intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ: Phần 2 - Trần Mạnh Tường

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:60

Thêm vào BST
Báo xấu
9
lượt xem 2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ" tiếp tục cung cấp tới bạn đọc cách giải phương trình vô tỉ giải bằng phương pháp vectơ; phương trình vô tỉ sử dụng BĐT để đánh giá; phương trình vô tỉ sử dụng bđt Bunhiacopxki; phương trình vô tỉ sử dụng sự tương giao của đường tròn đường thẳng;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ: Phần 2 - Trần Mạnh Tường

  1. Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE X. PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Bài 1. [Tính đơn điệu của hàm số] 2 2 2 2 x  6 3 6 3 6 3 6 x . 3 Đ x  2 Lời giải N ậ xé Đ f  x  2  x; g  x  3 6  x      f f f  f  x   g g g  g  x  .  1 1 Do f   x    0; g  x    0  f  x  , g  x  ồng biến trên  2;   . 2 2 x 3 6  x 3 2 Với x  2 thì f  x   g  x   2  f  f  x   f  g  x   g  g  x   2       f f  f  x   f g  g  x   g g  g  x   2   f  f  f  f  x   f  g  g  g  x   g  g  g  g  x   2  VT  VP Với 2  x  2 thì f  x   g  x   2 lập luậ ta có VT  VP . Nhận th y x  2 là nghiệm củ .  x  2 là nghiệm duy nh t củ . Bài 2: x  3  2x 1  4  x 4 3 Lời giải 1 Đ x 2 P x  3  4 2 x  1  4  x3  0 Dễ th y khi x VT VT là à ồng biến.  Pt có nghiệm duy nh t x  1 . Bài 3: 5 x  3x  1  4  2 x  1 Lời giải P 5 x  3x  1  4  2 x  1  0 (  x  1 là nghiệm ) Bài 4: 5 2 x 1  5x  2  5x  2  2 x 1 5 Lời giải P 5 2 x 1  2 x 1  5 5x  2  5x  2 Xét f  t   5 t  t nhận th y khi t f t   f  t  ồng biến. 1  2 x  1  5x  2  x  ( lo i )  vô nghiệm. 3 Bài 5: 2x  2x 1  x  3  1 x  3 Lời giải 1 Đ ều kiện: x   . 2 P  2 x  1  2x 1    x  3 1  1 x  3 Hàm số f  t   t t ồng biến  2 x  1  x  3  1  ....... Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 50
  2. Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE Bài 6. G x2  2 x  7  x  3  2 1  8x  1  1  8x Lời giải 1 Đ ều kiện: x   8  ới  x  3  x  3  1  1  8x  2  1  1  8x 2 P Hàm số f  t   t 2  t ồng biến trên kho ng  0;   nên x  3  1  1  8 x , gi ợc x  1; x  3  t / m    x  3 y 3  y  y  3 x3  x 1 Bài 7. G ệ  x  y  2  5 5  2 Lời giải 1  x  3 x3  x  y  3 y 3  y . Hàm số f  t   t  3 t 3  t ồng biến trên nên x  y . Thế x  y vào  2  ợc x  y  1 .  x5  3 y  y 5  3 x 1 Bài 8. G ệ   x  1  3 y  2  3  2 Lời giải Đ ều kiện: x  1 1  x5  3 x  y 5  3 y . Hàm số f  t   t 5  3 t ồng biến trên nên x  y . Thế x  y vào  2  ợc x  1  3 x  2  3 *  . Vế trái của * là hàm số ồng biến trên kho ng 1;   ệm duy nh t x  2 t / m  y  2  4 x  4 y   y  x  xy  2   1 Bài 9. G ệ  2  x y 2  2  2 Lời giải Đ ều kiện: x  0; y  0 . Thế 2  x 2  y 2 vào 1 ợc 4 x  4 y   y  x   xy  x 2  y 2   x3  4 x  y 3  4 y Hàm số f  t   t 3  4 t ồng biến trên nên x  y . Thế x  y vào  2  ợc x  y  1 (t/m) ho c x  y  1 ( lo i).  x3  x  2  y  1 2 y  1 1 Bài 10. G ệ   x  2 2 y  1  1  0  2 Lời giải Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 51
  3. Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 1 Đ ều kiện: y   . 2 1  x3  x   2 y  1 2 y  1  2 y  1 . Hàm số f t   t 3  t ồng biến trên  0;    nên x  2 y 1 . Thế x  2 y  1 vào  2  ợc x  1  y  0  t / m  .   x  1  x  1  y  2  y 1 4 4 Bài 11: Giải hệ phƣơng trình:  x  2x  y  1  y  6y  1  0  2   2 2 Lời giải Điều kiện: x  1 1    4 4 x 1  2  4 x  1  y4  2  y Hàm số f  t   f 4  2  t đồng biến t  0  4 x  1  y  x  y4  1 và y  0  Thế vào  2   y  y  1 y6  y 5  3y3  3y  9  0  0  y  0 hoặc y  1 2y  y  2x 1  x  3 1  x 1  3 Bài 12: Giải hệ phƣơng trình:  y  2y  1  4  x  4  2   2 Lời giải Điều kiện: 4  x  4 Đặt 1  x  t  1  x  t 2 ; t  0 Khi đó: 2x 1  x  2t  2t 3 1  2y3  y  2t 3  t  y  t  y  1  x  y 2  1  x;y  0 Thế vào  2  , ta có: 1  x  3  2x  4  x  4   3  2x  3      1 x  2   x  4 1  0   x  3....   0  x  3...   x  3x  2  y  3 y 3 2 3 2 (1) Bài 13. [pp hàm số] Gi i hệ  3 x  2  y  8 y  2 (2) */ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:  Hãy l a chọn biế ổ ệ về d ng f ( x)  f ( y ) .  Nhận xét gì về tập giá trị của (x - 1) và của y3 ? Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 52
  4. Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE  Hàm số ệu trên tậ ợc xét không ? Lời giải  y3  3 y 2  0  2 x  2 Đ ều kiện :  y  8 y  0   (*) x  2  0  y  0  Ta có :     3 (1)  x3  3x 2  y y  3  ( x  1)3  3( x  1)  y 3 3 y3 (1') Xét hàm số f (t )  t  3t trên tập 3 [1; ) f '(t )  3t 2  3  0, t  1  f(t) là hàm số ồng biến trên kho ng (1; ) K (1')  f ( x  1)  f   y  3  x  1  y  3   x  1  y  3 kết hợp vớ 2 ( ), ợc :  x  2 x  1  y  3  x  2 x  2  y 2 2 (1')    3 x  2  y  8 y 9( x  2)  y  8 y (2') 2 2 Thế ( ') à ( '), ợc : 9 x  18   x 2  2 x  2   8  x 2  2 x  2  2  x 4  4 x 3  8 x 2  17 x  6  0  ( x  3)( x 3  x 2  5 x  2)  0 x  3  0 x  3  3   2  x  3  y  1(Tm)  x  x 2  5 x  2  0  x ( x  1)  4 x  ( x  2)  0(VN) x  3 Vậy hệ có nghiệm duy nh t :  y 1  8 x  3 2 x  1  y  4 y 3  0 (1) Bài 14. [pp hàm số] Gi i hệ  2 4 x  8 x  2 y  y  2 y  3  0 (2) 3 2 Lời giải 1 Đ ều kiện : x  2 (1)   4(2 x  1)  1 2 x  1  y  4 y 3  4   3 2 x  1  2 x  1  4 y 3  y (1') Xét hàm số : f (t )  4t  t trên tập 3 [0; ) f '(t )  12t  1  0, t  0  Hàm số f(t) ồng biến trên kho ng (0; ) 2 K (1')  f   2 x  1  f ( y)  2 x  1  y  y 2  1  2 x thế à ( ), ợc : Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 53
  5. Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE y  1  4  y 2  1  2 y 3  y 2  2 y  3  0 2 2 y  0  y  1  y  2 y  y  2 y  0  y ( y  1)(y 1)(y 2)  0   4 3 2  y  2  y 1 1 Khi y  0  x  (thỏ ã ều kiện) 2 Khi y  1  x  1 (thỏ ã ều kiện) 5 Khi y  2  x  (thỏ ã ều kiện) 2 Khi y  1  x  1 (thỏ ã ều kiện)  1  5  Vậy tập nghiệm của hệ là ( x; y)  (1; 1);(1; 1);  ;0  ;  ; 2    2  2  Bài 15. [pp hàm số] Gi i hệ  3x  3 y  8  ( y  x)( y  xy  x  6) (1) 2 2 2 2  ( x  y  13)( 3 y  14  x  1)  5  (2) */ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:  Hãy l a chọn biế ổ ệ về d ng f ( x)  f ( y ) .  Nhận xét gì về tập giá trị của (x + 1) và của (y - 1) ?  Hàm số ệu trên tậ ợc xét không ? Lời giải  x  1 x 1  0  Đ ều kiện :   14 (*) 3 y  14  0  y   3 Ta có : (1)   x  1  3 x  1   y  1  3 y  1 (1') 3 3 Xét hàm số f (t )  t  3t  f '(t )  3t  3  0, t  R 3 2  Hàm số f(t) ồng biến trên R K (1')  f ( x  1)  f ( y  1)  x  1  y  1  y  x  2 thế à ( ), ợc : (2 x  11)( 3x  8  x  1)  5 (3) 5 11  3x  8  x  1   0 (4) (Do x  không là nghiệm của (3) 2 x  11 2 5  8 11   11  Xét hàm số g ( x)  3x  8  x  1  trên D  ;    ;   2 x  11  3 2   2  3 1 10 g '( x)    2 3x  8 2 x  1  2 x  11 2 6 x  17 10  8 11   11     0, x   ;    ;   2 (3x  8)( x  1)(3 x  1  3 x  8)  2 x  11 3 2   2  2  Hàm số g(x) ồng biến trên  ;  và  ;   8 11 11 3 2   2  Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 54
  6. Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE  8 11  (4)  g ( x)  g (3)  x  3  y  5 - Khi x   ; : (thỏ ã ều kiện (*)) 3 2   11  -Khi x   ;   : (4)  g ( x)  g (8)  x  8  y  10 (thỏ ã ều kiện (*)) 2  x  3 x  8 Vậy hệ ệm :  ;  y  5  y  10  1 3x  4  x  3 y  1  y 2   (1) Bài 16. [pp hàm số] Gi i hệ  y x  1  9 y  2  3 7 x  2 y  2  2 y  3 (2)  Lời giải  x  1 x 1  0  Đ ều kiện :   2 (*) 9 y  2  0  y   9 1 1 Ta có : (1)  y   3 y  ( x  1)   3 x  1 (1') 2 y x 1 1 Xét hàm số f (t )  t   3t trên kho ng (0; ) 2 t  2t  1 t  1 2 1 f '(t )  2t  2  3   0, t  (0; ) t t2  Hàm số f(t) ồng biến trên (0; ) K (1')  f ( y)  f   x  1  y  x  1  x  1  y 2 thế à ( ), ợc : 9 y  2  3 7 y2  2 y  5  2 y  3   9 y  2  ( y  2)    3 7 y 2  2 y  5  ( y  1)   0   y2  5 y  6 ( y  1)( y 2  5 y  6)   0 9 y  2  ( y  2) ( y  1) 2  ( y  1) 3 7 y 2  2 y  5  ( 3 7 y 2  2 y  5) 2  ( y 2  5 y  6).h( x)  0  1 y 1  Vì h(x)      0 với  9 y  2  ( y  2) ( y  1)  ( y  1) 7 y  2 y  5  ( 7 y  2 y  5)  2 3 2 3 2 2 2 y  2 y  nên y 2  5 y  6  0   9 y  3 -Khi y  2  x  3 (thỏ ã ều kiện (*)) -Khi y  3  x  8 (thỏ ã ều kiện (*)) x  3 x  8 Vậy nghiệm của hệ là  ;  y  2 y  3 Bài 17. [pp hàm số] Gi i hệ Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 55
  7. Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE   5  16.4 x 2 y  5  16 x 2 y .7 2 y  x 2 2 (1) 2  2  3  x  17 x  10 y  17  2  x 2  4  4 y  11 (2) Lời giải Đ t t  x  2y 2 ( ) ng 2 t 5 4 5  42t 5  16.4   5  16 .7  t t 2t  2t (3) 7 2 t 7 x x 1 4 Xét hàm số f  x   5.      f ( x) là hàm số nghịch biến trên R 7 7 ng f (t  2)  f (2t )  t  2  2t  t  2  x  2 y  2 2 P ( ) K ( ) ng x3  5x 2  17 x  7  2  x 2  4  2 x 2  7   x  2   x  2   x  2   2 x2  7  2 x2  7   2 x2  7   2 x2  7 3 2 Xét hàm số f (t )  t  t  t trên kho ng  0;  3 2 f '(t )  3t 2  2t  1  0, t  0  f(t) là hàm số ồng biến trên kho ng  0;  P ng f  x  2  f   2 x 2  7  x  2  2 x2  7   x 1 x  3  1   7  Suy ra : Hệ p nghiệm (x;y) là: 1;  ,  3;  .  2   2 Bài 18. [pp hàm số] Gi i hệ  4 1  2 x y  1  3x  2 1  2 x y  1  x 2 2 2  3 2 x y  x  x  x  2 x y 4 y  1  2 4 2 3 2 Lời giải Đ ều kiện : 1  x  1 Ta th y ( x; y)  (0; a), a  R là nghiệm của hệ ã . Khi x  0 , ta có : 1 1 1 2 x 3 y  x 2  x 4  x 2  2 x 3 y 4 y2  1  2 y  2 y 4 y2  1    1 (*) x x x2 Xét hàm số : f (t )  t  t t  1 2 t2 f '(t )  1  t  1  2  0, t .  Hàm số f(t) ồng biến t2  1 1 1 D (*)  f  2 y   f    2 y  thế à ò l i của hệ ta có : x x 4 1  x  1  3x  2 1  x  1  x 2 a  1  x  0 Đ t  ta có : 3x  x  1  2( x  1)  1  2a  b  1 2 2 b  1  x  0 P ở thành : Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 56
  8. Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 2a  b 2a2  b2  ab  4a  2b  0   2a  b  a  b  2   0   a  b  2 3 5 Với 2a  b , ta có : 2 1  x  1  x  x    y   5 6 Với a  b  2 , ta có : 1  x  1  x  2  x  0 (lo i)  3 5   Vậy nghiệm của hệ là ( x; y)    ;   ; 0; a  | a  R   5 6    x  3  4 x  2  y 4  5  y (1) Bài 19. [pp hàm số] Gi i hệ  2  x  2 x( y  2)  y  8 y  4  0 (2) 2 Lời giải Đ ều kiện : x  2 Ta có : (1)  ( x  2)  5  4 x  2  y 4  5  y (1') Xét hàm số f (t )  t  t  5 trên  0;  4 2t 3 f '(t )  1   0, t  0  Hàm số f(t) ồng biến trên (0; ) t 5 4 K f  4  x  2  f ( y)  4 x  2  y  x  y 4  2 thế à ( ), ợc : y  0 4 y   y4  y   y  y7  2 y4  y  4  0   7 2  y  2 y  y  4  0 (3) 4 Với y  0  x  2 (thỏ ã ều kiện) Gi i (3): Xét hàm số g ( y )  y  2 y  y  4 trên  0;  7 4 g '( y )  7 y 6  8 y 3  1  0, y  0  Hàm số g(y) ồng biến trên (0; ) L i có : (3)  g ( y )  g (1)  y  1  x  3 (thỏ ã ều kiện) x  2 x  3 Vậy nghiệm của hệ là  ;  y  0 y 1 Bài 20. [pp hàm số] Gi i hệ  20 6  x  17 5  y  3x 6  x  3 y 5  y  0 (1)  2 2 x  y  5  3 3x  2 y  11  x  6 x  13  2 (2) Lời giải x  6 y  5  Đ ều kiện :  (*)  2 x  y  5  0 3x  2 y  11  0 (1)   20  3x  6  x  17  3 y  5  y   3 6  x   2  6  x   3 5  y   2  5  y  3 Xét hàm số f  t    3t  2  t trên tập  0;  Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 57
  9. Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 3t  2 f 't   3 t   0, t  0  Hàm số f(t) ồng biến trên  0;  2 t K (3)  f  6  x   f  5  y   6  x  5  y  y  x  1 thế à ( ), ợc : 4 2 3x  4  3 5 x  9  x 2  6 x  13 (Đ ều kiện : x   ) 3 2  3x  4   x  2   3   5 x  9   x  3  x 2  x  2 x  x  1 3x  x  1    x2  x 3x  4   x  2  5 x  9   x  3  2 3   x  x  1    1  0  3x  4   x  2  5 x  9   x  3    x  1 2 3  (vì   1  1 với mọi x thuộ TXĐ) x  0 3x  4   x  2  5 x  9   x  3 Với x  0  y  1 (thỏa mãn hệ ) Với x  1  y  2 (thỏa mãn hệ ) Vậy nghiệm của hệ là  x; y   0; 1 ;  1; 2   x  x 2  1  3 y (1) Bài 21. [pp hàm số] Gi i hệ   y  y  1  3 (2) 2 x Lời giải Trừ theo vế ( ) ( ), ợc : x     x 2  1  y  y 2  1  3 y  3x  x  x 2  1  3x  y  y 2  1  3 y (3) Xét hàm số f (t )  t  t  1  3 trên R 2 t t f '(t )  1   3t ln 3  0, t  R  Hàm số f(t) ồng biến trên R. t 1 2 K (3)  f ( x)  f ( y )  x  y thế à ( ), ợc : x  x 2  1  3x  1  3x  x2  1  x  (4) Xét hàm số g ( x )  3 x  x 2  1  x trên R  g '( x)  3x    x 2  1  x  ln 3   1    0 , do x2  1  x 2  1  x  0 và x2  1  1  Hàm số g(x) ồng biến trên R. K (4)  g ( x)  g (0)  x  0  y  0 x  0 Vậy hệ ệm duy nh t :  y  0 Bài 22: Gi 3x  2  6  x  3x 2  12  0. Lời giải Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 58
  10. Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 2 Đ ều kiện:  x  6 3 2  Xét hàm số f  x   3 x  2  6  x  3 x 2  12 với x   ;6 3  3 2 2  f '  x    6 x  0, x   ;6  . 2 3x  2 2 6  x 3  2  Suy ra hàm số f  x   3 x  2  6  x  3 x 2  12 ồng biến trên kho ng  ;6  3  Ta có: f  2   3.2  2  6  2  3.2  12  2  2  12  12  0  x  2 là nghiệm duy nh t củ 2 Từ cách gi i trên, ta nhận th trình có một nghiệm bằng 2 nên có thể ù í ể ề cách gi i sau. Cách khác: 3x  2  6  x  3x 2  12  0   3x  2  6  x  3x  2  6  x   3 x  4  0 2 3x  2  6  x 4  x  2  4    3  x  2  x  2   0   x  2    3 x  2   0  x  2 3x  2  6  x  3x  2  6  x  Bài 23: . Gi x  4  x  4  2 x 2  16  10  0. Lời giải Đ ều kiện: x  4 Xét hàm số f  x   x  4  x  4  2 x 2  16  10 với x  4 1 1 2x f  x     0, x  4 2 x4 2 x4 x 2  16 Suy ra: f  x   x  4  x  4  2 x 2  16  10 ồng biến trên  4;   f  5  5  4  5  4  2 52  16  10  3  1  2.3  10  0  x  5 là nghiệm duy nh t củ Bài 24: . Gi 3  x  3 4  x  3  x  3 1 3  x . * Lời giải Xét f  t   t  3 t  1 với t t  R. 1 Có f (t )  1   0  t 1  f  t  ồng biến trên hai kho ng ( ;  1) và ( 1;  ) . 3 (t  1)2 3 Ta có *  f  – x   f ( 3  x ). Luôn có 3  x  0  1 x   3 nên: - Nếu 3 – x   x  4 a mà f  t  ồng biến trên ( 1;  ) thì: x  3 3  x  0  (1)  3  x  3  x   2    x  1  x  1 (thỏa mãn  a  ).  x  7 x  6  0   x  16  - Nếu 3  x  1  4  x  0  3 4  x  0 .  VT *  1  VT *  0 (vô lí). Vậy x  1 là nghiệm củ . Bài 25: Gi 9 x  28 x  21  x  1 2  * Ý tưởng: Ta xây d ng hàm f (t )  mt 2  nt Để ý rằng h ng tử x  1 ở vế ph i có bậc th p nh ứng với nt trong f  t  , n  1 . Ta nhìn nhận 9x 2 ới 2 khía c nh 9 x 2  9.x 2 thì m  9 nhìn nhận 9 x 2  (3x) 2 thì m  1 . N ậy m=9 ho c m=1. Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 59
  11. Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE Nếu m  9  f (t )  9t 2  t . Cầ  * về d ng: 9( x  u)2  x  u  9( x  1)  x  1  9 x2  x(18u  8)  u 2  u  9  x 1  10 18u  u  28 u  Đồng nh t hệ số ợc:  2  9  lo i u  u  9  21 u  {4; 3} Nếu m  1  f (t )  t 2  t Cầ * về d ng (3x  u)2  3x  u  ( x 1)  x 1  9 x2  x(6u  2)  u 2  u  1  x 1 . 6u  2  28 Đồng nh t hệ số ợc  2 u 5 u  u  1  21 Đế lẽ Bài ã ợc gi i quyế , ậ “ ” ò ở í ớc:  *  9 x  30 x  25  3x  5  x  1  x  1 2  f (3x  5)  f ( x 1) ** với f (t )  t 2  t 1 1 Lƣu ý rằng f (t )  t 2  t chỉ ồng biến trên (  ;  ) và nghịch biến trên (;  ) , a 2 2 1 x 1  0   2 1 3 N ậy ta chỉ có f (3x  5)  f ( x 1)  3x  5  x  1 khi 3 x  5    x 2 2 3 Còn 1  x  thì sao? L ể ý rằng hàm số bậ ũ ủ , là (t ) 2  t 2 . Ở trên , d a vào 2 hệ số bậc cao nh t là 9 , ta chỉ mới xét t  3x  u nên bây giờ ta sẽ xét t=u-3x Cầ * về d ng (u  3x)2  u  3x  x 1  x 1 6u  4  28  9 x2  x(6u  4)  u 2  u  1  x  1 . Đồng nh t hệ số  2 u4 u  u  1  21 3 1 Kiểm tra l i: Có x   4  3 x   ọn u  4 2 2 Đế Bài mới th c s ợc gi i quyết. Lời giải Đ ều kiện: x  1 3 1 Nếu x   3 x  5   2 2 Ta có *  (3x  5)  3x  5  x  1  x  1 2  f (3x  5)  f ( x 1) với f (t )  t 2  t 1  3x  5  x  1 ((do f  t  ồng biến trên (  ;  ) ) 2  5  x 3x  5  0  3    x  2 (thỏ ĐKXĐ) (3x  5)  x  1  x {2; 13} 2   9 3 1 Nếu 1  x   4  3 x   ** 2 2 *  (4  3x)  4  3x  x 1  x 1 2 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 60
  12. Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE  f (4  3x)  f ( x 1) với f (t )  t 2  t 1  4  3 x  x  1 ( do f  t  ồng biến trên (  ;  ) và ** ) 2  4 4  3x  0  x  3   (4  3 x)  x  1  x  { 25  13 } 2  18 v 25  13 Vậy * có tập nghiệm S  {2; } 18 Lƣu ý: T ũ ể gi i Bài trên bằ t x 1  3 y  5 ể ề hệ ối xứng lo i 2. x  2x  8   2 Bài 26: Gi   x  1 x2 2 . x2  2x  3 Lần 3 – THPT Phú Riềng 2016 Lời giải ĐK x  2 x  2   x  2  x  4    x  1 x  2     2 x4  x 1 Pt x2  2x  3 x22 1  x  2 x  3 x22  x  2  2   x 1  x  2x  3 (1)   x  4 2   x  2  2   x  2   2   x  1  2  x  1 2  2 2 (2)     Xét pt   t  2   t 2  2  có pt f '  t   3t 2  4t  2  0t  Vậ f( ) ồng biến trên x  1 3  13 D ( ) f   x  2  f  x  1  x  2  x  1   2  x  3x  1  0 x 2 3  13 Vậy pt có nghiệm: x = 2, x  2 Bài 27: Tổng các nghiệm củ x3  4 x 2  5 x  6  3 7 x 2  9 x  4 là: A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Đáp án: A  x3  4 x 2  5 x  6  y Đ t y  7 x  9 x  4 , ta có hệ :  2  y 3  y   x  1   x  1 3 2 3 7 x  9 x  4  y 3 Xét hàm số : f  t   t 3  t  f   t   3t 2  1 là à ệ . Từ f  y   f  x  1  y  x  1 x  5 D  x  1  7 x  9 x  4  x  4 x  6 x  5  0   1  5 3 2 3 2 x  2 Vậy tổng các nghiệm củ là : 4 ab c Bài 28: Nghiệm nhỏ nh t củ 3 6 x  5  x3  5 x  5 có d ng với  a, b  . K 2 a  b  c là: Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 61
  13. Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE A. 5 . B. 20 . C. 21 . D. 23 . Lời giải Đáp án: C Ta có 3 6 x  5  x3  5 x  5  6 x  5  3 6 x  5  x3  x (*) Xét hàm số f  t   t 3  t trên . Ta có f   t   3t 2  1  0, t  . Suy ra f  t   t 3  t ồng biến trên . Từ  * f  3  6x  5  f  x   3 6 x  5  x  x3  6 x  5  0   x  1  x 2  x  5  0  x  1   x  1  21  2 1  21 Vậ ệm là x  1; x  . 2 a  1 1  21  D ệm nhỏ nh t x   b  1  a  b  c  21 2 c  21  Nhận xét: Có thể gi i Bài à ớng sau: 3 6 x  5  x3  5 x  5  3 6 x  5  1  x3  5 x  4 6  x  1    x  1  x 2  x  4   6 x  5  6 x  5  1 3 2 3  x  1   6  x2  x  4  3  6 x  5  6 x  5  1 2 3  V ề t ra là gi ò l i sẽ r t phức t p. Vì vậy ta sẽ ù í ệu của hàm số Bài 29: Tổng các củ x3  3x 2  2 x  1  3 2 x  1 là: A. 3 . B. 3 . C. 5 . D. 23 . Lời giải Đáp án: B Cách 1: Ta có x3  3x 2  2 x  1  3 2 x  1  ( x 1)3  ( x 1)  (2 x 1)  3 2 x 1 Xét hàm f  x   t 3  t trên . f   x   3t 2  1  0  f  t  ồng biến trên Ta có: f  x  1  f ( 3 2 x  1)  x  1  3 2 x  1   x3  3x 2  x  0  x  x 2  3x  1  0 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 62
  14. Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE  x  0  3 5   x  2  x  3  5  2 3 5 3 5 Vậy tổng các nghiệm củ là 0   3 2 2 Cách 2:  x3  3x 2  2 x  y Đ t 2 x  1  y  1 . Ta có hệ sau:  3 3  y  3 y  3 y  2 x 2 L y 2 pt trừ cho nhau ta có: x3  y 3  3( x 2  y 2 )  4( x  y )  0  ( x  y )( x 2  xy  y 2  3x  3 y  4)  0  y 3 3   ( x  y) ( x   )2  ( y  1)2  1  0  2 2 4  x y Vậy : 3 2 x  1  x  1  x 3  3 x 2  x  0  x( x 2  3x  1)  0  x  0   3 5  x  2  x  3  5  2 3 5 3 5 Vậy tập nghiệm củ là S  {0; ; }. 2 2 Bài 30: Gi i b 8 x 3  2 x   x  2  x  1   có tập ngiệm S   a; b  . K a  b là: 7  7 7  7 7  17 7  17 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8 Lời giải Đáp án: D Đề ệ x  1.     2 x   2 x   x  1  1 x  1 3   2 x   2 x   x  1 x  1  x  1 3   2x  2x    3 x 1  x 1 3  f  2x   f  x 1  1 ớ à là f  t   t 3  t . Xé à ố f  t   t 3  t trên . f  t   3t 2  1  0, t   f t  ồ ế  2 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 63
  15. Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE   Từ 1 ,  2  f  2 x   f x  1  2 x  x  1 hay x 1  2x x 1  0 2 x  0    2 x  0 x 1  4x 2 1  17  1  x  0  0  x  8 1  17  1  x  . 8  1  17  7  17 Vậ ậ ệ ủ là S   1;   a  b  .  8  8 a  a Bài 31: Gi i b 8 x3  2 x   x  2  x  1   có tập ngiệm S   ;c  với tối gi n b  b  a, b, c   .K a  b  c là: A. 10 . B. 9 . C. 8 . D. 11 . Lời giải Đáp án: A 1 Đề ệ x . 2 K , 1   x2  x6   2x 1  3  4  2 Vớ 2x 1  3  0  x  5   2 : l ú . Vớ x  5 : Xé à ố f  x   x2  x6  2x 1  3 l  ụ  5;   . x2  x6  f ' x   1  1    2 x2 2 x6   2x 1  3  2x 1  0; x  5  f  x l ồ ế  5;   à f 7  4 . D  2  f  x   f  7   x  7 . 1  Kế ợ ớ ề , ậ ệ là S   ;7  . 2  a  1  Vậy b  2  a  b  c  10 c  7  Bài tập luyện tập 1) x3  6  3 x  6 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 64
  16. Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 2)  5  x  3x  1  8x2  16x  24 3) 2x  1  5x  2   5x  2    2x  1 3 3 4) 3 x2  1  5 2x2  2  3 x2  2  5 x  3 1 1 5) x  2x   x x x 6) 4x 3  x   x  1 2x  1  0 x3  2x  3  y  1 . 3y  1 7)   2x  3  3y  2  2 3y3  2y  3x 2  x  8 2  x 8)   5  4x  3y  1  3   x  x  2  x  4  y 1  y  3  y  5 9)  x  y  x  y  44  2 2 x3  12y  x  2  8y3  8y 10)   x  8y  2y  5x 2 3 x3  3x 2  2  y3  3y2  11)  3 x  2  y  8y  2 XI. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ SỬ DỤNG SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG TRÒN ĐƯỜNG THẲNG Bài 1. Tìm điều kiện của số thực a để phƣơng trình sau có hai nghiệm phân biệt: x  x2  a  2 x . (2.4) Lời gi i Điều kiện: x  x 2  0  0  x  1. Đặt y  x  x 2  0. Phƣơng trình (2.4) trở thành: 2 x  y  a (1) 2 x  y  a  2  2  1 1  x  y  x  0   x    y  2 2 (2)   2 4 y  0 y  0 (3)  Trong m t phẳng tọ ộ, ( ) là ờng thẳng  : 2x  y  a , 1  1 ( ) à ( ) là ử ờng tròn có tâm I  ;0  , bán kính R  , thuộc phần y  0. 2  2 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 65
  17. Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE Số nghiệm củ ( .4) í là ố ểm củ ờng thẳng  và nử ờng tròn  I , R  . Do ể ( .4) ệm phân biệ ờng thẳng  cắt nử ờng tròn  I , R  . K  1  1 a 1  2 1 d  I ,       a  2a   0 2 5  2 5 2 4 2a .  a  2  2 a  2  a  2 2 5 Vậ ( .4) ệm phân biệt khi 2  a  . 2 Bài 2: Gi i và biện luận theo m m  x  m  x  11 1 . Nếu m  0 ệm. Nếu m  0 ệm duy nh t x  0 . Nếu m  0 . u  m  x  0 Đ t  . v  m  x  0 u 2  v 2  2m  K 1  u  v  m  2 . u , v  0  Nghiêm của hệ  2  í là ểm củ ờng thẳng  d  u  v  m với cung AB củ ờng tròn  C  u 2  v 2  2m . D  2 có nghiệm  OH  d (O, ( D))  R ) Với R  2m là bán kính củ ờng tròn  C  ) 2m m m    2m  m   2m . 2 2 2  2m  m 2  4m  2  m  4 . u 2   m  u   2m . 2 Lú  2u 2  2mu  m 2  2m  0  2u 2  2mu  m 2  2m  0 . m  4m  m 2  u1,2  . 2 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 66
  18. Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 2  m  4m  m 2   x1,2  u  m   2  m.  1,2 2    m 4m  m 2 Vậy x1,2   . 2 Nếu m  0 1 có nghiệm duy nh t x  0 . m 4m  m 2 Nếu 2  m  4 1 có nghiệm x1,2   . 2 m  4 Nếu  1 vô nghiệm. 0  m  2 Bài 3: Gi i và biện luận theo a b a  x  a  x  2 1 . Lời giải Ta chỉ xét a  0 (vì nếu a  0 thì biểu thức a x ) y 2 B 2a H x O 2a A 2 u  a  x u  v  2   Đ t  PT 1  u 2  v 2  2a  2 . v  a  x u , v  0  Từ ểm M  u; v  thỏa mãn  2   M  u; v  thuộc phầ ờng tròn  C  : u 2  v 2  2a chứa trong tam giác OAB . D ếu 2a  2  a  2 : B 1 vô nghiệm. ếu 2a  2  0  a  1 : B 1 có nghiệm thỏa mãn 0  u  a  x  2a  0  a  x  2a  0  x  a 2 . Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 67
  19. Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE ếu 2  2a  2  1  a  2 : B 1 có nghiệm thỏa mãn 0  u  a  x  u  1 . u  u  a  x  2a  2 (với u1 ; u2  u1  u2  là các nghiệm củ u 2   2  u   2a . (Đã 2 ử v )). u 2   2  u   2a 2 Gi u  1  a  1 0  a  x  u  1 a  1 a  x  a  2 a  1 Có  1 vì vậy  1  u2  1  a  1 u  1  a  1  a  x  2a u2  1  a  1  a  x  2a  2 a  x  a  2 a  1   4  a  1  x  a 2 .  a  2 a  1  a  x  2a Vậy a  0 a  2 : B 1 vô nghiệm.  0  a  1: B 1 có nghiệm 0  x  a 2 1 a  2: B 1 có nghiệm 4  a  1  x  a 2   x y a Bài 4: Cho hệ  1 với a là tham số   x  y  xy  a )X ịnh a ể hệ có nghiệm. b)Gi i và biện luận theo a . Lời giải u  v  a  u  v  a  u  x , u  0  2 2  2 2 2a  a 2 Đ t  ệ  u  v  uv  a  u  v  C   2  .  y  y , v  0 u , v  0  3  u , v  0  u  v   u 2  v2  a2  u 2  v2  2 (vì uv   ). 2 2 y a B (a≥0) H Δ x O A a Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 68
  20. Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE a  0 2a  a 2 Vì vậy hệ 1 có nghiệm   (với R  là bán kính củ ờng tròn OH  d O ,    R 3  R 2a  a  3a  2  2a  a  a    R R2  a2  2R2 2 2 2 C  )   2 2   a  0 a  0 a  0    a  0 a  0   a  0   2  a  3a  4  2a   a  0  .  1 a  4  a  1  1  a  4 b) Theo kết qu câu (a) u  0  x  0 a  0 : Hệ  2  có nghiệm duy nh t   . v  0 y  0 1  a  4 : Ta có u 2   a  u 2  2a  a (Đã ử v ). 2 3  6u 2  6au  3a 2  2a  3a 2  3u 2  3au  a 2  a  0 3a  12a  3a 2  u1,2  và v1,2  a  u1,2  u2,1 . 6 x  0 Vậy khi a  0 hệ 1 có nghiệm duy nh t  . y  0  x  u1,2 2 Khi 1  a  4 hệ 1 có hai nghiệm  .  y  u2,1 2 a  4 Khi  hệ 1 vô nghiệm. 0  a  1  x   y  1  k  1 2 2 Bài 5: X ịnh k ể hệ ệm duy nh t   y   x  1  k  2 2  2 Lời giải y -1 J O x -1 I Với k 0 : Dễ th y rằng hệ ã ệm, vì vậy ta chỉ xé ờng hợp k 0 Xét trong m t phẳng tọ ộ Oxy . ịnh hình tròng C 1 tâm I 0; 1 có bán kính R1 k ịnh hình tròn C 2 tâm J 1; 0 có bán kính R2 k D ệ ã ệm duy nh t C 1 và C 2 tiếp xúc ngoài với nhau 1 R1 R2 IJ 2 k 2 k 2 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 69
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022
304 tài liệu
914 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2