intTypePromotion=3

Phần 2 Đại số tuyến tính - Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế

Chia sẻ: Hung Hung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:60

0
1.134
lượt xem
198
download

Phần 2 Đại số tuyến tính - Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung của Tài liệu Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế: Phần 1 - Đại số tuyến tính (Phần 2) chủ yếu giúp các bạn biết cách giải những bài toán về hệ phương trình tuyến tính (hệ phương trình Crammer, hệ phương trình tuyến tính tổng quát và thuần nhất, mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế); dạng toàn phương. Mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phần 2 Đại số tuyến tính - Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế

  1. Chương 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYÊN TÍNH § ỉ . H ệ p h ư ơ n g trìn h C ram er A. Tóm tắt lý thuyết và các v í dụ mẫu ĐỊnh nghĩa: Hẹ phương trình Cramer là hẹ phương trình gổm n phương trình n ẩn có dạng: (1) a„|X, + + - + an„x„ = K với định thức của ma trận hẹ sđ khác 0, tức là det(A ) * 0, ở đỉy an an lll a 22 A= V“ nl a n2 Phương pháp ma trận V í b' ì Xj bj với x = ,B= |d et(A )* 0 A , VI det(A) * 0 => 3A"1, nên hệ có nghiệm duy nhất: X = A~'B. (3)
  2. Ví dụ I. Giải hệ sau bằng phưong pháp ma trận | 3x - 2y + z = 4 2x + 3 y - z = 1 - x + y +3z = -3 Giải: Hệ ưên được viết ở dạng ma trận AX = B, với: / \ '3 -2 r X '4 ' A= 2 3 - 1 , x = y , B= 1 -1 1 3, -3 , 3 -2 1 Ta có det A = 2 3 - 1 = 45 * 0 nền hệ trên là hẹ Cramer. -1 1 3 ( ị -L 43 _-L) 45 Ma trận nghịch đảo cùa ma trận A là: A~' = ị 9 19 _ x 45 1145 / Áp dụng công thức (3) ta có: ' 19 45 . 45 9 x = y = A -'B = - ị ị i 1 = -ị . Vậy nghiệm duy nhất cùa hệ là Ị^x = — , y = z= j. Phương pháp định thúc (Quy tác Cramer) Định lý: Hẹ Cramer (1) có nghiệm duy nhát dược xác định bởi còng thức: (4) trong dó: d - là định thức của ma trân hệ số; dỊ (j = l,2,...,n) là định thức nhạn dược từ định thức d khi thay cọt thứ j bằng cột hệ số tự do.
  3. VI dụ 2: Giải hệ sau bằng quy tấc Cramer 3x - 2 y + z = 4 2x + 3y - 2
  4. 3x + y - 2 z = 6 20x + 32y + 4z = 8 6x + 3 y -7 z =16 = -4 2 1 8 x -1 2 y + 36z 15x + 2y+ z =16 24x + I2y -1 2 z =-«0 X, + Xj + 2 x , + 3 x 4 = 1 X, + 3 x 2 + 5 x , + 7 x4 =12 3 x , - Xj - X , - 2 x4 * -4 3 x ,+ 5 x ,+ 7 x , + *4 = 0 8. 2 x , + 3 X j - Xj - x4 = - 6 5x,+ 7x, + X, +3x4 = 4 X, + 2 x j + 3 x , - x4 = -4 7 x , + X, + 3 * , + 5 x 4 = 1 6 X, + 2 x j + 3 x j + 4 x 4 = 5 X, + 2 x j + 3 x , - 2 x 4 = 6 2 x , + Xj + 2 x , + 3 x 4 = 1 2 x , - Xj - 2 x , - 3 x 4 = 8 10. 3 x , + 2 x , + X, +2xt = 1 3x, + 2 X j - X, +2x, = 4 4 x ,+ 3 x 2+ 2x, + x4 = -5 2 x ,- 3 x , + 2 x , + x4 = -8 6x,+9xj+33x, + 15x4 = 6 7x,+7x,+35x, + 14x« = 7 8 x ,+ 4 x ,+ 1 2 x ,+ 8 x < =-12 9x,+ 9 x j +27x,+36 x4 =-27 30 x , +40x, + 5x, +10x
  5. X, + 2 X j+ 3 x ,+ 4 x 4+ 5Xj =13 2x,+ x , + 2 x ,+ 3 x J + 4xJ =10 14. ■ |2x,+ 2x,+ X , + 2x4 + 3x, =11 2x, +2Xj + 2x, + x4 + 2xs = 6 2 x ,+ 2 x , + 2 X j + 2 x 4 + Xj = 3 n. Đáp s¿ I. (x = l, y = 2, z = -2 ). 2. (x = 2, y = - 2 ,z = 3). 3. (x = l, y = 1, z = l). 4. (x = 0, y = 0, 2 = 0 ). 5. (x = l, y = 1, z = - l ) . 6. (x = -3, y = 2, z = l). , ( _ n 53 _ 4 _ 77i 7 ,r ễ 17,X î= 5 l ’ X î _ 5 r X‘ = 5 l ) o f _ 17 _ 15 _ 9 _25'1 9 . ( x , = - 2 , X , = 2 , X, = - 3 , x 4 = 3 ) . f.. 5 _7 7 9i N 'h 8, x ’ 4 , x ’ s ’ x‘ 4} I I . (x, = -2 , Xj = 0, X, = 1, X, = -1). 12. ( x ,= l, x ,= - 1 , x ,= l , x 4 = - l ) . 13. ( X, = -3, Xj = -5c, X, _= -1, 1 x4 _ = - j7, X, = _ 49i y j. 14. (Xj = Of *2 = 2, X, = —2, x4 =0, Xj = 3 ).
  6. A. Tóm tát lý thuyết và các ví dụ mản Các dạng biểu diễn của hệ phirong trìah tuyến tính tổng qsát Dạng khai triển: Một hệ phuơng trình tuyến tính tổng quát gốm m phoong trình vi n ẩn số là hệ có dạng: 3||X, + &12X2 + *" + aiBX« * a2]X| + anx2 + ••• + tt^x, » bj (1) ami*i + a . 2x2 + ... + aM*„ = b„ Dạng ma trận: Ma trận mở rộng của hẹ (1) là: ' an • aề. b ,' a22 ■• ato b, A= ,.®m) am2 • a« K, Chúýrẳng: A = (A I B). Nếu viết các ẩn số dưới dạng ma vận cột X : thì bệ phương trình (1) có thể viết dưới dạng ma trận: A X = B.
  7. Dạng véc lœ Hệ ( 1) còn đuợc viết dưới dạng: X, Af + X jA , + • • ■+ X„A' = B. V í b' ì b2 trong dó: A c = a 2i . B = Điền kiện có nghiệm: Định lý Cronecker —Capelli: Điẻu kiện cần và đù để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hạng của ma trận mờ rộng bằng hạng cùa ma trận hệ số. Từ định lý trên ta có kết quả sau: + Nếu r(A) * r(A) thì hệ phương trình vô nghiệm; + Nếu r(A) = r(A) = n (n là số ẩn) thì hệ phương trình có nghiệm duy nhít; + Nếu r(A) = r(A) = r < n thì hệ phương trình có vô số nghiệm. Khi đó hệ phương trình tương đuơng với hộ phương trình cơ sở của nó. Hệ phương trình ca sà được xác định theo định thức con cơ sở của ma trận hộ số, nếu dịnh thức con cơ sờ là D** j thì hẹ phương trình cơ sở gồm r phương trình i,,i, Ví dụ 1: Giải hé phương trình: 2x, - x 2 +
  8. Giãi: Xét ma trận hệ só và ma trận mỏ rộng của hệ: '2 -1 3 -7 ' 2 -1 3 -7 5' A= 6 -3 1 -1 , A= 6 - 3 1 -1 7 1 5 -13. ,-2 1 5 -13 3, Tính hạng của ma trận hẹ số và ma trận mỏ rộng: Ta có D?;1 ^ ^ = 8 * 0 , các định thức con cấp 3 của A v i A -3 1 bao quanh định thúc này là: 2 -1 3 -1 3 -7 -1 3 5 Di23 = 6 *-'123 -3 1 = 0, D Ï Ï - -3 1 -1 = 0 D“ = -3 1 7 =0 -2 1 5 1 5 -13 1 5 3 nên r(A ) = r(A ) = 2 < 4 suy ra hệ có vỏ số nghiệm. Vì D“ * 0 suy ra hệ phương trình co sở của hệ ds cho là: X, { 2 x ,- + 3 x, - 7 x4 =5 6 x , - 3 x j + Xj - x 4 =7 và ta cũng có Xj ,Xj là hai ẩn chính; x ,,x 4 là hai ẩn tự do. Chuyển các sổ hạng chúa ẩn tụ do sang vế phải đđng thời gán cho chúng các giá trị tuỳ ỷ: X, = a ,x 2 =p, ( a ,ß e R) ta duợc một bệ Cramer với hai ẩn x ,,x 3 : í -X j +3Xj = 5 - 2 a + 7 ß [-3xj+ Xj = 7 -6a+ p -4 + 4 a - ß 2 Theo quy tắc Cramer ta có 2 + SP
  9. Vậy nghiệm tổng quát cùa hệ đã cho là: í _ _ -4 + 4a - p 2 + 5p [ x, = o ,x 2 = — ^ M, x , = - y g , x 4 = p Ví dụ 2: Giải hệ phuong trình | 2 x , - Xj + 3 x , - 7 x « =5 6x, - 3 X j + X, - X, =7 -6x,+3x, + 7xj-10x4 =2 Giải: Xét ma trận hệ số và ma trận mở rộng của hệ: "2 -1 3 -7 ' '2 -1 3 -7 5' A= 6 -3 1 -1 , A= 6 -3 1 -1 7 .-6 3 7 -19, 3 7 -19 2, Tính hạng của ma trận hệ số và ma trận mà rộng: -1 3 T acó D,, _3 = 8 * 0 , các định thúc con cấp 3 của A bao quanh định thúc nìy lì 2 -1 3 -1 3 -7 D1 23 = 6 ĩyuj -3 1 = 0, D“ = -3 1 -1 = 0 . -6 3 7 3 7 -19 nên r(A ) = 2. Các định thức con cấp 3 của à bao quanh định thức này là - 1 3 5 D¡” = 0 .D " = 0, nhưng D“ = -3 1 7 = 8 'nên r(A) = 3. 3 7 2 Suy ra r(A ) * r(A), vậy hệ vô nghiệm.
  10. Ví dụ 3: Giải và biện luận hệ phương trình: X +2y + 3z = 4 Giải: Ma trận hệ sổ cùa hẹ là: I -2 x + y - z = 1 mx - y + 2z = 2 ' 1 2 3' 1 2 3 A = -2 1 -1 . |A |= -2 1 -1 ■1 5 - 5m. -1 2, m -1 2 X +2y+3z =4 Nếu m = 3 thì hệ d i cho trô thành -2x + y - I * 1 3x - y +2z =2 ' 1 2 3' 11 Khi dó, ta có A « -2 1 -1 ’ DM -12 l 1H * 0- ,3 -1 2, 05 một định thúc con cùa A bao quanh D|j là D¡jj = | a0| >nên '( A ) = 2. Xét ma trân mỏ rộng: r 1 2 3 4> 2 3 4 A = -2 1 -1 1 có D £ = 1 -1 1 = -1 3 * 0 . .3 -1 2 2, -1 2 2 Mà A chi có 3 dòng nên t( a ) = 3, suy ra r(A )* r(A ). Vậy hệ vô nghiệm. Nếu m * 3 => |a | * 0 , khi đó hẹ đã cho là hẹ Cramer.
  11. T h r ñ niii.Ị ti í-1______ ____ ( J neo quy tác Cramer ta cỗ 13 7m -8 X »— —— , y = — — —, z = — — - . 2 m —19 | [ 5(m - 3) 5(m -3) 5 ( m - 3 )) VI dụ 4: Tlm điểu lúện của tham số để hẹ sau có nghiệm duy nhất và Úm nghiệm đó. X - y +2z =3 ■2x + my + 3 z = 1 3x+3y + z =4 Giải: Điéu kiện để một bệ phixxụi trình tuyến tfnh cổ nghiệm duy nhít lì r(A ) = ĩ ( a ) = n « | a Ị # 0 ( d là số ẩn của hê). 1 -1 2' 1 -1 2 Tacó A = 2 m 3 =>|A| = 2 m 3 .3 3 3 3 1 4 Vậy điáu kiện cía tim của m là - ỉ m - 4 Í Ũ O I H Ỉ Í - - • Khi m * tâ có |A| * 0. Do đó, hệ đã cho là hệ Cramer. _ _ . _____ . í 5m + 32 -20 5m -2
  12. 2 x ,+ 3 x 2 + 4 x , + 5x< = 6 J x , + 4 X j + 5Xj + 6 x4 =7 4x, + 5xj + 6x, +7x, =8 X, + 2 x 2 + 3 x j + 4 x 4 = 5 6x, + 7 x 2 + 8x, + 9x4 = 10 18. 1 l x , + 1 2 x j + 1 3x3 + 1 4 x 4 = 1 5 16x, + 1 7 x 2 + 18x, + 1 9 x 4 = 2 0 1 2 x ,+ 9 x 2 + 3 x j+ 1 0 x 4 = 13 4 x , + 3 x j + Xj + 2 x 4 = 3 19. 8Xị + 6 X j +2x, + 5 \t = 7 16x,+12x2+ 4 x j+ 9 x 4 = 1 3 2x, + x 2 - Xj - x 4 + Xj =1 X, - Aj + x 3 + x 4 - 2 x s = 0 20. 4 x , + 5 x 2 - 5 x 3- 5 x 4 + 7 x 5 = 3 3 x , + 3 X j - 3 x 3 - 3 x 4 +4xs = 2 Giải và biện luận các hệ phương trình sau: k x + y + 2 =1 k x+ y + z = 1 21. X + k y + z =1 22. X +ky+ z = k X + y + k z =1 X + y +kz = k 2 (k + l)x+ y + = 1 23. X + (k + l)y+ = k X + y +(k + l)z = k kx +ky+ (k + l)z = k 24. 1 kx +ky+ ( k - l) z = k [(k + l)x + ky + (2k + 3)z =1
  13. Tìm diều kiện của các tham số để các hệ sau có nghiệm duy nhát và tìm nghiệm đó. Í ( k - l) x - ky + (k + l)z = k - l 25. I ( k - 2 ) x + ( k - l) y + (k -2 )z = k [( 2 k - l) x + ( k - l) y + ( 2 k - ] ) z = k 2x+ y +3z =0 k Jx + 3 y + 2 z = 0 26. 4 x - y +7z = 0 27. kx - y + z =0 X +ky + 2z =0 8x + y + 4z =0 k x , + x 2 + X, + x 4 =1 kx, + Xj + X, + x 4 = 1 X, +kx2+ x3 + xt =1 X, + kx, + X, + x 4 = k 28. 29. X, + x2 +kXj + x4 =1 X, + x 2 + k x , + X, = k J X, + Xj + x3 + k x 4 =1 X, + Xj + Xj + kx4 = k ’ 8x, + 6 x j + 3x,+2x 4 = 5 12x,+3x2+ 3 X j-3 x 4 =2 30. 4x, + 5 x 2+2xj + 3x4 = 3 k x , + 4 X j + X, + 4 x , =2 '2x, + 3Xj + Xj + 2 x 4 = 3 4x, + 6 x 2 +3x, + 4 x 4 = 5 31. 6x, + 9Xj +5x, + 6 x 4 = 7 8x, +12x, + 7xj + kx4 = 9 —6X | + 8Xj - 5 X j " x 4 —9 -2x, +4Xj + 7x, + 3 x 4 =1 32. -3x,+5xJ + 4x, + 2 x 4 = 3 -3x,+7x,+17x, + 7x4 = k _ c y + bz = a x -a y + a2z = a’ a z +CX = b x -b y + b 2z =b’ bx -a y = c x - c y + cJz = c’
  14. UỗĐáp s6 15. (x, = a X, =p,x, = 2 |3 -a,x 4 =1). 16. (x, =12a,Xj =-13 + 38a,x, = -7 ,x 4 = a). 17. (*| = -3 + a + 2ị3i X, = 4 -2 a -3 P ,x , = a ,x 4 =p). 18. (x, = -3 + a + 2p, Xj = 4 - 2ot - 3P, X, = a, x4 = 3). 19. (x, = a , X j =(3,x, = ] - 4 a - 3 P ,x 4 =l). í _ 1+ ĩ x , = -------- 1+ 3a + 3p- 5y , = a ,x 4 =_n _ ì 2®. Ị\xx, ,==-Lj^ ,L,x 2 = ----- ----Ỷ— -------,x p,x1=Yj. „ J k * l ___________ 1 2 1 .- 1 . : x = y = z = —— |k*-2 k+2 + k =>1: Nghiệm Nghiêm tổng lổne quát auát ccủa hẹ là: (x = l - o t - p , y = a ,z = p), (o t.ịỉeR ); + k = - 2 : Hệ vô nghiệm. a * ! * ' 1 . í , „ - i í ì . y„ ' ,„ £ Ị Ị Ị [k* -2 ^ k+2 k+2 k+2 + k = I : Nghiệm tổng quát cùa hẹ là: (x = l - a - p , y = a ,z = p), (a .p e R ); + k = -2 : Hệ vô nghiệm. k *í0 0 í - 2 ~ k' 2k —1 _ k 1+ 2kĩ - k - 0 [k * - k(k + 3)’y _ k ( k - l ) ’z ~ k(k + 3) ) + k = 0 hoặc k = -3 thl hệ vô nghiệm.
  15. + k = 0 :(x = l,y = a ,z = 0), ( o e R ) . ( _ 2k; - 2 k + l k 2k: - 2 k + l 1 25. k * ± l : X r - 2 ( k -1 ) , y “ k - l ’z _ 2(1 - k) ỳ 26. k * - l : (x = y = z = 0). 2 7 . | k ^ : ( x = y = Z = 0). 28. Ị ĩ ; ' , - . - a r } „ .... - . k + 2k + 2 k +k-I 29. ị : X, = ------- r——— ,x , = ------ — — , i ù ' ề ' ' - ' ' k+3 2 k+ 3 2kn ; k3+3k2+2k + l'l X, = — — , x , = -------- -------------- . 5 k+3 k+3 J 30. Không tổn tại k. 31. Không tổn tại k. 32. Không tổn tại k. ( c2 + b2 - a 2 a2+ c : - b 2 a2 + b2- c J 33. abc* 0: x = ----- 77------ ,y = ----- r -------,z-- — ----- ^ 2bc 2ca 2ab fa * b 34. i b * c :(x = abc,y = ab + bc + ca,z = a + b + c). c*a
  16. A. Tóm tát lý thuyết và các ví dụ mẫu Định nghĩa: Hệ phương ưình tuyến tính thuẩn nhít là hệ có dạng: al.*ễ. + a „ x 3 + + a,„x„ = 0 a„x , + a22X2 + •••• + a2„x» = 0 (1) + am2X2 + -■•• + a™,xn = 0 Ma ưận hẹ số của hẹ (1) là: 'a „ A= K hảo sát hệ thuán nhát + Nếu r(A ) = n (hạng ma trận hệ số bằng số ẩn) thì hệ thuán nhít có nghiệm duy nhất, là nghiệm tẩm thường; + Nếu r(A ) < n (hạng ma ưận hê số nhỏ hơn số ẩn) thì hệ thuắn nhít có vô số nghiệm. Định lý: Điều kiên cẩn và đủ dể một hệ phương trình tuyến tính thuấn nhất có nghiệm khổng tẩm thường là hạng cùa ma trận hẹ số của nó nhỏ hơn số ẩn. Hệ quả 1: Một hệ phương trình tuyến tính thuẩn nhất vói số phương trình bàng sô' ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chi khi định thúc cùa ma trận hệ số bằng không. Hệ quả 2: Mọi hệ phương trình tuyến tính thuẩn nhất với số phương trình nhò hơn số ẩn đều có nghiệm không tám thuờng.
  17. Định nghĩa: Mỗi cơ sở của khổng gian nghiệm cùa một hộ phương trình tuyến tính thuẩn nhất duợc gọi là một hệ nghiệm cơ bản của nó. Định lý: Khi r(A ) = r < n thl -không gian nghiệm của hê phuơng trình tuyến tính thuẩn nhất (1) là một không gian con n - r chiẻu cùa không gian R", tức là mỗi hệ nghiệm cơ bản của hệ phucmg trình (1) gổm n - r nghiệm. Chú ý: Khi hệ phương trình tuyến tính thuán nhất có vô số nghiệm, thì nó có vô số hệ nghiệm cơ bản. Việc tìm ra một hệ nghiệm cơ bàn nào đố phụ thuộc vào việc chỉ dịnh các ẩn chính và việc lựa chọn n - r vec tơ dộc lập tuyến tính ñ - r chiều làm các bọ sổ thực gán chò các ẩn tự do. Thuật toán xác định bệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất 1. Tìm nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất; 2. Căn cú vào hạng của ma trận hệ số r(A ) dế xác định số nghiệm trong hệ nghiệm cơ bản là: n - r(A). 3. Xác định các nghiệm trong một hệ nghiệm cơ bản. Trong bước 1 của thuật toán trên, thì việc chi định các ẩn chính và các ẩn tự do dựa vàò việc chọn định thúc con ca sở cùa ma trận hẹ số: Các ẩn chính là các ẩn tương úng với chi số các cột của ma ơận hệ số tạo thình dinh thức con cơ sở, các Ẩn còn lại là các ẩn tự do. Trong bước 3 cùa thuật toán, để cho đơn giản chúng ta thường lấy các véc tơ đơn vị E, = (1,0,...,0),E 2 =(0,1,...,0),.-.,E„^ =(
  18. Giải: Ma ưận hệ số của hệ phương ưình là: '3 2 1 3 5' 6 4 3 5 7 A= có D " = 9 6 5 7 9 .3 2 0 4 8, các định thức con cấp 3 cùa A bao quanh định thức này là: 1 3 5 2 3 5 3 3 5 D312435 = 3 5 7 = 0, D "5 = 4 5 7 = 0, DI4 123í = 6 5 7 =0 s 7 9 6 7 9 9 7 9 I 3 5 2 3 5 3 3 5 45 -= 3 5 7 = 0, D3134 DUÍ 124 = 4 5 7 = 0, 124 = 6 Dus 5 7=0 0 4 8 2 4 8 3 4 s suy ra r(A ) = 2. Chọn D " * 0 làm định thức con cơ sờ cùa ma trận hệ số. Khi đ6 ta có hệ phương trình cơ sở của hệ đã cho là: Ĩ3 x ,+ 2 x 2+ x3 +3x4 + 5x5 = 0 [6x, + 4 x2+ 3x,+ 5 x4 + 7 x5 = 0 Cũng do D " * 0 nên ẩn chính cùa hệ phương trình là x4,x ,; các ẩn còn lại là các ẩn tự do. Đặt X, = a , X, = p, X, = y; a,p,Ỵ € R và chuyển vế ta đuọe: [3 x a + 5 x 5 = - 3 a - 2 ( 3 - y |5 x đ + 7 x s = - 6 a - 4 p - 3 y Đây là hệ Cramer với hai ẩn sồ' x4,x s.
  19. a = l,P = 0,Y = 0=> x4 = - , x 5 = - = > p, = 4 4 ot = 0,P = l,Y = 0=>x4 = - - , x , = -= > P , 2 2 a = 0,p = 0,y = l= > x 4 =-2,X j = 1=> Pj =(0,0,1, -2,1). Suy ra một hẹ nghiệm cơ bản cùa hệ phuưng trình dã cho là: {**. = ( ^ 4 ỉ ) ’Pỉ = (o,l,O ,-|,0P,=(O ,O ,l.-2,l)Ị Mối liên hệ với hệ không thuần nhát Tổng của một nghiệm riêng cùa hệ phuơng trình tuyến tính khổng thuần nhất vả nghiệm tổng quát cùa hệ thuần nhất liên kết với nó la nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính kKông thuần nhất đó (hoặc hiệu giữa nghiệm tổng quát của hộ phương trình tuyến tính khồng thuần nhất với một nghiệm riêng cùa nó là nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất lién kết với nó). Vi dụ 2: a. Tun nghiệm tổng quát cùa hệ phương trình: 2 x ,+ 7 x 2+ 3Xj + X, =6 3x, + 5 x 3 + 2 x , + 2 x < = 4 9 x, + 4 x j + Xj + 7 x 4 = 2 b Tim mội hê nghiêm cơ bàn cùa hệ phương ưình tuyến tính thuẩn nhất liên kết.
  20. Giái: a. Ma trán he stí vá ma trán md rOng cúa he tren lá: '2 7 3 r '2 7 3 1 6' A= 3 5 2 2 , A= 3 5 2 2 4 ,9 4 1 7 ,9 4 1 7 2 \ 2 7 Tacó D¡’ = = - 1 1 / 0 , vá các dinh thúfc bao quanh nó lá: 3 5 2 7 3 2 7 1 2 7 6 55 88 0. O" o 3 5 2 = 0, D¡“ = 3 5 4 O 3 5 2 II II II = 9 4 1 9 4 7 9 4 2 Váy r(A ) = 2, = 2; Váy he tren có nghiem, chpn D¡{*0 lám dinh thiíc con co sí» cúa ma trán he s6, khi dó hf phuong trinh ca s6 cúa he thuán nhít lá: 2 x ,+ 7 * j+ 3 x , + x4 =6 { 3 x,+ 5x 2+ 2 x j+ 2 x 4 =4 Chon các án x ,,x2 lá các ¿n chính vá x ,,x 4 lá các án tu do. Dát x, = a , x, = p, ( a .P e R ) ta dupc h$ phuong trinh: |2 x ,+ 7 x j = 6 - 3 a - p |3x, + 5x, = 4 - 2 c t-2 P Giái he náy theo quy tic Cramer ta duoc: a -9 p -2 - 5 a + P+10 X , _ 11 ’X j ~ 11 Váy nghiém tóng quát cúa he phuong trinh dá cho lá:

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản