trị của m Câu 3: Chọn C  x  −1  log 5 ( mx ) Điều kiện:  mx  0 . Ta có: = 2  mx = x 2 + 2 x + 1(*) x  0 log 5 ( x + 1)  Với x = 0  phương trình (*) vô nghiệm x2 + 2 x + 1 Với x  0  m = x Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học. 188 Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT. x2 + 2 x + 1 1 x = 1 Đặt f ( x ) = , f ( x) = 1− 2 ; f ( x) = 0   x x  x = −1 Bảng biến thiên log 5 ( mx ) Để phương trình = 2 có hai nghiệm thực phân biệt thì m  4 log 5 ( x + 1) Vậy có 15 số nguyên m  ( −20; 20 ) . Câu 4: Chọn D.  x  −2  x  −2 PT     . ln ( 2 x + mx + m ) = ln ( x + 2 )  f ( x) = x + ( m − 4 ) x + ( m − 4 ) = 0 2 2 2 (2) Để phương trình (2) đã cho có hai nghiệm thực lớn hơn −2 khi và chỉ khi   0 ( m − 4 ) − 4 ( m − 4 )  0 2    f (−2)  0  4 − ( m − 4 )  0  m  4 . Vì  m  0;1; 2;3 .  S  −4   − ( m − 4 )  −2 Câu 5: Chọn C.  x  −m − 1 Ta có: log ( x + m + 1) = log 2 ( m2 − 4 x + 4mx )   ( x + m + 1) = m − 4 x + 4mx 2 2 2   x  −m − 1    g ( x ) = x − ( 2m − 6 ) x + 1 + 2 m = 0 2  (2) Để phương trình (2) đã cho có một nghiệm thực lớn hơn −m − 1 khi và chỉ Trường hợp 1: Phương trình (2) có hai nghiệm thoả x1  −m − 1  x2   f ( −m − 1) = 0 3m 2 − 4  0    2 3 2 3    S = 2m − 6  2 ( −m − 1)   3m 2 − 4 = 0  m   − ;      3 3   f ( −m − 1)  0  m  1 Trường hợp 2: Phương trình (2) nghiệm kép thoả x1,2  − m − 1  = 4m2 − 32m + 32 = 0  −2 3 2 3   m − 3  −m − 1  m = 4 + 2 2 . Vậy m    3 ; 3  4+2 2     Câu 6: Chọn C.  x  −1  x  −1 Ta có: log ( mx ) = 2 log ( x + 1)     mx = ( x + 1)  f ( x) = x + (2 − m) x + 1 = 0 2 2 (2) Để phương trình (2) đã cho có một nghiệm thực lớn hơn −1 khi và chỉ Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0. Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”. 189
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT.   f ( −1) = 0 m  0   (2) có hai nghiệm thoả x1  −1  x2   S = m − 2  −2   m = 0  m  0  f −1  0  m  0  ( )   = m 2 − 4m = 0  (2) nghiệm kép thoả x1,2  −1   m − 2 m=4   −1  2 Vậy m   −2017; −1  4 , có 2018 số nguyên thoả. Câu 7: Chọn A. Ta có 2 log 9+ 4 5 ( 2x 2 − x − 4m 2 + 2m ) + log 5 −2 x 2 + mx − 2m 2 = 0  2 log ( ) 2 ( 2x 2 − x − 4m2 + 2m ) + log 1 x 2 + mx − 2m2 = 0 ( ) 5 +2 − 5 +2 2  log 5 +2 ( 2x 2 − x − 4m 2 + 2m ) = log 5 +2 (x 2 + mx − 2m 2 )  2 x2 − x − 4m2 + 2m = x2 + mx − 2m2  x 2 − ( m + 1) x − 2m 2 + 2m = 0 . Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt  ( m + 1) − 4 ( −2m 2 + 2m )  0 2 1  x1 + x2 = m + 1  9m2 − 6m + 1  0  ( 3m − 1)  0  m  . Theo Vi-ét ta có: 2  . 3  1 2 x . x = 2 m − 2 m 2 Theo bài ra ta có:  2 m x + x  1  ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  1  ( m + 1) − 2 ( 2m − 2m )  1  5m − 2m  0   2 2 2 2 2 2 5. 1 2  m  0 Câu 8: Chọn A. Ta có log 2 ( 64 x + m ) − 6 = log 3 ( x )  log 2 ( 64 x + m ) = log 3 ( x ) + 6 64 x + m = 2t (1)  log 2 ( 64 x + m ) = log 3 ( 729 x ) = t   729 x = 3 t ( 2) 3t Từ (2) ta có x = = 3t −6 thay vào (1) ta được : 64.3t −6 + m = 2t  2t − 64.3t −6 = m 729 Khảo sát hàm số f ( t ) = 2t − 64.3t −6 ta suy ra điều kiện để phương trình có nghiệm là: 32 0m = 10, ( 6 )  m = 1; 2;...;10 ( do m nguyên dương ) 3 Suy ra có 10 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài. Câu 9: Chọn D. 5 x + m = 5t (1) Ta có log5 ( 5 x + m ) = log 3 ( x ) = t    x = 3 t ( 2) Thay (2) vào (1) ta được : 5.3t + m = 5t  5t − 5.3t = m Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học. 190 Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT. Khảo sát hàm số f ( t = ) 5t − 5.3t ta được BBT: suy ra điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là : −22, 2  m  0 Suy ra có 22 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài. Câu 10: Chọn D  1009 x = 4 t Có log 6 ( 2018 x + m ) = log 4 (1009 x ) = t    m + 2.4t = 6t .   2018 x + m = 6t   2ln 4   Khi đó m = −2.4t + 6t  min f ( t ) = f  log 3     −2, 0136 .  2  ln 6   Vậy m  −2; −1;....; 2017 có tất cả 2020 số nguyên thỏa mãn. Câu 11: Chọn B  4 − 2x − 3  0  3 19  x  2 2 Phương trình tương đương với   ( ) 3 m − x = 4 − 2 x − 3 ( m = x + 4 − 2 x − 3 ) ( *) 3  t 2 − 8t + 19 2t 3 + t 2 − 8t + 19 Đặt t = 4 − 2 x − 3, ( 0  t  4 )  x = . Khi đó (*) thành m = 2 2  t =1 2t 3 + t 2 − 8t + 19 Xét hàm f ( t ) = với 0  t  4 có f  ( t ) = 3t + t − 4 = 0   2 2 t = − 4  3 Bảng biến thiên: x 0 1 4 y' 0 + 131 2 19 y 2 7 19 Từ bảng biến thiên ta thấy (*) có hai nghiệm khi 7  m  , mà m   m  8;9 . 2 Vậy có hai giá trị m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 12: Chọn A Ta có: Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0. Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”. 191

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.