intTypePromotion=1
ADSENSE

Phương pháp sử dụng dãy số phụ để giải và sáng tạo các bài toán về dãy số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

38
lượt xem
0
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết nghiên cứu và trình bày phương pháp dùng dãy số phụ để giải và sáng tạo ra các bài toán về dãy số. Xuất phát từ một số bài toán cơ bản, chúng tôi đặt dãy số phụ để tạo ra các bài toán tổng quát và phức tạp hơn. Sau đó, với mỗi bài toán đều đưa ra phương pháp giải tổng quát và có ví dụ minh họa.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phương pháp sử dụng dãy số phụ để giải và sáng tạo các bài toán về dãy số

  1. UED Journal of Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG DÃY SỐ PHỤ ĐỂ GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Nhận bài: 21 – 06 – 2016 Phạm Quý Mườia*, Nguyễn Hạ Vyb Chấp nhận đăng: 25 – 09 – 2016 Tóm tắt: Lý thuyết về dãy số thực là một phần cơ bản của giải tích toán học, các vấn đề cơ bản về dãy http://jshe.ued.udn.vn/ số bao gồm: khảo sát sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy, tính đơn điệu và tính bị chặn của dãy. Các bài toán cơ bản cũng tập trung vào các chủ đề trên. Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu và trình bày phương pháp dùng dãy số phụ để giải và sáng tạo ra các bài toán về dãy số. Xuất phát từ một số bài toán cơ bản, chúng tôi đặt dãy số phụ để tạo ra các bài toán tổng quát và phức tạp hơn. Sau đó, với mỗi bài toán chúng tôi đều đưa ra phương pháp giải tổng quát và có ví dụ minh họa. Từ khóa: dãy số; dãy số phụ; phương pháp dùng dãy số phụ; giải các bài toán về dãy số; sáng tạo các bài toán về dãy số. Chú ý rằng, phương pháp dùng dãy phụ (và các 1. Giới thiệu phương pháp khác) để giải các bài toán về dãy số đã Lý thuyết về dãy số thực là một phần cơ bản của giải được một số tác giả nghiên cứu và công bố trong các tài tích toán học [2], các vấn đề cơ bản về dãy số bao gồm: liệu [1,5,6,7]. Tuy nhiên, việc sử dụng phương pháp dãy khảo sát sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy, tính đơn điệu phụ để sáng tạo ra các bài toán mới hầu như chưa được và tính bị chặn của dãy. Từ đó, các dạng bài tập cơ bản quan tâm chú ý và chúng tôi cũng chưa thấy một công cũng tập trung vào các vấn đề này như tìm số hạng tổng trình nghiên cứu nào đã công bố về vấn đề này. quát của dãy số, khảo sát tính đơn điệu, tính bị chặn, Bài báo này được trình bày như sau: Trong phần chứng minh sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy số. hai, chúng tôi sẽ trình bày phương pháp đặt dãy phụ để Hơn nữa, trong các đề thi (đặc biệt là các đề thi học sáng tạo các bài toán về dãy số. Ở đây, chúng tôi sẽ sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia, quốc tế) một trong những trình bày ý tưởng của phương pháp và các ví dụ minh yêu cầu của đề thi là các câu hỏi trong đề thi phải mới, họa. Ứng với mỗi bài toán cơ bản, chúng tôi trình bày không được lấy ở bất kỳ nguồn tài liệu nào và phải phù các phương pháp dùng dãy phụ để nhận được các bài hợp với chương trình phổ thông. Điều này đòi hỏi người toán mới khó hơn và trình bày cách giải của bài toán ra đề phải có kỹ năng sáng tạo ra các bài toán mới. Vì tương ứng. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra kết luận và một thế, trong bài báo này, chúng tôi trình bày phương pháp số hướng nghiên cứu mới ở phần bốn. dùng dãy số phụ để sáng tạo ra các bài toán mới. Việc giải và sáng tạo ra các bài toán về dãy số có thể có nhiều cách khác nhau. Trong bài báo này, chúng 2. Phương pháp dùng dãy số phụ để giải và tôi tập trung giới thiệu phương pháp dùng dãy số phụ để sáng tạo các bài toán về dãy số sáng tạo các bài toán cơ bản về dãy số. 2.1. Ý tưởng Ý tưởng cơ bản trong phương pháp đặt dãy số phụ để giải bài toán là: từ bài toán phức tạp ta dùng một aTrường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng bTrường THPT Nguyễn Trãi, Hội An (hoặc nhiều) dãy số phụ để đưa về bài toán đơn giản * Liên hệ tác giả hơn hoặc đã biết phương pháp giải. Phạm Quý Mười Email: pqmuoi@ud.edu.vn 28 | Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số 3 (2016), 28-35
  2. ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số 3 (2016), 28-35 Vậy ngược lại, để sáng tạo ra được nhiều bài toán 1 vn = dvn−1 + c, n  ¥ * , với v1 = . khác nhau, ta chỉ cần xuất phát từ các bài toán đơn giản,  đặt dãy số phụ để nhận được những bài toán phức tạp Dãy ( vn ) có dạng phương trình sai phân cấp một mà hơn. Sau đây là một số ví dụ minh họa. 2.2. Từ cấp số nhân chúng ta đã biết cách giải. Kết quả cơ bản: Cho ( un ) là một cấp số nhân với • Tiếp tục đặt xn = yn + , n  ¥ * , ta có: u1 và công bội q. Khi đó, công thức số hạng tổng quát xn −1 yn −1 +  xn =  yn +  = là: un = qun−1 , n  ¥ *. pxn −1 + q p ( yn −1 +  ) + q Để tạo ra các bài toán mới về tìm số hạng tổng quát, yn −1 (1 − p ) −  2 p +  q +   yn = . chúng ta có thể làm như sau: pyn −1 +  p + q • Ta đặt un = vn + c, n ¥ * ta được dãy: Đặt a = 1 − p, b = − 2 p + q + , c = p, d =  p + q , vn = qvn−1 + p, n ¥ *. ta có: Như vậy, nếu chúng ta cho các giá trị c khác nhau ayn −1 + b yn = , n  ¥ *. (2.2) ta sẽ có các bài toán khác nhau về tìm số hạng tổng cyn −1 + d quát. Chú ý rằng, dãy ( vn ) chính là dãy sai phân cấp Như vậy vấn đề đặt ra ở đây là khi cho dãy số có một mà chúng ta đã có phương pháp giải. công thức truy hồi dạng (2.2) làm sao để đưa về dạng • Để nhận được các bài toán khó hơn, chúng ta tiếp (2.1). Từ (2.1) ta đặt xn = yn + , n  ¥ * ta được (2.2) 1 nên muốn từ (2.2) đưa về (2.1) ta chỉ cần đặt ngược lại: tục đặt vn = , n  ¥ * , ta được: xn yn = xn −  = xn +  , n ¥ *. xn −1 xn = , n  ¥ *. Đặt yn = xn +  , n  ¥ * thay vào (2.2) ta có: pxn −1 + q a ( xn +  ) + b Từ đây, chúng ta có bài toán tổng quát sau: xn +  = c ( xn +  ) + d Bài toán 2.1. Cho dãy số ( xn ) biết:  xn = ( a − ac ) xn − c 2 + ( a − d )  + b .  x1 =  ,   0 c ( xn +  ) + d   xn −1 (2.1)  xn = cx + d , n…2, n  ¥ . Muốn đưa về được (2.1), ta chọn  sao cho  n −1 −c 2 + ( a − d )  + b = 0. Tìm số hạng tổng quát của dãy ( xn ) . Để phương trình trên có nghiệm thì Phương pháp giải Vì x1 =  ,   0 nên xn  0, n  ¥ *. ( a − d )2 + 4bc  0. Ta có bài toán tổng quát sau: Từ đó ta có: xn −1 Bài toán 2.2. Cho dãy số ( xn ) biết: 1 d xn =  =c+ , n…2, n  ¥ . cxn −1 + d xn xn −1 u1 =   1  aun −1 + b Đặt vn = , n  ¥ * , ta được: un = cu + d , n…2, n  ¥ . xn  n −1 Trong đó ( a − d ) + 4bc  0. 2 29
  3. Phạm Quý Mười, Nguyễn Hạ Vy Tìm số hạng tổng quát của dãy (un) Suy ra: Phương pháp giải 2014  2015  1 n un = −   + Đặt un = vn +  , n ¥ * , với  là nghiệm của 2013  2  2013 phương trình −c 2 + ( a − d )  + b = 0. = 2n − 2014.2015n ,n¥ . 2013.2n Biến đổi thu gọn về Bài toán 2.1 2013.2n Ví dụ 2.1. Cho dãy số ( xn ) biết: yn = ,n¥ . 2n − 2014.2015n  x0 = 0 2014.2n − 2014.2015n  xn = ,n¥ .  xn + 2014 (2.3) 2n − 2014.2015n  xn +1 = 2016 − x , n  ¥ .  n 2014.2n − 2014.2015n Vậy lim xn = lim = 1. a)Chứng minh rằng dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn. n →+ n →+ 2n − 2014.2015n Tính lim xn . b) Ta có: n →+ 20142.2015k − 2014.2015k n xk − 2014 = x 1 Sn 2k − 2014.2015k b) Cho Sn = , Tính lim . k =0 k − 2014 n →+ n + 2016 2014.2013.2015k = k . Giải 2 − 2014.2015k a) Chọn  là nghiệm của phương trình: 1 1  2  1 k = − xk − 2014 2014.2013  2015  2013 Nên: .  2 − 2015 + 2014 = 0.  = 1 n x 1 Ta có:  . Sn =  = 2014 k =0 k − 2014 Đặt xn = yn + 1, n  ¥ , ta có y0 = −1.  2   2  0 1 n  1  2  =  + + ... +   Thay vào (2.3) ta có: 2014.2013   2015   2015    2015    2 yn n +1 yn +1 = − 2015 − yn 2013 1 2015 1 2015   2 n +1  n +1  = − ,n¥ . = 1 −   − . yn +1 2 yn 2 2014.20132   2015   2013 1 Sn 1 Đặt un = , n  ¥ , ta có: Vậy lim =− . yn n →+ n + 2015 2013 2015 1 2.3. Từ bài toán có công thức truy hồi cấp một un +1 = un − , n  ¥ , với u0 = −1. có dạng lượng giác 2 2 2.3.1. Trước tiên ta xét dãy số có công thức 1 Đặt un = vn + , n  ¥ , ta có: truy hồi cấp một có dạng công thức cos2a 2013 Bài toán cơ bản: Cho dãy số ( un ) biết: 2015 2014 vn +1 = vn , n  ¥ , với v0 = − . 2 2013 u1 =   un +1 = 2un − 1, n  ¥ . 2 * n 2014  2015  Nên vn = − ,n¥ . 2013  2  Tìm số hạng tổng quát của dãy ( un ) . 30
  4. ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số 3 (2016), 28-35 Bài toán này đơn giản và đã biết cách giải [1, tr.10]. 1 1 4=  a + . Ở đây ta quan tâm đến việc biến đổi bài toán trên để 2 a nhận được các bài toán phức tạp hơn. Ta có thể dùng Vậy các dãy số phụ như sau: 1  n−1 1  • Đặt un = kvn , n ¥ * , ta được: un =  a 2 + n−1  4 a  2 1 1  ( ) ( ) 2n−1 2n−1 vn +1 = 2kvn2 − , n  ¥ * . =  4 + 15 + 4 − 15 , n  ¥ . * k 4  Ví dụ 3.2. Tìm số hạng tổng quát của dãy ( un ) , 1 Đặt a = 2k , b = − , ta có ab = −2. Ta có bài toán k biết: tổng quát sau: Bài toán 3.1. Cho dãy số ( vn ) biết: u1 = 1  (3.2) un +1 = un − 2, n  ¥ . 2 * v1 =   Giải vn +1 = avn + b, n  ¥ . 2 * Đặt un = −bvn = 2vn , n  ¥ *. Trong đó ab = −2 hoặc b = 0. Thay vào (3.2), ta có: Tìm số hạng tổng quát của dãy ( vn ) . 1 v1 = , v = 2vn2 − 1, n  ¥ *. Phương pháp giải 2 n+1 Nếu b = 0 thì vn +1 = a 2 −1. 2 , n  ¥ * . n n 2n −1 Ta dễ dàng tìm được: vn = cos , n  ¥ *. 3 Nếu ab = −2 thì đặt vn = −bun , n ¥ *. 2n −1 • Cho  , a, b các giá trị cụ thể ta có các ví dụ sau Vậy un = 2 cos , n  ¥ *. 3 Ví dụ 3.1. Tìm số hạng tổng quát của dãy ( un ) , • Trong Bài toán 3.1 tiếp tục đặt vn = xn + , n ¥ * , biết: ta có: u1 = 2  vn+1 = a1vn2 + b1 , n  ¥ *  1 (3.1) un +1 = 4un − 2 , n  ¥ . 2 *  xn +1 +  = a ( xn +  ) + b1 , n  ¥ * 2 Giải.  xn+1 = a1 xn2 + 2a1 xn + a1 2 + b1 − , n  ¥ *. 1 Đặt un = −bvn = vn , n  ¥ * . 2 Đặt a = a1 , b = 2a1, c = a1 2 −  + b1 , ta có: Thay vào (3.1), ta có: xn+1 = axn2 + bxn + c, n  ¥ *. v1 = 4 , vn+1 = 2vn2 − 1, n  ¥ . * Tuy nhiên không phải với mọi a, b, c đều có thể Ta dễ dàng tìm được: đưa về Bài toán 3.1, ta tìm mối quan hệ giữa a,b, c. 1  2n−1 1  Ta có a1b1 = −2 hoặc b1 = 0 . Nên vn =  a + 2n−1  , n  ¥ , * 2 a  4a12  2 − 4a1 + 4a1b1 c = a1 2 −  + b1 = với a là nghiệm của phương trình 4a1 b 2 − 2b − 8 = ,a  0 4a 31
  5. Phạm Quý Mười, Nguyễn Hạ Vy b2 − 2b = 22 n−1 −1 2n−1 = 1 2n−1 6 , n  ¥ *. hoặc c = , a  0. .3 4a 2 Ta có bài toán tổng quát sau: 1 2n−1 Vậy un = 6 − 1, n  ¥ * . Bài toán 3.2. Cho dãy số ( vn ) biết: 2 Ví dụ 3.4. Tìm số hạng tổng quát của dãy ( un ) ,  x1 =   biết:  xn +1 = axn + bxn + c, n  ¥ . 2 * u1 = 2, b − 2b − 8 2  (3.4) un = 2un −1 + 4un −1 , n  ¥ , n…2. 2 Trong đó a  0, c = 4a Giải b2 − 2b hoặc c = . b 4a Đặt un = vn − = vn − 1, n  ¥ * . 2a Tìm số hạng tổng quát của dãy ( xn ) . Thay vào (3.4), ta có: Phương pháp giải v1 = 3, vn = 2vn2−1 − 1, n  ¥ , n…2. Nhận xét rằng từ Bài toán 3.1 ta đặt Ta dễ dàng tìm được: vn = xn + , n ¥ , ta đưa về Bài toán 3.2 mà theo biến * 1  2n−1 1  b vn =  a + 2n−1  , n  ¥ , * đổi trên ta có  = , vậy để đưa Bài toán 3.2 về Bài 2 a  2a b với a là nghiệm của phương trình toán 3.1 ta đặt xn = vn − , n  ¥ *. 2a 1 1 3= a + . Cho  , a, b các giá trị cụ thể, rồi tính c theo a, b ta 2  a có các ví dụ sau: Vậy Ví dụ 3.3. Tìm số hạng tổng quát của dãy ( un ) , 1  2n−1 1  un =  a + 2n−1  −1 biết: 2 a  1  ( ) ( ) 2n−1 2n−1 u1 = 2,  =  3+ 2 2 + 3− 2 2  − 1, n  ¥ . *  (3.3) 2  un = 2un −1 + 4un −1 + 1, n  ¥ , n…2. 2  1 Giải. • Trong Bài toán 3.2 tiếp tục đặt xn = , n  ¥ *, yn b Đặt un = vn − = vn − 1, n  ¥ * . ta có: 2a 1 a b y2 Thay vào (3.3), ta có: = + + c  yn+1 = 2 n , n  ¥ *. yn+1 yn2 yn cyn + byn + a v1 = 3 , vn = 2vn2−1 , n  ¥ , n…2. Ta có bài toán tổng quát sau: ( ) 2 Bài toán 3.3. Cho dãy số ( vn ) biết: 2 Ta có: vn = 2vn2−1 =2 2vn2−2 = 2.22.vn2−2  y1 =   0 ( ) 22 2 3 = 2.22. 2vn2−3 = 2.22.22 .vn2−3   yn2 y  n +1 = , n  ¥ *. 1− 2n−1 22 2n −2 n−1 n−1  cy 2 n + by n + a = ... = 2.2 .2 ...2 2 .v12 = 2 1− 2 .v12 32
  6. ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số 3 (2016), 28-35 b 2 − 2b − 8 u1 = 1, Trong đó a  0, c =  (3.5) un = 2un −1 − 3un −1 , n  ¥ , n…2. 4a 3 b2 − 2b Giải hoặc c = . 4a 2 Đặt un = vn = 2vn , n  ¥ * . Tìm số hạng tổng quát của dãy ( yn ) . a Phương pháp giải Thay vào (3.5), ta có: 1 1 Đặt yn = , n  ¥ * , biến đổi về Bài toán 3.2. v1 = , vn = 4vn3−1 − 3vn−1, n ¥ , n…2. xn 2 2.3.2. Ta xét tiếp dãy số có công thức truy hồi 1  Ta dễ tìm được: v1 = = cos , cấp một có dạng công thức cos3a 2 4 Bài toán cơ bản: Cho dãy số ( un ) biết:   vn = cos  3n −1.  , n  ¥ * . u1 =   4  un +1 = 4un  3un , n  ¥ . 3 *   Vậy un = 2 cos  3n−1.  , n  ¥ *. Tìm số hạng tổng quát của dãy ( un ) .  4 Bài toán này ta đã biết phương pháp giải, xem [1, • Trong Bài toán 3.4 tiếp tục đặt vn = xn + , n ¥ * , Tr.13-15]. ta có: Tương tự như các phần trên, chúng ta quan tâm đến việc biến đổi bài toán để nhận được các bài toán phức ( xn +1 = axn3 + 3a xn2 + 3 a 2  1 xn ) tạp hơn. + a 3  3 −  , n  ¥ * • Đặt un = kvn , n ¥ * , ta được: ( ) Đặt b = 3a , c = 3 a 2  1 , d = a 3  3 −  , vn+1 = 4k 2un3  3un , n  ¥ *. ta có: xn+1 = axn3 + bxn2 + cxn + d , n  ¥ *. Đặt a = 4k 2 . Ta có bài toán tổng quát sau: Tuy nhiên không phải với mọi a, b, c, d đều có thể đưa về Bài toán 3.4, ta tìm mối quan hệ giữa a, b, c, d. Bài toán 3.4. Cho dãy số ( vn ) biết: b Ta có b = 3a   = , a  0 . Nên ta có: v1 =  3a  vn+1 = avn  3vn , n  ¥ , a  0. 3 *  b2  b3 b b c = 3   1 , d =  −  9a  2 a 3a Tìm số hạng tổng quát của dãy ( vn ) .   27a Ta có bài toán tổng quát sau: Phương pháp giải 2 Bài toán 3.5. Cho dãy số ( xn ) biết: Đặt vn = un , n  ¥ * . a  x1 =  Biến đổi thu gọn đưa về bài toán đã biết cách giải.   xn +1 = axn + bxn + cxn + d , n  ¥ . 3 2 * • Cho  , a, b các giá trị cụ thể ta có các ví dụ sau: Trong đó: b tùy ý Ví dụ 3.5. Tìm số hạng tổng quát của dãy ( un ) ,  b2  b3 b b c = 3   1 , d =  − , a  0, biết:  9a  2 a 3a   27a 33
  7. Phạm Quý Mười, Nguyễn Hạ Vy Tìm số hạng tổng quát của dãy ( xn ) . 1   1 ( ) ( ) 3n−1 3n−1 un =  5 +2 − 5 −2 + , n  ¥ *. Phương pháp giải 2 6  6 Nhận xét rằng từ Bài toán 3.4 ta đặt 3. Kết luận vn = xn + , n ¥ , để đưa về Bài toán 3.5, mà theo biến * Trong bài báo này, chúng tôi đã trình bày phương b đổi trên ta có  = , vậy để đưa Bài toán 3.5 về Bài pháp đặt dãy số phụ để sáng tạo các bài toán về dãy số, 3a xây dựng được một số bài toán tổng quát và phương b pháp giải các bài toán đó. toán 3.4 ta đặt xn = vn − , n  ¥ *. 3a Cần nhấn mạnh rằng: Đa số các tài liệu khác đưa ra • Cho  , a, b các giá trị cụ thể, rồi tính c, d theo a, bài toán tổng quát với việc áp đặt các điều kiện của b ta có các ví dụ sau: tham số và cách giải ở bài toán không tự nhiên, không giải thích được vì sao nghĩ ra được cách giải đó. Với Ví dụ 3.6. (Đề thi OLYMPIC 30/04/2004) phương pháp dùng dãy số phụ như trên, chúng tôi đã Tìm số hạng tổng quát của dãy ( un ) , biết: sáng tạo ra các bài toán mới, bài toán tổng quát và có phương pháp giải tổng quát cho các bài toán đó giúp  3 u1 = , cho học sinh dễ dàng tiếp thu và áp dụng.  6 (3.6) u = 24u 3 − 12 6u 2 + 15u − 6, n  ¥ * . Ngoài phương pháp đặt dãy số phụ trên, ta có thể  n +1 n n n dùng các phương pháp khác để sáng tạo ra các bài toán Giải mới: phương pháp đặc biệt hóa, phương pháp tổng quát hóa, phương pháp hàm số… b 1 Đặt un = vn − = vn + , n  ¥ *. 3a 6 Tài liệu tham khảo Thay vào (3.6), ta có: [1] Nguyễn Tài Chung (2013), Chuyên khảo dãy số, 2 Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội. v1 = , vn+1 = 24vn3 + 3vn , n ¥ *. [2] Jean – Marie Monier, Lý Hoàng Tú dịch (2000), 6 Giáo trình Giải tích, Nhà xuất bản Giáo dục. 2 1 [3] Kaczor W.J, Nowak M.T, Nhóm Đoàn Chi dịch Đặt vn = yn = yn , n  ¥ * , ta có: y1 = 2. (2002), Bài tập Giải tích 1 – Số thực, dãy số và a 6 chuỗi số, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm. yn+1 = 4 yn3 + 3 yn , n  ¥ *. [4] Nguyễn Tài Chung (2015), Giới hạn của các dãy số sinh bởi tổng, Kỷ yếu các chuyên đề bồi dưỡng 1  3n−1 1  học sinh giỏi khu vực duyên hải Nam Trung Bộ và Ta dễ tìm được: yn =  a − 3n−1  , n  ¥ , * Tây Nguyên, Tháng 03/2015, tr.46-57. 2 a  [5] Trần Nam Dũng, Dãy số và các bài toán về dãy với a là nghiệm của phương trình: số, http://luanvan.net.vn, truy cập ngày 22/06/2015. [6] Trương Ngọc Đắc, Một số phương pháp xây dựng 1 1 dãy số, http://xemtailieu.com, truy cập ngày 2= a − . 2  a 22/03/2016 [7] Nguyễn Tất Thu, Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số, http://xemtailieu.com, truy cập ngày 08/04/2015. Vậy METHOD OF USING SECONDARY SEQUENCES TO SOLVE AND CREATE SEQUENCE PROBLEMS 34
  8. ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số 3 (2016), 28-35 Abstract: The theory of real sequences is a basic part of calculus; the fundamental issues of real sequences include investigating convergence and discovering the limits of sequences, the monotonicity and the boundedness of sequences. Basic problems also concentrate on these topics. In this article, we investigate and present a method of using secondary sequences to solve and create problems of sequences. Starting from some basic problems, we introduce secondary sequences to create more general and complicated problems. Then, for each of the problems, we present a general solving method together with examples for illustration. Key words: sequences; secondary sequences; secondary sequence method; solving sequence problems; creating new sequence problems. 35
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2