Phương pháp toán tử Trotter cho xấp xỉ Laplace đối xứng

Chia sẻ: Nguyễn Văn Mon | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

0
10
lượt xem
1
download

Phương pháp toán tử Trotter cho xấp xỉ Laplace đối xứng

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu chính của bài viết này là sử dụng phương pháp toán tử Trotter để đánh giá tốc độ hội tụ của tổng hình học (1.1) về biến ngẫu nhiên có phân phối Laplace dạng đối xứng. Phương pháp toán tử Trotter đã được Trotter xây dựng năm 1959 để chứng minh định lí giới hạn trung tâm (CLT) (không đánh giá tốc độ hội tụ) (Trotter, 1959).

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phương pháp toán tử Trotter cho xấp xỉ Laplace đối xứng

Tạp chı́ Khoa học Trường Đại học Cầ n Thơ<br /> <br /> Phần A: Khoa học Tự nhiên, Công nghệ và Môi trường: 47 (2016): 120-126<br /> <br /> DOI:10.22144/jvn.2016.609<br /> <br /> PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ TROTTER CHO XẤP XỈ LAPLACE ĐỐI XỨNG<br /> Trịnh Hữu Nghiệm1 và Lê Trường Giang2<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> Khoa Cơ bản, Trường Đại học Nam Cần Thơ<br /> Khoa Cơ bản, Trường Đại học Tài chính – Marketing<br /> ABSTRACT<br /> <br /> Thông tin chung:<br /> Ngày nhận: 27/05/2016<br /> Ngày chấp nhận: 22/12/2016<br /> <br /> Title:<br /> Laplace approximation with the method<br /> of Trotter operator<br /> Từ khóa:<br /> Xấp xỉ Laplace, tổng hình học, tổng ngẫu<br /> nhiên, xấp xỉ Poisson, khoảng cách<br /> Trotter<br /> <br /> The main aim of this paper is to study the rates of convergence<br /> in distribution of normalized geometric sum to symmetric<br /> Laplace distribution by Trotter operator method. The rates of<br /> convergence are expressed with two different types of results,<br /> namely “large-O” and “small-o” approximation estimates.<br /> TÓM TẮT<br /> Bài báo nghiên cứu tốc độ hội tụ của dãy tổng hình học về<br /> phân phối Laplace đối xứng bằng phương pháp toán tử<br /> Trotter. Tốc độ hội tụ được trình bày trong bài báo này dưới<br /> dạng xấp xỉ "O-lớn" và "o-nhỏ".<br /> <br /> Keywords:<br /> Laplace approximation, geometric sums,<br /> random sums, Poisson approximation,<br /> Trotter distance<br /> Trích dẫn: Trịnh Hữu Nghiệm và Lê Trường Giang, 2016. Phương pháp toán tử Trotter cho xấp xỉ Laplace<br /> đối xứng. Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ. 47a: 120-126.<br /> phối. Phân phối Laplace có nhiều ứng dụng trong<br /> khoa học, kỹ thuật và kinh doanh (Kotzet al, 2001).<br /> <br /> 1 GIỚI THIỆU<br /> Cho ( ; F ; P ) là một không gian xác suất,<br /> X : R là một biến ngẫu nhiên có hàm phân phối<br /> FX được định nghĩa FX ( x )  P: X ( ) x  , với<br /> <br /> Bài toán xấp xỉ phân phối Laplace đã được<br /> nhiều học giả trên thế giới quan tâm như Akira<br /> Toda, John Pike...Trong số đó phải kể đến là kết<br /> quả của John Pike (Pike et al., 2012). Ông đã sử<br /> dụng phương pháp rất nổi tiếng, phương pháp<br /> Stein, để giải quyết bài toán này. Cùng thời điểm<br /> đó, Akira Toda (Toda, 2012) cũng đưa ra một số<br /> kết quả về xấp xỉ phân phối laplace. Tuy nhiên,<br /> ông đã sử dụng phương pháp khác, phương pháp<br /> sử dụng hàm đặc trưng, để chứng minh các kết quả<br /> của mình.<br /> <br /> mọi xR . Giả sử N là một biến ngẫu nhiên hình<br /> học có kỳ vọng<br /> <br /> 1<br /> và độc lập với các biến ngẫu<br /> q<br /> <br /> nhiên X j ( j 1,2,...) . Khi đó, theo tài liệu của<br /> Samuel Kotz(Kotzet al, 2001), tổng hình học<br /> N<br /> <br /> q X j<br /> <br /> (1.1)<br /> <br /> j 1<br /> <br /> Mục tiêu chính của bài viết này là sử dụng<br /> phương pháp toán tử Trotter để đánh giá tốc độ hội<br /> tụ của tổng hình học (1.1) về biến ngẫu nhiên có<br /> phân phối Laplace dạng đối xứng. Phương pháp<br /> toán tử Trotter đã được Trotter xây dựng năm 1959<br /> <br /> hội tụ theo phân phối về phân phối Laplace đối<br /> xứng, với điều kiện các X j độc lập cùng phân<br /> <br /> 120<br /> <br /> Tạp chı́ Khoa học Trường Đại học Cầ n Thơ<br /> <br /> Phần A: Khoa học Tự nhiên, Công nghệ và Môi trường: 47 (2016): 120-126<br /> <br /> để chứng minh định lí giới hạn trung tâm (CLT)<br /> (không đánh giá tốc độ hội tụ) (Trotter, 1959).<br /> Năm 1975, Butzer đã sử dụng phương pháp này<br /> đánh giá tốc độ hội tụ trong định lí giới hạn trung<br /> tâm. Sau đó, ông đánh giá tốc độ hội tụ cho định lí<br /> giới hạn tổng quát, mà phân phối giới hạn là phân<br /> phối của biến ngẫu nhiên Z  -phân tích được,<br /> n<br /> <br /> d<br /> <br />  ( n )  X j  Z , n , ở<br /> j 1<br /> <br /> đó,<br /> <br /> ký hiệu N ~ Geometry (q) nếu N nhận các giá trị k<br /> = 1, 2,..., n với xác suất tương ứng<br /> P ( N k )q (1q )k 1 .<br /> <br /> <br /> n 1<br /> <br />  ( n )0 khi<br /> <br /> 1(1 q ) eit<br /> <br /> qt<br /> .<br /> 1(1 q )t<br /> <br /> Định nghĩa 2.3 Biến ngẫu nhiên Z được gọi là<br /> có phân phối Laplace đối xứng, ký hiệu<br /> Z ~ L( m,  ) nếu Z có hàm đặc trưng tương ứng<br />  Z t  <br /> <br /> Phương sai D X  2 .<br /> 2.2 Bổ đề 2.1<br /> Giả sử biến ngẫu nhiên Z ~ L (0, ), FZ là hàm<br /> phân phối của Z. Khi đó, ta có<br /> N<br /> FZ ( x ) F q <br /> Zk ( x) ,<br /> k 1<br /> <br /> Chứng minh<br /> Ta có<br /> <br /> <br /> Cho hai hàm số f  x  , g  x  xác định trên tập<br /> số thực R và g  x   0 với x  x0 ( x0  R hoặc<br /> <br /> →<br /> <br /> 0 và lim<br /> →<br /> <br /> (t )  <br /> <br /> N<br />  Zk<br /> k 1<br /> <br /> ( qt )<br /> <br /> 1<br /> <br />  2t 2<br /> 1 q<br /> q z ( qt )<br /> 2<br /> <br /> <br /> 1<br /> 1(1q ) z ( qt ) 1(1q )<br />  2t 2<br /> 1 q<br /> 2<br /> q<br /> 1<br /> <br /> <br />   z (t )<br />  2t 2<br />  2t 2<br /> qq<br /> 1<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> x  x0<br /> <br /> và đủ gần x0 .<br /> <br /> lim<br /> <br /> N<br /> q  Zk<br /> k 1<br /> <br /> q<br /> <br /> x0   ). Khi đó,<br /> <br /> nếu<br /> <br /> ở đó Z k  Z ~ L (0, )<br /> <br /> (theo phân phối) và N ~ Geometry(q)  0q 1 .<br /> <br /> 2 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ<br /> 2.1 Định nghĩa 2.1<br /> <br /> f  x o g  x    x x0 <br /> <br /> eimt<br /> .<br />  2t 2<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> Kỳ vọng E  X m .<br /> <br /> Các kết quả của bài viết này được trình bày<br /> trong Mục 3. Đầu tiên, chúng tôi dùng phương<br /> pháp toán tử Trotter chứng minh sự hội tụ theo<br /> phân phối của dãy tổng hình học về phân phối<br /> Laplace đối xứng, được trình bày trong Định lí 3.1.<br /> Sau đó, chúng tôi sử dụng kỹ thuật tương tự như<br /> trong bài báo của Butzer (Butzer et al, 1975) để<br /> đánh giá tốc độ hội tụ dạng O-lớn với các điều kiện<br /> hàm f ( x ) thuộc lớp module liên tục hay lớp hàm<br /> Lipschitz, được trình bày trong các Định lí 3.2.<br /> Cuối cùng là Định lí 3.3, thể hiện tốc độ hội tụ<br /> dạng o-nhỏ với các điều kiện ràng buộc về<br /> moment.<br /> <br /> f  x<br /> bị chặn với<br /> g x<br /> <br /> .<br /> <br /> Hàm sinh: g (t )<br /> <br /> nhiên độc lập và cùng phân phối (Butzeret al,<br /> 1978) và áp dụng cho định lí giới hạn trung tâm,<br /> luật giới hạn ổn định và luật yếu số lớn (Butzeret<br /> al., 1975, Butzeret al., 1978). Gần đây nhất, Trần<br /> Lộc Hùng đã sử dụng toán tử Trotter cho biến ngẫu<br /> nhiên rời rạc (toán tử, mà Trotter xây dựng năm<br /> 1959 cho biến ngẫu nhiên liên tục) và áp dụng<br /> thành công cho xấp xỉ Poisson (Hung et al., 2013,<br /> Hung et al., 2014).<br /> <br /> nếu<br /> <br /> qeit<br /> <br /> Hàm đặc trưng:  (t ) <br /> <br /> n<br /> n , và Z  ( n )  Z j , với Z j là các biến ngẫu<br /> j 1<br /> <br /> f  x O g  x  <br /> <br /> 1<br /> q<br /> <br /> Kỳ vọng: E ( N )  nP ( N  n )  .<br /> <br /> f  x<br /> lim<br /> 0 .<br /> x x0 g  x <br /> <br /> Ta có điều phải chứng minh.<br /> <br /> 0.<br /> <br /> Dưới đây là định nghĩa và các tính chất của<br /> toán tử Trotter đã được xây dựng bởi Trotter<br /> (Trotter, 1959).<br /> <br /> Địnhnghĩa 2.2 Biến ngẫu nhiên N được gọi là<br /> có phân phối hình học với tham số q  0  q  1 ,<br /> 121<br /> <br /> Tạp chı́ Khoa học Trường Đại học Cầ n Thơ<br /> <br /> Phần A: Khoa học Tự nhiên, Công nghệ và Môi trường: 47 (2016): 120-126<br /> <br /> 2.3 Định nghĩa 2.4<br /> <br /> 2.  ( f ; )(1  ) ( f ; ) (  0)<br /> <br /> Giả sử f  CB  R  , C B  R  là lớp các hàm<br /> <br /> 2.6 Điều kiện Lipschitz<br /> <br /> liên tục đều và bị chặn trên tập số thực R, khi đó<br /> toán tử liên kết với biến ngẫu nhiên X được định<br /> nghĩa<br /> <br /> Hàm f  C B ( R ) được gọi là thỏa điều kiện<br /> Lipschitz bậc <br /> <br /> Đặc biệt, nếu f '  CB ( R ) thì f  Lip (1).<br /> <br /> 2.4 Tính chất 2.1<br /> <br /> 2.7 Bổ đề 2.2<br /> <br /> Toán tử Trotter có một số tính chất sau<br /> <br /> Nếu biến ngẫu nhiênX có E ( X r ) , khi đó<br /> <br /> 1. TX f  f ,f CB  R  ,<br /> <br /> E ( X j ) với 1 j  r và E ( X j )1 E ( X r ).<br /> <br /> 2. TX :CB  R CB  R  ,<br /> <br /> 3 TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA DÃY TỔNG<br /> HÌNH HỌC VỀ PHÂN PHỐI LAPLACE<br /> 3.1 Định lí 3.1<br /> <br /> 3. TX là một toán tử tuyến tính.<br /> 4. X1, X 2 cùng phân phối khi và chỉ khi<br /> T X f T X f ,f C B  R  .<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> Cho dãy các biến ngẫu nhiên ( X k , k  1, 2,...)<br /> độc lập cùng phân phối với X sao cho<br /> <br /> 5.Nếu<br /> <br /> X1, X 2<br /> độc<br /> lập<br /> thì<br /> T X  X f  (TX TX ) f  (TX TX ) f ,f C B  R  .<br /> 1 2<br /> 1<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> <br /> E  X 0, D X  2 và N là biến ngẫu nhiên độc<br /> <br /> lập và độc lập với X k , có phân phối hình học với<br /> <br /> 6. T X1  X 2 ... X n f  (T X1 TX 2 ...T X n ) f ,f C B  R  ,<br /> n<br /> <br /> n<br /> n<br /> '<br /> 7. T <br /> X i f T  X i' f   TX i f TX i f ,<br /> i 1<br /> i 1<br /> <br /> tham số<br /> <br /> q  0.<br /> <br /> 1, , độc lập theo mỗi nhóm.<br /> <br /> 3.2 Định lí 3.2<br /> <br /> <br /> n<br /> n<br /> n<br /> n<br /> 8. T <br /> Xi f T  Xi' f   P( N n) T  Xi f T  Xi' f ,<br /> i1<br /> <br /> với<br /> <br /> và<br /> <br /> n1<br /> <br /> i1<br /> <br /> ,<br /> <br /> i1<br /> <br /> Cho dãy các biến ngẫu nhiên ( X k ,k 1,2,...) độc<br /> lập cùng phân phối với X. Giả sử, với 3  r   , ta<br /> <br /> i1<br /> <br /> có:  x j dFX ( x )   x j dFZ ( x ), 0  j  r , j   và<br /> <br /> 1, , độc lập theo mỗi nhóm.<br /> <br /> R<br /> <br /> 9.Nếu<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> r 1<br /> <br /> Khi đó, với mọi f  C B ( R ) , ta có:<br /> <br /> <br /> <br /> 1 <br />  r 3 <br /> q<br />  f ( r 1) ;q 2   .<br /> <br /> <br /> <br /> .<br /> T q N<br /> f<br /> T<br /> f<br /> O<br /> 2<br /> Zf<br /> <br />  Xk<br /> <br />  <br /> <br /> k 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> thì lim FX n ( x ) FX ( x ) .<br /> n<br /> Để đánh giá tốc độ hội tụ trong các định lí giới<br /> hạn, chúng ta cần sử dụng một số định nghĩa và<br /> tính chất dưới đây (Butzer et al., 1975).<br /> 2.5 Module liên tục<br /> <br /> Hơn nữa, nếu f<br /> <br /> ( r 1)<br /> <br />  Lip , 0    1 , ta có<br /> <br />  r  3 <br /> N<br /> q 2 .<br /> T q <br /> f<br /> <br /> T<br /> f<br /> <br /> O<br /> Z<br /> Xk<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> k 1<br /> <br /> Với f CB ( R ), 0, ta có<br />  ( f ; ) sup f ( x  h ) f ( x )<br /> h <br /> <br /> R<br /> <br /> E ( X r ) .<br /> <br /> 2<br /> r<br /> lim TX n f TX f  0, f  C  R  , C  R <br /> B<br /> B<br /> n<br /> f CB  R : f  j CB  R ,1 j  r ,rN<br /> <br /> q 0 q 1 . Khi đó, tổng hình học<br /> <br /> N<br /> q  X k hội tụ theo phân phối về Z ~ L (0, ) khi<br /> k 1<br /> <br /> với<br /> <br /> i 1<br /> <br /> ,<br /> <br /> với 0    1 , ký hiệu là<br /> <br /> f  Lip ( ), nếu  ( f ;  )  O (  ) .<br /> <br /> TX f ( y )  E f ( X  y )   f ( x  y ) dFX ( x ),yR.<br /> R<br /> <br /> và<br /> <br /> (2.2)<br /> <br /> 3.3 Định lí 3.3<br /> <br /> (2.1)<br /> <br /> Cho dãy biến ngẫu nhiên ( X k ,k 1,2,...) độc lập<br /> cùng phân phối với X. Giả sử, với 2  r   , ta có:<br /> <br /> 1.  ( f ; ) là hàm đơn điệu giảm theo  và<br />  ( f ; )0 khi   0  .<br /> <br /> 122<br /> <br /> Tạp chı́ Khoa học Trường Đại học Cầ n Thơ<br /> <br /> j<br /> j<br />  x dFX ( x )   x dFZ ( x ), 0  j  r , j  <br /> R<br /> R<br /> r<br /> E X  .<br /> <br /> Phần A: Khoa học Tự nhiên, Công nghệ và Môi trường: 47 (2016): 120-126<br /> <br /> Do đó,<br /> <br /> và<br /> T<br /> <br />  <br /> <br /> r<br /> <br />  r 2 <br /> N<br />  q 2  q 0 .<br /> T q <br /> f<br /> T<br /> f<br /> o<br /> <br /> <br /> Z<br /> Xk<br /> <br /> <br /> k 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Vì Z ~ L (0, ) , theo Bổ đề 2.1 ta có<br /> <br /> <br /> FZ ( x ) F q N<br />  Z k ( x ),<br /> k 1<br /> <br />   0 tồn tại   0<br /> <br /> f ( qx  y )  f ( y )  qxf ( y ) <br /> <br /> <br /> khi |   y |  .<br /> ( q )2 x 2<br /> f ( y )<br /> 2<br /> <br /> n<br /> n<br /> T q <br /> X k f T q  Z k f <br /> k 1<br /> k 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> nq ‖ f ‖ qn<br /> x dFX ( x )  qn<br /> x dFZ ( x )  .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> | x| q<br />  | x| q<br /> <br /> 2<br /> <br /> ở đó |  y| q | x|. Suy ra<br /> qXk<br /> <br /> f ( y)  f ( y) <br /> <br /> q<br /> f ( y ) 2<br /> 2<br /> <br /> Do đó,<br /> <br /> q<br />    x 2 [ f ( )  f ( y )]dFX k ( x)<br /> 2  x  q 1<br /> | |<br /> <br />   x 2 [ f ( )  f ( y )]dFX k ( x)  .<br /> <br /> 1<br /> | x| q<br /> <br /> <br /> N<br /> N<br /> T q <br /> X k f T q  Z k f<br /> k 1<br /> k 1<br /> <br /> n<br /> n<br />   P ( N  n) T q <br /> X k f T q  Z k f<br /> n 1<br /> k 1<br /> k 1<br /> <br /> qZ k<br /> <br /> f ( y)  f ( y) <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />    2  2‖f ‖ ,<br /> <br /> Tương tự, ta có<br /> <br /> T<br /> <br /> <br /> q <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> x<br /> dF<br /> x<br /> x<br /> dF<br /> x<br /> (<br /> )<br /> (<br /> )<br /> <br /> X<br /> Z<br />  1<br /> k<br /> k<br /> 2   1<br /> <br /> | x|  q<br />  | x |  q<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  q 2  q f ''   x 2 dFX k ( x)   x 2 dFZk ( x)  .<br /> | x| q 1<br /> <br /> 1<br /> | x|   q<br /> <br /> <br /> Suy ra<br /> <br /> ( q )2 x 2<br /> [ f ( )  f ( y )]<br /> 2<br /> <br /> T<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> x<br /> f<br /> f<br /> y<br /> dF<br /> x<br /> <br /> (<br /> )<br /> <br /> (<br /> )<br /> (<br /> )<br /> Z<br />  1<br /> k<br /> <br /> | x|  q<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  q f ''   x 2 dFX k ( x)   x 2 dFZk ( x) <br /> | x| q 1<br /> <br /> 1<br /> | x|  q<br /> <br /> <br /> <br /> ở đó Z k  Z ~ L (0,  ) (theo phân phối).<br /> <br /> sao cho | f ( )  f ( y ) | <br /> Theo khai triển Taylor, ta có<br /> <br /> f ( y) <br /> <br /> qZ k<br /> <br /> <br /> <br />  q‖ f ‖  x 2 dFX k ( x)   x 2 dFZk ( x) <br /> | x| q 1<br /> <br /> 1<br /> | x |  q<br /> <br /> <br /> <br /> 4 CHỨNG MINH CÁC ĐỊNH LÍ<br /> 4.1 Chứng minh định lí 3.1<br /> <br /> 2<br /> <br /> f ( y)  T<br /> <br /> q <br /> x 2 f ( )  f ( y ) dFX k ( x)<br /> 2   1<br /> | x| q<br /> <br /> Khi đó, f  C B ( R ) , ta có<br /> <br /> Vì f  C B ( R ) , với mọi<br /> <br /> qXk<br /> <br /> với q đủ nhỏ.<br /> <br /> q<br /> f ( y ) 2<br /> 2<br /> <br /> Vậy,<br /> <br /> q<br />    x 2 [ f ( )  f ( y )]dFZk ( x)<br /> 2   1<br />  | x| q<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br />   x [ f ( )  f ( y )]dFZk ( x)  .<br /> <br /> 1<br /> | x|  q<br /> <br /> <br /> Định lí đã<br /> lim T q N<br />  X k f TZ f 0.<br /> q 0<br /> k 1<br /> <br /> được chứng minh.<br /> 4.2 Chứng minh định lí 3.2<br /> Vì Z ~ L (0, ) , theo Bổ đề 2.1, ta có<br /> <br /> FZ ( x)  F<br /> <br /> N<br /> <br /> q<br /> <br />  Zk<br /> k 1<br /> <br /> 123<br /> <br /> ( x),<br /> <br /> Tạp chı́ Khoa học Trường Đại học Cầ n Thơ<br /> <br /> Phần A: Khoa học Tự nhiên, Công nghệ và Môi trường: 47 (2016): 120-126<br /> <br /> ở đó Z k  Z ~ L (0, ) (theo phân phối).<br /> r 1<br /> <br /> Vì f  CB ( R ) , với mọi<br /> <br />   0 tồn tại   0<br /> <br /> | f<br /> <br /> cho<br /> <br /> f<br /> <br /> ( r 1)<br /> <br /> r 1<br /> qx  y   <br /> j 0<br /> <br /> <br /> <br /> r 1 r 1<br /> q<br /> x<br /> <br />  <br /> <br /> <br /> ( r 1)!<br /> <br />  <br /> <br /> j<br /> q xj<br /> j!<br /> <br /> T<br /> <br /> qX<br /> <br /> r 1<br /> f ( y)  <br /> j 0<br /> <br />  q<br /> <br /> <br />  q<br /> <br /> . f ( j) ( y)<br /> <br />  q<br /> <br /> <br />  q<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> j<br /> . f ( j ) ( y ).  x j dFX ( x )<br /> R<br /> <br /> N<br /> T q <br /> X k f TZ f<br /> k 1<br /> <br />  q<br /> <br /> <br /> j<br /> <br /> Nếu f ( r 1)Lip ,0 1, thì<br /> <br /> r 1<br /> <br />  q  . I  I ,<br />  r 1! 1 2<br /> <br />   r 3  <br /> <br /> <br /> N<br /> T q <br /> f<br /> <br /> T<br /> f<br /> <br /> O<br /> 2<br /> Z<br /> Xk<br /> q<br /> .<br /> <br /> <br /> k 1<br /> <br /> <br /> <br /> với<br /> <br /> Định lí đã được chứng minh.<br /> 4.3 Chứng minh định lí 3.3<br /> <br /> I1   x r 1  f  r 1   f  r 1  y   dFX ( x )<br /> <br /> <br /> R<br /> <br /> Áp dụng khai triển Taylor bậc r cho hàm f tại<br /> y , ta có<br /> <br />   x r 1 f  r 1   f  r 1  y  dFX ( x )<br /> R<br />   x r 1 f  r 1   y  y  f  r 1  y  dFX ( x )<br /> R<br />   x r 1  f  r 1 ; x q dFX ( x )<br /> <br /> <br /> R<br /> <br /> f<br /> <br />   f  r 1 ; q   x r 11 x dFX ( x )<br /> <br /> R<br /> <br /> <br /> <br />    <br /> <br />   r 3  <br /> 1 <br /> <br /> N<br />  f  r 1 ;q 2  .<br /> T q <br /> f<br /> <br /> T<br /> f<br /> <br /> O<br /> q<br /> <br /> .<br /> 2<br /> Z<br /> Xk<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> k 1<br /> <br />  <br /> <br /> <br /> Suy ra<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  f  r 1 ; q .  2 2 E X r  2 E Z r <br /> <br /> <br /> <br /> hay<br /> <br /> .  x r 1  f ( r 1) ( )  f ( r 1) ( y )  dFZ ( x ).<br /> <br /> <br /> R<br /> <br />   f  r 1 ;<br /> <br /> r 3<br /> <br />  r 1!<br /> <br /> . f ( j ) ( y ).  x j dFZ ( x )<br /> j!<br /> R<br /> <br /> T q X f ( y ) T qZ f ( y ) <br /> <br /> .<br /> <br /> Vậy<br /> <br /> r 1<br /> <br />  r 1!<br /> <br />    <br /> <br /> 1<br /> N<br /> T q <br /> X k f TZ f  q T q X1 f T qZ1 f<br /> k 1<br /> <br /> và<br /> q<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  f  r 1 ; q .  2 2 E X r  2 E Z r  .<br /> <br /> Ta lại có<br /> <br /> .  x r 1  f ( r 1) ( )  f ( r 1) ( y )  dFX ( x )<br /> <br /> <br /> R<br /> <br /> r 1<br /> T<br /> f ( y)  <br /> qZ<br /> j 0<br /> <br /> r 1<br /> <br />  r 1!<br /> <br /> r 1<br /> <br />  r 1!<br /> <br />  <br /> <br />   f  r 1 ; q .1 2 E Z r .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> T q X f T qZ f<br /> <br /> y  qx . Khi đó, ta có<br /> <br /> j!<br /> <br /> r 1  f  r 1   f  r 1 y  dF ( x )<br />  <br />   Z<br /> <br /> <br /> <br /> Do đó<br /> <br />  f ( r 1) ( )  f ( r 1) ( y )  ,<br /> <br /> <br /> <br /> ở đó  nằm giữa y và<br /> <br /> x<br /> R<br /> <br /> <br /> <br /> ( )  f ( r 1) ( y ) | <br /> khi<br /> |   y |  . Khai triển Taylor bậc r  1 , ta có<br /> <br /> sao<br /> <br /> <br /> <br /> I2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> r<br /> qx  y   <br /> j 0<br /> r<br /> q xr<br /> <br />  <br /> <br /> r!<br /> <br />  <br /> <br />  0<br /> <br /> tồn tại<br /> <br /> j!<br /> <br /> qx . Vì f  Br ( R ), với mỗi<br /> <br />   0 sao cho   y   suy ra<br /> <br /> f ( r ) ( )  f ( r ) ( y )   .<br /> <br /> và<br /> <br /> Ta có<br /> 124<br /> <br /> với nằm<br /> <br />  f ( r ) ( )  f ( r ) ( y )  ,<br /> <br /> <br /> <br /> giữa y và y <br /> <br /> <br /> <br /> q . 1 2 E X r <br /> <br /> <br /> <br />  q  j x j . f ( j) ( y)<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản