ÔN TẬP TOÁN HỌC_Lượng Giác_Chương 9

Chia sẻ: Abcdef_6 Abcdef_6 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

58
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'ôn tập toán học_lượng giác_chương 9', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ÔN TẬP TOÁN HỌC_Lượng Giác_Chương 9

C HÖÔNG IX: HEÄ PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏ N G GIAÙ C I. GIAÛI HEÄ BAÈNG PHEÙP THEÁ ⎧2 cos x − 1 = 0 (1) ⎪ B aø i 173: G iaû i heä phöông trình: ⎨ 3 ( 2) ⎪sin 2x = 2 ⎩ 1 T a coù : (1) ⇔ cos x = 2 π + k2π ( k ∈ Z ) ⇔x=± 3 π x= + k 2π t hay vaø o (2), ta ñöôï c V ôù i 3 ⎛ 2π 3 ⎞ sin 2x = sin ⎜ + k4π ⎟ = ⎝3 2 ⎠ π x = − + k2π t hay vaø o (2), ta ñöôï c V ôù i 3 ⎛ 2π 3 3 ⎞ sin 2x = sin ⎜ − + k4 π ⎟ = − ( loaï i ) ≠ ⎝3 2 2 ⎠ π Do ñoù nghieä m củ a h eä laø : x = + k 2π, k ∈ 3 ⎧sin x + sin y = 1 ⎪ B aø i 174: G iaû i heä phöông trình: ⎨ π ⎪x + y = 3 ⎩ C aù c h 1: x+y x−y ⎧ ⎪2 sin 2 .cos 2 = 1 ⎪ H eä ñaõ cho ⇔ ⎨ ⎪x + y = π ⎪ 3 ⎩ x−y x−y π ⎧ ⎧ ⎪2.sin 6 .cos 2 = 1 ⎪cos 2 = 1 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪x + y = π ⎪x + y = π ⎪ ⎪ 3 3 ⎩ ⎩
π ⎧x− y ⎧ ⎧ x − y = 4k π x = + k 2π = k 2π ⎪ ⎪2 ⎪ ⎪ ⎪ 6 (k ∈ Z ) ⇔⎨ ⇔⎨ π ⇔⎨ π π x+ y = ⎪x + y = ⎪ ⎪ y = − k 2π ⎩ 3 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 3 6 C aù c h 2: H eä ñaõ cho π π ⎧ ⎧ ⎪y = 3 − x ⎪y = 3 − x ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪sin x + sin ⎛ π − x ⎞ = 1 ⎪ 3 cos x + 1 sin x = 1 ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝3 ⎠ ⎩2 ⎩ 2 π ⎧ π ⎧ ⎪y = 3 − x ⎪y = 3 − x ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪sin ⎜ π + x ⎟ = 1 ⎪ π + x = π + k 2π ⎛ ⎞ ⎪3 ⎪ ⎝3 ⎩ ⎠ 2 ⎩ π ⎧ ⎪ x = 6 + k 2π ⎪ ⇔⎨ k∈ ⎪ y = π − k 2π ⎪ ⎩ 6 ⎧sin x + sin y = 2 (1) ⎪ B aø i 175 : G iaû i heä phöông trình: ⎨ ⎪cos x + cos y = 2 (2) ⎩ C aù c h 1: x+y x−y ⎧ ⎪2 sin 2 cos 2 = 2 (1) ⎪ H eä ñaõ cho ⇔⎨ ⎪2 cos x + y cos x − y = 2 (2) ⎪ 2 2 ⎩ L aá y (1) chia cho (2) ta ñöôï c : ⎛x+ y⎞ x−y tg ⎜ ⎟ = 1 ( do cos = 0 k hoâ n g laø nghieä m cuû a (1) vaø (2) ) ⎝2⎠ 2 x+ y π ⇔ = + kπ 2 4 π π ⇔ x + y = + k 2π ⇔ y = − x + k 2π 2 2 ⎛π ⎞ t hay vaø o (1) ta ñöôï c : sin x + sin ⎜ − x + k2π ⎟ = 2 ⎝2 ⎠ ⇔ sin x + cos x = 2
π⎞ ⎛ ⇔ 2 cos ⎜ x − ⎟ = 2 ⎝ 4⎠ π ⇔ x − = h 2π, h ∈ 4 π ⎧ ⎪ x = 4 + h2π, h ∈ ⎪ D o ñoù : heä ñaõ cho ⇔ ⎨ ⎪ y = π + ( k − h ) 2π, k , h ∈ ⎪ ⎩ 4 ⎧A = B ⎧A + C = B + D C aù c h 2 : Ta coù ⎨ ⇔⎨ ⎩C = D ⎩A − C = B − D H eä ñaõ cho ⎧( sin x − cos x ) + ( sin y − cos y ) = 0 ⎪ ⇔⎨ ⎪( sin x + cos x ) + ( sin y − cos y ) = 2 2 ⎩ ⎧ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎪ 2 sin ⎜ x − ⎟ + 2 sin ⎜ y − ⎟ = 0 4⎠ 4⎠ ⎪ ⎝ ⎝ ⇔⎨ π⎞ π⎞ ⎪ 2 sin ⎛ x + ⎛ ⎟ + 2 sin ⎜ y + ⎟ = 2 2 ⎜ ⎪ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ ⎩ ⎧⎛ π⎞ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ x − 4 ⎟ + sin ⎜ y − 4 ⎟ = 0 ⎧⎛ π⎞ π⎞ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎪sin ⎜ x − 4 ⎟ + sin ⎜ y − 4 ⎟ = 0 ⎪⎛ π⎞ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⇔ ⎨sin ⎜ x + ⎟ = 1 ⎪sin ⎛ x + π ⎞ + sin ⎛ y + π ⎞ = 2 4⎠ ⎪⎝ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎛ π⎞ 4⎠ 4⎠ ⎩⎝ ⎝ ⎪sin ⎜ y + ⎟ = 1 4⎠ ⎩⎝ ⎧ ππ ⎪ x + = + k 2π 42 ⎪ ππ ⎪ ⇔ ⎨ y + = + h 2π 42 ⎪ ⎪⎛ π⎞ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ x − 4 ⎟ + sin ⎜ y − 4 ⎟ = 0 ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π ⎧ ⎪ x = 4 + k2π ⎪ ⇔⎨ ⎪ y = π + h2π, h, k ∈ Z ⎪ 4 ⎩ ⎧ tgx − tgy − tgxtgy = 1 (1) ⎪ B aø i 176: G iaû i heä phöông trình: ⎨ ⎪cos 2y + 3 cos 2x = −1 (2) ⎩
T a coù : tgx − tgy = 1 + tgxtgy ⎧1 + tgxtgy = 0 ⎧tg ( x − y ) = 1 ⎪ ⎪ ∨ ⎨tgx − tgy = 0 ⇔⎨ ⎪1 + tgxtgy ≠ 0 ⎪ ⎩ ⎩1 + tg x = 0 (VN) 2 π π ⇔ x − y = + kπ ( k ∈ Z ) , v ôù i x, y ≠ + kπ 4 2 π π ⇔ x = y + + kπ, v ôù i x, y ≠ + kπ 4 2 π ⎛ ⎞ T hay vaø o (2) ta ñöôï c : cos 2y + 3 cos ⎜ 2y + + k2π ⎟ = −1 2 ⎝ ⎠ ⇔ cos 2 y − 3 s in2 y = −1 π⎞ 1 ⎛ 3 1 1 ⇔ s in2 y − cos 2 y = ⇔ sin ⎜ 2 y − ⎟ = 2 2 2 6⎠ 2 ⎝ ππ π 5π + h 2π ( h ∈ Z ) ⇔ 2 y − = + h 2π hay 2 y − = 66 6 6 π π ⇔ y = + hπ, h ∈ hay y = + hπ, h ∈ ( loïai) 6 2 D o ñoù : 5π ⎧ + ( k + h) π x= ⎪ ⎪ 6 ( h, k ∈ Z ) Heä ñaõ cho ⇔⎨ π ⎪ y = + hπ ⎪ ⎩ 6 ⎧cos3 x − cos x + sin y = 0 (1) ⎪ B aø i 177: G iaû i heä phöông trình ⎨ 3 ⎪sin x − sin y + cos x = 0 (2) ⎩ L aáy (1) + (2) ta ñöôï c : sin 3 x + cos3 x = 0 ⇔ sin 3 x = − cos3 x ⇔ tg 3 x = −1 ⇔ tgx = −1 π ⇔ x = − + kπ (k ∈ Z) 4 T hay vaø o (1) ta ñöôï c : sin y = cos x − cos3 x = cos x (1 − cos2 x ) 1 = cos x. sin 2 x =sin 2x sin x 2 1 ⎛ π⎞ ⎛π ⎞ = sin ⎜ − ⎟ sin ⎜ − + kπ ⎟ 2 ⎝ 2⎠ ⎝4 ⎠ 1 ⎛π ⎞ = − sin ⎜ − + kπ ⎟ 2 ⎝4 ⎠
⎧2 (neáu k chaün) ⎪ ⎪4 =⎨ ⎪− 2 (neáu k leû) ⎪4 ⎩ 2 ( vôù i 0 < α < 2π ) Ñ aët sin α = 4 π π ⎧ ⎧ ⎪ x = − 4 + ( 2m + 1) π, m ∈ ⎪ x = − 4 + 2mπ, m ∈ ⎪ ⎪ Vaä y nghieä m heä ⎨ ∨⎨ y = α + h2π, h ∈ y = −α + 2hπ, h ∈ ⎪⎡ ⎪⎡ ⎢ y = π − α + h2π, h ∈ ⎢ y = π + α + h2π, h ∈ ⎪⎣ ⎪⎣ ⎩ ⎩ II. GIAÛI HEÄ BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP COÄNG 1 ⎧ (1 ) ⎪sin x.cos y = − 2 B aø i 178: G iaû i heä phöông trình: ⎨ ( 2) ⎪tgx.cotgy = 1 ⎩ cos x.sin y ≠ 0 Ñ ieà u kieä n : ⎧1 1 ⎪ 2 ⎡sin ( x + y ) + sin ( x − y ) ⎤ = − 2 ⎣ ⎦ ⎪ C aù c h 1 : Heä ñaõ cho ⇔ ⎨ ⎪ sin x.cos y − 1 = 0 ⎪ cos x.sin y ⎩ ⎧sin ( x + y ) + sin ( x − y ) = −1 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin x cos y − sin y cos x = 0 ⎩ ⎧sin ( x + y ) + sin ( x − y ) = −1 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin ( x − y ) = 0 ⎩ ⎧sin ( x + y ) = −1 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin ( x − y ) = 0 ⎩ π ⎧ ⎪ x + y = − + k2π, k ∈ 2 ⇔⎨ ⎪ x − y = hπ, h ∈ ⎩ π π ⎧ ⎪ x = − 4 + ( 2k + h ) 2 , k, h ∈ ⎪ ⇔⎨ ⎪ y = − π + ( 2k − h ) π , k, h ∈ ⎪ 4 2 ⎩ (nhaän do sin y cos x ≠ 0)
sin x cos y ( 2) ⇔ = 1 ⇔ sin x cos y = cos x sin y C aù c h 2 : cos x sin y ⎧ 1 ( 3) ⎪sin x cos y = − 2 ⎪ Theá (1) vaøo ( 2 ) ta ñöôïc: ⎨ ⎪cos x sin y = − 1 ( 4) ⎪ ⎩ 2 ⎧sin ( x + y ) = −1 ( 3) + ( 4 ) ⎪ ⇔⎨ ⎪sin ( x − y ) = 0 ( 3) − ( 4 ) ⎩ π ⎧ ⎪ x + y = − + k 2π, k ∈ ⇔⎨ 2 ⎪ x − y = hπ, h ∈ ⎩ π π ⎧ ⎪ x = − 4 + ( 2k + h ) 2 ⎪ ( h, k ∈ Z ) ⇔⎨ ⎪ y = − π + ( 2k − h ) π ⎪ ⎩ 4 2 III. GIAÛ I HEÄ BAÈN G AÅ N PHUÏ B aø i 179: G iaû i heä phöông trình: ⎧ 23 (1) ⎪tgx + tgy = ⎪ 3 ⎨ ⎪cotgx + cotgy = −2 3 ( 2) ⎪ ⎩ 3 X = tgx, Y = tgy Ñ aët ⎧ ⎧ 23 23 ⎪X + Y = ⎪X + Y = 3 3 ⎪ ⎪ H eä ñaõ cho thaø n h: ⎨ ⇔⎨ ⎪1 + 1 = −2 3 ⎪Y + X = − 2 3 ⎪X Y ⎪ YX 3 3 ⎩ ⎩ ⎧ 23 ⎪X + Y = ⎧ 23 ⎪X + Y = 3 ⎪ ⇔⎨ 3 ⇔⎨ ⎪X 2 − 2 3 X − 1 = 0 ⎪ XY = −1 ⎩ ⎪ 3 ⎩ ⎧X = 3 ⎧ 3 ⎪X = − ⎪ 3 ⇔⎨ 3∨⎨ Y=− ⎪ ⎪Y = 3 3 ⎩ ⎩ D o ñoù :
⎧tgx = 3 ⎧ 3 ⎪tgx = − ⎪ H eä ñaõ cho : ⇔ ⎨ 3 3∨⎨ ⎪tgy = − ⎪tgy = 3 3 ⎩ ⎩ π π ⎧ ⎧ ⎪ x = 3 + k π, k ∈ ⎪ x = − 6 + k π, k ∈ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ∨⎨ ⎪ y = − π + hπ, h ∈ ⎪ y = π + hπ, h ∈ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 6 3 1 ⎧ ⎪sin x + sin y = B aø i 180: C ho heä phöông trình: ⎨ 2 ⎪cos 2x + cos 2y = m ⎩ 1 a / Giaû i heä phöông trình khi m = − 2 b / Tìm m ñeå heä coù nghieä m . 1 ⎧ ⎪sin x + sin y = 2 H eä ñaõ cho ⇔⎨ ⎪(1 − 2 sin 2 x ) + (1 − 2 sin2 y ) = m ⎩ 1 ⎧ ⎪sin x + sin y = 2 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin2 x + sin 2 y = 2 − m ⎪ 2 ⎩ 1 ⎧ ⎪sin x + sin y = 2 ⎪ ⇔⎨ ⎪( sin x + sin y )2 − 2 sin x sin y = 1 − m ⎪ 2 ⎩ 1 ⎧ ⎪sin x + sin y = 2 ⎪ ⇔⎨ ⎪ 1 − 2 sin x sin y = 1 − m ⎪4 2 ⎩ 1 ⎧ ⎪sin x + sin y = 2 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin x sin y = − 3 + m ⎪ 84 ⎩ Ñ aët X = sin x, Y = sin y vôùi X , Y ≤ 1 t hì X, Y laø nghieä m cuû a heä phöông trình 1 m3 − = 0 ( *) t2 − t + 2 48 1 a / Khi m = − thì ( *) thaønh : 2
1 1 t2 − t− =0 2 2 ⇔ 2t − t − 1 = 0 2 1 ⇔ t =1∨ t = − 2 ⎧sin x = 1 1 ⎧ ⎪sin x = − ⎪ V aä y heä ñaõ cho ⇔ ⎨ 2 1∨⎨ sin y = − ⎪ 2 ⎪sin y = 1 ⎩ ⎩ π hπ ⎧ ⎧ ⎪ x = 2 + k 2π, k ∈ ⎪ x = −(−1) 6 + hπ, h ∈ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ∨⎨ ⎪ y = −(−1) h π + hπ, h ∈ ⎪ y = π + k 2π, k ∈ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 6 2 m 1 3 b / Ta coù : ( *) ⇔ = −t 2 + t + 4 2 8 1 3 X eù t y = − t 2 + t + ( C ) treân D = [ −1,1] 2 8 1 y ' = −2t + t hì: 2 1 y' = 0 ⇔ t = 4 H eä ñaõ cho coù nghieä m ⇔ ( *) coù 2 nghieäm treân [ -1,1] m c aé t (C) taï i 2 ñieå m hoặ c ti ế p xúc treân [ -1,1] ⇔ (d ) y = 4 1m 7 ⇔− ≤ ≤ 8 4 16 1 7 ⇔− ≤m≤ 2 4 C aù c h khaù c ycbt ⇔ f (t ) = 8t 2 − 4t − 3 + 2m = 0 coù 2 nghieä m t 1 , t 2 t hoû a ⇔ −1 ≤ t1 ≤ t2 ≤ 1
⎧ Δ / = 28 − 16m ≥ 0 ⎪ ⎪ af (1) = 1 + 2m ≥ 0 ⎪ 1 7 ⇔ ⎨ af (−1) = 9 + 2m ≥ 0 ⇔ − ≤ m ≤ 2 4 ⎪ S1 ⎪ −1 ≤ = ≤ 1 ⎪ ⎩ 24 ⎧sin 2 x + mtgy = m ⎪ B aø i 181 : Cho heä phöông trình: ⎨2 ⎪ tg y + m sin x = m ⎩ a/ Giaû i heä khi m = -4 b/ Vôù i giaù trò naø o cuû a m thì heä coù nghieä m . X = sin x v ôù i X ≤ 1 Ñ aët Y = tgy (1 ) ⎧ X 2 + mY = m ⎪ Heä thaø nh: ⎨2 ( 2) ⎪ Y + mX = m ⎩ L aáy (1) – (2) ta ñöôï c : X 2 − Y 2 + m ( Y − X ) = 0 ⇔ ( X − Y ) ( X + Y − m) = 0 ⇔ X = Y∨Y =m−X ⎧Y = m − X ⎧X = Y ⎪ H eä thaø nh ⎨2 hay ⎨ 2 ⎪X + m(m − X ) = m ⎩ X + mX = m ⎩ ⎧X = Y ⎧Y = m − X ⎪ ⎪ ⇔⎨ 2 ∨⎨ 2 ⎪ X + mX − m = 0 ( * ) ⎪ X − mX + m − m = 0 ( * *) 2 ⎩ ⎩ a /Khi m = -4 ta ñöôï c heä ⎧ Y = −4 − X ⎧X = Y ⎪ ∨⎨ 2 ⎨2 ⎩ X − 4X + 4 = 0 ⎪ X + 4X + 20 = 0 ( voâ nghieäm ) ⎩ ⎧ X = 2 ( loaïi do X ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ ⎪Y = 2 ⎩ V aä y heä ñaõ cho voâ nghieä m khi m = 4. b/ Ta coù (*) ⇔ X 2 + mX − m = 0 vôùi X ≤ 1 ⇔ X 2 = m (1 − X ) X2 = m ( do m khoâng laø nghieäm cuûa *) ⇔ 1−X X2 − X 2 + 2X treân [ −1,1) ⇒ Z ' = X eù t Z = ; 1− X 2 (1 − X ) Z' = 0 ⇔ X = 0 ∨ X = 2
⎧ X = Y ( X ≤ 1) ⎪ coù nghieä m ⇔ m ≥ 0 D o ñoù heä ⎨2 ⎪ X + mX − m = 0 ⎩ X 2 − mX + m 2 − m = 0 X eù t (**): T a coù Δ = m 2 − 4 ( m 2 − m ) = −3m 2 + 4m 4 Δ≥0⇔0≤m≤ 3 K eá t luaä n : K hi m ≥ 0 t hì (I) coù nghieä m neâ n heä ñaõ cho coù nghieä m K hi m < 0 thì (I) voâ nghieä m maø (**) cuø n g voâ nghieä m (do Δ < 0) n eâ n heä ñaõ cho voâ nghieä m Do ñoù : Heä coù nghieä m ⇔ m ≥ 0 C aù c h khaù c H eä coù nghieä m ⇔ f (X) = X 2 + mX − m = 0 (*)hay g(X) = X 2 − mX + m2 − m = 0 ( **) coù nghieä m treâ n [-1,1] ⎧Δ1 = m 2 + 4m ≥ 0 ⎪ ⎪af (1) ≥ 0 ⎪ ⇔ f ( −1) f (1) ≤ 0 hay ⎨af (−1) ≥ 0 ⎪ ⎪−1 ≤ S = − m ≤ 1 ⎪ ⎩ 2 2 ⎧Δ 2 = −3m + 4m ≥ 0 2 ⎪ ⎪ag (−1) = m + 1 ≥ 0 2 ⎪ h ay g (−1) g (1) ≤ 0 hay ⎨ag ( 1) = (m − 1) 2 ≥ 0 ⎪ ⎪−1≤ S = m ≤ 1 ⎪ ⎩ 22 ⎧Δ1 = m + 4m ≥ 0 2 4 ⎪ hay m = 1 hay 0 ≤ m ≤ ⇔ 1 − 2m ≤ 0 hay ⎨1 − 2m ≥ 0 3 ⎪−2 ≤ m ≤ 2 ⎩ ⇔m≥0
IV. HEÄ KHOÂNG MAÃU MÖÏC ⎧ π⎞ ⎛ ⎪tgx + cotgx = 2sin ⎜ y + 4 ⎟ (1) ⎪ ⎝ ⎠ B aø i 182: G iaû i heä phöông trình: ⎨ ⎪ tgy + cotgy = 2sin ⎛ x - π ⎞ (2) ⎜ ⎟ ⎪ 4⎠ ⎝ ⎩ C aù c h 1: sinα cos α sin2 α + cos2 α 2 T a coù : tgα + cotgα= + = = cosα sin α sin α cos α sin 2α ⎧1 π⎞ ⎛ ⎪ sin 2x = sin ⎜ y + 4 ⎟ (1) ⎝ ⎠ ⎪ V aä y heä ñaõ cho ⇔ ⎨ ⎪ 1 = sin ⎛ x − π ⎞ (2) ⎜ ⎟ ⎪ sin 2y 4⎠ ⎝ ⎩ ⎧ π⎞ ⎛ ⎪1 = sin 2x sin ⎜ y + 4 ⎟ (1) ⎪ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⎪1 = sin 2y. sin ⎛ x − π ⎞ (2) ⎜ ⎟ ⎪ 4⎠ ⎝ ⎩ ⎧sin 2x = 1 ⎧sin 2x = −1 ⎪ ⎪ T a coù : (1) ⇔ ⎨ ∨⎨ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎪sin ⎜ y + 4 ⎟ = 1 ⎪sin ⎜ y + 4 ⎟ = −1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎩ π π ⎧ ⎧ ⎪ x = 4 + kπ, k ∈ ⎪ x = − 4 + kπ, k ∈ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ∨⎨ ⎪ y = − 3π + h2π, h ∈ ⎪ y = π + h2π, h ∈ ⎪ ⎪ 4 4 ⎩ ⎩ π ⎧ ⎪ x = 4 + kπ, k ∈ ⎪ T hay ⎨ v aø o (2) ta ñöôï c π ⎪ y = + h2π, h ∈ ⎪ 4 ⎩ π⎞ π ⎛ sin 2y.sin ⎜ x − ⎟ = sin .sin kπ = 0 ≠ 1 ( loaï i ) 4⎠ 2 ⎝ −π ⎧ x= + kπ, k ∈ ⎪ 4 ⎪ Thay ⎨ v aø o (2) ta ñöôï c 3π ⎪y = − + h2π, h ∈ ⎪ 4 ⎩ ⎛ 3π ⎞ π⎞ ⎛π ⎛ ⎞ sin 2y. sin ⎜ x − ⎟ = sin ⎜ − ⎟ sin ⎜ − + kπ ⎟ 4⎠ ⎝ 2⎠ ⎝2 ⎝ ⎠ ⎞ ⎧1 ( neáu k leû) ⎛π = sin ⎜ − + kπ ⎟ = ⎨ ⎝2 ⎠ ⎩−1 ( neáu k chaün)
D o ñoù heä coù nghieä m π ⎧ ⎪ x = − 4 + ( 2m + 1) π ⎪ ( m, h ∈ Z) • ⎨ ⎪ y = − 3π + h2π ⎪ 4 ⎩ C aù c h 2 : D o baá t ñaú n g thöù c Cauchy tgx + cotgx ≥ 2 1 d aá u = xaû y ra ⇔ tgx = cotgx ⇔ tgx= tgx ⇔ tgx = ±1 D o ñoù : π⎞ ⎛ tgx+cotgx ≥ 2 ≥ 2 sin ⎜ y + ⎟ 4⎠ ⎝ D aá u = taï i (1) chæ xaû y ra khi ⎧tgx = 1 ⎧tgx = −1 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ∨⎨ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎪sin ⎜ y + 4 ⎟ = 1 ⎪sin ⎜ y + 4 ⎟ = −1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎩ π π ⎧ ⎧ ⎪ x = 4 + kπ, k ∈ ⎪ x = − 4 + kπ, k ∈ ⎪ ⎪ (I) ∨ ⎨ (II) ⇔⎨ ⎪ y = − 3π + h2π, h ∈ ⎪ y = π + h2π, h ∈ ⎪ ⎪ 4 4 ⎩ ⎩ ⎛ π⎞ t hay (I) vaø o (2): tgy + cotgy=2sin ⎜ x - ⎟ ⎝ 4⎠ t a thaá y 2 = 2sin kπ = 0 khoâ n g thoû a ⎛π ⎞ thay (II) vaø o (2) ta thaá y 2 = 2 sin ⎜ − + k π ⎟ ⎝2 ⎠ c hæ thoû a khi k leû π ⎧ ⎪ x = − 4 + ( 2m + 1) π ⎪ , m, h ∈ Vaä y : heä ñaõ cho ⇔ ⎨ 3π ⎪y = − + 2hπ ⎪ 4 ⎩ B aø i 183: C ho heä phöông trình: ⎪x − y = m (1) ⎧ ⎨ ⎪2 ( cos 2x + cos 2y ) − 1 − 4 cos m = 0 (2) 2 ⎩ T ìm m ñeå heä phöông trình coù nghieä m . ⎧x − y = m ⎪ H eä ñaõ cho ⇔ ⎨ ⎪4 cos ( x + y ) cos ( x − y ) = 1 + 4 cos m 2 ⎩
⎧x − y = m ⎪ ⇔⎨ ⎪−4 cos ( x + y ) cos m + 4 cos m + 1 = 0 2 ⎩ ⎧x − y = m ⎪ ⇔⎨ ⎪[2 cos m − cos ( x + y )] + 1 − cos ( x + y ) = 0 2 2 ⎩ ⎧x − y = m ⎪ ⇔⎨ ⎪[2 cos m − cos ( x + y )] + sin ( x + y ) = 0 2 2 ⎩ ⎧x − y = m ⎪ ⇔ ⎨cos ( x + y ) = 2 cos m ⎪ ⎩sin ( x + y ) = 0 ⎧x − y = m ⎪ ⇔ ⎨ x + y = kπ , k ∈ ⎪cos(kπ) = 2 cos m ⎩ 2π π D o ñoù heä coù nghieä m ⇔ m = ± + h2π ∨ m = ± + h2π, h ∈ 3 3 BAØI TAÄP 1 . Giaû i caù c heä phöông trình sau: ⎧sin x + sin y = 2 ⎧tgx + tgy + tgxtgy = 1 f /⎨ a/ ⎨ 2 ⎩3sin 2y − 2 = cos 4x ⎩sin x + sin y = 2 2 1 ⎧ 3 ⎧ ⎪sin x sin y = − 2 ⎪sin x − sin 2y = ⎪ ⎪ 2 b/⎨ g/⎨ ⎪cos x cos y = 1 ⎪cos x + cos 2y = 1 ⎪ 2 ⎪ ⎩ 2 ⎩ ⎧cos ( x + y ) = 2 cos ( x − y ) ⎧ 2 cos x = 1 + cos y ⎪ ⎪ c/⎨ h/⎨ 3 ⎪cos x.cos y = ⎪ 2 sin x = sin y ⎩ 4 ⎩ 1 ⎧ ⎧sin x = 7 cos y ⎪sin x cos y = d/⎨ k/⎨ 4 ⎩5 sin y = cos x − 6 ⎪3tgx = tgy ⎩ ⎧tgx + tgy = 1 ⎧sin 2 x = cos x cos y ⎪ ⎪ e/ ⎨ 2 l/⎨ x y ⎪tg 2 + tg 2 = 2 ⎪cos x = sin x sin y ⎩ ⎩ cos x cos y = m + 1 ⎧ 2 . Cho heä phöông trình: ⎨ ⎩sin x sin y = 4m + 2m 2 1 a / Giaû i heä khi m = − 4
3 1 ⎛ ⎞ b / Tìm m ñeå heä coù nghieä m ⎜ ÑS − ≤ m ≤ − hay m=0 ⎟ 4 4 ⎝ ⎠ 3 . T ìm a ñeå heä sau ñaâ y coù nghieä m duy nhaá t : ⎧ y 2 + tg 2 x = 1 ⎪ ⎨ ( ÑS a= 2) ⎪ y + 1 = ax + a + sin x 2 ⎩ 4 . Tìm m ñeå caù c heä sau ñaâ y coù nghieä m . ⎪cos x = m cos y 3 ⎧sin x cos y = m 2 ⎧ a/⎨ b/⎨ ⎩sin y cos x = m ⎪sin x = m cos y 3 ⎩ ⎛ 1+ 5 ⎞ 1- 5 ( ÑS 1 ≤ m ≤ 2) ⎜ ÑS ≤m≤ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ Th.S Phạm Hồ ng Danh T T luyệ n thi đại họ c V ĩ nh Vi ễn