Nghiên cứu dao động dọc của kết cấu dạng thanh đàn hồi, đồng chất có tiết diện thay đổi đều gây ra do hai máy rung

Nghiªn cøu dao ®éng däc cña kÕt cÊu (d¹ng thanh)<br /> ®µn håi, ®ång chÊt cã tiÕt diÖn thay ®æi ®Òu g©y ra do hai m¸y rung<br /> <br /> PGS.TS Nguyễn Đình Chiều<br /> Th.s NguyÔn §¾c H­ng<br /> Tãm t¾t<br /> Trong c«ng tr×nh [2] vµ [6], một sè t¸c gi¶ quan t©m nghiªn cøu bµi to¸n dao<br /> ®éng däc cña thanh ®µn håi, ®ång chÊt, cã tiÕt diÖn kh«ng ®æi chÞu t¸c ®éng cña lùc<br /> kÝch ®éng ®iÒu hoµ g©y ra bëi 1 m¸y rung g¾n chÆt víi kÕt cÊu. NghiÖm cña bµi<br /> to¸n viÕt d­íi d¹ng hµm biÕn phøc, nªn rÊt khã sö dông trong kü thuËt.<br /> Trong c«ng tr×nh nµy, c¸c t¸c gi¶ ®· gi¶i bµi to¸n dao ®éng cña kÕt cÊu (d¹ng<br /> thanh) ®µn håi, ®ång chÊt cã tiÕt diÖn thay ®æi ®Òu, chÞu lùc c¶n mÆt ®Çu. Lùc t¸c<br /> dông lªn kÕt cÊu ®­îc g©y ra bëi ghÐp 2 m¸y rung. B»ng thuËt to¸n riªng, lÇn ®Çu<br /> tiªn c¸c t¸c gi¶ ®· t×m ®­îc nghiÖm gi¶i tÝch trong 3 tr­êng hîp kh¸c nhau tuú<br /> thuéc vµo nh÷ng th«ng sè ban ®Çu cña bµi to¸n. NghiÖm ®­îc biÓu diÔn d­íi d¹ng<br /> hµm s¬ cÊp nªn rÊt thuËn tiÖn cho viÖc sö dông trong tÝnh to¸n. KÕt qu¶ nµy më ra<br /> h­íng gi¶i bµi to¸n trong tr­êng hîp h¹ kÕt cÊu ®µn håi, ®ång chÊt cã tiÕt diÖn thay<br /> ®æi ®Òu vµo ®Êt, khi kÕt cÊu chÞu lùc t­¬ng t¸c phøc t¹p h¬n.<br /> I. §Æt vÊn ®Ò<br /> <br /> Trong c«ng tr×nh [2] và [6] ®· tr×nh bµy kÕt qu¶ gi¶i bµi to¸n kÕt cÊu (d¹ng<br /> thanh) ®µn håi, ®ång chÊt víi tiÕt diÖn kh«ng ®æi, g©y ra do mét m¸y rung g¾n chÆt<br /> víi mót trªn cña kÕt cÊu. NghiÖm cña bµi to¸n ®­îc biÓu diÔn d­íi d¹ng hµm sè<br /> phøc. Trong c«ng tr×nh [8], Tom Irvine ®· nghiªn cøu dao ®éng tù do cña thanh cã<br /> tiÕt diÖn thay ®æi ®Òu nh­ng vÉn ch­a t×m ®­îc nghiÖm gi¶i tÝch.<br /> <br /> Trong c«ng tr×nh nµy, c¸c t¸c gi¶ thiÕt lËp vµ gi¶i bµi to¸n dao ®éng cña kÕt<br /> cÊu ®µn håi, ®ång chÊt cã tiÕt diÖn thay ®æi ®Òu chÞu lùc c¶n mÆt ®Çu, ®­îc g©y ra<br /> bëi hai m¸y rung. S¬ ®å bµi to¸n nh­ h×nh -1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br />  P2<br /> q q<br /> m2<br /> q2<br /> <br /> 2 P1<br /> C2<br /> q1 P(q,t)<br /> <br /> q1<br /> <br /> m1<br /> <br /> <br /> <br /> Fms m3 Fms m3<br /> <br /> ss L<br /> dq<br /> n<br /> q<br /> <br /> 0 0<br /> <br /> C1 H×nh-1 C1<br /> <br /> <br /> <br /> II. Mét sè gi¶ thiÕt vµ kÝ hiÖu<br /> 1. Mét sè gi¶ thiÕt<br /> - C¸c phÇn tö cña tiÕt diÖn chØ dÞch chuyÓn theo ph­¬ng däc.<br /> - KÕt cÊu dÞch chuyÓn theo ph­¬ng th¼ng ®øng.<br /> - §Êt ®­îc coi nh­ m«i tr­êng ®µn håi cña vËt r¾n biÕn d¹ng.<br /> Chän hÖ trôc oq h­íng tõ d­íi lªn trªn, gèc to¹ ®é ®­îc chän trïng víi vÞ trÝ<br /> mÆt mót d­íi cña kÕt cÊu.<br /> 2. C¸c kÝ hiÖu cña bµi to¸n<br /> q1, q2 : to¹ ®é trong t©m cña m¸y 1 vµ m¸y 2<br /> q – lµ to¹ ®é cña mÆt c¾t ngang cña kÕt cÊu.<br /> u= u(q,t) – lµ dÞch chuyÓn mÆt c¾t cña kÕt cÊu cã to¹ ®é lµ q.<br /> E- m« ®un ®µn håi cña vËt liÖu ((kN/m2).<br /> L- chiÒu dµi cña kÕt cÊu (m).<br /> A0- diÖn tÝch mÆt c¾t ngang t¹i q = 0 (m2).<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br />  AL- diÖn tÝch mÆt c¾t ngang t¹i q = L (m2).<br /> Aq- diÖn tÝch mÆt c¾t ngang t¹i [n] cã to¹ ®é q (m2).<br /> Dq – chu vi cña mÆt c¾t ngang t¹i [n] cã to¹ ®é q (m).<br />  - khèi l­îng riªng cña vËt liÖu lµm kÕt cÊu (kg/m3).<br /> m1- khèi l­îng cña m¸y rung thø nhÊt (kg).<br /> m2 – khèi l­îng cña m¸y thø hai (kg).<br /> m3 – Khèi l­îng cña kÕt cÊu (kg).<br />  2 - hÖ sè gi¶m chÊn cña liªn kÕt ®µn håi (kNs/m).<br /> C1- hÖ sè ®µn håi cña ®Êt (kN/m).<br /> C2 – hÖ sè ®µn håi cña lß xo liªn kÕt hai m¸y rung (kN/m).<br /> P1, P2 – biªn ®é lùc kÝch ®éng cña hai m¸y rung (kN).<br />  - tÇn sè gãc cña bé phËn g©y kÝch ®éng rung cña hai m¸y rung (rad/s).<br /> h1 ,h2: lµ to¹ ®é träng t©m cña m¸y rung thø 1 vµ m¸y rung thø 2 t¹i vÞ trÝ c©n<br /> b»ng.<br /> Q01,e1,Q02,e2 – M« men khèi l­îng lÖch t©m cña 2 m¸y rung (kNm).<br /> C¸c tham sè: m1 , m2 , 2 , C1 , C2 , P1 , P2 ,  , h1 , h2 lµ c¸c h»ng sè d­¬ng.<br /> III. ThiÕt lËp vµ giải bài toán<br /> <br /> B­íc 1. X¸c ®Þnh lùc t¸c dông lªn mÆt ®Çu trªn cña kÕt cÊu<br /> Gäi lùc t¸c dông lªn ®Çu trªn cña kÕt cÊu lµ P(q,t).<br /> T¸ch hÖ 2 m¸y rung ra khái kÕt cÊu ®Ó x¸c ®Þnh lùc P(q,t) (lùc nµy ®­îc t¹o<br /> ra bëi 2 m¸y rung) nh­ h×nh-2.<br /> q2<br /> q<br /> P2<br /> <br /> <br /> m2<br />  q1<br /> α2 P1<br /> m1q1  1q1  C 1q 1  ( P1 P2) co s t  C 2 y  2 y  m 2y<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> C2 h2<br /> m1<br />  h1<br /> 0’<br /> <br /> P(q,t)<br /> <br /> H×nh -2<br /> Chän gèc to¹ ®é 0’ trïng víi vÞ trÝ ®Õ m¸y rung thø nhÊt g¾n víi ®Çu kÕt kÕt cÊu.<br /> <br /> <br /> <br /> 3<br />  d T T<br /> ¸p dông ph­¬ng tr×nh Lagr¨ng lo¹i II ta cã: ( )  Qi i=1,2 (1-1)<br /> dt q i q i<br /> <br /> 1 1<br /> T: ®éng n¨ng cña hÖ: T m1 q12  m2 (q 2  q1 ) 2 (1-2)<br /> 2 2<br /> Qi (i=1,2): lùc suy réng, ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau:<br />  <br /> Qi     Qip (1-3)<br /> q i q i<br /> <br /> 1 2<br /> -  : thÕ n¨ng cña hÖ.    2  C 2 ( q 2  q1 ) (1-4)<br /> 2<br /> 1<br /> -  : hµm hao t¸n cña hÖ.    2   2 ( q 2  q1 ) 2 (1-5)<br /> 2<br /> Qip (i=1,2) lµ c¸c lùc suy réng t¸c dông vµo 2 m¸y rung:<br /> Q1p = (P1+ P2)cost – P(q,t); Qp = P2cost (1-6)<br /> Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh vµ thay vµo ph­¬ng tr×nh (1-1) sau khi rót gän ta ®­îc:<br /> ( P1  P2 ) cos t  (m1  m2 )q1  m2 q2  P(q, t )<br />  (1-7)<br /> m2 (q2  q1 )   2 (q 2  q1 )  C 2 q 2  q1   P2 cos t<br /> <br /> Q01e1 2 P  Q02 e2 2.<br /> P1   ; 2<br /> m1 g m2 g<br /> §Æt y= q2-q1 vµ thay vµo (1-7) ta ®­îc hÖ ph­¬ng tr×nh sau:<br /> ( P1  P2 ) cos t  m2 y  m1 q1  P(q, t )<br />  (1-8)<br /> m2 y   2 y  C 2 y  P2 cos t<br /> <br /> ¸p dông nguyªn lý §al¨mbe víi hÖ dao ®éng 2 m¸y rung ta cã:<br /> P(q, t )  ( p1  p 2 ) cos t  m2 y  m1 q1   2 y  C 2 y (1-9)<br /> Tõ (1-9) kÕt hîp víi ph­¬ng tr×nh thø nhÊt cña (1-8) ta cã:<br /> 2 C2<br /> P (q, t )  ( p1  p 2 ) cos t  m2 y  y  y (1-10)<br /> 2 2<br /> 1<br /> So s¸nh (1-10) víi PTVP thø 1 cña hÖ (1-8) ta cã q1  ( 2 y  C 2 y )<br /> 2m1<br /> <br /> Buíc 2. Gi¶i ph­¬ng tr×nh thø hai cña (1-8) ®Ó x¸c ®Þnh y.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 4<br />  Ph­¬ng tr×nh m2 y   2 y  C 2 y  P2 cos t cã ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng lµ<br /> m2 r 2   2 r  C 2  0 . Ph­¬ng tr×nh nµy cã biÖt thøc  2   22  4m2 C 2<br /> Víi ®iÒu kiÖn ®Çu y(0) = h2- h1. Sau khi gi¶i PTVP (1-8) ta t×m ®­îc nghiÖm tæng<br /> qu¸t nh­ sau:<br /> 1. Tr­êng hîp  2 >0<br /> <br /> y  A1e r1t  B1e r2t  G2 cos t  H 2 sin t<br /> <br />  P2 (C 2  m 2 2 )  r2 h2  h1  G2   H 2<br /> 2 G <br />      4m 2 C 2  2 (C  m  2 ) 2  (  ) 2  A1  r2  r1<br /> Víi r1, 2  2<br /> ;  2 2 2 ; <br /> 2m2 <br /> H  P <br /> 2 2   B  r1 (G2  h1  h2 )  H 2<br />  2 (C 2  m2 2 ) 2  ( 2 ) 2  1 r2  r1<br /> <br /> 2. Tr­êng hîp  2  0<br /> y  ( A2  B2 t )e r0t  G2 .cos t  H 2 .sin t<br />  2  A2  h2  h1  G2<br /> Víi: r 0   ; <br /> 2m 2  B2  r0 (G2  h1  h2 )  H 2<br /> <br /> 3. Trong tr­êng hîp  1  0<br /> y  e at ( A3 cos bt  B3 sin bt )  G2 . cos t  H 2 . sin t<br /> <br />  A3  h2  h1  G 2<br /> 2 4m2 C 2   22<br /> r1,2 = a bi, víi a  ;b  ;  a (G 2  h2  h1 )  H<br /> 2m 2 2m 2  B3 <br />  b<br /> <br /> NhËn xÐt:<br /> 1. Do m1 , m2 , 2 , C1 , C 2 , P1 , P2 ,  , h1 , h2 ®Òu lµ nh÷ng sè d­¬ng, v× vËy c¸c hÖ sè<br /> r0, r1, r2, a ®Òu lµ nh÷ng sè ©m. Do ®ã, trong c¶ ba tr­êng hîp  2 >0,  2  0 ,<br />  1  0 sau mét thêi gian hÖ m¸y – kÕt cÊu lµm viÖc b×nh æn. Khi ®ã nghiÖm<br /> <br /> cña ph­¬ng tr×nh: y= G2cost +H2sint;<br /> y  G2 . sin t  H 2 cos t ; y  G2 . 2 cost  H 2 2 sin t<br /> <br /> 2. Do m¸y rung g¾n chÆt vµo kÕt cÊu, nªn vËn tèc, gia tèc cña m¸y thø nhÊt vµ<br /> vËn tèc, gia tèc cña tiÕt diÖn kÕt cÊu t¹i q=L b»ng nhau, tøc lµ ( q1  u ( L, t ) ;<br /> q1  u ( L, t ) ; q1  u( L, t ) ).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 5<br /> Thay c¸c gi¸ trÞ y, y, y vµ q1 vµo ph­¬ng tr×nh ®Çu cña (1-8) vµ rót gän ta cã:<br />  CG 2  H   G  C H 2 <br />  p1  p 2  2 2  m 2 G2  2 2  cos t   2 2  2 2  m2 H 2  sin t  P ( L, t ) (1-11)<br />  2 2   2 2 <br /> <br /> u(L, t )<br /> MÆt kh¸c: P(L, t)  EAL , do ®ã<br /> q<br />  CG 2  H   G  C H 2  u ( L, t )<br />  p1  p 2  2 2  m2 G2  2 2  cos t   2 2  2 2  m2 H 2  sin t  EAL (1-12)<br />  2 2   2 2  q<br /> <br /> B­íc 2. ThiÕt lËp PTVP dao ®éng däc cña kÕt cÊu<br /> T­ëng t­îng c¾t 1 ph©n tè kÕt cÊu vµ biÓu diÔn nh­ h×nh- 3.<br /> <br /> s n s n<br /> <br /> Pqt Pq<br /> Pq Pq  dq<br /> u q<br /> u dq<br /> q<br /> u<br /> q<br /> <br /> H×nh –3<br /> Gäi u lµ dÞch chuyÓn cña tiÕt diÖn [s] bÊt kú: u= u(q,t).<br /> u<br /> Khi ®ã t¹i tiÕt diÖn [n] : u  dq (1-13)<br /> q<br /> <br /> u<br /> - T¹i tiÕt diÖn [s] : Pq=EAq = EAq (1-14)<br /> q<br /> Pq<br /> - T¹i tiÕt diÖn [n]: Pq  dq (1-15)<br /> q<br /> <br /> Khèi l­îng ph©n tè cña kÕt cÊu ®ang xÐt lµ:  Aqdq<br />  2u<br />  lùc qu¸n tÝnh cña nã lµ:  Aq dq. (1-16)<br /> t 2<br /> B»ng h×nh häc s¬ cÊp ta cã thÓ chøng minh ®­îc<br /> 2<br /> 2<br />   AL    AL <br />  L  q  1  L  q  1<br />  A0   A0 <br /> <br /> Aq  A0  2<br />   EAq  EA0  2<br /> (1-17)<br /> L L<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 6<br />  ¸p dông nguyªn lý §al¨mbe ®èi víi ph©n tè kÕt cÊu ta cã :<br />  Pq   2u<br /> <br />  Pq   Pq  <br /> dq   Aq dq 2 = 0 (1-18)<br />  q  t<br /> <br />   u   2u<br />  EA  A (1-19)<br /> q  q <br /> q q<br /> t 2<br /> <br /> Dùa vµo c¸ch tÝnh to¸n ë trªn ta x¸c ®Þnh ®­îc c¸c ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n nh­ sau:<br /> - §iÒu kiÖn ®Çu: khi t = 0<br /> ( 2 H 2  C2G2 ) u ( L,0)  2 G 2   C 2 H 2<br /> u ( L ,0 )   ;  (1-20)<br /> 2m1 2 t 2m1<br /> <br /> p 2 (C 2  m 2 2 )<br /> G2 <br /> (C 2  m 2 2 ) 2   22 2<br /> Víi<br /> p 2 2 <br /> H2 <br /> (C 2  m 2 2 ) 2   22 2<br /> <br /> - §iÒu kiÖn biªn:<br /> u (0, t ) EA0 u (0, t )<br /> T¹i q = 0; Pq (0, t )  C1u (0, t )  EA0  C1u (0, t )  u (0, t )  (1-21)<br /> q C1 q<br /> <br /> T¹i q = L<br />  CG 2  H   G  C H 2  u ( L, t )<br />  p1  p 2  2 2  m2 G2  2 2  cos t   2 2  2 2  m2 H 2  sin t  EAL<br />  2 2   2 2  q<br /> <br /> <br /> C G  H   G C H<br /> §Æt  1   p1  p 2  2 2  m2 2 G2  2 2  ;  2   2 2  2 2  m2 2 H 2 <br />  2 2   2 2 <br /> <br /> u(L, t)<br /> 1 cost   2 sint  EAL<br /> Ta cã: q (1-22)<br /> <br /> B­íc 4. Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1-19)<br /> 1. T×m nghiÖm tæng qu¸t cña PTVP (1-19)<br /> u  2u  2u<br /> Ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng cña (1-19) lµ: E ( Aq'  Aq 2 )  Aq 2<br /> q q t<br /> <br /> E<br /> Chia hai vÒ cña ph­¬ng tr×nh trªn cho EAq vµ ®Æt a  .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 7<br />  2<br /> A0   AL  AL A<br /> A<br /> Víi: q  . L  q   1  ;    1  Aq  20 .( L  q ) 2<br /> L2   A  A0 L<br />  0 <br /> <br />  2u 2 u 1  2u<br /> Sau mét sè biÕn ®æi (1-19) trë thµnh:  .  . (1-23)<br /> q 2 q  L q a 2 t 2<br /> <br /> NghiÖm t×m d­íi d¹ng (Fuariª): u(q,t)= X(q).T(t) (1-24)<br />  <br /> <br /> 1 d X 2<br /> 2 dX  1 d 2T (t )<br /> Thay (1-24) vµo (1-23) ta ®­îc: .  .  . (1-25)<br /> X (q)  dq 2 L dq  a 2T (t ) dt 2<br />  q  <br />   <br /> <br /> §Ó (1-25) tho¶ m·n víi mäi q,t th× 2 vÕ cña nã b»ng (-  2).<br />  <br /> 1  d 2 X 2 dX  2<br />   2 1 . d T 2(t )  2<br /> . 2<br />  . (1-26)<br /> X (q)  dq L dq  a T (t ) dt<br />  q  <br />   <br /> <br /> Tõ (1-26) ®­a ®Õn 2 PTVP th­êng ®Ó x¸c ®Þnh 2 hµm X(q) vµ T(t)<br /> d2X 2 dX<br />  . 2 X  0 (1-27)<br /> dq 2 L dq<br /> q<br /> <br /> d 2T (t )<br /> vµ 2<br />  a 2 2T (t )  0 (1-28)<br /> dt<br /> 1.1. NghiÖm tæng qu¸t cña (1-28)<br /> T (t )   1 cos at   2 sin at (1-29)<br /> (Víi 1,2 lµ hai h»ng sè tuú ý)<br /> 1.2. T×m hµm X(q)<br /> L<br /> §Ó gi¶i PTVP (1-27) ta ®Æt x  q  , PTVP (1-27) trë thµnh<br /> <br /> d 2 X ( x) 2 dX ( x)<br />   2 X ( x)  0 (1-30)<br /> dx 2 x dx<br /> T×m nghiÖm riªng d­íi d¹ng chuçi lòy thõa:<br />   <br /> X   a n x n  X '   na n x n1  X "  n(n  1)a n x n  2<br /> n 0 n 1 n2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 8<br />  <br /> 2  <br /> Thay vµo (1-30), ta ®­îc  n(n  1)an x n2 <br /> n2<br /> <br /> x n1<br /> na n x n 1<br />  <br /> n0<br /> 2 a n x n  0<br /> <br /> Sau mét sè phÐp biÕn ®æi ta t×m ®­îc mét nghiÖm riªng cña PTVP (1-30) lµ:<br /> <br /> (x ) 2 k<br /> k 1  k ( x )<br /> 2 k 1<br /> sin x<br /> X 1   (1) .   (1) . <br /> k 0 (2k  1)! x k 0 (2k  1)! x<br /> 1 cos x<br /> Theo c«ng thøc Liouville ta cã: X 2   .<br />  x<br /> Do tÝnh chÊt nghiÖm cña PTVP tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt nªn (1-30) cã thÓ lÊy<br /> sin x cos x<br /> hai nghiÖm lµ: X 1*  ; X 2*  (v×  lµ const)<br /> x x<br /> Trë l¹i biÕn q ta cã nghiÖm tæng qu¸t cña (1-27) lµ:<br /> L L<br /> A cos  (q  )  B. sin  (q  )<br /> X (q)    (1-31)<br /> L<br /> q<br /> <br /> 2. NghiÖm cña (1-19) tho¶ m·n (1-20) vµ (1-21).<br /> Thay c¸c ®iÒu kiÖn ®Çu (1-20) vµo (1-29) ®Ó x¸c ®Þnh 1,2 vµ ®iÒu kiÖn biªn<br /> (1-21) vµo (1-31) ®Ó s¸c ®Þnh A,B. Tõ (1-24) ta nhËn ®­îc nghiÖm cuèi cïng cña<br /> bµi to¸n lµ:<br /> 1<br /> 1. Tr­êng hîp thø nhÊt: 1  0 vµ 2  0  A,B 0 vµ A  B<br /> 2<br /> <br /> NghiÖm cña bµi to¸n lµ:<br /> 2  L  L<br /> cos (q  )  sin ( q  )<br /> 1 a  a   D1  (1-32)<br /> u ( q, t )  B . cos t  sin t <br /> L  D2 <br /> (q  )<br /> <br /> 2 L<br /> (L  ) 2<br /> Víi 2 <br /> B<br />  L 2  L   2 L   L<br />  ( L  )   cos ( L  )  1  ( L  )  sin ( L  )<br /> a  1  a   a 1   a <br /> <br /> 2. Tr­êng hîp thø hai 1 = 0 vµ 2  0  A 0, B = 0.<br /> NghiÖm cña bµi to¸n lµ:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 9<br />   L<br /> cos q  <br /> a    D1 <br /> (1-33)<br /> u (q, t )  A . cos  t  sin  t <br /> L  D2 <br /> q<br /> <br /> 2<br />   L<br />  2 L  <br /> 2  <br /> Víi A <br />  L  L  L<br /> ( L  ) sin ( L  )  cos ( L  )<br /> a  a  a <br /> <br /> 3. Tr­êng hîp thø ba 1  0 vµ 2 = 0 khi ®ã A = 0, B 0.<br /> NghiÖm cña bµi to¸n lµ:<br />  L<br /> sin (q  )<br /> u (q, t )  B. a  . D1 cos t  sin t  (1-34)<br /> L  D <br /> q  2 <br /> <br /> 2<br /> 2  L<br /> L  <br /> 2  <br /> Víi B <br />  L  L  L<br /> ( L  ) cos s ( L  )  sin ( L  )<br /> a  a  a <br /> Trong c¸c tr­êng hîp ®· dÉn ra ký hiÖu:<br />  L L 1L L p 2 [(C 2 m2   22 ) 2  C 22 ]<br />  1   1   cos  sin D1 <br />      2m1 2 [(C 2  m2 2 ) 2   22 2 ]<br /> ;<br /> 1L L  L L p 2 m2 2 2<br /> 2  cos   1   sin D2 <br />      2m1 [(C 2  m2 2 ) 2   22 2<br /> <br /> KÕt luËn<br /> - Trong c«ng tr×nh nµy, t¸c gi¶ lÇn ®Çu tiªn ®· ®­a ra nghiÖm gi¶i tÝch ®èi víi<br /> bµi to¸n dao ®éng däc cña kÕt cÊu (d¹ng thanh) ®µn håi ®ång chÊt tiÕt diÖn thay ®æi<br /> ®Òu, chÞu lùc c¶n mÆt ®Çu, g©y ra bëi ghÐp hai m¸y rung. NghiÖm ®­îc biÓu diÔn<br /> d­íi d¹ng hµm s¬ cÊp nªn dÔ sö dông trong kü thuËt.<br /> - Ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n më ra h­íng gi¶i bµi to¸n h¹ ch×m kÕt cÊu ®µn håi,<br /> ®ång chÊt cã tiÕt diÖn thay ®æi ®Òu vµo ®Êt víi ®iÒu kiÖn t­¬ng t¸c lùc phøc t¹p h¬n<br /> (ch¼ng h¹n chÞu c¶ lùc c¶n mÆt ®Çu vµ lùc c¶n mÆt bªn).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 10<br /> Tµi liÖu tham kh¶o<br /> [1] I.M Babac«p – Lý thuyÕt dao ®éng tËp I,II. Ng­êi dÞch: Ph¹m HuyÔn,<br /> NguyÔn Xu©n Quyªn. Biªn dÞch: Lª Xu©n CËn, Nxb §¹i häc vµ THCN, Hµ Néi,<br /> 1977.<br /> [2] Barcan D.D- Ph­¬ng ph¸p rung trong x©y dùng, Nxb x©y dùng Max-c¬-va.<br /> [3] NguyÔn Thóc An, NguyÔn §×nh ChiÒu, Khæng Do·n §iÒn- Lý thuyÕtt dao<br /> ®éng, Nxb N«ng NghiÖp, n¨m 2004.<br /> [4] §ç Sanh - C¬ häc tËp II, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi, 2003.<br /> [5] NguyÔn §×nh TrÝ, NguyÔn Träng Th¸i – Ph­¬ng tr×nh VËt lý to¸n, NXB §¹i<br /> häc vµ THCN, Hµ Néi, 1971.<br /> [6] NguyÔn §×nh ChiÒu, NguyÔn Träng, NguyÔn Anh TuÊn- C¬ së lý thuyÕt kü<br /> thuËt rung trong x©y dùng, Nxb khoa häc vµ kü thuËt, Hµ Néi, 2004.<br /> [7] NguyÔn §×nh ChiÒu, NguyÔn §¾c H­ng- Dao ®éng cña kÕt cÊu ®­îc h¹ ch×m<br /> vµo ®Êt b»ng hai m¸y rung, T¹p chÝ khoa häc vµ kü thuËt Thuû lîi & m«i tr­êng,<br /> sè 9, th¸ng 6-2005.<br /> [8] Longitudinal Vibration of a Tapered Rod<br /> By Tom Irvine- Email:tomirvine@aol.com, October 5,2003.<br /> <br /> Summary<br /> In the tow books [2] and [6], some authors have been studying on<br /> longitudinal vibration of elastic, uniform rod, induced by harmonizing compulsory<br /> force of vibrator closely connected to the structure was interested and solved by<br /> researchers. Solution of the task was performed by fragrant arithmetic function in<br /> case the structure has constant section, there fore very difficult applice in technical.<br /> In this study, the authors have solved vibration task of the elastic, uniform<br /> structure (rod) that was variable cross section under resistant force at the end of the<br /> structure. The harmonizing compulsory force have made by 2 vibrators. Using<br /> specific algorithm, first time the author found geometric solution for 3 different<br /> cases depending on initial parameters of the task. The solutions are performed by<br /> elementary functions that are very convenient for use. This result may open<br /> direction for solving some tasks in case of subsidence of the elastic, uniform<br /> structure with variable cross section in to the ground, when the structure is under<br /> more complicated interaction.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 11<br />