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Ôn thi BDT tích phân

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Ôn thi BDT tích phân

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Nội dung Text: Ôn thi BDT tích phân

  1. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân Chöùng minh raèng : 1 1 π π 3π π 1 1. dx ∫ 4 4. ln 2 < ∫ dx < 3 − 2 sin 2 x 2 4 1+ x x π 0 4 4 1 3 cot g 1 π π 1 5. ∫ dx 2. dx ∫ 3 2 x + x+1 8 12 x 3 π 0 4 1 1 π x 1 π π 3. dx ∫ 1 2 6. dx ∫ 2 6 0 x + x + x3 + 3 5 4 18 6 1− x 0 93 Baøi giaûi : 3π 1 1 1 1 π sin 2 x 1 ⇒ 1 2 sin 2 x 2 ⇒ 1 3 − 2 sin 2 x 2 ⇒ 1. x sin x 1 ⇒ 1 ⇒ 3 − 2 sin 2 x 4 4 2 2 2 1 3π 1 1 π π 3π 3π 3π ⇒ ∫π 4 dx ∫π 4 dx ∫ π 4 dx ⇒ ∫π 4 3 − 2 sin 2 xdx 2 4 2 24 4 3 − 2 sin x 4 4 1  3 cot gx 1 3 cot gx 4 3 π3 π cot gx 4 π3 π π  2. x dx ∫π 3 dx dx π ∫π 4 π ∫π 4 ⇒ ⇒ ⇒ 4 x x 3 1 4 3 π π 4 π x π  3 π cot gx 1 ∫π 4 x dx 3 3 ⇒ 12 Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm. 1 3. 0 x < 1 ⇒ 0 x 6 .... x 2 < 1 ⇒ −1 − x 2 − x 6 0 ⇒ 0 1 − x 2 1 − x 6 1 ⇒ 1 − x 2 1 − x6 1 2 1 1 1 1 1 dx I ⇒1 ⇒ ∫ 2 dx ∫ 2 1− x 1− x 1 − x6 6 2 0 0 1  π π 1 Vôùi I = ∫ 2 dx Ñaët x = sin t ; t ∈  − ;  ⇒ dx = cos tdt  2 2 1 - x2 0 1 x 0 1 1 cos tdt π π 1 2 1 1 = ∫ 2 dt = Vaäy ∫0 1 − x 6 dx 6 ⇒I=∫ 2 2 6 2 π t 0 1 − sin 2 t 0 0 6 x 1 ⇒ x2 x x x ⇒ 1 + x2 1 + x x 1 + x 4. 0 x 1 ⇒ x 1 1 1 ( 1) ; ∀x ∈ [ 0,1] ⇒ x + 1 1 + x x 1 + x2 Daáu ñaúng thöùc trong (1) xaûy ra khi : VT(1) VG(1) x = 0 ⇒ x∈∅  VG(1) VP(1) x = 1 1 1 1 dx 1 π 1 1 1 Do ñoù : ∫ dx < ∫ dx < ∫ 2 ⇒ ln 2 < ∫ dx < 0 1+ x 0 x +1 4 1+ x x 1+ x x 0 0 1 π 1 Chuù yù : ∫ dx = Xem baøi taäp 5 . 0 1 + x2 4 1
  2. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1 1 5. 0 1 ⇒ x2 x2 + x ⇒ 2 + 2 x2 x2 + x + 2 ⇒ x ⇒ x2 + x2 x 2 2 x + x+ 2 2( x + 1) 1 11 1 1 1 1 ∫0 x2 + 1 dx ; I = ∫0 1 + x2 dx ⇒∫ dx x + x+2 2 2 0 1 dt = (1 + tg 2 t)dt Ñaët x = tgt ⇒ dx = cos 2 t 0 1 π 1 + tg 2 t 1 π π π x π 1 Vaäy ∫ 2 ⇒I=∫ 4 dt = ∫ 4 dt = ⇒ I = dx 0 1 + tg t 4 4 0 x + x+2 8 2 π 0 0 t 4 0 x5 x 3  6. 0 x 1 ⇒  ⇒ 0 x5 + x 4 2 x 3 ⇒ x3 + 3 x 5 + x4 + x3 + 3 3 x 3 + 3 0 x4 x 3   1 1 1 x x x ⇒ ⇒3 3x + 3 x + x + x3 + 3 x +3 3x + 3 x + x + x3 + 3 x +3 3 5 4 3 5 4 3 x x x 1 1 1 dx ( 1 ) ⇒∫ ∫ ∫ dx dx 0 3x + 3 x + x + x3 + 3 x +3 3 5 4 3 0 0 11 x 0 1 x x 1 ° I1 = ∫ dx ; Ñaë t x = t 2 ;( t 0) ⇒ dx = 2 tdt dx = ∫ 3 0 3 x3 + 3 3 0 x +1 0 1 t 0 1 2 2 1 3 t 2 . dt 1 1 2t π t 1 du Ñaët u = t 3 ⇒ du = 3t 2 dt I1 = ∫ 6 dt = ∫ 3 2 ⇒ I1 = ∫ 2 = 0 1 9 0 u +1 18 3 0 t +1 9 0 (t ) + 1 u π Keát quaû : I = (baøi taäp 5) 4 π x x 1 1 °I2 = ∫ 3 (töông töï) Vaäy (1) ⇔ I1 ∫ 5 = dx I2 0 x + x + x3 + 3 0 x +3 4 93 π π x 1 ∫ dx 18 x + x + x3 + 3 5 4 93 0 π π sin x .cos x 1,Chöùng minh raèng : ∫ 2 dx (1 + sin x ) (1 + cos x ) 4 4 12 0 ) (  π  π t tg 4 x 2 tg 3t + 3 tgt 2.Neáu : I ( t ) = ∫ dx > 0 , ∀t ∈  0 ,  ; thì : tg  t +  > e 3  4  4 cos 2 x 0 Baøi giaûi : 3 2 + cos2 x + sin2 x 2 + sin 4 x + cos 4 x 1. Ta coù : = (1 + sin 4 x)(1 + cos4 x) (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) 3 1 + sin 4 x + 1 + cos 4 x 1 1 ⇒ = + (1 + sin x)(1 + cos 4 x) (1 + sin x)(1 + cos x) 1 + sin x 1 + cos 4 x 4 4 4 4 2
  3. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 3 sin x. cos x 1  sin 2 x sin 2 x  sin x. cos x sin x. cos x sin x. cos x ⇒ + ⇒  1 + sin 4 x + 1 + cos 4 x  (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) 1 + sin x 4 1 + cos x 4 (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) 6  3 sin x. cos x 1  π 2 sin 2 x sin 2 x  π π ⇒∫  ∫0 1 + sin 4 x dx + ∫ 2 2 dx dx  0 (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x ) 6 0 1 + cos 4 x  sin 2 x π °J1 = ∫ 2 Ñaë t t = sin 2 x ⇒ dt = sin 2 xdx dx 0 1 + sin 4 x π 0 x 2 ⇒ J = 1 dt = π (keát quaû I= π baøi taäp 5) ∫0 t 2 + 1 4 1 0 4 1 t sin 2 x π °J2 = ∫ 2 u = cos 2 x ⇒ du = − sin 2 xdx Ñaë t dx 0 1 + cos 4 x π 0 x π π 1 du 2 = (keát quaû I= baøi taäp 5) ⇒ J2 = ∫ 2 0 0 u +1 4 4 u 1 1 sin x. cos x sin x. cos x π π π ( I + J ) Vaäy ∫ 2 ⇒∫ 2 dx dx 0 (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) 0 (1 + sin 4 x )(1 + cos 4 x) 6 12 dt 2. Ñaët t = tgx ⇒ dt = (1 + tg 2 x) dx ⇒ dx = 1 + t2 tgt tgt t 4 tgt t 4 dt tgt  2 dt 1 13 1 t-1  13 1 tgt - 1 I =∫ t 0 1 - t 2 . 1 + t 2 = ∫0 1 - t 2 = ∫0  -t - 1 + 1 - t 2 dt =  - 3 t - t - 2 ln t + 1  0 = - 3 tg t - tgt - 2 ln tgt + 1     2 1+t Vì 1 1 tgt - 1 I > 0 neân : - tg 3 t - tgt - ln >0 (t) 3 2 tgt + 1 3 2  tg t + 3 tgt   1 tgt − 1 1 π 1 π   = ln tg  t +  > tg 3 t + tgt ⇒ tg  t +  > e 3  ⇔ ln  2 tgt + 1 2 4 3 4   1 1 x2 1 vaø lim In dx = 0 Chöùng minh : 1. I n = ≤ ∫ In dx ≤ 2( n + 1) n+1 x +1 n→+∞ 0 2 1 2. J n = x n ( 1 + e-x ) Chöùng minh : 0 < ∫ J n dx vaø lim J n dx = 0 n +1 n→+∞ 0 Baøi giaûi : xn xn xn 11 1 1 1 1 x n ⇒ ∫ x n dx x n dx 1. 0 x 1 ⇒ 1 x + 1 2 ⇒ 1; ∫0 x + 1dx ∫ 2 x +1 20 2 x +1 0 1 1 x n+1 x n+1 xn xn 1 1 1 1 ∫0 x + 1dx ∫0 x + 1dx ⇒ ⇒ 2 ( n + 1) 2 ( n +1) n +1 0 n +1 0 3
  4. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân  1  n→∞ 2 ( n + 1) = 0 lim xn  Ta coù :  ⇒ lim =0 n→∞ x + 1  lim 1 = 0  n→∞ n + 1  x n (1 + e − x ) x n (1 + e − x ) e0 = 1 ⇒ 1 1 + e− x e− x 2 ⇒ xn 2. x n hay 0 2 xn 1⇒ 0 2. 0 x 1n (1 + e x ) dx x n (1 + e − x ) dx 2 1 1 ∫ 2∫ x ndx ⇒ 0 ∫ − ⇒0 x n +1 0 0 0 ⇒ lim xn (1 + e− x ) dx = 0 2 Ta coù : lim =0 n→∞ n + 1 n→∞ Chöùng minh raèng : π 2 1. ∫ π cos x(4 − 3 cos x)(2 cos x + 2)dx ≤ 8π 2. ∫ 2 ln x(9 − 3 ln x − 2 ln x)dx ≤ 8(e − 1) -2 1 2π 49π π π 3. ∫π 4. ∫ 3 4 sin x(1 + 2 sin x )(5 − 3 sin x)dx < tgx(7 − 4 tgx)dx ≤ 3 64 0 4 243π π 5. ∫ sin 4 x. cos6 xdx ≤ 6250 0 Baøi giaûi : Ñaët f(x) = cosx(4 - 3 cosx )(2 cosx + 2) 3  cos x + 4 − 3 cos x + 2 cos x + 2    =8 cauchy f(x)     3     π π π 2 2 2 ⇒∫ 8∫ dx ⇒ ∫ cos x(4 − 3 cos x )(2 cos x + 2)dx 8π f(x)dx −π −π −π 2 2 2 2. Ñaët f ( x) = ln x (9 − 3 ln x − 2 ln x) = ln x (3 + ln x )(3 − 2 ln x ) 3  ln x + 3 + ln x + 3 − 2 ln x    =8 f ( x)     3     e e e ⇒∫ 8∫ dx ⇒ ∫ ln x (9 − 3 ln x − 2 ln x) dx 8( e −1) f ( x) dx 1 1 1 3  sin x + 1 + 2 sin x + 5 − 3 sin x    8 3. Ñaët f ( x) = sin x (1 + 2 sin x)(5 − 3 sin x ) ; f(x)     3      sin x = 1 + 2 sin x  sin x = −1   Ñaúng thöùc ⇔  ⇔ x∈∅ ⇔  sin x = 5 − 3 sin x  4 sin x = 5   2π π π π ⇒ f (x) < 8 ⇒ ∫ f(x)dx < 8∫ ⇒∫ 3 3 3 sin x(1 + 2 sin x )(5 − 3 sin x)dx < dx 3 π π π 4 4 4 1 4. Ñaët f(x) = tgx(7 − 4 tgx) = .4 tgx( 7 − 4 tgx) 4 4
  5. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 2 1  4 tgx + 7 − 4 tgx  49 f ( x) ≤  =   4 2 16  ∏ 49 ∏ 4 ∏ 49 ∏ ( ) ⇒ ∫ 4 f ( x ) dx 16 ∫0 ⇒ ∫ 4 tgx 7 − 4 tgx dx dx 16 0 0 5. sin 4 x.cos 6 x = (1 − cos 2 x).(1 − cos 2 x).cos 2 x . cos 2 x . cos 2 x 1 = (2 − 2 cos 2 x)(1 − cos 2 x).cos 2 x.cos 2 x.cos 2 x 2 5 1  2 − 2 cos 2 x + 1 − cos 2 x + cos 2 x + cos 2 x + cos 2 x  ≤  2 5  243 ∏ 243 ∏ ⇒ ∫ sin 4 x.cos 6 xdx ≤ ⇒ sin 4 x.cos 6 x ≤ 6250 6250 0 Chöùng minh raèng : ) ( 5∏ 2 ∏ ∫ cos 2 x + 3sin 2 x + sin 2 x + 3cos 2 x dx 2 1. −∏ 3 3 ) ( e 4 ( e − 1) 2. ∫ 3 + 2 ln 2 x + 5 − 2 ln 2 x dx 1 ∏ 3 cos x + sin x ∏ ∫ 3. − dx x2 + 4 4 4 Baøi giaûi : 1. Ñaët f ( x ) = 1 cos 2 x + 3sin 2 x + 1. sin 2 x + 3cos 2 x 2 ( cos 2 x + 3sin 2 x + 3cos 2 x + sin 2 x ) ⇒ f ( x ) f 2( x ) 22 ) ( ∏ 5∏ 2 ∏ ∏ ⇒ ∫ ∏2 f ( x ) dx 2 2 ∫ ∏2 dx ⇒ ∫ ∏2 cos 2 x + 3sin 2 x + sin 2 x + 3cos 2 x dx − − − 3 3 3 3 2. Ñaët f ( x ) = 1 3 + 2 ln 2 x + 1 5 − 2 ln 2 x f ( x ) 2 ≤ 2 ( 3 + 2 ln 2 x + 5 − 2 ln 2 x ) ⇒ f ( x ) ≤ 4 ( ) e e e 3 + 2 ln 2 x + 5 − 2 ln 2 x dx ≤ 4 ( e − 1) ⇒ ∫ f ( x ) dx 4 ∫ dx ⇒ ∫ 1 1 1 3. 3 cos x + sin x ≤ ( 3)2 + 1 ( cos 2 x + sin 2 x )   3 cos x + sin x 3 cos x + sin x 2 2 2 dx ⇒∫ ≤ 2∫ ⇒ ≤ x +4 x2 + 4 x +4 x +4 2 2 2 0 0 5
  6. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân Ñaët x = 2tgt ⇒ dx = 2 (1 + tg 2 t ) dt ∏ 2 (1 + tg 2t ) 1∏ ∏ 2 x 0 1 dx ⇒∫ =∫ 4 dt = ∫ 4 dt = 4 (1 + tg t ) ∏ x +4 2 2 2 8 0 0 0 t 0 4 3 cos x + sin x ∏ ∏ 3 cos x + sin x ∏ 2 2 ⇒∫ ∫ ⇒− dx dx x +4 x2 + 4 2 4 4 4 0 0 ÑAÙNH GIAÙ TÍCH PHAÂN DÖÏA VAØO TAÄP GIAÙ TRÒ CUÛA HAØM DÖÔÙI DAÁU TÍCH PHAÂN Chöùng minh raèng : ∏ ∏ ∏ sin x ∏ sin x 4..∫ dx > ∫∏ 1.∫ sin 2 xdx ≤ 2∫ 2 4 4 dx cos xdx x x 0 0 0 2 ∏ ∏ 2 2 5. ∫ (ln x) 2 dx < ∫ ln xdx 2.∫ 2∫ 2 2 sin 2 xdx sin xdx 0 0 1 1 x −1 2x − 1 ∏ ∏ 2 2 3.∫ dx < ∫ 6. ∫ sin xdx < ∫ 4 4 dx cos xdx 1 x +1 x 1 0 0 Baøi giaûi :  ∏  0 ≤ sin x ≤ 1  1.∀x ∈  0;  ⇒  ⇒ 2sin x.cos x ≤ 2 cos x   4  0 ≤ cos x ≤ 1   ∏ ∏ 4 4 ⇒∫ sin 2 xdx ≤ 2 ∫ ⇔ sin 2 x ≤ 2 cos x cos xdx 0 0 6
  7. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân  ∏  cos x ≤ 1  2. ∀x ∈  0;  ⇒  ⇒ 2 sin 2 x.cos x ≤ 2sin x   2  0 ≤ sin x   ∏ ∏ 2 2 ⇔ sin 2 x ≤ 2sin x ⇒ ∫ sin 2 xdx ≤ 2 ∫ sin xdx 0 0 x -1 2 x − 1 −x 2 + x − 1 3. ∀x ∈ [ 1;2 ] Xeùt hieäu : 0 ⇒ < dx ∏−x ∏−x ∏ x x 0 2 sin x ∏ sin x ∏ ⇒∫ dx > ∫∏ dx x x 0 2 5. Haøm soá y = f(x) = lnx lieân tuïc treân [1,2] neân y = g(x) = (lnx)2 cuõng lieân tuïc treân [1,2] 1 x 2 ⇒ 0 ln x ln 2 < 1 (*) ⇒ 0 (ln x )2 < ln x 2 2 ∀x ∈ [ 1,2 ] ⇒ ∫ (ln x )2 dx < ∫ ln xdx 1 1 Chuù yù : daáu ñaúng thöùc (*) xaûy ra taïi x0 = 1⊂ [1,2] sin x ∏ ∏ 6. 0 < x < ⇒ 0 < tgx < tg = 1 ⇔
  8. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân Baøi Giaûi: 1. 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x 2 ≤ 1 ⇒ 4 ≤ x 2 + 4 ≤ 5 ⇒ 2 x2 + 4 ≤ 5 1 1 1 1 ⇒ 2 ∫ dx ≤ ∫ x 2 + 4 dx ≤ 5 ∫ dx ⇒ 2 ≤ ∫ x 2 + 4 dx ≤ 5 0 0 0 0 2. 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x 8 ≤ 1 ⇒ 1 ≤ x 8 + 1 ≤ 2 1 1 ⇒ 0 ≤ x8 + 1 ≤ 2 ⇒ ≤1 ≤ 2 x8 + 1 1 1 dx dx 1 1 1 1 ≤1 ∫ dx ≤ ∫ ≤ ∫ dx ⇒ ≤∫ ⇒ 2 2 0 0 0 0 x8 + 1 x8 + 1 3. 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 1 x10 + 1 2 ⇒1 3 x10 + 1 2 3 1 1 25 25 x x 1⇔ x 25 ⇒ 2 2 3 3 3 x +1 10 3 x +110 1 25 1 x 25 1 x 1 1 1 1 x 25 dx x 25 dx ⇒ ∫ ∫ ∫ ∫ ⇒ dx dx 26 2 26 2 3 3 0 03 0 03 x +1 10 x +1 10 x sin x x ;(1) ∀x ∈ [ 0,1] . 4. Tröôùc heát ta chöùng minh : 1 + x sin x 1+ x Giaû söû ta coù : (1). 1 1 1 1 ; ∀x [ 0.1] ⇔ (1) ⇔ 1 − 1− 1 + x sin x 1+ x 1 + x sin x 1 + x ⇔ 1 + x 1 + x.sin x ⇔ x (1 − sin x ) 0 ñuùng ∀x ∈ [ 0,1] x sin x 1 1  1 1 x dx = ∫ 1 − ∫ dx ∫ (1) ⇔  dx   1+ x  0 0 x + x sin x 0 1+ x  1 x .sin x 1 dx ( x − ln 1 + x ) = 1 − ln 2 ⇔∫ Vaäy (1) ñaúng thöùc ñuùng , khi ñoù: 0 1 + x sin x 0 x.sin x 1 ⇒∫ dx 1 − ln 2. 0 1 + x .sin x  1 1 0 < e− x = x e− x sin x 1, 3  ⊂ ( 0, ∏ ) ⇒  1 e⇒0< 2 <  5. x ∈  e e ( x + 1)  x +1 2 0 < sin x < 1  3 e − x sin x 1 3 dx 1 3 dx ⇒0
  9. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân (1 + tg t )dt = 2 ∏ ∏ ∏ ∏ x 1 3 ⇒ Ι = ∫∏ ∫∏ 4 dt = t = 3 3 3 ∏ ∏ ∏ 1 + tg t 2 12 t 4 4 4 4 3 e − x sin x ∏ Vaäy 0 < ∫ dx < x +1 2 12e 1 1⇒ 0 x2 ⇒ − x2 − x3 x3 6. 0 x 0 ⇒ 4 − 2x2 4 − x 2 − x3 4 − x2 ⇒ 4 − 2x2 4 − x2 − x3 4 − x2 1 1 1 ⇒ 4 − 2x2 4− x −x 4 − x2 2 3 1 1 1 1 1 1 ⇒I =∫ ∫ ∫ dx = J dx dx 4 − x2 4 − x2 − x3 4 − 2 x2 0 0 0 Ñaët x = 2sin t ⇒ dx = 2 cos tdt ∏ ∏ ∏ x 0 1 2 cos tdt ⇒I =∫ 6 = ∫ 6 dt = ∏ 4 − ( 2sin t ) 6 2 0 0 t 0 6 Ñaët x = 2 sin t ⇒ dx = 2 cos tdt x 0 1 ∏ t 0 4 ∏ ∏ ∏2 4 2 cos tdt 2 ⇒J =∫ = = 4 ( ) 2 8 0 2 4−2 2 sin t 0 ∏ ∏2 dx 1 ≤∫ ⇒ ≤ 6 8 4 − x 2 − x3 0 Chöùng minh raèng : ∏ ∏6 e −1 ∏ 1 1 − x2 ≤ ∫ 2 1 + sin 2 x .dx ≤ ∫0 e dx 1 3. 1. 2 2 4 e 0 ∏ ∏ ∏ 1 1 sin 2 x 4. 0.88 < ∫ ∫0 2 e dx 2 e dx < 1 2. 1 + x4 2 0 Baøi giaûi : 9
  10. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1.°0 x 1 ⇒ 0 x 2 x 1 ⇒ 0 < e x 2 ex 1 1 e− x (1) 2 ⇔ e− x ⇒ x2 x e e 1( 2 ) °x 2 2 2 e0 = 1 ⇒ e− x 0 ⇒ ex Töø (1) vaø (2) suy ra : e − x 2 e− x 1 e −1 1 1 1 1 ⇒ ∫ e − x dx ∫e ∫0 dx ⇒ e ∫e 2 − x2 − x2 1 dx dx 0 0 0 2 1⇒1 sin 2 x esin x 2. 0 e ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ⇒∫ ∫ e.∫ ∫ 2 2 dx ⇒ 2 2 2 2 esin x dx esin x dx dx e 2 2 0 0 0 0 12 1 1 3 1⇒ 0 ⇒1 1 + sin 2 x sin 2 x 3. 0 sin x 2 2 2 2 ∏ ∏6 ∏ ∏ 3 ∏2 ∏ 1 1 ⇒∫ ∫ ∫0 dx ⇒ 2 ∫ 1 + sin 2 x dx 1 + sin 2 x .dx 2 2 2 dx 2 2 2 4 0 0 0 4. Caùch 1: 1 1 ∀x ∈ ( 0,1) thì x 4 < x 2 ⇒ 1 + x 4 < 1 + x 2 ⇒ > 1+ x 1 + x2 4 ( ) 1 1 1 1 1 ⇒∫ dx > ∫ dx = ln x + 1 + x 2 = ln 1 + 2 > 0,88 0 0 1 + x4 1 + x2 0 1 1 1 Maët khaùc : 1 + x 4 > 1 ⇒ dx > I 1+ x 1+ x 1 + x4 4 2 0 1 1 Vôùi : I = ∫ dx 1 + x2 0 dt = (1 + tg 2t ) dt 1 Ñaët x = tgt ⇒ dx = cos 2 10
  11. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân (1 + tg t ) dt = 2 ∏ ∏ x 0 1 1 I =∫ ∫ 4 4 dt ∏ (1 + tg t ) cos t 0 0 2 t 0 4 ∏ cos t I =∫ 4 dt 1 − sin 2 t 0 ∏ t 0 4 Ñaët u = sin t ⇒ du = cos tdt 1 u 0 2 1− u + u +1 1 1 1 1 1 du 1 1 I =∫ =∫ du = ∫ + 2 2 2 du  (1 − u )(1 + u ) 1− u  1+ u 1− u  2 20 20 0 1 1 1+ u 11 11 1 1 2 =∫2 du + ∫ 2 du = ln 1+ u 1− u 2 1− u 2 2 0 0 0 1 2+ 2 1 1 > 0,88 ⇒ ∫ I= dx > 0,88 ln 2 2− 2 0 1 + x4 1 Maët khaùc :1 + x 4 > 1 ⇒
  12. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân Ta coù :  α α ∫ ∫ 0 x tgx dx xdx  0 0   ∏ ∏ β β 0 < ∫ x tgx dx < ∫ xdx  ⇒ 0 ∫ x tgx dx < ∫ 4 4 xdx α α 0 0  ∏ ∏ 0 ∫ x tgx dx ∫ xdx  4 4   β β ∏ 2 ∏ ⇒ 0 < ∫ 4 x tgx dx < 32 0 α β Chuù yù : (α , β ) ⊂ [ a, b ] thì b b ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f( x ) dx α β a b Tuy nhieân neáu : m M thì : f( x ) b b b b M ∫ dx ⇒ m ( b − a ) M (b − a ) m ∫ dx ∫ ∫ f( x ) dx f( x ) dx a a a a Nhöng (α , β ) ⊂ [ a, b ] thì m ∫ dx < ∫ f( x ) dx < M ∫ f( x ) dx b b b a a a (Ñaây laø phaàn maéc phaûi sai laàm phoå bieán nhaát )Do chöa hieåu heát yù nghóa haøm soá f( x ) chöùa (α , β ) lieân tuïc [ a, b ] maø (α , β ) ⊂ [ a, b ] ) 1 cos nx cos nx cos nx 1 1 1 1 1 ∫0 1 + x dx ∫ dx = ∫ ∫0 1 + x = ln 1 + x 0 = ln 2 2. dx 1+ x 0 1+ x 0 cos nx 1 ∫ ⇒ dx ln 2 0 1+ x  e − x e −1 = 1  e 3⇒ 3. 1 x  sin x 1  1 e− x .sin x e − x .sin x 3 3 3 e dx ∫ ∫ ∫ ⇒ dx dx 1 + x2 1 + x2 1 + x2 1 1 e− x .sin x 1 1 3 3 vôùi I = ∫ ∫ ⇒ dx .I dx 1 + x2 1 + x2 e 1 1 Ñaët x = tgt ⇒ dx = (1 + tg 2t ) dt (1 + tg t )dt = 2 ∏ ∏ ∏ x 1 3 ⇒ Ι = ∫∏ ∫ dt = 3 3 ∏ ∏ 4 1 + tg t ∏ 2 12 t 4 4 3 −x ∏ 3 e .sin x (*) (Caùch 2 xem baøi 4 döôùi ñaây ) ⇒∫ dx 1+ x 12e 1 Ñaúng thöùc xaûy ra khi : 12
  13. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân x = 1  e − x = e −1 ⇒ x ∈ ∅, ∀x ∈ 1, 3  ⇔    sin x = 1 sin x = 1   −x ∏ 3 e .sin x Vaäy : ∫ dx < 1+ x 2 12e 1 Xem laïi chuù yù treân , ñaây laø phaàn sai laàm thöôøng maéc phaûi khoâng ít ngöôøi ñaõ voäi keát luaän ñaúng thöùc (*) ñuùng . Thaät voâ lyù e− x cos x e − x cos x e− x 3 3 3 ∫ ∫ ∫ 4. dx dx dx 1 + x2 1 + x2 1 + x2 1 1 1 Do y = e− x giaûm ⇒ max ( e− x ) = e −1 = 1 e e− x cos x ∏ 1 1 3 3 ;do I baøi 3 ∫ ∫1 1 + x 2 dx = 12e ⇒ dx 1 + x2 e 1 Daáu ñaúng thöùc : x = 1 e− x = e −1 ⇔ x ∈ ∅, ∀x ∈ 1, 3  ⇔    cos x = 1 cos x = 1 e − x cos x ∏ 3 Vaäy ∫ dx < 1+ x 2 12e 1  u = 1 du = − 1 x 2 dx  5. Ñaët  x ⇒ dv = cos xdx v = sin x   200 ∏ 200 ∏ cos x 1 200 ∏ sin x ⇒∫ +∫ dx = sin x dx x2 100 ∏ 100 ∏ x x 100 ∏ 200 ∏ cos x 200 ∏ 1 1 1 200 ∏ ⇒∫ dx ∫ dx = − = x 100 ∏ 200 ∏ 2 100 ∏ 100 ∏ x x 200 ∏ cos x 1 Vaäy ∫ dx 200 ∏ x 100 ∏ Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöong phaùp ñaïo haøm . 13
  14. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân ex 1 e 1⇒1 e⇒ ex 6. 0 x (1 + x ) (1 + x ) (1 + x ) n n n ex 1 1 1 1 1 ⇒∫ ∫ (1 + x ) e∫ dx dx dx (1 + x ) (1 + x ) n n n 0 0 0 1− n 1 1− n 1 ( x + 1) ( x + 1) ex 1 ∫ (1 + x ) ⇔ dx e. 1− n 1− n n 0 0 0 1 1 x e 1 e 1 Vaäy : ∫ (1 + x ) 1 − n −1  1 − n −1  ; n > 1 dx n −1  2  n −1 2  n 0 Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp nhò thöùc Newton . Chöùng minh raèng : neáu f(x) vaø g(x) laø 2 haøm soá lieân tuïc vaø x xaùc ñònh treân [a,b] , thì ta coù : ) (∫ 2 b b b ∫ f 2( x ) dx . ∫ g 2( x ) dx f ( x ) .g( x ) .dx a a a Caùch 1 : ( ) Cho caùc soá α1 , tuyø yù i ∈ 1, n ta coù : (α + α 2 2 + ... + α 2 n ) ( β 21 + β 2 2 + ... + β 2 n ) (α1β1 + α 2 β 2 + ... + α n β n ) (1) 2 1 α α1 α 2 Ñaúng thöùc (1) xaûy ra khi : = = ... n β1 β 2 βn Thaät vaäy : phaân hoaïch [a,b] thaønh n ñoaïn nhoû baèng nhau bôûi caùc ñieåm chia : a = x0 < x1 < x2 < ….
  15. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân ) (∫ 2 b b b Töø (5) ⇒ ∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx f ( x).g ( x)dx a a a Caùch 2 : ∀t ∈ R + ta coù : 0 [tf ( x) − g ( x) ] = t 2 f 2 ( x) − 2.t. f ( x).g ( x) + g 2 ( x) 2 b b b ⇒ h(t ) = t 2 ∫ f 2 ( x)dx − 2t ∫ f ( x).g ( x)dx + ∫ g 2 ( x)dx 0 a a a h(t) laø 1 tam thöùc baäc 2 luoân khoâng aâm neân caàn phaûi coù ñieàu kieän :   ah = t > 0 2 ⇔ ∆ 'h 0  ∆ h 0  2 ⇔  ∫ f ( x).g ( x)dx  − ∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx ≤ 0 b b b a    a a ) (∫ 2 b b b ∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx ⇒ f ( x).g ( x)dx a a a Chöùng minh raèng :  1 (e − 1)  e x −  x 5 3. e x − 1 < ∫ e2 t + e− t dt < 1 x 1. ∫ 1 + x3 dx <  2 0 2 0 3∏ 3cos x − 4sin x 5∏ 1 1 2. ∫ esin 2 dx > ∫ x 4. dx 1 + x2 2 0 4 0 Baøi giaûi : ) (∫ 2 b b b 1. Ta coù : f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx ( ñaõ chöùng minh baøi tröôùc ) ∫ f ( x).g ( x)dx a a a b b b ∫ ∫ ∫ ⇒ f 2 ( x)dx . g 2 ( x)dx f ( x).g ( x)dx a a a (1 + x ) . (1 − x + x 2 ) = (1 + x ) . (1 − x + x ) 1 + x3 = 2 (1 − x + x ) dx < ∫ (1 + x ) dx ∫ ( x − x + 1) dx 1 1 1 1 (1 + x ) ⇒ ∫ 1 + x3 dx = ∫ 2 2 0 0 0 0 1 1  x3 x 2   x2  5 1 ∫ 1 + x3 dx <  + x  + x =  − 3  2 2 0 0 2  0 5 1 ⇒ ∫ 1 + x3 dx < 2 0 ∏ ∏ ∏ 2. ∫ esin dx = ∫ dx + ∫ 2 2 2 2 x esin x esin x 2 dx 0 0 0 ∏ ∏ x x 2 Ñaët t = + t ⇒ dx = dt ∏ 2 t 0 2 15
  16. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân ( ) dt sin 2 ∏ + t ∏ ∏ ∏ ⇒ ∫ esin dx = ∫ 2 esin x dx + ∫ 2 2 x 2 2 e 0 0 0 ∏ ∏ ∏ =∫ dx + ∫ ecos x dx = 2∫ 2 2 2 2 2 2 esin x esin x dx 0 0 0 2 2 ∏ ∏    sin 2 x cos 2 x Ta laïi coù  ∫ edx  =  ∫ 2 e 2 .e 2 2 dx  0  0  ∏ ∏ 2 2 =∏ e ; e >  e  2 2 0 0 3 ∏ ⇒ ∫ esin x dx > 2 2 0 Chuù yù : baøi naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm . x x t 3. ∫ e 2t + e − t dt = ∫ e et + e−2t dt 2 0 0 ) (∫ 2 ∫ e dt ∫ ( e + e −2t )dt x t t t et + e−2t dt t t 2 e 0 0 0 vi ( ∫ f ( x).g ( x)dx ) 2 b b b ∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx a a a ⇒ ( ∫ e + e dt )    x 1 2 (e − 1)  e x − − 2 x  < ( e − 1)  e −  11 x −t 2t x x    2 2e o  1 (e − 1)  e x −  (1) 1 ⇒∫ e 2t + e − t dt x  2 0 Maët khaùc : e 2t + e − t > et ; ∀0 < t < x x x ⇒∫ e2t + e− t dt > ∫ et dt = e x − 1 (2) 0 0  1 (e − 1)  e x −  x Töø (1) vaø (2) suy ra : e x − 1 < ∫ e 2t + e − t dt < x  2 0 3cos x − 4sin x 1 32 + ( −4 )2  sin 2 x + cos 2 x  = 5 4.   x2 + 1  1 + x2 1 + x2 3cos x − 4sin x 3cos x − 4sin x 1 1 1 1 ∫ ∫ 5∫ ⇒ dx dx dx 1 + x2 1 + x2 1 + x2 0 0 0 Ñaët x = tgt ⇒ dx = (1 + tg 2t ) dt 16
  17. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1 (1 + tg t ) 2 ∏ x 0 1 1 1 1 ⇒∫ dx = ∫ dt = ∫ dt = ∏ 0 1+ x 0 1 + tg t 2 2 4 0 t 0 4 1 3cos x − 4sin x 5∏ ⇒ 4. ∫ dx 1+ x 2 4 0 Chöùng minh baát ñaúng thöùc tích phaân baèng phöông phaùp ñaïo haøm. Chöùng minh raèng : ∫( )( ) ∏ ∏2 ∏ 11 ∫ ( sin x + cos x )dx x+7 + 11 − x dx 4 1. 54 2 108 −7 4 4 0 2. 0 < ∫ x (1 − x 2 )dx < 4 3∏ 1 e 4. ∫ esin x dx > 2 27 0 2 0 Baøi giaûi : ( )( ) 11 − x ; x ∈ [ −7,11] 1. Xeùt f ( x ) = x+7 + 11 − x − x + 7 f '( x) = ⇒ f '( x) = 0 ⇔ x = 2 2 11 − x x + 7 x -7 2 11 f’(x) + 0 - f(x) 6 րց 32 32 11 11 11 f ( x) f ( x ) dx 6 ⇒ 3 2 ∫ dx ∫ 6 ∫ dx ⇒3 2 −7 −7 −7 ∫( ) 11 ⇒ 54 2 x + 7 + 11 − x dx 108 −7 2. Xeùt haøm soá : f(x) = x(1-x2) ; ∀x ∈ [ 0,1] ⇒ f ' ( x) = 3x 2 - 4 x + 1 1 ⇒ f’(x)=0 ⇔ x = ∨ x =1 3 x -∞ 0 1 +∞ 1 3 f’(x) + 0 - f(x) 4 27 րց 0 0 17
  18. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 4 ⇒0 f ( x) 27 ( )( ) ∃x ∈ 0, 1 ; 1 , 0 ⇒ 0 < f < 4  3 3 27 ( x) va   f (0) = f (1) = 0  41 4 1 1 ⇒ 0 < ∫ f ( x)dx < ∫0 dx ⇒ 0 < ∫0 f ( x)dx < 27 27 0 3. Xeùt haøm soá : ∏  ∏  f ( x) = sin x + cos x = 2 sin  x +  ; x ∈ 0,   4  4 ∏  ∏  f ' ( x) = 2 cos  x +  0 , ∀x ∈  0,   4  4  ∏ ⇒ f(x) laø haøm soá taêng ∀x ∈ 0,  ⇒ f ( 0) f( x ) f ∏ ( 4)  4 ∏ ∏2 ∏ ∫0 ( sin x + cos x )dx 4 ⇒ 1 sin x + cos x 2⇒ 4 4 4. Nhaän xeùt ∀x > 0 thì e x > 1 + x ( ñaây laø baøi taäp Sgk phaàn chöùng minh baát ñaúng thöùc baèng pp ñaïo haøm) Xeùt f (t ) = et − 1 − t ; t 0 ⇒ f '(t ) = et − 1 > 0 ; ∀t > 0 ⇒ haøm soá f(t) ñoàng bieán ∀t 0 Vì x > 0 neân f(x) > f(0) = 0 ⇒ e x − 1 − x > 0 ⇔ e x > 1 + x (1) Do vaäy : ∀x ∈ ( 0, ∏ ) thi esin ( do(1) ) 2 > 1 + sin 2 x x 1 − cos 2 x ⇒ ∫ esin x dx > ∫ (1 + sin 2 x )dx = ∏ + ∫ ∏ ∏ ∏ 2 dx 2 0 0 0 3∏ ∏ ⇒ ∫ esin x dx > 2 2 0 Chöùng minh raèng : ∏ 2 x 1 3 3 cot gx 1 2 ∫1 x2 + 1dx 2 ∫∏ 6 x dx 3 1. 4. 5 12 ∏ 3 3 sin x 1 2 1 1 1 5. < ∫ ∫∏ 4 x dx 2 dx < 2. 3 0 2 + x − x2 4 2 ( ) ∏3 2∏ 3 1 1 ∏ 6. 2 4 2 < ∫ 1 + x + 4 1 − x dx < 4 ∫ 4 3. dx −1 cos x + cos x + 1 3 3 2 0 Baøi giaûi : 18
  19. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1 − x2 x 0 ; ∀x ∈ [1, 2] ; x ∈ [1, 2] . coù f '( x ) = 1. Xeùt : f ( x ) = (1 + x 2 ) x +1 2 2 ⇒ haøm soá nghòch bieán ∀x ∈ [1, 2] ⇒ f( 2) f( x ) f (1) 2 22 x 1 x 12 2 ⇒ ∫ dx ∫ 2 ∫1 ⇒ dx dx 5 x +1 2 51 x +1 2 2 1 2 x 1 2 ∫1 x 2 + 1 2 ⇒ 5 ∏ ∏ x.cos x − sin x sin x 2. Xeùt f ( x ) = ; ∀x ∈  ;  ⇒ f '( x ) = x2 6 3 x ∏ ∏  Ñaët Z = x.cos x − sin x ⇒ Z ' = − x x < 0 ; ∀x ∈  ;  6 3 ∏ ∏  ⇒ Z ñoàng bieán treân ∀x ∈  ;  vaø : 6 3 ∏ −3 3 ∏ ∏ Z Z∏ = < 0 ; ∀x ∈  ;  ( 3) 6 3 6 ∏ ∏  ⇒ f '( x ) < 0 ; ∀x ∈  ;  6 3 x -∞ +∞ ∏ ∏ 6 3 f’(x) − ∏ f(x) 3 ց 33 2∏ 33 3 ⇒ f( X ) 2∏ ∏ 33 sin x 3 hay : 2∏ ∏ x 3 ∏3 3 3 ∏3 ∏ ∏ sin x 3 sin x 1 2 ∏ ∫∏ 6 ∫ ∫∏ 6 dx ⇒ 4 ∫ ⇒ 3 3 dx dx dx ∏ ∏ ∏ x x 2 6 6 3. Ñaët t = cos x ; x ∈ [ 0, ∏ ] ⇒ t ∈ [ −1,1] vaø f (t ) = t 2 + t + 1; t ∈ [ −1,1] 19
  20. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1 f '(t ) = 2t + 1; f '( t ) = 0 ⇔ t = − 2 t - ∞ -1 1 +∞ −1 2 f’(t) 0 + − f(t) 1 3 ց ր 3 4 3 3 ; ∀t ∈ [ −1,1] ⇒ f(t ) 4 3 cos 2 x + cos x + 1 3 ; ∀x ∈ [ 0, ∏ ] ⇒ 4 1 3 1 2 cos 2 x + cos x + 1 ⇒ hay 3 3 cos 2 x + cos x + 1 2 3 1∏ 1 2∏ ∏ ∫ dx ∫ ∫ dx ⇒ dx cos x + cos x + 1 2 30 0 30 ∏3 2∏ 3 1 ∏ ∫ ⇒ dx cos x + cos x + 1 3 3 2 0 Chuù yù : thöïc chaát baát ñaúng thöùc treân phaûi laø : ∏3 2∏ 3 1 ∏ (hoïc sinh töï giaûi thích vì sao)

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