Luận văn Thạc sĩ: Phương pháp phiếm hàm Lyapunov và ứng dụng nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân có chậm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LƯU THỊ THU HUYỀN

PHƯƠNG PHÁP PHIẾM HÀM LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG

ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM

CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LƯU THỊ THU HUYỀN

PHƯƠNG PHÁP PHIẾM HÀM LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG

ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM

CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội - Năm 2014

Mục lục

Mở đầu 3

1 Sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân trong không gian

Banach 5

5 1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân

5 tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 1.1.2 Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Phương pháp phiếm hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân

trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Phương pháp xấp xỉ thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính . . 15

1.3.2 Sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Phương pháp phiếm hàm Lyapunov trong Rn . . . . . . . . . . . . 20

1.4.1 Các hàm xác định dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.2 Đạo hàm của phiếm hàm Lyapunov dọc theo nghiệm của

một hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.3 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định . . . . . . . 22

1.4.4 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận . . . 23

1.4.5 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định . . . . . 24

1.5 Sự ổn định mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6 Phương pháp chọn hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân

tuyến tính với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Phương pháp phiếm hàm Lyapunov nghiên cứu tính ổn định

nghiệm của phương trình vi phân hàm 35

2.1 Khái niệm về phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.1 Định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . 36

2.2 Phương pháp tìm nghiệm của phương trình vi phân hàm . . . . . 37

2.2.1 Phương pháp từng bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.2 Phương pháp toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3 Lý thuyết ổn định theo Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3.1 Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3.2 Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4 Định lý Razumikhin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 Một số mô hình ứng dụng 55

3.1 Mô hình ứng dụng trong các quần thể sinh học . . . . . . . . . . . 55

3.1.1 Mô hình thú - mồi Lotka - Volterra dạng đơn giản . . . . . 56

3.1.2 Mô hình cạnh tranh Lotka - Volterra . . . . . . . . . . . . 61

3.1.3 Mô hình cộng sinh Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . 66

3.1.4 Mô hình Lotka-Volterra cho ba loài . . . . . . . . . . . . . 69

3.1.5 Một số nhận xét chung về các mô hình quần thể đa loài . 71

3.2 Mô hình Lotka-Volterra có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2.1 Tính ổn định tiệm cận địa phương . . . . . . . . . . . . . . 74

3.2.2 Tính ổn định tiệm cận toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3 Sự ổn định của quá trình chuyển động quay của một vật thể rắn . 83

3.4 Sự ổn định của phi cơ đang chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . 84

Mở đầu

Lý thuyết ổn định của phương trình vi phân là một trong những hướng

nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết định tính các phương trình

vi phân. Lý thuyết này xuất phát từ những đòi hỏi của thực tế và có nhiều ứng

dụng trong các lĩnh vực thực tế khác nhau, như: Vật lý, Sinh thái học, Cơ học,...

Trong những năm gần đây đã có rất nhiều công trình của các nhà khoa học

trong và ngoài nước đi sâu nghiên cứu về lĩnh vực này.

Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân, chúng ta

thường sử dụng các phương pháp của nhà toán học người Nga A.E.Lyapunov.

Ngày nay, do yêu cầu của ứng dụng thực tế và sự phát triển vượt bậc của toán

học, việc nghiên cứu các bài toán ổn định đã được mở rộng theo nhiều hướng,

một trong số đó là nghiên cứu trên các phương trình vi phân có chậm. Trong

bản luận văn này chúng tôi sẽ đề cập đến một số vấn đề sau đây:

- Trình bày lại các kết quả cơ bản về tính ổn định nghiệm của các phương

trình vi phân trong không gian Banach, trong không gian Rn và phương pháp

hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân hàm.

- Phần cuối của bản luận văn dành cho việc trình bày chi tiết một số ứng

dụng của phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất cho các

mô hình ứng dụng.

Bố cục luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Trình bày một số tính chất nghiệm của phương trình vi phân

trong không gian Banach và trong không gian Rn.

Chương 2: Trình bày tính chất nghiệm của phương trình vi phân có chậm.

Chương 3: Trình bày một số ứng dụng về tính ổn định nghiệm của phương

trình vi phân.

Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS.

Đặng Đình Châu. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy -

người đã dành nhiều thời gian và công sức để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi

trong việc hoàn thành bản luận văn.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học,

trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội về kiến thức và những điều

tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian tôi học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn

phòng Sau đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục

học tập và bảo vệ luận văn.

Cuối cùng tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa về

tinh thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và học tập.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu

sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để bản luận

văn được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, tháng 10 năm 2014

Lưu Thị Thu Huyền

Chương 1

Sự ổn định nghiệm của phương

trình vi phân trong không gian

Banach

1.1 Một số khái niệm cơ bản

1.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân

tuyến tính

Giả sử B là không gian Banach. Trong không gian B ta xét phương trình vi

= f (t, x(t)),

phân

dx(t) dt

(1.1)

trong đó t ∈ R+, x(.) ∈ B và hàm f : R+ × D → D với D là một miền đơn liên

trong không gian Banach B. Ta hiểu nghiệm của (1.1) là nghiệm cổ điển theo

nghĩa như sau.

Định nghĩa 1.1.1. Hàm x = x(t), (x : I → B; I ⊂ R+) xác định trên I, khả vi

liên tục theo t ∈ I được gọi là nghiệm của (1.1) nếu khi thay vào (1.1) ta thu được

= f (t, x(t)); ∀t ∈ I.

dx(t) dt

một đồng nhất thức trên I. Tức là

Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (1.1) thỏa mãn

điều kiện ban đầu x(t0) = x0 với (t0, x0) ∈ I × B cho trước.

Tương ứng với phương trình (1.1) ta thường xét phương trình tích phân sau:

f (τ, x(τ ))dτ

x(t) = x0 +

t0 Nhận xét: Nếu hàm f liên tục theo chuẩn trong B thì ta có thể chỉ ra rằng

(cid:90) t (1.2)

nghiệm của (1.2) là nghiệm của bài toán Cauchy và ngược lại.

S(ε,µ) = (cid:8)(t, x) ∈ R+ × B : |t − t0| ≤ ε, ||x − x0|| ≤ µ(cid:9) , với ε > 0, µ > 0

Ký hiệu

là lân cận đóng của điểm (t0, x0). Khi đó ta có định lý tồn tại duy nhất nghiệm

của bài toán Cauchy như sau:

Định lý 1.1.1. (Tính duy nhất nghiệm địa phương)

Giả sử tồn tại một lân cận đóng của (t0, x0) sao cho trong lân cận đó hàm f (t, x)

liên tục theo t, ||f (t, x0)|| ≤ M0 < +∞ và thỏa mãn điều kiện Lipschitz:

||f (t, x2) − f (t, x1)|| ≤ M ||x2 − x1||

M là một hằng số hữu hạn.

(1.3)

Khi đó tồn tại một lân cận của điểm x0 mà trong lân cận đó thì (1.1) có duy

nhất nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0) = x0.

ε, ||x − x0|| ≤ η, ta có:

||f (t, x)|| ≤ ||f (t, x0)|| + ||f (t, x) − f (t, x0)||

≤ ||f (t, x0)|| + M η ≤ M1 < +∞

Chứng minh. Từ giả thiết suy ra tồn tại ε, η > 0 sao cho trong miền |t − t0| ≤

(cid:1) và ký hiệu Cδ(B) là không gian Banach các hàm liên tục x(t) Lấy δ = min (cid:0)ε, η M1

|||x||| = sup

||x(t)||

|t−t0|≤δ

xác định trên |t − t0| ≤ δ với chuẩn

Gọi

Bη(x0) = {x ∈ Cδ(B) : |||x − x0||| ≤ η} .

f (τ, x(τ ))dτ

(Sx)(t) = x0 +

Xét toán tử (cid:90) t

Ta có:

||f (τ, x(τ ))||

||(Sx)(t) − x0|| = ||

f (τ, x(τ ))dτ || ≤ ||t − t0|| sup τ ∈[t0,t]

≤ δM1 ≤ η

(∀x(t) ∈ Bη).

(cid:90) t

Ta thấy toán tử S là ánh xạ đi từ Bη vào Bη. Hơn nữa, với x1, x2 ∈ Bη, từ điều kiện Lipschitz ta có đánh giá

||f (τ, x2(τ )) − f (τ, x1(τ ))||dτ

||(Sx2)(t) − (Sx1)(t)|| ≤

(cid:90) t

≤ M

||x2(τ ) − x1(τ )||dτ ≤ M (t − t0)|||x2 − x1|||.

(cid:90) t

Mặt khác ta lại có:

||(Sx2)(τ ) − (Sx1)(τ )||dτ

||(S2x2)(t) − (S2x1)(t)|| ≤ M

(cid:90) t

(τ − t0)dτ

≤ M 2|||x2 − x1|||

|||x2 − x1|||.

[M (t − t0)]2 2!

(cid:90) t

||(Snx2)(t) − (Snx1)(t)|| ≤

|||x2 − x1|||

|||x2 − x1|||.

||Snx2 − Snx1|| ≤

[M (t − t0)]n n! [δM ]n n!

Sử dụng phép đánh giá liên tiếp ta được:

n! → 0 khi n → +∞ nên với n đủ lớn thì Sn là toán tử co trong Bη. Do

Do [δM ]n

đó sẽ tồn tại duy nhất nghiệm x(t) ∈ Bη của phương trình tích phân:

f (τ, x(τ ))dτ

x(t) = x0 +

(cid:90) t

Định lý 1.1.2. (Tính duy nhất nghiệm toàn cục)

Giả sử tồn tại miền [a, b] × B mà trên đó hàm f (t, x) liên tục theo biến t và thỏa

mãn điều kiện Lipschitz (1.3). Khi đó với mọi (t0, x0) ∈ [a, b]×B, bài toán Cauchy

có nghiệm duy nhất x = x(t) xác định trên [a, b].

Chứng minh tương tự định lý (1.1.1) với chú ý:

(i) Từ giả thiết của định lý ta suy ra hàm f (t, x) giới nội trên [a, b] × D với D là

tập compact trong không gian Banach B.

(ii) Bη ở định lý trước được thay bởi C(B) gồm tất cả các hàm x(t) xác định liên tục trên [a, b], lấy giá trị trong không gian Banach B và có chuẩn được xác định

||x(t)||.

|||x||| = sup [a,b]

bởi

Định lý 1.1.3. (Sự kéo dài nghiệm của bài toán Cauchy)

Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t0, hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện ||f (t, x(t))|| ≤ L(||x||),

trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất

→ ∞ khi r → +∞

dr L(r)

(cid:90) r

Khi đó mọi nghiệm của phương trình (1.2) có thể kéo dài trên khoảng thời gian

vô hạn t0 ≤ t < +∞.

|| ≥

⇒ ||

dx dt

d||x|| dt

x(t2) − x(t1) t2 − t1

||x(t2)|| − ||x(t1)|| t2 − t1

Chứng minh. Vì

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

dt = f (t, x(t)) và ||f (t, x)|| ≤ L(||x||) ta suy ra L(||x||) ≥

d||x|| dt

Mặt khác ta có dx(t) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12). Lấy tích phân dọc theo đường cong x = x(t) từ điểm x0 = x(t0) đến điểm x theo

chiều tăng của t ta được:

dr ≥

dr ⇒ t − t0 ≥

d||x|| dt

1 L(||x||)

dr Lr

||x0||

(cid:90) t (cid:90) t (cid:90) ||x||

→ ∞ khi r → +∞

dr L(r)

Đổi biến r = x(t). Do (cid:90) r

nên nếu ||x|| → +∞ thì t → +∞, do đó nghiệm có thể thác triển ra vô hạn.

1.1.2 Các khái niệm về ổn định

= f (t, x(t))

Giả sử B là không gian Banach. Xét phương trình vi phân

dx dt

(1.4)

trong đó t ∈ R+, x(t) ∈ B, f : R+ × G → B, f (t, 0) = 0. Để thuận tiện ta xét G là

một miền mở chứa gốc tọa độ

G = {x ∈ B : ||x|| ≤ R, R > 0}

hoặc G có thể là toàn bộ không gian Banach B.

Giả sử hàm f thỏa mãn mọi điều kiện để nghiệm của bài toán Cauchy của

phương trình (1.4) tồn tại duy nhất và có thể kéo dài ra vô hạn.

Ký hiệu x(t) = x(t, t0, x0) là nghiệm của phương trình vi phân (1.4) thỏa mãn

điều kiện ban đầu x(t0) = x0, t0 ∈ R+, x0 ∈ G.

Định nghĩa 1.1.2. Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4)

δ(t0, ε) sao cho

∀x0 ∈ G : ||x0|| < δ ⇒ ||x(t, t0, x0)|| < ε, ∀t ≤ t0.

được gọi là ổn định theo nghĩa Lyapunov khi t → +∞ nếu ∀ε > 0, t0 ∈ R+, ∃δ =

Định nghĩa 1.1.3. Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4)

được gọi là ổn định đều theo Lyapunov nếu số δ trong định nghĩa (1.1.2) có thể

chọn không phụ thuộc vào t0.

Định nghĩa 1.1.4. Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4)

được gọi là ổn định tiệm cận khi t → +∞ nếu

(i) Nghiệm tầm thường x(t) = 0 là ổn định.

||x(t, t0, x0)| | = 0

lim t→+∞

(ii) Tồn tại ∆ = ∆(t0) > 0 sao cho với mọi x0 ∈ G và ||x0| | < ∆ thì

Định nghĩa 1.1.5. Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4)

được gọi là ổn định tiệm cận đều khi t → +∞ nếu

(i) Nghiệm tầm thường x(t) = 0 là ổn định đều.

||x0| | < ∆ thì

||x(t, t0, x0)| | = 0

lim t→+∞

(ii) Tồn tại ∆ > 0 (không phụ thuộc vào t0) sao cho với mọi x0 ∈ G thỏa mãn

Định nghĩa 1.1.6. Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4)

được gọi là ổn định mũ khi t → +∞ nếu như mọi nghiệm x(t) = x(t, t0, x0) của

||x(t)|| ≤ M.e−λ(t−t0).||x0||, ∀t ≥ t0

phương trình (1.4) luôn thỏa mãn bất đẳng thức

trong đó M, λ là các hằng số dương không phụ thuộc vào cách chọn x0.

Định nghĩa 1.1.7. Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4)

được gọi là ổn định mũ đều khi t → +∞ nếu như số M trong định nghĩa (1.1.6)

không phụ thuộc vào t0.

Định nghĩa 1.1.8. (Phiếm hàm Lyapunov)

Ta nói phiếm hàm V : R+ × B → R+ là phiếm hàm Lyapunov nếu nó liên tục và

thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai.

Đạo hàm phải của V dọc theo nghiệm của (1.1), ký hiệu là ˙V (t, x) được xác

{V [t + h, x + hf (t, x)] − V (t, x)}

˙V (t, x) = lim h→+∞

1 h

định bởi

Ký hiệu CIP: Họ các hàm tăng, liên tục, xác định dương.

1.2 Phương pháp phiếm hàm Lyapunov đối với phương

trình vi phân trong không gian Banach

Định lý 1.2.1. (Định lý về sự ổn định)

Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+ × B → R+ và hàm

a(.) ∈ CIP thỏa mãn điều kiện:

(i) V (t, 0) = 0;

(ii) a(||x||) ≤ V (t, x);

. V (t, x) ≤ 0.

(iii)

Khi đó, nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của (1.1) là ổn định.

Chứng minh. Giả sử có hàm V (t, x) thỏa mãn các điều kiện (i), (ii), (iii), ta sẽ

chứng minh nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (1.1) là ổn định.

Sε = {x : x ∈ B, ||x|| = ε}.

Cho ε > 0 đủ bé, ta xác định mặt cầu

0 < a(ε) ≤ V (t, x), t ∈ R+, x ∈ Sε.

Từ (ii) ta suy ra

δ(t0, ε) > 0 sao cho nếu ||x|| < δ(t0, ε) thì V (t0, x) < a(ε).

Vì V (t, 0) = 0, V (t, x) là hàm liên tục nên với t0 cố định và a(ε) > 0 tồn tại số

||x(t, t0, x0)|| < ε, ∀t ≥ t0.

Lấy x = x(t, t0, x0) là nghiệm của (1.1) sao cho ||x0|| < δ, ta sẽ chứng minh

||x0|| < δ thỏa mãn

||x(t1)|| = ε.

Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại t1 > t0 sao cho nghiệm x = x(t, t0, x0) với

V (t1, x(t1)) ≤ V (t0, x(t0)),

Từ điều kiện (iii) ta suy ra

a(ε) ≤ V (t1, x(t1)) ≤ V (t0, x(t0)) < a(ε).

từ đó ta suy ra

||x(t, t0, x0)|| < ε, ∀t ≥ t0,

Mâu thuẫn trên chứng tỏ điều giả sử là sai. Như vậy nếu ||x0|| < δ thì

tức là nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 ổn định.

Định lý 1.2.2. (Định lý về sự ổn định đều)

CIP thỏa mãn điều kiện:

Giả sử tồn tại phiếm hàm Lyapunov V : R+ × B → R+ và các hàm a(.), b(.) ∈

(i) a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||)

. V (t, x) ≤ 0.

(ii)

Khi đó nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của (1.1) là ổn định đều theo nghĩa Lyapunov

khi t → +∞.

Sε = {x : x ∈ B, ||x|| = ε}.

Chứng minh. Xét mặt cầu

Từ điều kiện (i) ta có a(||x||) ≤ V (t, x)

V (t, x) ≤ b(||x||) và b(||x||) ∈ CIP

Đồng thời, do

b(||x||) < a(ε), do đó b(δ) < a(ε).

nên với a(ε) > 0 ta chọn được số δ = δ(ε) > 0 sao cho nếu ||x|| < δ(ε) thì

Lấy một nghiệm tùy ý x(t, t0, x0) của (1.1) với ||x0|| < δ(ε) thì với t0 cố định bất

. V (t, x) ≤ 0, ta có

a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ V (t0, x0) ≤ b(||x0(t)||) ≤ b(δ) < a(ε).

kỳ từ giả thiết

||x(t, t0, x0)|| < ε, ∀t ≥ t0.

Như vậy với ||x0|| < δ(ε) thì

Do đó nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của (1.1) là ổn định đều.

Định lý 1.2.3. (Định lý về sự ổn định tiệm cận đều)

CIP thỏa mãn điều kiện:

Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục V : R+ × B → R+ và các hàm a(.), b(.), c(.) ∈

(i) a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||),

(ii) ˙V (t, x) ≤ −c(||x||).

khi đó nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ (1.1) là ổn định tiệm cận đều theo

nghĩa Lyapunov khi t → +∞.

Chứng minh. Từ định lý trên ta có nghiệm x(t) ≡ 0 của phương trình (1.1) là

ổn định đều. Ta sẽ chứng minh nghiệm tầm thường đó là ổn định tiệm cận đều.

||x|| ≤ δ0, ta có:

(cid:107)x(t, t0, x0)(cid:107) < M < +∞; ∀t ≥ t0

Do nghiệm x(t) ≡ 0 là ổn định đều nên tồn tại δ0 > 0 sao cho với t0 ∈ R+ và

x(t, t0, x0) < ε, ∀t ≥ t0

Mặt khác ∀ε > 0, ∃δε > 0 sao cho t0 ∈ R+, ||x|| ≤ δε , ta có:

limt→+∞ ||x(t, t0, x0)|| (cid:54)= 0

Giả sử ngược lại tồn tại nghiệm x(t, t0, x0), t0 ∈ R+, ||x|| < δ0 nhưng

δε ≤ ||xtk|| < M

khi đó tồn tại dãy tk với tk ≥ t0, limk→+∞ tk = +∞ sao cho

˙V (t, x) < −γ

Kết hợp điều kiện (ii) ta suy ra tồn tại số γ > 0 sao cho

Do δε ≤ ||x(tk)|| < M nên

˙V (t, x(τ ))dτ ≤

−γdτ

(cid:90) t (cid:90) t

V (t, x) ≤ V (t0, x0) − γ(t − t0) → −∞ khi t → +∞

Do đó

mâu thuẫn với giả thiết (i).

Điều này chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai. Do đó limk→+∞ tk = 0.

Như vậy nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của (1.1) là ổn định tiệm cận đều.

Ví dụ 1.2.1. Phương trình vi phân

= −13x − 12x

sin [ln(1 + t)] +

cos [ln(1 + t)]

dx dt

t t + 1

(cid:110) (cid:111)

là ổn định tiệm cận nhưng không ổn định đều.

Thật vậy:

x(t) = exp {−13t − 12t sin [ln(t + 1)]} .x(0)

*) Tính toán ta thu được công thức nghiệm tổng quát của phương trình:

*) Chứng minh x(t) = 0 là ổn định tiệm cận, tức limt→+∞ ||U (t, t0)|| = 0.

U (t, t0) = exp {− {13 + 12 sin [ln(t + 1)]} t}

Ta có:

sin [ln(t + 1)] ≥ −1

13 + 12 sin [ln(t + 1)] ≥ 13 − 12 = 1 ⇒ exp (cid:8)− {13 + 12 sin [ln(t + 1)]} t ≤ e−t(cid:9)

||U (t, t0)|| = 0.

⇒ ||U (t, t0)|| ≤ e−t → 0 khi t → ∞ ⇒ lim t→+∞

nên

(cid:48) n

tn → +∞, t(cid:48)

n) → ∞(n → ∞)

n → +∞ và U (tn, t(cid:48)

(cid:9) sao cho: *) x(t) = 0 không ổn định đều Ta sẽ chỉ ra tồn tại dãy {tn} và (cid:8)t

Chọn hai dãy

(4n + 1)

− 1;

(4n + 3)

− 1

tn = exp

t(cid:48) n = exp

π 2

(cid:110) (cid:111) (cid:110) (cid:111)

(n → ∞)

tn → +∞, t(cid:48)

n → +∞

Dễ thấy:

Và

−

13 + 12 sin(ln e(4n+1) π 2 )

(e(4n+1) π

2 − 1) = e−25tn

x(tn) = exp

(cid:104) (cid:110) (cid:105)(cid:111)

x(t(cid:48)

−

13 + 12 sin(ln e(4n+3) π 2 )

(e(4n+3) π

2 − 1) = e−t(cid:48)

n) = exp

⇒

= e−25tn−t(cid:48)

x(tn) x(t(cid:48) n)

(cid:104) (cid:110) (cid:105)(cid:111)

2 − 1) − (e(4n+3) π

2 − 1) = (25 − eπ)e(4n+1) π

2 − 24

−25tn − t(cid:48)

n = −25(e(4n+1) π

trong đó

→ +∞ khi n → +∞

x(tn) x(t(cid:48) n)

Do 25 > eπ nên

Vậy nghiệm x(t) = 0 không ổn định đều.

1.3 Phương pháp xấp xỉ thứ nhất

1.3.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

= A(t)x + f (t)

dx dt x(t0) = x0

  (1.5) 

Chúng ta có thể giả sử rằng t thuộc khoảng hữu hạn hay vô hạn I nào đó thuộc

B, f : I → B và A : I → Mn(Rn) là liên tục.

Ta cũng có thể xét phương trình tích phân tương ứng:

A(τ )x(τ )dτ +

f (τ )dτ

x(t) = x0 +

(cid:90) t (cid:90) t (1.6)

Ta nói rằng x : I → B là nghiệm của phương trình (1.5) nếu x(t) khả vi và thỏa

mãn (1.5). Khi đó, x(t) cũng là nghiệm của (1.6).

Xét phương trình tích phân dạng tổng quát

x(t) = g(t) +

A(τ )x(τ )dτ

(cid:90) t (1.7)

với g(t) là hàm vector liên tục trên I. Ta sẽ chỉ ra rằng phương trình có một

nghiệm liên tục trên đoạn [a, b] ∈ I.

Thật vậy:

Ký hiệu C([a, b]; B) là không gian các hàm liên tục trên [a, b] với giá trị trong

||x(t)||

|||x||| = max t∈[a,b] Trong không gian C([a, b], Rn) xét toán tử: (cid:90) t

A(τ )x(τ )dτ

(Sx)(t) = g(t) +

B và có chuẩn

đi từ C([a, b]; B) vào chính nó và (Sx)(t) là liên tục.

Bằng phương pháp quy nạp thực hiện liên tiếp ta được:

(Snx)(t) = g(t) +

A(t2)A(t1)g(t1)dt1dt2 + . . .

A(t1)x(t1)dt1 +

(cid:90) t (cid:90) t2 (cid:90) t

t0 (cid:90) tn−1

. . .

A(tn−1)A(tn−2) . . . A(t1)g(t1)dt1 . . . dtn−1

t0 (cid:90) t2

t0 (cid:90) tn

t0 (cid:90) t

. . .

A(tn)A(tn−1) . . . A(t1)x(t1)dt1 . . . dtn−1dtn.

(cid:90) t2 (cid:90) t

(Snx2)(t) − (Snx1)(t)

Khi đó với mỗi x1, x2 ∈ B ta có:

. . .

A(tn)A(tn−1) . . . A(t1) [x2(t1) − x1(t1)] dt1 . . . dtn−1dtn

(cid:90) t2 (cid:90) tn (cid:90) t

||(Snx2)(t) − (Snx1)(t)||

và có đánh giá

. . .

≤ |||x2 − x1|||

||A(tn)||||A(tn−1)|| . . . ||A(t1)||dt1 . . . dtn−1dtn

(cid:90) t (cid:90) tn (cid:90) t2

Do tính chất bất biến của tích phân khi hoán đổi vị trí các biến số t1, t2, . . . , tn

. . .

||A(tn)||||A(tn−1)|| . . . ||A(t1)||dt1 . . . dtn−1dtn

nên ta có: (cid:90) tn (cid:90) t (cid:90) t2

t0 (cid:90) t

||A(τ )||dτ

. . .

||A(tn)||||A(tn−1)|| . . . ||A(t1)||dt1 . . . dtn−1dtn =

1 n!

(cid:21)n (cid:90) t (cid:90) t (cid:20)(cid:90) t

Cuối cùng ta có

||A(τ )||dτ

|||x2 − x1|||

|||Snx1 − Snx2||| ≤

1 n!

(cid:35)n (cid:34)(cid:90) b (1.8)

Như vậy S : ([a, b], B) −→ C([a, b], B) là một ánh xạ co nên (1.7) có nghiệm duy

(Snx0)(t) = x(t) với mọi x0(t) ∈ C([a, b]; B).

lim n→∞

nhất. Ngoài ra: khi đó tồn tại duy nhất một hàm x(t) liên tục trên đoạn [a, b] và

Do đó, nghiệm x(t) có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi như sau:

x(t) = g(t) +

A(t1)x(t1)dt1

(cid:90) t

t0 (cid:90) tn

∞ (cid:88)

. . .

A(tn)A(tn−1) . . . A(t1)x(t1)dt1 . . . dtn−1dtn

n=2

t0 ∞ (cid:88)

= g(t) +

gk(t)

k=1

(cid:90) t (cid:90) t2

A(τ )gk−1(τ )dτ, g0(t) = g(t)

gk(t) =

trong đó (cid:90) t

|||x||| ≤ |||g|||exp

||A(τ )||dτ

Và (cid:41) (cid:40)(cid:90) b (1.9)

*) Trong trường hợp riêng chúng ta xét bài toán Cauchy

= A(t)x

dx dt x(t0) = x0

  (1.10) 

Cùng với phương trình (1.10) ta có phương trình tích phân tương ứng:

A(τ )x(τ )dτ

x(t) = x0 +

(cid:90) t (1.11)

Khi đó, nghiệm của phương trình (1.10) thu được là

∞ (cid:88)

. . .

A(tn)A(tn − 1) . . . A(t1)x0(t1)dt1 . . . dtn−1dtn

x(t) = x0 +

n=1

(cid:90) t (cid:90) tn (cid:90) t2

U (t) ∈ Mn(Rn) là toán tử được xác định bởi

Chú ý: Nếu như A(t) là liên tục mạnh thì nghiệm x(t) khả vi liên tục. Ký hiệu

∞ (cid:88)

U (t) = I +

. . .

A(t1)dt1+

A(tn)A(tn−1) . . . A(t1)dt1 . . . dtn (1.12)

n=2

(cid:90) t (cid:90) t (cid:90) tn (cid:90) t2

Khi đó nghiệm của (1.10) có thể viết dưới dạng: x(t) = U (t)x0

||U (t)|| ≤ exp

||A(τ )||dτ

Và từ (1.9) ta có: (cid:27) (cid:26)(cid:90) t

Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số ta có thể tìm nghiệm của (1.5) như

Đặt x(t) = U (t)y(t) trong đó U (t) xác định như trong (1.12). Thay vào ta được:

= U −1(t)f (t)

dy dt y(t0) = x0

  (1.13) 

Tích phân từ t0 đến t hai vế ta được:

U −1(τ )f (τ )dτ

y = x0 +

(cid:90) t

Khi đó, nghiệm của phương trình (1.5) có thể viết dưới dạng:

U (t)U −1(τ )f (τ )dτ

x(t) = U (t)x0 +

(cid:90) t (1.14)

Đặt U (t, τ ) = U (t)U −1(τ ). Toán tử U (t, τ ) được gọi là toán tử tiến hóa (hoặc là

= A(t)x

dx dt

toán tử tự giải) của phương trình

U (t, t) = I

U (t, s)U (s, τ ) = U (t, τ )

Họ toán tử tiến hóa {U (t, τ )} , t ≥ τ ≥ t0 có các tính chất sau:

U (t, τ ) = [U (τ, t)]−1 (cid:20)(cid:90) t

||A(τ )||dτ

, (t > τ )

||U (t, τ )|| ≤ exp

(cid:21)

= A(t).U (t, s)

= −U (t, s).A(t).

dU (t, s) dt dU (t, s) ds

1.3.2 Sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

có nhiễu

= A(t)x + f (t, x)

Bây giờ ta xét phương trình vi phân:

dx dt

(1.15)

f (t, x) là hàm thỏa mãn điều kiện sau trong miền G:

||f (t, 0)|| ≤ M,

trong đó A(t) là toán tử tuyến tính giới nội và liên tục theo t và toán tử hàm

||f (t, x1) − f (t, x2)|| ≤ L||x1 − x2||

(1.16)

Bổ đề 1.3.1. (Bổ đề Gronwal - Belman)

[t0; +∞) (cid:0)u(t), f (t) ∈ C[t0;+∞)

Giả sử u(t) ≥ 0, f (t) ≥ 0, ∀t ≥ t0 và các hàm u(t), f (t) là các hàm liên tục trên (cid:1) và thỏa mãn bất đẳng thức:

f (τ )u(τ )dτ

u(t) ≤ c +

(cid:90) t (1.17)

f (τ )dτ

(cid:82) t t0

u(t) ≤ c.e

ở đây, c là một hằng số dương. Trong trường hợp với t ≥ t0 ta có:

= A(t)x + ϕ(t, x) + φ(t, x)

Tiếp theo chúng ta xét phương trình

dx dt

(1.18)

ϕ(t, 0) = φ(t, 0) = 0,

||ϕ(t, x)|| ≤ L||x||

Từ nay về sau ta luôn luôn giả thiết

(1.19)

γ(t)dt = α < +∞

||φ(t, x)|| ≤ γ(t)||x(t)||,

và (cid:90) ∞ (1.20)

||U (t, τ )|| ≤ ce−λ(t−τ ), ∀t ≥ τ ≥ t0

Định lý 1.3.1. Giả sử tồn tại các hằng số c > 0 và λ > 0 sao cho

khi đó với cL − λ < 0 (L đủ nhỏ) thì nghiệm của phương trình (1.18) ổn định

||x(t)|| ≤ cecα.e−(λ−cL)(t−τ )||x(τ )||

tiệm cận và ta có đánh giá

Chứng minh: Giả sử x(t) là nghiệm của phương trình (1.18), khi đó x(t) có

thể viết dưới dạng

x(t) = U (t, τ )x(τ ) +

U (t, s)[ϕ(s, x) + φ(s, x)]ds

(cid:90) t

⇒ ||x(t)|| ≤ ce−λ(t−τ )||x(τ )|| +

ce−λ(t−s)[L + γ(s)]||x(s)||ds

(cid:90) t

⇒ ||x(t)||eλ(t−τ ) ≤ c||x(τ )|| +

c[L + γ(s)]||x(s)||eλ(t−τ )ds

(cid:90) t

(cid:82) t τ [cL+cγ(s)]ds

||x(t)||eλ(t−τ ) ≤ c||x(τ )||e

Áp dụng bổ đề Gronwall - Belman ta có:

(cid:82) t τ [cL+cγ(s)]ds

||x(t)|| ≤ c||x(τ )||e−λ(t−τ )e

Từ đó suy ra

||x(t)|| ≤ c||x(τ )||ecα.e−(λ−cL)(t−τ )

Kết hợp với giả thiết ta có:

do (λ − cL) > 0 nên nghiệm x(t) ≡ 0 của (1.18) ổn định tiệm cận.

1.4 Phương pháp phiếm hàm Lyapunov trong Rn

1.4.1 Các hàm xác định dấu

V = V (t, x) ∈ Ctx(Z0)

Xét hàm số

Z0 = {a < t < ∞, ||x| | < h}

trong đó

Dưới đây là một số định nghĩa cơ bản về hàm không đổi dấu và hàm có dấu xác

định:

Định nghĩa 1.4.1. Hàm vô hướng thực liên tục V (t, x) được gọi là không đổi

V (t, x) ≥ 0

dấu (có dấu dương hay dấu âm) trong Z0 nếu

(hay V (t, x) ≤ 0)

với (t, x) ∈ Z0.

Định nghĩa 1.4.2. Hàm V = V (t, x) được gọi là xác định dương trong Z0 nếu

V (t, x) ≥ W (x) > 0

tồn tại hàm W (x) ∈ C(||x| | < h) sao cho

V (t, 0) = W (0) = 0.

với ||x| | (cid:54)= 0

W (x) ∈ C(||x| | < h) sao cho

V (t, x) ≤ −W (x) < 0

Tương tự hàm V = V (t, x) được gọi là xác định âm trong Z0 nếu tồn tại hàm

V (t, 0) = W (0) = 0.

với ||x| | (cid:54)= 0

x → 0 trong Z0 nếu với t0 > 0 nào đó, ta có V (t, x) hội tụ đều theo t đến 0 trên

[t0, ∞), khi ||x| | → 0. Tức là với bất kỳ ε > 0 tồn tại số δ = δ(ε) > 0 sao cho

|V (t, x)| < ε

Định nghĩa 1.4.3. Hàm V = V (t, x) được gọi là có giới hạn trên vô cùng bé khi

(1.21)

khi ||x| | < δ và t ∈ [t0, ∞).

Nhờ bất đẳng thức (1.21) ta kết luận rằng: hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng

||x| | < h.

t0 ≤ t < ∞,

bé bậc cao khi x → 0 sẽ bị chặn trong hình trụ nào đó

1.4.2 Đạo hàm của phiếm hàm Lyapunov dọc theo nghiệm

của một hệ phương trình vi phân

(Z), Z = {a < t < ∞, ||x| | < H} và hệ vi phân

= X(t, x)

Giả sử X(t, x) ∈ C(0,1)

dx dt

(1.22)

là hệ rút gọn, tức là X(t, 0) = 0. Rõ ràng hệ (1.22) có nghiệm tầm thường ξ = 0.

V = V (t, x) ∈ C(1,1)

(Z0),

Z0 = {a < t < ∞, ||x| | ≤ h < H} ⊂ Z

Ta đặt

X = X(t, x) = colon [X1(t, x), . . . , Xn(t, x)]

và

n (cid:88)

˙V (t, x) =

+ (gradV, X)

Xj(t, x) =

∂V ∂t

∂V ∂xj

j=1

Hàm

được gọi là đạo hàm toàn phần theo t của hàm V (t, x) theo hệ (1.22).

˙V (t, x) là đạo hàm toàn phần theo

Nếu x = x(t) là nghiệm của hệ (1.22) thì

˙V (t, x) =

V (t, x(t))

d dt

thời gian của hàm hợp V (t, x(t)), tức là

Đúng hơn, giả sử (t, x) ∈ Z0 và x(τ, t, x) là nghiệm của hệ (1.22) xác định bởi điều

kiện ban đầu x(τ, t, x) = x. Khi đó

V (τ, x(τ, t, x))

˙V (t, x) =

τ =t

(cid:21) (1.23) (cid:20) d dt

1.4.3 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định

Định lý 1.4.1. (Định lý thứ nhất của Lyapunov).

(Z0) với Z0 ⊂ Z thỏa mãn các điều kiện sau:

C(1,1) tx

Giả sử đối với hệ rút gọn (1.22) tồn tại phiếm hàm Lyapunov V (t, x) ∈

W = W (x) trên Z0 sao cho

i) V (t, x) là hàm xác định dương, tức là tồn tại hàm liên tục, xác định dương

* V (t, x) ≥ W (x) > 0 với ||x|| (cid:54)= 0;

* V (t, 0) = W (0) = 0.

ii) Đạo hàm của hàm V dọc theo nghiệm của hệ (1.22) là ˙V (t, x) có dấu không

˙V (t, x) ≤ 0

đổi âm, tức là

Khi đó nghiệm tầm thường ξ(t) = 0, 0 < t < +∞ của hệ (1.22) là ổn định theo

Lyapunov khi t → +∞.

Ví dụ 1.4.1. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ

˙x = −(x − 2y)(1 − x2 − 3y2) ˙y = −(x + y)(1 − x2 − 3y2)

(cid:40)

Xét hàm Lyapunov V (t, x, y) = x2 + 2y2. Ta có ˙V (t, x, y) = 2x ˙x + 4y ˙y. Khi đó,

˙V (t, x, y) = 2x (cid:2)−(x − 2y)(1 − x2 − 3y2)(cid:3) + 4y (cid:2)−(x + y)(1 − x2 − 3y2)(cid:3)

= −2(x2 + 2y2)(1 − x2 − 3y2) ≤ 0 với x, y đủ nhỏ

đạo hàm của hàm V dọc theo nghiệm của hệ đã cho là

Vậy nghiệm tầm thường của hệ đã cho là ổn định.

1.4.4 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận

V (t, x) ∈ C(1,1)

(Z0) với Z0 ⊂ Z thỏa mãn các điều kiện sau:

Định lý 1.4.2. Giả sử đối với hệ rút gọn (1.22), tồn tại phiếm hàm Lyapunov

i) V (t, x) là xác định dương, tức là tồn tại hàm W1(x) liên tục và xác định dương

trên Z0 sao cho

* V (t, x) ≥ W1(x) > 0 với ||x|| (cid:54)= 0;

0 khi

* V (t, 0) = W1(0) = 0.

ii) V (t, x) có giới hạn trên vô cùng bé bậc cao khi x → 0, tức là V (t, x) ⇒ t

x → 0.

iii) Đạo hàm của hàm V dọc theo nghiệm của hệ (1.22) ˙V (t, x) là xác định âm,

tức là tồn tại hàm liên tục, xác định dương W2(x) sao cho

* ˙V (t, x) ≤ −W2(x) < 0 với ||x|| (cid:54)= 0; * ˙V (t, 0) = W2(0) = 0.

Khi đó nghiệm tầm thường ξ(t) = 0, a < t < +∞ của hệ (1.22) là ổn định tiện

cận theo Lyapunov khi t → +∞.

Ví dụ 1.4.2. Nghiên cứu tính ổn định của hệ sau

˙x = 2y3 − x5 ˙y = −x − y3 + y5

(cid:40)

Xét hàm Lyapunov V (t, x, y) = x2 + y4. Ta có đạo hàm của hàm V dọc theo

˙V = 2x ˙x + 4y3 ˙y = 2x(2y3 − x5) + 4y3(−x − y3 + y5)

= −2x6 − (4y6 − 4y8) < 0, ∀(x, y) thuộc lân cận của (0, 0)

nghiệm của hệ đã cho là

Vậy nghiệm (0, 0) của hệ đã cho là ổn định tiệm cận.

1.4.5 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định

(Z0)

Định lý 1.4.3. Giả sử đối với hệ rút gọn (1.22), tồn tại hàm V (t, x) ∈ C(1,1)

có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 và có đạo hàm ˙V (t, x) theo t theo hệ

∆ ≤ h < H tìm được điểm (t0, x0) mà tại đó dấu của hàm V cùng dấu với đạo

phương trình là xác định dấu. Nếu với t0 > a nào đó trong lân cận ||x|| < ∆ với

hàm ˙V , tức là

V (t0, x0) ˙V (t0, x0) > 0

(1.24)

t → ∞.

thì nghiệm tầm thường ξ = 0 của hệ (1.22) không ổn định theo Lyapunov khi

Ví dụ 1.4.3. Xét tính ổn định của hệ sau

˙x = x3 − y ˙y = x + y3

(cid:40)

Xét hàm Lyapunov V (t, x, y) = x2 + y2. Khi đó ta có đạo hàm của hàm V dọc

˙V (t, x, y) = 2x ˙x + 2y ˙y = 2x(x3 − y) + 2y(x + y3)

= 2(x4 + y4) > 0, ∀(x, y) (cid:54)= (0, 0).

theo nghiệm của hệ đã cho là

Vậy nghiệm (0, 0) của hệ đã cho không ổn định theo Lyapunov khi t → +∞.

1.5 Sự ổn định mũ

Định nghĩa 1.5.1. Nghiệm tầm thường ξ = 0 của hệ (1.22) được gọi là ổn định

mũ khi t → +∞ nếu đối với mỗi nghiệm x(t) ≡ x(t, t0, x0) của hệ đó ở trong miền

nào đó t0 ≤ t < ∞, ||x|| ≤ h < H thỏa mãn bất đẳng thức

||x(t)|| ≤ N ||x(t0)||e−α(t−t0)

(t ≥ t0)

(1.25)

x(t).

trong đó N và α là hai hằng số dương không phụ thuộc vào sự lựa chọn nghiệm

= Ax

Bổ đề 1.5.1. Nếu nghiệm tầm thường của hệ tuyến tính thuần nhất

dx dt

(1.26)

với ma trận hằng số A, ổn định tiệm cận khi t → ∞, thì hệ đó ổn định mũ, tức

là mỗi nghiệm của nó ổn định mũ khi t → ∞.

Chứng minh.

Ta đã biết, nghiệm tầm thường ξ = 0 của hệ (1.26) ổn định tiệm cận khi và

(p = 1, 2, . . . , n)

Reλp(A) < 0

chỉ khi mọi nghiệm đặc trưng λp(A) của ma trận A có phần thực âm

Reλp(A) < −α < 0

min p

Đặt

||etA|| ≤ N e−αt,

Khi đó, với t ≥ 0, ta được

(1.27)

trong đó N là hằng số dương nào đó. Từ phương trình (1.26), đối với nghiệm

x(t) = e(t−t0)Ax(t0)

bất kỳ x(t), ta có

||x(t) − ξ(t)|| ≤ N ||x(t0) − ξ(t0)||e−α(t−t0),

trong đó t là thời điểm ban đầu tùy ý. Do đó nhờ (1.27) với t ≥ t0 ta có

đó là điều phải chứng minh.

Chú ý. Đối với hệ tuyến tính có hệ số biến thiên, từ tính ổn định tiệm cận

của nó, nói chung không suy ra tính ổn định mũ.

= −

(1 ≤ t < ∞)

dx dt

x t

Ví dụ 1.5.1. Xét phương trình vô hướng

x(t) =

x(1) t

nghiệm tổng quát của nó có dạng

Như vậy, nghiệm ξ = 0 của phương trình trên ổn định tiệm cận khi t → ∞ nhưng

không ổn định mũ.

V (x) = (Ax, x)

Định lý 1.5.1. Nếu tồn tại một hàm toàn phương xác định dương

(1.28)

= X(t, x),

X(t, 0) = 0

dx dt

mà đạo hàm ˙V (x) dọc theo nghiệm của hệ rút gọn:

˙V (x) ≤ W (x),

thỏa mãn bất đẳng thức

(t ≥ t0, ||x|| ≤ h < H),

(1.29)

W (x) = −(Bx, x)

trong đó

(1.30)

là dạng toàn phương xác định âm. A và B là hai ma trận đối xứng, thì nghiệm

tầm thường ξ = 0 của hệ ổn định mũ khi t → ∞.

Chứng minh.

Giả sử rồn tại hàm V = V (x) thỏa mãn các điều kiện của định lý. Khi đó

a(x, x) ≤ V (x) ≤ a1(x, x);

b(x, x) ≤ −W (x) ≤ b1(x, x)

theo công thức (1.28), (1.30) ta có thể chỉ ra rằng:

a = min

b = min

λp(A),

a1 = max

λp(A),

λp(B),

b1 = max

λp(B),

trong đó

0 < a ≤ a1 với 0 < b ≤ b1

hơn nữa

V (x) ≥ −b(x, x)

V (x) ≤ a1(x, x) ⇒ −bV (x) ≥ −a1b(x, x) ⇒ −

b a1

Ta có:

Theo bất đẳng thức (1.29) ta có −W (x) ≥ b(x, x) nên W (x) ≤ −b(x, x).

−

V (x) ≥ −b(x, x) ≥ W (x) ≥ ˙V (x) =

dV dt

b a1

Vậy

≤ −b(x, x) ≤ −

V (x).

dV dt

b a1

hay

Lấy tích phân bất đẳng thức này với t ≥ t0 ta có:

≤ −

V (x) ⇒

≤ −

dV dt

dV V

b a1

⇒ ln |V | |t

t0 (t − t0) ⇒ V (x(t)) ≤ V (x(t0)).e− b

(t−t0) = V (x(t0))e−2α(t−t0)

t0 ≤ −

b a1

(cid:90) t (cid:90) t

||x||2 = (x, x)

. Hơn nữa chuẩn Euclid trong đó α = b 2a1

||x(t)||2 ≤

V (x(t)) ≤

||x(t0)||2e−2α(t−t0)

1 a

a1 a

với t ≥ t0 ta có

||x(t)|| ≤ N ||x(t0)||e−α(t−t0)

Tức là với t ≥ t0

N =

, với ||x(t0)|| đủ bé.

trong đó

(cid:114) a1 a

Vậy: nghiệm tầm thường của hệ đã cho là ổn định mũ.

1.6 Phương pháp chọn hàm Lyapunov cho hệ phương

trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng

a) Xét hệ hai phương trình vi phân với hệ số hằng

˙x1 = a11x1 + a12x2

(cid:40)

˙x2 = a21x1 + a22x2

(1.31)

W (x) = αx2

1 + 2αx1x2 + (m + α)x2 2

Ta ký hiệu

V (x) = v11x2

1 + 2v12x1x2 + v22x2 2

và

Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính, ta

= W

sẽ xác định hàm W (x) và V (x) sao cho

dV dt

(1.32)

Bằng cách đạo hàm hàm V dọc theo hệ (1.31) và đồng nhất các hệ số tương ứng

a11v11 + a21v12

= w11

trong đẳng thức (1.32), ta nhận được hệ ba phương trình sau:

a12v11 + (a11 + a22)v12 + a21v22 = 2w12

 

a12v12 + a22v22

= w22



Dùng phần mềm Maple giải hệ phương trình đại số tuyến tính này ta thu được

−a21a22α + ma2

21 + αa2

21 − a12a21α + a11a22α + a2

22α

v11 =

−a12a11a21 + a2

11a22 + a11a2

22 − a12a21a22

v12 =

−a11a22α + a22a12α + ma11a21 + αa11a21 −a12a11a21 + a2 11a22 + a11a2 22 − a12a21a22 12α + a11a22m + a11a22α + a2 11m − a12a11α + a2 a2

11α − a12a21m − a12a21α

v13 =

−a12a11a21 + a2

11a22 + a11a2

22 − a12a21a22

nghiệm như sau:

Khi đó thay các giá trị v11, v12, v13 vào biểu thức của V (x) ta nhận được hàm

Lyapunov cần tìm. Để áp dụng vào các bài toán cụ thể, chúng ta sẽ tiếp tục xác

định α và m thích hợp để đi đến kết luận cuối cùng.

Ví dụ 1.6.1. Xét hệ phương trình vi phân

˙x1 = x1 − x2

˙x2 = −x1 + 3x2

(cid:40)

Ký hiệu W (x) = (Bx, x), trong đó

B =

α m + α

(cid:19) (cid:18)α

|B| = αm và với m > 0, α > 0 thì W (x) xác định dương.

Ta thấy:

Ta sẽ tiếp tục quá trình chọn W (x) và V (x) để chứng minh nghiệm của hệ trên

là không ổn định.

W (x) = αx2

1 + 2αx1x2 + (m + α)x2 2

Ta có:

1 + 2v12x1x2 + v22x2

2 sao cho dV

dt = W

Ta tìm dạng toàn phương V (x) = v11x2

Khi đó, đạo hàm hàm V dọc theo nghiệm của hệ phương trình vi phân đã cho

= α

v11 − v12

và đồng nhất các hệ số, ta thu được hệ phương trình tuyến tính sau:

−v11 + 4v12 − v22 = 2α

= m + α

 

−v12 + 3v22



α +

v11 =

v12 =

v22 =

9 4

1 8

5 4

1 8

3 4

3 8

Giải hệ phương trình tuyến tính này ta thu được nghiệm như sau

W (x) = 2x2

V (x) = 5x2

1 + 4x1x2 + 6x2 2,

1 + 6x1x2 + 3x2 2.

Chọn α = 2, m = 4, khi đó v11 = 5, v12 = 3, v22 = 3,

˙V (x) = 2(2x2

1 + 4x1x2 + 6x2

2) là hàm xác định dương.

Suy ra

V (x). ˙V (x) > 0

∀(x1, x2) (cid:54)= (0, 0).

Ta thấy:

Suy ra hệ đã cho là không ổn định.

Ví dụ 1.6.2. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính

˙x1 = −x1 − 2x2

˙x2 = 2x1 − 3x2

(cid:40)

Ký hiệu W (x) = (Bx, x), trong đó

B =

α m + α

(cid:19) (cid:18)α

|B| = αm

Ta thấy:

Ta sẽ tiếp tục quá trình chọn W (x) và V (x) để chứng minh nghiệm của hệ trên

là ổn định tiệm cận.

W = αx2

1 + 2αx1x2 + (m + α)x2 2

Ta có

1 + 2v12x1x2 + v22x2

2 sao cho dV

dt = W

Ta tìm dạng toàn phương V = v11x2

Đạo hàm hàm V dọc theo hệ đã cho và đồng nhất hệ số ta được hệ phương trình

= α

−v11 + 2v12

tuyến tính

−2v11 − 4v12 + 2v22 = 2α

= m + α

 

−2v12 − 3v22



m −

α,

m −

α,

m −

v11 = −

v12 = −

v22 = −

1 14

2 7

1 7

8 7

Giải hệ phương trình tuyến tính này ta thu được nghiệm

W (x) = −x2

V (x) = 2x2

1 − 2x1x2 − 7x2 2,

1 + x1x2 + 2x2 2.

Chọn m = −6, α = −1. Khi đó ta có:

˙V = 2(−x2

∀(x1, x2) (cid:54)= (0, 0)

1 − 2x1x2 − 7x2

2) < 0

Suy ra:

Vậy hệ đã cho là ổn định tiệm cận.

˙x1 = a11x1 + a12x2 + a13x3

b) Xét hệ ba phương trình vi phân với hệ số hằng

˙x2 = a21x1 + a22x2 + a23x3

  (1.33)

˙x3 = a31x1 + a32x2 + a33x3



3 (cid:88)

W =

wikxixk;

wik = wki

i,k=1

Ta xét dạng toàn phương

3 (cid:88)

V =

vikxixk;

vik = vki

i,k=1

và tiến hành tìm một dạng toàn phương V như sau:

˙V = W

ta sẽ tìm hàm Lyapunov v để đạo hàm theo hệ (1.33) thỏa mãn điều kiện

(1.34)

Bằng cách đạo hàm hàm V dọc theo hệ (1.33) và đồng nhất các hệ số tương ứng

trong (1.34) ta nhận được hệ sau:

a11v11 + a21v12 + a31v13

= w11

a12v11 + (a11 + a22)v12 + a32v13 + a21v22 + a31v23 = 2w12

a13v11 + a23v12 + (a11 + a33)v13 + a21v23 + a31v33 = 2w13



a12v12 + a22v22 + a32v23

= w22

a32v12 + a12v13 + a23v22 + (a22 + a33)v23 + a32v33 = 2w23

(1.35)

a13v13 + a23v23 + a33v33

= w33

 

Sử dụng phần mềm Maple để giải hệ (1.35) ta sẽ tìm được các nghiệm vik. Khi

đó thay các vik vào biểu thức của hàm V ta sẽ tìm được hàm Lyapunov V cần

tìm. Từ đó dựa vào các định lý của Lyapunov về tính ổn định nghiệm ta có thể

suy ra tính chất nghiệm của hệ đã cho.

˙x = 2x − y + 2z

Ví dụ 1.6.3. Xét hệ ba phương trình vi phân tuyến tính

˙y = 5x − 3y + 3z

˙z = −x − 2z

 



W (x) = (Bx, x)

Kí hiệu

trong đó

B =

0 0

 

α 0 0 α 0 0 m + α

 

Ta sẽ tiếp tục quá trình chọn W (x) và V (x) để chứng minh nghiệm của hệ trên

là ổn định.

W (x) = αx2

1 + αx2

2 + (m + α)x2 3

Ta có

V = v11x2

1 + v22x2

2 + v33x2

3 + 2v12x1x2 + 2v13x1x3 + 2v23x2x3.

Ta tiến hành tìm dạng toàn phương v như sau:

= W

dV dt

sao cho

Đạo hàm hàm V theo hệ đã cho và đồng nhất hệ số ta được hệ phương trình

tuyến tính sau:

= α

2v11 + 5v12 − v13

−v11 − v12 + 5v22 − v23 = 0

2v11 + 3v12 + 5v23 − v33 = 0

= α

−v12 − 3v22

= 0

−v13 + 3v22 − 5v23



= m + α

2v13 + 3v23 − 2v33

 

α −

α +

v11 = −

v12 =

v13 = −

α −

m +

α;

α −

v22 = −

v23 = −

v33 = −

188 25 49 50

11 25 3 50

97 50 1 25

9 50 17 50

317 50 291 50

1 50 27 50

Dùng phần mềm Maple giải hệ này ta thu được nghiệm như sau:

W (x) = −x2

V (x) = 15x2

1 − x2

2 − 18x2 3,

1 − 10x1x2 + 12x1x3 + 2x2

2 + 15x2 3.

Chọn α = −1, m = −17. Khi đó ta có

∀(x1, x2, x3) (cid:54)= (0, 0, 0).

2 − 18x2

3) < 0

1 − x2 Vậy hệ đã cho là ổn định.

Ta thấy ˙V (x) = 2(−x2

> a11 := 2; a12 := −1; a13 := 2; a21 := 5; a22 := −3; a23 := 3; a31 := −1; a32 :=

0; a33 := −2; w11 := alpha; w12 := 0; w13 := 0; w22 := alpha; w23 := 0; w33 := m +

alpha;

a11 := 2

a12 := −1

a13 := 2

a21 := 5

a22 := −3

*) Minh họa câu lệnh trong Maple cho ví dụ (1.6.3):

a23 := 3

a31 := −1

a32 := 0

a33 := −2

w11 := α

w12 := 0

w13 := 0

w22 := α

w23 := 0

w33 := m + α

> pt1 := a11∗v11+a21∗v12+a31∗v13 = w11; pt2 := a12∗v11+(a11+a22)∗v12+a32∗v13+

a21∗v22+a31∗v23 = 2∗w12; pt3 := a13∗v11+a23∗v12+(a11+a33)∗v13+a21∗v23+a31∗v33 =

2 ∗ w13; pt4 := a12 ∗ v12 + a22 ∗ v22 + a32 ∗ v23 = w22; pt5 := a32 ∗ v12 + a12 ∗ v13 + a23 ∗

v22 + (a22 + a33) ∗ v23 + a32 ∗ v33 = 2 ∗ w23; pt6 := a13 ∗ v13 + a23 ∗ v23 + a33 ∗ v33 = w33;

pt1 := 2v22 + 5v12 − v13 = α

pt2 := −v11 − v12 + 5v22 − v23 = 0

pt3 := 2v11 + 3v12 + 5v23 − v33 = 0

pt4 := −v12 − 3v22 = α

pt5 := −v13 + 3v22 − 5v23 = 0

pt6 := 2v13 + 3v23 − 2v33 = m + α.

> solve ({pt1, pt2, pt3, pt4, pt5, pt6} , {v11, v12, v13, v22, v23, v33}) ;

α −

α +

α −

{v11 = −

m, v12 =

m, v13 = −

m, v22 = −

188 25

11 25

97 50

9 50

m +

α −

v23 = −

α, v33 = −

317 50 1 25

1 50 17 50

49 50 291 50

3 50 27 50

Chương 2

Phương pháp phiếm hàm Lyapunov

nghiên cứu tính ổn định nghiệm

của phương trình vi phân hàm

2.1 Khái niệm về phương trình vi phân hàm

2.1.1 Định nghĩa và ký hiệu

• Cho Rn là không gian Euclid, x ∈ Rn, ||x|| = (cid:112)x2

n gọi là

1 + x2

2 + ... + x2

• Với h > 0, ta ký hiệu C = C([−h, 0], Rn) là không gian Banach các hàm liên

chuẩn của x.

tục trên [−h, 0] và nhận giá trị trong Rn. Với ϕ ∈ C thì chuẩn của ϕ được

||ϕ|| = sup

|ϕ(θ)|.

−h≤θ≤0

• CH = {ϕ ∈ C : ||ϕ|| ≤ H, H > 0}.

• Giả sử t0 ∈ R, A > 0 và x ∈ C ([t0 − h, t0 + A] , Rn) ta xác định hàm:

xt ∈ C,

xt(θ) = x(t + θ), −h ≤ θ ≤ 0.

định nghĩa là:

Giả sử Ω ⊂ R × C và f : Ω → Rn là một hàm cho trước. Xét phương trình vi

phân dạng

˙x(t) = f (t, xt)

(2.1)

ta gọi phương trình (2.1) là phương trình vi phân hàm trên Ω.

Định nghĩa 2.1.1. Hàm xt được gọi là nghiệm của phương trình vi phân (2.1) trên [t0 − h, t0 + A] nếu xt ∈ C([−h, A], Rn), (t, x(t)) ∈ Ω và xt thỏa mãn phương

trình (2.1) với t ∈ [t0, t0 + A].

Định nghĩa 2.1.2. Cho t0 ∈ R,ϕ ∈ C,hàm x(t0, ϕ) được gọi là nghiệm của

phương trình vi phân (2.1) với giá trị ban đầu ϕ tại t = t0, nếu tồn tại số A > 0

sao cho x(t0, ϕ) là một nghiệm của (2.1) trên [t0 − h, t0 + A] và xt0(t0, ϕ) = ϕ.

Phương trình (2.1) gọi là phương trình tuyến tính nếu f (t, ϕ) = L(t)ϕ + h(t)

với L(t, xt) là hàm tuyến tính . Trong trường hợp này (2.1) là phương trình tuyến

tính thuần nhất nếu h ≡ 0 và không thuần nhất nếu h (cid:54)= 0.

Bổ đề 2.1.1. Giả sử f là hàm liên tục và nghiệm x(t) của phương trình (2.1)

đi qua (t0, ϕ), ϕ ∈ C sẽ tương đương với phương trình tích phân

f (s, xs)ds,

t ≥ t0,

x(t) = ϕ(0) + (cid:82) t t0 xt0 = ϕ.

(cid:40)

2.1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Sau đây chúng tôi sẽ nêu một số điều kiện để nghiệm của phương trình (2.1)

tồn tại và duy nhất.

Định lý 2.1.1. (Tồn tại nghiệm) Giả sử Ω là tập mở trong R × C, f là hàm

(t0, ϕ).

liên tục trên Ω. Nếu (t0, ϕ) ∈ Ω, thì tồn tại nghiệm của phương trình (2.1) đi qua

Chúng ta gọi f (t, φ) là Lipschitz với φ trong tập compact K của R × C nếu

|f (t, φ1) − f (t, φ2)| ≤ k|φ1 − φ2|

tồn tại số dương k > 0 sao cho, với mỗi (t, φi) ∈ K, i = 1, 2

Định lý 2.1.2. (Duy nhất nghiệm) Giả sử Ω là tập mở trong R × C, f : Ω → Rn

liên tục và f (t, φ) là Lipschitz với φ trên mỗi tập compact trong Ω. Nếu (t0, ϕ) ∈ Ω

thì có duy nhất nghiệm của phương trình (2.1) đi qua (t0, ϕ).

2.2 Phương pháp tìm nghiệm của phương trình vi

phân hàm

Ta có thể đi tìm nghiệm của phương trình vi phân hàm (2.1) bằng hai phương

pháp là phương pháp từng bước và phương pháp Laplace.

2.2.1 Phương pháp từng bước

Trong phương pháp này, công thức nghiệm được tìm dựa vào bổ đề (2.1.1),

ta lấy tích phân trên từng đoạn có độ dài h0 thích hợp, bắt đầu từ t0. Nói chung

không nêu được một công thức giải tích cho cả bán trục R+.

Ví dụ 2.2.1. Xét phương trình vi phân có chậm sau:

˙x(t) = 6x(t − 1),

ϕ(t) = t,

0 ≤ t ≤ 1

(cid:40)

Ta sẽ tìm nghiệm x(t0, ϕ), (t0 = 1) của phương trình vi phân trên [0, 3].

Nghiệm của phương trình vi phân trên có dạng

t ≥ 1

x(t) = ϕ(1) + (cid:82) t x(t) = ϕ(t),

1 6x(s − 1)ds, 0 ≤ t ≤ 1.

(cid:40)

Trên đoạn [1, 2] ta có

1 ≤ t ≤ 2

x(t) = ϕ(1) + (cid:82) t x(t) = ϕ(t),

1 6sds, 0 ≤ t ≤ 1.

(cid:40)

hay

x(t) = 1 + 3(t − 1)2,

1 ≤ t ≤ 2

x(t) = ϕ(t),

0 ≤ t ≤ 1.

(cid:40)

Trên đoạn [2, 3] ta có

2 ≤ t ≤ 3

2 6x(s − 1)ds,

x(t) = ϕ(2) + (cid:82) t x(t) = 1 + 3(t − 1)2,

1 ≤ t ≤ 2.

(cid:40)

Suy ra

2 ≤ t ≤ 3

x(t) = 6(t − 2)[(t − 2)2 + 1] + 4, x(t) = 1 + 3(t − 1)2,

1 ≤ t ≤ 2.

(cid:40)

Vậy nghiệm của phương trình trên [0, 3] là

x(t) = t, 0 ≤ t ≤ 1 x(t) = 1 + 3(t − 1)2, 1 ≤ t ≤ 2 x(t) = 6(t − 2)[(t − 2)2 + 1] + 4,

2 ≤ t ≤ 3.

 



Cứ như vậy ta có thể mở rộng nghiệm trên một đoạn hữu hạn tùy ý.

2.2.2 Phương pháp toán tử Laplace

Trong phần này, chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp toán tử Laplace để tìm

nghiệm của phương trình vi phân có chậm, nội dụng chủ yếu của phương pháp

toán tử là như sau: Một mặt ta cần xem ẩn hàm x(t) và vế phải f (t) là hàm gốc,

xem phương trình đã cho là trong không gian gốc, mặt khác ta cần tìm chính

phương trình đó trong không gian ảnh (gọi là phương trình ảnh), phương trình

ảnh là phương trình đại số đối với ảnh X(p) của x(t). Giải phương trình đại số

ta tìm được X(p). Sau khi tìm được X(p) ta cần sử dụng phép biến đổi Laplace

ngược để tìm được x(t).

n−1 (cid:88)

x(n)(t) +

Xét phương trình vi phân có chậm

akx(k)(t − τk) = f (t); 0 < t < ∞.

k=0

(2.2)

0 ≤ τ0 < τ1 < · · · < τn−1

trong đó ak, τk ≥ 0 là các hằng số; Các biến chậm τk thỏa mãn

Chúng ta xét bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện ban

x(0) = x(cid:48)(0) = · · · = x(n−1)(0) = 0

đầu

x(t) → X(p)

Giả sử

X(p) =

x(t)e−ptdt

trong đó (cid:90) +∞

x(k)(t) → pkX(p)

f (t) → F (p)

Khi đó ta có

x(k)(t − τk) → pke−pτkX(p)

Theo định lý chậm và định lý về đạo hàm gốc ta có

Khi đó phương trình (2.2) trở thành

n−1 (cid:88)

pn +

X(p) = F (p)

akpke−τkp

k=1

(cid:32) (cid:33)

X(p) =

pn + (cid:80)n−1

F (p) k=1 akpke−τkp

Do đó suy ra:

Nếu hàm X(p) có thể tìm được ảnh ngược x(t) thì đó là nghiệm của bài toán.

Với

x(t) =

eptF (p)dp.

1 2πi

x−i∞

(cid:90) x+i∞

¨x(t) + 2 ˙x(t − 2) + x(t − 4) = t

x(0) = ˙x(0) = 0.

Ví dụ 2.2.2. Giải phương trình vi phân có chậm sau:

Giả sử x(t) là nghiệm riêng của phương trình đã cho.

x(t) → X(p)

Đặt

x(t − 4) → e−4pX(p)

˙x(t − 2) → pe−2pX(p)

¨x(t) → p2X(p)

Khi đó ta có

p2X(p) + 2pe−2pX(p) + e−4pX(p) =

1 p2

Do đó phương trình toán tử có dạng:

Từ đó suy ra:

1 +

X(p) =

1 p4

(cid:18) (cid:19)−2

e−2p p (cid:19)2

− 4.

+ . . .

+ 3.

1 − 2.

1 p2(p + e−2p)2 = e−2p p

1 p4

(cid:35) (cid:34) (cid:19)3

e−4p p6 − 4.

e−6p p7 + . . .

1 p4 − 2. ∞ (cid:88)

e−2p p5 + 3. (−1)k (k + 1)e−2kp

pk+4

k=0

(cid:18)e−2p p (cid:18)e−2p p

∞ (cid:88)

(−1)k (k + 1)(t − 2k)k+3

x(t) =

η(t − 2k).

(k + 3)!

k=0

So sánh với bảng đối chiếu gốc ảnh ta có

trong đó η(t − t0) là hàm đơn vị tổng quát

η(t − t0) =

(cid:40) 1

khi t ≥ t0 khi t < 0

2.3 Lý thuyết ổn định theo Lyapunov

2.3.1 Các khái niệm về ổn định

Để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân hàm chúng ta thường

áp dụng phương pháp hàm Lyapunov. Sau đây, chúng tôi xin trình bày các khái

niệm về sự ổn định của nghiệm của phương trình vi phân hàm. Xét phương

trình:

˙x(t) = f (t, xt)

(2.3)

với điều kiện ban đầu x(t) = ϕ(t), t ∈ [t0 − h, t0]. Giả sử phương trình (2.3) thỏa

f (t, 0) = 0,

∀t ∈ R.

mãn tất cả các điều kiện về sự tồn tại, duy nhất nghiệm và:

Khi đó, phương trình (2.3) có nghiệm tầm thường x ≡ 0. Ta định nghĩa sự ổn

định của nghiệm tầm thường đó.

Định nghĩa 2.3.1. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.3)

t → +∞ nếu

∀ε > 0, t0 ∈ R; ∃δ = δ(t0, ε) > 0 : ∀ϕ ∈ C; ||ϕ|| < δ ⇒ ||xt(t0, ϕ)|| < ε; ∀t ≥ t0.

được gọi là ổn định theo Lyapunov khi

Định nghĩa 2.3.2. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (

2.3) được gọi là ổn định đều theo Lyapunov nếu số δ trong định nghĩa (2.3.1) có

thể chọn không phụ thuộc vào t0.

Định nghĩa 2.3.3. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.3)

được gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu

(i) Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định.

||x(t0, ϕ)(t)|| = 0.

lim t→+∞

(ii) Tồn tại (cid:52) = (cid:52)(t0) > 0 sao cho với mọi ϕ ∈ C và ||ϕ|| < (cid:52) thì

Định nghĩa 2.3.4. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.3)

được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu:

(i) Nghiệm x(t) ≡ 0 là ổn định đều.

||ϕ|| < (cid:52) thì

||xt(t0, ϕ)|| = 0.

lim t→+∞

(ii) Tồn tại (cid:52) > 0 (không phụ thuộc vào t0) sao cho với mọi ϕ ∈ C thỏa mãn

Định nghĩa 2.3.5. Một nghiệm x(t0, ϕ) của phương trình (2.3) gọi là bị chặn đều nếu với mọi α > 0, ∃β(α) > 0 và t0 ∈ R, ϕ ∈ C : (cid:107)ϕ(cid:107) (cid:54) α ⇒ (cid:107)x (t0, ϕ) (t)(cid:107) ≤ β với t (cid:62) t0

2.3.2 Phương pháp hàm Lyapunov

Trong phần này chúng tôi sẽ giới thiệu một số điều kiện đủ về sự ổn định

của nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (2.3). Đây là kết quả mở rộng

của phương pháp thứ hai Lyapunov đối với phương trình vi phân thường.

Định nghĩa 2.3.6. (Phiếm hàm Lyapunov) Ta nói phiếm hàm V : R+ ×CH → R

là phiếm hàm Lyapunov nếu nó liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo

biến thứ hai.

. V (t, x)

Đạo hàm phải của V dọc theo quỹ đạo nghiệm của (2.3), kí hiệu là

sup

được xác định bởi

[V (t + h, xt+h(t, ϕ)) − V (t, ϕ)].

. V (t, ϕ) = lim h→0+

1 h

(2.4)

Để thấy rõ vai trò của phương trình trong đạo hàm đó người ta ký hiệu ˙V(2.3)(t, ϕ).

Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ sử dụng phiến hàm Lyapunov V = V (t, ϕ)

xác định trên miền Ω = R+ × C để nghiên cứu tính ổn định đều và ổn định tiệm

cận đều của phương trình vi phân hàm (2.3), ta luôn giả thiết f (t, ϕ) là hàm liên

tục trên Ω và f (t, 0) = 0.

Chúng ta có các định lý ổn định của nghiệm tầm thường như sau:

Định lý 2.3.1. (Định lý ổn định)

a(.) ∈ CIP thỏa mãn điều kiện:

Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+ × CH → R+ và hàm

(i) V (t, 0) = 0;

(ii) a(||ϕ||) ≤ V (t, ϕ);

. V (t, ϕ) ≤ 0.

(iii)

Khi đó, nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.3) là ổn định.

Chứng minh. Giả sử có hàm V (t, x) thỏa mãn các điều kiện (i), (ii), (iii), ta sẽ

chứng minh nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.3) là ổn định.

Sε = {ϕ : ϕ ∈ CH , ||ϕ|| = ε}.

Cho ε > 0 đủ bé, ta xác định mặt cầu

0 < a(ε) ≤ V (t, x), t ∈ R+, x ∈ Sε.

Từ (ii) ta suy ra

δ(t0, ε) > 0 sao cho nếu ||x|| < δ(t0, ε) thì V (t0, x) < a(ε).

Vì V (t, 0) = 0, V (t, x) là hàm liên tục nên với t0 cố định và a(ε) > 0 tồn tại số

||xt(t0, ϕ)|| < ε, ∀t ≥ t0.

Lấy x = x(t0, ϕ) là nghiệm của (2.3) sao cho ||ϕ|| < δ, ta sẽ chứng minh

Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại t1 > t0 sao cho nghiệm x = x(t0, ϕ) với ||ϕ|| < δ

||xt1(t0, ϕ)|| = ε.

thỏa mãn

V (t1, xt1(t0, ϕ)) ≤ V (t0, x(t0, ϕ)),

Từ điều kiện (iii) ta suy ra

a(ε) ≤ V (t1, xt1(t0, ϕ)) ≤ V (t0, x(t0, ϕ)) < a(ε).

từ đó ta suy ra

||xt(t0, ϕ)|| < ε, ∀t ≥ t0,

Mâu thuẫn trên chứng tỏ điều giả sử là sai. Như vậy nếu ||ϕ|| < δ thì

tức là nghiệm tầm thường x ≡ 0 ổn định.

Định lý 2.3.2. (Định lý ổn định đều)

CIP thỏa mãn điều kiện:

Giả sử tồn tại phiếm hàm Lyapunov V : R+ ×CH → R+ và các hàm a(.), b(.) ∈

(i) a(||ϕ||) ≤ V (t, ϕ) ≤ b(||ϕ||).

. V (t, ϕ) ≤ 0.

(ii)

Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.3) ổn định đều.

Sε = {ϕ : ϕ ∈ CH , ||ϕ|| = ε, 0 < ε < H}.

Chứng minh. Xét mặt cầu

Từ điều kiện (i) ta có a(||ϕ||) ≤ V (t, ϕ) suy ra a(ε) ≤ V (t, ϕ), với mọi ϕ ∈ Sε.

V (t, ϕ) ≤ b(||ϕ||) và b(||ϕ||) ∈ CIP

Đồng thời, do

b(||ϕ||) < a(ε), do đó b(δ) < a(ε).

nên với a(ε) > 0 ta chọn được số δ = δ(ε) > 0 sao cho nếu ||ϕ|| < δ(ε) thì

Lấy một nghiệm tùy ý của (2.3) với ||ϕ|| < δ(ε) thì với t0 cố định bất kỳ từ giả

. V (t, ϕ) ≤ 0, ta có

a(||xt(t0, ε)||) ≤ V (t, xt(t0, ε)) ≤ V (t0, ϕ) ≤ b(||ϕ||) ≤ b(δ) < a(ε).

thiết

||xt(t, t0, ε)|| < ε, ∀t ≥ t0.

Như vậy với ||ϕ|| < δ(ε) thì

Do đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 là ổn định đều.

Định lý 2.3.3. (Định lý ổn định tiệm cận đều) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên

tục V : R+ × CH → R+ thỏa mãn điều kiện sau:

a(r), b(r) ∈ K,

1. a((cid:107)ϕ(cid:107)) (cid:54) V (t, ϕ) (cid:54) b((cid:107)ϕ(cid:107)),

˙V (t, ϕ) (cid:54) −c((cid:107)ϕ(cid:107)), c(r) liên tục và c(r) > 0 khi r > 0.

khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của hệ (2.3) là ổn định tiệm cận đều.

Chứng minh. Từ định lý trên ta có thể suy ra nghiệm x ≡ 0 là ổn định đều. Ta

x ≡ 0 là ổn định đều nên tồn tại δ0(H) > 0 sao cho với t0 ∈ R+ và (cid:107)ϕ(cid:107) (cid:54) δ0, ta

sẽ chứng minh x ≡ 0 của phương trình (2.3) là ổn định tiệm cận đều. Do nghiệm

(cid:107)xt(t0, ε)(cid:107) < H; ∀t > t0

có:

(cid:107)ε(cid:107) < δ(ε) ⇒ (cid:107)xt(t0, ϕ)(cid:107) < ε, ∀t (cid:62) t0

Mặt khác ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 sao cho ∀t0 ∈ I, ta có:

Giả sử ngược lại tồn tại nghiệm x = x(t0, ϕ), (t0 ∈ R+, (cid:107)ϕ(cid:107) < δ0) nhưng không

(cid:107)xt(t0, ϕ)(cid:107) = 0

lim t→+∞

thực hiện đẳng thức

tk (cid:62) t0, tk → 0(k → ∞)

khi đó tồn tại dãy tk có tính chất:

δ(ε) (cid:54) (cid:107)x(t0, ε)(tk)(cid:107) < H

đồng thời

V (tk, x(t0, ϕ)(tk) (cid:62) a(δ)

Do đó:

˙V (t, ϕ) (cid:54) −c((cid:107)ϕ(cid:107))

Từ điều kiện ta suy ra:

˙V (t, ϕ) (cid:54) −γ

do đó tồn tại γ > 0 sao cho:

˙V (τ, ϕ)dτ (cid:54)

−γdτ

V (t, xt(t0, ε)) (cid:54) V (t0, ϕ) − γ(t − t0).

và δ(ε) < (cid:107)ϕ(cid:107) ta có (cid:90) t (cid:90) t

T :=

b(δ0) − a(δ) γ

Kí hiệu

V (t0, ϕ) − γ(t − t0) (cid:54) b(δ0) − γT

Vì V (t0, ϕ) (cid:54) b(δ0) nên với t (cid:62) t0 + T và (cid:107)ϕ(cid:107) < δ0 thì ta có:

(cid:54) b(δ0) − b(δ0) + a(δ)

(cid:54) a(δ)

V (tk, x(t0, ϕ)(tk) ≥ a(δ)

Chứng tỏ: V (t, xt(t0, ϕ) < a(δ). Mâu thuẫn với

điều đó chứng tỏ giả thiết phản chứng sai. Do đó với mọi t (cid:62) t0 + T, (T = T (ε))

(cid:107)x(t0, ϕ)(cid:107) < ϕ

và (cid:107)ϕ(cid:107) < δ0 ta có:

Tức là nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân 2.3 là ổn định

đều.

Ví dụ 2.3.1. Xét phương trình vi phân

˙x(t) = y(t) − x(t).y2(t − r1) ˙y(t) = −x(t) − y(t).x2(t − r2)

(cid:40)

trong đó t ∈ R và rj (cid:62) 0(j = 1, 2).

x2 + y2. Khi đó ta có:V (x, y) = (cid:107)ϕ(cid:107)2 đồng thời:

˙V (x, y) = 2.x(t).[y(t) − x(t).y2(t − r1] + 2y(t)[−x(t) − y(t).x2(t − r2)]

= −y2(t).x2(t − r2) − x2(t).y2(t − r1) ≤ 0

Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ này chúng ta xét hàm : V (x, y) =

Vậy nghiệm tầm thường của hệ là ổn định đều.

Trong trường hợp f : R × C → Rn là hàm hoàn toàn liên tục, f (t, 0) = 0. Và

hàm V : R × C → R là liên tục và ˙V (t, ϕ) được xác định như (2.4) ta có các định

lý về ổn định đều và ổn định tiệm cận đều tổng quát như sau

0, v(s) > 0 với s > 0 và u(0) = v(0) = w(0) = 0. Khi đó ta có các khẳng định sau:

Định lý 2.3.4. Cho các hàm liên tục không giảm u, v, w : R+ → R+, u(s) >

1) Nếu có một hàm V : R × C → R sao cho:

(i) u(|ϕ(0)|) ≤ V (t, ϕ) ≤ v(|ϕ|)

. V (t, ϕ) ≤ −w(|ϕ(0)|).

(ii)

Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.3) ổn định đều.

+∞ thì nghiệm của hệ (2.3) là bị chặn đều.

2) Nếu ở trong điều kiện 1) hàm u(s) thỏa mãn thêm điều kiện lims→+∞ u(s) =

3) Nếu ở trong điều kiện 1) hàm w(s) > 0 với s > 0 thì nghiệm x ≡ 0 là ổn định

tiệm cận đều.

Chứng minh. 1) (Ổn định đều). Với ∀ε > 0, δ = δ(ε), 0 < δ < ε sao cho v(δ) < u(ε).

˙V (t, xt(t0, ϕ)) ≤ 0 với t ≥ t0.

Nếu ||ϕ|| < δ và t0 ∈ R thì

V (t, xt(t0, ϕ)) ≤ V (t0, ϕ) ≤ v(δ) < u(ε)

Từ đó dẫn đến

u(|x(t0, ϕ)(t)|) < V (t, xt(t0, ϕ)) < u(ε)

suy ra

|x(t0, ϕ)(t)| < ε,

∀t ≥ t0.

do đó

β = β(α) sao cho u(β) = v(α).

2) (Bị chặn đều). Từ giả thiết u(s) → ∞ khi s → ∞ ta có với mọi α > 0, tồn tại

u(|x(t0, ϕ)(t)|) ≤ u(β) với mọi t ≥ t0.

Nếu ||ϕ|| ≤ α thì theo 1) ta có

3) (Ổn định tiệm cận đều). Cho ε = 1, δ0 = δ(1), với 0 < ε < 1.Ta sẽ chứng

t ≥ t0 + ¯t0. Chọn δ = δ(ε) thì với ||ϕ|| ≤ δ, ||xt(t0, ϕ)|| ≤ ε với t ≥ t0, t0 ∈ R.

minh rằng tồn tại ¯t0 = ¯t0(δ0, ε) > 0 sao cho với ||ϕ|| < δ0 thì ||xt(t0, ϕ)|| < ε với

||xt|| ≥ δ với t ∈ [t0, t0 + T ], T > 2h.

Giả sử rằng tồn tại nghiệm x = x(t0, ϕ), ||ϕ|| < δ0 sao cho

|x(tk)| ≥ δ, ở đó

k ≤

t0 + (2k − 1)h ≤ tk ≤ t0 + 2kh,

T 2h

Với mỗi khoảng h của hàm số và một số s sao cho |x(s)| ≥ δ, tồn tại {tk} sao cho

| ˙x(t)| < L với t ∈ [t0, t0 + T ].

Từ giả thiết f là hàm hoàn toàn liên tục, tồn tại một hằng số dương L sao cho

|x(t)| >

t ∈ Ik = [tk −

, tk +

δ 2L

δ 2

Do vậy

˙V (t, xt) ≤ −w(

t ∈ Ik.

δ 2

Và từ đó

δ h

. Điều này đảm bảo Ik không trùng Lưu ý rằng tk+1 − tk ≥ h, do vậy giả sử L >

(k − 1).

)

V (tk, xk) − V (t0, ϕ) ≥ −w(

δ 2

δ L

nhau. Từ đó

v(δ0).L

K ≥

δ.w(

)

δ r

Chọn k = k(δ0, L) nguyên thỏa mãn

L.v(δ0)

= 0.

V (tk, xtk) < v(δ0) − w(

δ 2

δ L

δ.w(

)

δ 2

thì nếu k > 1 + k, ta có

2r (k + 1)

||xt(t0, ϕ)|| < ε,

t ≥ t0 + ¯t0

thì với ||ϕ|| < δ0, Điều đó chứng tỏ rằng nếu t0 =

điều đó chứng tỏ sự ổn định tiệm cận đều của nghiệm tầm thường.

˙x(t) = −a(t)x(t) − b(t)x(t − r(t))

Ví dụ 2.3.2. (Sử dụng phương pháp phiếm hàm Lyapunov) Xét phương trình

(2.5)

ở đó a(t), b(t) và r(t) là các hàm liên tục bị chặn, a(t) > 0, r(t) > 0, ˙r(t) < 1.

Nếu b(t) = 0 thì (2.5) trở thành phương trình vi phân thường.

Nếu b(t) (cid:54)= 0, ta xét hàm Lyapunov

x2(t) + α

x2(t + θ)dθ

V (xt) = V (t, xt) =

1 2

−r(t)

(cid:90) 0

với α > 0, α là hằng số. Tương ứng ta có

ϕ2(0) + α

x2(t + θ)dθ.

V (t, ϕ) =

1 2

−r(t)

(cid:90) 0

Ta có các tính chất

x2(t + θ)dθ =

x2(θ)dθ

t−r(t)

−r(t)

(cid:90) t (cid:90) 0

= ˙a(t)x(a(t)) − ˙b(t)x(b(t)).

x(θ)dθ

b(t)

(cid:33)(cid:48) (cid:32)(cid:90) a(t)

˙V (xt) = −(a − α)x2(t) − b(t)x(t)x(t − r(t)) − α(1 − ˙r(t))x2(t − r(t)).

Ta có

b2(t) < 4(a(t) − α)(1 − ˙r(t))α

Từ đó nếu

(2.6)

˙V (xt) < 0.

thì

Do r(t) là hàm liên tục bị chặn nên r > 0: r(t) ≤ r với r là hằng số dương.

+ αr)s2 thì u(ϕ(0)) ≤ V (t, ϕ) ≤ v(||ϕ||).

s2 2

1 2

Đặt u(s) = , v(s) = (

˙V (xt) ≤ εx2(t).

Với α > 0 thỏa mãn điều kiện (2.6) thì có ε > 0 sao cho

Bởi vậy chúng ta lấy w(s) = εs2. Theo định lý trên x = 0 là ổn định tiệm cận

b2 < 4(a − α)α ≤ a2

đều. Khi a, b, r là các hằng số thì (2.6) trở thành

kéo theo rằng nếu |b| < a thì x = 0 là ổn định tiệm cận toàn cục.

2.4 Định lý Razumikhin

Trong phần này chúng tôi sẽ giới thiệu một số điều kiện đủ về sự ổn định

của nghiệm tầm thường của phương trình vi phân có chậm theo Razumikhin.

Xét phương trình vi phân

˙x(t) = f (t, xt)

(2.7)

với điều kiện ban đầu xt0 = ϕ(t), t ∈ [t0 − h, t0].

Giả sử phương trình (2.7) thỏa mãn tất cả các điều kiện về sự tồn tại duy

nhất nghiệm và f : R × C → Rn là ánh xạ đi từ tập R×(tập bị chặn của C) vào

tập bị chặn của Rn.

˙V (t, x(t)) là đạo hàm của V theo

Xét V : R × C → R là một hàm liên tục thì

[V (t + h, x(t + h)) − V (t, x(t))].

˙V (t, x(t)) = lim h→0+

1 h

quỹ đạo nghiệm của phương trình (2.7) được định nghĩa:

Định lý 2.4.1. (Định lý ổn định đều)

u(0) = v(0) = w(0) = 0

Xét các hàm số u, v, w : R+ → R+ là các hàm liên tục không giảm thỏa mãn

và u(s), v(s) xác định dương với s > 0. Giả sử rằng có một hàm liên tục V :

R × C → R sao cho:

(i) u(|x|) ≤ V (t, x) ≤ v(|x|), t ∈ R, x ∈ C.

. V (t, x) ≤ −w(|x(t)|), nếu V (t + θ, x(t + θ)) ≤ V (t, x(t)), θ ∈ [−h, 0].

(ii)

Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.7) ổn định đều.

ϕ ∈ B(0, δ) ⊂ C và xt(t0, ϕ) là một nghiệm của phương trình (2.7) qua (t0, ϕ).

Chứng minh. Với ∀ε > 0 ta chọn δ > 0 sao cho v(δ) < u(ε). Giả sử |ϕ| < δ,

V (t∗, x(t∗)) ≥ u(|x(t∗)|) ≥ u(ε) > v(δ) ≥ V (t0, ϕ).

Nếu tồn tại t∗ > t0, |x(t∗)| > ε thì

˙V (¯t, x(¯t)) > 0

θ ∈ [−h, 0].

Từ đó phải có một ¯t ∈ (t0, t∗] sao cho:

với V (¯t, x(¯t)) ≥ V (¯t + θ, x(¯t + θ)),

Điều này mâu thuẫn với điều kiện (ii). Vậy chúng ta phải có |x(t)| ≤ ε với t ≥ t0.

Định lý 2.4.2. (Định lý ổn định tiệm cận đều)

u(0) = v(0) = w(0) = 0

Xét các hàm số u, v, w : R+ → R+ là các hàm liên tục không giảm thỏa mãn

và u(s), v(s) xác định dương với s > 0, w(s) > 0 với s > 0. Giả sử rằng có một

hàm liên tục V : R × C → R sao cho:

(i) u(|x|) ≤ V (t, x) ≤ v(|x|), t ∈ R, x ∈ C.

. V (t, x) ≤ −w(|x(t)|), nếu V (t + θ, x(t + θ)) ≤ p(V (t, x(t))), θ ∈ [−h, 0].

(ii) Tồn tại một hàm liên tục không giảm p(s) > s với s > 0 sao cho:

Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.7) ổn định tiệm cận đều.

Nếu u(s) → ∞ khi s → ∞ thì nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.7) ổn định tiệm

cận toàn cục.

Chứng minh. Cho δ > 0, ρ > 0 thỏa mãn điều kiện v(δ) = u(ρ). Từ định lý 2.4.1

||ϕ|| ≤ δ ⇒ ||xt(t0, ϕ)|| ≤ ρ,

t ≥ t0

ta có

V (t, x(t0, ϕ(t))) ≤ v(δ),

t ≥ t0 − h.

và

t0 ∈ R, ||φ|| ≤ δ thì x(t0, ϕ)(t) ≤ η.

Giả sử 0 ≤ η ≤ ρ. Chúng ta cần chứng minh rằng có một ¯t = ¯t(η, δ) sao cho với

V (t, x(t0, ϕ)(t)) ≤ u(η),

t ≥ t0 ≥ ¯t.

Để chứng minh điều này chúng ta cần chứng minh rằng:

Từ giả thiết có một số a > 0 sao cho p(s) − s > a với u(η) ≤ s ≤ v(δ). Cho N là

số nguyên không âm (đầu tiên) sao cho u(η) + N a ≥ v(δ).

w(s).

γ = inf η≤s≤δ

Ký hiệu

V (t, x(t)) ≤ u(η) + (N − 1)a,

t ≥ t0 +

v(δ) γ

Trước tiên chúng ta chứng minh rằng:

V (t, x(t)) > u(η) + (N − 1)a,

]

t ∈ [t0, t0 +

v(δ) γ

Nếu

p(V (t, x(t))) > V (t, x(t)) + a ≥ u(η) + N a ≥ v(δ) ≥ V (t + θ, x(t + θ)),

], θ ∈ [−h, 0].

thì

v(δ) γ

với t ∈ [t0, t0 +

˙V ≤ −w(|x(t)|) ≤ −γ

Do vậy từ

V (t, x(t)) ≤ V (t0, ϕ) − γ(t − t0) ≤ v(δ) − γ(t − t0)

và kết quả

V (t0 +

, x(t0 +

)) ≤ v(δ) − γ(t − t0) = 0.

v(δ) γ

] sao cho

ta có

v(δ) γ

V (t∗, x(t∗)) = u(η) + (N − 1)a.

Mâu thuẫn với u(s) > 0 với s > 0. Do vậy tồn tại t∗ ∈ [t0, t0 +

V (t, x(t)) ≤ u(η) + (N − 1)a,

t ≥ t∗.

Tuy nhiên từ điều kiện (ii) kéo theo:

ti = t0 + i

v(δ) γ

Kí hiệu

V (ti, x(ti)) ≤ u(η) + (N − i)a

chúng ta có thể chứng minh được rằng:

V (t, x(t)) ≤ u(η),

t ≥ tN = t0 + N

v(δ) γ

từ đó suy ra

v(δ) γ

. Định lý được chứng minh. chọn ¯t = N

˙x(t) = −a(t)x(t) − b(t)x(t − r(t))

Ví dụ 2.4.1. (VD của Định lý Razuminkhin) Xét phương trình vi phân

(2.8)

ở đó a(t), b(t) và r(t) là các hàm liên tục bị chặn, a(t) > 0, r(t) > 0, ˙r(t) < 1.

Từ giả thiết r(t) là hàm bị chặn suy ra tồn tại r > 0 sao cho r(t) ≤ r. Để

V (x) = x2.

nghiên cứu tính ổn định nghiệm tầm thường của (2.8) ta xét hàm

˙V (x(t)) = −a(t)x2(t) − b(t)x(t)x(t − r(t))

1 2

≤ −a(t)x2(t) + |b(t)|x2(t)

= −((a(t)) − |b(t)|)x2(t).

Từ đó nếu có V (x(t + θ)) ≤ V (x(t)), θ ∈ [−r, 0] thì |x(t + θ)| < |x(t)| và

Do vậy nếu a(t) ≥ |b(t)| thì V (x) là một hàm Lyapunov nên nghiệm x = 0 của

(2.8) là ổn định đều.

Nếu a(t) ≥ δ > 0 và tồn tại k ∈ (0, 1) sao cho |b(t)| ≥ kδ thì theo Định lý

Razuminkhin nghiệm x = 0 của (2.8) là ổn định tiệm cận đều.

˙V (x(t)) ≤ −(1 − qk)δx2(t).

1 2

Thật vậy chúng ta có thể chọn p(s) = q2s với q > 1 thỏa mãn qk < 1 thì

Rõ ràng theo Định lý Razuminkhin cho ta một kết quả thú vị mà ở ví dụ (2.3.2)

không làm rõ được: đó là kết quả này không phụ thuộc vào trễ trong khi ở ví

b2 < 4(a(t) − α)(1 − ˙r(t))α.

dụ (2.3.2) điều kiện để nghiệm tầm thường ổn định là:

Chương 3

Một số mô hình ứng dụng

3.1 Mô hình ứng dụng trong các quần thể sinh học

Sự tương tác giữa các loài khác nhau sẽ làm biến đổi số lượng quần thể mỗi

loài. Nhìn chung việc xây dựng một mạng lưới tương tác của nhiều loài có sự

phụ thuộc vào mạng lưới dinh dưỡng trong tự nhiên sẽ có cấu tạo khá phức tạp.

Ở đây chúng ta chú trọng tới mạng lưới giữa hai loài. Trong cuốn sách xuất bản

năm 2001, Kot đã đề cập đến những mô hình của mạng lưới này (bao gồm sự

tương tác giữa cấu trúc tuổi và mô hình dân số) và đưa ra nhiều ví dụ thực tiễn.

Tác giả đưa ra ba loại tương tác chính:

- Nếu tỷ lệ tăng trưởng của quần thể này giảm mà quần thể kia lại tăng thì

được gọi là mô hình thú - mồi.

- Nếu tỷ lệ tăng trưởng của các quần thể đều giảm thì được gọi là mô hình cạnh

tranh.

- Nếu tỷ lệ tăng trưởng của các quần thể đều tăng thì được gọi là mô hình cộng

sinh.

Hình 3.1: Mô hình lưới dinh dưỡng

Phần dưới đây sẽ trình bày một số ví dụ ứng dụng minh họa cho các định lý

sử dụng phiếm hàm Lyapunov nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương

trình vi phân.

3.1.1 Mô hình thú - mồi Lotka - Volterra dạng đơn giản

Khi nghiên cứu mô hình thú - mồi (1926) Volterra đã nghiên cứu hệ động

= N (a − bP ),

lực:

= P (cN − d).

dN dt dP dt

  (3.1) 

Trong đó: N (t) là mật độ loài mồi tại thời điểm t; P (t) là mật độ loài thú tại

• a là tốc độ tăng trưởng thực của quần thể con mồi khi không có mặt loài thú.

thời điểm t và a, b, c, d là các hằng số dương với:

• d là tỷ lệ chết thực của quần thể loài thú khi không có mặt của con mồi.

• b là tỷ lệ tấn công của loài thú (số lượng con mồi mà một con thú bắt được

• c là tốc độ diệt vong của con mồi khi con thú xuất hiện.

• Mô hình (3.1) được biết đến như là mô hình Lotka - Volterra bởi hai nhà khoa

trong một đơn vị thời gian).

học nghiên cứu độc lập nhau nhưng đều tìm ra được phương trình giống nhau.

Ta có thể dùng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của hệ

= 0 ⇔ N (a − bP ) = 0 ⇔

P =

dN dt

= 0 ⇔ P (cN − d) = 0 ⇔

dP dt

N =

N = 0 a b (cid:34) P = 0 d c

trên (cid:34)

Các trạng thái cân bằng của mô hình là:

(N1, P1) = (0, 0);

(N2, P2) =

(cid:17)

a b

(cid:16)d c

a b

, y = P −

(cid:17) . Xét tính ổn định tại điểm (N2, P2) = (cid:16)d c

d c

a b

y − bxy

Đặt x = N − . Khi đó ta có hệ phương trình rút gọn:

bd c x + cxy

 

dx dt dy dt

= − ac b



Xét phiếm hàm Lyapunov: V (x, y) = cx+by−d ln(d+cx)−a ln(a+by)+d ln d+a ln a.

Trước tiên, ta cần chỉ ra rằng hàm V (x, y) liên tục và xác định dương. Thật vậy:

= c

1 −

= b

∂V ∂x ∂V ∂y

d d + cx a a + by

(cid:16) (cid:17)   (cid:16) (cid:17) 

= 0

Giải hệ phương trình

= 0

 

∂V ∂x ∂V ∂y



ta được điểm dừng của V (x, y) là (x, y) = (0, 0).

A =

, B =

(0, 0) = 0, C =

∂2V ∂x2 (0, 0) =

c2 d

∂2V ∂x∂y

∂2V ∂y2 (0, 0) =

b2 a

Mặt khác tại điểm (x, y) = (0, 0) lại có:

Vì A > 0, AC − B2 > 0 nên hàm V (x, y) liên tục và đạt giá trị cực tiểu bằng 0

˙V (x, y) =

dx dt

dy dt (cid:19) (cid:18)

tại (x, y) = (0, 0). Do đó, hàm V (x, y) xác định dương.

∂V ∂x (cid:18)

−

y − bcy

+ b

1 −

x + cxy

= 0

= c

1 −

∂V ∂y d d + cx

bd c

a a + by

(cid:19) (cid:18) (cid:17)

(cid:19) (cid:16) ac b

a b Nhận xét 1: Ta có thể phân tích mô hình như sau:

Theo định lý Lyapunov về sự ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân thì (cid:19) ổn định. điểm (x, y) = (0, 0) ổn định hay điểm (N2, P2) = (cid:18) d c

u(τ ) =

v(τ ) =

τ = at,

α =

d a

cN (t) d

bP (t) a

Đặt

= u(1 − v)

= αv(u − 1)

Khi đó,

du dτ

dv dτ

(3.2)

= α

dv du

v(u − 1) u(1 − v)

Trong mặt phẳng (u, v) ta có:

= α

(1 − v)dv v

(u − 1)du u

Hệ có điểm kỳ dị là u = v = 0 và u = v = 1. Phương trình (3.2) tương đương:

αu + v − lnuαv = H

Tích phân hai vế ta được không gian quỹ đạo pha:

(3.3)

Quỹ đạo trong mặt phẳng pha được mô tả như trong hình sau:

Hình 3.2: Quỹ đạo đóng (u, v) trên mặt phẳng pha theo công thức (3.3) với các giá trị

H khác nhau như: H1 = 2, 1; H2 = 2.4; H3 = 3.0; H4 = 4. Các mũi tên biểu thị hướng thay đổi khi thời gian τ tăng.

Ta thấy, trạng thái cân bằng bên trong là một điểm tâm, tất cả các đường

cong nghiệm đều là các quỹ đạo đóng xung quanh điểm này. Tuy nhiên, chu kỳ

dao động thực phụ thuộc vào khoảng cách của quỹ đạo đến trạng thái cân bằng.

Nhược điểm chính của mô hình Lotka - Volterra là các nghiệm không có cấu

Hình 3.3: Nghiệm tuần hoàn cho con mồi u(τ ) và con thú v(τ ) của hệ Lotka - Volterra

với α = 1 và điều kiện ban đầu u(0) = 1, 25; v(0) = 0, 66.

trúc ổn định.

Nhìn vào hình vẽ (3.3) ta thấy, ban đầu con mồi nhiều hơn con thú; khi con mồi

tăng thì con thú cũng tăng, con mồi tăng đến giá trị cực đại thì con thú tăng

đến giá trị 1 sau đó con mồi giảm, con thú tiếp tục tăng; con thú tăng đến giá

trị cực đại rồi lại giảm, khi đó con mồi cũng giảm theo; khi con mồi giảm đến

mức thấp nhất thì con mồi lại bắt đầu chu trình tăng còn con thú vẫn giảm và

khi con mồi tăng đến giá trị 1 thì con thú giảm đến mức thấp nhất sau đó lại

bắt đầu chu trình tăng. Cứ như vậy dáng điệu nghiệm của con mồi và con thú

tuân theo quy luật tuần hoàn.

• Xét tính ổn định của trạng thái dừng (u, v) = (0, 0)

Trở lại phương trình (3.2) xét tính ổn định nghiệm của mô hình:

Ta đặt x = u, y = v, giả sử x và y nhiễu loạn nhỏ trong khoảng (0, 0). Nếu chúng

ta chỉ giữ giới hạn tuyến tính, phương trình (3.2) trở thành:

= A

0 0 −α

dx dτ dy dτ

  (cid:19) (cid:19) (cid:18) 1 (3.4)  ≈  (cid:19) (cid:18) x y (cid:18) x y

Nghiệm của phương trình (3.4) có dạng:

= Beλτ

(cid:19)

(cid:18) x(τ ) y(τ )

trong đó B là vector riêng ứng với giá trị riêng λ và λ là nghiệm của phương

|A − λE| =

= 0 ⇒ λ1 = 1, λ2 = −α

1 − λ 0

0 −α − λ

trình đặc trưng

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

λ1 > 0, λ2 < 0 nên (u, v) = (0, 0) là điểm yên ngựa.

• Xét tính ổn định của trạng thái dừng (u, v) = (1, 1)

Do λ1 = 1 > 0 nên (u, v) = (0, 0) là trạng thái không ổn định tuyến tính. Mà

Ta đặt u = x + 1, v = y + 1. Nếu chúng ta chỉ xét giới hạn tuyến tính thì phương

trình (3.2) có dạng

= A

dx dτ dy dτ

  (cid:19) (cid:19) (3.5)  ≈  (cid:18) 0 −1 α 0 (cid:19) (cid:18) x y (cid:18) x y

√

|A − λE| =

= 0 ⇒ λ1, λ2 = ±i

−λ −1 α −λ

Phương trình đặc trưng tương ứng là:

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Như vậy, điểm kỳ dị (u, v) = (1, 1) là điểm tâm ổn định do giá trị riêng là số

thuần ảo. Nghiệm của phương trình (3.5) có dạng:

√

ατ

= Cei

ατ + De−i

(cid:19)

(cid:18) x(τ ) y(τ )

√

Trong đó C, D là các vector riêng. Vì thế, các nghiệm trong lân cận của điểm kỳ

α. Trong hình vẽ (3.3) chu

1 2

dị (u, v) = (1, 1) là tuần hoàn theo τ với chu kỳ 2π/

kỳ tuần hoàn là T = 2π(a/d)

Nhận xét 2: Trong mô hình thú mồi Lotka - Volterra này, ta có thể đưa ra 2

• Tại trạng thái cân bằng, mật độ con mồi hoàn toàn được điều khiển bởi các

dự đoán:

• Dao động về số lượng thú - mồi: Thú tăng - mồi giảm, thú giảm - mồi tăng,

đặc trưng của loài thú;

thú tăng - mồi tăng, thú giảm - mồi giảm là dao động tuần hoàn không phụ

thuộc vào số lượng thú - mồi ban đầu mà với điều kiện N (cid:54)= 0, P (cid:54)= 0 và khác

điểm cân bằng thì quần thể N, P sẽ dao động tuần hoàn theo chu kỳ quanh

trạng thái cân bằng, không có loài nào bị tiêu diệt hoàn toàn hoặc tăng vô hạn.

Nhưng trong tự nhiên một loài nào đó có thể bị tiêu diệt hoàn toàn do vậy

phương trình Lotka - Volterra khá đơn giản, chưa phản ánh chính xác và không

bao quát được hết ý nghĩa của mối quan hệ thú - mồi nhưng vẫn là mô hình có

ý nghĩa lớn.

3.1.2 Mô hình cạnh tranh Lotka - Volterra

Dạng khái quát của mô hình thú - mồi thường được mô tả bởi hệ phương

trình sau đây

(cid:26) ˙x = f (x) − h(x, y) ˙y = g(y) + eh(x, y)

ở đây, dấu (+) hoặc (−) trước hàm h(x, y) biểu thị kết quả tương tác giữa hai

loài thú hoặc mồi (đối với loài thú ta lấy dấu (+) và đối với loài mồi ta lấy dấu

(−)), ta thường chọn h(x, y) = α

xy K

Trong mô hình trên f (x) biểu thị sự phát triển nội tại của loài mồi khi vắng

1x(1 −

x K1

mặt loài thú, ta có thể lấy theo quy luật tăng trưởng logistic f (x) = r∗

còn g(y) là sự phát triển nội tại của loài thú theo quy luật tăng trưởng logistic

g(y) = r∗

2y(1 −

y K2

Sử dụng phương pháp đổi biến một cách thích hợp ta thu được mô hình cạnh

tranh hai loài Lotka - Volterra có dạng như sau:

1 −

= r1N1

− b12

1 −

= r2N2

− b21

dN1 dt dN2 dt

N1 K1 N2 K2

N2 K1 N1 K2

(cid:16) (cid:17)   (3.6) (cid:16) (cid:17) 

• r1, r2, K1, K2, b12, b21 là các hằng số dương;

• N1, N2 lần lượt là mật độ của loài 1 và loài 2. K1, K2 lần lượt là sức chứa

trong đó

• b12 là sự giảm tốc độ tăng trưởng loài 1 gây ra bởi một cá thể loài 2;

• b21 là sự giảm tốc độ tăng trưởng loài 2 gây ra bởi một cá thể loài 1.

của môi trường đối với loài 1 và loài 2;

Để phân tích mô hình cạnh tranh Lotka - Volterra rõ hơn ta đặt:

, u2 =

, τ = r1t, ρ =

, a12 = b21

, a21 = b21

u1 =

r2 r1

K2 K1

K1 K2

N1 K1

N2 K2

(3.7)

= u1(1 − u1 − a12u2) = f1(u1, u2)

Khi đó hệ (3.6) trở thành

= ρu2(1 − u2 − a21u1) = f2(u1, u2)

du1 dτ du2 dτ

  (3.8) 

1, u∗

2 là nghiệm

Các trạng thái dừng hay các điểm kỳ dị trên mặt phẳng pha u∗

2 = 1;

1 = 0, u∗

1 = 1, u∗

2 = 0; u∗

1 = 0, u∗ u∗

, u∗

u∗ 1 =

2 =

1 − a12 1 − a12a21

2 = 0; u∗ 1 − a21 1 − a12a21

của phương trình f1(u1, u2) = f2(u1, u2) = 0. Từ hệ (3.8) suy ra

Tại 3 trạng thái dừng đầu có ít nhất một trong hai loài bị tiêu diệt. Trạng thái

1 > 0, u∗

2 > 0 và a12a21 (cid:54)= 1, thì tại trạng thái cân bằng cả

dừng cuối cùng nếu u∗

hai loài cùng tồn tại và được gọi là trạng thái cân bằng bên trong. Tập hợp các

điểm u1, u2 làm cho f1 = 0 và f2 = 0 trên mặt phẳng pha được mô tả như trong

hình vẽ (3.4).

Hình 3.4: Mô hình cạnh tranh giữa hai loài

1 − u1 − a12u2 = 0, 1 − u2 − a21u1 = 0

Điều quan trọng của tập hợp các điểm này là chúng nằm trên các đường thẳng

1 a12

Đường thẳng 1 − u1 − a12u2 = 0 đi qua điểm (1, 0) và giao với trục u2 tại điểm (cid:16) (cid:17) ;

, 0

(cid:17) . Đường thẳng 1 − u2 − a21u1 = 0 đi qua điểm (0, 1) và giao với trục u1 tại điểm (cid:16) 1 a21 Sự ổn định của các trạng thái dừng được xác định bởi ma trận Jacobian sau:

A =

−a12u1 ρ(1 − 2u2 − a21u1)

u∗ 1,u∗ 2

∂f1 ∂u1 ∂f2 ∂u1

∂f1 ∂u2 ∂f2 ∂u2

u∗ 1,u∗ 2

  (cid:19) (3.9)     (cid:18) 1 − 2u1 − a12u2 −ρa21u2

1, u∗

2) = (0, 0). Phương trình đặc trưng

*) Trạng thái dừng đầu tiên của (3.9) là (u∗

|A − λE| =

tương ứng là:

= 0 ⇒ λ1 = 1, λ2 = ρ

1 − λ 0

0 ρ − λ

(3.10) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

1, u∗

2) = (0, 0) là không

Vì các giá trị riêng λ1, λ2 đều dương nên trạng thái dừng (u∗

ổn định.

1, u∗

2) = (1, 0). Phương trình đặc trưng

*) Trạng thái dừng thứ hai của (3.9) là (u∗

|A − λE| =

= 0 ⇒ λ1 = −1, λ2 = ρ(1 − a21)

−1 − λ 0

−a12 ρ(1 − a21) − λ

tương ứng là:

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

1 = 1, u∗ u∗

2 = 0 là

và do đó (cid:26) ổn định (3.11) nếu a21 > 1 không ổn định nếu a21 < 1

1, u∗

2) = (0, 1). Tương tự ta có giá trị

*) Trạng thái dừng thứ ba của (3.9) là (u∗

riêng trong trường hợp này là λ1 = −ρ, λ2 = (1 − a12). Và do đó,

u∗ 1 = 0, u∗

2 = 1 là

(cid:26) ổn định (3.12) nếu a12 > 1 không ổn định nếu a12 < 1

1, u∗

2) =

1 − a12a21

1 − a21 1 − a12a21

(cid:17) (cid:16) 1 − a12 . *) Trạng thái dừng thứ tư của (3.9) là (u∗

Ma trận A trong (3.9) có thể viết lại dưới dạng

A = (1 − a12a21)−1

a12 − 1 ρa21(a21 − 1)

a12(a12 − 1) ρ(a21 − 1)

(cid:19) (cid:18)

λ1, λ2 = [2(1 − a12a21)]−1[a12 − 1 + ρ(a21 − 1)

và có giá trị riêng tương ứng là

1 2 ]

± [[a12 − 1 − ρ(a21 − 1)]2 + 4ρa12a21(a12 − 1)(a21 − 1)]

(3.13)

Tính ổn định của trạng thái dừng phụ thuộc vào giá trị ρ, a12 và a21. Các trường

a12 < 1, a21 < 1; a12 > 1, a21 > 1; a12 < 1, a21 > 1; a12 > 1, a21 < 1.

hợp khác nhau là:

Các kết quả được mô tả trong hình (3.5).

4 trường hợp có thể xảy ra:

Từ các lý luận (3.10), (3.11), (3.12) kết hợp với kết quả trong hình (3.5) ta có

Trường hợp 1: a12 < 1, a21 < 1

Hình 3.5: Dạng biểu đồ quỹ đạo pha tiến gần trạng thái ổn định của mô hình cạnh

1, u∗

1 = 1, u∗

tranh: a) a12 < 1, a21 < 1 chỉ trạng thái dừng S là ổn định và các quỹ đạo có xu hướng tiến gần về nó. b) a12 > 1, a21 > 1 ở đây, (1, 0) và (0, 1) là trạng thái dừng ổn định, mỗi điểm đó có một miền hút bởi một đường tách mà đi qua (u∗ 2). (c) a12 < 1, a21 > 1 chỉ có một trạng thái ổn định tồn tại u∗ 2 = 0. (d) a12 > 1, a21 < 1 trạng thái ổn định duy nhất là u∗

1 = 0, u∗

2 = 1.

• (0, 0) là trạng thái cân bằng không ổn định.

• (1, 0) là trạng thái cân bằng không ổn định.

• (0, 1) là trạng thái cân bằng không ổn định.

•

1 − a12a21

1 − a21 1 − a12a21

(cid:17) (cid:16) 1 − a12 là trạng thái cân bằng ổn định. Tại trạng thái cân

bằng, cả hai loài cùng tồn tại nhưng hiệu suất cạnh tranh với nhau kém hơn so

với sự cạnh tranh trong nội bộ loài, do đó số lượng của cả hai loài đều dưới mức

giới hạn của chúng.

• (0, 0) là trạng thái cân bằng không ổn định.

• (1, 0) là trạng thái cân bằng ổn định.

Trường hợp 2: a12 > 1, a21 > 1

•

• (0, 1) là trạng thái cân bằng ổn định. 1 − a21 1 − a12a21

1 − a12a21

(cid:17) (cid:16) 1 − a12 là trạng thái cân bằng không ổn định.

• (0, 0) là trạng thái cân bằng không ổn định.

• (1, 0) là trạng thái cân bằng ổn định.

• (0, 1) là trạng thái cân bằng không ổn định.

Trường hợp 3: a12 < 1, a21 > 1

Ta thấy tại lân cận trạng thái cân bằng (1, 0) quỹ đạo có xu hướng tiến về

nó. Loài 1 chiếm ưu thế và có thể đạt đến số lượng cực đại K1 do u = 1, còn loài

2 sẽ bị diệt vong.

• (0, 0) là trạng thái cân bằng không ổn định.

• (1, 0) là trạng thái cân bằng không ổn định.

• (0, 1) là trạng thái cân bằng ổn định.

Trường hợp 4: a12 > 1, a21 < 1

Trường hợp này ngược với trường hợp trên, tức là loài 2 sẽ chiến thắng trong

cuộc cạnh tranh và đạt đến số lượng K2 (do u2 = 1), còn loài 1 sẽ bị diệt vong.

3.1.3 Mô hình cộng sinh Lotka-Volterra

Trong thực tế có nhiều loài không thể tồn tại độc lập được mà cần phải có

sự tương tác với nhau. Tương tác này không chỉ giúp thúc đẩy quá trình phát

triển mà còn duy trì sự tồn tại của các loài và đó được gọi là quan hệ cộng sinh.

= f (x) + α∗

Mô hình cộng sinh đơn giản nhất dạng Lotka - Volterra thường có dạng:

1xy

= g(y) + α∗

 

2xy

dx dt dy dt



1, α∗

2 là các hằng số dương. Khi một trong hai loài không xuất hiện

trong đó α∗

) và g(y) = r∗

1x(1 −

2y(1 −

x K1

y K2

thì loài còn lại tăng trưởng logistic: f (x) = r∗

Sử dụng phương pháp đổi biến một cách thích hợp ta có mô hình cộng sinh

của hai loài như sau:

1 −

= r1N1

+ b12

1 −

= r2N2

+ b21

dN1 dt dN2 dt

N1 K1 N2 K2

N2 N1 N1 N2

(cid:16) (cid:17)   (3.14) (cid:16) (cid:17) 

• N1, N2 lần lượt là mật độ của loài 1 và loài 2;

• K1, K2 lần lượt là sức chứa của môi trường đối với loài 1 và loài 2;

• b12N2 là ảnh hưởng của loài 2 lên loài 1 (dấu + biểu hiện loài 2 làm tăng số

trong đó:

• b21N1 là ảnh hưởng của loài 1 lên loài 2 (dấu + biểu hiện loài 1 làm tăng số

lượng của loài 1);

• r1, r2, K1, K2, b12, b21 đều là các hằng số dương.

lượng của loài 2);

, u2 =

, τ = r1t,

u1 =

N2 K2

Đặt

ρ =

, a12 = b12

, a21 = b21

N1 K1 r2 r1

K2 K1

K1 K2

(3.15)

= u1(1 − u1 + a12u2) = f1(u1, u2)

Khi đó hệ (3.14) trở thành:

= ρu2(1 − u2 + a21u1) = f2(u1, u2)

du1 dτ du2 dτ

  (3.16) 

1, u∗

2 là nghiệm

Các trạng thái dừng hay các điểm kỳ dị trên mặt phẳng pha u∗

1 = 0, u∗ u∗

2 = 0; u∗

1 = 1, u∗

2 = 0; u∗

1 = 0, u∗

2 = 1;

của phương trình f1(u1, u2) = f2(u1, u2) = 0. Từ hệ (3.16) ta suy ra:

, u∗

u∗ 1 =

2 =

1 + a12 1 − a12a21

1 + a21 1 − a12a21

(3.17)

Sự ổn định của các trạng thái dừng được xác định bởi ma trận Jacobian sau:

A =

a12u1 ρ(1 − 2u2 + a21u1)

1,u∗ u∗ 2

∂f1 ∂u1 ∂f2 ∂u1

∂f1 ∂u2 ∂f2 ∂u2

1,u∗ u∗ 2

  (cid:19) (3.18)     (cid:18) 1 − 2u1 + a12u2 ρa21u2

Tính toán ta được:

2) = (0, 0) là điểm nút không ổn định.

*) Trạng thái dừng đầu tiên (u∗

2) = (1, 0) là điểm yên ngựa không ổn định.

*) Trạng thái dừng thứ hai (u∗

*) Trạng thái dừng thứ ba (u∗

2) =

1, u∗ 1, u∗ 1, u∗ 1, u∗

2) = (0, 1) là điểm yên ngựa không ổn định. 1 + a21 1 − a12a21

1 − a12a21

(cid:17) (cid:16) 1 + a12 . Ma trận A trong *) Trạng thái dừng thứ tư (u∗

(3.9) có thể viết lại đưới dạng

A = (1 − a12a21)−1

a12(1 + a12) ρa21(1 + a21) −ρ(1 + a21)

(cid:19) (cid:18) −1 − a12

λ1, λ2 = [2(1 − a12a21)]−1[−(1 + a12 + ρ(a21 + 1))

và có giá trị riêng tương ứng là

1 2 ]

± [[1 + a12 − ρ(1 + a21)]2 + 4ρa12a21(a12 + 1)(a21 + 1)]

(3.19)

1 < 0, u∗

2 < 0 không thỏa mãn.

Nếu a12a21 > 1 thì u∗

Nếu a12a21 < 1 thì λ1 < 0, λ2 < 0 trạng thái dừng là điểm nút ổn định.

Hình 3.6: Quỹ đạo pha cho mô hình cộng sinh của hai loài a) a12a21 > 1 xuất hiện tăng trưởng không bị chặn với u1 → ∞, u2 → ∞. b) a12a21 < 1 tất cả quỹ đạo tiến tới trạng thái ổn định S với u∗

1 > 1, u∗

2 > 1

Các trường hợp có thể mô tả bằng hình (3.6)

1, u∗

2) = (0, 0), (u∗

1, u∗

2) =

(1, 0), (u∗

1, u∗

2) = (0, 1) và do đó mật độ của quần thể trở thành không bị chặn.

Nếu 1−a12a21 < 0 thì có ba trạng thái dừng là ba điểm (u∗

f2(u1, u2) = 0 trên mặt phẳng pha và quỹ đạo di chuyển ra vô cùng trong một

Chúng ta có thể thấy điều này bằng cách vẽ các điểm làm cho f1(u1, u2) =

miền xác định, u1 → ∞, u2 → ∞ như trong hình (3.6a).

1, u∗

2) =

(0, 0), (u∗

1, u∗

2) = (1, 0), (u∗

1, u∗

2) = (0, 1) không ổn định, và một điểm nút kỳ dị ổn

Nếu 1 − a12a21 > 0 thì có bốn trạng thái dừng trong đó có 3 điểm (u∗

0. Trường hợp này được mô tả trong hình (3.6b). Trên mặt phẳng pha ta có thể

định là giao điểm của đường thẳng 1−u1+a12u2 = 0 và đường thẳng 1−u2+a21u1 =

1 > 1, u∗

2 > 1 tức nghĩa là N1 > K1, N2 > K2, mỗi

thấy trạng thái ổn định có u∗

loài đã tăng trưởng đến trạng thái dừng ổn định.

3.1.4 Mô hình Lotka-Volterra cho ba loài

Ta sẽ nghiên cứu mô hình Lotka-Volterra bao gồm hơn hai loài sống đan xen

nhau. Trường hợp đơn giản nhất là có một loài mồi, một loài thú ăn mồi và một

loài thú dữ (là loài ăn thịt loài thú ăn mồi). Xét mô hình Lotka-Volterra với các

˙x = x(r − ay)

hàm tương ứng:

˙y = y(−m + bx − cz) ˙z = sz(1 − z

 

K ) + dyz.



trong đó x(t), y(t), z(t) là mật độ tương ứng của loài mồi, loài thú và loài thú dữ,

phụ thuộc vào thời gian t . Mô hình này sẽ trở về đồng nhất với mô hình Lotka

- Volterra cổ điển gồm một loài mồi và chỉ một loài thú bằng cách hợp nhất các

loài thú thành một chủng loại: ăn thú.Chỉ số m là tỉ lệ chết của loài thú dữ. Chỉ

số s là tỉ lệ tăng của loài thú dữ. Ta đưa ra giả thiết rằng loài thú dữ tuân theo

luật tăng trưởng với khả năng giới hạn K. Tham số c và d là các hằng số dương.

u = x,

v = y,

w =

z K

Đặt

và đưa ra một sự thay đổi tỉ lệ theo thời gian như sau: τ = st.

  Từ đó ta đi đến mô hình mới dưới dạng:

du dτ = u(ρ − αv) dv dτ = v(−µ + βu − γw) dw dτ = w(1 − w) + δvw.



ρ =

, α =

, µ =

, β =

, γ =

, δ =

a s

m s

b s

cK s

d s

r s

trong đó các tham số cũ và mới liên hệ với nhau bởi các hệ thức:

Bây giờ ta sẽ xác định các vị trí cân bằng của hệ phương trình đang xét thỏa

u(ρ − αv) = 0

mãn các điều kiện sau:

v(−µ + βu − γw) = 0

w(1 − w) + δvw = 0.

 



Ngoài gốc tọa độ là vị trí cân bằng thì còn tồn tại một vị trí cân bằng không

tầm thường nữa trên góc phần tám dương của không gian là (u∗, v∗, w∗) với:

1 +

v∗ =

u∗ =

w∗ = 1 +

µ β

δρ α

γ β

ρ α

δρ α

(cid:18) (cid:19)

Để nghiên cứu tính ổn định của điểm cân bằng này, chúng ta xác định ma trận

Jacobi tại điểm cân bằng:

A∗ =

 

ρ − αv∗ βv∗ 0

−αu∗ −µ + βu∗ − γw∗ δw∗

0 −γv∗ 1 − 2w∗ + δv∗

 

Ma trận Jacobi này ở dạng đơn giản hơn là:

A∗ =

 

0 −αu∗ βv∗ 0

0 −γv∗ 0 δw∗ −w∗

 

det(A∗ − λI) = 0

Các giá trị riêng là nghiệm của phương trình đặc trưng

λ3 + w∗λ2 + (αβu∗v∗ − αδv∗w∗)λ + αβu∗v∗w∗ = 0.

sẽ thỏa mãn phương trình bậc ba (dạng đa thức):

a1 = w∗,

a2 = αβu∗v∗ + αδv∗w∗,

a3 = αβu∗v∗w∗.

Như vậy, các tham số của định thức Routh-Hurwitz là như sau:

tất cả các tham số khác đều bằng không.

H1 = a1 > 0,

H2 = a1a2 − a3 > 0,

H3 = a3 > 0.

Trong không gian ba chiều, điều kiện Routh - Hurwitz sẽ như sau:

Do các tọa độ của vị trí cân bằng đều là dương nên H1, H3 hiển nhiên là thỏa

mãn.

H2 = a1a2 − a3 = w∗(αβu∗v∗ + αδv∗w∗) − αβu∗v∗w∗

= αβu∗v∗w∗ + αδv∗(w∗)2 − αβu∗v∗w∗ = αδu∗(w∗)2 > 0.

Kiểm tra điều kiện thứ hai, ta có:

như vậy nó hoàn toàn thỏa mãn. Điểm cân bằng không tầm thường (u∗, v∗, w∗)

là ổn định tiệm cận địa phương.

3.1.5 Một số nhận xét chung về các mô hình quần thể đa loài

Hiện tượng loài thú và loài mồi có xu hướng dao động một cách có chu kỳ

được quan sát hơn một thế kỷ qua. Công ty Hudson Bay, buôn bán lông thú

cở Canada đã giữ số liệu từ năm 1845 - 1935, trong đó, dao động số lượng của

quần thể thời gian của mỗi chu kỳ là khoảng 10 năm hình (3.7) .

Mô hình thú mồi đơn giản chỉ có 2 loài nhưng nếu có nhiều loài thì tính ổn

định và sự phức tạp sẽ như thế nào? Để trả lời câu hỏi trên chúng ta xét mô

hình tổng quát cho thú mồi Lotla - Volterra có k loài mồi và k loài thú, nhưng

tốc độ tăng số lượng con mồi trên số lượng con thú theo những mức độ khác

nhau.

Xét phương trình tổng quát:

= Ni

j=1 bijPj

ai − (cid:80)k (cid:104)(cid:80)k

= Pi

j=1 cijNj − di

dN1 dt dN2 dt

(cid:104) (cid:105)   (3.20) (cid:105) , i = 1, 2, ..., k 

Hình 3.7: Quần thể linh miêu và thỏ rừng ở Canada

trong đó ai, bij, cij, dj là các hằng số dương.

Trạng thái dừng Ni = Pi = 0 là trạng thái dừng tầm thường với mọi i = 1, ..., k

và ma trận tổng quát là ma trận đường chéo

 

A =

−d1

. . .

−dk

. . .                  

Do đó, có 2k giá trị riêng λi = ai > 0, λk+1 = −di < 0, i = 1, ..., k

Vì thế trạng thái ổn định này là không ổn định với mọi λi > 0, i = 1, .., k.

bijP ∗

j = ai

∀i = 1, ..., k

cijN ∗

j = di

Trạng thái dừng không tầm thường (N ∗, P ∗) là nghiệm của hệ

k (cid:80) j=1 k (cid:80) j=1

  

bP ∗ = a, cN ∗ = d

Đặt

(3.21)

trong đó a, d, N ∗, P ∗ là những vector cột.

= N T [a − BP ];

= P T [CN − d]

dN dt

dP dt

Phương trình (3.20) được viết lại như sau:

B và C là những ma trận vuông cấp k x k : B = (bij), C = (cij).

N = N ∗ + u, P = P ∗ + v

với N T , P T lần lượt là ma trận chuyển vị của N, P .

Với N ∗, P ∗ từ (3.21) ta đặt:

≈ −N ∗T Bv,

≈ P ∗T .Cu

du dt

dv dt

trong đó |u|, |v| xấp xỉ với |N ∗|, |P ∗|. Ta có

, A =

P ∗T .C

−N ∗T .B 0

du dt dv dt

A là ma trận tổng quát cấp 2k × 2k với các giá trị nằm trên đường chéo chính

Từ đó   (cid:19) (cid:17) (cid:18) 0 (3.22)  ≈ A  (cid:16) u v

bằng 0. Khi đó, các giá trị riêng λi, i = 1, 2, ..., 2k là nghiệm của |A − λ.E| = 0

λi = T rA = 0 trong đó T rA là vết của ma trận A.

2k (cid:80) i=1

sao cho

Nếu tất cả Reλi = 0 thì trạng thái dừng (N ∗, P ∗) là ổn định như trường hợp hai

loài.

Nếu các Reλi có λi (cid:54)= 0 thì chúng sẽ có phức liên hợp , có nghĩa tồn tại ít nhất

một Reλi > 0 và do đó (N ∗, P ∗) không ổn định.

Đây là mô hình tổng quát, mở rộng cho k loài thú và k loài mồi. Mô hình dạng

trên được gọi là mô hình Kolmogorov. Tuy không mang tính thực tế cao nhưng

chúng cho ta thấy kết quả khá chung và quan trọng là sự phức tạp thường có

kết quả không ổn định hơn là sự ổn định.

3.2 Mô hình Lotka-Volterra có chậm

Trong phần này chúng ta xét mô hình cạnh tranh Lotka-Volterra có chậm.

Xét mô hình cạnh tranh Lotka-Volterra có chậm cho bởi hệ sau:

˙x(t) = x(t) [b1 − a11x(t − τ11) − a12y(t − τ12)]

(cid:40)

˙y(t) = y(t) [b2 − a21x(t − τ21) − a22y(t − τ22)]

(3.23)

x(t) = Φ1(t) ≥ 0

t ∈ [τ, 0], Φ1(0) > 0,

với điều kiện ban đầu

y(t) = Φ2(t) ≥ 0

t ∈ [τ, 0], Φ2(0) > 0,

  (3.24)

τ = max {τij} .



trong đó x(t), y(t) là mật độ của hai loài tại thời điểm t, các bi và aij là những

hằng số dương, τij không âm.

Nếu tất cả các thời gian chậm τij đều bằng không thì hệ (3.23) sẽ trở về trường

˙x(t) = x(t) [b1 − a11x(t) − a12y(t)]

hợp đơn giản (cid:40)

˙y(t) = y(t) [b2 − a21x(t) − a22y(t)]

(3.25)

Nếu

a12 a22

a11 a21

b1 b2 thì trong tất cả nghiệm Z(t) = (x(t), y(t)) của (3.25) sẽ có điểm cân bằng Z∗ =

(x∗, y∗) khi t → +∞, trong đó

y∗ =

x∗ =

(3.26)

b1a22 − b2a12 a11a22 − a21a12

b2a11 − b1a21 a11a22 − a21a12

(3.27)

3.2.1 Tính ổn định tiệm cận địa phương

Ta thấy từ điều kiện (3.26), hệ (3.23) có điểm cân bằng Z∗ = (x∗, y∗), với x∗, y∗

được xác định như trong (3.27).

u(t) = x(t) − x∗,

v(t) = y(t) − y∗

Đặt

Khi đó (u(t), v(t)) thỏa mãn hệ phương trình

(cid:40)

˙u(t) = (u(t) + x∗) [−a11u(t − τ11) − a12v(t − τ12)] ˙v(t) = (v(t) + y∗) [−a21u(t − τ21) − a22v(t − τ22)]

(3.28)

Ta thấy (3.29) là biến thiên của (3.23) với điểm cân bằng Z∗ = (x∗, y∗) một hệ

phương trình tuyến tính

(cid:40)

˙u(t) = −a11x∗u(t − τ11) − a12x∗v(t − τ12) ˙v(t) = −a21y∗u(t − τ21) − a22y∗v(t − τ22)

(3.29)

p11 = a11(2a11τ11 + a12τ12 + a12τ11),

p12 = a12(2a12τ12 + a11τ11 + a11τ12)

p21 = a21(2a21τ21 + a22τ22 + a22τ21),

p22 = a22(2a22τ22 + a21τ21 + a21τ22)

q1 = a11a21(τ11 + τ21) +

a11a22(τ11 + τ22) +

a12a21(τ12 + τ21)

a11a22(τ11 + τ22) +

a12a21(τ12 + τ21)

1 2 1 2

α =

β =

γ =

q2 = a12a22(τ12 + τ22) + a2 22 + a2 21 a11a22 + a12a21

2(a12y∗α + a21x∗β) a11x∗ + a22y∗

r2 =

∆ = a11a22 − a21a12,

r1 =

a2 11 + a2 12 a11a22 + a12a21 2(x∗ + y∗α)∆ x∗(a11x∗ + a22y∗)

2(y∗ + x∗β)∆ y∗(a11x∗ + a22y∗)

Đặt

Định lý 3.2.1. Với giả thiết (3.26). Nếu các biến chậm τij thỏa mãn

αp11 + βp21 + γq1 < r1

(cid:40)

αp12 + βp22 + γq2 < r2

(3.30)

thì điểm cân bằng Z∗ = (x∗, y∗) của hệ (3.23) là ổn định tiệm cận địa phương.

Chứng minh. Hệ phương trình (3.29) có thể viết dưới dạng sau

v(s)ds

= −a11u(t) − a12v(t)

u(s)ds − a12

x∗ − a11

v(s)ds

u(s)ds − a22

= −a21u(t) − a22v(t).

y∗ − a21

(cid:17)(cid:48) (cid:16) u(t)   (cid:82) t t−τ12 (cid:82) t t−τ11 (3.31) (cid:17)(cid:48) (cid:16) v(t)  (cid:82) t t−τ21 (cid:82) t t−τ22

v(s)ds

A(t) =

u(s)ds − a12

u(t) x∗ − a11

t−τ12

t−τ11

Đặt (cid:90) t (cid:90) t

v(s)ds

B(t) =

u(s)ds − a22

v(t) y∗ − a21

t−τ22

t−τ21 Chúng ta sẽ chứng minh định lý bằng việc sử dụng phiếm hàm Lyapunov:

(cid:90) t (cid:90) t

W (t) = αW1(Z)(t) + βW2(Z)(t) + γW3(Z)(t).

(3.32)

W1(t) = W11(Z)(t) + W12(Z)(t)

W2(t) = W21(Z)(t) + W22(Z)(t)

W3(t) = W31(Z)(t) + W32(Z)(t)

trong đó

với các Wij(Z)(t) được xác định như trong phần dưới đây: Đầu tiên ta xét hàm

vô hướng W11(Z)(t), trong đó Z(t) = (u(t), v(t)).

W11(Z)(t) = A2(t)

(3.33)

dW11(Z)(t) dt

Đạo hàm dọc theo nghiệm của (3.31): dW11(Z)(t)/dt được cho bởi

= −2(a11u + a12v)A(t) = − (cid:18)

2a12 x∗ uv + 2(a11u + a12v) (cid:90) t

2a11 x∗ u2 − (cid:90) t

v(s)ds

u(s)ds + a12

a11

t−τ12

t−τ11

(cid:19)

Sử dụng bất đẳng thức ab ≤ 1

2 (a2 + b2), ta có (cid:90) t

u2(t)ds

2a2

11u(t)

u(s)ds = 2a2 11

u(t)u(s)ds ≤ a2 11

t−τ11

(cid:21) (cid:90) t (cid:90) t (cid:20) u2(t)τ11 +

≤ −

dW11(Z)(t) dt

2a11 x∗ u2 − (cid:90) t

2a12 x∗ uv + a11τ11(a11u2 + a12v2) + a12τ12(a11u2 + a12v2) (cid:90) t

v2(s)ds.

Làm tương tự như vậy, ta thu được

+a11(a11 + a12)

u2(s)ds + a12(a11 + a12)

t−τ11

t−τ12

(3.34)

Tiếp theo ta đặt

v2(l)dlds

W12(Z)(t) = (a11 + a12)

a11

u2(l)dlds + a12

t−τ11

t−τ12

(cid:21) (cid:20) (cid:90) t (cid:90) t (cid:90) t (cid:90) t

= a11(a11 + a22)

dW12(Z)(t) dt

t−τ11

khi đó (cid:90) t (cid:21) u2(s)ds (cid:20) τ11u2(t) −

+a12(a11 + a22)

t−τ12

(cid:90) t (cid:21) v2(s)ds (3.35) (cid:20) τ12v2(t) −

Như định nghĩa W1(t) = W11(Z)(t) + W12(Z)(t). Do đó, từ (3.34) và (3.35) ta có

≤ −

u2 −

dW1(t) dt

x∗ − p11

2a12 x∗ uv + p12v2.

(cid:17) (cid:16) 2a11 (3.36)

Tiếp theo, đặt

W21(Z)(t) = B2(t),

(3.37)

≤ −

dW21(Z)(t) dt

2a22 y∗ v2 − (cid:90) t

2a21 y∗ uv + a21τ21(a21u2 + a22v2) + a22τ22(a21u2 + a22v2) (cid:90) t

v2(s)ds.

Làm tương tự như trên ta có:

+a21(a21 + a22)

u2(s)ds + a22(a21 + a22)

t−τ21

t−τ22

(3.38)

W22(Z)(t) = (a22 + a21)

a22

v2(l)dlds + a21

t−τ22

t−τ21

(cid:20) (cid:90) t (cid:90) t (cid:90) t (cid:90) t (cid:21) u2(l)dlds (3.39)

≤ −

v2 −

dW2(t) dt

y∗ − p22

2a21 y∗ uv + p21u2.

Và (cid:19) (cid:18)2a22 (3.40)

Và cuối cùng ta lấy

W31(Z)(t) = −A(t)B(t),

(3.41)

Khi đó

dW31(Z)(t) dt

a21 x∗ u2 +

a11 y∗

a12 y∗ v2 + (cid:18)

(cid:19) (cid:18)a22

x∗ + (cid:90) t

v(s)ds

− (a11u + a12v)

a21

u(s)ds + a22

t−τ21

t−τ22

(cid:19) (cid:90) t

v(s)ds

u(s)ds + a12

− (a21u + a22v)

a11

t−τ12

t−τ11

(cid:19) (cid:18) (cid:90) t (cid:90) t

≤

a12 y∗ v2 +

x∗ +

a11 y∗

a21 x∗ u2 + 1 (cid:2)(a11u2 + a12v2)(a21τ21 + a22τ22)(cid:3) 2

(cid:19) (cid:18)a22

v2(s)ds

(a11 + a12)

a21

u2(s)ds + a22

t−τ22

t−τ21

(cid:20) (cid:18) (cid:19)(cid:21) (cid:90) t (cid:90) t

v2(s)ds

(a21 + a22)

a11

u2(s)ds + a12

1 2 1 2 1 2

t−τ11

t−τ12

(cid:2)(a21u2 + a22v2)(a11τ11 + a12τ12)(cid:3) (cid:20) (cid:18) (cid:19)(cid:21) (cid:90) t (cid:90) t

với

v2(l)dlds

(a11 + a12)

a21

u2(l)dlds + a22

W32(Z)(t) =

1 2

t−τ22

t−τ21

(cid:19) (cid:18) (cid:90) t (cid:90) t (cid:90) t (cid:90) t

s (cid:90) t

v2(l)dlds

(a21 + a22)

a11

u2(l)dlds + a12

1 2

t−τ12

t−τ11

(cid:19) (cid:18) (cid:90) t (cid:90) t

≤

u2 +

v2 +

uv.

dW3(t) dt

x∗ + q1

y∗ + q2

x∗ +

a11 y∗

(cid:19) (cid:19) (cid:17) (cid:16)a21 Từ W3(t) = W31(Z)(t) + W32(Z)(t), tương tự như phần trước ta suy ra (cid:18)a12 (cid:18)a22 (3.42)

W (t) = αA2(t)+βB2(t)−γA(t)B(t)+αW12(Z)(t)+βW22(Z)(t)+γW32(Z)(t) (3.43)

Từ các biểu thức của W1(t), W2(t), W3(t) và W (t), ta có:

γ2 − 4αβ =

4∆ (cid:8)(a12a21 + a11a22)[(a2

21)y∗ + (a2

11 + a2

22 + a2

21)(a2

11 + a2

12)x∗y∗(cid:9)

−

12)x∗] + 2(a2 22 + a2 (a11x∗ + a22y∗)2(a11a22 + a12a21)2

< 0

Dễ thấy

αA2(t) + βB2(t) − γA(t)B(t) > 0.

Do đó, ta có

Kết hợp (3.43), ta có W (t) > 0.

Từ (3.32), kết hợp với (3.36), (3.40) và (3.42) ta có:

≤ −η1u2 − η2v2,

dW (t) dt

(3.44)

η1 = r1 − αp11 − βp21 − γq1

η2 = r2 − αp12 − βp22 − γq2

trong đó

Từ bất đẳng thức (3.30) ta thấy rằng η1 > 0, η2 > 0. Đặt η = min {η1, η2}, khi đó

từ (3.30) ta suy ra

W (t) + η

[u2(s) + v2(s)]ds ≤ W (T ) với t ≥ T.

(cid:90) t (3.45)

và u2(t) + v2(t) ∈ L1[T, ∞). Dễ thấy rằng từ (3.29) và tính bị chặn của Z(t), ta có

thể suy ra

lim t→∞

(cid:2)u2(t) + v2(t)(cid:3) = 0

do đó nghiệm tầm thường của hệ (3.29) là ổn định tiệm cận địa phương.

3.2.2 Tính ổn định tiệm cận toàn cục

Để chứng minh sự ổn định toàn cục của sự cân bằng của hệ (3.23), ta sẽ xây

dựng một phiếm hàm Lyapunov thích hợp. Trước tiên, ta xét bổ đề sau

(3.24). Khi đó (x(t), y(t)) thỏa mãn đánh giá sau

Bổ đề 3.2.1. Gọi (x(t), y(t)) là nghiệm bất kỳ của (3.23) với điều kiện ban đầu

0 < x(t) ≤ M1,

0 < y(t) ≤ M2

(3.46)

với t đủ lớn, trong đó

eb1τ11,

eb2τ22

M1 =

M2 =

(cid:19) (cid:19) (3.47) (cid:18) b1 a11 (cid:18) b2 a22

Bổ đề 3.2.2. Với điều kiện (3.26) thì hệ (3.23) là ổn định đều.

Sau đây ta đưa ra điều kiện ổn định toàn cục tại Z∗ của hệ (3.23):

Định lý 3.2.2. Giả sử có (3.26). Nếu

aiiτiiMi < 1(i = 1, 2) và A11A22 − A12A21 > 0,

(3.48)

A11 = a11(1 − a11τ11M1),

A12 = −a12(1 + a11τ11M1),

trong đó

A21 = −a21(1 + a22τ22M2),

A22 = a22(1 − a22τ22M2)

(3.49)

trong đó Mi được cho bởi (3.47). Khi đó điểm cân bằng (x∗, y∗) của (3.23) là ổn

định tiệm cận toàn cục.

Chứng minh. Gọi Z(t) = (x(t), y(t)) là nghiệm bất kỳ của hệ (3.23) thỏa mãn

điều kiện ban đầu (3.24).

v(t) = ln

u(t) = ln

Đặt

x(t) x∗ ,

y(t) y∗ .

(3.50)

Khi đó từ (3.23) và (3.50) ta có

(cid:48) u

− a12y∗ (cid:104)

(t) = −a11x∗ (cid:104)

(cid:48)

(cid:105) ev(t−τ12) − 1 (cid:105) eu(t−τ11) − 1 (3.51)

− a22y∗ (cid:104)

(t) = −a21x∗ (cid:104)

(cid:105) ev(t−τ22) − 1 (cid:105) eu(t−τ21) − 1 (3.52)

Phương trình (3.51) và (3.52) có thể viết như sau:

(cid:48) u

− a12y∗ (cid:104)

(t) = −a11x∗ (cid:104)

(cid:105) ev(t−τ12) − 1 (cid:105) eu(t) − 1

ds,

eu(s) (cid:104)

−a11x∗(eu(s−τ11) − 1) − a12y∗(ev(s−τ12) − 1)

+a11x∗

t−τ11

(cid:48)

(cid:90) t (cid:105) (3.53)

− a22y∗ (cid:104)

(t) = −a21x∗ (cid:104) (cid:90) t

ev(s) (cid:104)

ds.

(cid:105) ev(t) − 1 (cid:105) eu(t−τ21) − 1

+a22y∗

t−τ22

(3.54) (cid:105) −a21x∗(eu(t−τ21) − 1) − a22y∗(ev(s−τ22) − 1)

Bây giờ ta sẽ tìm hàm Lyapunov.

Đặt

V11(t) = |u(t)|

(3.55)

D+V11|(3.51) ≤ −a11x∗|eu(t) − 1| + a12y∗|ev(t−τ12) − 1|

Đạo hàm phải của V11 theo nghiệm của (3.51). Từ (3.53) và (3.54), ta có

+ a11x∗

eu(s)(a11x∗|eu(s−τ11) − 1| + a12y∗|ev(s−τ12) − 1)|)ds.

t−τ11

(cid:90) t

Từ bổ đề (3.2.1), ta thấy khi đó tồn tại một số T0 ≥ 0 sao cho x∗eu(t) = x(t) ≤ M1

D+V11|(3.51) ≤ −a11x∗|eu(t) − 1| + a12y∗|ev(t−τ12) − 1| + a11M1

với t ≥ T0 và do đó với t ≥ T = T0 + τ ta có

|ev(s−τ12) − 1)|ds

a11x∗

|eu(s−τ11) − 1|ds + a12y∗

t−τ11

(cid:18) (cid:19) (cid:90) t (cid:90) t (3.56)

Ta định nghĩa hàm Lyapunov như sau

V1 = V11(t) + V12(t),

(3.57)

trong đó

V12(t) = a11M1

|eu(l−τ11) − 1|dlds + a12y∗

t−τ11

(cid:90) t (cid:90) t (cid:2)a11x∗

|ev(l−τ12) − 1|dlds(cid:3)

t−τ11

(cid:90) t (cid:90) t

|ev(s) − 1|ds

+ a11τ11M1

|eu(s) − 1|ds + a12y∗

t−τ11

t−τ12

(cid:21) (cid:90) t (cid:90) t (cid:20) a11x∗

|ev(s) − 1|ds.

+a12y∗

t−τ12

(cid:90) t (3.58)

D+V1 ≤ −a11x∗(1 − a11τ11M1)|eu(t) − 1| + a12y∗(1 + a11τ11M1)|ev(t) − 1|

Khi đó, từ (3.56) - (3.58) với t ≥ T ta có:

= A11x∗|eu(t) − 1| − A12y∗|ev(t) − 1|.

(3.59)

Tiếp theo, đặt

V2(t) = V21(t) + V22(t),

(3.60)

trong đó

V22(t) = |v(t)|.

(3.61)

V21(t) = a22M2

|eu(l−τ21) − 1|dlds + a22y∗

t−τ22

(cid:90) t (cid:90) t (cid:2)a21x∗

|ev(l−τ22) − 1|dlds(cid:3)

t−τ22

(cid:90) t (cid:90) t

|ev(s) − 1|ds

+ a22τ22M2

|eu(s) − 1|ds + a22y∗

t−τ21

t−τ22

(cid:21) (cid:90) t (cid:90) t (cid:20) a21x∗

|eu(s) − 1|ds.

+a21x∗

t−τ21

(cid:90) t (3.62)

D+V2 ≤ −a22y∗(1 − a22τ22M2)|ev(t) − 1| + a21x∗(1 + a22τ22M2)|eu(t) − 1|

Từ (3.60) - (3.62) ta có

= −A22|ev(t) − 1| − A21|eu(t) − 1|.

(3.63)

Theo giả thiết (3.48), ta biết A∗ = (Aij)2×2 là một ma trận và do đó tồn tại số

dương d1 và d2 sao cho

A11d1 + A21d2 = δ1 > 0,

A12d1 + A22d2 = δ2 > 0.

(3.64)

Bây giờ ta định nghĩa hàm Lyapunov V (t) như sau

V (t) = d1V1(t) + d2V2(t),

(3.65)

D+V (t) ≤ −(A11d1 + A21d2)|eu(t) − 1| − (A12d1 + A22d2)|ev(t) − 1|

Khi đó, với t ≥ T , từ (3.59), (3.63) và (3.65) ta có

= −δ1x∗|eu(t) − 1| − δ2y∗|ev(t) − 1|

(3.66)

m2 suy ra

x∗|eu(t) − 1| = x∗eθ1(t)|u(t)| ≥ m1|u(t)|,

y∗|ev(t) − 1| = y∗eθ2(t)|v(t)| ≥ m2|u(t)|

Từ (3.23) ta có thể thấy, tồn tại số m1, m2 mà x(t) = x∗eu(t) ≥ m1, y(t) = y∗ev(t) ≥

trong đó x∗eθ1(t) ở giữa x(t) và x∗, y∗eθ2(t) ở giữa y(t) và y∗.

D+V (t) ≤ −δ(|u(t)| + |v(t)|).

Đặt δ = min {δ1m1, δ2m2}, khi đó từ (3.66) ta có

(3.67)

(3.51), (3.52) là ổn định tiệm cận toàn cục, suy ra điểm cân bằng của hệ (3.23)

Chú ý rằng V (t) ≥ (|u(t)| + |v(t)|), kết hợp với (3.67) ta có điểm cân bằng của hệ

cũng ổn định tiệm cận toàn cục.

(cid:48)

Ví dụ 3.2.1. Xét hệ phương trình vi phân có chậm sau

(t) = x(t)(1 − x(t − τ11) − 0, 5y(t − τ12))

(cid:40)

x (cid:48)

(t) = y(t)(1 − 0, 5x(t − τ21) − y(t − τ22))

(3.68)

3 , 2 3 cận địa phương nếu nó thỏa mãn điều kiện sau:

28τ11 + 8τ22 + 5τ12 + 13τ21 < 18,

28τ22 + 8τ11 + 13τ12 + 5τ21 < 18.

(cid:1) của hệ (3.68) là ổn định tiệm Theo định lý (3.2.1) thì điểm cân bằng (cid:0) 2

3, 2 3

τ11 <

τ22 <

τ12 = τ21 = 0

1 2

Vậy điểm cân bằng (cid:0) 2 (cid:1) của hệ (3.68) là ổn định tiệm cận địa phương khi

3 , 2 3

Theo định lý (3.2.2) thì điểm cân bằng (cid:0) 2 (cid:1) của hệ (3.68) là ổn định tiệm cận

1 > τ11eτ11,

1 > τ22eτ22,

toàn cục nếu

3(1 + τ11τ22eτ11+τ22) > 5(τ11eτ11 + τ22eτ22).

(3.69)

3, 2 3

(cid:1) của hệ (3.68) là ổn định tiệm Từ điều kiện (3.69) ta thấy rằng cân bằng (cid:0) 2

5, τ21 và τ12 là những hằng số dương bất kỳ.

cận toàn cục khi τ11 = τ22 = 1

3.3 Sự ổn định của quá trình chuyển động quay của

một vật thể rắn

Xét chuyển động của một vật thể trong một hệ tọa độ Oxyz nào đó với điểm

bất động là gốc tọa độ O (không có ngoại lực tác động).

O, w - vector vận tốc góc của nó trong hệ tọa độ đang xét. Giả sử p, q, r là các

Ký hiệu A, B, C là các momen quán tính chính của vật thể đối với gốc tọa độ

hình chiếu của vector w lên các trục chính, khi đó phương trình chuyển động

A ˙p = (B − C)qr

Ơle có dạng

B ˙q = (C − A)rp

C ˙r = (A − B)pq

  (3.70)



p = p0, q = 0, r = 0. Sử dụng phép đổi biến x = p − p0; y = q; z = r, ta có điểm tới

Phương trình này xác lập sự quay xung quanh trục thứ nhất tương ứng với điểm

hạn là gốc tọa độ và nhận được hệ phương trình rút gọn

˙x = B−C ˙y = C−A ˙z = A−B

(3.71)

A yz B (p0 + x)z C (p0 + x)y

  

*) Nếu A < B ≤ C thì quá trình quay được thực hiện quanh trục lớn của

elipxoit quán tính

Có thể chọn hàm Lyapunov: V : R3 → R+ xác định như sau:

V = B(B − A)y2 + C(C − A)z2 + (cid:2)By2 + (cid:0)Cz2 + A (cid:0)x2 + 2xp0

(cid:1)(cid:1)(cid:3)2

Ta thấy: Vì A < B ≤ C nên hàm Lyapunov xác định như trên là hàm xác định

dương. Tính toán ta được ˙V = 0. Vậy hàm V ở trên thỏa mãn các điều kiện của

định lý thứ nhất Lyapunov. Do đó nghiệm tầm thường của hệ đã cho là ổn định.

*) Nếu A > B ≥ C thì tương tự trên bằng cách chọn hàm Lyapunov

V = B(A − B)y2 + C(A − C)z2 + (cid:2)By2 + (cid:0)Cz2 + A (cid:0)x2 + 2xp0

(cid:1)(cid:1)(cid:3)2

ta cũng có nghiệm tầm thường của hệ đã cho là ổn định.

3.4 Sự ổn định của phi cơ đang chuyển động

Quan sát một phi cơ đang bay (có thể là một con chim đang bay), giả sử

rằng mặt đối xứng của nó trùng với mặt thẳng đứng của một hệ trục tọa độ

tại mỗi thời điểm bất kỳ trong quá trình chuyển động. Giả sử v là tốc độ của

trọng tâm của vật thể, θ là góc giữa vector chuyển động với trục hoành (trục

nằm ngang). Giả sử trục chuyển động (trục hướng theo chiều dài của phi cơ)

luôn tạo nên một góc không đổi α với v.

Ký hiệu CD(α) và CL(α) là hệ số phản lực tùy ý và lực đẳng. Khi đó ta có

m ˙v = −mg sin θ − CD(α)v2

mv ˙θ = −mg cos θ + CL(α)v2

phương trình biến thiên của v và θ có dạng

τ =

y =

α =

v2 0 =

gt v0

v v0

mg CL

CD CL

Bằng cách đặt

ta đưa phương trình đang xét về dạng

dτ = − sin θ − ay2 dτ = − cos θ+y2 dθ

(cid:40) dy

Ở đây ta chỉ xét trường hợp đơn giản khi a = 0. Khi đó hệ trở thành:

dτ = − sin θ dτ = − cos θ+y2 dθ

(cid:40) dy

Hệ phương trình này có các điểm suy biến là y0 = 1, θ0 = 2kπ(k ∈ N) (các trường

hợp này tương ứng với các trường hợp phi cơ đang bay theo chiều ngang với vận

tốc là hằng số).

Ta chỉ cần xét một trường hợp khi y0 = 1, θ0 = 0.

3 − y cos θ + 2

3 là tích phân đầu của hệ phương

Dễ kiểm tra được rằng V (y, θ) = y

trình đang xét khi a = 0.

Ngoài ra ta nhận thấy trong một lân cận nào đó của điểm (1, 0) thì ta có:

V (y, θ) > 0

V (1, 0) = 0.

(cid:40)

Hơn nữa ta còn có thể chứng minh ˙V (t, x) ≤ 0, do đó chuyển động của phi cơ tại

thời điểm này là ổn định.

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày lại các kết quả cơ bản về tính ổn định nghiệm của

phương trình vi phân trong không gian Banach và phương trình vi phân hàm.

Trong trường hợp riêng khi xét tính ổn định nghiệm của phương trình vi

phân trong không gian Rn và đặc biệt trong trường hợp n = 2, 3, dựa vào đặc

điểm về cấu trúc tôpô của không gian Euclide n chiều, chúng tôi đã chỉ ra một

cách cụ thể hơn việc sử dụng phương pháp phiếm hàm Lyapunov và bước đầu

đề cập tới phương pháp xây dựng phiếm hàm Lyapunov đối với hệ phương trình

vi phân tuyến tính với hệ số hằng số.

Trong phần cuối chúng tôi đã trình bày chi tiết một số ứng dụng của phương

pháp phiếm hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất cho một số mô

hình ứng dụng.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Phu (2010), Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết

Tiếng Việt

ổn định, Nhà xuất bản Giáo dục.

2. Earl A. Coddington, Robert Carlson (1997), Linear ordinary differential equa-

Tiếng Anh

3. Ivanka Stamova, Stability Analysis of Impulsive Functional Differential Equa-

tions.

4. Ju.L.Dalekii and M.G.Krein (1974), Stability of Differential Equations in Ba-

tion.

5. J.D.Murray (2002), Mathematical Biology: I.An Introducation Third Edition,

nach Space, American Mathematical Society Providence, Rhode Island.

6. J.D.Murray (2002), Mathematical Biology: II.An Introducation Third Edition,

Springer.

7. M.G.Krein (1971), Linear Differential Equations in Banach Space, Providence,

Springer.

8. Yang Kuang, Delay differential equations with application in population dy-

Rhode Island.

namics.

Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương pháp phiếm hàm Lyapunov và ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân có chậm

PHƯƠNG PHÁP PHIẾM HÀM LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG

ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM

CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2014

PHƯƠNG PHÁP PHIẾM HÀM LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG

ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM

CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội - Năm 2014

Mục lục

Mở đầu

Chương 1

Sự ổn định nghiệm của phương

trình vi phân trong không gian

Banach

1.1 Một số khái niệm cơ bản

1.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân

tuyến tính

1.1.2 Các khái niệm về ổn định

1.2 Phương pháp phiếm hàm Lyapunov đối với phương

trình vi phân trong không gian Banach

1.3 Phương pháp xấp xỉ thứ nhất

1.3.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

1.3.2 Sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

có nhiễu

1.4 Phương pháp phiếm hàm Lyapunov trong Rn

1.4.1 Các hàm xác định dấu

1.4.2 Đạo hàm của phiếm hàm Lyapunov dọc theo nghiệm

của một hệ phương trình vi phân

1.4.3 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định

1.4.4 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận

1.4.5 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định

1.5 Sự ổn định mũ

1.6 Phương pháp chọn hàm Lyapunov cho hệ phương

trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng

Chương 2

Phương pháp phiếm hàm Lyapunov

nghiên cứu tính ổn định nghiệm

của phương trình vi phân hàm

2.1 Khái niệm về phương trình vi phân hàm

2.1.1 Định nghĩa và ký hiệu

2.1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

2.2 Phương pháp tìm nghiệm của phương trình vi

phân hàm

2.2.1 Phương pháp từng bước

2.2.2 Phương pháp toán tử Laplace

2.3 Lý thuyết ổn định theo Lyapunov

2.3.1 Các khái niệm về ổn định

2.3.2 Phương pháp hàm Lyapunov

2.4 Định lý Razumikhin

Chương 3

Một số mô hình ứng dụng

3.1 Mô hình ứng dụng trong các quần thể sinh học

3.1.1 Mô hình thú - mồi Lotka - Volterra dạng đơn giản

3.1.2 Mô hình cạnh tranh Lotka - Volterra

3.1.3 Mô hình cộng sinh Lotka-Volterra

3.1.4 Mô hình Lotka-Volterra cho ba loài

3.1.5 Một số nhận xét chung về các mô hình quần thể đa loài

3.2 Mô hình Lotka-Volterra có chậm

3.2.1 Tính ổn định tiệm cận địa phương

3.2.2 Tính ổn định tiệm cận toàn cục

3.3 Sự ổn định của quá trình chuyển động quay của

một vật thể rắn

3.4 Sự ổn định của phi cơ đang chuyển động

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi