intTypePromotion=3

Phương pháp xấp xỉ ngẫu nhiên giải một loại bài toán điều khiển chứa tích phân bội và ứng dụng

Chia sẻ: Hoang Son | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

0
12
lượt xem
1
download

Phương pháp xấp xỉ ngẫu nhiên giải một loại bài toán điều khiển chứa tích phân bội và ứng dụng

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài toán điều khiển đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm giải quyết bằng nhiều phương pháp khác nhau. Trong đó có những bài toán điều khiển chứa các tích phân bội. Việc giải một bài toán chứa tích phân bội luôn có độ phức tạp tính toán cao khi giải bằng các thuật giải thông thường (sử dụng các công cụ giải tích). Với việc áp dụng phương pháp xấp xỉ ngẫu nhiên, các tích phân bội được giải với độ phức tạp nhỏ hơn nhiều.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phương pháp xấp xỉ ngẫu nhiên giải một loại bài toán điều khiển chứa tích phân bội và ứng dụng

Trần Thị Ngân và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> 90(02): 93 - 99<br /> <br /> PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ NGẪU NHIÊN GIẢI MỘT LOẠI BÀI TOÁN<br /> ĐIỀU KHIỂN CHỨA TÍCH PHÂN BỘI VÀ ỨNG DỤNG<br /> Trần Thị Ngân*, Trần Mạnh Tuấn<br /> Đại học CNTT & TT – ĐHTN<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Bài toán điều khiển đã đƣợc nhiều tác giả trong và ngoài nƣớc quan tâm giải quyết bằng nhiều<br /> phƣơng pháp khác nhau. Trong đó có những bài toán điều khiển chứa các tích phân bội. Việc giải<br /> một bài toán chứa tích phân bội luôn có độ phức tạp tính toán cao khi giải bằng các thuật giải<br /> thông thƣờng (sử dụng các công cụ giải tích). Với việc áp dụng phƣơng pháp xấp xỉ ngẫu nhiên,<br /> các tích phân bội đƣợc giải với độ phức tạp nhỏ hơn nhiều.<br /> Từ khóa: Bài toán điều khiển, tích phân bội, độ phức tạp tính toán, giải tích toán học, lý thuyết độ<br /> tin cậy.<br /> <br /> MỞ ĐẦU*<br /> Cho vecto a  ( a1 ,..., a n )  R n có các thành<br /> <br /> J L (u ) :   i  zi  zi (T ) <br /> <br /> phần hữu hạn và vecto b  (b1 ,..., bn )  R n<br /> với các thành phần nhận các giá trị có thể là<br /> vô hạn. Liên quan tới chúng là hình hộp mở<br /> [a,b), các thời điểm t 0 , T  R 1 và lớp U các<br /> <br /> <br /> z (T )  zn <br />  1   n  n<br />   inf, u  <br /> Q1 (u1 ,..., un 1 ) <br /> <br /> <br /> hàm hằng từng khúc trên [t 0 , T ] , xác định lần<br /> lƣợt dƣới dạng:<br />  x :  x1 ,..., xn   R n :   ai <br /> [a, b) : <br /> ,<br />  xi  bi  , i  1  n <br /> t0 : min ai , T : max bi , 1Y ( y )<br /> 1i  n<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> (1.2)<br /> <br /> zi (t )  pi (t ).ui (t ), t0  t  T ; zi (t0 )  z i<br /> đã cho i  1  n  1<br /> <br /> zn (t )  Q(u1 ,..., un1; t ).un (t ),<br /> t0  t  T ; zn (t0 )  z n<br /> <br /> 1i  n<br /> <br /> khi y  Y<br /> khi y  Y<br /> <br /> n<br /> <br /> ;  :  i ,<br /> i 1<br /> <br /> ui (.)  ui (., i ) : 1 a ,  (.) :[t0 , T ]<br /> i i<br />  i : <br /> ,<br />  {0,1}| ai  i  bi<br /> <br /> i  1  n.<br /> (1.1)<br /> Xét bài toán điều khiển tất định Lagrange với<br /> hàm điều khiển u  (u 1 ,..., u n )  U đƣợc<br /> tham số hóa theo các tham số<br />   ( 0 ,  n )  (a, b) ,<br /> <br />  0  (1 ,...,  n 1 )  i 1 (ai , bi ) và với thời<br /> n 1<br /> <br /> gian điều khiển (t 0 , T ) có thể là vô hạn sau:<br /> <br /> (1.3)<br /> đã cho.<br /> (1.3*)<br /> <br /> Trong đó:<br /> v1<br /> <br /> vn<br /> <br /> a1<br /> <br /> an<br /> <br /> pi ( xi ) :  ...  p ( x1 ,..., xi ,..., xn ) dx j ,<br /> j i<br /> <br /> xi  [t0 , T ], 1  i  n;<br /> T<br /> <br /> T<br /> <br /> n 1<br /> <br /> t0<br /> <br /> t0<br /> <br /> j 1<br /> <br /> Q(u1 ,..., un 1 ; xn ) :  ... p ( x) u j ( x j ; j )dx j<br /> 1<br /> <br />  n1<br /> <br /> n 1<br /> <br /> a1<br /> <br /> an1<br /> <br /> j 1<br /> <br />   ...  p ( x) dx j : q ( 0 ; xn )<br /> bn<br /> <br /> Q1 (u1 ,..., un 1 ) :  Q(u1 ,..., un 1 ; xn )dxn<br /> an<br /> <br /> 1<br /> <br />  n1 bn<br /> <br /> a1<br /> <br /> an1 an<br /> <br />   ... <br /> <br /> <br /> <br /> bn<br /> <br /> p ( x)dxn ...dxn   q ( 0 ; xn )dxn : q1 ( 0 )<br /> an<br /> <br /> (1.4)<br /> *<br /> <br /> Tel: 0989.040.454; Email: ttngan@ictu.edu.vn<br /> <br /> Với các giả thiết sau đƣợc thỏa mãn:<br /> 93<br /> <br /> Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br /> Trần Thị Ngân và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> (A)- Hàm đã cho p : R  R là dƣơng,<br /> liên tục và khả tích (theo nghĩa Lebesgue)<br /> trên [a,b):<br /> n<br /> <br /> 1<br /> <br /> p ( x)  0, x  (a, b); p  C  a, b  ;<br /> <br /> <br /> <br /> p ( x )dx  p<br /> <br /> L ( a ,b )<br /> <br />  <br /> <br /> ( a ,b )<br /> <br /> (1.5)<br /> (B)- Các tham số  : ( 1 ,...,  n ) thỏa mãn:<br /> <br /> 0  i <br /> <br /> p :<br /> <br /> p<br /> <br /> L ( a ,b )<br /> <br /> ,<br /> <br /> i  1  n  1, 0   n  1<br /> (1.6)<br /> Khi dùng phƣơng pháp trực tiếp để giải bài<br /> toán điều khiển (1.2) – (1.4), ta có thể chuyển<br /> nó về bài toán quy hoạch:<br /> <br /> J ( ) :   f i ( )   i   inf,<br /> n<br /> <br /> 2<br /> <br />   (a, b); f i ( )  f i (i ), 1  i  n<br /> (1.7)<br /> <br /> f i (i ) :<br /> <br /> bi 1 i bi 1<br /> <br /> bn<br /> <br />  ...    ... <br /> <br /> a1<br /> <br /> ai 1 ai ai 1<br /> <br /> p ( x)dx,<br /> <br /> (1.8)<br /> <br /> f n ( ) :<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 0<br /> <br /> ; xn )dxn<br /> <br /> q1 ( 0 )<br /> <br /> <br /> (2.1)<br /> Cho bởi nghiệm duy nhất:<br /> <br />  i   *  (ai , bi ), i  1,..., n của n phương<br /> f i ( i )   i , i  1  n  1, f n ( )   n<br /> <br /> bn<br /> <br />  q (<br /> <br />  (a, b);0* : (1* ,...,  n*1 )<br /> <br /> trình phi tuyến:<br /> <br /> an<br /> <br /> i  (ai , bi ), 1  i  n<br /> <br /> n<br /> <br /> nghĩa đó, phƣơng pháp Monte Carlo, tạo ƣớc<br /> lƣợng không chệch của các tích phân bội sẽ<br /> đƣợc sử dụng (trong mục II.2) để thiết lập các<br /> phƣơng trình hồi quy tƣơng ứng với bài toán<br /> quy hoạch (1.7)-(1.9). Trên cơ sở này,<br /> phƣơng pháp Robins Monro (Robins Monro’s<br /> Procedure - RMP) đƣợc xây dựng để giải số<br /> bài toán ban đầu. Những ứng dụng vào lý thuyết<br /> độ tin cậy sẽ đƣợc trình bày trong mục II.3.<br /> II.2. XÂY DỰNG MÔ HÌNH XẤP XỈ<br /> NGẪU NHIÊN<br /> Nhằm chuyển bài toán điều khiển (1.2)-( 1.4)<br /> về bài toán quy hoạch (1.7)-(1.9), ta xét kết<br /> quả sau:<br /> Bổ đề 2.1: Nếu các điều kiện (A), (B) được<br /> thỏa mãn thì:<br /> 1-Bài toán quy hoạch (1.7) có lời giải duy<br /> nhất:<br /> <br />    * : (1* ,..., n* )  ( 0* , n* )<br /> <br /> i 1<br /> <br /> b1<br /> <br /> 90(02): 93 - 99<br /> <br /> b<br /> <br /> n 1 n<br /> 1<br /> 1<br /> ...<br /> p ( x) dx,   ( a, b)<br /> q1 ( 0 ) a1 an1 n<br /> <br /> (1.9)<br /> Việc giải số bài toán quy hoạch (1.7) theo các<br /> phƣơng pháp tất định gặp khó khăn ở chỗ cần<br /> phải tính (n -1) tích phân bội f i ( i ) trong<br /> (1.8) và các tích phân bội trong (1.9), q1 ( 0 )<br /> trong (1.4) thì mới xác định đƣợc một giá trị<br /> cho hàm mục tiêu J ( ) .<br /> Mở rộng các kết quả đã có và sử dụng kết quả<br /> của công trình [7], bài toán điều khiển (1.2)(1.4) đƣợc giải trong dạng tổng quát. Với ý<br /> <br /> (2.2)<br /> 2- Hệ động lực (1.3)-( 1.3*) là điều khiển<br /> được bởi lớp hàm U và lớp hàm này cũng là<br /> tập hợp các điều khiển chấp nhận được của<br /> bài toán điều khiển (1.2)-( 1.3*).<br /> 3- Bài toán điều khiển (1.2)-( 1.3*) có điều<br /> khiển tối ưu duy nhất u*  u * (., *)  U xác<br /> định từ lời giải (2.1) của bài toán quy hoạch<br /> (1.7) theo công thức:<br /> <br /> u * (.; * ) : (u1* ,..., un* ), ui* (t ) : ui* (t ; i * )<br /> <br /> : 1( a , * ) (t ), t   0, T  , i  1  n.<br /> i<br /> <br /> i<br /> <br /> (2.3)<br /> Bổ đề trên đây đƣa việc giải bài toán điều<br /> khiển (1.2)-(1.3*) về việc tìm nghiệm<br />    *  (a, b) của hệ phƣơng trình phi<br /> tuyến (2.2). Nhằm thiết lập lƣợc đồ tính<br /> toán theo RMP thực hiện điều này, ta đƣa<br /> vào hàm vecto:<br /> <br /> 94<br /> <br /> Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br /> Trần Thị Ngân và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> g  u  :  g1 (u1 ),..., g n (un )   ( a, b),<br /> u :  u1 ,..., un   R n<br /> <br /> (2.4)<br /> có các thành phần thỏa mãn điều kiện (C)<br /> dƣới đây:<br /> (C)- Với mỗi i = 1, …, n, hàm<br /> g i : R1  (ai , bi ) là một song ánh khả vi,<br /> liên<br /> tục<br /> trên<br /> R1,<br /> trong<br /> đó<br /> 1<br /> g i (t )  0, (t  R ) .<br /> Gắn với các hàm g i (ui ), i  1,..., n nói trên,<br /> ta ký hiệu:<br /> n<br /> <br /> n<br />  p(u ) : pg1 (u1 ),..., g n (un )  g i (ui ) , u  (u1 ,..., un )  R ,<br /> i 1<br /> <br />  <br /> <br /> 1<br />  pi (ui ) :  ...  p( u1,..., ui ,..., un ) du j , ui  R , i  1  n,<br /> j i<br />  <br /> <br /> 1  n 1<br /> <br /> n 1<br /> q 0 ; un  : ... p( u1,..., un1 , un ) du j , un  R1 ,<br /> <br /> <br /> <br /> j 1<br />  <br /> <br /> n 1<br />  0 : 1 ,...,  n1   R ,<br /> <br /> (2.5)<br /> i<br /> <br />  f i ( )  f i ( i ) :  pi (t ) dt ,<br /> <br /> <br />   R1 , i  1  n  1,<br /> i<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  q ( 0 ; un ) dun<br /> <br /> n<br /> ,<br />  f n ( )  <br /> <br />  q ( 0 ; un ) dun<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> n<br />  n  R ,   ( 0 ,  n )  R .<br /> <br /> (2.5*)<br /> và lần lƣợt chứng minh đƣợc các kết quả sau:<br /> Bổ đề 2.2: Nếu các điều kiện (A), (B), (C)<br /> được thỏa mãn thì:<br /> 1-Với mỗi I = 1,..., n luôn tồn tại hàm ngược<br /> 1<br /> 1<br /> liên tục u i  g i ( xi )  R , xi  (ai , bi )<br /> <br /> 90(02): 93 - 99<br /> <br /> 0  f i (i )  p , i  R1 , i  1  n  1;<br /> 0  f n ( )  1,   R n<br /> (2.6*)<br /> Trong đó,<br /> <br /> f i (.) : R1  (0, p ), i  1,..., n  1<br /> 1<br /> n 1<br /> và f n ( 0 ,.) : R  (0,1),  0  R<br /> <br /> là các hàm liên tục, thực sự tăng với i = 1,…,<br /> n-1 và thực sự giảm với i = n.<br /> 2-Hệ n phương trình phi tuyến:<br /> <br /> f i (i )   i , i  1  n  1, f n ( )   n<br /> (2.7)<br /> luôn có nghiệm duy nhất:<br /> <br />    * : (1* ,...,  n* )  R n và lời giải  *<br /> trong (2.1) của bài toán (1.7) được xác định<br /> từ nghiệm này theo công thức:<br /> <br />  *   g1 (1* ),..., g n ( n* )   (a, b),<br />  * : (1* ,...,  n* )  R n<br /> <br /> (2.8)<br /> 3-Khi chuẩn hóa hàm p (u ), u  R trong<br /> (2.5), ta thu được hàm mật độ:<br /> n<br /> <br />   u  :<br /> <br /> p(u )<br /> , u  R n ;   (u )du  1,<br /> p<br /> Rn<br /> <br />   u   0, u  R n<br /> (2.9)<br /> Từ kết luận 3 của bổ đề trên, ta có thể thiết<br /> lập vecto ngẫu nhiên  : ( 1,...,  n )  R n có<br /> n<br /> hàm mật độ (đồng thời) là  (u ), u  R và<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> lập quá trình ngẫu nhiên  ( ),  R ,<br /> dƣới dạng:<br />    :  1 1  ,...,  n 1  n 1  ,  n     R n ,<br /> <br /> 1<br /> của hàm xi  g i (u i )  (ai , bi ), u i  R và<br /> <br />  : (1 ,...,  n )  R n<br /> <br /> ta có:<br /> f i (i )  f i (i ), i  1  n  1,<br /> <br />  i  i     i ,  i  : <br /> <br /> 1<br /> 0<br /> <br /> khi  i   i<br /> khi  i   i<br /> <br /> n<br /> <br /> ,<br /> <br /> 1  i  n,<br /> <br /> f n ( )  f n ( )<br /> <br />   (1 ,...,  n ), i : gi1 ( )  R1 ,<br /> i  ( ai , bi ), i  1  n<br /> <br />  n   n     ,  <br /> n 1<br /> <br /> :    j ,  j   n  1    n ,  n   .<br /> i 1<br /> <br /> (2.6)<br /> <br /> (2.10)<br /> 95<br /> <br /> Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br /> Trần Thị Ngân và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> Gọi F : R n  R n là hàm vecto xác định<br /> dƣới dạng:<br /> F   :  F1 1  ,..., Fn 1  n 1  , Fn     R n ,<br /> <br />  : ( 0 , n )  R ,<br /> <br /> Bổ đề 2.4: Nếu các điều kiện (A) – (D) được<br /> thỏa mãn thì với mọi   (0,1) , ta có:<br /> <br /> <br /> <br /> Fn   :  n<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> q  0 ; un <br /> p<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> q  0 ; un <br /> p<br /> <br /> n<br /> <br /> inf<br /> <br /> f i i  , 1  i  n  1,<br /> <br /> 1<br /> <br />     <br /> <br />  F     ,     0,<br /> *<br /> <br /> <br /> <br /> :   R n :      *  1 / <br /> <br /> dun<br /> <br /> dun ,  0 : (1 ,...,  n 1 ).<br /> <br /> E    F  ,   R n ,<br /> <br /> <br /> <br /> (2.12)<br /> <br /> <br /> <br /> E     F   R n   2  const,   R n<br /> 2<br /> <br /> 2.13)<br /> Đồng thời, hệ phương trình (2.6) tương<br /> đương với hệ phương trình hồi quy sau đây:<br /> <br /> E     ;  : p (1 ,...,  n 1 ,0)  R n<br /> 1<br /> <br /> Đối<br /> <br /> với<br /> <br /> p(u)  0, u  (u1 ,..., u n )  R<br /> <br /> n<br /> <br /> (2.14)<br /> hàm<br /> xác định<br /> <br /> trong (2.7) và tham số  n nêu trong giả thiết<br /> (B), ta còn bổ sung thêm giả thiết (D) dƣới<br /> đây:<br /> <br /> n <br /> <br /> số<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> và<br /> <br /> hàm<br /> <br /> p(u0 ,.) : R1  (0,) , phụ thuộc tham biến<br /> <br /> (2.16)<br /> <br />   <br /> <br /> <br /> <br /> (2.17)<br /> Trong đó:   ( ,...,  ) là nghiệm duy<br /> nhất của hệ (2.9).<br /> Chú ý 2.1: Ta nhận thấy rằng: có thể thu hẹp<br /> n<br /> *<br /> miền áp dụng R \  của điều kiện (2.14*)<br /> *<br /> <br /> (2.11)<br /> Khi đó ta thu đƣợc các kết quả sau:<br /> Bổ đề 2.3: Nếu các điều kiện (A)-(C) được<br /> thỏa mãn thì ta có:<br /> <br /> (D)-Tham<br /> <br /> <br /> <br /> G   : F     ,   *  0,    * ,<br /> <br /> n<br /> <br /> Fi i  : p<br /> <br /> 90(02): 93 - 99<br /> <br /> *<br /> 1<br /> <br /> *<br /> n<br /> <br />  <br /> <br /> thành miền ( ) . Nghĩa là ta có thể thay<br /> điều kiện nói trên trong giả thiết (D) bởi điều<br /> kiện sau:<br /> n<br /> <br /> i<br /> <br /> i 1<br /> <br />  i*<br /> <br />   i   i*   pi (ui )dui<br />   n   n* . p ,     <br /> <br /> (2.18)<br /> Khi đó, có thể đưa ra một dấu hiệu đủ của<br /> điều kiện này, dưới dạng:<br /> <br />    : min pi (i ) <br /> 1i  n<br /> <br /> p<br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> ,   B1 ( * )<br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> :   R n :    *  <br /> <br /> <br /> (2.18*)<br /> Bây giờ ta sử dụng phƣơng pháp RMP để xây<br /> dụng dãy nghiệm xấp xỉ ngẫu nhiên  m m1<br /> của hệ phƣơng trình hồi quy (2.14) theo mô<br /> hình lặp sau:<br /> <br />  <br /> <br /> u0  (u1 ,..., u n1 )  R n1 là đối xứng qua<br /> <br />  m  1m ,...,  nm  , m  1; nm 1<br /> <br /> trục u n  m :<br /> <br />   nm   m   m ,  m<br /> <br /> p(u0 , m  un )  p(u0 , m  un ), u  (u0 , un )  R n ,<br /> sao cho:<br /> <br />  <br /> n<br /> <br /> i 1<br /> <br /> i<br /> <br />  i*<br /> <br /> (2.15)<br /> <br /> i<br /> <br />   p (u )du<br /> i<br /> <br /> i<br /> <br /> i<br /> <br />   n   n* . p ,<br /> <br /> i*<br /> <br />   R : 0  <br /> n<br /> <br /> *<br /> 0<br /> <br /> (2.15*)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> im 1  im   m    im , im  <br /> <br /> <br /> i <br /> <br /> ,<br /> p <br /> <br /> 1  i  n.<br /> (2.19)<br /> trong đó: vecto ngẫu nhiên  (1)  R n là tùy ý,<br />  m m1 là dãy số thỏa mãn điều kiện:<br /> <br /> 96<br /> <br /> Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br /> Trần Thị Ngân và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  m  0, m  1;   m  ,   m2  <br /> m 1<br /> <br /> m 1<br /> <br /> (2.20)<br /> m<br /> m<br /> m<br /> m<br />  i ( i , i ), ( , ) xác định theo (2.10)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> và    ,...,  m1 là dãy những thể<br /> hiện độc lập của vecto ngẫu nhiên<br />    1 ,...,  n đƣợc tạo bằng phƣơng pháp<br /> m<br /> <br /> m<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> m<br /> n<br /> <br /> <br /> <br /> Monte Carlo từ hàm mật độ  u  cho dƣới<br /> dạng (2.9), (2.5). Khi đó ta có:<br /> Định lý 2.1: Với các điều kiện (A)-(D), ta đặt:<br /> <br />  m : 1m ,..., nm   (a, b), i m : gi (im ),<br /> i  1  n, m  1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> t  t0 , T  , i  1  n.<br /> <br /> i<br /> <br /> (2.21)<br /> Trong đó  m m1 là dãy nghiệm xấp xỉ ngẫu<br /> nhiên của hệ (2.14) lập theo RMP (2.19). Khi<br /> đó:<br /> 1-Dãy  m m1 sẽ hội tụ hầu chắc chắn (hcc)<br /> <br />  <br /> <br />  <br /> <br /> *<br /> về lời giải   ( a, b) của bài toán quy<br /> <br /> hoạch<br /> <br /> P{ lim  m   *}  1.<br /> <br /> (1.7):<br /> <br /> (2.22)<br /> <br /> m  <br /> <br />  <br /> <br /> 2- Dãy u m m1 sẽ hội tụ theo mục tiêu<br /> (theo nghĩa hầu chắc chắn) về điều khiển tối<br /> ưu u* U của bài toán điều khiển (1.2)P lim J L (u m )  J L (u * )  1.<br /> (1.3*):<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> m  <br /> <br /> Tƣơng tự, do 0 <  < 1 nên ta còn có:<br /> <br /> Fn ( ) <br /> <br /> Chứng minh: Khi xét các thành phần của<br /> vecto hàm F() trong (2.11) ta nhận thấy<br /> rằng: do tính dƣơng của các hàm<br /> p u , pi ui , q  0 ; u n  trong (2.5) nên từ<br /> (2.5), (2.5*) và (2.9) ta có:<br /> i<br /> f i <br /> f t <br /> 0  Fi i   i<br />   i<br /> dt<br /> p<br /> p<br /> <br /> <br />   (u )du  1,<br /> <br /> <br /> <br /> q  0 ; un  dun<br /> p<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> q  0 ; un  dun<br /> p<br /> <br /> n<br /> <br />  2    u  du  2<br /> Rn<br /> <br /> Kết hợp điều này với (2.24) ta thu đƣợc:<br /> <br /> F  <br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> n 1<br /> <br />   Fi i   Fn  <br /> <br /> 2<br /> <br /> i 1<br /> <br />  F   <br /> <br /> n  3  const ,   R n<br /> <br /> (2.25)<br /> Ta biết rằng: từ các điều kiện (2.25), (2.20),<br /> (2.17), (2.13), (2.12) có thể suy ra sự hội tụ<br /> hcc của dãy nghiệm xấp xỉ ngẫu nhiên<br />  m m1 về nghiệm của hệ phƣơng trình hồi<br /> quy (2.14):<br /> <br /> P{ lim  m   *}  1<br /> m <br /> <br />  P{ lim im  i*}  1, i  1  n.<br /> m <br /> <br /> (2.26)<br /> trong đó, do hệ phƣơng trình hồi quy này<br /> tƣơng đƣơng với hệ (2.9) (theo bổ đề 2.3) nên<br /> nghiệm  * nói trên cũng là nghiệm duy nhất<br /> của (2.7). Bởi vậy, từ (2.14), (2.21), và tính<br /> liên tục của các hàm g i (theo giả thiết (C))<br /> ta có:<br /> <br /> 1  i  n.<br /> <br /> Rn<br /> <br /> (2.24)<br /> <br />  <br /> <br /> P{ lim im  i*}  P{ lim gi im<br /> m<br /> <br /> m<br /> <br />  <br /> <br />  gi i* }  P{ lim i m  i *}, i  1  n.<br /> m<br /> <br /> Khi đó, từ (2.26) ta thu đƣợc:<br /> <br /> (2.23)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  <br /> <br /> u m : u1m ,..., unm ; uim (t ) : 1( a , m ) (t ),<br /> i<br /> <br /> 90(02): 93 - 99<br /> <br /> P{ lim i m  i *}, i  1  n<br /> m <br /> <br />  P{ lim <br /> m <br /> <br /> m<br /> <br />   *}  1,<br /> <br /> trong đó, (xem Bổ đề 2.2),   (a, b) là<br /> điều khiển tối ƣu dạng (2.1) của bài toán<br /> (1.2)-(1.4). Nghĩa là (2.22) đƣợc chứng minh.<br /> Cuối cùng, từ tính liên tục của các hàm<br /> *<br /> <br /> <br /> <br /> f i  , i 1  n trong (1.8), (1.9) ta suy ra<br /> <br /> <br /> <br /> tính liên tục của hàm J  trong (2.5). Khi<br /> đó, ta có:<br /> 97<br /> <br /> Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản