Nén hiệu đa Mode bậc cao Hillery với ngõ vào là các đơn Mode kết hợp và đơn Mode kết hợp thêm Photon

NÉN HIỆU ĐA MODE BẬC CAO HILLERY VỚI NGÕ<br /> VÀO LÀ CÁC ĐƠN MODE KẾT HỢP VÀ ĐƠN MODE<br /> KẾT HỢP THÊM PHOTON<br /> VÕ TÌNH - NGUYỄN SĨ CƯỜNG<br /> <br /> Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế<br /> <br /> Tóm tắt: Từ Hamiltonian của một hệ tương tác gồm các photon và<br /> các nguyên tử của môi trường phi tuyến, các phương trình chuyển động<br /> Heisenberg của các toán tử sinh (hủy) hạt photon được thiết lập. Thông<br /> qua việc giải hệ phương trình này với phép gần đúng bậc hai theo thời<br /> gian bé và tính phương sai biên độ trực giao bậc cao, mối liên hệ giữa<br /> nén hiệu biên độ trực giao đa mode bậc cao Hillery từ các photon ở ngõ<br /> vào với nén biên độ trực giao bậc cao Hillery của photon có tần số hiệu<br /> ở ngõ ra được hình thành. Cũng trong bài báo này, điều kiện nén hiệu<br /> đa mode bậc cao Hillery tổng quát được rút ra và từ đó nén hiệu đa<br /> mode bậc cao Hillery được khảo sát với các photon ở trạng thái kết hợp<br /> và kết hợp thêm photon.<br /> <br /> 1 GIỚI THIỆU<br /> Sự nghiên cứu về Laser từ năm 1960 đã cho ra đời một loạt các khái niệm cơ bản<br /> trong quang lượng tử như trạng thái kết hợp, trạng thái nén... Trạng thái kết hợp<br /> (coherent state) được đưa ra bởi Glauber và Sudarshan vào năm 1963, trạng thái kết<br /> hợp vẫn còn là một trạng thái cổ điển, tuy nhiên trạng thái này là trạng thái giới<br /> hạn giữa trạng thái cổ điển và trạng thái phi cổ điển. Trạng thái phi cổ điển đầu tiên<br /> là trạng thái nén (squeered state), được đưa ra lần đầu tiên bởi D. Stoler vào năm<br /> 1970. Tiếp theo sau trạng thái nén là các trạng thái phi cổ điển khác được đề xuất<br /> như trạng thái kết hợp phi tuyến, trạng thái kết hợp phi tuyến chẵn, lẻ, trạng thái<br /> kết hợp thêm photon đã được đưa ra [1]. Trạng thái phi cổ điển biểu hiện rõ những<br /> đặc điểm phi cổ điển như sự nén biên độ trực giao, tuân theo thống kê sub-Poisson,<br /> vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, anti-bunching. Trạng thái nén bậc cao đa<br /> mode được khởi đầu bởi Hillery vào năm 1989 khi khảo sát hai trường hợp nén tổng<br /> Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế<br /> ISSN 1859-1612, Số 04(24)/2012: tr. 18-27<br /> <br /> NÉN HIỆU ĐA MODE BẬC CAO HILLERY VỚI NGÕ VÀO...<br /> <br /> 19<br /> <br /> và nén hiệu đơn giản nhất cho hai mode [2]. Sau đó Kumar và Gupta nâng trường<br /> hợp khảo sát lên ba mode [3]. Bản chất cơ học lượng tử của ánh sáng được bộc lộ<br /> trực tiếp qua các trạng thái nén bậc cao đa mode. Năm 2000, nén hiệu đa mode<br /> tổng quát đã được Nguyễn Bá Ân, Võ Tình khảo sát với các đơn mode kết hợp và<br /> đơn mode nén [4], [5]. Các tác giả này đã chứng tỏ rằng từ các photon khác nhau<br /> ở trạng thái kết hợp và trạng thái nén kết hợp, nếu cho chúng tương tác với nhau<br /> thông qua môi trường quang phi tuyến có thể tạo ra được các photon có tần số khác<br /> (bằng tổng và hiệu các tần số của các photon tương tác) ở trạng thái nén biên độ<br /> trực giao. Giữa nén tổng (hiệu) đa mode của các photon ở các trạng thái khác nhau<br /> trước tương tác và nén thông thường của photon có tần số tổng (hiệu) được tạo ra<br /> bởi hệ đa mode sau khi tương tác trong môi trường phi tuyến đã được chứng minh<br /> là có mối liên hệ rất chặt chẽ.<br /> Việc nghiên cứu các photon nén biên độ trực giao có tần số là tổng hoặc hiệu tần<br /> số của các photon ban đầu ở trạng thái kết hợp và các trạng thái phi cổ điển trong<br /> môi trường phi tuyến không những có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực công nghệ<br /> mà còn có đóng góp rất lớn trong lĩnh vực khoa học cơ bản, mở rộng tầm hiểu biết<br /> của con người sâu hơn nữa về bản chất của trường điện từ và tương tác của nó với<br /> vật chất bằng công cụ nghiên cứu mạnh là lý thuyết trường lượng tử. Bài báo này<br /> trình bày khảo sát về nén hiệu biên độ trực giao đa mode bậc cao Hillery tổng quát<br /> và áp dụng với các photon ở trạng thái kết hợp và kết hợp thêm photon.<br /> 2 NÉN HIỆU ĐA MODE BẬC CAO HILLERY<br /> Xét một quá trình chuyển đổi tần số đa sóng nhờ môi trường phi tuyến, theo đó có<br /> N mode ở ngõ vào có tần số ω1 , ω2 , ..., ωN tương tác với môi trường phi tuyến để tạo<br /> ra một mode ở ngõ ra với tần số ΩD được cho bởi<br /> K<br /> N<br /> ∑<br /> ∑<br /> ΩD =<br /> ωk −<br /> ωj > 0,<br /> (1)<br /> k=1<br /> <br /> j=K+1<br /> <br /> với 1 ≤ K < N , (N ≥ 2). Quá trình vật lý này được mô tả bằng Hamiltonian<br /> (<br /> )<br /> N<br /> N<br /> K<br /> ∑<br /> ∏<br /> ∏<br /> ˆD =<br /> H<br /> ωj n<br /> ˆ j + ΩD n<br /> ˆ D + gD cˆ+<br /> cˆ+<br /> cˆq + h.c ,<br /> p<br /> D<br /> j=1<br /> <br /> p=K+1<br /> <br /> (2)<br /> <br /> q=1<br /> <br /> ˆj là các toán tử sinh, hủy ứng với các mode<br /> ˆj , n<br /> ˆ D = cˆ+<br /> ˆD , với cˆ+<br /> trong đó n<br /> ˆ j = cˆ+<br /> j , c<br /> j c<br /> Dc<br /> +<br /> ở ngõ vào có tần số ωj và cˆD , cˆD là các toán tử sinh, hủy của mode ΩD ở ngõ ra.<br /> Hằng số tương tác phi tuyến gD thường nhỏ hơn tần số ωj , ΩD của các mode rất<br /> <br /> 20<br /> <br /> VÕ TÌNH - NGUYỄN SĨ CƯỜNG<br /> <br /> nhiều, do đó ta có thể biểu diễn các toán tử<br /> cˆj = Cˆj exp(−iωj t),<br /> <br /> cˆD (t) = CˆD (t)exp(−iΩD t).<br /> <br /> (3)<br /> <br /> Các toán tử Cˆj (t), CˆD (t) biến thiên theo thời gian chậm hơn nhiều so với exp(−iωj t)<br /> và exp(−iΩD t).<br /> ˆ D,n (φ, t) được định nghĩa dưới dạng:<br /> Toán tử "tập thể" lũy thừa n, Q<br /> [<br /> ]<br /> K<br /> N<br /> ∏<br /> ∏<br /> 1<br /> n−1<br /> ˆ D,n (φ, t) =<br /> exp(−iφ)CˆD<br /> (t)<br /> Q<br /> Cˆk (t)<br /> Cˆj+ (t) + h.c ,<br /> (4)<br /> 2<br /> j=K+1<br /> k=1<br /> φ là góc tạo bởi toán tử tập trên với trục thực của mặt phẳng phức.<br /> Từ (4) ta suy ra hệ thức giao hoán<br /> [<br /> π ] iˆ<br /> ˆ<br /> ˆ<br /> QD,n (φ, t), QD,n (φ + , t) = FD,n (n, N, t),<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> (5)<br /> <br /> với<br /> N<br /> K<br /> N<br /> K<br /> ]<br /> [<br /> ∏<br /> ∏<br /> ∏<br /> ∏<br /> +(n−1)<br /> n−1<br /> Cˆj (t) .<br /> Cˆk+ (t)<br /> Cˆj+ (t), CˆD<br /> (t)<br /> Cˆk (t)<br /> FˆD,n (n, N, t) = CˆD<br /> (t)<br /> k=1<br /> <br /> j=K+1<br /> <br /> k=1<br /> <br /> j=K+1<br /> <br /> (6)<br /> +(n−1)<br /> n−1<br /> FˆD,n (n, N, t) = CˆD<br /> (t)CˆD<br /> (t)FˆD (N, t)<br /> <br /> + FˆCD (n − 1, t)<br /> <br /> K<br /> ∏<br /> k=1<br /> <br /> n<br /> ˆ k (t)<br /> <br /> N<br /> ∏<br /> <br /> (1 + n<br /> ˆ j (t)).<br /> <br /> (7)<br /> <br /> j=K+1<br /> <br /> Từ đó điều kiện nén hiệu đa mode bậc cao theo hướng φ được rút ra<br /> V QD,n (φ, t) −<br /> <br /> |⟨FˆD,n (n, N, t)⟩|<br /> < 0,<br /> 4<br /> <br /> (8)<br /> <br /> ˆ D,n .<br /> trong đó V QD,n là phương sai của toán tử tập thể lũy thừa n, Q<br /> Gọi V XCD ,n là phương sai của toán tử biên độ trực giao lũy thừa n của photon ở<br /> ˆ C ,n (φ, t) được định nghĩa<br /> ngõ ra có tần số hiệu ΩD , X<br /> D<br /> ]<br /> [<br /> ˆ C ,n (φ, t) = 1 Cˆ n (t)e−iφ + Cˆ +n (t)eiφ .<br /> (9)<br /> X<br /> D<br /> D<br /> 2 D<br /> Khi điều kiện trung bình lượng tử của số các mode ở ngõ vào phải thỏa mãn<br /> )<br /> (<br /> )<br /> K (<br /> N<br /> ∏<br /> ∏<br /> ⟨1 + n<br /> ˆk⟩<br /> ⟨1 + n<br /> ˆj ⟩<br /> ><br /> ⟨ˆ<br /> n<br /> ⟨ˆ<br /> nj ⟩<br /> k⟩<br /> j=K+1<br /> k=1<br /> <br /> (10)<br /> <br /> 21<br /> <br /> NÉN HIỆU ĐA MODE BẬC CAO HILLERY VỚI NGÕ VÀO...<br /> <br /> cùng với giả thiết photon tần số hiệu ΩD ban đầu (t = 0) ở trạng thái chân không<br /> hoặc kết hợp thì<br /> ⟩<br /> 1 ⟨<br /> <br /> V XCD ,n (φ) −  FˆCD (n)  = 0,<br /> 4<br /> theo đó, ta có mối liên hệ giữa nén hiệu biên độ trực giao đa mode bậc cao Hillery<br /> với nén biên độ trực giao bậc cao Hillery của đơn mode tần số hiệu ở ngõ ra được<br /> thể hiện qua biểu thức của độ nén hiệu đa mode bậc cao Hillery<br /> ⟩<br /> 1 ⟨ ˆ<br /> <br /> V ≡ V XCD ,n (φ, t)−  FCD (n, t)  =<br /> 4 [<br /> (<br /> ⟩]<br /> π ) 1 ⟨ ˆ<br /> <br /> 2 2 2<br /> = n gD t V QD,n φ +<br /> −  FD,n (n, N )  .<br /> 2<br /> 4<br /> <br /> (11)<br /> <br /> Rõ ràng phương trình (11) cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa nén biên độ trực giao<br /> bậc cao Hillery của đơn mode có tần số hiệu ở thời điểm t > 0 với nén hiệu biên độ<br /> trực giao đa mode bậc cao Hillery ở thời điểm t = 0.<br /> Qua tính toán ta được biểu thức của độ nén hiệu đa mode bậc cao Hillery:<br /> ]}<br /> {<br /> [K<br /> N<br /> N<br /> K ⟨<br /> ⟩2 ∏<br /> ⟨ ⟩2<br /> ⟨ ⟩ ∏<br /> ⟨<br /> ⟩ ∏<br /> ∏<br /> 2(n−1)<br /> Cˆk<br /> Cˆ +<br /> Cˆk2<br /> Cˆ +2 −<br /> V =2Re e−2iφ α<br /> [<br /> + 2 |αD |<br /> <br /> 2(n−1)<br /> <br /> j<br /> <br /> j<br /> <br /> D<br /> <br /> j=K+1<br /> <br /> k=1<br /> K<br /> ∏<br /> k=1<br /> <br /> ⟨ˆ<br /> nk ⟩<br /> <br /> N<br /> ∏<br /> j=K+1<br /> <br /> k=1<br /> <br /> j=K+1<br /> <br /> ] (12)<br /> K ⟨<br /> ⟩ N ⟨ ⟩<br /> ∏<br />  ˆ 2 ∏  ˆ + 2<br /> (1 + ⟨ˆ<br /> nj ⟩) −<br />  Ck <br />  Cj  .<br /> k=1<br /> <br /> j=K+1<br /> <br /> Dựa vào biểu thức (12) ta sẽ khảo sát nén hiệu đa mode bậc cao với các trạng thái<br /> kết hợp và kết hợp thêm photon. Nếu V < 0, đồng thời điều kiện trung bình số hạt<br /> của các mode ở ngõ vào (10) được thỏa mãn thì hệ có nén hiệu.<br /> 3 NÉN HIỆU ĐA MODE BẬC CAO HILLERY VỚI NGÕ VÀO LÀ CÁC ĐƠN<br /> MODE KẾT HỢP VÀ ĐƠN MODE KẾT HỢP THÊM PHOTON<br /> 3.1. Trường hợp N mode gồm các mode ωK+1 , ωK+2 , ..., ωK+J (1 ≤ J ≤ N − K) ở<br /> trạng thái kết hợp thêm photon và các mode còn lại ở trạng thái kết hợp<br /> Sử dụng véctơ trạng thái của hệ photon là tích các trạng thái riêng của từng photon,<br /> ta tính được một số giá trị trung bình ở trạng thái này như sau:<br /> ⟨Cˆk2 ⟩ = ⟨Cˆk ⟩2 = αk2 , ⟨Cˆj+2 ⟩ = ⟨Cˆj+ ⟩2 = αj∗2 ,<br /> <br /> (13)<br /> <br /> 22<br /> <br /> VÕ TÌNH - NGUYỄN SĨ CƯỜNG<br /> <br /> ⟨ˆ<br /> nk ⟩ = |⟨Cˆk ⟩|2 = |αk |2 , ⟨ˆ<br /> nj ⟩ = |⟨Cˆj+ ⟩|2 = |αj |2 ,<br /> <br /> ⟨Cˆp+ ⟩<br /> <br /> =<br /> <br /> αp∗<br /> <br /> ∑m<br /> <br /> Li (−|αp |2 )<br /> ,<br /> Lm (−|αp |2 )<br /> i=0<br /> <br /> ⟨ˆ<br /> np ⟩ =<br /> <br /> ⟨Cˆp+2 ⟩<br /> <br /> =<br /> <br /> αp∗2<br /> <br /> ∑m<br /> <br /> + 1 − i)Li (−|αp |2 )<br /> ,<br /> Lm (−|αp |2 )<br /> <br /> i=0 (m<br /> <br /> (m + 1)Lm+1 (−|αp |2 )<br /> − 1.<br /> Lm (−|αp |2 )<br /> <br /> (14)<br /> <br /> (15)<br /> <br /> (16)<br /> <br /> Xét trường hợp các mode kết hợp là giống nhau αk = αj = rj eiϑj ; các mode kết hợp<br /> thêm photon là giống nhau αp = rp eiϑp ; tham số kết hợp αD = rD eiϑD . Biểu thức V<br /> của độ nén hiệu đa mode bậc cao Hillery được viết lại là<br /> 2(n−1) 2(N −J) 2J<br /> rp<br /> <br /> V1 =2cos[−2φ + 2(n − 1)ϑD − 2(N − 2K − J)ϑj − 2Jϑp ]rD<br /> rj<br /> [( ∑m<br /> ]<br /> ∑<br /> )<br /> J<br /> 2<br /> ( m Li (−r2 ) )2J<br /> p<br /> i=0 (m + 1 − i)Li (−rp )<br /> i=0<br /> ×<br /> −<br /> 2<br /> 2<br /> Lm (−rp )<br /> Lm (−rp )<br /> [(<br /> )<br /> J<br /> (m + 1)Lm+1 (−rp2 )<br /> 2(n−1) 2K<br /> + 2rD<br /> rj<br /> (1 + rj2 )(N −K−J)<br /> 2<br /> Lm (−rp )<br /> ]<br /> ( ∑m<br /> )<br /> 2J<br /> 2<br /> L<br /> (−r<br /> )<br /> p<br /> 2(N −K−J)<br /> i=0 i<br /> −rp2J<br /> rj<br /> .<br /> 2<br /> Lm (−rp )<br /> <br /> (17)<br /> <br /> Điều kiện trung bình số hạt của các mode ở ngõ vào lúc này là<br /> (<br /> D1 =<br /> <br /> )J ( 1 + r2 )(N −2K−J)<br /> (m + 1)Lm+1 (−rp2 )<br /> j<br /> − 1 < 0.<br /> (m + 1)Lm+1 (−rp2 ) − Lm (−rp2 )<br /> rj2<br /> <br /> (18)<br /> <br /> Theo biểu thức tần số hiệu (1), ta sẽ khảo sát V 1 theo các trường hợp sau:<br /> - N = 2: +K = 1; J = 1 (Z = N − K − J = 0).<br /> - N = 3: +K = 1; J = 1, 2 (Z = 1, 0).<br /> +K = 2; J = 1 (Z = 0).<br /> - N = 4: +K = 1; J = 1, 2, 3 (Z = 2, 1, 0).<br /> +K = 2; J = 1, 2 (Z = 1, 0).<br /> +K = 3; J = 1 (Z = 0).<br /> Kết quả khảo sát hàm V1 của các trường hợp này cho thấy rằng, hệ không có nén<br /> hiệu và V1 có giá trị nhỏ nhất tại φ = 0, π.<br /> 3.2. Trường hợp N mode gồm các mode ω1 , ω2 , ..., ωJ (1 ≤ J ≤ K) ở trạng thái kết<br /> hợp thêm photon và các mode còn lại ở trạng thái kết hợp<br /> <br />