intTypePromotion=3
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_id] => 140
            [banner_name] => KM1 - nhân đôi thời gian
            [banner_picture] => 964_1568020473.jpg
            [banner_picture2] => 839_1568020473.jpg
            [banner_picture3] => 620_1568020473.jpg
            [banner_picture4] => 849_1568189308.jpg
            [banner_picture5] => 
            [banner_type] => 8
            [banner_link] => https://tailieu.vn/nang-cap-tai-khoan-vip.html
            [banner_status] => 1
            [banner_priority] => 0
            [banner_lastmodify] => 2019-09-11 15:08:43
            [banner_startdate] => 2019-09-11 00:00:00
            [banner_enddate] => 2019-09-11 23:59:59
            [banner_isauto_active] => 0
            [banner_timeautoactive] => 
            [user_username] => sonpham
        )

)

phát triển tư duy đột phá giải bài tập tài liệu dạy học toán 9 tập 1: phần 2

Chia sẻ: An Thach Luu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:164

0
43
lượt xem
9
download

phát triển tư duy đột phá giải bài tập tài liệu dạy học toán 9 tập 1: phần 2

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

tiếp nối phần 1, phần 2 là các bài tập thuộc phần hình học với 7 chuyên đề, gồm 2 chương: hệ thức lượng trong tam giác vuông; đường tròn. mời các bạn cùng tham khảo để biết chi tiết các phương pháp giải bài tập toán lớp 9.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: phát triển tư duy đột phá giải bài tập tài liệu dạy học toán 9 tập 1: phần 2

  1. PHAÀN HÌNH HOÏC…. Chöông I. HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC VUOÂNG Chuû ñeà 1: MOÄT SOÁ HEÄ THÖÙC VEÀ CAÏNH VAØ ÑÖÔØNG COA TRONG TAM GIAÙC VUOÂNG §1. HEÄ THÖÙC GIÖÕA CAÏNH GOÙC VUOÂNG VAØ HÌNH CHIEÁU CUÛA NOÙ TREÂN CAÏNH HUYEÀN Hoaït ñoäng 1 A Xeùt tam giaùc ABC vuoâng taïi A, caïnh huyeàn BC = a, caùc caïnh goùc vuoâng AC = b vaø AB = c. c b Goïi AH = h laø ñöôøng cao öùng vôùi caïnh huyeàn vaø h HC = b, HB = c laàn löôït laø hình chieáu cuûa AC, AB treân caïnh huyeàn BC. B c b C H a) Chöùng minh caùc tam giaùc HBA vaø ABC ñoàng a daïng, töø ñoù so saùnh c2 vaø c.a. Hình 1 b) Chöùng minh caùc tam giaùc HCA vaø ACB ñoàng daïng, töø ñoù so saùnh b2 vaø b.a.  THÖÛ TAØI BAÏN Tìm x, y trong hình 2. 4 3 x y 5 Hình 2  BAÏN NAØO ÑUÙNG? Coù theå tính ba caïnh cuûa moät tam Khoâng theå giaùc vuoâng khi bieát ñoä tính ñöôïc daøi hai hình chieáu cuûa ñaâu. hai caïnh goùc vuoâng treân caïnh huyeàn. Duõng Lan Theo em, baïn naøo ñuùng? 100
  2. LÔØI GIAÛI Hoaït ñoäng 1  (chung), BHA a) Xeùt HBA vaø ABC coù: HBA   BAC  (= 900) Do ñoù HBA ∽ ABC (g.g) BH AB    AB2 = BH.BC. Vaäy c2 = c.a. AB BC  (chung), AHC b) Xeùt HCA vaø ACB coù: HCA   CAB (= 900) Do ñoù HCA ∽ ACB (g.g). HC AC    AC2 = HC.BC. AC BC Vaäy b2 = ba.  THÖÛ TAØI BAÏN Theo ñaàu baøi, ta coù tam giaùc ABC vuoâng A taïi A coù AB = 5, AC = 4, BC = 5, BH = x, CH = y. Tìm x vaø y. ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao. B x y C H Do ñoù AB2 = BH.BC, AC2 = CH.BC Do ñoù 32 = x.5, 42 = y.5 92 42 x=  1, 8 ; y =  3, 2 5 5  BAÏN NAØO ÑUÙNG? Baïn Duõng ñuùng. §2. HEÄ THÖÙC GIÖÕA BA CAÏNH CUÛA TAM GIAÙC VUOÂNG Hoaït ñoäng 2 A (Moät caùch khaùc ñeå chöùng minh ñònh lí Pythagore), – So saùnh a vôùi toång b + c. c b h – Haõy coäng hai ñaúng thöùc (1) vaø (2) sau ñaây, roài ruùt goïn vaø neâu nhaän xeùt: B c b C 2 H b = a.b (1) a 2 c = a.c (2) Hình 3 101
  3.  BAÏN NAØO ÑUÙNG? Hai caïnh vaø ñöôøng cheùo cuûa moät hình chöõ nhaät Baïn ño sai coù soá ño laàn löôït laø: roài. 6cm; 8cm; 9cm. Duõng Lan Theo em, baïn naøo ñuùng? LÔØI GIAÛI Hoaït ñoäng 2 a = b + c b2 + c2 = ab + ac  b2 + c2 = a(b + c)  b2 + c2 = a2 Trong moät tam giaùc vuoâng toång bình phöông caùc caïnh goùc vuoâng baèng bình phöông caïnh huyeàn. b2 = a.b (1) c2 = a.c (2)  BAÏN NAØO ÑUÙNG? Baïn Lan ñuùng. §3. HEÄ THÖÙC GIÖÕA ÑÖÔØNG CAO ÖÙNG VÔÙI CAÏNH HUYEÀN VAØ HÌNH CHIEÁU CUÛA HAI CAÏNH GOÙC VUOÂNG TREÂN CAÏNH HUYEÀN Hoaït ñoäng 3 A a) Haõy chöùng toû hai tam giaùc AHB vaø CHA ñoàng daïng. b c h b) Laäp tæ soá ñoàng daïng, töø ñoù tính h theo b vaø c. c b B C H a  THÖÛ TAØI BAÏN Hình 5 Tìm x, y, z trong hình 6. z y x 4 9 Hình 6 102
  4. LÔØI GIAÛI Hoaït ñoäng 3 a) Xeùt AHB vaø CHA coù   CHA AHB  (= 900), HAB   HCA  (cuøng phuï vôùi HAC ) Do ñoù AHB ∽ CHA. AH BH    AH2 = CH.BH CH AH Vaäy h2 = b.c.  THÖÛ TAØI BAÏN A Theo ñaàu baøi, ta coù tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao, AH = x, AB = y, AC = z, BH = 4, CH = 9. Caàn tìm x, y, z. ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao. Do ñoù AH2 = BH.CH, AB2 = BH.BC, AC2 = CH.BC. B C 2 2 H Neân x = 4.9, y = 4.(4 + 9), z = 9.(9 + 4) Vaäy x = 6, y = 52 , z = 117 . §4. HEÄ THÖÙC DIEÄN TÍCH Hoaït ñoäng 4 (Xem hình 7) A a) Haõy tính dieän tích tam giaùc ABC theo caïnh huyeàn a vaø ñöôøng cao töông öùng h. b) Haõy tính dieän tích tam giaùc ABC theo hai caïnh c b h goùc vuoâng b, c. B c b C c) So saùnh vaø neâu nhaän xeùt. H a  THÖÛ TAØI BAÏN Hình 7 Tìm x treân hình 8 baèng hai caùch khaùc nhau. 6 4,8 x 10 Hình 8 103
  5. LÔØI GIAÛI Hoaït ñoäng 4 1 1 a) SABC = BC.AH  ah 2 2 1 1 b) SABC = AC.AB  bc 2 2 1 1 c) Do vaäy ah  bc (= SABC) 2 2 Suy ra ah = bc.  THÖÛ TAØI BAÏN Theo ñaàu baøi, ta coù tam giaùc ABC vuoâng taïi A, A ñöôøng cao AH, AB = 6, AC = x, BC = 10, AH = 4,8. Tìm x baèng hai caùch khaùc nhau. *Caùch 1: ABC vuoâng taïi A.  AB2 + AC2 = BC2 (ñònh lí Pythagore) B C H 62 + x2 = 102 Neân x2 = 102 – 62 = 100 – 36 = 64. Vaäy x = 64 = 8. *Caùch 2: Xeùt ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao.  AB/AC = AH.BC Do ñoù 6.x = 4,8.10. 4, 8.10 48 Vaäy x =   8. 6 6 §5. HEÄ THÖÙC GIÖÕA ÑÖÔØNG CAO VAØ HAI CAÏNH GOÙC VUOÂNG Hoaït ñoäng 5 A Baèng caùch söû duïng caùc ñaúng thöùc a2 = b2 + c2 vaø b.c = a.h, haõy tính theo h bieåu thöùc 1 1 c b h 2  2 theo gôïi yù sau: b c B c b C 1 1 b2  c 2 H   . b2 c 2 b2 c 2 a Hình 9 104
  6.  THÖÛ TAØI BAÏN 1. Cho tam giaùc vuoâng coù caùc caïnh goùc vuoâng daøi 6cm vaø 8cm. Tính ñoä daøi ñöôøng cao xuaát phaùt töø ñænh goùc vuoâng baèng hai caùch khaùc nhau. 2. Ñieàn caùc soá thích hôïp vaøo caùc choã troáng sau ñaây: A a= c = c b h b = c b h= B C H SABC = a c = 6cm, b= 8cm Chu vi tam giaùc ABC = THÖ GIAÕN Huøng muoán tính khoaûng caùch AP noái hai B ñieåm ôû hai beân bôø moät con raïch. Baïn aáy ñaët ñænh goùc vuoâng eâke vaøo ñaàu B cuûa moät caùi saøo BA daøi 6m. Nhìn theo hai caïnh goùc 6cm vuoâng cuûa eâke thì laàn löôït thaáy ñieåm Q vaø ñieåm P. Huøng ño thaáy ñoaïn QA daøi 2m. Em Q P A coù theå tính nhaåm chieàu daøi ñoaïn AP ñöôïc khoâng? LÔØI GIAÛI Hoaït ñoäng 5 1 1 b2  c 2 a2 a2 a2 1 2  2  2 2 = 2  2  2 2  2 b c bc (bc) (ah) a h h  THÖÛ TAØI BAÏN 1. Goïi caïnh huyeàn, ñöôøng cao öùng vôùi caïnh huyeàn cuûa tam giaùc vuoâng ñoù laàn löôït laø a, h. *Caùch 1: Ta coù a2 = 62 + 82 (ñònh lí Py–ta–go) Do ñoù a2= 36 + 64 = 100  a = 100  10 (cm) bc 6.8 Ta coøn coù ah = bc. Do ñoù h =   4, 8 (cm). a 10 1 1 1 *Caùch 2: Ta coù 2  2  2. h b c 1 1 1 1 1 25 576 Do ñoù 2  2  2    h=  4, 8 (cm) h 6 8 36 48 576 25 2. a = 14 (cm); c = 3,6 (cm); b = 6,4 (cm) h = 4,8 (cm); SABC = 24 (cm2) 105
  7. THÖ GIAÕN AP.AQ = BA2 BA 2 62 AP =   18 (m) AQ 2 GHI NHÔÙ A c b h B c b C H a Trong moät tam giaùc vuoâng. 2 c = a.c Bình phöông moãi caïnh goùc vuoâng baèng tích cuûa caïnh huyeàn vaø hình b2 = a.b chieáu cuûa caïnh goùc vuoâng ñoù treân caïnh huyeàn. a2 = b2 + c2 Bình phöông caïnh huyeàn baèng toång bình phöông hai caïnh goùc vuoâng. Bình phöông ñöôøng cao öùng vôùi caïnh huyeàn baèng tích hai hình chieáu h2 = b.c cuûa caïnh goùc vuoâng treân caïnh huyeàn. Tích hai caïnh goùc vuoâng baèng tích cuûa caïnh huyeàn vaø ñöôøng cao b.c = a.h töông öùng. 1 1 1 Nghòch ñaûo cuûa bình phöông ñöôøng cao öùng vôùi caïnh huyeàn baèng 2  2  2 h b c toång caùc nghòch ñaûo cuûa bình phöông hai caïnh goùc vuoâng. BAØI TAÄP 1. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù AB = 9cm, BC = 15cm, AH laø ñöôøng cao (H thuoäc caïnh BC). Tính BH, CH, AC vaø AH. 2. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù AH laø ñöôøng cao, AC = 5cm, AB = 4cm. Tính: a) Caïnh huyeàn BC. b) Hình chieáu cuûa AB vaø AC treân caïnh huyeàn. c) Ñöôøng cao AH. 3. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, BC = 40cm, AC = 36cm. Tính AB, BH, CH vaø AH. 2 4. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù BC = 24cm. Tính AB, AC, cho bieát AB  AC. 3 5. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù AH laø ñöôøng cao. BH = 10cm, CH = 42cm. Tính BC, AH, AB vaø AC. 106
  8. 6. Cho ñöôøng troøn taâm O baùn kính R = 10cm. A, B laø hai ñieåm treân ñöôøng troøn (O) vaø I laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB. a) Tính AB neáu OI = 7cm. b) Tính OI neáu AB = 14cm. 7. Cho ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB = 53cm. C laø moät ñieåm treân ñöôøng troøn sao cho AC = 45cm. Goïi H laø hình chieáu cuûa C treân AB. Tính BC, AH, BH, CH vaø OH. 8. Cho hình thang caân ABCD coù ñaùy lôùn AB = 15cm, ñaùy nhoû CD = 5cm vaø goùc A baèng 600. a) Tính caïnh BC. b) Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD. Tính MN. 9. Cho töù giaùc ABCD coù AB = AC = AD = 20cm, goùc B baèng 600 vaø goùc A baèng 900. a) Tính ñöôøng cheùo BD. b) Tính khoaûng caùch BH vaø DK töø hai ñieåm B vaø D ñeán AC. c) Tính HK. d) Veõ BE vuoâng goùc vôùi DC keùo daøi. Tính BE, CE, DC. 10. Cho ñoaïn thaúng AB = 2a. Töø trung ñieåm O cuûa AB veõ Ox vuoâng goùc vôùi AB. Treân a Ox laáy ñieåm D sao cho OD = . Töøu B veõ BC vuoâng goùc vôùi AD keùo daøi. 2 a) Tính AD, AC vaø BC theo a. b) Keùo daøi DO moät ñoaïn OE = a. Chöùng minh boán ñieåm A, C, B, E cuøng naèm treân ñöôøng troøn. c) Veõ ñöôøng vuoâng goùc vôùi BC taïi B caét CE taïi F. Tính BF. d) Goïi P laø giao ñieåm cuûa AB vaø CE. Tính AP vaø BP. 11. Cho tam giaùc ABC caân taïi A coù AH laø ñöôøng cao BC = 16cm, AH = 6cm. Veõ ñieåm D treân ñoaïn BH sao cho BD = 3,5cm. Chöùng minh raèng tam giaùc DAC vuoâng. LÔØI GIAÛI 1. ABC vuoâng taïi A coù ñöôøng cao AH. A 2  AB = BC.BH. Do ñoù 92 = 15.BH 9 81 Neân BH =  5, 4 (cm) 15 B C H  Ta coù: BH + HC = BC (vì H naèm giöõa B, C). 15 Do ñoù HC = BC – BH = 15 – 5,4 = 9,6 (cm) ABC vuoäng taïi A (gt)  AB2 + AC2 = BC2 (ñònh lí Pythagore) Do ñoù: AC2 = BC2 – AB2 = 152 – 92 = 144 Maø AC > 0 neân AC = 144  12 (cm) 107
  9. ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao (gt)  AH2 = BH.CH Do ñoù AH2 = 5,4.9,6 = 51,84 Maø AH > 0. Neân AH = 51, 84  7, 2 (cm) 2. a) Xeùt ABC vuoâng taïi A, coù: A 2 2 2 AB + AC = BC (ñònh lí Pythagore)  BC2 = 42 + 52 = 41 5 4 Maø BC > 0 neân BC = 41 (cm) b) ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao. B H C  AB2 = BC.BH. Do ñoù 42 = 41.BH 16 Vaäy BH =  2,5 (cm) 41 Maø BH + CH = BC. Do ñoù CH = BC – BH = 41  2, 5  3,9 (cm) c) ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao (gt). 20 Do ñoù 4.5 = 41 .AH. Neân AH =  3,1 (cm). 41 3. Xeùt ABC vuoâng taïi A (gt) A 2 2 2  AB + AC = BC (ñònh lí Pythagore) Do ñoù: AB2 = BC2 – AC2 = 402 – 362 = 304 5 4 Maø AB > 0 neân AB = 3  4  4 19 (cm) ABC vuoâng taïi A coù ñöôøng cao AH (gt) B H C  AB2 = BC.BH. 40 304 Do ñoù 304 = 40.BH. Neân BH =  7, 6 (cm) 40 ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao (gt) Do ñoù 362 = 40.CH. 1296 Neân CH =  32, 4 (cm) 40 ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao (gt)  AB.AC = BC.AH. Do ñoù 4 19 .36 = 40.AH. 4 19.36 Neân AH =  15,7 (cm) 40 108
  10. 4. Xeùt ABC vuoâng taïi A.  AB2 + AC2 = BC2 (ñònh lí Pythagore) 2 AB AC AB2 AC2 AB2  AC2 BC2 242 576 Maø AB = AC (gt)      =   3 2 3 4 9 49 13 13 13 Suy ra: 576 2304 A  AB2  .4  13 13 2304 Maø AB > 0. Neân AB =  13,3 (cm) 13 576 5184  AC2 = .9  B C 13 13 24 5184 Maø AC > 0 neân AC =  19,9 (cm) 13 5. Ta coù: BH + HC = BC  BC = 10 + 42 = 52 (cm) ABC vuoâng taïi A coù AH laø ñöôøng cao (gt) A  AH2 = BH.CH = 10.42 = 420. Maø AH > 0 neân AH = 420  105 (cm) ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao.  AB2 = BC.BH. B 10 H 42 C  AB2 = 52.10 = 520. Maø AB > 0 neân AB = 520  2 130 (cm) ABC vuoâng taïi A (gt) AB2 + AC2 = BC2 (ñònh lí Pythagore) Do ñoù AC2 = BC2 – AB2 = 522 – 520 – 2184 Maø AC > 0. Neân AC = 2184  2 546 (cm) 6. a) A, B laø hai ñieåm treân ñöôøng troøn taâm O baùn kính R = 10cm neân OA = OB = 10cm. Xeùt OAB coù OA = OB (= 10cm) Do ñoù: OAB caân taïi O. OAB caân taïi O coù OI laø ñöôøng trung tuyeán (vì I laø trung ñieåm cuûa AB). O Neân OI cuõng laø ñöôøng cao cuûa tam giaùc OAB. 10 10 Xeùt OAI vuoâng taïi I ta coù: OA2 = OI2 + AI2 (ñònh lí Pythagore) A B Do ñoù: AI2 = OA2 – OI2 = 102 – 72 = 51. I 109
  11. Maø AI > 0 neân AI = 51 (cm) Vì I laø trung ñieåm cuûa AB neân AB = 2AI = 2 51 (cm) AB 14 b) Vì I laø trung ñieåm AB neân ta coù: AI = BI    7 (cm) 2 2 Xeùt OAI vuoâng taïi I ta coù: OI2 + AI2 = OA2 (ñònh lí Pythagore) Do ñoù OI2 = OA2 – AI2 = 102 – 72 = 51 Maø AI > 0 neân OI = 51 (cm). 7. AB laø ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn taâm O vaø C thuoäc ñöôøng troøn. AB 53 Do ñoù: OA = OB = OC =   26, 5 (cm) 2 2 C AB ABC coù CO laø ñöôøng trung tuyeán OC = . 45 2  ABC vuoâng taïi C. A B  Xeùt ABC vuoâng taïi C ta coù: O H AB2 = AC2 + BC2 (ñònh lí Pythagore) Do ñoù: BC2 = AB2 – AC2 = 532 – 452 = 784 Maø BC > 0 neân BC = 784 = 28 (cm).  ABC vuoâng taïi C, coù ñöôøng cao CH.  AC2 = AH.AB. AC2 452 Do ñoù AH =   38,2 (cm) AB 53 Maø AH + BH = AB. Neân BH = AB – AH  53 – 38,2 = 14,8 (cm) ABC vuoâng taïi C, CH laø ñöôøng cao.  AC.BC = AB.CH. AC.BC 45.28 Do ñoù CH =   23,8 (cm) AB 53 Ta coù OH + BH = OB Do ñoù OH = OB – BH = 26,5 – 14,8 = 11,7 (cm) 8. a) Qua C veõ ñöôøng thaúng song song vôùi AD caét AB taïi K. D N C Töù giaùc AKCD coù AK // CD, CK // AD.  Töù giaùc AKCD laø hình bình haønh.  AK = CD = 5cm. Do ñoù BK = AB – AK = AB – CD. = 15 – 5 = 10 (cm) A K M H B 110
  12.   BAD Ta coù CKB   600 (ñoàng vò vaø CK // AD)   BCK Xeùt BKC coù BKC   600 Do ñoù: BKC ñeàu. Suy ra: BC = BK = 10 (cm). b) Veõ CH  BK taïi H. BHC vuoâng taïi H.  CH = BCsinB = 10sin600 = 5 3 (cm) Xeùt hình thang caân ABCD (AB // CD) ta coù: M laø trung ñieåm cuûa AB (gt) vaø N laø trung ñieåm cuûa CD (gt) Do ñoù MN truïc ñoái xöùng cuûa hình thang caân ABCD.  MN  AB vaø MN  CD.   NMH Xeùt töù giaùc NCHM coù CNM   MHC   900 Do ñoù töù giaùc NCHM laø hình chöõ nhaät. Suy ra MN = CH = 5 3 (cm). 9. a) Xeùt ABD vuoâng taïi A ta coù BD2 + AD2 + AB2 (ñònh lí Pythagore) BD2 = 202 + 202 = 800 Maø BD > 0 neân BD = 800 = 20 2 (cm) A 20 B b) Xeùt ABC ta coù: AB = AC (= 20cm) 20 Do ñoù ABC caân taïi A. 20 H   600 (giaû thieát) Maø ABC K E   600 . Neân ABC ñeàu. Do ñoù BAC C ABH vuoâng taïi H D  = 20sin600 = 10 3 (cm)  BH = ABsin BAC   BAC Ta coù: DAK   BAD    600  900 DAK  = 300 DAK  = 20sin300 = 10 (cm) KAD vuoâng taïi K. Suy ra DK = ADsin DAK c) ADK vuoâng taïi K.  = 20cos300 = 10 3 (cm)  AK = ADcos DAK ABC ñeàu, BH laø ñöôøng cao neân cuõng laø ñöôøng trung tuyeán AC  AH =  10 (cm) 2 Ta coù: AH + HK = AK.  HK = AK – AH = 10 3 – 10  7,3 (cm) 111
  13. d) ADC coù AD = AC  ADC caân taïi A.   ACD Do ñoù ADC  : 2  750  = (1800 – DAC)   450 ABD vuoâng caân taïi A  ADB   ADC Neân BDE   ADB   750  450  300 BED vuoâng taïi E.  = 20 2. 1  Suy ra BE = BDsin BDE  10 2 (cm) vaø DE = BDcos BDE 2 3 = 20 2.  10 6 (cm) 2   1800  BCA Maët khaùc BCE   ACD  = 1800 – 600 – 750 = 450  = 20. 2 EBC vuoâng taïi E  CE = BCcos BCE  10 2 (cm) 2 Do ñoù DC = DE – CE = 10 6  10 2  10( 6  2) (cm) 10. a) Ta coù: O laø trung ñieåm cuûa AB (gt) x C AB 2a Do ñoù: AO = BO =  a D 2 2 H Xeùt OAD vuoâng taïi O ta coù: A B AD2 = AO2 + DO2 (ñònh lí Pythagore) O P 2 a 5a 2 F K Do ñoù AD2 = a2 +    2 4 5a 2 a 5 E maø AD > 0 neân AD =  4 2  (chung), AOD Xeùt AOD vaø ACB coù: OAD   ACB  (= 900) Do ñoù AOD  ACB (g.g) AO AD OD    AC AB BC AO.AB a.2a 4 5a Neân AC =   AD a 5 5 2 a 2a. AB.OD 2  2 5a Vaø BC =  AD 2 5 5 2 AB b) Ta coù: ABE coù EO laø ñöôøng trung tuuyeán vaø EO = AO = BO = (= a) 2 Neân ABE vuoâng taïi E. 112
  14. Ta coù: AO = EO = BO = CO = a. Vaäy boán ñieåm A, E, B, O cuøng thuoäc ñöôøng troøn taâm O baùn kính a. c) ABE coù EO laø ñöôøng cao, ñöôøng trung tuyeán  ABE caân taïi E. Veõ EH  AC taïi H, EK  BC taïi K.   900 ) vaø KBE ( KBE Xeùt HAE ( AHE  = 900) coù AE = BE (ABE caân taïi E).   KBE HAE  (cuøng buø vôùi goùc CBE) Do ñoù HAE = KBE (caïnh huyeàn – goùc nhoïn)  EH = EK. .  CE laø tia phaân giaùc ACB    BCA  450  BCF 2 2 5a Do ñoù BCF vuoâng caân taïi B. Vaäy BF = BC = . 5 BP BF d) PAC coù BF // AC   . AP AC BP 1 BP AP BP  AP 2a Neân  . Do ñoù    AP 2 1 2 12 3 4a 2a Vaäy AP = , BP = . 3 3 11. A ABC caân taïi A, AH laø ñöôøng cao (gt)  AH laø ñöôøng trung tuyeán cuûa tam giaùc ABC. BC 16  BH = CH =  = 8 (cm) 2 2 Ta coù BD + DH = BC B D H C Neân 3,5 + DH = 8  DH = 4,5 (cm) Xeùt HAD vaø HCA coù  (= 900), AH  DH  vì 6  4.5    CHA AHD   CH AH  8 6  Do ñoù HAD ∽ HCA (c.g.c)   HCA  HAD    HAD Ta coù DAC   HAC   HCA   HAC   900 (HAC vuoâng taïi H) Vaäy tam giaùc DAC vuoâng taïi A. 113
  15. LUYEÄN TAÄP 1. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, ñöôøng cao AH. Bieát HB = 9cm HC = 16cm. Tính caùc ñoä daøi AB, AC. 2. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, ñöôøng cao AH. Bieát AH = 6cm, HC – HB = 9cm. Tính caùc ñoä daøi HB, HC. AB 3 3. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù  , ñöôøng cao AH = 18cm. Tính chu vi tam AC 4 giaùc ABC. 4. Cho hình thang ABCD coù chieàu daøi hai ñaùy AB vaø CD laàn löôït laø 9cm vaø 30cm, chieàu daøi hai caïnh beân AD vaø BC laàn löôït laø 13cm vaø 20cm. Tính dieän tích hình thang. 5. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù dieän tích 37,5cm2, AB < AC, ñöôøng cao AH coù ñoä daøi 6cm. Tính caùc ñoä daøi AB, AC. 6. Cho tam giaùc ABC vuoâng caân taïi A, ñieåm M thuoäc caïnh BC vaø AM = m. Tính toång MB2 + MC2 theo m. 7. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, veõ ñöôøng cao AH. Goïi E vaø D laàn löôït laø hình chieáu cuûa H treân AB vaø AC. Cho bieát HDd = 18cm, HE = 12cm. Tìm caùc ñoä daøi AB, AC. 8. Moät tam giaùc vuoâng coù caïnh huyeàn laø 6,15cm vaø ñöôøng cao töông öùng laø 3cm. Tìm caùc caïnh goùc vuoâng cuûa tam giaùc. 9. Caïnh huyeàn cuûa moät tam giaùc vuoâng lôùn hôn moät caïnh goùc vuoâng cuûa tam giaùc laø 9cm, coøn toång hai caïnh goùc vuoâng lôùn hôn caïnh huyeàn laø 6cm. Tính chu vi vaø dieän tích tam giaùc vuoâng ñoù. 10. Cho tam giaùc ABC vuoâng caân taïi A. Ñieåm D di ñoäng treân caïnh AC. Ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi AC taïi C caét ñöôøng BD taïi E. Chöùng minh raèng khi D di chuyeån treân 1 1 caïnh AC thì toång  khoâng ñoåi. BD 2 BE2 LÔØI GIAÛI 1. Ta coù: BC = BH + HC = 9 + 16 = 25. A ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao (gt)  AB2 = BC.BH vaø AC2 = BC.CH. Do ñoù AB2 = 25.9 = 225 vaø AC2 = 25.16 = 400 Maø AB > 0 neân AB = 225  15 (cm) B C 9 H 16 Vì AC > 0 neân AC = 400 = 20 (cm) 114
  16. 2. A Ta coù: HC – HB = 9 (gt)  HC = 9 + HB Xeùt ABC vuoâng taïi A coù ñöôøng cao AH (gt) 6  AH2 = HB.HC. Do ñoù 36 = HB.(9 + HB) B H C  36 = 9HB + HB2  HB2 + 9HB – 36 = 0  (HB – 3)(HB + 12) = 0  HB = 3 hoaëc HB = –12 Maø HB > 0 neân HB = 3 (cm) Vaäy HC = 9 + 3 = 12 (cm). 3. A AB 3 3 Ta coù:  (gt)  AB = AC AC 4 4  ABC vuoâng taïi A coù ñöôøng cao AH (gt) 1 1 1    AH 2 AC 2 AB2 B H C 1 1 1 1 1 16 Do ñoù      18 2 AC 2 3  2 324 AC 2 9AC2  AC  4   AC2 = 324 + 36.16 = 900 Maø AC > 0 neân AC = 900 = 30 (cm) 3 Vaäy AB = .30  22, 5 (cm) 4 ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao (gt)  BC.AH = AB.AC. AB.AC 22, 5.30 Do ñoù BC =   37, 5 (cm) AH 18 Chu vi tam giaùc ABC laø: AB + AC + BC = 22,5 + 30 + 37,5 = 90 (cm) 4. Veõ AH  CD taïi H, BK  CD taïi K. A B Ta coù AH // BK. Maø AB // HK (AB // CD). Do ñoù töù giaùc ABKH laø hình bình haønh.  AH = BK, HK = AB = 9 (cm) Do vaäy DH + CK = CD – HK = 21 (cm) D C H K  CK = 21 – DH DAH vuoâng taïi H (gt)  AH2 + DH2 = AD2 (ñònh lí Pythagore) 115
  17.  AH2 = AD2 – DH2 BCK vuoâng taïi K (gt)  BK2 + CK2 = BC2  BK2 = BC2 – CK2 Neán AD2 – DH2 = 202 – (21 – DH)2.  169 – DH2 = 400 – 441 + 42DH – DH2  42DH = 210  DH = 5 (cm) Neân AH2 + 52 = 132  AH2 = 144. Maø AH > 0. Do ñoù AH = 144 = 12 (cm) 1 1 Vaäy dieän tích hình thang ABCD laø: AH(AB  CD)  .12(9  30)  234 (cm2) 2 2 5. A 1 Theo ñeà baøi ta coù: S = .AB.AC  37,5 2  AB.AC = 37,5.2 = 75 6 1 Maët khaùc S = AH.BC 2 C B H 1 Neân .6.BC  37, 5  BC = 12,5 (cm) 2 ABC vuoâng taïi A  AB2 + AC2 = BC2 (ñònh lí Pythagore) AB2 + AC2 = 12,52 = 156,25 Ta coù (AB + AC)2 = AB2 + AC2 + 2AB.AC = 156,25 + 2.75 (AB + AC)2 = 231,25. Neân AB + AC = 17m5. Maët khaùc (AC – AB)2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC = 156,25 – 2.75 = 6,25 Neân AC – AB = 2,5 (vì AC > AB). Ta coù AB + AC + AC – AB = 17,5 + 2,5  2AC = 20.  AC = 10 (cm) Khi ñoù 10 – AB = 2,5 Vaäy AB = 10 – 2,5 = 7,5 (cm). 6. B Veõ AH  BC taïi H. Khoâng maát tính toång quaùt giaû söû M naèm giöõa B vaø H. M ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao neân cuõng laø ñöôøng trung tuyeán. H BC  AH = BH = CH = 2 HAM vuoâng taïi H. C A 2 2 2  AH + MH = AM (ñònh lí Pythagore) BC2 Neân  MH2  m2 4 116
  18. Ta coù MB2 + MC2 = (BH – MH)2 + (CH + MH)2 2 2  BC   BC  BC2 =   MH     MH   – BC.MH + MH2 +  2   2  4 BC2 BC2  BC2  +  BC.MH  MH2   2MH2 = 2   MH2   2m2 4 2  4  7. A Töù giaùc ADHE ta coù:  = 900 (vì ABC vuoâng taïi A), D EAD  = 900 (vì E laø hình chieáu cuûa H leân AB) AEH E 18   900 (vì D laø hình chieáu cuûa H leân AC) vaø ADH 12 B C Do ñoù töù giaùc ADHE laø hình chöõ nhaät. H Suy ra: AH = DE.AD = HE = 12cm, AD = DH = 18cm. HAB vuoâng taïi H, HE laø ñöôøng cao.  AE.BE = HE2. 122 Do ñoù 18.BE = 122  BE =  8 (cm) 18 Neân AB = AE + BE = 18 + 8 = 26 (cm) HAC vuoâng taïi H, HD laø ñöôøng cao.  AD.CD = HD2. 182 Do ñoù 12.CD = 182  CD =  27 (cm) 12 Neân AC = AD + CD = 12 + 27 = 39 (cm). 8. Theo ñaàu baøi, ta coù tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù BC = 6,15cm, ñöôøng cao AH = 3m. Giaû söû AB ≤ AC. Caàn tính AB, AC. A ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao.  AB.AC = BC.AH. Do ñoù AB.AC = 6,15.3 = 18,45. ABC vuoâng taïi A  AB2 + AC2 = BC2 (ñònh lí Pythagore) B H C 2 2 2 Do ñoù AB + AC = 6,5 = 37,8225 Ta coù (AB + AC)2 = AB2 + AC2 + 2AB.AC = 37,8225 + 2.18,45 = 74,7225  AB + AC  8,64 Vaø (AC – AB)2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC = 37,8225 – 2.18,45 = 0,9225  AC – AB  0,96 (AC ≥ AB) Do ñoù AB = (8,64 – 0,96) : 2  3,84 (cm) vaø AC = (8,64 + 0,96) : 2  4,8 (cm) 117
  19. 9. Giaû söû tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù BC = a (cm), AC = b (cm), AB = c (cm) (a, b, c > 0). Theo ñeà baøi ta coù: a – c = 9 vaø b + c – a = 6 A Do ñoù a – c + b + c – a = 9 + 6  b = 15 b c Xeùt ABC vuoâng taïi A ta coù: a2 = b2 + c2 (ñònh lí Pythagore). B a C Maø a = 9 + c vaø b = 15. Do ñoù (9 + c)2 = 152 + c2.  81 + 18c + c2 = 225 + c2  18c = 225 – 81  18c = 144  c = 8 Ta coù a = 9 + c = 9 + 8 = 17 (cm) Chu vi tam giaùc ABC laø: a + b + c = 15 + 8 + 17 = 40 (cm) 1 1 Dieän tích tam giaùc ABC vuoâng taïi A laø: .b.c  .15.8  60 (cm2) 2 2 10. Veõ BF  d taïi F. A x Xeùt töù giaùc ABFC coù   900 , ACF BFC   900 , BAC   900 D E Do ñoù töù giaùc ABFC laø hình chöõ nhaät. B C Maø AB = AC (ABC vuoâng taïi A) Neân töù giaùc ABFC laø hình vuoâng. Qua B keû ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi BE caét F ñöôøng thaúng d taïi G. G Xeùt ABD vaø FBG ta coù:   BFG BAD  (= 900), AB = BF (vì ABFC laø hình vuoâng)   FBG vaø ABD  (vì cuøng phuï vôùi DBF ) Do ñoù ABD = FBG (g.c.g). Suy ra: BD = BG. 1 1 1 Xeùt BGE vuoâng taïi B coù ñöôøng cao BF, ta coù:   BF 2 BG 2 BE2 Maø BD = BG, BF = AC khoâng ñoåi. 1 1 1 Vaäy   khoâng ñoåi. BD 2 BE 2 AC2 118
  20. BAØI TAÄP NAÂNG CAO 1. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao. Veõ HD vuoâng goùc vôùi AB taïi D, HE vuoâng goùc vôùi AC taïi E. Chöùng minh raèng. AD AH2 a)  BD BH2 b) BD.CE.BC = AH3.   1200 . Tia Ax taïo vôùi tia AB goùc Bax baèng 150, tia Ax 2. Cho hình thoi ABCD coù A 1 1 4 caét caïnh BC taïi M vaø caét tia DC taïi N. Chöùng minh raèng   . AM 2 AN 2 3AB2 3. Cho tam giaùc nhoïn ABC, H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc ABC. M, N laàn löôït treân caùc   ANB ñoaïn thaúng HB, HC sao cho AMC   900 . Chöùng minh raèng tam giaùc AMN caân. LÔØI GIAÛI 1. A a) ABH vuoâng taïi H, HD laø ñöôøng cao (HD D  AB)  AD.AB = BH2 (heä thöùc veà caïnh vaø ñöôøng cao trong tam giaùc vuoâng). AH2 AD.AB AD Do ñoù   . B H C BH2 BD.AB BD b) ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao  AH2 = BH.HC, AB.AC = AH.BC. AHC vuoâng taïi H, HE laø ñöôøng cao (HE  AC)  CE.AC = HC2 Do ñoù AH4 = (BH.HC)2 = BH2.HC2 = BD.AB.CE.AC = (BD.CE).(AB.AC) = (BD.CE)(AH.BC) Neân AH4 = BD.CE.BC.AH Vaäy AH3 = BD.CE.BC. 2. Qua A veõ ñöôøng thaúng vuoâng goùc A B vôùi AN, caét CD taïi E. Veõ AH  CD 150 taïi H. M Tam giaùc AEN vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao. N D E H C 1 1 1 x    AE 2 AN 2 AH2 1 4 Chöùng minh ñöôïc: AE = AM,  . AH 2 3AB2 1 1 1 1 1 4 Doù ñoù      AM 2 AN 2 AE 2 AN 2 AH 2 3AB2 119

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản