Phương pháp mô men tổng quát và phương sai thay đổi

Chia sẻ: Nguyễn Văn H | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

0
2
lượt xem
0
download

Phương pháp mô men tổng quát và phương sai thay đổi

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo này, tác giả sẽ trình bày ứng dụng của phương pháp mô men tổng quát trong mô hình Klein-I, là một mô hình kinh tế có phương sai thay đổi. Dữ liệu của bài báo được trích xuất từ bộ dữ liệu “Klein.wf1” về nền kinh tế Mỹ hàng năm trong giai đoạn 1920-1941. Các tính toán và ước lượng được thực hiện bằng phần mềm Eviews 9.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phương pháp mô men tổng quát và phương sai thay đổi

Phương pháp mô men tổng quát ...<br /> <br /> PHƯƠNG PHÁP MÔ MEN TỔNG QUÁT<br /> VÀ PHƯƠNG SAI THAY ĐỔI<br /> Phạm Văn Chững*, Đoàn Hồng Chương**<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> <br /> Phương pháp mô men tổng quát<br /> (Generalized Method of Moments, viết tắt<br /> là GMM), được giới thiệu bởi Hansen, đã<br /> và đang trở thành công cụ thiết yếu cho các<br /> nghiên cứu kinh tế, tài chính trong những năm<br /> gần đây. Phương pháp này là dạng mở rộng<br /> của nhiều phương pháp ước lượng quen thuộc<br /> như phương pháp bình phương tối thiểu (LS),<br /> phương pháp hồi quy 2 giai đoạn (2SLS),<br /> phương pháp dùng biến công cụ (IV) và phương<br /> pháp hợp lý cực đại (ML). Ưu điểm của GMM<br /> so với các phương pháp được đề cập ở trênlà<br /> nó đòi hỏi ít giả thiết hơn và tính toán đơn<br /> giản hơn. Một trong những ví dụ điển hình về<br /> <br /> ưu điểm của GMM so với phương pháp bình<br /> phương tối thiểu (LS) là trường hợp mô hình<br /> có phương sai thay đổi (Heteroskedasticity).<br /> Trong bài báo này, chúng tôi sẽ trình bày ứng<br /> dụng của phương pháp mô men tổng quát<br /> trong mô hình Klein-I, là một mô hình kinh<br /> tế có phương sai thay đổi. Dữ liệu của bài<br /> báo được trích xuất từ bộ dữ liệu “Klein.wf1”<br /> về nền kinh tế Mỹ hàng năm trong giai đoạn<br /> 1920-1941.Các tính toán và ước lượng được<br /> thực hiện bằng phần mềm Eviews 9.<br /> Từ khóa: Phương pháp mô men tổng quát<br /> (GMM), Phương sai thay đổi), Mô hình Klein-I.<br /> <br /> GENERALIZED METHOD OF MOMENTS<br /> AND HETEROSKEDASTICITY<br /> ABSTRACT<br /> <br /> The Generalized Method of Moments<br /> (GMM), introduced by Hansen, has been<br /> an essential tool for economic and financial<br /> research in recent years. This method<br /> generalizes many usual estimation methods<br /> such as Least Squares (LS), Two Stage Least<br /> Squares (2SLS), Instrumental Variables (IV)<br /> and Maximal Likelihood (ML). The advantage<br /> of GMM over the methods mentioned above<br /> is that it requires fewer hypotheses and its<br /> manipulation method is simple. One of the<br /> best examples of the advantage of GMM<br /> *<br /> <br /> versus the Least Squares method (LS) is the<br /> case of heteroskedasticity. In this paper, we<br /> will present the application of Generalized<br /> Method of Moments in the Klein-I model<br /> which is an economic model occurring the<br /> heteroskedasticity.Data was extracted from<br /> the “Klein.wf1” database of the US economy<br /> during the period of 1920-1941. The software<br /> Eviews 9 was used to analyze the data.<br /> Keywords: Generalized Method of<br /> Moments (GMM), Heteroskedasticity, Klein-I<br /> model.<br /> <br /> TS. GV. Trường Đại Học Kinh Tế - Luật, ĐHQG Tp.HCM; Email: chungpv@uel.edu.vn<br /> ThS. GV. Trường Đại Học Kinh Tế - Luật, ĐHQG Tp.HCM; Email: chuongdh@uel.edu.vn<br /> <br /> **<br /> <br /> 55<br /> <br /> Tạp chí Kinh tế - Kỹ thuật<br /> <br /> 1. MỞ ĐẦU<br /> <br /> wf1” về nền kinh tế Mỹ hàng năm trong giai<br /> đoạn 1920-1941.Các tính toán và ước lượng<br /> được thực hiện bằng phần mềm Eviews 9.<br /> <br /> Phương pháp mô men tổng quát<br /> (Generalized Method of Moments, viết tắt<br /> là GMM), được giới thiệu trong bài báo của<br /> Hansen [1], đã và đang trở thành công cụ<br /> thiết yếu cho các nghiên cứu kinh tế, tài chính<br /> trong những năm gần đây. GMM là dạng mở<br /> rộng của nhiều phương pháp ước lượng quen<br /> thuộc như phương pháp bình phương tối thiểu<br /> (LS), phương pháp hồi quy 2 giai đoạn (2SLS,<br /> Two Step Least Square), phương pháp dùng<br /> biến công cụ (IV, Instrumental Variables) và<br /> phương pháp ước lượng hợp lý cực đại (ML,<br /> Maximal Likelihood) (xem [2], [3], [4]). Ưu<br /> điểm của GMM so với các phương pháp được<br /> đề cập ở trên là nó đòi hỏi ít giả thiết hơn và<br /> tính toán đơn giản hơn. Một trong những ví<br /> dụ điển hình về ưu điểm của GMM so với<br /> phương pháp bình phương tối thiểu (LS) là<br /> trường hợp mô hình có phương sai thay đổi<br /> (Heteroskedasticity). Phương sai thay đổi là<br /> một trong những hiện tượng phổ biến của các<br /> mô hình hồi quy với dữ liệu chéo và dữ liệu<br /> bảng. Khi hiện tượng phương sai thay đổi<br /> xảy ra thì các sai số chuẩn của các ước lượng<br /> sẽ bị thay đổi. Do đó các ước lượng trong<br /> mô hình không còn tính hiệuquả (xem [5]).<br /> Trong các nghiên cứu thực nghiệm ngày nay,<br /> GMM được xem như là công cụ hiệu quả duy<br /> nhất để giải quyết các bài toán mà mô hình có<br /> phương sai thay đổi. Ước lượng thu được từ<br /> phương pháp này là không chệch (unbiased)<br /> và có đủ các tính chất thống kê tốt như tính<br /> nhất quán (consistency), tính tiệm cận phân<br /> phối chuẩn (asymptotic normality) và tính<br /> hiệu quả (efficiency).<br /> <br /> Bài báo được trình bày thành 5 mục. Trong<br /> mục tiếp theo, Mục 2, chúng tôi sẽ trình bày<br /> tổng quan về GMM và so sánh các ước lượng<br /> của GMM với các ước lượng của phương<br /> pháp bình phương tối thiểu (LS) và phương<br /> pháp dùng biến công cụ (IV). Kiểm định về<br /> phương sai thay đổi được chúng tôi trình bày<br /> trong Mục 3. Mục 4 được dành cho kiểm định<br /> J (hay kiểm định Sargan-Hansen) (xem [10])<br /> về sự phù hợp của các biến công cụ trong mô<br /> hình. Mục 5, mục cuối cùng, là ứng dụng của<br /> GMM vào mô hình Klein-I.<br /> 2. PHƯƠNG PHÁP MÔ MEN TỔNG QUÁT<br /> 2.1. Phương pháp bình phương tối thiểu<br /> (LS)<br /> Xét mô hình hồi qui đơn tuyến tính<br /> <br /> <br /> yt = x 't .β + ε t , t = 1,..., n<br /> <br /> (2.1)<br /> <br /> trong đó xt = ( x1t ,..., xmt ) là biến giải thích,<br /> <br /> β = ( β1,..., β m ) là vecto tham số của mô hình<br /> và ε t là các nhiễu.<br /> Đối với phương pháp LS, mô hình (2.1)<br /> phải thỏa các điều kiện cơ bản sau:<br /> (i) E (ε=<br /> =<br /> t 1,..., n ;<br /> t ) 0,<br /> <br /> ( )<br /> <br /> 2<br /> (ii) Var (ε=<br /> =<br /> t 1,..., n ;<br /> t ) E ε t= 0,<br /> <br /> (iii) E ( xtε=<br /> =<br /> t 1,..., n ;<br /> t ) 0,<br /> (iv) E (ε tε v=<br /> ) 0, t ≠ v .<br /> Các điều kiện từ (i) đến (iv) được gọi là<br /> các điều kiện về mô men. Để ước lượng tham<br /> số β , với mẫu số liệu ( yt , xt ) cho trước chúng<br /> ta có thể dùng điều kiện<br /> <br /> Trong bài báo này, chúng tôi sẽ trình bày<br /> tổng quan và GMM (xem [6], [7]) và ứng dụng<br /> GMM vào mô hình Klein-I (xem [5], [8], [9]),<br /> là mô hình có phương sai thay đổi. Dữ liệu của<br /> bài báo được trích xuất từ bộ dữ liệu “Klein.<br /> <br /> <br /> <br /> E ( xtε t ) = 0 . <br /> <br /> (2.2)<br /> <br /> Phương trình (2.2) tương đương với dạng<br /> 56<br /> <br /> Phương pháp mô men tổng quát ...<br /> <br /> E ( ( yt − x 't .β ) xt ) =<br /> 0<br /> <br /> Với mẫu số liệu ( yt , xt ) , điều kiện về mô<br /> men mẫu của mô hình như sau:<br /> <br /> Thay giá trị kỳ vọng bởi trung bình mẫu,<br /> ta có phương trình<br /> 1 n<br /> (2.3)<br /> 0 <br /> ∑ ( ( yt − x 't .β ) xt ) =<br /> <br /> n t =1<br /> <br /> 1 n<br /> 0<br /> ∑ zt ( yt − x 't .β ) =<br /> n t =1<br /> n<br /> <br /> Nếu ∑ zt x 't không suy biến thì hệ trên có<br /> t =1<br /> <br /> Giải phương trình (2.3), ta được kết quả<br /> −1<br /> <br />  n<br />   n<br /> =<br />  t 1=<br />  t 1<br /> <br /> nghiệm duy nhất<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> −1<br /> <br /> βˆ =  ∑ x 't xt   ∑ x 't yt  .<br /> <br />  n<br />   n<br /> <br /> βˆ =  ∑ zt x 't   ∑ zt yt <br /> =<br />  t 1=<br />  t 1<br /> <br /> <br /> Kết quả này cho thấy ước lượng βˆ = β LS<br /> <br /> Nhận xét 2.1. Điều kiện không suy biến ở<br /> trên tương đương với điều kiện về số mô men<br /> R của mô hình (2.4) bằng số tham số K cần<br /> ước lượng.<br /> <br /> (là ước lượng của β khi sử dụng phương pháp<br /> LS).<br /> 2.2. Phương pháp dùng biến công cụ (IV)<br /> <br /> Trong trường hợp R > K (xác định quá<br /> mức, overidentified), thay vì xác định βˆ thỏa<br /> mãn các điều kiện về mô men E ( xtε t ) = 0<br /> ,<br /> chúng ta xác định βˆ thông qua dãy các bài<br /> toán cực tiểu với hàm mục tiêu dạng<br /> <br /> Tiếp theo chúng ta xét mô hình<br /> <br /> y=<br /> x 't .β + ε=<br /> x '1t γ + x '2t δ + ε t ,=<br /> t 1,..., n<br /> t<br /> t<br /> <br /> <br /> (2.4)<br /> <br /> trong đó x1t là vecto gồm K1 biến và x2t là<br /> vecto gồm K 2 biến thỏa mãn giả thiết<br /> <br /> m ( β ) = g n ( β ) 'Wg n ( β )<br /> <br /> E ( x1tε t ) = 0 và E ( x2tε t ) ≠ 0 .<br /> <br /> =<br /> gn ( β )<br /> trong đó<br /> <br /> Các biến x2t được gọi là biến nội sinh.<br /> Khi đó, ước lượng LS cho các tham số β của<br /> mô hình bị chệch (biased) và không nhất quán<br /> (inconsistent). Để giải bài toán này, chúng ta<br /> thay thế K 2 biến x2t bởi K 2 biến mới z2t ,<br /> gọi là biến công cụ, trong đó z2t thỏa mãn tính<br /> chất z2t có tương quan với x2t và<br /> <br /> (2.5)<br /> <br /> 1 n<br /> ∑ xt ( yt − x 't .β ) và W là<br /> n t =1<br /> <br /> ma trận xác định dương. Cách xác định W dựa<br /> vào thuật toán Hansen sẽ được trình bày trong<br /> mục 2.3.<br /> 2.3. Phương pháp mô men tổng quát<br /> (GMM)<br /> <br /> Cho mẫu số liệu ( yt , xt ) , (với t = 1,..., n<br /> và xt ( x1t ,..., xmt ) ∈ � m ), độc lập, có cũng<br /> =<br /> E ( z2 t ε t ) = 0<br /> phân phối (ký hiệu là i.i.d.) và θ ∈ Θ là tham<br /> Để đơn giản hóa mô hình, ta ký hiệu<br /> số chưa biết của mô hình. Mục tiêu của chúng<br />  x1t <br />  x1t <br /> ta là ước lượng giá trị thật θ0 của θ hoặc giá<br /> xt =   và zt =  <br /> x<br /> z<br />  2t <br />  2t <br /> trị gần đúng nhất θ0 của θ dựa vào mẫu số<br /> thì điều kiện về mô men của mô hình với biến<br /> liệu đã cho.<br /> công cụ zt có dạng (ở đây x1t được xem là<br /> Giả sử điều kiện về mô men của mô hình<br /> biến công cụ của chính nó)<br /> ước lượng tham số θ là<br /> E ( zt ( yt − x 't .β ) ) =<br /> 0<br /> (2.6)<br /> =<br /> m (θ ) E=<br /> ( g ( yt , xt ,θ ) ) 0<br /> 57<br /> <br /> Tạp chí Kinh tế - Kỹ thuật<br /> <br /> trong đó E (.) là kỳ vọng, ( yt , xt ) là các biến<br /> quan sát, g (., θ ) là hàm liên hệ giữa mẫu số<br /> liệu ( yt , xt ) và tham số θ cần ước lượng<br /> trong mô hình.<br /> <br /> trong trường hợp R > K thì hệ phương trình<br /> trên có thể không tồn tại nghiệm. Do đó thay vì<br /> tìm nghiệm, GMM sẽ tìm θˆ cực tiểu khoảng<br /> cách giữa mˆ (θ ) và gốc tọa độ.<br /> <br /> Giả sử mô hình thỏa mãn luật số lớn. Khi<br /> đó ta có thể thay thế kỳ vọng E ( g ( yt , xt , θ ) )<br /> bởi trung bình mẫu. Công thức (2.6) khi đó trở<br /> thành<br /> 1 n<br /> =<br /> mˆ (θ ) =<br /> ∑ g ( yt , xt , θ ) 0<br /> n t =1<br /> <br /> Hàm khoảng cách giữa mˆ (θ ) và gốc tọa<br /> độ có công thức như sau:<br /> ˆ (θ )<br /> m<br /> <br /> 2<br /> W<br /> <br /> ˆ (θ ) ' Wm<br /> ˆ (θ )<br /> =m<br /> <br /> ,<br /> với W là ma trận xác định dương và W được<br /> xác định từ mẫu số liệu đã cho. Khi đó ước<br /> lượng của θ trong GMM chính là nghiệm của<br /> bài toán tối ưu:<br /> <br /> ()<br /> <br /> Nếu tồn tại θˆ để mˆ θˆ = 0 thì θˆ chính<br /> là ước lượng tốt nhất của mô hình. Tuy nhiên<br /> <br /> (2.7)<br /> Với các điều kiện chính quy thích hợp (xem [2]), ước lượng θˆ → θ0 khi n → +∞ . Ma trận W<br /> trong bài toán (2.7) được xác định dựa vào thuật toán sau đây của Hansen [1].<br /> Thuật toán 2 bước (Two Step Efficient GMM)<br /> <br /> 1: Đặt W = I (ma trận đơn vị). Tìm<br /> 1<br /> 2: Tính<br /> và<br /> với<br /> Quá trình trên lặp cho đến khi dãy {θ k } hội tụ.<br /> Ví dụ 2.2. Xét lại mô hình<br /> <br /> trong đó Yn×1, X n× K và Z n × R là các ma trận<br /> tương ứng với yt , xt và zt . Áp dụng GMM, ta<br /> có bài toán tối ưu sau:<br /> <br /> y=t x 't .β + ε=t x '1t γ + x '2t δ + ε t ,=t 1,..., n<br /> trong đó E ( x1tε t ) = 0 và E ( x2tε t ) ≠ 0<br /> Giả sử rằng số mô men R của mô hình<br /> lớn hơn số tham số K cần ước lượng. Với các<br /> ký hiệu như trong mục 2.2, ta có hàm số sau<br /> <br /> <br /> mˆ ( β ) =<br /> <br /> Thay hàm ˆ ( ) ở (2.8) vào hàm mục<br /> tiêu, ta được dạng toàn phương:<br /> <br /> 1 n<br /> 1<br /> ∑ zt ( yt − x 't .β ) = Z ' (Y − X β ) ,<br /> n t =1<br /> n<br /> <br /> (2.8)<br /> 58<br /> <br /> Phương pháp mô men tổng quát ...<br /> <br /> Điều kiện cần cực trị của bài toán trên là<br /> ∂Q ( β )<br /> 2<br /> 2<br /> 0<br /> =<br /> − 2 X ' ZWZ ' Y + 2 X ' ZWZ ' X β =<br /> ∂β<br /> n<br /> n<br /> <br /> Vì Q ( β ) là dạng toàn phương nên hàm số<br /> sẽ đạt cực tiểu tại<br /> βˆ<br /> (W ) = ( X ' ZWZ ' X )−1 X ' ZWZ ' Y .<br /> <br /> định White. Nguyên lý chung của các kiểm<br /> định ở trên là chúng khảo sát mối liên hệ giữa<br /> phần dư với các biến giải thích có trong mô<br /> hình. Để minh họa, trong bài báo này chúng<br /> tôi khảo sát kiểm định White.<br /> <br /> GMM<br /> <br /> Với giả thiết các nhiễu độc lập và có cùng<br /> phân phối (i.i.d.), ma trận W opt tối ưu được<br /> xác định như sau:<br /> <br /> Xét mô hình hồi quy gồm 2 biến độc lập<br /> yt =β 0 + β1x1t + β 2 x2t + ε t , t =1,..., n (3.1)<br /> <br /> W opt = Sˆ −1,<br /> <br /> Kiểm định White được tiến hành như sau:<br /> <br /> σˆ 2 n<br /> σˆ 2<br /> =<br /> Sˆ =<br /> Z ' Z.<br /> ∑ zt z 't<br /> n t =1<br /> n<br /> <br /> Bước 1: Ước lượng các tham số của mô<br /> hình (3.1) và tìm các phần dư ε t .<br /> <br /> Thay kết quả trên vào βˆGMM (W ) , ta có:<br /> <br /> (<br /> <br /> −1<br /> βˆGMM = X ' Z ( Z ' Z ) Z ' X<br /> <br /> )<br /> <br /> −1<br /> <br /> Bước 2: Thực hiện mô hình hồi quy bổ trợ<br /> <br /> −1<br /> <br /> X ' Z ( Z ' Z ) Z 'Y .<br /> <br /> (3.2)<br /> <br /> Phương sai của ước lượng được xác định<br /> bởi công thức:<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> (<br /> <br /> −1<br /> Var βˆGMM = σˆ 2 X ' Z ( Z ' Z ) Z ' X<br /> <br /> )<br /> <br /> Tìm R 2 từ mô hình hồi quy bổ trợ (3.2).<br /> Bước 3: Với giả thiết H 0 : “không có<br /> hiện tương phương sai thay đổi trong mô hình<br /> (3.1)”, thống kê LM = nR 2 có phân phối chi<br /> bình phương với bậc tự do df= K − 1 , với K<br /> là số tham số cần ước lượng trong mô hình hồi<br /> quy bổ trợ (3.2).<br /> <br /> −1<br /> <br /> 3. GMM VÀ HIỆN TƯỢNG PHƯƠNG SAI<br /> THAY ĐỔI<br /> So với các phương pháp ước lượng khác<br /> như LS, 2SLS và IV, các ước lượng của GMM<br /> luôn hiệu quả ngay cả khi hiện tượng phương<br /> sai thay đổi xảy ra. Trong trường hợp không<br /> có hiện tượng phương sai thay đổi thì các ước<br /> lượng của GMM cũng không xấu hơn so với<br /> các phương pháp ước lượng được liệt kê ở<br /> trên. Tuy nhiên, Hayashi (xem [2]) chỉ ra rằng<br /> ma trận trọng số tối ưu Sˆ trong GMM là một<br /> hàm mô men bậc 4 mà việc ước lượng nó đòi<br /> hỏi mẫu số liệu rất lớn. Do đó, các ước lượng<br /> của GMM sẽ không hiệu quả đối với các mẫu<br /> số liệu nhỏ.<br /> <br /> Bước 4: Nếu nR 2 lớn hơn giá trị tới hạn<br /> thì ta bác bỏ giả thiết H 0 .<br /> 4. KIỂM ĐỊNH SARGAN-HANSEN<br /> Nếu mô hình có số biến công cụ nhiều<br /> hơn số biến nội sinh (tức là R > K ) thì<br /> mô hình được gọi là xác định quá mức<br /> (overidentified). Kiểm định Sargan-Hansen<br /> (hay kiểm định J) (xem [10]), thường được<br /> áp dụng để kiểm tra mô hình hồi quy có xác<br /> định quá mức hay không.<br /> Với giả thiết H : mˆ θˆ = 0 và các điều<br /> <br /> Để xác định có hiện tượng phương sai thay<br /> đổi trong mô hình hay không, người ta thường<br /> dùng các kiểm định Breusch-Pagan hoặc kiểm<br /> <br /> 0<br /> <br /> ()<br /> <br /> kiện chính quy thích hợp [2], thống kê<br /> 59<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản