intTypePromotion=1
ADSENSE

Phát triển phương pháp Chebyshev- Ritz phân tích dao động tự do dầm cơ tính biến thiên

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

7
lượt xem
0
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết này đề xuất hàm xấp xỉ Ritz mới bằng cách cải tiến đa thức “Chebyshev loại I” để phân tích dao động tự do của dầm có vật liệu cơ tính biến thiên (FGM). Trường chuyển vị dầm dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến và thỏa điều kiện biên tự do ứng suất cắt.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phát triển phương pháp Chebyshev- Ritz phân tích dao động tự do dầm cơ tính biến thiên

  1. Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng, ĐHXDHN, 2022, 16 (1V): 79–91 PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP CHEBYSHEV-RITZ PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO DẦM CƠ TÍNH BIẾN THIÊN Nguyễn Thiện Nhâna , Nguyễn Ngọc Dươngb,∗, Nguyễn Trung Kiênb a Khoa Kỹ thuật – Công nghệ, Trường Đại học Kiên Giang, số 320A, Quốc lộ 61, Thị trấn Minh Lương, huyện Châu Thành, tỉnh Kiên Giang, Việt Nam b Khoa Xây dựng, Trường Đại học Sư phạm kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh, 01 đường Võ Văn Ngân, quận Thủ Đức, Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam Nhận ngày 22/06/2021, Sửa xong 27/07/2021, Chấp nhận đăng 16/08/2021 Tóm tắt Bài báo này đề xuất hàm xấp xỉ Ritz mới bằng cách cải tiến đa thức “Chebyshev loại I” để phân tích dao động tự do của dầm có vật liệu cơ tính biến thiên (FGM). Trường chuyển vị dầm dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến và thỏa điều kiện biên tự do ứng suất cắt. Mô hình phân bố vật liệu dầm dựa vào quy luật hàm số mũ. Phương trình Lagrange được sử dụng để thiết lập phương trình chủ đạo của bài toán. Các hàm xấp xỉ mới được đánh giá sự hiệu quả thông qua các các tiêu chí tốc độ hội tụ và chi phí tính toán. Các ví dụ số được thực hiện để khảo sát sự ảnh hưởng của mật độ phân bố vật liệu, tỉ lệ chiều dài/chiều cao và điều kiện biên đến tần số dao động riêng của dầm. Từ khoá: dầm FGM; phương pháp Ritz; phân tích dao động tự do; đa thức Chebyshev. DEVELOPMENT OF CHEBYSHEV-RITZ METHOD FOR FREE VIBRATION BEHAVIOR OF FUNC- TIONALLY GRADED MATERIAL BEAMS Abstract This paper proposes novel Ritz’s approximation functions by improving “Chebyshev Type I” for free vibration analysis of functionally graded material beams. The displacement field is based on a two-variable higher-order beam theory which satisfies the traction-free boundary conditions. The materials are supposed to vary contin- uously in the depth according to the power-law. Governing equations of motion are derived from Lagrange’s principle. The accuracy and efficiency of present approximation functions are evaluated through the criteria of convergence rate and computational costs. Numerical examples are performed to investigate the effects of the material distribution, length-to-height’s ratio, and boundary conditions to natural frequencies of the FGM beams. Keywords: FGM beams; Ritz method; free vibration analysis; Chebyshev polynomial. https://doi.org/10.31814/stce.huce(nuce)2022-16(1V)-07 © 2022 Trường Đại học Xây dựng Hà Nội (ĐHXDHN) 1. Giới thiệu Vật liệu cơ tính biến thiên (FGM) là một loại vật liệu tiên tiến, có đặc trưng cơ học thay đổi liên tục theo các hướng khác nhau. Nhờ vậy, FGM sử dụng phù hợp trong các điều kiện tương tác đa trường và không xảy ra hiện tượng tách lớp khi chịu tải trọng như các vật liệu composite truyền thống. Nhờ những đặc tính ưu việt này nên FGM được áp dụng phổ biến trong các ngành công nghiệp như: tàu thủy, ô tô, xây dựng, hàng không, . . . Để ứng dụng FGM vào thực tế, bên cạnh các nghiên cứu ∗ Tác giả đại diện. Địa chỉ e-mail: duongnn@hcmute.edu.vn (Dương, N. N.) 79
  2. Nhân, N. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng thực nghiệm, nhiều nghiên cứu mô phỏng cũng được thực hiện để đánh giá quy luật ứng xử của vật liệu. Nhiều lý thuyết và phương pháp được phát triển để phân tích ứng xử của kết cấu FGM, trong đó, dầm FGM thu hút sự quan tâm đặc biệt của nhiều nhà khoa học [1]. Lý thuyết dầm có thể chia thành ba nhóm chính: lý thuyết cổ điển (LTCĐ) [2–4], lý thuyết bậc nhất (LTBN) [5] và lý thuyết bậc cao (LTBC) [6–11]. LTCĐ bỏ qua biến dạng cắt, vì vậy, chỉ áp dụng phù hợp cho các dầm mỏng. LTBN kể đến biến dạng cắt, tuy nhiên, lý thuyết này cần hệ số biến dạng cắt để điều chỉnh sự phân bố không hợp lý của ứng suất cắt tại biên trên và dưới của dầm. Để khắc phục nhược điểm này, LTBC được các nhà khoa học đề xuất. Bằng cách phát triển các hàm biến dạng cắt bậc cao, trường chuyển vị của LTBC đáp ứng các điều kiện biên ứng suất của bài toán, vì vậy, lý thuyết này không cần hệ số điều chỉnh cắt. Có thể nói, LTBC tiện dụng và phân tích ứng xử của dầm chính xác hơn LTCĐ và LTBN. Trong nghiên cứu này, LTBC hai biến [11] được áp dụng để phân tích dao động tự do của dầm. Về phương pháp giải, các phương pháp số được sử dụng khá phổ biến để phân tích dầm FGM, đặc biệt là phần tử hữu hạn [12–14]. Bên cạnh đó, các phương pháp giải tích cũng được các nhà khoa học quan tâm vì độ chính xác của lời giải. Lời giải Navier là đơn giản nhất, tuy nhiên, lời giải này chỉ áp dụng phân tích dầm có điều kiện biên tựa đơn [10, 15]. Lời giải Levy cũng được đề xuất trong các nghiên cứu của Khdeir và Reddy [16], Trịnh và cs. [17] để phân tích dao động riêng dầm composite và FGM. Lời giải Ritz được nhiều nhà khoa học quan tâm vì tính tổng quát và giải quyết được các bài toán có điều kiện biên bất kỳ. Tính hiệu quả của phương pháp Ritz phụ thuộc vào các hàm xấp xỉ được chọn trước. Trong thời gian gần đây, nhiều nghiên cứu được thực hiện để phát triển các hàm xấp xỉ. Nguyễn và cs. [7], Simsek [18] đã đề xuất các hàm đa thức để phân tích dao động và ổn định dầm FGM. Các hàm đa thức thuần túy thường không thỏa các điều kiện biên động học của bài toán nên phương pháp nhân tử Lagrange hoặc hàm phạt được sử dụng để khử điều kiện biên. Hướng tiếp cận này làm tăng chi phí tính toán của lời giải vì tăng kích thước của các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng. Để khắc phục nhược điểm này, Pradhan và Chakraverty [19], Aydogdu [20, 21] đã đề xuất các hàm đa thức trực giao để phân tích dao động riêng của dầm. Tuy vậy, các hàm trực giao hiếm khi được sử dụng để phân tích tĩnh bài toán dầm. Gần đây, Nguyễn và cs. [11, 22, 23], Mantari và Canales [24], Khalili và cs. [25] đã đề xuất các hàm dạng hỗn hợp giữa hàm đa thức và lượng giác hoặc mũ để phân tích ứng xử của dầm. Ebrahimi và cs. [26] đề xuất các hàm “Chebyshev loại I” kết hợp đa thức khử điều kiện biên để phân tích tĩnh và dao động các dầm FGM có kích thước vi mô. Có thể thấy rằng, phương pháp Ritz khá hiệu quả trong việc phân tích ứng xử dầm FGM. Mặc dù vậy, tác giả nhận thấy chưa có nhiều nghiên cứu đánh giá và so sánh các hàm dạng xấp xỉ của lời giải Ritz. Vì vậy, vấn đề này cần có những nghiên cứu sâu hơn. Mục tiêu của bài báo này là (1) đề xuất một hàm xấp xỉ mới dựa trên việc cải tiến đa thức “Chebyshev loại I” và (2) đánh giá sự hiệu quả các hàm xấp xỉ này thông qua việc phân tích dao động tự do của dầm FGM. Mô hình dầm được xây dựng dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến. Phương trình chủ đạo được thành lập từ nguyên lý Lagrange. Tần số riêng của dầm FGM được so sánh với các kết quả nghiên cứu đã công bố để đánh giá sự hiệu quả của lời giải. Ảnh hưởng của sự phân bố mật độ vật liệu, tỷ lệ chiều dài/chiều cao, điều kiện biên đến tần số dao động riêng của dầm FGM được khảo sát và phân tích chi tiết. 2. Cơ sở lý thuyết 2.1. Quan hệ ứng suất và biến dạng Xét dầm FGM có tiết diện (b × h), chiều dài L, thể tích V, được tạo thành từ kim loại và gốm như Hình 1. Sự phân bố của các thành phần kim loại và gốm theo quy luật [10]: 80
  3. thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến. Phương trình chủ đạo được thành lập từ nguyên lý Lagrange. Tần số riêng của dầm FGM được so sánh với các kết quả nghiên cứu đã công bố để đánh giá sự hiệu quả của lời giải. Ảnh hưởng của sự phân bố mật độ vật liệu, tỷ lệ chiều dài/chiều cao, điều kiện biên đến tần số dao động riêng của dầm FGM được khảo sát và phân tích chi tiết. 2. Cơ sở lý thuyết 2.1Nhân, Quan hệN. ứngT., vàvàcs. suất biến/ dạng Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Hình 1. Sơ đồ hình học của dầm FGM Hình 1. Sơ đồ hình học của dầm FGM Xét dầm FGM có tiết diện (bxh), chiều dài L, thể tích V, được tạo thành từ kim loại và gốm như Hình 1. Sự phân bố của các thành phần kim loại và gốm theo quy luật [10]: P(z) = PP ( z )m= P++(P m )V Pm ) Vc ( P -cP− c m c (1a) (1a) 1 z V =( + ) !p p 12 h z c (1b) Vc =V + V =+1 (1b) 2 h m c (1c) Vm + Vc = 1 (1c) 3 trong đó Pc , Ptrong đó Pc , Pcho m đại diện m đạimodule diện cho đàn module hồiđàn E,hồi hệ Esố, hệ ν vàn khối số Possion Poisson và khối riêng ρr của gốm, kim lượngriêng lượng Vc , Vm lần lượt là tỉ lệ thể tích của thành phần gốm và kim loại trong loại; Vc , Vm lần lượt là tỉ lệ thể tích của thành phần gốm và kim loại trong vật liệu FGM; p là số tự của gốm, kim loại; nhiên: khi p = vật0liệu P(z) =p là → FGM; Pcsố tự nhiên: , dầm hoànkhitoàn p =bằng 0 ® Pgốm; (z) = Pckhi p= , dầm hoàn ∞ toàn bằng = → P(z) gốm; Pm ,khi dầm hoàn toàn p = ¥ ® P (z) = P bằng kim loại. Sự phân bố Vmc, theo chiềutoàn dầm hoàn caobằng dầmkim tương loại.ứng với các Sự phân V bố giátheo c trị pchiều kháccaonhau dầmđược thể hiện ở Hình 2. tương ứng với các giá trị p khác nhau được thể hiện ở Hình 2. Hình Hình 2.2.SựSựphân phânbố bốtỉtỉlệlệthể thể tích tích V Vc dọc chiều cao tiết diện dầm c dọc chiều cao tiết diện dầm Phương trình ứng xử của dầm FGM được xác định bởi biểu thức sau [10]: Phương trình ứng xử của dầm FGM được s =Qxác e ;định s =Q bởig biểu thức sau [10]: x 11 x xz 55 xz (2) trong đó: σ x = Q11 ε x ; σ xz = Q55 γ xz (2) E( z) trong đó: Q11 ( z ) = E ( z ); Q55 ( z ) = (3) 2[1 + n ( z )] E(z) 2.2 Trường chuyển vịQ11 (z) = E(z); Q55 (z) = 2[1 + ν(z)] (3) Trường chuyển vị của lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến [11]: æA ö æ A ö u ( x, z, t ) = ç 2 - z ÷ wb, x ( x, t ) + ç g ( z ) - 3 ÷ ws , x ( x, t ) (4a) è A1 ø è A1 ø w( x, z, t ) = w81 b ( x, t ) + ws ( x, t ) (4b)
  4. Nhân, N. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng 2.2. Trường chuyển vị Trường chuyển vị của lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến [11]: ! ! A2 A3 u(x, z, t) = − z wb,x (x, t) + g(z) − w s,x (x, t) (4a) A1 A1 w(x, z, t) = wb (x, t) + w s (x, t) (4b) 5z3 ! z trong đó: g(z) = − là hàm biến dạng cắt bậc cao; wb (x) và w s (x) lần lượt là chuyển vị ngang 4 3h2 tại điểm trên trục trung hòa do thành phần biến dạng uốn và cắt gây ra; Các hệ số A1 , A2 và A3 được xác định theo biểu thức: Zh/2 (A1 ; A2 ; A3 ) = Q11 (z)(1; z; g)bdz (5) −h/2 Trường biến dạng của dầm có dạng: ∂u ! ! A2 A3 εx = = − z wb,xx + g − w s,xx (6) ∂x A1 A1 ∂w ∂u γ xz = + = (1 + g,z )w s,x (7) ∂x ∂z 2.3. Các biểu thức năng lượng Năng lượng biến dạng của hệ: 1 L Z Z 1  U= (σ xx ε x + σ xz γ xz ) dV = B1 w2b,xx + 2B2 wb,xx w s,xx + B3 w2s,xx + Dw2s,x dx (8) 2 2 0 V trong đó: Zh/2   A2 !2 ! ! !2  A2 A 3 A 3 (B1 ; B2 ; B3 ) =  Q11 (z)  −z ; −z g− ; g−  bdz (9) A1 A1 A1 A1  −h/2 n X D= Q55 (z)(1 + g,z )2 bdz (10) k=1 Động năng của hệ: Z ZL  1 1  K= ρ(˙u + w˙ )dV = 2 2 J1 w˙ 2b,x + 2J2 w˙ b,x w˙ s,x + J3 w˙ 2s,x + J4 w˙ 2b + 2J4 w˙ b w˙ s + J4 w˙ 2s dx (11) 2 2 V 0 trong đó: Zh/2   A2 !2 ! ! !2  A2 A 3 A 3 (J1 ; J2 ; J3 ; J4 ) = ρ(z)   −z ; −z g− ; g− ; 1 bdz (12) A1 A1 A1 A1 −h/2 82
  5. Nhân, N. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Tổng năng lượng của hệ: 1 L Z  Π =U − K = B1 w2b,xx + 2B2 wb,xx w s,xx + B3 w2s,xx + Dw2s,x dx 2 0 ZL  (13) 1  − J1 w˙ 2b,x + 2J2 w˙ b,x w˙ s,x + J3 w˙ 2s,x + J4 w˙ 2b + 2J4 w˙ b w˙ s + J4 w˙ 2s dx 2 0 2.4. Phương pháp Chebyshev-Ritz Theo các nghiên cứu [23, 24], trường chuyển vị được xấp xỉ theo phương pháp Ritz như sau: N X wb (x, t) = φ∗j (x)wb j eiωt (14a) j=1 N X w s (x, t) = φ∗j (x)w s j eiωt (14b) j=1 trong đó: i là đơn vị ảo, i2 = −1; wb j , w s j là các thông số cần xác định; ω là tần số dao động riêng của dầm; φ∗j (x) là hàm xấp xỉ được chọn trước và thỏa mãn điều kiện biên của dầm tựa đơn-tựa đơn (SS), ngàm-tựa đơn (CF) và ngàm-ngàm (CC) cho ở Bảng 1. Bảng 1. Các điều kiện biên (ĐKB) động học của dầm ĐKB x=0 x=L SS w s = wb = 0 w s = wb = 0 w s = wb = 0 CF - w s,x = wb,x = 0 w s = wb = 0 w s = wb = 0 CC w s,x = wb,x = 0 w s,x = wb,x = 0 Trong nghiên cứu này, các hàm xấp xỉ φ∗j (x) được phát triển từ đa thức “Chebyshev loại I” như sau: T 0 (θ) = 1, T 1 (θ) = θ ( (15) T n+1 (θ) = 2θT n (θ) − T n−1 (θ) trong đó: T n (θ) ∈ [−1; 1], θ ∈ [−1; 1], n ∈ N và đồ thị của 5 hàm “Chebyshev loại I” đầu tiên được thể hiện ở Hình 3. Có thể thấy rằng, các đa thức “Chebyshev loại I” không thỏa mãn các điều kiện biên của bài toán. Vì vậy, tác giả đề xuất hàm “Chebyshev cải tiến” được định nghĩa: T n∗ (θ) = T n (1 − θ) − 1; θ ∈ [0; 1] (16) Dựa vào đồ thị Hình 4 có thể thấy rằng đa thức T n∗ (θ) luôn có nghiệm θ = 0; ∀n ≥ 1. Từ đó, các hàm xấp xỉ φ∗j (x) với các điều kiện biên SS, CF và CC được đề xuất trong Bảng 2. Có thể nhận thấy rằng các hàm xấp xỉ ở Bảng 2 thỏa các điều kiện biên động học của dầm SS, CF và CC được cho trong Bảng 1. 83
  6. Hình 3. Đồ thị đa thức Chebyshev ứng với bậc n và q Î [-1;1] Có thể thấy rằng, các đa thức “Chebyshev loại I” không thỏa mãn các điều kiện biên củ bài toán. Vì vậy, tác giả đề xuất hàm “Chebyshev cải tiến” được định nghĩa: Tn (qdựng Nhân, N. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây ) = Tn (1 - q ) - 1;q Î [0;1] * (16 1 0 0,8 -0,2 0,6 -0,4 0,4 -0,6 n=1 0,2 -0,8 n=2 n=3 Tn*(q) Tn(q) 0 -1 n=4 -0,2 -1,2 n=0 -0,4 n=1 -1,4 n=2 -0,6 -1,6 n=3 -0,8 n=4 -1,8 -1 -2 -1 -0,5 0 0,5 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 q q Đồ thị đa thức Chebyshev cải tiến ứng với bậc n và q Î [0;1] Hình Hình 3. 3.Đồ Đồthị thị đa đathức Chebyshev thức ứng với Chebyshev bậcvới ứng n vàbậc và Hình q Î [n-1;1] Hình4.4. Đồ thị đa thức Chebyshev cải tiến ứng với bậc θ ∈ [−1; Có thể thấy rằng, các đa thức “Chebyshev loại1] I” không thỏa mãn các điều kiện biên của n và θ ∈ [0; 1] bài toán. Vì vậy, tác giả đề xuất hàm “Chebyshev cải tiến” được định nghĩa: Tn* (q ) = Tn (1 - q ) - 1;q Î [0;1] (16) Bảng 2. Hàm xấp xỉ ứng với các điều kiện biên khác nhau 7 0 -0,2 Điều kiện biên φ∗j (x) -0,4 ∗ x   x  -0,6 ∗ SS Tj T −1 -0,8 n=1 n=2 L j L n=3   x 2 Tn*(q) -1 CF n=4 T ∗j -1,2 L   x 2   x 2 -1,4 CC T ∗j T ∗j 1 − -1,6 L L -1,8 Thay -2 0 phương 0,2 trình0,4(14a) và 0,6 (14b) 0,8vào phương 1 trình (13) và sử dụng nguyên lý Lagrange: q ∂Π d ∂Π Hình 4. Đồ thị đa thức Chebyshev cải tiến ứng với bậc n và q Î −[0;1] =0 (17) ∂p j dt ∂ p˙ j trong đó: p j tương ứng với các biến số w s j , wb j . Phương trình chủ đạo của bài toán dao động tự do dầm FGM được rút ra từ phương 7 trình (17) có dạng như sau: K11 K12 M11 M12 " # " #! ! ! wb j 0 T 12 − ω T 12 2 = (18) K K22 t M M22 ws j 0 trong đó: K, M lần lượt là ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của dầm, với các hệ số như sau: Ki11j = B1 Ii1j ; Ki12j = B2 Ii2j ; Ki22j = B3 Ii1j + DIi2j (19) Mi11j = J1 Ii2j + J4 Ii3j ; Mi12j = J2 Ii2j + J4 Ii3j ; Mi22j = J3 Ii2j + J4 Ii3j (20) Z L Z L Z L Ii j = 1 φi,xx φ j,xx dx; Ii j = ∗ ∗ 2 φi,x φ j,x dx; Ii j = ∗ ∗ 3 φ∗i φ∗j dx (21) 0 0 0 Để giải phương trình (18), phần mềm Matlab R2014a (8.3.0.532), 64bit được sử dụng để lập trình tính toán các ma trận K, M và chạy trên máy tính có cấu hình Intel® Core™ 2 Duo, CPU T7300 @2.00 GHz, Ram 2.00 GHz. 84
  7. Nhân, N. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng 3. Kết quả số Trong phần này, các ví dụ số được thực hiện để đánh giá độ chính xác và sự hiệu quả của lời giải. Để thuận tiện cho việc khảo sát và so sánh r với các kết quả đã công bố, tần số dao động riêng không ωL 2 ρm thứ nguyên được định nghĩa: ω¯ = . Các đặc trưng cơ học của vật liệu: gốm Ec = 380 GPa, h Em νc = 0,3 và ρc = 3960 kg/m3 và kim loại Em = 70 GPa, νm = 0,3 và ρm = 2702 kg/m3 . 3.1. Đánh giá sự hiệu quả của lời giải Để đánh giá sự hiệu quả của một lời giải, các tiêu chí như độ chính xác, tốc độ hội tụ, chi phí tính toán, sự ổn định số, . . . sẽ được xem xét [27]. Trong nghiên cứu này, tác giả sẽ đánh giá hàm xấp xỉ qua hai yếu tố cơ bản là tốc độ hội tụ và chi phí tính toán. Tốc độ hội tụ của lời giải theo số bước lặp j được định nghĩa như sau:
  8. ω j − ω j−1
  9. ∆ω j = (22) ω j−1 trong đó: ω j−1 và ω j lần lượt là kết quả tần số riêngh ở bước i thứ j − 1 và j. Kết quả được xem là hội tụ khi ∆ω j → 0. Trong nghiên cứu này, chọn ∆ω j ≤ ∆ω j = 10−5 . Với định nghĩa này, một hàm xấp xỉ h i được xem là hội tụ tốt hơn một hàm số khác khi đạt ∆ω j ứng với số bước lặp j bé hơn. Thời gian tính toán được định nghĩa là tổng thời gian tính các ma trận K, M và tần số dao động riêng của dầm, được thể hiện qua công thức sau: N X S = Sj (23) j=1 trong đó: S j là thời gian thực hiện tính toán tại bước thứ j; S là tổng thời gian từ khi bắt đầu đến bước j. Trong nghiên cứu này, hàm xấp xỉ đề xuất “Chebyshev cải tiến” (CBS) được so sánh với các hàm “Chebyshev loại I” (CBSI) [26], hàm số mũ cơ số Napier (HBR) [11] và hàm xấp xỉ dạng đa thức (POL) [21] (Bảng 3). Bảng 3. Các hàm xấp xỉ khác nhau Điều kiện biên (ĐKB) của dầm Ký hiệu Nghiên cứu SS CF CC  x x    x 2   x 2   x 2 CBS Bài báo T ∗j T ∗j −1 T ∗j T ∗j T ∗j 1 − L L L L L  jx   jx   jx 2  jx 2  jx 2 HBR Nghiên cứu [11] e− L − 1 e L − e j e− L − 1 e− L − 1 e L − e j ! ! !2 !2 !2 2x 2x 2x 2x 2x CBSI Nghiên cứu [26] T (x) 1 − 1+ T (x) 1 − T (x) 1 − 1+ L L L L L  x n  x   x n+1  x n+1  x 2  POL Nghiên cứu [21] 1− 1− L L L L L 85
  10. Nhân, N. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Tần số dao động riêng của dầm FGM (p = 1; L/h = 5)với các hàm xấp xỉ và điều kiện biên khác nhau được cho ở Bảng 4, và đồ thị thể hiện mối tương quan giữa chỉ số j và ∆ω thể hiện ở Hình 5. Có thể thấy rằng, hàm HBR có tốc độ hội tụ tốt nhất ở cả ba điều kiện biên SS, CF và CC. Hàm CBS hội tụ khi j = 5 với dầm SS, j = 10 với dầm CF và CC. Hàm CBSI và POL hội tụ khi j = 6 với dầm SS, j = 12 với dầm CF và chưa hội tụ khi j = 14 với dầm CC. Bảng 4. Kết quả khảo sát tần số dầm FGM Chỉ số j ĐKB Nghiên cứu 2 4 6 8 10 12 CBS 4,3851 3,9908 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905 HBR 3,9930 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905 SS CBSI 4,3930 3,9916 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905 POL 4,3930 3,9916 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905 CBS 1,4697 0 1,4641 1,4635 1,4633 1,4633 1,4633 10 HBR 1,4682 1,4641 1,4635 1,4633 1,4633 1,4633 CF CBSI 1,474110 -5 1,4647 1,4638 1,4635 1,4634 1,4633 POL 1,4741 1,4647 1,4638 1,4635 1,4634 1,4633 log(Dw) CBS 8,011510 -10 7,9609 7,9500 7,9484 7,9481 7,9481 HBR 8,0065 7,9559 7,9488 7,9481 7,9481 7,9481 CC -15 CBS CBSI 8,121910 8,0095 HBR7,9720 CBSI 7,9571 7,9512 7,9490 POL 8,1219 -20 8,0095 POL7,9720 7,9571 7,9512 7,9490 10 2 3 4 5 6 7 8 j a. Dầm SS 0 0 0 10 10 10 CBS HBR 10 -2 -5 -2 CBSI 10 10 POL -4 10 log(Dw) log(Dw) log(Dw) -10 -4 -6 10 10 10 -8 10 -15 CBS -6 10 HBR 10 CBS CBSI -10 HBR 10 POL CBSI -20 POL -8 10 10 10 -12 2 3 4 5 6 7 8 2 4 6 8 10 12 14 2 4 6 8 10 12 14 j j j a. Dầm SS (a) Dầm SS (b) b.Dầm Dầm CF CF (c) c.Dầm Dầm CC CC 0 10 Hình 5. Tốc độ hội tụ của hàm xấp xỉ CBS HBR Hình 5. Tốc độ hội tụ của hàmThời xấpgian tính toán S theo chỉ số j của các hàm số được biểu diễn trong Hình 6 a, b và c xỉ -2 CBSI cho các dầm có điều kiện biên SS, CF và CC. Có thể nhận thấy, các hàm CBS, CBSI và 10 POL POL có thời gian tính toán xấp xỉ nhau và hàm HBR có thời gian tính toán lớn nhất ở cả ba điều kiện biên. Điều này được giải thích, các hàm CBS, CBSI và POL đều có dạng Thời gian tính toán S theo chỉ số j của các hàm số được biểu diễn trong Hình 6 cho các dầm có đa thức vì vậy thời gian tính các tích phân trong các ma trận của bài toán là như nhau, log(Dw) -4 10 điều kiện biên SS, CF và CC. Có thể nhận thấy, các hàm CBS, CBSI và POL có thời gian tính toán trong khi đó, HBR có dạng hàm mũ nên việc tính các tích phân sẽ mất nhiều thời gian hơn hàm đa thức. xấp xỉ nhau và hàm HBR có thời gian tính toán lớn11 nhất ở cả ba điều kiện biên. Điều này được giải -6 3 10 10 thích, các hàm CBS, CBSI và POL đều có dạng đa thức vì vậy thời gian tính các tích phân trong các ma trận của bài toán là như nhau, trong khi đó, HBR có dạng hàm mũ nên -8 10 việc tính các tích phân sẽ 2 10 mất nhiều thời gian 2 4 6 8 j hơn hàm đa thức. 10 12 14 log(S) 1 10 b. Dầm CF 86 10 0 CBS HBR CBSI POL -1 10 2 4 6 8 10 12 14 j a. Dầm SS
  11. Hình 5. Tốc độ hội tụ của hàm xấp xỉ Thời gian tính toán S theo chỉ số j của các hàm số được biểu diễn trong Hình 6 a, b và c 0 CBS 10 HBR cho các dầm có điều kiện biên SS, CF và CC. Có thể nhận thấy, các hàm CBS, CBSI và CBSI POL có thời gian tính toán xấp xỉ nhau và hàm HBR có thời gian tính toán lớn nhất ở cả POL ba điều kiện biên. Điều này được giải thích, các hàm CBS, CBSI và POL đều có dạng -1 10 đa thức vì vậy thời gian tính các tích phân trong các ma trận của bài toán là như nhau, 2 4 6 8 10 12 14 j trong khi đó, HBR có dạng hàm mũ nên việc tính các tíchNhân, phân sẽN.mấtT., và thời nhiều cs. /gian Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng hơn hàm đa thức. b. Dầm CF 3 3 3 10 10 10 2 2 2 10 10 10 log(S) log(S) log(S) 1 1 1 10 10 10 Từ các Hình 5, 6 và 7, có thể tổng kết rằng: (1) Hàm mũ (HBR) có tốc độ hội tụ nhanh CBS 0 CBS nhưng tốn nhiều chi phí 0 tính toán nhất; (2) CácCBS hàm “Chebyshev loại I” (CBSI), 0 đa thức 10 10 10 HBR HBR HBR trực giao (POL) và “Chebyshev cải tiến” (CBS) có thời gian tính toán qua các bước lặp CBSI CBSI CBSI là xấp xỉ nhau nhưng tốc độ hội tụ của hàm CBS POL nhanh hơn các hàm CBSI và POL. Vì POL POL 10 -1 vậy, có thể kết luận 10 rằng, hàm CBS đề xuất trong nghiên cứu này có chi phí -1 10 tính toán -1 2 4 6 8 10 12 hơn14 thấp các hàm HBR, 2 CBSI 4 và POL. 6 8 10 12 14 2 4 6 8 10 12 14 j j j 5 10 (a) a.Dầm Dầm SS SS (b) b.Dầm Dầm CF CF (c) c.Dầm Dầm CC CC 3 100 10 Hình 6. Thời gian tính toán của hàm xấp xỉ 12 Hình 6. Thời gian tính toán củaĐểhàm thấy rõ hơn xỉ xấp hiệu quả của các hàm xấp xỉ, mối quan hệ giữa tốc độ hội tụ và thời gia 10 -5 10 2 tính toán được thể hiện ở Hình 7a, b và c. Có thể thấy rằng, với độ chính xá log(S) log(Dw) Dw j £ éëDw j ùû = 10-5 , hàm HBR có thời gian tính toán lớn nhất ở tất cả các điều kiện biên -10 10 Các hàm CBSI, POL có thời gian tính toán xấp xỉ nhau và hàm CBS có thời gian tín Để thấy rõ hơn hiệu quả của các hàm xấp xỉ, mối CBSquan hệ giữa tốc HBR h độ ihội tụ và thời gian tính toán 10 1 toán nhỏ nhất. được thể hiện ở Hình 7. Có thể thấy rằng, với độ chính CBSI xác ∆ω Từ các Hình 5, 6 và 7, có thể tổng kết rằng: (1) Hàm mũ (HBR) có tốc độ hội 10 -15 tụ nhanh ≤ ∆ω j = 10−5 , hàm HBR có thời nhưng tốn nhiều chi phí tính toán nhất; (2) Các hàm “Chebyshev loại I” (CBSI), CBS POL j đa thức 0 HBR 10 gian tính toán lớn nhất ở tất cả các điều kiện biên. Các CBSI hàm CBSI, POL có thời gian tính toán xấp xỉ trực giao (POL) và “Chebyshev cải tiến” (CBS) có thời gian tính toán qua các -20 bước lặp 10 -1 là xấp xỉ nhau nhưng tốc độ hội tụ của hàm CBS nhanh hơn các hàm CBSI và POL 10 10POL. Vì 13 0 1 2 nhau và hàm CBS có thời gian tính toán nhỏ nhất. log(S) 10 vậy, có thể kết luận rằng, hàm CBS đề xuất trong nghiên cứu này có chi phí 10 -1 tính toán 10 2 4 6 8 10 12 14 thấp hơn các hàm HBR, CBSI và POL. a. Dầm SS j 5 0 5 10 10 10 c. Dầm CC CBS HBR 0 10 Hình 6. Thời gian tính toán của hàm xấp xỉ CBSI -2 0 10 POL 10 Để thấy rõ hơn hiệu quả của các hàm xấp xỉ, mối quan hệ giữa tốc độ hội tụ và thời gian -5 10 tính toán được thể hiện ở Hình 7a, b và c. Có thể thấy rằng, với độ chính xác log(Dw) Dw j £ éëDw j ùû = 10 ,10hàm HBR có thời gian tính toán lớn nhất ở tất cả các điều log(Dw) -5 log(Dw) 10 kiện biên. -4 -5 -10 10 Các hàm CBSI, POL có thời gian tính toán xấp xỉ nhau và hàm CBS có thời gian tính CBS toán nhỏ nhất. CBS -6 -10 HBR 10 10 HBR -15 10 CBSI CBSI POL POL -8 -15 10 -1 10 -20 10 -1 0 1 2 10 10 0 13 10 1 2 10 10 3 10 -1 0 10 10 1 2 10 3 10 10 10 10 10 log(S) log(S) log(S) (a) a.Dầm Dầm SS SS (b) b.Dầm Dầm CF CF (c) c.Dầm Dầm CC CC 10 0 Hình 7. Mối quan hệ giữa thời gian và tốc độ hội tụ của các hàm xấp xỉ CBS 3.2 Tần số dao động tự do dầm FGM Hình 7. MốiHBR quan hệ giữa thời gian và tốc độ hội tụ của các hàm xấp xỉ CBSI 10 -2 14 Trong phần này, tần số dao động tự do của dầm FGM được khảo sát và so sánh POL với các kết quả đã công bố. Bảng 5 thể hiện tần số dao động riêng của dầm FGM với Từ các Hình 5, 6 và 7, có thể tổng kết rằng: (1) Hàm mũ (HBR) có tốc độ hội tụ nhanh nhưng các điều kiện biên, tỷ số L/h và p khác nhau. Từ Bảng 5, có thể thấy rằng, kết quả của bài báo rất gần với kết quả trong các nghiên cứu [7, 9, 10]. Kết quả ở Bảng 5 cũng cho log(Dw) -4 tốn nhiều chi phí tính toán nhất; (2) Các hàm “Chebyshev loại I” (CBSI), đa thức trực giao (POL) và 10 thấy, tần số dao động giảm khi p tăng, điều này là bởi vì, khi p tăng sẽ làm cho mật độ “Chebyshev cải tiến” (CBS) có thời gian tính toán qua các bước lặp là xấp xỉ nhau nhưng tốc độ hội kim loại trong dầm tăng lên và dẫn đến độ cứng của dầm giảm. Với các dầm có cùng tỷ -6 số L/h và p, tần số riêng của dầm CC lớn nhất và dầm CF bé nhất, điều này hoàn toàn tụ 10của hàm CBS nhanh hơn các hàm CBSI và POL. Vì vậy, có thể kết luận rằng, hàm CBS đề xuất hợp lý bởi vì các dầm CC có độ cứng lớn nhất và dầm CF có độ cứng bé nhất. trong nghiên cứu này có chi phí tính toán thấp hơn các hàm Bảng HBR, 5. TầnCBSI và riêng số dao động POL. của dầm FGM với các điều kiện biên, tỉ lệ L/h và p -8 10 -1 0 1 2 3 khác nhau. 10 10 10 10 10 L/h BC Nghiên cứu p 3.2. Tần số dao log(S) động tự do dầm FGM b. Dầm CF 0 0,5 1 2 5 10 Trong phần này, tần số dao động tự do của dầm FGM được 5 khảo SS sátbáovà so5,1527 Bài sánh 4,4107 với các3,9905 kết quả 3,6266đã3,4014 3,2818 [7] 5,1528 4,4102 3,9904 3,6264 3,4009 3,2815 công bố. Bảng 5 thể hiện tần số dao động riêng của dầm FGM với các điều kiện biên, tỷ số L/h và p [10] 5,1527 4,4107 3,9904 3,6264 3,4012 3,2816 khác nhau. Từ Bảng14 5, có thể thấy rằng, kết quả của bài báo rất gần CF với kết quả Bài báo trong 1,8952 các1,4633 1,6180 nghiên cứu1,2592 1,3326 1,2184 [7, 9, 10]. Kết quả ở Bảng 5 cũng cho thấy, tần số dao động giảm khi[7]p tăng, 1,8957 điều này là bởi 1,6182 vì,1,3328 1,4636 khi p1,2594 1,2187 tăng sẽ làm cho mật độ kim loại trong dầm tăng lên và dẫn đến độ cứng [10] của 1,8952 1,6182 Với dầm giảm. 1,4633các 1,3325 dầm1,2592 1,2183 CC Bài báo 10,0670 8,7431 7,9481 7,1752 6,4923 6,1638 15 87
  12. Nhân, N. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng có cùng tỷ số L/h và p, tần số riêng của dầm CC lớn nhất và dầm CF bé nhất, điều này hoàn toàn hợp lý bởi vì các dầm CC có độ cứng lớn nhất và dầm CF có độ cứng bé nhất. Bảng 5. Tần số dao động riêng của dầm FGM với các điều kiện biên, tỉ lệ L/h và p khác nhau p L/h BC Nghiên cứu 0 0,5 1 2 5 10 Bài báo 5,1527 4,4107 3,9905 3,6266 3,4014 3,2818 SS [7] 5,1528 4,4102 3,9904 3,6264 3,4009 3,2815 [10] 5,1527 4,4107 3,9904 3,6264 3,4012 3,2816 Bài báo 1,8952 1,6180 1,4633 1,3326 1,2592 1,2184 5 CF [7] 1,8957 1,6182 1,4636 1,3328 1,2594 1,2187 [10] 1,8952 1,6182 1,4633 1,3325 1,2592 1,2183 Bài báo 10,0670 8,7431 7,9481 7,1752 6,4923 6,1638 CC [7] 10,0726 8,7463 7,9518 7,1776 6,4929 6,1658 [7] [9] 10,0726 8,7463 10,0699 7,9518 7,1776 8,7463 6,4929 6,1658 7,9499 7,1766 6,4940 6,1652 [9] 10,0699Bài 8,7463 báo 7,94995,4603 7,1766 6,4940 6,1652 4,6511 4,2051 3,8361 3,6485 3,5390 20 SS Bài báo SS 5,4603 4,6511 [7] 4,20515,4603 3,8361 3,6485 3,5390 4,6506 4,2051 3,8361 3,6485 3,5390 [7] 5,4603 4,6506 [10] 4,20515,4603 3,8361 3,6485 3,5390 4,6511 4,2051 3,8361 3,6485 3,5390 [10] 5,4603 4,6511 4,2051 3,8361 3,6485 3,5390 CF Bài báo Bài báo 1,9496 1,6603 1,9496 1,5010 1,3696 1,6603 1,3033 1,2645 1,5010 1,3696 1,3033 1,2645 20 [7] CF 1,9496 1,6602 [7] 1,9496 1,5011 1,3696 1,6602 1,3034 1,2646 1,5011 1,3696 1,3034 1,2646 [10] [10] 1,9496 1,6605 1,50111,9496 1,3696 1,6605 1,3033 1,2645 1,5011 1,3696 1,3033 1,2645 CC Bài báo 12,2224Bài 10,4267 báo 9,4307 8,5967 12,2224 8,1435 7,8845 10,4267 9,4307 8,5967 8,1435 7,8845 [7] CC 12,2243 10,4269 [7] 9,4319 8,5977 12,2243 8,1446 7,8860 10,4269 9,4319 8,5977 8,1446 7,8860 [9] 12,2238 10,4287 [9] 9,4316 8,5975 12,2238 8,1448 7,8859 10,4287 9,4316 8,5975 8,1448 7,8859 13 12 p=0 p=1 11 p=2 p=5 10 p=10 w 9 8 7 6 5 10 15 20 25 30 35 40 L/h Hình 8 Ảnh Hình hưởnghưởng 8. Ảnh của tỉ sốcủa L/htỉđến sốtần L/hsố đến dao động riêng tần số daocủađộng dầm CC HìnhHình 9. Ảnh hưởng của p, tỉ số L/h đến tần số 9. Ảnh hưởng của p, tỉ số L/h đến tần số của dầm riêng của dầm CC của dầm Hình 8 thể hiện ảnh hưởng của tỉ số chiều dài/chiều cao đến tần số dao động riêng của dầm CC. Có thể thấy rằng, tần số tăng nhanh khi L/h = (5-10) và hầu như không đổi Hình 8 thể hiện ảnh hưởng của tỉ số chiều dài/chiều cao đến khi L/h = (10-40). Hình 9tần số sựdao thể hiện ảnh động hưởng củariêng L/h và của p đến dầm CC.của dầm. tần số riêng Có thể nhận xét, tần số giảm nhanh khi p = (0-5) và hầu như không đổi khi p = (5-20) ở Có thể thấy rằng, tần số tăng nhanh khi L/h = (5tất − 10) và hầu như không đổi khi L/h = (10 − 40). cả các điều kiện biên. 88 Bốn dạng dao động đầu tiên của dầm FGM ( L / h = 5, p = 1) với điều kiện biên SS được thể hiện ở Hình 10. Có thể thấy rằng, ba dạng dao động đầu tiên, thành phần wb đóng vai trò chủ đạo. Tuy nhiên, thành phần ws đóng vai trò chủ đạo ở dạng dao động 16 thứ tư. Hình 10 cũng cho thấy rằng vai trò của thành phần ws có xu hướng tăng dần với các dạng dao động bậc cao.
  13. Nhân, N. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Hình 9 thể hiện sự ảnh hưởng của L/h và p đến tần số riêng của dầm. Có thể nhận xét, tần số giảm nhanh khi p = (0 − 5) và hầu như không đổi khi p = (5 − 20) ở tất cả các điều kiện biên. Bốn dạng dao động đầu tiên của dầm FGM (L/h = 5, p = 1) với điều kiện biên SS được thể hiện ở Hình 10. Có thể thấy rằng, ba dạng dao động đầu tiên, thành phần wb đóng vai trò chủ đạo. Tuy nhiên, thành phần w s đóng vai trò chủ đạo ở dạng dao động thứ tư. Hình 10 cũng cho thấy rằng vai trò của thành phần w s có xu hướng tăng dần với các dạng dao động bậc cao. 1 1 (w = 3,9905) a. Dạng a. Dạng (w =3,9905) 3,9905 ) 2 (w2¯2== b. Dạng b. Dạng (14,0134 ) ) w2 = 14,0134 1(ω¯ (1w=11=(3,9905 ) ) 2 (2w(ω 22=(14,0134 ) ) 1 (a)a.Dạng a. 1Dạng Dạng 1 w = 3,9905 1 b.(b) Dạng Dạng b. Dạng 2 w 14,0134) 2 = 14,0134 c. 3Dạng (c)c. Dạng Dạng 3 (w333=(w (27,1206 3(ω¯(3w=3=27,1206) ) ) w = 27,1206 d. (d) Dạngd. Dạng 4 (4w(ω¯4=4 (=41,7732 Dạng w41,7732) ) ) 4 = 41,7732 c. Dạng c. Dạng 3 ) ) 3 = 27,1206 27,1206 d. Dạngd. Dạng4 (w444=(w ) ) 4 = 41,7732 41,7732 Hình10. Hình Hình 10.Các Các10.dạng Các dao dạng dạng daođộngdaocủa động động củadầm củaSS dầm dầm SS SS HìnhHình 10. Các10. dạng Các dạng dao động của dầm dao động của dầmSS SS 4. Kết4. luận Kết luận 4. Kết luận4. Kết4. luận Kết luận Bài báoBàinàybáođềnày xuất đề một xuất hàm một xấphàmxỉxấp mớixỉ bằng cách cách mới bằng cải tiến cảiđa thức tiến đa “Chebyshev thức “Chebyshev Bài báoBài này báo đề này xuất đề một hàm xuất một xấp xỉ hàm xấpmới xỉ bằng mới cách cách bằng cải tiến cải đa tiếnthức đa “Chebyshev thức “Chebyshev Bài báoloại nàyI” đểI” đề loại phân xuất tích dao một để phân tíchđộng hàm xấpđộng dao riêng xỉ mới của riêng dầm bằng FGM. củacách dầm cải Mô FGM.tiếnhình Mô đadầmthứcdựa hình vào dựalývào “Chebyshev dầm thuyết lýloại bậc I” để thuyết phân bậc loại I” đểI”phân loại tích dao để phân tích động dao độngriêngriêng của dầmcủa dầmFGM.FGM. Mô hìnhMô dầm dầm hình dựa vào dựalývàothuyết bậc bậc lý thuyết tích dao động riêng cao hai haicủa caobiến. dầm Nguyên biến. NguyênFGM. lý Mô lý Lagrange hình Lagrangekết hợpdầm kết dựa phương hợp vào pháplýpháp phương thuyết Ritz Ritzbậc được cao sử dụng được sử hai biến. để thành dụng Nguyên lập để thành lập lý caohợp Lagrange kết hai caobiến. Nguyên hai biến. phương NguyênlýRitz Lagrange lý được Lagrange kết hợp kết phương hợp đểxỉphươngpháp Ritz pháp được Ritz được sử dụng sửchủđể đạo dụng thành để bài lậptoán. thành lập phươngphương chủpháp trình trình đạo chủ bàiđạotoán. Các bài toán. sửhàm dụng Các xấp hàm thành đềxỉxuất xấp lập đề đượcphương xuất trình so sánh được với các so sánh vớihàmcác đahàm đaCác phương hàm xấp xỉthức phương đề xuất trìnhtrình chủ đạo chủ bài vớitoán. đạo bài Các hàm toán. Các xấp POL, hàm xỉ xấpđềxỉxuất đượcđược đề xuất so sánh với I” so sánh các với hàm các hàmđa đa POL,được thức hàm so POL, hàm sánh “Chebyshev “Chebyshev các bậc hàm I”bậc đa CBSI thức và hàm I” CBSI và mũ hàm hàmmũ“Chebyshev HBR. Các víCác HBR. dụ vísốbậc được dụ CBSI thực số được và hàm hiện thực hiện mũ HBR. Các vàthức ví so POL, thức dụvàsánh hàm POL, sốsođược “Chebyshev hàm thực “Chebyshev hiện bậc I” bậcCBSI I” và CBSI hàm và mũ hàm HBR. mũ Các HBR. ví Cácdụ số ví được dụ số thực được hiện thực hiện với các sánh vớikết các kếtvà quả đã quảso công đãsánhbố.với công Cóbố.cácCókết thể kết quả kết đã thểluận rằng, luận công cácbố. rằng, hàm cácCóđề thể hàm xuất đềkếtrất luận xuất rấtrằng, hiệu hiệu các hàm đề xuấtvàrất sovàhiệu sánh với các so sánh quả với kết trong các quả việc đã kếtphânquảcông đã tích bố. công dao Cóbố. thể động Cókết thểdo tự luận kếtdầmrằng, luận các rằng, vật liệuhàm cáccơ đề hàmxuất tính đề biếnrấtthiên. xuất hiệu rất hiệu quả trong việc phân quả trong tích dao việc phân tíchđộng dao độngtự dotự dầm do vật dầmliệuvậtcơ tính liệu cơbiếntính thiên. biến thiên. quả trong việc việc quả trong phânphântích dao tích động dao độngtự dotựdầm vật liệu do dầm vật cơ liệutínhcơ biến thiên.thiên. tính biến Lời cảm Lời cảmơn ơn Lời cảm ơn Lời cảm Lời cảmơn ơn Tác giảTácthứgiảnhất xin chân thứ nhất thànhthành xin chân cảm ơn cảmsựơn hỗsựtrợhỗtàitrợ chính của Trường tài chính của TrườngĐại học Đại học Tác giả thứ nhấtTác xingiả Tácthứgiảnhất chân thứ xin cảm nhất thành chân thành xin chân ơn cảm sựthành hỗ trợ ơntài cảm sựơn hỗsựtrợhỗcủa chính tàitrợchính củaĐại tài chính Trường Trường củahọc Đại Kiênhọc Trường Đại học cho Giang KiênKiên GiangGiangcho đề tài “Phân tích dao động tự do của dầm có cơ cho đề tài “Phân tích dao động tự do của dầm có cơ tính biến thiên (FGM) tính biến thiên (FGM) Kiên đề tài “Phân tíchGiang Kiên daoGiangcho đề động tựtài cho dođề“Phân tài “Phân của dầmtíchcó daocơđộng tích dao tự tínhđộng dotựthiên biến củadodầmcủa (FGM) có cơcó dầm sửtính cơ dụngbiến thiên tínhđabiến (FGM) thứcthiên (FGM) cải Chebyshev sử dụng đa thức sử dụng Chebyshev đa thức Chebyshev cải tiến”, mã số: cải tiến”, mãA2020-KTCN-12 số: A2020-KTCN-12 sử A2020-KTCN-12. tiến”, mã số: dụng đa thức sử dụng Chebyshev đa thức Chebyshev cải tiến”, mã số: cải tiến”, mãA2020-KTCN-12 số: A2020-KTCN-12 89 18 18 18 18
  14. Nhân, N. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Tài liệu tham khảo [1] Sayyad, A. S., Ghugal, Y. M. (2018). Modeling and analysis of functionally graded sandwich beams: a review. Mechanics of Advanced Materials and Structures, 26(21):1776–1795. [2] Bernoulli, J. (1964). Curvatura laminae elasticae. Ejus identitas cum curvatura Lintei a pondere inclusi fluidi expansi. Radii circulorum osculantium in terminis simplicissimis exhibiti, una cum novis quibus- dam theorematis huc pertinentibus. Acta Eruditorum, 113–118. [3] Yang, Q., Zheng, B., Zhang, K., Zhu, J. (2012). Analytical solution of a bilayer functionally graded cantilever beam with concentrated loads. Archive of Applied Mechanics, 83(3):455–466. [4] Bernoulli, J. (1964). Curvatura laminae elasticae. Acta Eruditorum Lipsiae, 1694:262–276. [5] Timoshenko, S. P. (1922). X. On the transverse vibrations of bars of uniform cross-section. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 43(253):125–131. [6] Karamanlı, A. (2018). Free vibration analysis of two directional functionally graded beams using a third order shear deformation theory. Composite Structures, 189:127–136. [7] Nguyen, T.-K., Nguyen, T. T.-P., Vo, T. P., Thai, H.-T. (2015). Vibration and buckling analysis of func- tionally graded sandwich beams by a new higher-order shear deformation theory. Composites Part B: Engineering, 76:273–285. [8] S¸ims¸ek, M. (2010). Vibration analysis of a functionally graded beam under a moving mass by using different beam theories. Composite Structures, 92(4):904–917. [9] S¸ims¸ek, M. (2010). Fundamental frequency analysis of functionally graded beams by using different higher-order beam theories. Nuclear Engineering and Design, 240(4):697–705. [10] Thai, H.-T., Vo, T. P. (2012). Bending and free vibration of functionally graded beams using various higher-order shear deformation beam theories. International Journal of Mechanical Sciences, 62(1):57– 66. [11] Nhân, N. T., Dương, N. N., Kiên, N. T. (2020). Phân tích tĩnh dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến. Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (KHCNXD) - ĐHXDHN, 14(4V):54–66. [12] Mashat, D. S., Carrera, E., Zenkour, A. M., Khateeb, S. A. A., Filippi, M. (2014). Free vibration of FGM layered beams by various theories and finite elements. Composites Part B: Engineering, 59:269–278. [13] Kadoli, R., Akhtar, K., Ganesan, N. (2008). Static analysis of functionally graded beams using higher order shear deformation theory. Applied Mathematical Modelling, 32(12):2509–2525. [14] Chakraborty, A., Gopalakrishnan, S., Reddy, J. N. (2003). A new beam finite element for the analysis of functionally graded materials. International Journal of Mechanical Sciences, 45(3):519–539. [15] Thẩm, V. V., Tú, T. M. (2016). Phân tích tĩnh và dao động riêng của dầm làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) theo các lý thuyết biến dạng cắt khác nhau. Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXDHN, 10(2):15–22. [16] Khdeir, A. A., Reddy, J. N. (1994). Free vibration of cross-ply laminated beams with arbitrary boundary conditions. International Journal of Engineering Science, 32(12):1971–1980. [17] Trinh, L. C., Vo, T. P., Thai, H.-T., Nguyen, T.-K. (2016). An analytical method for the vibration and buck- ling of functionally graded beams under mechanical and thermal loads. Composites Part B: Engineering, 100:152–163. [18] S¸ims¸ek, M. (2009). Static analysis of a functionally graded beam under a uniformly distributed load by Ritz method. International Journal of Engineering and Applied Sciences, 1(3):1–11. [19] Pradhan, K. K., Chakraverty, S. (2013). Free vibration of Euler and Timoshenko functionally graded beams by Rayleigh–Ritz method. Composites Part B: Engineering, 51:175–184. [20] Aydogdu, M. (2006). Free Vibration Analysis of Angle-ply Laminated Beams with General Boundary Conditions. Journal of Reinforced Plastics and Composites, 25(15):1571–1583. [21] Aydogdu, M. (2005). Vibration analysis of cross-ply laminated beams with general boundary conditions by Ritz method. International Journal of Mechanical Sciences, 47(11):1740–1755. [22] Nguyen, N.-D., Nguyen, T.-K., Vo, T. P., Thai, H.-T. (2018). Ritz-Based Analytical Solutions for Bending, Buckling and Vibration Behavior of Laminated Composite Beams. International Journal of Structural Stability and Dynamics, 18(11):1850130. [23] Nguyen, N.-D., Nguyen, T.-K., Nguyen, T.-N., Thai, H.-T. (2018). New Ritz-solution shape functions 90
  15. Nhân, N. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng for analysis of thermo-mechanical buckling and vibration of laminated composite beams. Composite Structures, 184:452–460. [24] Mantari, J. L., Canales, F. G. (2016). Free vibration and buckling of laminated beams via hybrid Ritz solution for various penalized boundary conditions. Composite Structures, 152:306–315. [25] Khalili, S. M. R., Jafari, A. A., Eftekhari, S. A. (2010). A mixed Ritz-DQ method for forced vibration of functionally graded beams carrying moving loads. Composite Structures, 92(10):2497–2511. [26] ¨ Ebrahimi, F., Barati, M. R., Omer Civalek (2019). Application of Chebyshev–Ritz method for static stability and vibration analysis of nonlocal microstructure-dependent nanostructures. Engineering with Computers, 36(3):953–964. [27] Moreno-García, P., dos Santos, J. V. A., Lopes, H. (2017). A Review and Study on Ritz Method Admis- sible Functions with Emphasis on Buckling and Free Vibration of Isotropic and Anisotropic Beams and Plates. Archives of Computational Methods in Engineering, 25(3):785–815. 91
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2