intTypePromotion=1
ADSENSE

Nghiệm mờ của phương trình hàm hyperbolic

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

18
lượt xem
0
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hiện nay, các nhà toán học đã và đang rất quan tâm đến lý thuyết tập mờ và đặc biệt là phương trình đạo hàm riêng mờ trên cơ sở logic mờ, tập mờ với mong muốn tìm ra nghiệm và tính chất nghiệm của các bài toán mà một số đại lượng của phương trình mang tính chất không đầy đủ, không chính xác, mơ hồ như hàm phụ thuộc, điều kiện ban đầu, điều kiện biên.... Trong sự phát triển đa dạng của lý thuyết tập mờ, phương trình vi phân mờ và phương trình đạo hàm riêng mờ đang dần hoàn thiện và đạt được một số kết quả quan trọng. Những kết quả này có rất nhiều ứng dụng trong hệ động lực khí đốt, hệ âm thanh, hệ điều khiển, mạng noron máy tính....

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Nghiệm mờ của phương trình hàm hyperbolic

  1. NGHIỆM MỜ CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM HYPERBOLIC FUZZY SOLUTION OF THE HYPERBOLIC FUNCTION EQUATION ThS Đặng Vân Thu Thuỷ Đại Học Hàng Hải Việt Nam Email:dvthuy@vimaru.edu.vn Ngày tòa soạn nhận được bài báo:02/12/2020 Ngày phản biện đánh giá: 17/12/2020 Ngày bài báo được duyệt đăng: 28/12/2020 Tóm tắt: Hiện nay, các nhà toán học đã và đang rất quan tâm đến lý thuyết tập mờ và đặc biệt là phương trình đạo hàm riêng mờ trên cơ sở logic mờ, tập mờ với mong muốn tìm ra nghiệm và tính chất nghiệm của các bài toán mà một số đại lượng của phương trình mang tính chất không đầy đủ, không chính xác, mơ hồ như hàm phụ thuộc, điều kiện ban đầu, điều kiện biên.... Trong sự phát triển đa dạng của lý thuyết tập mờ, phương trình vi phân mờ và phương trình đạo hàm riêng mờ đang dần hoàn thiện và đạt được một số kết quả quan trọng. Những kết quả này có rất nhiều ứng dụng trong hệ động lực khí đốt, hệ âm thanh, hệ điều khiển, mạng noron máy tính.... Do có nhiều ứng dụng rộng rãi và quan trọng nên việc nghiên cứu về phương trình vi phân mờ và phương trình đạo hàm riêng mờ đang là một đề tài được rất nhiều các nhà khoa học quan tâm và nghiên cứu. Có rất nhiều kết quả đã được công bố về vấn đề này, dựa vào các kết quả đó bài báo tập trung nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng và đặc biệt là sự tồn tại duy nhất nghiệm mờ của lớp phương trình hyperbolic. Từ khóa : nghiệm mờ, hàm hyperbolic mờ, phương trình hyperbolic Summary: Currently, mathematicians have been very interested in fuzzy set theory and especially fuzzy partial derivative equations on the basis of fuzzy logic, fuzzy sets with the desire to find solutions and solution nature of problems but some quantities of the equation are of incomplete, inaccurate, ambiguous nature such as dependent function, initial condition, boundary condition .... In the diversified development of fuzzy set theory, fuzzy differential equations and fuzzy partial derivative equations are gradually being completed and achieving some important results. These results have many applications in gas dynamics, sound systems, control systems, computer noron networks ... Due to 44 TẠP CHÍ KHOA HỌC QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
  2. micro equations Fuzzy division and fuzzy partial derivative equations are a topic of much interest and research by scientists. There are many published manyresults on this wide and problem, important based on the applications, these results, study the equations of micro article focuses Fuzzy on the and division fuzzy partial derivative specific derivative equations equationsareand a topic of muchthe especially interest and research existence of onlybyfuzzy scientists. There are many published results on this problem, based on these results, the article solutions focuses on theof specific the classderivative of hyperbolic equations. equations and especially the existence of only fuzzy solutions of the class of hyperbolic equations. Key words: fuzzy solutions, fuzzy hyperbolic functions, hyperbolic equations Key words: fuzzy solutions, fuzzy hyperbolic functions, hyperbolic equations 1. Mở đầu 1.1 Tính liên tục, khả vi và đạo hàm của hàm mờ n Định nghĩa 1.1: Với x, y ∈ E , nếu tồn tại z ∈ E n sao cho x= y + z thì z được gọi là hiệu Hukuhara của x và y , ký hiệu là x − y . Định nghĩa 1.2: Ánh xạ f : J × J → E được gọi là liên tục cấp tại (t , s ) ∈ J × J a b n 0 0 a b nếu ánh xạ fα ( t , s ) =  f ( t , s )α liên tục tại ( t , s ) = ( t0 , s0 ) đối với mêtric Hausdorff H d với mọi α ∈ [0,1] . Ánh xạ f : J × J → E được gọi là bị chặn khả tích nếu tồn tại một hàm khả tích a b n h ∈ L1 ( J a × J b , � n ) sao cho | y |≤ h ( s, t ) với mọi y ∈ f 0 ( s, t ) . Định nghĩa 1.3: Ánh xạ f : J × J × E → E được gọi là liên tục cấp tại điểm a b n n (t , s , x ) ∈ J × J × E nếu với mọi α ∈ [0,1] và ò > 0 bất kỳ, tồn tại một số δ (ò, α ) > 0 0 0 0 a b n sao cho tại mọi điểm (t , s) mà max ( t − t0 , s − s0 ) < δ (ò, α ) và ( ) H d [ x ] , [ x0 ] < δ (ò, α ) với mọi ( t , s, x ∈ J a × J b × E n ) : H d  f ( t , s, x ) ,  f ( t0 , s0 , x0 ) < ò. α α ( α α ) a b Cho f : J a × Jb → E n , ký hiệu ∫ ∫ f ( t , s ) dsdt 0 0 là tích phân của f trên J a × J b xác định bởi (∫ ∫ ) a b α a b f ( t , s ) dsdt =∫ ∫ f ( t , s ) dsdt 0 0 0 0 α a b = {∫ 0 ∫ v ( t , s ) dsdt | v : J 0 a × J b → � n , v(t , s ) = y, y ∈ fα (t , s ) = [ f (t , s )]α = x : f (t , s )( x) ≥ α } = {∫ ∫ ydsdt : y ∈[ f (t, s)] }= {=z 0 a b 0 α (∫ a 0 ∫ 0 b y1dsdt ,..., ∫ 0 a ∫ 0 b } yn dsdt ) ∈ � n , y ∈ [ f (t , s )]α , ∀α ∈ (0,1] Định nghĩa 1.4: Một hàm f : J a × Jb → E n được gọi là khả tích trên J a × Jb nếu ∫ ∫ f ( t , s ) dsdt ∈ E . a b n 0 0 Mệnh đề 1.1: Nếu f, g khả tích trên J a × J b và λ ∈ � n thì a b a b a b i) ∫∫ ( f ( t , s ) + g ( t , s ))dsdt ∫∫ = ∫ g ( t , s ) dsdt , f ( t , s ) dsdt + ∫ 0 0 0 0 0 0 a b a b ii) ∫ ∫ λ. f ( t , s ) dsdt = λ.∫ ∫ f ( t , s ) dsdt , 0 0 0 0 a b a b a b iii) d [ ∫ ∫ f ( t , s ) dsdt , ∫ ∫ g ( t , s ) dsdt ] ≤ ∫ ∫ d ( f ( t , s ) , g ( t , s ))dsdt. ∞ 0 0 0 0 0 0 ∞ Định nghĩa 1.5:Cho ánh xạ f : J a × Jb → E n , đạo hàm riêng mờ của f theo biến x ∂f ( t0 , x0 ) tại điểm (t0 , x0 ) ∈ J a × J b là tập mờ ∈ En xác định TẠP CHÍ bởi 45 KHOA HỌC ∂x QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ ∂f ( t0 , x0 ) f ( t0 + h, s0 ) − f ( t0 , x0 ) = lim . Giới hạn này được lấy trong không gian mêtric ∂x h →0 h
  3. a b a b ii) ∫ ∫ λ. f ( t , s ) dsdt = λ.∫ ∫ f ( t , s ) dsdt , 0 0 0 0 a b a b a b iii) d [ ∫ ∫ f ( t , s ) dsdt , ∫ ∫ g ( t , s ) dsdt ] ≤ ∫ ∫ d ∞ 0 0 0 0 0 0 ∞ ( f ( t , s ) , g ( t , s ))dsdt. Định nghĩa 1.5:Cho ánh xạ f : J a × Jb → E n , đạo hàm riêng mờ của f theo biến x ∂f ( t0 , x0 ) tại điểm (t0 , x0 ) ∈ J a × J b là tập mờ ∈ En xác định bởi ∂x ∂f ( t0 , x0 ) f ( t0 + h, s0 ) − f ( t0 , x0 ) = lim . Giới hạn này được lấy trong không gian mêtric ∂x h →0 h ( E , H ) . Đạo hàm riêng mờ của n d f theo biến y tại điểm (t0 , x0 ) ∈ J a × J b được định nghĩa tương tự. 2. Phương trình hàm hyperbolic mờ với điều kiện biên địa phương Chúng ta sẽ đi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình sau: ∂ 2 u ( x, y ) = f ( x, y, u( x , y ) ), ( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] (1) ∂x∂y u ( x,0)= η1 ( x), u (0, y )= η2 ( y ),( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] (2) u ( x, y ) = ϕ ( x, y ), ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [ − r , 0], (3) n trong đó f : J a × J b × C ([−r ,0] × [−r ,0], E ) → E , ϕ :[−r ,0] × [−r ,0] → E là các hàm n n cho trước và hàm u( x , y ) ( s, t ) được định nghĩa như sau: u( x , y ) ( s, t ) = u ( x + s, y + t );( s, t ) ∈ [−r ,0] × [−r ,0]. Định nghĩa 2.1: Nghiệm của phương trình (1), (2), (3) là hàm u (.,.) thuộc n ∂ 2 u ( x, y ) không gian C ([−r , a] × [−r , b], E ) sao cho = f ( x, y, u( x , y ) ) trên J a × J b thỏa ∂x∂y mãn điều kiện ban đầu u ( x,0) = η1 ( x), u (0, y ) = η2 ( y ) trên ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] và u ( x, y ) = ϕ ( x, y ) với ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [− r , 0] . Định lý 2.1: Giả sử phương trình thỏa mãn điều kiện ( H 2 ) nghĩa là tồn tại một hằng số K' sao cho H d ([ f (t , s, ϕ )]α ,[ f (t , s,ψ ]α ) ≤ K ′.H d ([ϕ (ω , ω )]α ,[ψ (ω , ω )]α ) với mọi (t , s) ∈ J a × J b và ϕ ,ψ ∈ C ([−r ,0] × [−r ,0], E , ω , ω ∈ [−r , 0] . n Nếu K ′ab < 1 thì bài toán có nghiệm mờ duy nhất trên trong không gian C ([−r , a] × [−r , b], E n ) . Chứng minh Nghiệm của bài toán là điểm bất động của toán tử N ′ : C ([ − r , a ] × [ − r , b], E ) → C ([ − r , a ] × [ − r , b]E ) được xác định như sau n n  ϕ ( x, y ) khi ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [− r , 0]  N ′(u )( x, y ) =  q′( x, y ) + ∫ ∫ f ( t , s, u( t , s ) ) dsdt x y  khi ( x, y ) ∈ J a × J b .  0 0 trong đó q′( x, y ) =η1 ( x) + η2 ( y ) − ϕ (0,0). Giả sử u, u ∈ C ([−r , a] × [−r , b], E ) và α ∈ (0,1] thì với ( x, y ) ∈ J a × J b n ∫ f ( t, s, u ) dsdt Và x y ′(u= )( xCHÍ 46N TẠP , y )KHOA , y) + ∫ q′( xHỌC (t ,s ) 0 0 QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ )( x, y ) q′( x, y ) + ∫ ∫ f ( t , s, u ) dsdt. x y N ′(u = (t ,s ) 0 0 Ta có H d ([ N ′(u )( x, y )]α ,[ N ′(u )( x, y )]α ) = 0 nếu ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [− r , 0] và nếu
  4.   ∫∫ 0 0 trong đó q′( x, y ) =η1 ( x) + η2 ( y ) − ϕ (0,0). Giả sử u, u ∈ C ([−r , a] × [−r , b], E ) và α ∈ (0,1] thì với ( x, y ) ∈ J a × J b n ∫ f ( t, s, u ) dsdt Và x y )( x, y ) q′( x, y ) + ∫ N ′(u= (t ,s ) 0 0 q′( x, y ) + ∫ ∫ f ( t , s, u ) dsdt. x y N ′(u = )( x, y ) (t ,s ) 0 0 Ta có H d ([ N ′(u )( x, y )]α ,[ N ′(u )( x, y )]α ) = 0 nếu ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [− r , 0] và nếu ( x, y ) ∈ J a × J b thì từ ( H 2 ) suy ra H d ([ N ′(u )( x, y )]α ,[ N ′(u )( x, y )]α ) ∫ f ( t , s, u ) dsdt ] ,[q′( x, y) + ∫ ∫ f ( t , s, u ) dsdt ] ) x y x y = H d ([q′( x, y ) + ∫ α (t ,s ) α (t ,s ) 0 0 0 0 ≤ ∫ ∫ H d ([ f ( t , s, u(t , s ) )]α ,[ f ( t , s, u (t , s )]α )dsdt x y 0 0 x y ≤∫ ∫ K ′.H d (u (t + ω , s + ω )α , u (t + ω , s + ω )α )dsdt 0 0 a b K ′. sup H d ([u (t + ω , s + ω )]α ,[u (t + ω , s + ω )]α )dsdt ≤ K ′ ∫∫ d ∞ (u (t , s), u (t , s))dsdt a b ≤∫ ∫ 0 0 0 0 α ∈(0,1] ≤ K ′abH1 (u, u ). Với mọi ( x, y ) ∈ J a × J b : H1 ( N ′(u )( x, y ), N ′(u )) ≤ K ′abH1 (u, u ). Nếu K ′ab < 1 thì N’ là ánh xạ co và theo nguyên lý điểm bất động ánh xạ này có điểm bất động duy nhất và đó chính là nghiệm của (1), (2), (3). � Chúng ta tiếp tục nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán sau ∂ 2u ( x, y ) ∂ ( p ( x, y )u( x , y ) ) = f ( x, y, u( x , y ) ), ( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] (4) ∂x∂y ∂y u ( x,0)= η1 ( x), u (0, y )= η2 ( y ),( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] (5) u ( x, y ) = ϕ ( x, y ), ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [ − r , 0], (6) n trong đó f : J a × J b × C ([−r ,0] × [−r ,0], E n ) → E n , ϕ :[−r ,0] × [−r ,0] → E , p : J a × J b → � là các hàm cho trước và u( x , y ) ( s, t ) được định nghĩa như sau u( x , y ) ( s, t ) = u ( x + s, y + t );( s, t ) ∈ [−r ,0] × [−r ,0]. Định nghĩa 2.2: Nghiệm của phương trình (4), (5), (6) là hàm u (.,.) thuộc không gian C ([−r , a] × [−r , b], E ) sao n cho ∂ 2u ( x, y ) ∂ ( p ( x, y )u( x , y ) ) = f ( x, y, u( x , y ) ), ( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a ] × [0, b] trên J a × J b thỏa mãn điều ∂x∂y ∂y kiện ban đầu u ( x,0) = η1 ( x), u (0, y ) = η2 ( y ) trên ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] và u ( x, y ) = ϕ ( x, y ) với ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [− r , 0] . Định lý 2.2: Nếu bài toán thỏa mãn điều kiện ( H 2 ) và a. sup p(t , s ) + K ′ab < 1 ( t , s )∈J a × J b n thì bài toán có nghiệm mờ duy nhất trên trong không gian C ([−TẠP r , a]CHÍ × [−KHOA r , b], EHỌC). 47 Chứng minh QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ Nghiệm của bài toán là điểm bất động của toán tử N1′ : C ([−r , a] × [−r , b], E n ) → C ([−r , a] × [−r , b]E n ) được xác định như sau
  5. u( x , y ) ( s, t ) = u ( x + s, y + t );( s, t ) ∈ [−r ,0] × [−r ,0]. Định nghĩa 2.2: Nghiệm của phương trình (4), (5), (6) là hàm u (.,.) thuộc không gian C ([−r , a] × [−r , b], E ) sao n cho ∂ 2u ( x, y ) ∂ ( p ( x, y )u( x , y ) ) = f ( x, y, u( x , y ) ), ( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a ] × [0, b] trên J a × J b thỏa mãn điều ∂x∂y ∂y kiện đầu u ( x,0) = η1 ( x), u (0, y ) = η2 ( y ) ban trên ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] và u ( x, y ) = ϕ ( x, y ) với ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [− r , 0] . Định lý 2.2: Nếu bài toán thỏa mãn điều kiện ( H 2 ) và a. sup p(t , s ) + K ′ab < 1 ( t , s )∈J a × J b n thì bài toán có nghiệm mờ duy nhất trên trong không gian C ([−r , a] × [−r , b], E ) . Chứng minh Nghiệm của bài toán là điểm bất động của toán tử N1′ : C ([−r , a] × [−r , b], E n ) → C ([−r , a] × [−r , b]E n ) được xác định như sau  ϕ ( x, y ) khi ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [− r , 0]  N1′(u )( x, y ) =  q′( x, y ) + ∫ p ( s, y )u( s , y ) ds + ∫ ∫ f ( t , s, u( t , s ) ) dsdt x x y  khi ( x, y ) ∈ J a × J b .  0 0 0 x trong đó q′( x, y ) =η1 ( x) + η2 ( y ) − ϕ (0,0) − ∫0 p( s,0).ϕ0 ( x). Giả sử u, u ∈ C ([−r , a] × [−r , b], E ) và α ∈ (0,1] thì với ( x, y ) ∈ J a × J b n ∫ f ( t , s, u ) dsdt x x y q′( x, y ) ∫ p( s, y )u( s , y ) ds + ∫ N1′(u )( x, y ) =+ (t ,s ) 0 0 0 Và ∫ f ( t , s, u ) dsdt. x x y q′( x, y ) ∫ p( s, y )u( s , y ) ds + ∫ N1′(u )( x, y ) =+ (t ,s ) 0 0 0 Ta có H d ([ N1′(u )( x, y )]α ,[ N1′(u )( x, y )]α ) = 0 nếu ( x, y ) ∈ [−r , 0] × [−r , 0] và nếu ( x, y ) ∈ J a × J b thì từ (H2 ) suy ra H d ([ N1′(u )( x, y )]α ,[ N1′(u )( x, y )]α ) ∫ f ( t , s, u ) dsdt ] ,[q′( x, y) + ∫ ∫ f ( t , s, u ) dsdt ] ) x x y x x y H d ([q′( x, y ) + ∫ p ( s, y )u( s , y ) ds + ∫ = α (t ,s ) p ( s, y )u( s , y ) ds ∫ (t ,s ) α 0 0 0 0 0 0 H d ([ f ( t , s, u(t , s ) )]α ,[ f ( t , s, u (t , s )]α )dsdt x x y ≤ ∫ H d ( p( s, y )u( s , y ) ]α ,[ p( s, y )u( s , y ) ]α )ds + ∫ ∫ 0 0 0 ≤ sup p (t , s ) ∫ x H d ([u (t + ω , s + ω )]α ,[u (t + ω , s + ω )]α )ds ( t , s )∈J a × J b 0 x y +∫ ∫ K ′.H d ([u (t + ω , s + ω )]α ,[u (t + ω , s + ω )]α )dsdt ≤ sup p (t , s ) ∫ a d ∞ (u (t , s ), u (t , s ))dt 0 0 ( t , s )∈J a × J b 0 a b + K ′∫ ∫ d ∞ (u (t , s ), u (t , s ))dsdt ≤ ( sup p(t , s ) + K ′ab) H1 (u, u ). 0 0 ( t , s )∈J a × J b Với mọi ( x, y ) ∈ J a × J b : H1 ( N1′(u )( x, y ), N1′(u )) ≤ ( sup p(t , s ) + K ′ab) H1 (u, u ). ( t , s )∈J a × J b 48 TẠP CHÍ KHOA HỌC QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
  6. +∫ ∫ K .H d ([u (t + ω , s + ω )] ,[u (t + ω , s + ω )] )dsdt ≤ sup p (t , s ) ∫ d ∞ (u (t , s ), u (t , s ))dt 0 0 ( t , s )∈J a × J b 0 a b + K ′∫ ∫ d ∞ (u (t , s ), u (t , s ))dsdt ≤ ( sup p(t , s ) + K ′ab) H1 (u, u ). 0 0 ( t , s )∈J a × J b Với mọi ( x, y ) ∈ J a × J b : H1 ( N1′(u )( x, y ), N1′(u )) ≤ ( sup p(t , s ) + K ′ab) H1 (u, u ). ( t , s )∈J a × J b Nếu sup p(t , s ) + K ′ab < 1 thì N1′ là ánh xạ co nên nó có một điểm bất động duy ( t , s )∈J a × J b nhất và đó chính là nghiệm của bài toán (4), (5), (6). � 3. Phương trình hàm hyperbolic mờ với điều kiện biên địa phương Ta tiếp tục nghiên cứu bài toán với điều kiện biên không địa phương như sau ∂ 2 u ( x, y ) = f ( x, y, u( x , y ) ), ( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a ] × [0, b] (7) ∂x∂y p u ( x, y ) + ∑ gi ( x)u ( x, bi + y ) = ϕ ( x, y ), ( x, y ) ∈ J a × [−r , 0], i =1,..., p (8) i =1 m u ( x, y ) + ∑ h j ( y )u (a j + x, y ) = ψ ( x, y ), ( x, y ) ∈ [−r , 0] × J b , j =1,..., m (9) j =1 Định nghĩa 3.1: Nghiệm của bài toán là hàm u (.,.) thuộc không gian 2 C ([−r , a] × [−r , b], E n ) sao cho ∂ u ( x, y ) = f ( x, y, u( x, y ) ) với ( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] ∂x∂y ,thỏa mãn các điều kiện (8), (9). Định lý 3.1: Giả sử bài toán thỏa mãn điều kiện ( H 2 ) nếu p r ∑ sup g ( x) + ∑ sup h ( y) + K ′ab < 1 i =1 x∈J a i j =1 y∈J b j n thì bài toán (7), (8), (9) có nghiệm duy nhất trên C ([−r , a] × [−r , b], E ) . Chứng minh Nghiệm của bài toán là điểm bất động của ánh xạ N 2′ : C ([−r , a] × [−r , b], E n ) → C ([−r , a] × [−r , b]E n ) được định nghĩa như sau  p  ϕ ( x, y ) − ∑ gi ( x)u ( x, bi + y ) khi ( x, y ) ∈ J a × [−r , 0]  i =1  m  ψ ( x , y ) − ∑ h j ( y )u (a j + x, y ) khi ( x, y ) ∈ [−r , 0] × J b N 2′ (u )( x, y ) =  j =1  p m  2q ′ ( x , y ) − ∑ g i ( x ) u ( x , y ) − ∑ h j ( y )u (a j , y )  i =1 j =1  ∫0 ∫0 f ( t , s, u(t ,s ) ) dsdt x y  + khi ( x, y ) ∈ J a × J b . trong đó q2′ ( x, y ) =ϕ ( x,0) +ψ (0, y ) − ϕ (0,0). n Với u, u ∈ C ([−r , a] × [−r , b], E ) và α ∈ (0,1] thì TẠP CHÍ KHOA HỌC 49 QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
  7.  p  ϕ ( x , y ) − ∑ gi ( x)u ( x, bi + y ) khi ( x, y ) ∈ J a × [−r , 0]  i =1  m  ψ ( x, y ) − ∑ h j ( y )u (a j + x, y ) khi ( x, y ) ∈ [−r , 0] × J b N 2′ (u )( x, y ) =  j =1  p m  2 q ′ ( x , y ) − ∑ g i ( x ) u ( x , y ) − ∑ h j ( y )u (a j , y )  i =1 j =1  + ∫ ∫ f ( t , s, u(t , s ) ) dsdt x y  khi ( x, y ) ∈ J a × J b . 0 0 Và  p  ϕ ( x , y ) − ∑ gi ( x)u ( x, bi + y ) khi ( x, y ) ∈ J a × [−r , 0]  i =1  m  ψ ( x , y ) − ∑ h j ( y )u (a j + x, y ) khi ( x, y ) ∈ [−r , 0] × J b ′ N 2 (u )( x, y ) =  j =1  p m  2 q ′ ( x , y ) − ∑ g i ( x ) u ( x , y ) − ∑ h j ( y )u (a j , y )  i =1 j =1  ( ) x y  + ∫ ∫ f t , s, u (t , s ) dsdt khi ( x, y ) ∈ J a × J b . 0 0 Nếu ( x, y ) ∈ [−r ,0] × J b thì theo ( H 2 ) ta có p p H d ([ N 2′ (u )( x, y )]α ,[ N ′(u )( x, y )]α ) =H d ([∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α ,[∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α ) i =1 i =1 p ≤ ∑ sup gi ( x) . sup H d ([u ( x, bi + y )]α ,[u ( x, bi + y )]α )dsdt i =1 x∈J a α ∈(0,1] p p ≤ ∑ sup gi ( x) d ∞ (u ( x, bi + y ), u ( x, bi + y )) ≤ ∑ sup gi ( x) H1 (u , u ). i =1 x∈J a i =1 x∈J a Do đó, với mọi ( x, y ) ∈ J a × [−r ,0] thì p H1 ( N 2′ (u ), N 2′ (u ) ≤ ∑ sup gi ( x) H1 (u , u ). i =1 x∈J a p Nếu ∑ sup g ( x) < 1 thì N2′ là ánh xạ co. Khi đó N2′ có một điểm bất động duy i =1 x∈J a i nhất và điểm bất động này chính là nghiệm của bài toán. Tương tự với ( x, y ) ∈ [−r ,0] × J b , bài toán có duy nhất một nghiệm khi r ∑ sup | h ( y) |< 1 . j =1 y∈J b j Nếu ( x, y ) ∈ J a × J b thì theo ( H 2 ) ta có p p H d ([ N 2′ (u )( x, y )]α ,[ N 2′ (u )( x, y )]α ) ≤ H d ([∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α ,[∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α ) i =1 i =1 50 TẠP CHÍ KHOA m HỌC m QUẢN ([ VÀhCÔNG + H LÝ d ∑ a + x, y )]α ,[ ( y )u (NGHỆ j =1 j j ∑ h ( y)u (a j =1 j j + x, y )]α ) H d ([ f ( t , s, u(t , s ) )]α ,[ f ( t , s, u (t , s )]α )dsdt ) x y +∫ ∫ 0 0
  8. ∑ sup | h ( y) |< 1 . j =1 y∈J b j Nếu ( x, y ) ∈ J a × J b thì theo ( H 2 ) ta có p p H d ([ N 2′ (u )( x, y )]α ,[ N 2′ (u )( x, y )]α ) ≤ H d ([∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α ,[∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α ) i =1 i =1 m m + H d ([∑ h j ( y )u (a j + x, y )]α ,[∑ h j ( y )u (a j + x, y )]α ) j =1 j =1 H d ([ f ( t , s, u(t , s ) )]α ,[ f ( t , s, u (t , s )]α )dsdt ) x y +∫ ∫ 0 0 p ≤ ∑ sup gi ( x) . sup H d ([u ( x, bi + y )]α ,[u ( x, bi + y )]α )dsdt i =1 x∈J a α ∈(0,1] r + ∑ sup h j ( y ) H d ([h j ( y )u (a j + x, y )]α ,[h j ( y )u (a j + x, y )]α ) j =1 y∈J b x y + K ′.∫ ∫ H d ([u (t + ω , s + ω )]α ,[u (t + ω , s + ω )]α )dsdt 0 0 p r ≤ ∑ sup gi ( x) .d ∞ (u ( x, bi + y ), u ( x, bi + y )) + ∑ sup h j ( y ) d ∞ (u (a j + x, y ), u (a j + x, y )) i =1 x∈J a j =1 y∈J b a b p r + K ′.∫ ∫0 d∞ (u(t + ω, s + ω ), u (t + ω, s + ω )) ≤ (∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y) + K ′ab) H1 (u, u ) 0 i =1 x∈J a j =1 y∈J b Như vậy với mọi p r H1 ( N 2′ (u ), N 2′ (u ) ≤ (∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y ) + K ′ab) H1 (u , u ) i =1 x∈J a j =1 y∈J b p r Nếu ∑ sup g ( x) + ∑ sup h ( y) + K ′ab < 1 i =1 x∈J a i j =1 y∈J b j thì N 2′ là ánh xạ co và do đó nó có một điểm bất động duy nhất và đó chính là nghiệm của bài toán (7), (8), (9) trong không gian C ( J a × J b , � n ) . p r Vậy nếu ∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y) + K ′ab < 1 i =1 x∈J a j =1 y∈J b n thì bài toán có một nghiệm duy nhất trong không gian C ([−r , a] × [−r , b], � ) . � Ta tiếp tục nghiên cứu phương trình sau ∂ 2u ( x, y ) ∂ ( p( x, y )u ( x, y )) = f ( x, y, u( x , y ) ), ( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] (10) ∂x∂y ∂y p u ( x, y ) + ∑ gi ( x)u ( x, bi + y ) = ϕ ( x, y ), ( x, y ) ∈ J a × [−r , 0], i =1,..., p (11) i =1 m u ( x, y ) + ∑ h j ( y )u (a j + x, y ) = ψ ( x, y ), ( x, y ) ∈ [−r , 0] × J b , j =1,..., m (12) j =1 Định nghĩa 3.2: Nghiệm của bài toán là hàm u (.,.) thuộc không gian 2 C ([−r , a] × [−r , b], E n ) sao cho ∂ u ( x, y ) = ∂ ( p( x, y )u ( x, y )) f ( x, y, u( x , y ) ) với ∂x∂y ∂y ( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b]. và thỏa mãn các điều kiện (11), (12). TẠP CHÍ KHOA HỌC 51 Định lý 3.2: Nếu bài toán thỏa mãn điều kiện ( H 2 ) và QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ p m p [∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y ) + a. sup p (t , s ) (1 + ∑ sup | gi ( x) |) + K ′ab] < 1 i =1 x∈J a j =1 y∈J b ( t , s )∈J a × J b i =1 x∈J a
  9. Định nghĩa 3.2: Nghiệm của bài toán là hàm u (.,.) thuộc không gian 2 C ([−r , a] × [−r , b], E n ) sao cho ∂ u ( x, y ) = ∂ ( p( x, y )u ( x, y )) f ( x, y, u( x , y ) ) với ∂x∂y ∂y ( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b]. và thỏa mãn các điều kiện (11), (12). Định lý 3.2: Nếu bài toán thỏa mãn điều kiện ( H 2 ) và p m p [∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y ) + a. sup p (t , s ) (1 + ∑ sup | gi ( x) |) + K ′ab] < 1 i =1 x∈J a j =1 y∈J b ( t , s )∈J a × J b i =1 x∈J a n thì bài toán có nghiệm duy nhất trong không gian C ([−r , a] × [−r , b], E ) . Chứng minh: Nghiệm của bài toán là điểm bất động của ánh xạ N3′ : C ([−r , a] × [−r , b], E n ) → C ([−r , a] × [−r , b]E n ) được định nghĩa như sau  p  ϕ ( x , y ) − ∑ gi ( x)u ( x, bi + y ) khi ( x, y ) ∈ J a × [−r , 0]  i =1  m  ψ ( x, y ) − ∑ h j ( y )u (a j + x, y ) khi ( x, y ) ∈ [−r , 0] × J b  j =1 N 3′ (u )( x, y ) =  p m q′ ( x, y ) − g ( x)u ( x, y ) − h ( y )u (a , y ) + x p ( s, y )u ( s, y )ds  2 ∑ i =1 i ∑ j =1 j j ∫0  p  gi ( s )u ( s, bi ))ds + ∫ ∫ f ( t , s, u( t , s ) ) dsdt x x y   + ∫ 0 p ( s , 0).( ∑ i =1 0 0 khi ( x, y ) ∈ J a × J b . trong đó x q2′ ( x, y ) = ϕ ( x, 0) +ψ (0, y ) − ϕ (0, 0) − ∫ p( s, 0)ϕ ( x, 0)ds. 0 Với u, u ∈ C ([−r , a] × [−r , b], E ) , α ∈ (0,1] và ( x, y ) ∈ J a × [−r ,0] thì theo ( H 2 ) ta có n p p H d ([ N3′ (u )( x, y )]α ,[ N3′ (u )( x, y )]α ) =H d ([∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α ,[∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α ) i =1 i =1 p ≤ ∑ sup gi ( x) . sup H d ([u ( x, bi + y )]α ,[u ( x, bi + y )]α )dsdt i =1 x∈J a α ∈(0,1] p p ≤ ∑ sup gi ( x) d ∞ (u ( x, bi + y ), u ( x, bi + y )) ≤ ∑ sup gi ( x) H1 (u , u ). i =1 x∈J a i =1 x∈J a Suy ra p H1 ( N 3′ (u ), N 3′ (u )) ≤ ∑ sup gi ( x) H1 (u, u ). i =1 x∈J a p Do đó, với ( x, y ) ∈ J a × [−r ,0] thì N 2′ là ánh xạ co nếu ∑ sup g ( x) < 1 . Khi đó N2′ i i =1 x∈J a có một điểm bất động duy nhất và điểm bất động này chính là nghiệm của bài toán. Tương tự với ( x, y ) ∈ [−r ,0] × J b , bài toán có duy nhất một nghiệm khi m ∑ sup | h ( y) |< 1 .\\ j =1 y∈J b j 52 TẠP CHÍ KHOA HỌC ( x, yLÝ) ∈VÀJ aCÔNG NếuQUẢN × J b thì NGHỆ theo ( H 2 ) ta có p p H d ([ N3′ (u )( x, y )]α ,[ N3′ (u )( x, y )]α ) =H d ([∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α ,[∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α ) i =1 i =1
  10. có một điểm bất động duy nhất và điểm bất động này chính là nghiệm của bài toán. Tương tự với ( x, y ) ∈ [−r ,0] × J b , bài toán có duy nhất một nghiệm khi m ∑ sup | h ( y) |< 1 .\\ j =1 y∈J b j Nếu ( x, y ) ∈ J a × J b thì theo ( H 2 ) ta có p p H d ([ N3′ (u )( x, y )]α ,[ N3′ (u )( x, y )]α ) =H d ([∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α ,[∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α ) i =1 i =1 m m x x + H d ([∑ h j ( y )u (a j + x, y )]α ,[∑ h j ( y )u (a j + x, y )]α ) + H d ([ ∫ p ( s, y )u ( s, y )ds ]α ,[ ∫ p ( s, y )u ( s, y ) ds ]α ) 0 0 j =1 j =1 p p x x + H d ([ ∫ p ( s, 0).(∑ gi ( s )u ( s, bi ))ds ] ,[ ∫ p( s, 0).(∑ gi ( s )u ( s, bi ))ds ]α ) α 0 0 i =1 i =1 p H d ([ f ( t , s, u(t , s ) )]α ,[ f ( t , s, u (t , s )]α )dsdt ) ≤ ∑ sup gi ( x) d ∞ (u ( x, bi + y ), u ( x, bi + y )) x y +∫ ∫ 0 0 i =1 x∈J a m p x + ∑ sup h j ( y ) d ∞ (u (a j + x, y ), u (a j + x, y ) + sup p (t , s ) .(∑ sup | gi ( x) |) ∫ H d ([u ( s, bi )]α ,[u ( s, bi )]α )ds ( t , s )∈J a × J b 0 j =1 y∈J b i =1 x∈J a x x y + sup ( t , s )∈J a × J b p (t , s ) ∫0 H d ([u (t , s )]α ,[u (t , s )]α )ds + K ′.∫ 0 ∫0 H d ([u (t + ω , s + ω )]α ,[u (t + ω , s + ω )]α )dsdt p m p a ≤ (∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y ) ) H1 (u , u ) + sup p (t , s ) .(∑ sup | gi ( x) |) ∫ d ∞ (u ( s, bi ), u ( s, bi ))ds ( t , s )∈J a × J b 0 i =1 x∈J a j =1 y∈J b i =1 x∈J a a b d ∞ (u ( s, t ), u ( s, t ))ds + K ′. ∫∫ d ∞ (u ( s + ω , t + ω ), u ( s + ω , t + ω ))dsdt a + sup ( t , s )∈J a × J b p (t , s ) ∫ 0 0 0 p m p ≤ (∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y ) ) H1 (u , u ) + a. sup p (t , s ) (∑ sup | gi ( x) | +1) H1 (u , u ) i =1 x∈J a j =1 y∈J b ( t , s )∈J a × J b i =1 x∈J a + K ′abH1 (u, u ) p m p ≤ [∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y ) + a. sup p (t , s ) (∑ sup | gi ( x) | +1) + K ′ab]H1 (u , u ) i =1 x∈J a j =1 y∈J b ( t , s )∈J a × J b i =1 x∈J a Vậy với mọi ( x, y ) ∈ J a × J b thì H1 ( N3′ (u ), N3′ (u )) p m p ≤ [∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y ) + a. sup p (t , s ) (1 + ∑ sup | gi ( x) |) + K ′ab]H1 (u, u ) i =1 x∈J a j =1 y∈J b ( t , s )∈J a × J b i =1 x∈J a p m p Nếu [∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y ) + a. sup p (t , s ) (∑ sup | gi ( x) | +1) + K ′ab] < 1 thì N3′ i =1 x∈J a j =1 y∈J b ( t , s )∈J a × J b i =1 x∈J a là ánh xạ co và theo nguyên lý điểm bất động ánh xạ này có một điểm bất động duy nhất và đó chính là nghiệm của bài toán (3.10), (3.11), (3.12) trong không n gian C ([0, a] × [0, b]E ) . p m p Vậy nếu [∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y ) + a. sup p (t , s ) (1 + ∑ sup | gi ( x) |) + K ′ab] < 1 i =1 x∈J a j =1 y∈J b ( t , s )∈J a × J b i =1 x∈J a n thì bài toán có nghiệm duy nhất trong không gian C ([−r , a] × [−r , b], E ) . � Trong phần này, tác giả đưa ra một số khái niệm của hàm chỉnhTẠP hình, giả HỌC CHÍ KHOA 53 QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ khoảng cách Kobayashi , ánh xạ Elliptic mạnh và các tính chất của nó. TÀI LIỆU THAM KHẢO
  11. gian C ([0, a] × [0, b]E ) . p m p Vậy nếu [∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y ) + a. sup p (t , s ) (1 + ∑ sup | gi ( x) |) + K ′ab] < 1 i =1 x∈J a j =1 y∈J b ( t , s )∈J a × J b i =1 x∈J a n thì bài toán có nghiệm duy nhất trong không gian C ([−r , a] × [−r , b], E ) . � Trong phần này, tác giả đưa ra một số khái niệm của hàm chỉnh hình, giả khoảng cách Kobayashi , ánh xạ Elliptic mạnh và các tính chất của nó. TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Th Agarwal R.P.,The method of upper, lower solutions and monotone [1] Th Agarwal R.P.,The method of upper, lower solutions and monotone iterative scheme for higher orderiterative scheme hyperbolic partial for higher order differential hyperbolic equations, partial J. Austral. differential Math. equations, Soc. (seriesA) 47 (1998), pp. 153-170. J. Austral. Math. Soc. (seriesA) 47 (1998), pp. 153-170. [2] Agarwal R.P. and Scheng Q., Periodic solutions of higher order hyperbolic partial differential equations, PanAmer.Math.J. 2 (1992), pp. 1-22. [3] Agarwal R.P., Benchohra M., O’ReganD. and OuahabA., Fuzzy solutions for multipoint boundary value problems, Mem. Differential Equations Math. Phys. 35 (2005), pp. 1–14. [4] Arara A. and Benchohra M., Fuzzy solutions for boundary value problems with integral boundary conditions, Acta Math. Univ. Comenianae, Vol.LXXV, 1(2006), pp. 119–126. [5] Arara A. and Benchohra M., Fuzzy solutions for neutral functional differential equations with nonlocal conditions, Georgian Math.J. 11 (2004), pp. 35–42. [6] Arara A., Benchohra M., Ntouyas S. K. and Ouahab A. , Fuzzy Solutions for Hyperbolic Partial Differential Equations, International Journal of Applied Mathematical Sciences, Vol.2 No.2(2005), pp. 181-195. [7] Aumann R. J. , Integrals of set valued functions, J. Math. Anal. Appl. , 12 (1965), pp. 1–12. [8] Balasubramaniam P. and Muralisankar S., Existence and uniqueness of fuzzy solution for the nonlinear fuzzy Volterra integrodifferential equations, Differential Equations Dynam. Systems 11 (2003), pp. 369–383. [9] Balachandran K. and Prakash P., Existence of solutions of nonlinear fuzzy integral equations in Banach spaces, Libert as Mathematica, XXI (2001), pp. 91–97. 54 TẠP CHÍ KHOA HỌC QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2