intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Phân tích dao động tự do của dầm bậc nano bằng vật liệu có cơ tính biến thiên sử dụng mô hình độ cứng động lực không cục bộ

Chia sẻ: ViJijen ViJijen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

41
lượt xem
4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết này phát triển Mô hình độ cứng động lực (DSM) để phân tích dao động tự do của dầm bậc nano bằng vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) trên cơ sở Lý thuyết đàn hồi không cục bộ (NET), gọi là mô hình DSMNET.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phân tích dao động tự do của dầm bậc nano bằng vật liệu có cơ tính biến thiên sử dụng mô hình độ cứng động lực không cục bộ

  1. Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng, NUCE 2021. 15 (2V): 49–64 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA DẦM BẬC NANO BẰNG VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN SỬ DỤNG MÔ HÌNH ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC KHÔNG CỤC BỘ Phạm Tuấn Đạta , Trần Văn Liênb,∗, Ngô Trọng Đứcc a Viện Kỹ thuật công trình đặc biệt, Học viện Kỹ thuật quân sự, 236 đường Hoàng Quốc Việt, quận Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam b Khoa Xây dựng dân dụng và Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng, 55 đường Giải Phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam c Fujita Corporation, 52 đường Lê Đại Hành, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam Nhận ngày 15/03/2021, Sửa xong 05/05/2021, Chấp nhận đăng 06/05/2021 Tóm tắt Bài báo này phát triển Mô hình độ cứng động lực (DSM) để phân tích dao động tự do của dầm bậc nano bằng vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) trên cơ sở Lý thuyết đàn hồi không cục bộ (NET), gọi là mô hình DSM- NET. NET có xét đến tham số tỷ lệ chiều dài nên có thể giữ lại các hiệu ứng tỷ lệ cho các cấu trúc nano khi xét đến tương tác của các nguyên tử và phân tử không liền kề. Đặc trưng vật liệu dầm nano FGM thay đổi phi tuyến theo độ dày dầm. Dầm bậc nano được mô hình hóa theo lý thuyết dầm Timoshenko và các phương trình chuyển động được rút ra từ nguyên lý Hamilton. DSM được sử dụng để thu được nghiệm chính xác của phương trình chuyển động có xét đến vị trí thực của trục trung hòa với các điều kiện biên khác nhau. So sánh kết quả tính toán của DSM-NET với các kết quả đã công bố đã khẳng định độ tin cậy của mô hình. Từ đó, các tác giả đã tiến hành các khảo sát số nhằm đánh giá ảnh hưởng của tham số phân bố vật liệu, hình học, không cục bộ và các điều kiện biên đối với dao động tự do của các dầm bậc nano FGM. Nghiên cứu này có thể áp dụng cho nhiều kết cấu nano FGM khác như dầm liên tục hay khung nano nhiều bậc phức tạp hơn. Từ khoá: mô hình độ cứng động lực; lý thuyết đàn hồi không cục bộ; vật liệu có cơ tính biến thiên; dầm bậc nano; tần số không thứ nguyên. FREE VIBRATION ANALYSIS OF FGM STEPPED NANOBEAMS USING NONLOCAL DYNAMIC STIFF- NESS MODEL Abstract This paper presents a nonlocal Dynamic Stiffness Model (DSM) for free vibration analysis of Functionally Graded (FG) stepped nanobeams using the Nonlocal Elastic Theory (NET), called DSM-NET model. The NET nanobeam model considers the length scale parameter, which can capture the small scale effect of nano structures considering the interactions of non-adjacent atoms and molecules. Material characteristics of FG nanobeams are considered nonlinearly varying throughout the thickness of the beam. The nanobeam is mod- elled according to the Timoshenko beam theory and its equations of motion are derived using Hamilton’s principle. The DSM is used to obtain an exact solution of the equation of motion taking into account the neu- tral axis position with different boundary conditions. The DSM-NET is validated by comparing the obtained results with published results. Numerical results are presented to show the significance of the material distribu- tion profile, nonlocal effect, and boundary conditions on the free vibration of nanobeams. It is shown that the study can be applied to other FG stepped nanobeams as well as more complex of framed nanostructures. Keywords: DSM; NET; FGM; stepped nanobeam; nondimensional frequency. https://doi.org/10.31814/stce.nuce2021-15(2V)-05 © 2021 Trường Đại học Xây dựng (NUCE) ∗ Tác giả đại diện. Địa chỉ e-mail: lientv@nuce.edu.vn (Liên, T. V.) 49
  2. Đạt, P. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng 1. Giới thiệu Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) [1, 2] là vật liệu tổng hợp thế hệ mới được tạo thành từ hai hoặc nhiều vật liệu thành phần với sự thay đổi liên tục về tỷ lệ các thành phần theo một hoặc nhiều hướng. FGM được sử dụng trong các hệ thống cơ điện micro/nano (MEMS/NEMS) để đạt được độ nhạy cao và hiệu suất mong muốn. Các cấu trúc có kích thước nano như dầm, tấm và vỏ được sử dụng rộng rãi trong các thiết bị NEMS, trong đó dầm bậc nano đặc biệt thu hút ngày càng nhiều sự chú ý do các ứng dụng tiềm năng khác nhau của chúng. Lý thuyết đàn hồi cổ điển không thể nghiên cứu đầy đủ và chính xác ứng xử cơ học của cấu trúc nano do ảnh hưởng của hiệu ứng kích thước. Do đó, lý thuyết đàn hồi không cục bộ (NET) lần đầu tiên được đề xuất bởi Eringen [3] với giả thiết rằng tensor ứng suất tại một điểm không chỉ là một hàm của biến dạng tại đó mà còn xét đến biến dạng của các điểm xung quanh. Hiện nay, NET được sử dụng rộng rãi để thiết lập phương trình chuyển động của các cấu trúc nano sử dụng vật liệu đồng nhất [4–6] và vật liệu FGM [7]. Reddy [8] đã thiết lập các phương trình dao động và ổn định của các dầm nano đồng nhất theo NET cho các lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, Timoshenko, Reddy và Levinson. Nhiều tác giả khác đã phát triển các phương pháp giải tích [9–12], phương pháp Rayleight-Ritz [13], phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) [14–19], phương pháp biến đổi vi phân [20], phương pháp cầu phương vi phân [21],... để nghiên cứu ứng xử uốn, ổn định và dao động tự do của các thanh nano từ các vật liệu đồng nhất. Simsek và Yurtcu [22], Rahmani và Pedram [23] đã đồng thời nghiên cứu ứng xử uốn và ổn định của dầm Timoshenko FGM bằng phương pháp giải tích. Ngoài ra, Mechab và cs. [24] đã nghiên cứu dao động tự do, trong khi Uymaz [25] nghiên cứu về dao động cưỡng bức của các dầm nano, cả hai đều sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Ebrahimi và Salari [26] đã ứng dụng một phương pháp bán giải tích để phân tích dao động của các dầm nano Euler - Bernoulli FGM có xét đến vị trí thực của trục trung hòa. Narendar và Gopalakrishnan [27] đã phát triển phương pháp PTHH phổ để khảo sát dao động của dầm nano không cục bộ. Các nghiệm giải tích tìm được ở trên đều có dạng chuỗi lượng giác kép Navier, do đó, chúng bị giới hạn cho các dầm với các điều kiện gối tựa đơn giản. Đối với các điều kiện biên khác, các tác giả đã áp dụng FEM để phân tích ứng xử uốn và dao động tự do của các dầm nano FGM theo lý thuyết dầm Euler - Bernoulli [28, 29], và lý thuyết Timoshenko [30–32]. Gần đây, các tác giả của [33] đã tìm được các tần số riêng và dạng dao động của các dầm nano với các điều kiện biên khác nhau bằng cách sử dụng khái niệm không gian trạng thái. Vì FEM được xây dựng dựa trên các hàm dạng đa thức không phụ thuộc vào tần số nên nó không dùng để tìm tất cả các tần số và dạng dao động, đặc biệt bậc cao. Để khắc phục điều này, phương pháp độ cứng động lực (DSM) đã được phát triển để thay thế FEM bằng cách sử dụng các hàm dạng phụ thuộc tần số [34–36]. Mặc dù không dễ dàng tìm được các nghiệm giải tích chính xác như vậy cho các bài toán dao động của dầm nano nhưng nếu tìm được thì chúng cho phép nghiên cứu dao động chính xác của dầm trong dải tần số tùy ý. Adhikari và cs. [4, 37] đã thu được ma trận độ cứng động lực của một thanh nano đồng nhất chịu dao động dọc. Hàm đáp ứng tần số thu được dùng DSM được đề xuất cho thấy mật độ phổ cao gần tần số cực đại. Gần đây, Taima và cs. [38] đã sử dụng DSM để phân tích dao động cho dầm bậc nano đồng nhất theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli. Theo tìm hiểu của các tác giả, hiện nay chưa có nghiên cứu nào về phát triển DSM cho bài toán dao động của dầm nano FGM theo lý thuyết đàn hồi không cục bộ. Trong bài báo này, các tác giả phát triển DSM để phân tích dao động tự do của dầm bậc nano FGM trên cơ sở lý thuyết dầm Timoshenko và lý thuyết đàn hồi không cục bộ, gọi là mô hình DSM-NET. So sánh kết quả thu được bằng DSM- NET với các kết quả đã công bố cho thấy độ tin cậy của mô hình đề xuất. Từ đó, các tác giả nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số không cục bộ, sự phân bố vật liệu và các tham số hình học đến ba tần 50
  3. Đạt, P. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng số dao động không thứ nguyên 2. MÔ tiên của dầmCỦA đầu DSM-NET HÌNH nanoDẦM với các BẰNG điều kiện biên khác TIMOSHENKO VẬT LIỆU FGM nhau. Đốidầm 2. Mô hình DSM-NET của với Timoshenko FGMvật một dầm nanobằng (Hình 1), các đặc tính của vật liệu thay đổi theo chiều d liệu FGM như sau [1]: Et Gt t t z n Trục trung hòa  z 1 P( z )  Pb   Pt  Pb     h 2 h x h h  z Eb Gb b b 2 2 b với P lần lượt là ký hiệu Hình 1. Dầm FGM môđun đàn hồi E, môđun cắt Hình 1. Dầm FGM mật độ khối lượng ; các ch dưới b liên quan đến các giá trị tương Đối với một dầm nano FGM (Hình 1), các đặc tính của vật liệu thay đổi theo trên t và ứng của vật liệu lớp lớp zdưới và dày chiều nhưcùng; n là ch sau [1]: phần thể tích, z là tọa độ từ mặt phẳng giữa của dầm. Các chuyển vị của dầm Timoshenko là: !n u0 P( xb,)t ) z (+z 1 h0 ) ( x, t ) ; w( x, z, t )  w0 ( x, t ) ) t − P(z) =u(Pxb, z+, t(P h 2 (1) trong đó u0 (x, t), w0 (x, t) hlần lượt là h chuyển vị dọc, chuyển vị ngang của một điểm trên trục t hòa; h0 là khoảng cách từ 2trục trung2 hòa đến trục x;  là góc quay của mặt cắt quanh trục y. Từ − ≤ z ≤ ta nhận được các biến dạng: với P lần lượt là ký hiệu của môđun đàn hồi E, môđun cắt G và mật độ khối lượng ρ; các chỉ số dưới t và b liên quan đến các giá trị tương ứng xxcủa  vật x lớp u0 /liệu ( z trên  /lớp h0 )và  xz  cùng; x ; dưới w0 / nx là chỉ  số phần thể tích, z là tọa độ từ mặt phẳngCác giữaquan củahệ dầm. vật Các chuyển lý không cụcvịbộ củachodầmdầmTimoshenko nano có thểlà: được viết ở dạng [3]:  2 xxw(x, z, t) = w0 (x,t)2 xz u(x, z, t) = u0 (x, t) − (z − h0 )θ(x, t); (2)  xx    E xx ;  xz    G xz trong đó u0 (x, t), w0 (x, t) lần lượt là chuyển vị dọc, chuyển xvị ngang của một điểm 2 x trên trục trung hòa; 2 đó hòa 2 2trục x; θ là góc quay của mặt cắt quanh trục y. Từ đó, ta nhận h0 là khoảng cách từ trong trục trung  eđến 0 a là tham số không cục bộ; e0 là hằng số cho mỗi vật liệu; a là chiều dài được các biến dạng: trưng bên trong của dầm. ε xx = ∂u 0 /∂x Dựa trên−nguyên γ xz = ∂w0 /∂x − θ = −ϕ lý Hamilton: (z − h0 )∂θ/∂x; (3) T Các quan hệ vật lý không cục bộ cho dầm nano có thểđược dtởdạng T  U viết 0 [3]: ∂2 σ xx ∂2 σ xz 0 σ xxT−vൠU lần trong đó = lượt Eεlà động xx ; σ năng xz − µ và = Gγ thế năng của xz dầm: (4) ∂x2 ∂x2   u0  u0 w0  w0   uvật 0 liệu;  u0  dài đặc  alà chiều    L bên trong của dầm.  trong đó µ = e20 a2 là tham Tsốkhông 0  I11 cục bộ; e0là hằng số cho  t t t t    I12 mỗi  t t  t t    I 22 trưngdx t t  Dựa trên nguyên lý Hamilton:   u0   w0  L ZT U    N M Q  Q dx  x x x  (δT 0− δU)dt = 0 (5) N, M, Q lần lượt là lực dọc, mômen uốn và lực cắt của dầm: 0 N của trong đó T và U lần lượt là động năng và thế năng xx dA ; M    z  h0   xx dA ; Q    xz dA  dầm: A A A ZL " và ∂u0 ∂δu0 ∂w0 ∂δw0 ∂u0 ∂δθ ∂θ ∂δu0 ∂θ ∂δθ ! ! # δT = 0 I11 ∂t ∂t + − I12 ∂t  A11∂t, A12 , A22    ∂t +  0 ,  z ∂t E ( z )∂t1, z  h∂t + I  h0  dA ; ∂t 2 22  dx A33 ∂t  G ( z )dA A A (6)   ZL ∂δu0 ∂δθ , I ∂δw − M  I11 , I+ 12 Q22    − 0 ( z ) 1, z  h ,  z  h  dA " # 2 δU = N Qδθ dx 0 0 ∂x ∂x ∂x A 0  là hệ số hiệu chỉnh cắt, =5/6 đối với mặt cắt ngang hình chữ nhật; vị trí của trục trung hò và I12 có giá trị là: 51 3
  4. Đạt, P. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng N, M, Q lần lượt là lực dọc, mômen uốn và lực cắt của dầm: Z Z Z N= σ xx dA; M = (z − h0 ) σ xx dA; Q= σ xz dA (7) A A A và Z Z   (A11 , A12 , A22 ) = E(z) 1, z − h0 , (z − h0 )2 dA; A33 = η G(z)dA A Z A (8)   (I11 , I12 , I22 ) = ρ(z) 1, z − h0 , (z − h0 )2 dA A η là hệ số hiệu chỉnh cắt, η = 5/6 đối với mặt cắt ngang hình chữ nhật; vị trí của trục trung hòa h0 và I12 có giá trị là: n(RE − 1)h nbh2 ρb Rρ − RE ρt Et h0 = ; I12 = . ; Rρ = ; RE = (9) 2(n + 2)(n + RE ) 2(2 + n) n + RE ρb Eb Từ (5), ta nhận được phương trình dao động tự do của dầm nano FGM có dạng: ∂2 u0 ∂2 θ ∂2 u0 ∂2 θ ∂4 u0 ∂4 θ ! A11 2 − A12 2 − I11 2 + I12 2 + µ I11 2 2 − I12 2 2 = 0 ∂x ∂x ∂t! ∂t ∂x ∂t ∂x ∂t ∂2 θ ∂2 u0 ∂w0 ∂2 θ ∂2 u0 ∂4 u0 ∂4 θ A22 2 − A12 2 + A33 − θ − I22 2 + I12 2 − µI12 2 2 + µI22 2 2 = 0 (10) ∂x ∂x ∂x ∂t ∂t ∂x ∂t ∂x ∂t ∂2 w0 ∂θ ∂2 w0 ∂4 w0 ! A33 − − I11 2 + µI11 2 2 = 0 ∂x2 ∂x ∂t ∂x ∂t và các điều kiện biên tương ứng ∂u0 ∂θ ∂3 u0 ∂3 θ ! u0 = 0 or A11 − A12 + µ I11 − I12 =0 ∂x ∂x ! ∂x∂t 3 2 ∂x∂t2 ∂w0 ∂ w0 w0 = 0 or A33 − θ + µI11 =0 (11) ∂x ∂x∂t2 ∂u0 ∂θ ∂2 w0 ∂3 u0 ∂3 θ ! θ0 = 0 or A12 − A22 + µ I11 2 + I12 − I22 =0 ∂x ∂x ∂t ∂x∂t2 ∂x∂t2 Đặt: Z∞ {U, Θ, W} = {u0 (x, t), θ(x, t), w0 (x, t)} e−iωt dt (12) −∞ Phương trình dao động (10) trong miền tần số có dạng: 2 d Θ   d2 U  2 A11 − µI11 ω2 − A 12 − µI 12 ω + I11 ω2 U − I12 ω2 Θ = 0 dx2 dx2 2 d Θ   d2 U   2 dW   − A12 − µI12 ω2 2 + A 22 − µI 22 ω 2 + A33 − I12 ω2 U + I22 ω2 − A33 Θ = 0 (13) dx dx dx   d2 W dΘ A33 − µI11 ω2 − A33 + I11 ω2 W = 0 dx2 dx 52
  5. Đạt, P. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Đưa vào các ma trận và vectơ:    A11 − µI11 ω2 µI ω 2   h i   − A12 − 12 0  ˜ =  − A12 − µI12 ω2  A22 − µI22 ω 2  A  0  A33 − µI11 ω2  0 0 (14)  I11 ω2 −I12 ω2       h i  0 0 0  h i 0    U   ˜ =  0 ˜ =  −I12 ω2 I22 ω2 − A33 {z} =  Θ   B 0 A33  ; C 0  ;        0 −A33 0   0 0 I11 ω2   W     Phương trình (13) có thể viết dưới dạng ma trận: h i h i h i ˜ z00 + B A ˜ z0 + C˜ {z} = {0} (15) Chọn nghiệm của phương trình (15) dưới dạng {z0 } = {d} eλx dẫn đến  h i h i h i λ2 A˜ +λ B ˜ + C ˜ {d} = {0} (16) Phương trình (16) có nghiệm khi  h i h i h i det λ2 A ˜ +λ B ˜ + C ˜ =0 (17) Từ đó ta nhận được phương trình bậc ba của η = λ2 : η3 + aη2 + bη + c = 0. Ký hiệu η1 , η2 , η3 là nghiệm của phương trình bậc ba và √ λ1,4 = ±k1 ; λ2,5 = ±k2 ; λ3,6 = ±k3 ; kj = η j; j = 1, 2, 3 (18) 6 n o d j eλ j x . Từ phương trình X Nghiệm tổng quát của phương trình (15) có dạng là {z0 (x, ω)} = j=1 đầu tiên và phương trình thứ ba của (16), ta có:  α1C1 α2C2 α3C3 α4C4 α5C5 α6C6    n  k1 x k2 x k3 x −k1 x −k2 x −k3 x oT {z0 (x, ω)} =  C1 C2 C3 C4 C5 C6  · e e e e e e (19)  β1C1 β2C2 β3C3 β4C4 β5C5 β6C6  trong đó {C} = (C1 , ..., C 6 )T là các hằng số độc lập và   A12 − µI12 ω2 k12 + I12 ω2 A33 k1 α1 = = α4 ; β1 = = −β4 (20) A11 − µI11 ω k1 + I11 ω A33 − µI11 ω2 k12 + I11 ω2 2  2 2  Tương tự, α2 = α5 ; β2 = −β5 ; α3 = α6 ; β3 = −β6 , phương trình (19) trở thành: {U, Θ, W}T = [G(x, ω)] {C} (21) trong đó  α1 ek1 x α2 ek2 x α3 ek3 x α1 e−k1 x α2 e−k2 x α3 e−k3 x    [G(x, ω)] =  e −k1 x −k2 x e−k3 x  k1 x k2 x k3 x  e e e e  (22) β1 ek1 x β2 ek2 x β3 ek3 x −β1 e−k1 x −β2 e−k2 x −β3 e−k3 x   53
  6. 1   A12   I12 2  k12  I12 2   4 ; 1  A33k1  4 A 11   I11  k1  I11  33 11  1 11 (20 2 2 2 A   I  2 k 2  I  2 Đạt, P. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng 2một Tương tự,Xét  phần 5; tử2dầm 5 ;FGM  nano 3 haichiều 6 ; 3như 6 2., phương  Hình Chuyển vị trình (19) và các lực trởnút tại đầu thành: của phần tử có dạng:      G ( x,  ) C   T n o U , , W Ue = {U1 , Θ1 , W1 , U2 , Θ2 , W2 }T ; {Pe } = {N1 , M1 , Q1 , N2 , M2 , Q2 }T ˆ (23) (21 đó trong đó 1ek1x  2Ue1k2=x z1 (0, ω); 3e Θ1 =z12e k3 x  k1x (0, ω); W 1 =2 e k x z3 (0,2 ω)  3e  k3 x   kx  Uk22 x= z1 (L, ω); Θ = z (L, ω); W2 =  z3k(L, ω)  i G(xN,1 =)− A11e− µI11ω ∂hexz1 − A12 −eµI 12ω ∂xze2 x=0; Q1 = e− A33 − µI11ωie ∂xz3 − A33z2 x=0 h 1 2 k3 x 2 2 i k1x 2 h 2x 2  k3 x (22  kMx = − A k −x µI ω2 k∂ xz − A −µI k x ω2 ∂ x z2 −µIk x ω2 z  k3 x  h  1e 1 1  2 e122  123e 3x 1   22i1e 1 22   h2 e 2 11 3  e z i N2 = A11 − µI11 ω ∂ x z1 − A12 − µI12 ω ∂ x z2 ; Q2 = A33 − µI11 ω ∂ x z3 − A x=03 2 2 2 x=L 33 2 x=L z1 − A22như Hình ω ∂ x z2.2 −Chuyển µI11 ω z3 vị và các lực tại đầu nú h    i Xét một phần tử dầm = A12FGM M2nano − µI12 ωhai∂ xchiều 2 − µI22 2 2 x=L hần tử có dạng: (24) y Q1 Q2 N1 L x N2 i j M1 M2 W1 W2 U1 U2 1 2 Hình 2. Nút Hìnhvà lựcvànút 2. Nút của lực nút của phần phần tử tử dầmdầm Timoshenko Timoshenko   ˆ (21)vào Thay U e {U(24), ta được   1 , 1 ,W"1 ,U 2 ,  2 #,W2 } ; Pe " {N1 , M 1 , Q T 1 , N 2 , M 2 , Q2 }T (23 [G(0, ω)]   # −BF (G) x=0 đó n o Ue = ˆ · {C} ; {Pe } =   · {C} (25) [G(L, ω)] BF (G) x=L với [BF ] là toán tử ma trân       A11 − µI11 ω2 ∂ x − A12 − µI12 ω2 ∂ x  0       [BF ] =  A12 − µI12 ω ∂ x − A22 − µI22 ω ∂ x −µI11 ω2 2 2    (26)   A33 − µI11 ω2 ∂ x  0 −A33 Khử vectơ hằng số {C} trong (25) dẫn đến #−1 n o h [G(0, ω)] "   # " −BF (G) x=0 i n o {Pe (ω)} =  BF (G) x=L  · 5[G(L, ω)] ˆe = K · U ˆ e (ω) · U ˆe (27) h i ˆ e là ma trận độ cúng động lực của phần tử dầm nano FGM. trong đó K 54
  7. Đạt, P. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Đối với một kết cấu dầm, khung gồm một số phần tử dầm nano FGM như trên, bằng cách cân ˆ bằng nội lực tại các nút của kết cấu, ta sẽ thu được ma trận độ cứng động lực K(ω) và vectơ lực nút Pˆ của toàn kết cấu. Gọi Uˆ là vectơ các chuyển vị nút của kết cấu, phương trình chuyển động của kết cấu theo DSM là h i n o n o ˆ K(ω) ˆ = Pˆ · U (28) Do đó, tần số dao động tự do {ω} = {ω1 ω2 ... ωn } có thể được tìm thấy từ phương trình ˆ det[K(ω)] =0 (29) 3. Kết quả tính toán và thảo luận 3.1. So sánh kết quả tính toán với các kết quả công bố Trong mục này, các kết quả tính toán số theo mô hình DSM-NET đề xuất được so sánh với kết quả đã công bố để kiểm tra độ tin p cậy của mô hình. So sánh đầu tiên được thực hiện đối với tần số cơ bản không nguyên λ1 = ω1 .L . ρt A/Et I của một dầm nano đồng nhất không cục bộ đơn giản theo bốn 2 lý thuyết dầm không cục bộ: Euler-Bernoulli (EBT), Timoshenko (TBT), Reddy (RBT) và Levinson (LBT). Các kết quả từ mô hình DSM-NET đề xuất trong Bảng 1 khá phù hợp với các kết quả giải tích của Reddy [8] với các thông số không cục bộ khác nhau. Bảng 1. So sánh tần số cơ bản không thứ nguyên λ1 = ω1 .L2 . ρt A/Et I của một dầm nano đơn giản với các p tham số không cục bộ khác nhau (tỷ số L/h = 10) µ (10−18 ) EBT [8] TBT [8] RBT [8] LBT [8] Kết quả 0 9,8696 9,7454 9,7454 9,7657 9,7451 0,5 9,6347 9,5135 9,5135 9,5333 9,5132 1,0 9,4159 9,2973 9,2974 9,3168 9,2971 1,5 9,2113 9,0953 9,0954 9,1144 9,0951 2,0 9,0195 8,9059 8,9060 8,9246 8,9057 2,5 8,8392 8,7279 8,7279 8,7462 8,7277 3,0 8,6693 8,5601 8,5602 8,5780 8,5599 3,5 8,5088 8,4017 8,4017 8,4193 8,4015 4,0 8,3569 8,2517 8,2517 8,2690 8,2515 4,5 8,2129 8,1095 8,1095 8,1265 8,1093 5,0 8,0761 7,9744 7,9744 7,9911 7,9742 So sánh thứ hai được thực hiện cho một dầm nano FGM đơn giản với các thông số hình học và vật liệu là: L = 10 nm, b = h = L/10 = 1 nm ; Et = 70 Gpa, Gt = 26 Gpa, ρt = 2700 kg/m3 ; Eb = 393 Gpa, Gb = 157 Gpa, ρb = 3960 kg/m3 [30]. Kết quả tính toán cho 3 tần số không thứ nguyên đầu tiên λi = ωi .L2 . ρt A/Et I, i = 1, 2, 3 đối với trục trung hòa (NA) và trục giữa mặt phẳng p (MA) theo DSM-NET được so sánh với kết quả của Eltaher và cs. [30] sử dụng FEM với 100 phần tử được thể hiện trong Bảng 2. Có thể thấy kết quả khá tốt, đặc biệt khi tính đến vị trí thực của trục trung hòa thì sai số nhỏ hơn 0,5%. Các so sánh kết quả tính toán trên với các kết quả đã công bố cho thấy độ tin cậy của mô hình DSM-NET đề xuất. 55
  8. Đạt, P. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Bảng 2. So sánh 3 tần số không thứ nguyên đầu tiên của dầm nano với kết quả của Eltaher và cs. µ Frqs MA NA MA NA MA NA MA NA (10−19 ) (λi ) (Kết quả) (Kết quả) [30] [30] (Kết quả) (Kết quả) [30] [30] n=0 n = 0,5 1 9,7075 9,7075 9,7032 9,7032 14,5998 13,6072 14,8669 13,6100 2 37,0962 37,0962 37,0382 37,0382 51,8360 52,1179 52,7163 52,1595 3 78,1547 78,1547 77,9135 77,9135 110,6544 110,1423 119,2343 110,3186 0 n=5 n = 10 1 17,0278 16,7305 17,1057 16,7366 17,6526 17,5472 17,6845 17,5542 2 64,1874 64,2634 65,6963 64,3491 67,2760 67,3039 67,8750 67,4009 3 136,4469 136,2956 139,3094 136,6522 142,5265 142,4755 143,8072 142,8763 n=0 n = 0,5 1 8,8713 8,8713 8,8674 8,8674 13,3416 12,4351 13,5863 12,4377 2 27,7303 27,7303 27,6870 27,6870 38,8463 38,9595 42,3969 38,9905 3 46,9034 46,9034 46,7622 46,7622 66,5345 66,1005 71,5567 66,2061 2,0 n=5 n = 10 1 15,5611 15,2894 15,6323 15,2950 16,1321 16,0358 16,1613 16,0421 2 48,0080 48,0385 49,1097 48,1026 50,3002 50,3114 50,7383 50,3839 3 81,9216 81,7958 83,6044 82,0098 85,5480 85,5045 86,3037 85,7451 n=0 n = 0,5 1 8,2196 8,2196 8,2160 8,2160 12,3611 11,5216 12,5883 11,5241 2 23,0989 23,0989 23,0628 23,0628 32,3883 32,4527 35,3159 32,4785 3 36,6272 36,6272 36,5169 36,5169 51,9778 51,6184 55,8791 51,7008 4,0 n=5 n = 10 1 14,4179 14,1662 14,4840 14,1714 14,9470 14,8578 14,9741 14,8637 2 39,9980 40,0154 40,9076 40,0687 41,9022 41,9086 42,2642 41,9690 3 63,9788 63,8749 65,2873 64,0420 66,8071 66,7711 67,3952 66,6590 3.2. Dao động tự do của dầm bậc nano FGM b b1 b h h h1 h1 b1 h h hh L1 L1 L1 L L L1 L (a) Chiều rộng (b) Chiều caoL (a) Chiều (a) rộng Hình 3. Dầm nano FGM thay đổi dạng(b) Chiều rộng bậcChiều cao (b) Chiều cao Hình Trong mục này, dầm3. bậcDầm nanovớiFGM nano FGM thay các thông đổi học số hình dạng bậc và vật liệu như sau: L=10nm, Hình 3. Dầm b=h=1nm, Et=70Gpa, nano 3FGM t=2700kg/m ; Eb= thay đổi dạng 393Gpa, bậc 3, vt=vb=0.3, n=0.5 [30] sẽ b=3960kg/m Trong mục đượcnày,nghiên dầm bậc nano cứu (Hình 4). CácFGM kết quảvới đượccáctínhthông toán chosốbahình tần sốhọc không vàthứ vật liệu đầu nguyên nhưtiênsau: L=10nm,     tt =2700kg/m  số hìnhhọc 2 b=h=1nm, Trong mục này, Et=70Gpa, dầm i .L . i bậc nano A E I ; i 1, 2,3 t FGM với ;các có 3 xét đến trục trung hòa với các điều kiện3biên: đơn giản (S-S), Ebthông = 393Gpa, b=3960kg/m và vật liệu, vnhư t=vbsau: =0.3, L =n=0.5 10 nm, [30] sẽ hai kết đầu (CC) – gối tựa 4 trường b = hđược = 1 nm, nghiên Et =cứu công (Hình xôn (CF),4). 70 Gpa, ρt ngàm = Các2700 kg/m quả ; được 3 và Engàm b = tính 393 toán Gpa, ρ (C-Scho b = ) vớiba 3960tần hợpkhông số kg/m nghiên 3 , v t = cứu: thứ v b = nguyên 0,3, n đầu = tiên A1) Dầm nano có chiều cao bậc (h1/h = 0,8) tại các vị trí khác nhau: L1/L = 0, 0,1, ..., 1,0 trong đó i sẽ 0,5 [30]  được i .L .p t L 2 nghiên A1/LEcứu =t I0 ;tương  1,ứng i(Hình 2,34). có Cácxét h1=0,8h kếtđến trên quảbộtrục toàn được Ltính dầm,trung1/L=1hòa toán tươngcho ứngba với các h1=htầnđiều trênsốtoàn không kiện biên: bộ dầm.thứ nguyên đơn giản đầu(S-S), tiên λcông i = ω .L 2 . ixôn (CF), ρ A/E B1) t ngàm t I; Dầm i = nano 1, hai đầu2, có 3 chiều có (CC) xét rộng đến bậc và ngàm(b trục 1 /b = trung – gốibtựa 0,8) tại hòa các vị với trí các khác (C-S ) ứng điều nhau: L kiện với 4=1trường /L = biên: 0, 0,1, đơn ..., hợpdầm. 1,0 giản trong nghiên cứu:(S-S), công xôn (CF), ngàmđóhai b1/bđầu = 0 tương (CC)ứng vàb1ngàm =0,8b trên– gối toàntựa (C-S1/b) với bộ dầm, = 1 tương 4 trườngb1hợp b trên toàn bộcứu: nghiên A1) Dầm nanoA2) cóDầm chiều nano có chiều cao 1bậc tại vị trí L1/L = 0,5 với tỷ lệ khác nhau: h1/h 1= 1,0,0,8, ..., 0,2;..., 1,0 trong đó cao bậc (h /h = 0,8) tại các vị trí khác nhau: L /L = 0, 0,1, L1/L = 0 tươngB2)ứng Dầmhnano 1=0,8h trênrộng có chiều toànbậcbộ tại vị56 dầm, trí L1/L 0,5 vớitương L1=/L=1 tỷ lệ khácứng nhau:h1b=h trên 1/b = toàn 1,0,0,8, ..., bộ 0,2. dầm. Hình 4 thể hiện sự thay đổi ba tần số không thứ nguyên đầu tiên của dầm bậc nano FGM với B1) Dầm nanocáccóvị chiều rộng bậc (b1/bbộ=và0,8) trí bậc, tham số không cục tại các vị trí khác nhau: L1/L điều kiện biên khác nhau. Hình 5 thể hiện = 0, 0,1, ..., 1,0 trong sự thay đổi của đó b1/b = 0 tương ba tầnứng số đầu b1tiên =0,8b này của trên dầmtoàn nanobộ FGM dầm, có bậcb1tại/bvị=trí1Ltương 1/L = 0,5ứngvới cácb1tỷ=lệbbước, trêntham toànsốbộ dầm. không cục bộ và điều kiện biên khác nhau. Từ các hình vẽ ta có các nhận xét sau: A2) Dầm nano có chiều cao bậc tại vị trí L1/L = 0,5 với tỷ lệ khác nhau: h1/h = 1,0,0,8, ..., 0,2; a) Tồn tại các vị trí bậc trên dầm FGM có ảnh hưởng lớn đến một tần số không thứ nguyên nhất
  9. sốsố phần phần thểthể tích và và tích tham số số không cụccục tăng bộ bộ (Hình tăng (Hình6b, 6b, 7b).7b). b)b)Sự thay Sự thay đổiđổicủa của sốtham tầntần cơ cơ số không bảnbản khôngkhôngthứthứ nguyên nguyên do do số chỉ chỉphần số phần thể tích thể tích gâylàra gây ra rõlàrệtrõhơn hơn so rệt so thay b) b)SựSự thay đổi của đổi tần của số tần cơ số bản cơ không bản không thứ nguyên thứ nguyên do chỉ do số chỉ phần số thể thể phần tíchtích gâygâyra làrarõlàrệt rõ hơn rệt so so hơn vớivớithamtham số số không không cụccục bộ bộ gâygây ra. ra. vớivới tham số không cục bộ tham số không cục bộ gây ra. gây ra. c)c) c)KhiKhi lệtỷ tỷtỷtỷ lệ lệbậc tăng bậcbậc tăng tăng lên,lên, lên, cáccác các tần tần tầnsố cơ sốcơ cơ bản bản sốbản khôngkhông thứ thứ nguyên nguyên ứngứng ứng với điều với điều kiện điềuđiều kiện biên biên S-S S-S S-S theo theo c)KhiKhi lệ bậc tăng lên, các tần số cơ bảnkhôngkhông thứ nguyên thứ nguyên với với ứng kiệnkiện biênbiên theotheo S-S cùng cùng cùng một một mộtxu xuxu xu hướng hướng hướng hướng tăng tăng tăng tăng trong trong trong trong khi khi các khi cáccác các tần tần số tầntần trong số số trong trong điềuđiều điềuđiềukiệnkiện biên kiệnkiện biên C-F biên C-FC-F C-F giảm giảmgiảm cùng một Đạt, P. T., và khi cs. / Tạp chí số trong Khoa học Công nghệ Xây biên dựng giảm (a)(a) (b) (b) (a) (b) (a)(a) (b) (b) (c)(c) (d) (d) (c) (d) (c)(c) (d) (d) (c)(c) (d) (d) (c) (c) (d) (d) 9 9 9 9 (e) (f) (e) (e) (f) (f) 57
  10. Đạt, (e) P. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (e) (f) (f) (e) (f) (e) (f) (g)(g) (g) (h) (g)(g) (h)(h) (h) (h) (i)(i)(i) (i) (i) (j) (j)(j) (j) (j) 1010 10 10 (k) (k) (k) (l) (l)(l) HìnhHình Hình 4. 4.Ba4.tần Ba Basốsố tần tần số không không không thứthứthứ nguyên nguyên nguyên đầu đầu đầu tiên củatiên tiên dầmcủa của dầmFGM FGM dầm FGM bậc bậc nano bậc nano với vớitrícác cácvới nano vị các vịtham bậc, vị trí bậc, trí bậc, tham số phi địasố tham số phiphi địa địa phương phương phương vàvà và điều điều điều kiện kiện biên kiện biên khác biên khácnhau nhau khác nhau 58
  11. Đạt, P. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng A1) Dầm nano có chiều cao bậc (h1 /h = 0,8) tại các vị trí khác nhau: L1 /L = 0, 0,1, ... , 1,0 trong đó L1 /L = 0 tương ứng h1 = 0,8h trên toàn bộ dầm, L1 /L = 1 tương ứng h1 = h trên toàn bộ dầm. B1) Dầm nano có chiều rộng bậc (b1 /b = 0,8) tại các vị trí khác nhau: L1 /L = 0, 0,1, ... , 1,0 trong đó b1 /b = 0 tương ứng b1 = 0,8b trên toàn bộ dầm, b1 /b = 1 tương ứng b1 = b trên toàn bộ dầm. A2) Dầm nano có chiều cao bậc tại vị trí L1 /L = 0,5 với tỷ lệ khác nhau: h1 /h = 1,0, 0,8, ... , 0,2; B2) Dầm nano có chiều rộng bậc tại vị trí L1 /L = 0,5 với tỷ lệ khác nhau: b1 /b = 1,0, 0,8, ... , 0,2. Hình 4 thể hiện sự thay đổi ba tần số không thứ nguyên đầu tiên của dầm bậc nano FGM với các vị trí bậc, tham số không cục bộ và điều kiện biên khác nhau. Hình 5 thể hiện sự thay đổi của ba tần số đầu tiên này của dầm nano FGM có bậc tại vị trí L1 /L = 0,5 với các tỷ lệ bước, tham số không cục bộ và điều kiện biên khác nhau. Từ các hình vẽ ta có các nhận xét sau: a) Tồn tại các vị trí bậc trên dầm FGM có ảnh hưởng lớn đến một tần số không thứ nguyên nhất định. Vị trí này được gọi là các vị trí tới hạn đối với một tần số cho trước. Các vị trí điểm tới hạn tính từ đầu bên trái dầm nano là 0,5L đối với tần số đầu tiên ứng với các điều kiện biên S-S (Hình 4(a)) và C-F (Hình 4(d)); 0,2L với các điều kiện biên C-C (Hình 4(g)) và C-S (Hình 4(j)); 0,2L cho tần số thứ hai với điều kiện biên C-F (Hình 4(e)), 0,1L với các điều kiện biên C-C (Hình 4(h)) và C-S (Hình 4(k)). b) Tần số đầu tiên của dầm bậc nano FGM nhạy cảm nhất với vị trí bậc, tỷ lệ bậc và các điều kiện biên. Độ lệch lớn nhất của tần số đầu tiên là 3,5% (Hình 4(a)) và 78,4% (Hình 5(a)) cho điều kiện biên S-S, 11,9% (Hình 4(g)) và 32,89% (Hình 5(g)) cho điều kiện biên C-C, 12,99% (Hình 4(j)) và 5,1% (Hình 5(j)) cho điều kiện biên C-S, và lên đến 33,49% (Hình 4(d)) và 243,1% (Hình 5(d)) cho điều kiện biên CF. c) Các tần số không thứ nguyên ứng với các điều kiện biên C-C là cao nhất sau đó lần lượt là C-S, S-S và C-F trong hầu hết các trường hợp. d) Sự thay đổi của tần số không thứ nguyên do độ cao bậc gây ra tại các vị trí khác nhau là rõ rệt hơn so với do độ rộng bậc gây ra. e) Khi tham số không cục bộ µ tăng, độ lệch lớn nhất của tần số không thứ nguyên ứng với các điều kiện biên S-S, C-C và C-S giảm trong khi độ lệch lớn nhất của tần số đầu tiên ứng với dầm công xôn tăng lên đến 35,2% (Hình 4(d)) và 271,22% (Hình 5(d)). Khoảng cách giữa hai tần số liên tiếp giảm xuống khi tham số không cục bộ tăng. f) Khi tỷ lệ bước tăng lên, các tần số không thứ nguyên ứng với các điều kiện biên S-S, C-C và C-S tăng trong khi các tần số không thứ nguyên ứng với điều kiện biên C-F giảm. Đây được gọi là “nghịch lý không cục bộ”, đã được một số tác giả đề cập đến cho trường hợp vật liệu đồng nhất [14, 38–40]. Hình 6 cho thấy sự thay đổi tần số không thứ nguyên đầu tiên của dầm bậc nano FGM tại các vị trí bậc dọc dầm với các tham số không cục bộ và chỉ số phần thể tích khác nhau với các điều kiện biên S-S (Hình 6(a)) và C-F (Hình 6(b)). Hình 7 cho thấy sự thay đổi tần số cơ bản không thứ nguyên của dầm bậc nano FGM tại vị trí L1 /L = 0,5 với các tỷ lệ bậc, tham số không cục bộ và chỉ số phần thể tích với các điều kiện biên S-S (Hình 7(a)) và C-F (Hình 7(b)). Từ các đồ thị ta có các nhận xét sau: a) Các tần số cơ bản không thứ nguyên của dầm nano bậc ứng với điều kiện biên S-S (và C-C, C-S) tăng lên khi chỉ số phần thể tích tăng và tham số không cục bộ giảm (Hình 6(a), 7(a)). Ngược lại, tần số cơ bản không thứ nguyên của dầm nano bậc ứng với điều kiện biên C-F tăng khi chỉ số phần thể tích và tham số không cục bộ tăng (Hình 6(b), 7(b)). b) Sự thay đổi của tần số cơ bản không thứ nguyên do chỉ số phần thể tích gây ra là rõ rệt hơn so với tham số không cục bộ gây ra. c) Khi tỷ lệ bậc tăng lên, các tần số cơ bản không thứ nguyên ứng với điều kiện biên S-S theo cùng một xu hướng tăng trong khi các tần số trong điều kiện biên C-F giảm. 59
  12. (k) (k) (k) (k) (l)(l) (l) Hình Hình Hình Hình4.Ba 4.4. Ba 4.Ba Ba tần tần sốsố tần tần không không sốsố không khôngthứ thứ thứ nguyên nguyên nguyên thứ nguyên đầu đầu đầu tiên tiêncủa đầutiên tiên củadầm của của dầm dầm dầm FGM FGM FGM FGM bậc bậc bậcnano bậcnanovới nanovớicác với vịvị các các trítrí vị bậc, trí trí tham bậc, bậc, sốsố tham tham số phi phi phi phiđịa địa địa địaphương phương phương và phươngvàvàđiều vàđiều điềukiện điềukiện biên kiệnbiên kiện khác biênkhác biên nhau khácnhau khác nhau Đạt, P. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (a)(a) (a) (a) (b) (b) (b) (b) (a) (b) (c) (c) (c) (c) (d)(d) (d) (d) (c) (d) 1111 11 11 (e) (e)(e) (f)(f)(f) 60
  13. Đạt,(e) (e) (f) (f) dựng P. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây (e) (e) (f)(f) (g) (g) (h) (h) (g)(g) (g) (h) (h)(h) (i) (j) (i) (i) (i) (i) (j)(j) (j)(j) 1212 12 12 (k)(k) (k) (l)(l) (l) Hình Hình Hình 5.tần 5.5.BaBa Basốtần tần số không sốkhông không thứ thứ thứ nguyên nguyên nguyên đầu đầuđầu tiên tiên tiên củacủacủa dầmdầmdầm FGMFGMFGM bậc bậcbậc tại vịtại tại vịvị trí Ltrí1trí /L L1/L L1/L = =0,5 = 0,5 0,5với với tỷvới tỷlệlệ lệtỷbậc, bậc, bậc,tham tham số thamsốsốphi phi phiđịađịađịa phươngphương phương vàvà và điều điều điều kiện kiện kiện biên biên biên khác khác khácnhau nhau. nhau. 61
  14. (k) (l) Hình 5. Ba tần số không thứ nguyên đầu tiên của dầm FGM bậc tại vị trí L1/L = 0,5 với tỷ lệ Đạt,kiện bậc, tham số phi địa phương và điều P. biên T., khác và cs. / Tạp chí Khoa nhau. học Công nghệ Xây dựng (a) (a) S-SS-S (b)(b)C-F C-F Hình 6. Tần số không thứ nguyên đầu tiên của dầm FGM bậc với các vị trí bậc, tham số phi địa phương và chỉ số phần thể tích khác nhau với các điều kiện biên Hình 6. Tần số không thứ nguyên đầu tiên của dầm FGM bậc với các vị trí bậc, tham số phi địa phương và chỉ (b) C-F sốbậc Hình 6. Tần số không thứ nguyên đầu tiên của dầm FGM phầnvới cácthể vị trítích khác bậc, tham nhau số phi địa với các điều kiện biên phương và chỉ số phần thể tích khác nhau với các điều kiện biên 13 (a) S-S 14 (a) (a)S-S S-S (b)C-F (b) C-F Hình 7. Tần số không thứ nguyên đầu tiên của dầm FGM bậc với các tỷ lệ bậc, tham số phi địa Hình 7. Tần số không 14thứ nguyên đầu tiên của dầm FGM bậc với các tỷ lệ bậc, tham số phi địa phương phương và chỉ số phần thể tích khác nhau với các điều kiện biên a) S-S, b) C-F. và chỉ số phần thể tích khác nhau4. KẾT với các LUẬN điều kiện biên a) S-S, b) . C-F Trong bài báo này, các tác giả đã phát triển mô hình DSM để phân tích dao động tự do của dầm bậc nano FGM dựa trên NET, gọi là mô hình DSM-NET. Dầm bậc nano FGM được mô hình 4. Kết luận hóa theo lý thuyết dầm Timoshenko với các phương trình chuyển động được rút ra từ nguyên lý Hamilton. Dùng DSM-NET, các tác giả đã tìm được tần số và dạng dao động riêng của các kết cấu nano FGM dạng dầm, khung có xét đến vị trí thực của trục trung hòa cho các điều kiện biên khác Trong bài báo này, các tác giả đã phát triển mô hình DSM để phân tích dao động tự do của dầm nhau So sánh kết quả tính toán của DSM-NET với các kết quả đã công bố đã khẳng định độ tin cậy của mô hình. Đây là kết quả mới, được nhóm tác giả phát triển trong thời gian gần đây. bậc nano FGM dựa trên NET, gọi là mô hình DSM-NET. Dầm bậc nano FGM được mô hình hóa Từ đó, các tác giả đã tiến hành các khảo sát số nhằm đánh giá ảnh hưởng của tham số phân theo lý thuyết dầm Timoshenko với các phương trình chuyển động được rút ra từ nguyên lý Hamilton. bố vật liệu, hình học, không cục bộ và các điều kiện biên đối với dao động tự do của các dầm bậc nano FGM. Các tác giả đã chỉ ra các vị trí tới hạn tại đó sự thay đổi bậc có ảnh hưởng lớn tới một Dùng DSM-NET, các tác giả đã tìm được tần số và dạng dao động riêng của các kết cấu nano FGM tần số nhất định, đặc biệt tần số không thứ nguyên cơ bản, và sự thay đổi của dầm bậc theo độ cao là rõ rệt hơn dầm bậc theo bề rộng. Đồng thời sự thay đổi của chỉ số phần thể tích gây ra là rõ rệt dạng dầm, khung có xét đến vị trí thực của trục trung hòa cho các điều kiện biên khác nhau So sánh hơn so với tham số không cục bộ, ảnh hưởng của tham số không cục bộ đối với các tần số cao lớn hơn nhiều so với các tần số thấp. Ngoài ra, các tác giả cũng chỉ ra “nghịch lý không cục bộ” xuất kết quả tính toán của DSM-NET với các kết quả đã công bố đã khẳng định độ tin cậy của mô hình. hiện đối với tần số đầu tiên của dầm công xôn. Nghiên cứu này là bước đầu cho các nghiên cứu tiếp theo về các kết cấu nano FGM khác như dầm liên tục, khung nano nhiều bậc phức tạp hơn. Đây là kết quả mới, được nhóm tác giả phát triển trong thời gian gần đây. Từ đó, các tác giả đã tiến hành các khảo sátLờisố cảmnhằm ơn đánh giá ảnh hưởng của tham số phân bố Nghiên cứu này do Trường Đại học Xây dựng tài trợ theo đề tài mã số 35-2020/KHXD-TĐ vật liệu, hình học, không cục bộ và các điều kiện biên đối với dao động tự do của các dầm bậc nano FGM. Các tác giả đã chỉ ra các vị trí tới hạn tại đó sự thay đổi bậc có ảnh hưởng lớn tới một tần số nhất định, đặc biệt tần số không thứ nguyên cơ bản, và sự thay đổi của dầm bậc theo độ cao là rõ rệt hơn dầm bậc theo bề rộng. Đồng thời sự thay đổi của chỉ số phần thể tích gây 15 ra là rõ rệt hơn so với tham số không cục bộ, ảnh hưởng của tham số không cục bộ đối với các tần số cao lớn hơn nhiều so 62
  15. Đạt, P. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng với các tần số thấp. Ngoài ra, các tác giả cũng chỉ ra “nghịch lý không cục bộ” xuất hiện đối với tần số đầu tiên của dầm công xôn. Nghiên cứu này là bước đầu cho các nghiên cứu tiếp theo về các kết cấu nano FGM khác như dầm liên tục, khung nano nhiều bậc phức tạp hơn. Lời cảm ơn Nghiên cứu này do Trường Đại học Xây dựng tài trợ theo đề tài mã số 35-2020/KHXD-TĐ. Tài liệu tham khảo [1] Shen, H.-S. (2016). Functionally graded materials: nonlinear analysis of plates and shells. CRC press. [2] Mahamood, R. M., Akinlabi, E. T. (2017). Functionally Graded Materials. Springer International Pub- lishing. [3] Eringen, A. C. (2002). Nonlocal continuum field theories. Springer Science & Business Media. [4] Karliˇci´c, D., Murmu, T., Adhikari, S., McCarthy, M. (2015). Non-Local Structural Mechanics. John Wiley & Sons, Inc. [5] Polizzotto, C. (2001). Nonlocal elasticity and related variational principles. International Journal of Solids and Structures, 38(42-43):7359–7380. [6] Eltaher, M. A., Khater, M. E., Emam, S. A. (2016). A review on nonlocal elastic models for bending, buckling, vibrations, and wave propagation of nanoscale beams. Applied Mathematical Modelling, 40 (5-6):4109–4128. [7] Salehipour, H., Shahidi, A. R., Nahvi, H. (2015). Modified nonlocal elasticity theory for functionally graded materials. International Journal of Engineering Science, 90:44–57. [8] Reddy, J. N. (2007). Nonlocal theories for bending, buckling and vibration of beams. International Journal of Engineering Science, 45(2-8):288–307. [9] Wang, C. M., Zhang, Y. Y., He, X. Q. (2007). Vibration of nonlocal Timoshenko beams. Nanotechnology, 18(10):105401. [10] Li, C., Lim, C. W., Yu, J. L., Zeng, Q. C. (2011). Analytical solutions for vibration of simply supported nonlocal nanobeams with an axial force. International Journal of Structural Stability and Dynamics, 11 (02):257–271. [11] Aydogdu, M. (2009). A general nonlocal beam theory: Its application to nanobeam bending, buckling and vibration. Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures, 41(9):1651–1655. [12] Wang, C. M., Kitipornchai, S., Lim, C. W., Eisenberger, M. (2008). Beam bending solutions based on nonlocal Timoshenko beam theory. Journal of Engineering Mechanics, 134(6):475–481. [13] Chakraverty, S., Behera, L. (2015). Free vibration of non-uniform nanobeams using Rayleigh–Ritz method. Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures, 67:38–46. [14] Eltaher, M. A., Alshorbagy, A. E., Mahmoud, F. F. (2013). Vibration analysis of Euler–Bernoulli nanobeams by using finite element method. Applied Mathematical Modelling, 37(7):4787–4797. [15] Eltaher, M. A., Mahmoud, F. F., Assie, A. E., Meletis, E. I. (2013). Coupling effects of nonlocal and surface energy on vibration analysis of nanobeams. Applied Mathematics and Computation, 224:760– 774. [16] Pradhan, S. C. (2012). Nonlocal finite element analysis and small scale effects of CNTs with Timoshenko beam theory. Finite Elements in Analysis and Design, 50:8–20. [17] de Sciarra, F. M. (2014). Finite element modelling of nonlocal beams. Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures, 59:144–149. [18] Tuna, M., Kirca, M. (2017). Bending, buckling and free vibration analysis of Euler-Bernoulli nanobeams using Eringen’s nonlocal integral model via finite element method. Composite Structures, 179:269–284. [19] Alotta, G., Failla, G., Zingales, M. (2014). Finite element method for a nonlocal Timoshenko beam model. Finite Elements in Analysis and Design, 89:77–92. [20] Ebrahimi, F., Nasirzadeh, P. (2015). A nonlocal Timoshenko beam theory for vibration analysis of thick nanobeams using differential transform method. Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 1041. 63
  16. Đạt, P. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng [21] Jena, S. K., Chakraverty, S. (2018). Free vibration analysis of variable cross-section single layered graphene nano-ribbons (SLGNRs) using differential quadrature method. Frontiers in Built Environment, 4. [22] S¸ims¸ek, M., Yurtcu, H. H. (2013). Analytical solutions for bending and buckling of functionally graded nanobeams based on the nonlocal Timoshenko beam theory. Composite Structures, 97:378–386. [23] Rahmani, O., Pedram, O. (2014). Analysis and modeling the size effect on vibration of functionally graded nanobeams based on nonlocal Timoshenko beam theory. International Journal of Engineering Science, 77:55–70. [24] Mechab, I., Meiche, N. E., Bernard, F. (2016). Free vibration analysis of higher-order shear elasticity nanocomposite beams with consideration of nonlocal elasticity and Poisson effect. Journal of Nanome- chanics and Micromechanics, 6(3):04016006. [25] Uymaz, B. (2013). Forced vibration analysis of functionally graded beams using nonlocal elasticity. Composite Structures, 105:227–239. [26] Ebrahimi, F., Salari, E. (2015). A semi-analytical method for vibrational and buckling analysis of func- tionally graded nanobeams considering the physical neutral axis position. CMES: Comput. Model. Eng. Sci, 105(2):151–181. [27] Narendar, S., Gopalakrishnan, S. (2011). Spectral finite element formulation for nanorods via nonlocal continuum mechanics. Journal of Applied Mechanics, 78(6). [28] Eltaher, M. A., Alshorbagy, A. E., Mahmoud, F. F. (2013). Determination of neutral axis position and its effect on natural frequencies of functionally graded macro/nanobeams. Composite Structures, 99: 193–201. [29] Eltaher, M. A., Alshorbagy, A. E., Mahmoud, F. F. (2013). Determination of neutral axis position and its effect on natural frequencies of functionally graded macro/nanobeams. Composite Structures, 99: 193–201. [30] Eltaher, M. A., Abdelrahman, A. A., Al-Nabawy, A., Khater, M., Mansour, A. (2014). Vibration of non- linear graduation of nano-Timoshenko beam considering the neutral axis position. Applied Mathematics and Computation, 235:512–529. [31] Eltaher, M. A., Khairy, A., Sadoun, A. M., Omar, F.-A. (2014). Static and buckling analysis of functionally graded Timoshenko nanobeams. Applied Mathematics and Computation, 229:283–295. [32] Aria, A. I., Friswell, M. I. (2019). A nonlocal finite element model for buckling and vibration of func- tionally graded nanobeams. Composites Part B: Engineering, 166:233–246. [33] Trinh, L. C., Vo, T. P., Thai, H.-T., Nguyen, T.-K. (2018). Size-dependent vibration of bi-directional functionally graded microbeams with arbitrary boundary conditions. Composites Part B: Engineering, 134:225–245. [34] Su, H., Banerjee, J. R. (2015). Development of dynamic stiffness method for free vibration of functionally graded Timoshenko beams. Computers & Structures, 147:107–116. [35] Lien, T. V., Duc, N. T., Khiem, N. T. (2019). Free and forced vibration analysis of multiple cracked FGM multi span continuous beams using dynamic stiffness method. Latin American Journal of Solids and Structures, 16(2). [36] Lien, T. V., Khiem, N. T., Duc, N. T. (2016). Free vibration analysis of functionally graded Timoshenko beam using dynamic stiffness method. Journal of Science and Technology in Civil Engineering (STCE) - NUCE, 10(5):19–28. [37] Adhikari, S., Murmu, T., McCarthy, M. A. (2013). Dynamic finite element analysis of axially vibrating nonlocal rods. Finite Elements in Analysis and Design, 63:42–50. [38] Taima, M. S., El-Sayed, T. A., Farghaly, S. H. (2020). Free vibration analysis of multistepped nonlocal Bernoulli–Euler beams using dynamic stiffness matrix method. Journal of Vibration and Control, 27 (7-8):774–789. [39] Li, X.-F., Wang, B.-L. (2009). Vibrational modes of Timoshenko beams at small scales. Applied Physics Letters, 94(10):101903. [40] Ghavanloo, E., Rafii-Tabar, H., Fazelzadeh, S. A. (2019). Computational Continuum Mechanics of Nanoscopic Structures. Springer International Publishing. 64
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2