Phần 1: Lý thuyết-Đạo hàm riêng đạo hàm hợp đạo hàm ẩn

Chia sẻ: Huỳnh Quốc Thắng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

996
lượt xem 93
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tổng hợp lý thuyết nội dung cơ bản của đạo hàm

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phần 1: Lý thuyết-Đạo hàm riêng đạo hàm hợp đạo hàm ẩn

PHẦN I LÝ THUYẾT ĐẠO HÀM RIÊNG ĐẠO HÀM HỢP ĐẠO HÀM ẨN ĐẠO HÀM RIÊNG Coi hàm z=z(x,y)xác định và liên tục tại M0(x0,y0)nếu cho biến y=y0 không đổi,lúc này hàm z(x,y) là hàm một biến theo x và ta có thể lấy đạo hàm 1 biến (đã biết) theo biến x z ( x 0  x, y0 )  z ( x0 , y0 ) '  z x ( x0 , y0 ) lim x x  0 z Và ta kí hiệu là đạo hàm riêng theo biến x ' zx  x z Tương tự ta định nghĩa đạo hàm riêng theo biến y: z 'y  y Ví dụ z  xy 2  y  z x  y 2 , z 'y  2 xy  1 ' ĐẠO HÀM RIÊNG BẬC CAO a-đạo hàm hỗn hợp Lấy đạo hàm theo biến x của hàm z 'y ( x, y ) ta được z 'yx ( x, y ) là đạo hàm 2 lần theo ' z xy ( x, y ) và z 'yx ( x, y ) có khác nhau biến y trước rồi tới biến x sau.Vậy thì giữa '' ' không? Định lý (Schwarz) Giả sử zx' , z y , z xy tồn tại lien tục thì có z 'yx và z xy  z ''yx ' '' ' '' Ví dụ f  x 3 y 4  f xy  12 x 2 y 3 , f yx  12 x 2 y 3 '' '' b-tương tự ta có thể lấy đạo hàm cấp n theo biến x,cấp m theo biến y kí hiệu  n  m ! cách biểu diễn f n m là f xn m và có tất cả nm nm y xy n !m ! 1
ĐẠO HÀM HỢP t  (t1 ,..., tm )  R m , x  ( x1 ,..., xm )  R m , z  z ( x)  z ( x1 ,..., xn )  R R m  t  x  x (t )  g (t )  R n ta có đạo hàm hợp của z0g(t) như sau: zt'1  z x1 ( x1 )'t1  z x2 ( x2 )'t1  ...  z xn ( xn )t'1 ' ' ' zt'2  z x1 ( x1 )t' 2  z x2 ( x2 )t' 2  ...  zxn ( xn )'t2 ' ' ' ......................................................... zt'm  z x1 ( x1 )t' m  z x2 ( x2 )t' m  ...  zxn ( xn )'tm ' ' ' Ta có thể viết đạo hàm hợp của z0g(t)dưới dạng ma trận như sau: M 1m  ( z0 g )  ( z )  ( g )  M1n  M nm  M 1m  ( x1 )t' m   ( x1 )t'1 ( x1 )t'1    ( x2 )t' m  ' ( x2 )t' 2 ( x )  z xn   2 t1  zt'n    z x1  zt'1 zt'2 ' ' ' z x2          ( xn )t' m   ( xn )t' ( xn )t' 2   1 Ví dụ z  z ( x )  z ( x1 , x2 )  x12  x2 , ( x1 , x2 )  (3t1  t2 , t12  t2 ) 3 2 4 Tính zt'1 , zt'2  ( x1 )t'1 ( x1 )t' 2  2t2  3 2  zt'1 zt'2    z x1 ' ' z x2      2 x1 3 x2   4t2  ( x2 )'t2    2t    ( x )' 3  2 t1 1    zt'1  z x1 ( x1 )'t1  z x2 ( x2 )'t1  2 x1  3  (3x2 )  2t1  18t1  6t2  6(t12  t2 )2 ' ' 2 2 4 zt'2  z x1 ( x1 )'t2  z x2 ( x2 )'t2  2 x1  2t2  (3x2 )  4t2  4(3t1  t2 )t2  12(t12  t2 )2 t2 ' ' 2 3 2 4 3 Chú ý: '' ''' Các công thức về các đạo hàm bậc cao hỗn hợp như zuv , zv2u ,... rất khó biễu diễn bằng công thức tổng quát ,nhưng trong bài toán cụ thể ta có thể chuyển biến x,y về biến u,v sau đó lấy đạo hàm theo biến u,v. 2
Câu 1: Tìm vi phân cấp 1 của hàm z=x2+4y ' zx  2 x z y  4 y ln 4 '  dz  2 xdx  4 y ln 4dy Câu 2:Tìm vi phân cấp 1 của hàm z  ln( x  y ) 1 ' zx  2( x  y ) 1 z 'y  2( x  y ) dx  dy 1 1  dz  dx  dy  2( x  y ) 2( x  y ) 2( x  y ) Câu 10:tìm vi phân cấp 2 d2z của hàm hai biến z=x2+xcos2y z x  2 x  cos 2 y, z x2  2 ' '' z 'y   x sin 2 y, z ''y 2  2 x cos 2 y ' z xy   sin 2 y  d 2 z  2dx 2  2sin 2 ydxdy  2 x cos 2 ydy 2 Câu 11:Tìm vi phân cấp 2 của hàm hai biến:z=x2y3 z x  2 xy 3 , z x2  2 y 3 ' '' z 'y  3x 2 y 2 , z y 2  6 x 2 y '' z xy  6 xy 2 ' dz 2  2 y 3 dx 2  12 xy 2 dxdy  6 x 2 ydy 2 Câu 41 Tìm cực trị của hàm z  x 2 ( y  1)  3x  2 với điều kiện x-y+1=0 3
L  x 2 ( y  1)  3x  2   ( x  y  1)  0 x  1  y2  L'x  2 x ( y  1)  3    0      1 '  Ly  x 2    0     x  1 '  y  0  L  x  y  1     1   M 1 (1, 0), M 2 (1, 2) Tại M1(-1,0) L''x2  2, L''y 2  0, L''xy  2  dz 2  2dx 2  4dxdy Mà : x  y 1  0  dx  dy  dz 2  2dx 2  4dxdx  6dx 2  0 Vậy tại M1(-1,0) hàm số đạt cực đại Tại M2(1,2) L''x2  0, L''y 2  0, L''xy  2  dz 2  4dxdy Mà : x  y 1  0  dx  dy  dz 2  4dxdx  4dx 2  0 Vậy tại M2(1,2)hàm số đạt cực tiểu Câu 42:Tìm cực trị của hàm z  2 x 2  y 2  2 y  2 với điều kiện  x  y  1  0 L  2 x 2  y 2  2 y  2   ( x  y  1)  0 4
2  x  3 ' L  4 x    0  x ' 1   Ly  2 y  2    0   y  3 '  L   x  y  1  0  8    3  2 1  M( ; ) 33 Ta có: L''x2  4, L''y2  2, L''xy  0  dz 2  4dx 2  2dy 2 Mà x  y  1  0  dx  dy  dz 2  4dx 2  2dx 2  6dx 2  0 2 1 Vậy tại M ( ; ) hàm số đạt cực tiểu 33 PHẦN II TÍCH PHÂN BỘI Câu 50:Xác định cận của tích phân I   f ( x, y )dxdy trong đó D là miền giới hạn bỡi các D 2 đường y  x  2, y  3 x Phương trình hoành độ giao điểm x  1 x 2  2  3x   x  2 Trong đoạn [1;2] ta có y=3x > y=x2+2 do đó: 2 3x I   f ( x, y )dxdy   dx f ( x, y )dy  x2  2 D 1 5
Câu 51 Xác định cận của tích phân I   f ( x, y )dxdy trong đó D là miền giới hạn bỡi các D đường x=3;x=5;3x-2y+4=0;3x-2y+1=0 Ta có 3x  4 3x  1 y1  , y2  2 2 3x  4 3 x  1 y1  y2   1.5  0  y1  y2  2 2 3x4 5 2 Do đó I   f ( x, y )dxdy   dx f ( x, y )dy  3 x 1 D 3 2 Câu 52:Xác định cận của tích phân I   f ( x, y )dxdy trong đó D là miền giới hạn bỡi các D 2 2 đường D : x  y  1, x  0, y  0 Ta có: y   1  x 2 vì x  0, y  0 nên 1 x 2 1 I   f ( x, y )dxdy   dx f ( x, y )dy  D 0 0 x2 2 Câu 60 Đổi thứ tự tích phân I   dx  f ( x, y )dy 1 1 Ta có x  1  x1  1  y1  1  y1  1  & &   2 2  x2  2  y2  x  y2  x  4  x  y  x2 y 2 4 Vậy I   dx  f ( x, y )dy   dy  f ( x, y )dx 1 1 1 1 2 4 x Câu 61 Đổi thứ tự tích phân I   dx  f ( x, y )dy 1 2 Ta có 6
 x1  1  y1  2  y1  2  x1  1  & &   x2  2  y2  4  x  y2  3  x2  4  y 4 y 2 4 x 3 Vậy I   dx  f ( x, y )dy   dy f ( x, y )dx  1 2 2 1 x3 1 Câu 62:Đổi thứ tự tích phân I   dx  f ( x, y )dy 0 0 Ta có  y  0  x1  0  x1  0  y1  0   1 & &  3  x2  1  y2  x  y2  1  x2  3 y  x3 3 y 1 1 Vậy I   dx  f ( x, y )dy   dy  f ( x, y )dx 0 0 0 0 y2 1 Câu 80:Tính tích phân I   dy  3 y 2 e xy dx 0 0 y2 y2 1 1 1 1   3 3 2 xy 2 xy   (3 y 2 e y  3 y 2 )dx  e y  y 3 I   dy  3 y e dx   3 y e e2 0 0 0 0 0 0 1 2x Câu 81 Tính tích phân I   dx  3( x  y )dy 0 0 1 2x 1 1 y2 1 )dx  3 4 x 2 dx  4 x 3  4 I   dx  3( x  y )dy  3 ( xy  2 0 0 0 0 0  x Câu 82 Tính tích phân I   dx  3 x sin ydy 0 0 x    x 3 2 I   dx  3 x sin ydy   3 x cos y dx    (3x cos x  3x )dx   I1 2 0 0 0 0 0    Tính I1 I1   3 x cos xdx  3 x s inx   3sin xdx  6 0 0 0 7
3 2 I 6 2 x Câu 90 Tính tích phân I   ln ydxdy trong đó D là hình chữ nhật 0  x  2,1  y  e y D 2 e x ln y e 2 dy  x 0 ln 2 y  2 I   ln ydxdy   xdx  y y 1 D 0 1 Câu 91 Tính tích phân I   sin 5 x cos10 ydxdy trong đó D là là hình chữ nhật D  0  x  2 ; 0  y  4  2 4 I   sin 5 x cos10 ydxdy  2 2 10  (1  cos x) sin xdx  cos ydy D 0 0 2 2 2 Vì tích phân sin xdx =0 nên I=0  (1  cos x) 0 Câu 92 Tính tích phân I   e x  y dxdy trong đó D là hình vuông 0  x  1; 0  y  1 D 1 1 1 1 dx   (e x1  e x )dx   e x 1  e x   e2  e  e  1  (e  1) 2 x y x y I   e dxdy   e 0 D 0 0 0 Câu 100 tính tích phân I    x  y dxdy trong đó D là miền được giới hạn bỡi các đường D x=-1,x=0,y=0,y=2 2 02 0 0 y2   I    x  y dxdy    ( x  y )dxdy    xy   dx   (2 x  2)dx  1 2 0 1  D 1 0 1 Câu 101 Tính tích phân I   dxdy trong đó D là miền định bỡi D: 0  x  a; 0  y  x D a a x a 23 23 xdx  x 2  I   dxdy   dx  dy   a 303 D 0 0 0 8
y Câu 102 tính tích phân I   dxdy trong đó D là miền định bỡi D: 2  x  4; x  y  2 x x D 2x 4 2x 4 4 1  y2  y y 3 34 dxdy    dxdy     dx   xdx  x 2  9 I   x x x 2 x 2 42 D 2x 2 2 y Câu 110 Tính tích phân I   e x dxdy trong đó D là tam giác giới hạn bỡi các đường D x=1,y=0,y=x x 1x 1 1 y y  y e 1 I   e dxdy    e dxdy   x  e x  dx    xe  x  dx  x x 2 0 0 D 00 0 Câu 111 Tính tích phân I   xdxdy trong đó D là tam giác với các đỉnh D O(0;0);A(1;0);B(1;0) 1 1 1 x 1  x2 x3  1 xdxdy   x(1  x )dx      với y=1-x là phương trình AB I   xdxdy     2 3 0 6 D 00 0 Câu 112 tính tích phân I   2 xydxdy trong đó D là miền giới hạn bỡi đường thẳng y=x D và parabol y  x  x1  0 Phương trình hoành độ giao điểm x  x    x2  1 Mặt khác trên đoạn [0;1] đường y  x nằm trên đường y  x nên ta có tích phân: x 1 x 1 1 1  y2  x  x2 1 )dx    x 2  x3 dx  I   2 xydxdy   2 xydxdy   2 x   dx   2 x(   2 x 2 12 D 0x 0 0 0 1 y 2 1 ( x 2  y 2 )dy Câu 120 Tính tích phân I   dx  0 0 1 Vì tích phân được giới hạn bỡi đường tròn thuộc góc phần tư thư nhất nên ta đặt 4 9
 x  rcos   J  r , 0  r  1, 0      y  r sin  2  1 y 2 1 1 2  ( x 2  y 2 )dy   d  r 2rdr  I   dx  8 0 0 0 0 Câu 121 Tính tích phân bội 2 I   x 2  y 2 dxdy trong đó D là phần hình tròn D 2 2 x  y  4 thuộc góc phần tư thứ nhất  x  r cos   Đặt:   J  r ; 0  r  2; 0     y  r sin  2 2   2 3 2 2 r  4 I   x 2  y 2 dxdy   d  rrdr     d  3 0 3 0 D 0 0 4 x2 2 Câu 122 Tính tích phân I   dx dy  0 2  4 x Tích phân được giới hạn bỡi đường tròn x 2  y 2  4 nên đặt :  x  r cos       J  r ; 0  r  2;   y  r sin  2 2  4 x2 2 2 2  d  rdr  2 I   dx dy    0 0  4 x 2 2 Câu 130 Tính diện tích của miền giới hạn bỡi các đường y  x 2  2 x  1; x  y  1  0 Hoành độ giao điểm  x1  1   x2  0 Dựa vào đồ thị ta có 10
0 x 1 0 1 dy   ( x 2  x)dx  S   dx  6 x 2  2 x 1 1 1 Câu 131 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bỡi các đường y  x  x; y  2 x Hoành độ giao điểm  x1  0   x2  1 dựa vào đồ thị ta có 1 1 2x 1  x2 2 3  1   S   dx dy   x  x dx    x  2 3 0 6 0 0 x x 11
Câu 132 Tính diện tích của hình Phẳng giới hạn bỡi các đường y  e x  x; y  e  x  x; x  1  x1  0 Hoành độ giao điểm   x2  1 Dựa vào đồ thị ta có ex  x 1 1 1 dy    e x  e  x dx  e  2  S   dx  e e x  x 0 0 TÍCH PHÂN BỘI 3 Câu 140 Xác định cận của tích phân  f ( x, y, z )dxdydz trong đó Ω là miền giới hạn bỡi  các mặt x=1;y=2;z=1;z=2;x=0;y=0 1 2 2 I   f ( x, y , z )dxdydz   dx  dy  f ( x, y, z )dz  0 0 1 12
Câu 142 xét tích phân bội ba  f ( x, y, z )dxdydz trong đó Ω là miền trong không gian được  giới hạn bỡi các mặt x  0; x  1; y  0; y  1; z  0; z  x 2  y 2 x2  y2 1 1 I   f ( x, y , z )dxdydz   dx  dy f ( x, y , z )dz   0 0 0 Câu 150 tính tích phân bội 3  x sin 2 ydxdydz trong đó Ω là miền:   0  x  1; 0  y  ;0  z  2 2   1 2 2 2 2 I   x sin 2 ydxdydz   dx  dy  x sin 2 ydz   xdx  2sin 2 ydy  1  0 0 0 0 0 Câu 151 Tính tích phân bội ba  xye z dxdydz trong đó Ω là miền:  0  x  1; 0  y  2; 0  z  ln 3 1 2 ln 3 I   xye z dxdydz   xdx  ydy  e z dz  3  0 0 0 Câu 160 Tính tích phân I   xy cos zdxdydz trong đó Ω là hình hộp   0  x  1; 0  y  2; 0  z  2 1  2 1 2  x   y2  2 2  I   xy cos zdxdydz   xdx  ydy  cos zdz       sin z  02  1  2 0 2 0  0 0 0 Câu 161:Tính tích phân I   x( y 2  1)tgzdxdydz trong đó miền Ω   1  x  1; 0  y  2;0  z  4 1  2 1 2  x   y3 2 4   I   x( y  1)tgzdxdydz   xdx   y  1  tgzdz       y   ln(cos z )  0  0 2 2 4  2  1  3 0  1 0 0 13
Câu 170 Cho Ω là phần hình trụ x 2  y 2  1;1  z  4 Đặt: I   f ( x, y, z )dxdydz Chuyển sang tọa độ trụ và xác định cận tích phân   x  r cos   Đặt:  y  r sin   0    2 ; 0  r  1;1  z  4 z  z  2 1 4  d  rdr  f (rcos , r sin  , z )dz I   f ( x, y , z )dxdydz   0 0 1 Câu 171 Chuyển tích phân sau sang tọa độ trụ và xác định cận tích phân I   f ( x, y, z )dxdydz trong đó Ω là miền giới hạn bỡi các mặt  x 2  y 2  2 x, z  x 2  y 2 , z  0  x  r cos        ; 0  r  2cos ; 0  z  r 2 Đặt:  y  r sin   J  r; 2 2 z  z  x2  y 2  r2   r2 2 cos 2  d  rdr  f (rcos , r sin  , z )dz I   f ( x, y , z )dxdydz    0 0 2 Câu 172 Chuyển tích phân sau sang tọa độ trụ và xác định cận tích phân I   f ( x 2  y 2 , z )dxdydz ; trong đó Ω là phần chung cua hai hình cầu  2 x  y 2  z 2  R 2 , x2  y 2   z  R   R 2 2 Ta có z1  R 2  ( x 2  y 2 ) và z2  R 2  ( x 2  y 2 )  R Dựa vào đồ thị ta tính được 14
R2 3 r  R2  R  4 2 Đặt:  x  r cos  3  R; R 2  r 2  z  R 2  R 2  r 2  y  r sin   J  r ; 0    2 ; 0  r  2 z  z  3 R R2 r 2 2 2 2 2 f (r 2 , z )dz  d  I   f ( x  y , z )dxdydz  rdr   0 0 R  R2  r2 Câu 180 Gọi V là thể tích miền Ω phần nằm trong mặt nón z  x 2  y 2 được giới hạn bỡi mặt cầu x 2  y 2  z 2  a 2  x   sin  cos z  Đặt  y   sin  sin   J   2 sin  ; 0    2 ; 0    arc cos  ; 0    a 4  z   cos    2 a 4 2  d  sin  d   d  V  0 0 0 Câu 181 gọi V là thể tích miền Ω được giới hạn bỡi các mặt x 2  y 2  z 2  a 2 ; x 2  y 2  z 2  b 2 (0  a  b); z  x 2  y 2  x   sin  cos z  2  y   sin  sin   J   sin  ; 0    2 ; 0    arc cos  ; a    b 4  z   cos   15
 2 b 4 2  d  sin  d   d  V  a 0 0 Câu 182 Tính thể tích V của vật thể Ω: 0  x  1; 0  y  2 x; 0  z  y 2x 1 y 1 2x 1 2x 1  y2   2 x3  2 V   dx  dy  dz   dx  ydy     dx    2 0  3 0 3 0 0 0 0 0 0 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Câu 190 Tính tích phân đường I   ( x  y )dl trong đó C có phương trình x+y=1, 0  x  1 . C ds  1  y ' 2 ( x)dx  1  (1) 2  2dx 1 I   ( x  y )dl   ( x  (1  x)) 2dx  0 C 0 Câu 192 Tính tích phân đường I   x 5 y 2 dl trong đó C có phương trình y=x, 0  x  a C ds  1  y ' 2 ( x )dx  2dx a 28 I   x 5 y 2 dl   x5 x 2 2dx  a 8 C 0 Câu 201 Tính tích phân đường I   (2 x  3 y 2 )dl trong đó C là đoạn thẳng nối các điểm C A(0,0) và B(1,1) Phương trình AB:y=x ds  1  y ' 2 ( x )dx  2dx 1 I   (2 x  3 y )dl   (2 x  3x 2 ) 2dx  2 2 2 C 0 16
Câu 212 Tính tích phân đường I   xydl trong đó L là đường biên của tam giác với các L đỉnh A(-1,0),B(0,1) và C(1,0). 0 1 1111 I   xydl  xydl  xydl   xydl  1 x(1  x)dx   x(1  x)dx  0   2  3  2  3  0   L AB BC AC 0 Câu 220:Tính khối lượng M của đoạn thẳng AB với A(-2,0);B(0,-2) và tỉ số tuyến tính là  ( x, y )  ( x  y ) 2 Phương trình AB y=-x-2 0 2   ( x, y)ds   ( x  ( x  2)) 2dx  8 2 M AB 2 Câu 221: Tính khối lượng M của đoạn thẳng AB trong đó AB là phần đường thẳng 1 x+y=a(a>0) được giới hạn bỡi các trục tọa độ và có tỉ khối tuyến tính là  ( x, y )  x y a 1   ( x, y)ds   M 2dx  2 xa x AB 0 Câu 222 Cho điểm A(0,1) và B(1,1) tính tích phân đường 3  1)dx  (2 xy  4 y 3  1)dy I  (2 xy  4 x AB Lấy theo đường y=1 đi từ điểm A đển B y=1 nên dy=0dx 1 (2 xy  4 x3  1)dx  (2 xy  4 y 3  1)dy   (2 x  4 x 3  1)dx  3 I  AB 0 2 Câu 230 Tính tích phân đường loại 2 I   1)dy ở đây OA là cung  x(4 y  1)dx  2( x OA x2 parabol y  từ O(0,0) đến A(2,1) 4 xdx Ta có dy  2 17
2 x2 xdx 2  1)dx  2( x 2  1) I x (4 y  1)dx  2( x  1)dy   x(4 0  4 2 OA 0 2  y )dx  2( x 2  y )dy lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0,0) đến Câu 232 Tính I   4 x( x OA A(2,1). x dx Phương trình OA: y   dy  2 2 2 2 x x dx x  I   4 x( x  y )dx  2( x  y )dy   4 x ( x  )dx  2( x 2  )   (4 x 3  3x 2  )dx  9 2 2 2 2 22 0 2 OA 0 y  2 x 2  1 từ A(0,1) đến Câu 240 Tính tích phân đường I   ydx  xdy lấy theo đường AB B(1,3) Ta có dy  4 xdx 1 1 ydx  xdy   (2 x 2  1)dx  4 x 2 dx   (6 x 2  1)dx  4 I  AB 0 0 Câu 241 Cho I   ( x 2  y 2 )dx  ( x  y )2 dy ,trong đó C là biên của hình tròn D.  C P  ( x 2  y 2 )  Py'  2 y Q  ( x  y )2  Qx'  2( x  y ) Áp dụng công thức GREEN ta có I   ( x 2  y 2 )dx  ( x  y )2 dy   (Qx  Py' )dxdy   2 xdxdy '  C D D x2  y 2  1 tính tích phân đường loại hai: Câu 250 cho C là elip 16 I   (3 y  4 cos x)dx  (4 x  5cos y )dy  C P=3y-4cosx;Q=4x+5cosy 18
I   (3 y  4 cos x)dx  (4 x  5cos y )dy   (Qx'  Py' )dxdy   dxdy C C C  x  4r cos  Đặt   J  4r ;0  r  1, 0  2  y  r sin  2 1  d  4rdr  4 I 0 0 Câu 251 cho C là hình tròn ( x  1)2  ( y  2)2  4 Tính tích phân đường loại hai I   e y dx  x (2  e y )dy C P  e y , Q  x(2  e y )  I   (Qx  Py' )dxdy   2dxdy ' C C  x  1  r cos  Đặt  ; 0     , 0  r  2, J  r  y  2  r sin   2  I  2  d  rdr  4 0 0 ( 2,3) Câu 262 Tính tích phân đường I  ydx  xdy  ( 1,2) x 7 Phương trình AB y   3 3 ( 2,3) 2 dx 2 2 7 x7 I ydx  xdy   (  )dx  x   ( x  )dx  8  33 3 1 3 3 ( 1,2) 1 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I Câu 280 Tính tích phân mặt loại 1 I   ds trong đó S là mặt z  2 x, 0  x  1, 0  y  2 s 19
12 12 '2 '2 I    1  z    z  dxdy    5dxdy  2 5 x y 00 00 Câu 282 Tính tích phân mặt loại 1 I   ( xy  y 2  yz )ds trong đó s là mặt S x  y  z  1, 0  y  1, 0  x  2 21 21 2 2 I    ( xy  y 2  y (1  x  y )) 1   z x    z y  dxdy    3 ydxdy  3 ' ' 00 00 Câu 290 Tính I   (3 x  4 y  z)ds trong đó s là mặt 3 x  4 y  z  3  0; x 2  y 2  1 S I   (3x  4 y  (3  3x  4 y ) 26dxdy s  x  r cos  Đặt   0    2 ; 0  r  1; J  r  y  r sin  2 1  I  3 26  d  rdr  3 26 0 0 Câu 291 Tính I   3 xds trong đó s là mặt z  x  0, x  y  1, x  0; y  0 S 1 1 x 2 I   3 xds   3 2 xdxdy  2 S 00 Câu 300 Tính tích phân mặt loại 1: I   xyzds trong đó s là mặt của hình lập phương s [0,1]  [0,1]  [0,1] 11 1 I   xyzds    xydxdy  4 s 00 Câu 302 Tính tích phân mặt loại 1: I   ( x  y  z)ds trong đó S là mặt S x  y  z  2, 0  x  1, 0  y  1 20