Sai Lầm Trong Cực Trị Đại Số

Chia sẻ: Trần Bá Trung5 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

156
lượt xem 78
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu " Sai Lầm Trong Cực Trị Đại Số " mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp học hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sai Lầm Trong Cực Trị Đại Số

SAI L M TRONG C C TR IS A1 - D NG SAI L M TH NH T Trong bµi lµm cã sö dông nhiÒu B§T, nh−ng khi t×m ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cÇn t×m ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt (hoÆc lín nhÊt) th× c¸c dÊu b»ng kh«ng ®ång thêi x¶y ra ®· kÕt luËn kÕt luËn biÓu thøc ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt (hoÆc lín nhÊt) hoÆc biÓu thøc kh«ng ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt (hoÆc lín nhÊt) 1 Bµi 1: Cho x, y lµ hai sè d−¬ng tho¶ m·n x + ≤ 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc y x y M = 32. + 2007. . y x L i gi i ‘‘có v n ñ ’’ x y Tõ x, y > 0 ta cã + ≥ 2. y x 2 1  1 1 y Tõ x, y > 0 vµ x + ≤ 1 ta cã 1 ≥  x +  ≥ 4 x. ⇒ ≥ 4. y  y y x x y x y y Do vËy M = 32. + 2007. = 32.  +  + 1975. ≥ 32.2 + 1975.4 = 7964 . y x y x  x DÊu “=” x¶y ra ⇔ x = y . VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M lµ 7964, gi¸ trÞ nµy ®¹t ®−îc khi x = y. Bình lu n Nh−ng!... x = y th× M = 2039. VËy sai lÇm ë ®©u? Gi i ñáp x y Lêi gi¶i sai ë chç víi x, y > 0 th× + ≥ 2. y x y DÊu “=” x¶y ra ⇔ x = y, cßn ≥ 4, DÊu “=” x¶y ra ⇔ y = 4x. x 1 MÆt kh¸c cã thÓ thÊy x = y th× m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt x + ≤ 1. y Nh− vËy nguyªn nh©n cña sai lÇm trong lêi gi¶i trªn lµ trong mét bµi to¸n mµ sö dông nhiÒu bÊt ®¼ng thøc ®Ó t×m cùc trÞ nh−ng c¸c dÊu “=” kh«ng ®ång thêi x¶y ra . L i gi i ñúng GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP. QUY NHƠN
2  1 1 y Tõ gi¶ thiÕt ta cã 1 ≥  x +  ≥ 4 x. ⇒ ≥ 4.  y y x ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè kh«ng ©m ta cã x y  x y y x y M = 32. + 2007. =  32. + 2.  + 2005. ≥ 2. 32. .2. + 2005.4 = 8036 . y x  y x x y x 1 DÊu “=” x¶y ra ⇔ x = ; y = 2 . 2 1 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M lµ 8036, gi¸ trÞ nµy ®¹t ®−îc khi x = ; y = 2 . 2 Bµi 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 2 x + 3 y biÕt 2 x 2 + 3 y 2 ≤ 5 . L i gi i ‘‘có v n ñ ’’ Gäi B = 2 x 2 + 3 y 2 , ta cã B ≤ 5. 2 2  1  1 XÐt A + B = 2 x + 3 y + 2 x 2 + 3 y 2 = 2 ( x 2 + x ) + 3 ( y 2 + y ) = 2  x +  + 3  y +  − ≥ − 5 5 (1)  2  2 4 4 Ta l¹i cã B ≤ 5 nªn − B ≥ −5 (2) 25 Céng (1) víi (2) ta ®−îc A ≥ − . 4 25 1 Min A = − ⇔x= y=− . 4 2 Bình lu n 1 5 Nh−ng víi x = y = − ⇒ A = − , vËy sai lÇm ë ®©u? 2 2 Gi i ñáp 1 Sai lÇm ë chç víi x = y = − , chØ x¶y ra dÊu “=” ë (1), cßn dÊu “=” ë (2) kh«ng x¶y ra. 2 1 5 ThËt vËy víi x = y = − th× B = ≠ 5 . Do ®ã − B ≠ −5 . 2 4 L i gi i ñúng ¸p dông B§T Bunhiacèpxki ta cã: ( ) ( ) ≤ ( 2 + 3) 2 x 2 + 3 y 2 ≤ 5.5 = 25 2 A2 = 2. 2 x + 3. 3 x x 2 y 3 A2 = 25 ⇔ = ⇔x= y 2 3 Do A2 ≤ 25 nªn −5 ≤ A ≤ 5 . GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP. QUY NHƠN
x = y Min A = −5 ⇔  ⇔ x = y = −1.  2 x + 3 y = −5 x = y Max A = 5 ⇔  ⇔ x = y = 1. 2 x + 3 y = 5 Bµi 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc F ( x, y ) = ( x + y ) + ( x + 1) + ( y − x ) . 2 2 2 L i gi i ‘‘có v n ñ ’’ Ta thÊy ( x + y ) ; ( x + 1) ; ( y − x ) kh«ng ®ång thêi b»ng 0 nªn F ( x, y ) > 0. 2 2 2 F ( x, y ) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi vµ chØ khi a = ( x + 1) vµ b = ( x + y ) + ( y − x ) ®ång thêi ®¹t gi¸ trÞ nhá 2 2 2 nhÊt. a = ( x + 1) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 0 khi x = -1. 2 Khi ®ã b = ( x + y ) + ( y − x ) = 2 y 2 + 2, nªn b ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 2 khi y = 0. 2 2  x = −1 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña F ( x, y ) lµ 2 khi  . y = 0 Bình lu n Ph¶i ch¨ng lêi gi¶i trªn lµ ®óng? Gi i ñáp Lêi gi¶i m¾c sai lÇm ë b−íc lËp luËn: F ( x, y ) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi vµ chØ khi a = ( x + 1) vµ 2 b = ( x + y ) + ( y − x ) ®ång thêi ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. LËp luËn nµy chØ ®óng khi c¸c gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã 2 2 ®¹t ®−îc t¹i cïng mét gi¸ trÞ cña c¸c biÕn. Râ rµng ë ®©y a ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi x = -1, cßn b ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi x + y = x – y = 0, tøc lµ khi x = y = 0. L i gi i ñúng 2 BiÕn ®æi F ( x, y ) = 3 x + 2 x + 1 + 2 y = 3  x +  + + 2 y 2 ≥ . 2 2 1 2 2    3 3 3 1 §¼ng thøc x¶y ra ⇔ x = − , y = 0. 3 2 1 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña F ( x, y ) lµ , gi¸ trÞ nµy ®¹t ®−îc khi x = − , y = 0. 3 3 Bµi 4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc D = −5 x 2 − 2 xy − 2 y 2 + 14 x + 10 y − 1 . L i gi i ‘‘có v n ñ ’’ Ta cã D = −5 x 2 − 2 xy − 2 y 2 + 14 x + 10 y − 1 = − ( x 2 + 2 xy + y 2 ) − ( 4 x 2 − 14 x ) − ( y 2 − 10 y ) − 1 GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP. QUY NHƠN
2  7 145 = − ( x + y ) −  2 x −  − ( y − 5) + 2 2  2 4 x + y = 0 x = − y   145  7  7 Suy ra D ≤ . DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi 2 x − = 0 ⇔  x = 4  2  4 y −5 = 0  y = 5  HÖ trªn v« nghiÖm nªn D kh«ng tån t¹i gi¸ trÞ lín nhÊt Bình lu n B¹n cã ®ång ý víi kÕt luËn trªn cña bµi to¸n kh«ng? Lêi gi¶i ®· thuyÕt phôc ch−a? Gi i ñáp 2 Tõ biÕn ®æi ®Õn D = − ( x + y ) −  2 x −  − ( y − 5 ) + 7 145 145 th× míi chØ suy ra D ≤ 2 2   , cßn viÖc kÕt luËn  2 4 4 gi¸ trÞ lín nhÊt cña D kh«ng tån t¹i lµ ch−a chÝnh x¸c, kh«ng cã c¨n cø x¸c ®¸ng. L i gi i ñúng C¸ch 1: Ta cã D = − ( x 2 + y 2 − 6 x − 6 y + 2 xy + 9 ) − ( 4 x 2 − 8 x + 4 ) − ( y 2 − 4 y + 4 ) + 16 = − ( x + y − 3) − 4 ( x − 1) − ( y − 2 ) + 16 2 2 2 x + y − 3 = 0  x = 1 Suy ra D ≤ 16 . DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi  x − 1 = 0 ⇔ y − 2 = 0 y = 2  VËy Max D = 16, gi¸ trÞ nµy ®¹t ®−îc khi vµ chØ khi x = 1 vµ y = 2. Lêi gi¶i trªn tuy ®óng song cã vÎ thiÕu “tù nhiªn”, c¸ch 2 sau ®©y sÏ mang tÝnh thuyÕt phôc h¬n. C¸ch 2: BiÓu thøc tæng qu¸t d¹ng P( x, y ) = ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + h (a, b, c ≠ 0) C¸ch gi¶i: BiÕn ®æi P( x, y ) vÒ mét trong hai d¹ng sau: D¹ng 1: P( x, y ) = m.F 2 ( x, y ) + n.H 2 ( x) + g (1) D¹ng 2: P( x, y ) = m.F 2 ( x, y ) + n.K 2 ( y ) + g (2) Trong ®ã H ( x), K ( y ) lµ biÓu thøc bËc nhÊt ®èi víi biÕn cña chóng, cßn F ( x, y ) lµ biÓu thøc bËc nhÊt ®èi víi c¶ hai biÕn x vµ y. NÕu m > 0, n > 0 th× ta cã max P ( x, y ) = g .  F ( x, y ) = 0  F ( x, y ) = 0 Gi¸ trÞ nµy ®¹t ®−îc khi vµ chØ khi  hoÆc  .  H ( x) = 0  K ( y) = 0 GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP. QUY NHƠN
NÕu m < 0, n < 0 th× ta cã min P( x, y ) = g .  F ( x, y ) = 0  F ( x, y ) = 0 Gi¸ trÞ nµy ®¹t ®−îc khi vµ chØ khi  hoÆc  .  H ( x) = 0  K ( y) = 0 §Ó biÕn ®æi ®−îc nh− vËy, ta coi mét biÕn lµ biÕn chÝnh råi t×m c¸ch biÕn ®æi ®Ò ¸p dông c¸c h»ng ®¼ng thøc a2 + 2ab + b 2 = ( a + b ) , a2 − 2ab + b 2 = ( a − b ) 2 2 ë ®©y ta chän biÕn y lµ biÕn chÝnh Cô thÓ: Ta cã D = −5 x 2 − 2 xy − 2 y 2 + 14 x + 10 y − 1  2 ( x − 5)  + ( x − 5) − 5 x2 + 14 x − 1 2 2 = −2.  y + ( x − 5 ) y +    4   2 x − 5  9 ( x − 1) 2 2  = −2  y +  − + 16 ≤ 16  2  2  x −5 y + =0 x = 1 Suy ra D ≤ 16 . DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi  2 ⇔  y = 2 x −1 = 0 VËy Max D = 16, gi¸ trÞ nµy ®¹t ®−îc khi vµ chØ khi x = 1 vµ y = 2. A2 - D NG SAI L M TH HAI Kh«ng x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn x¶y ra dÊu b»ng trong B§T f ≥ m (hay f ≤ m ), hoÆc ®iÒu kiÖn x¶y ra dÊu b»ng kh«ng tho¶ m·n gi¶ thiÕt. Bµi 5: Cho x, y, z tho¶ m·n x 2 + y 2 + z 2 ≤ 27 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P = x + y + z + xy + yz + zx. L i gi i ‘‘có v n ñ ’’ Víi mäi x, y, z ta cã: ( x − y ) ≥ 0; ( y − z ) ≥ 0; ( z − x ) ≥ 0 2 2 2 Suy ra x 2 + y 2 ≥ 2 xy; y 2 + z 2 ≥ 2 yz; z 2 + x 2 ≥ 2 zx ⇒ 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 2 ( xy + yz + zx ) ⇒ 27 ≥ xy + yz + zx. (1) MÆt kh¸c ( x − 1) ≥ 0; ( y − 1) ≥ 0; ( z − 1) ≥0 2 2 2 Suy ra x 2 + 1 ≥ 2 x; y 2 + 1 ≥ 2 y; z 2 + 1 ≥ 2 z ⇒ ( x 2 + y 2 + z 2 ) + 3 ≥ 2 ( x + y + z ) ⇒ 15 ≥ x + y + z (2) Céng theo tõng vÕ cña (1) vµ (2) suy ra P ≤ 42 . VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P lµ 42 Bình lu n Bµi lµm kh¸ “®Ñp”, nh−ng kÕt qu¶ l¹i sai? Theo b¹n lêi gi¶i sai ë ®©u? Kh¾c phôc nh− thÕ nµo? GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP. QUY NHƠN
Gi i ñáp Lêi gi¶i nµy ®· quªn mét b−íc v« cïng quan träng cña mét bµi to¸n cùc trÞ khi sö dông B§T, ®ã lµ x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn x¶y ra ®¼ng thøc. x = y = z = 3  Ta thÊy P = 42 ⇔ (1) vµ (2) ®ång thêi trë thµnh ®¼ng thøc ⇔  x 2 + y 2 + z 2 = 27 x = y = z = 1  HÖ trªn v« nghiÖm nªn B§T P ≤ 42 kh«ng thÓ trë thµnh ®¼ng thøc. L i gi i ñúng XÐt hiÖu 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) − ( x + y + z ) = 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 ( xy + yz + zx ) 2 = ( x − y) + ( y − z ) + ( z − x) ≥ 0 2 2 2 (*) . Tõ (*) suy ra: ( x + y + z) ≤ 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) ≤ 3.27 ⇒ x + y + z ≤ 9 (®¼ng thøc x¶y ra ⇔ x = y = z = 3). 2 (1) Còng tõ (*) suy ra 2( xy + yz + zx) ≤ 2( x 2 + y 2 + z 2 ) ⇒ xy + yz + zx ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 27 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: x + y + z + xy + yz + zx ≤ 36 §¼ng thøc x¶y ra ⇔ x = y = z = 3. VËy P ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 36, gi¸ trÞ nµy ®¹t ®−îc ⇔ x = y = z = 3. Bµi 6: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x + x . L i gi i ‘‘có v n ñ ’’ 2  1 1  1 1 1 1 Ta cã A = x + x =  x + x +  − =  x +  − ≥ − . VËy min A = − .  4 4  2 4 4 4 Bình lu n Lêi gi¶i rÊt “hån nhiªn” vµ “ng¾n gän” nh−ng lËp luËn ®· chÆt chÏ ch−a? KÕt qu¶ cã chÝnh x¸c kh«ng? Theo b¹n “kÏ hë” ë chç nµo? Gi i ñáp 1 1 1 Sau khi chøng minh A ≥ − , ch−a chØ ra tr−êng hîp x¶y ra A ≥ − , . X¶y ra dÊu ®¼ng thøc ⇔ x =− , 4 4 2 v« lÝ. L i gi i ñúng §Ó tån t¹i x ph¶i cã x ≥ 0 . Do ®ã A = x + x ≥ 0 . Min A = 0 ⇔ x = 0. ( x + a )( x + b ) , víi Bµi 7: T×m GTNN cña biÓu thøc A = x > 0 , a vµ b lµ c¸c h»ng sè d−¬ng cho tr−íc. x GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP. QUY NHƠN
L i gi i ‘‘có v n ñ ’’ Ta cã x + a ≥ 2 ax (1) x + b ≥ 2 bx (2) Do ®ã A = ( x + a )( x + b ) ≥ 2 ax .2 bx = 4 ab x x Min A = 4 ab ⇔ x = a = b. Bình lu n Lêi gi¶i “thuyÕt phôc” ®Êy chø, cã cÇn ph¶i gi¶i l¹i kh«ng? Gi i ñáp ChØ x¶y ra A = 4 ab khi ë (1) vµ (2) x¶y ra dÊu ®¼ng thøc, tøc lµ x = a vµ x = b. Nh− vËy ®ßi hái ph¶i cã a = b. NÕu a ≠ b th× kh«ng cã ®−îc A = 4 ab . L i gi i ñúng Ta thùc hiÖn phÐp nh©n vµ t¸ch ra c¸c h»ng sè: ( x + a )( x + b ) = x 2 + ax + bx + ab =  x + ab  + A=   ( a + b). x x  x  ab ( ) 2 Ta cã x + ≥ 2 ab (B§T C«si) nªn A ≥ 2 ab + a + b = a+ b x  ab x = ( ) 2 Min A = a+ b ⇔  x ⇔ x = ab . x > 0  Bµi 8: Cho a, b, c lµ c¸c sè d−¬ng, h·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P =  1 + a  b  c   1 + 1 +  .  5b  5c  5a  L i gi i ‘‘có v n ñ ’’ Do a, b, c lµ c¸c sè d−¬ng nªn ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã: a a b b c c 1+ ≥2 (1); 1+ ≥2 (2); 1+ ≥2 (3) 5b 5b 5c 5c 5a 5a a b c 8 5 Nh©n tõng vÕ cña ba bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu vµ c¸c vÕ ®Òu d−¬ng ta ®−îc P ≥ 8 . . = . 5b 5c 5a 25 8 5 Do ®ã P nhá nhÊt b»ng . 25 Bình lu n C¸c b¹n cã ®ång t×nh víi c¸ch gi¶i nµy kh«ng? Gi i ñáp GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP. QUY NHƠN
8 5 §Ó ý kh«ng tån t¹i a, b, c ®Ó P = . §©y lµ sai lÇm th−êng m¾c khi dïng bÊt ®¼ng thøc ®Ó t×m gi¸ trÞ 25 lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc. Mét nguyªn nh©n s©u xa h¬n nhiÒu lµ b¹n ®äc kh«ng hiÓu ®óng nghÜa cña dÊu “≥” vµ dÊu “≤”. Kh«ng ph¶i khi nµo viÕt “≥” còng cã thÓ x¶y ra dÊu “=”. VÝ dô ta viÕt 10 ≥ 2 lµ ®óng nh−ng kh«ng thÓ cã 10 = 2. L i gi i ñúng  a  b  c  1a b c 1 a b c 1 BiÕn ®æi P =  1 +  1 +  1 +  = 1 +  + +  +  + +  + (1)  5b 5c  5a  5 b c a 25 c a b 125      Do a, b, c lµ c¸c sè d−¬ng nªn ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã : a b c a b c a b c a b c + + ≥3 . . =3 (2) + + ≥3 . . =3 (3) b c a b c a c a b c a b 1 1 1 216 Tõ (1), (2), (3) ta cã P ≥ 1 + .3 + .3 + = . 5 25 125 125 DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi c¸c dÊu ®¼ng thøc ë (2) vµ (3) ®ång thêi x¶y ra, tøc lµ a = b = c. 216 VËy Min P = , gi¸ trÞ nµy ®¹t ®−îc khi vµ chØ khi a = b = c > 0. 125 Bµi 9: Cho a, b lµ hai sè d−¬ng vµ x, y, z lµ c¸c sè d−¬ng tuú ý. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc x2 y2 z2 M= + + . ( ay + bz )( az + by ) ( az + bx )( ax + bz ) ( ax + by )( ay + bx ) L i gi i ‘‘có v n ñ ’’ DÔ thÊy ( ay + bz ) ≤ ( a 2 + b 2 )( y 2 + z 2 ) vµ ( az + by ) ≤ ( a 2 + b 2 )( z 2 + y 2 ) 2 2 x2 x2 VËy ≥ ( ay + bz )( az + by ) (a 2 + b 2 )( y 2 + z 2 ) y2 x2 T−¬ng tù ta cã ≥ ( az + bx )( ax + bz ) (a 2 + b 2 )( z 2 + x 2 ) z2 z2 ≥ . ( ax + by )( ay + bx ) (a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) 1  x2 y2 z2  Do ®ã M ≥  + 2 + 2 . a 2 + b2  y 2 + z 2 z + x 2 x + y 2  x2 y2 z2 3 MÆt kh¸c chøng minh ®−îc + 2 + 2 ≥ y +z 2 2 z +x 2 x +y 2 2 3 Suy ra M ≥ . DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = z. 2 ( a + b2 ) 2 GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP. QUY NHƠN
3 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M lµ , gi¸ trÞ nµy ®¹t ®−îc khi vµ chØ khi x = y = z. 2 ( a + b2 ) 2 Bình lu n C¸ch gi¶i trªn ph¶i ch¨ng lµ … ®óng! B¹n gi¶i bµi to¸n nµy nh− thÕ nµo? Gi i ñáp Lêi gi¶i ®· sö dông kh¸ nhiÒu bÊt ®¼ng thøc nh−ng b¹n häc sinh nµy chØ xÐt dÊu ®¼ng thøc x¶y ra ë bÊt x2 y2 z2 3 ®¼ng thøc + 2 + 2 ≥ mµ kh«ng xÐt dÊu ®¼ng thøc x¶y ra ë c¸c bÊt ®¼ng thøc cßn l¹i. y +z 2 2 z +x 2 x +y 2 2 3 Theo ®ã ®¼ng thøc M = x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = z vµ a = b. Nh−ng theo gi¶ thiÕt a, b lµ 2 ( a + b2 ) 2 3 hai sè d−¬ng tuú ý, nªn víi a ≠ b th× M > . 2 ( a + b2 ) 2 L i gi i ñúng Ta cã ( ay + bz )( az + by ) ≤ ( ay + bz + az + by ) 2 = (a + b) ( y + z ) 2 2 ≤ ( a + b) 2 (y 2 + z2 ) 4 4 2 x2 2x2 Suy ra ≥ . ( ay + bz )( az + by ) ( a + b )2 ( y 2 + z 2 ) y2 2 y2 T−¬ng tù ta còng cã ≥ ( az + bx )( ax + bz ) ( a + b )2 ( x 2 + z 2 ) z2 2z2 ≥ . ( ax + by )( ay + bx ) ( a + b )2 ( y 2 + x 2 ) 2  x2 y2 z2  Do ®ã M ≥ 2  + 2 + 2 . ( a + b )  y 2 + z 2 z + x2 x + y2  x2 y2 z2 3 MÆt kh¸c theo bÊt ®¼ng thøc Na-s¬-bit th× + 2 + 2 ≥ , y +z 2 2 z +x 2 x +y 2 2 3 suy ra M ≥ . §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = z . ( a + b) 2 3 VËy min M = khi vµ chØ khi x = y = z . ( a + b) 2 Bµi 10: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = 2 x 2 + 5 y 2 + 4 xy − 4 x − 8 y + 6 L i gi i ‘‘có v n ñ ’’ Ta cã P = ( x 2 + 4 y 2 + 1 + 4 xy − 2 x − 4 y ) + ( x 2 − 2 x + 1) + ( y 2 − 4 y + 4 ) GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP. QUY NHƠN
P = ( x + 2 y − 1) + ( x − 1) + ( y − 2 ) 2 2 2 Do ( x + 2 y − 1) ≥ 0, ( x − 1) ≥ 0, ( y − 2) ≥ 0 nªn 2 2 2 P = ( x + 2 y − 1) + ( x − 1) + ( y − 2 ) ≥ 0 . 2 2 2 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P b»ng 0 . Bình lu n Lêi gi¶i “qu¸ gän”, b¹n cã ý kiÕn g× kh«ng? Gi i ñáp Kh¼ng ®Þnh P ≥ 0 lµ ®óng nh−ng … ch¼ng ®−îc g×, bëi v× kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x, y ®Ó dÊu “=” x¶y ra. Sai lÇm ë lêi gi¶i trªn xuÊt ph¸t tõ viÖc ng−êi gi¶i ®· kh«ng thùc hiÖn b−íc 2 khi t×m gi¸ trÞ lín nhÊt (hoÆc nhá nhÊt) cña biÓu thøc ta ph¶i tr¶ lêi c©u hái “dÊu b»ng x¶y ra khi nµo?” L i gi i ñúng Coi x lµ biÕn chÝnh ®Ó biÕn ®æi nh− sau: P = 2 x 2 + 5 y 2 + 4 xy − 4 x − 8 y + 6 = 2  x 2 + 2 x ( y − 1) + ( y − 1)  − 2 ( y − 1) + 5 y 2 − 8 y + 6 2 2    2 4 4 P = ( x + y − 1) + 3 y 2 − 4 y + 4 = ( x + y − 1) + 3  y 2 − 2 y. +  − + 4 2 2  3 9 3 2  2 8 P = ( x + y − 1) + 3  y −  + 2  3 3 2  2 NhËn thÊy ( x + y − 1) ≥ 0, 3  y −  ≥ 0 nªn 2 3   2  2 8 8 P = ( x + y − 1) + 3  y −  + ≥ víi mäi x, y . 2  3 3 3 ( x + y − 1) 2 = 0  1 x + y −1 = 0 x = 3    DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi   2 2 ⇔ 2 ⇔ 3  y −  = 0 y − 3 = 0  y = 2   3   3 8 1 2 VËy Min P = . Gi¸ trÞ nµy ®¹t ®−îc khi ( x , y ) =  ,    3 3 3   A3 - D NG SAI L M TH BA GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP. QUY NHƠN
BÊt ®¼ng thøc f ( x ) ≥ a kh«ng x¶y ra ®¼ng thøc øng víi mét gi¸ trÞ x = x0 nµo ®ã (x0 tho¶ m·n ®iÒu (x kiÖn cña bµi to¸n) ®· kÕt luËn biÓu thøc f ( x ) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng a hoÆc biÓu thøc f ( x ) kh«ng ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi 11: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = 28 + 3 x − x 2 + 5 + 4 x − x 2 . L i gi i ‘‘có v n ñ ’’ §iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc P cã nghÜa lµ 28 + 3 x − x ≥ 0  ( 4 + x )( 7 − x ) ≥ 0  −4 ≤ x ≤ 7 2  ⇔ ⇔ ⇔ − 1 ≤ x ≤ 5. 5 + 4 x − x ≥ 0 (1 + x )( 5 − x ) ≥ 0 −1 ≤ x ≤ 5 2   NhËn xÐt: Víi −1 ≤ x ≤ 5 ta cã 5 + 4 x − x 2 = (1 + x )( 5 − x ) ≥ 0 , suy ra 5 + 4 x − x 2 ≥ 0. 28 + 3 x − x 2 = ( 4 + x )( 7 − x ) > 0 , suy ra 28 + 3 x − x 2 > 0. Do ®ã, víi −1 ≤ x ≤ 5 th× P = 28 + 3 x − x 2 + 5 + 4 x − x 2 > 0, nªn P kh«ng cã gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bình lu n KÕt luËn cña lêi gi¶i sai vÒ mÆt l«gic, t−¬ng tù nh− tr−êng hîp Q = x 2 + 1 > 0 víi mäi x nh−ng Q vÉn ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 1 khi x = 0. L i gi i ñúng §iÒu kiÖn cña x ®Ó P cã nghÜa lµ −1 ≤ x ≤ 5 . Khi ®ã ta cã P = 23 − x + (1 + x )( 5 − x ) + (1 + x )( 5 − x ) ≥ 23 − x ≥ 23 − 5 = 3 2 . §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x = 5. VËy min P = 3 2 khi vµ chØ khi x = 5. Bµi 12: T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh x 2 + ( m + 1) x + 1 = 0 cã tæng b×nh ph−¬ng c¸c nghiÖm ®¹t GTNN. L i gi i ‘‘có v n ñ ’’ m ≥ 1 §iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: ∆ ≥ 0 ⇔ ( m + 1) − 4 ≥ 0 ⇔ ( m + 3)( m − 1) ≥ 0 ⇔  2 (*) .  m ≤ −3 Khi ®ã tæng b×nh ph−¬ng c¸c nghiÖm lµ: x12 + x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = ( m + 1) − 2 (Theo ®Þnh lÝ ViÐt). 2 2 2 Ta cã ( m + 1) − 2 ≥ −2 nªn tæng b×nh ph−¬ng c¸c nghiÖm ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -2 khi vµ chØ khi 2 m + 1 = 0 ⇔ m = −1. Gi¸ trÞ m = -1 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) nªn kh«ng tån t¹i gi¸ trÞ cña m ®Ó tæng b×nh ph−¬ng c¸c nghiÖm ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP. QUY NHƠN
Bình lu n MÊu chèt cña sai lÇm trong lêi gi¶i nµy ë chç em häc sinh ch−a n¾m v÷ng kh¸i niÖm gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc. Chóng ta cÇn l−u ý r»ng: NÕu bÊt ®¼ng thøc f ( x ) ≥ a kh«ng x¶y ra ®¼ng thøc øng víi mét gi¸ trÞ x = x0 nµo ®ã (x0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n) th× kh«ng thÓ kÕt luËn ®−îc biÓu thøc f ( x ) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng a hoÆc biÓu thøc f ( x ) kh«ng ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. L i gi i ñúng m ≥ 1 §iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: ∆ ≥ 0 ⇔ ( m + 1) − 4 ≥ 0 ⇔ ( m + 3)( m − 1) ≥ 0 ⇔  2 (*) .  m ≤ −3 Khi ®ã tæng b×nh ph−¬ng c¸c nghiÖm lµ : x12 + x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = ( m + 1) − 2 = ( m + 1) − 4  + 2 ≥ 2. 2 2 2 2   m = 1 §¼ng thøc x¶y ra ⇔ ( m + 1) − 4 = 0 ⇔  2 (tho¶ m·n (*).  m = −3 VËy tæng b×nh ph−¬ng c¸c nghiÖm ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 2 khi vµ chØ khi m = 1 hoÆc m = -3. 1 Bµi 13: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = . x − 6 x + 10 2 L i gi i ‘‘có v n ñ ’’ 1 Ph©n thøc cã tö kh«ng ®æi nªn A cã gi¸ trÞ lín nhÊt khi mÉu nhá nhÊt. x − 6 x + 10 2 Ta cã: x 2 − 6 x + 10 = ( x − 3) + 1 ≥ 1. 2 ( ) M in x 2 − 6 x + 10 = 1 ⇔ x = 3. VËy max A = 1 ⇔ x = 3. Bình lu n Lêi gi¶i cã vÎ kh¸ “tr¬n”, nh−ng nÕu ®i thi mµ lµm vËy th× “tr−ît”. T¹i sao vËy? Gi i ñáp Tuy ®¸p sè kh«ng sai nh−ng lËp luËn l¹i sai khi kh¼ng ®Þnh “A cã tö sè kh«ng ®æi nªn A cã gi¸ trÞ lín nhÊt khi mÉu nhá nhÊt” mµ ch−a ®−a ra nhËn xÐt tö vµ mÉu lµ c¸c sè d−¬ng. 1 1 VÝ dô nh−: XÐt biÓu thøc B = . Víi lËp luËn nh− trªn “Ph©n thøc 2 cã tö kh«ng ®æi nªn cã x − 10 2 x − 10 gi¸ trÞ lín nhÊt khi mÉu nhá nhÊt”, do mÉu nhá nhÊt b»ng -10 khi x = 0, ta sÏ ®i ®Õn kÕt luËn −1 −1 max B = ⇔ x = 0 . §iÒu nµy kh«ng ®óng v× kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña B, ch¼ng h¹n víi x = 10 10 1 −1 5 th× B = > . 15 10 GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP. QUY NHƠN
M¾c sai lÇm trªn lµ do ng−êi lµm kh«ng n¾m v÷ng tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc, ®· m¸y mãc ¸p dông quy t¾c so s¸nh hai ph©n sè cã tö vµ mÉu lµ c¸c sè tù nhiªn sang hai ph©n sè cã tö vµ mÉu lµ c¸c bÊt k×. L i gi i ñúng 1 Bæ xung thªm nhËn xÐt x 2 − 6 x + 10 = ( x − 3) + 1 > 0 nªn ph©n thøc 2 cã tö vµ mÉu ®Òu lµ sè x − 6 x + 10 2 1 d−¬ng, do ®ã A lín nhÊt khi vµ chØ khi nhá nhÊt ⇔ x 2 − 6 x + 10 nhá nhÊt. Lµm tiÕp nh− trªn ra kÕt A qu¶. 1 Bµi 14: T×m x ®Ó biÓu thøc P = ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt x + 2x − 3 2 L i gi i ‘‘có v n ñ ’’ §iÒu kiÖn x ≠ 1 ; x ≠ −3 . 1 Ta cã P = . ( x + 1) −4 2 §Ó biÓu thøc P ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt th× ( x + 1) − 4 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. §iÒu nµy x¶y ra khi ( x + 1) = 0 2 2 1 hay x = −1 . Khi ®ã gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = − 4 Bình lu n 1 1 Nh−ng cã thÓ thÊy khi x = 2 th× P = , do ®ã − kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña P. VËy sai lÇm cña 5 4 lêi gi¶i ë ®©u? Kh¾c phôc sai lÇm ®ã nh− thÕ nµo? Gi i ñáp Sai lÇm cña lêi gi¶i mµ b¹n häc sinh nµy ®−a ra chÝnh lµ ë b−íc lËp luËn “®Ó biÓu thøc P ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt th× ( x + 1) − 4 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt”. §iÒu nµy chØ ®óng khi tö vµ mÉu cña P cïng d−¬ng mµ tö ph¶i 2 lµ h»ng sè. ë ®©y mÉu ch−a biÕt d−¬ng hay ©m nªn kh«ng thÓ lËp luËn nh− vËy ®−îc. L i gi i ñúng §iÒu kiÖn x ≠ 1 ; x ≠ −3 . DÔ dµng chØ ra víi x < −3 hoÆc x > 1 th× P > 0 , cßn víi −3 < x < 1 th× P < 0 . 1 Ta thÊy khi x = 1 + a víi a > 0 th× P = nªn a cµng nhá th× P cµng lín vµ lín bao nhiªu còng ®−îc, do a + 4a 2 1 ®ã biÓu thøc P = kh«ng cã gi¸ trÞ lín nhÊt. x + 2x − 3 2 A4 - D NG SAI L M TH T GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP. QUY NHƠN
NhÇm t−ëng vai trß cña c¸c biÕn trong bµi nh− nhau nªn s¾p thø tù c¸c Èn. x y z Bµi 15: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = + + víi x, y, z > 0. y z x L i gi i ‘‘có v n ñ ’’ Khi ho¸n vÞ vßng quanh x → y → z → x th× biÓu thøc A kh«ng ®æi nªn kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö x ≥ y ≥ z > 0 , suy ra x−z ≥0 ⇒ y ( x − z) ≥ z ( x − z) ⇒ xy − yz + z 2 ≥ xz. (1) y y z Chia c¶ hai vÕ cña (1) cho sè d−¬ng xz ta ®−îc − + ≥ 1. (2) z x x x y MÆt kh¸c ta cã + ≥2 (3). y x x y z Céng vÕ víi vÕ cña hai bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu (2) vµ (3) ta ®−îc + + ≥ 3. y z x Tõ ®ã suy ra min A = 3 ⇔ x = y = z. Bình lu n Tuy kÕt qu¶ ®óng, nh−ng xem ra lêi gi¶i bÊt æn. T¹i sao vËy? Gi i ñáp y z x Khi ho¸n vÞ vßng quanh x → y → z → x th× biÓu thøc A trë thµnh + + , tøc lµ biÓu thøc kh«ng ®æi. z x y §iÒu ®ã cho phÐp ta ®−îc gi¶ sö mét trong ba sè x; y; z lµ sè lín nhÊt (hoÆc sè nhá nhÊt), nh−ng kh«ng cho phÐp gi¶ sö x ≥ y ≥ z råi sö dông nã lµm gi¶ thiÕt bµi to¸n khi ®i chøng minh mµ kh«ng xÐt c¸c tr−êng hîp cßn l¹i. ThËt vËy sau khi chän x lµ sè lín nhÊt ( x ≥ y, x ≥ z) th× vai trß cña y vµ z l¹i kh«ng b×nh ®¼ng: x z y gi÷ nguyªn x, thay y bëi z vµ ng−îc l¹i ta ®−îc + + , biÓu thøc nµy kh«ng b»ng biÓu thøc A. z y x Kh¾c phôc sai lÇm Víi lêi gi¶i ®· ®−a ra, thay cho viÖc s¾p thø tù x ≥ y ≥ z , ta chØ cÇn gi¶ sö z lµ sè nhá nhÊt trong ba sè x; y; z kÕt hîp víi phÇn cßn l¹i cña lêi gi¶i ®· tr×nh bµy ®ã ta ®−îc lêi gi¶i ®óng. Ngoµi ra ta cßn cã thÓ gi¶i bµi to¸n nµy theo c¸c c¸ch sau: L i gi i ñúng C¸ch 1: Sö dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho ba sè d−¬ng ta cã x y z x y z A= + + ≥ 3 3 . . = 3. (Ph¶i chøng minh B§T C«si cho ba sè kh«ng ©m) y z y y z y GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP. QUY NHƠN
x y z x y z Do ®ã min  + +  = 3 khi vµ chØ khi = = , tøc lµ x = y = z.  y z x y z x C¸ch 2: Gi¶ sö z lµ sè nhá nhÊt trong 3 sè x, y, z. x y z  x y  y z y Ta cã + + =  +  +  + − . y z x  y x  z x x x y x y z Ta ®· cã + ≥ 2 (do x, y > 0) nªn ®Ó chøng minh + + ≥ 3 chØ cÇn chøng minh y x y z x y z y + − ≥1 (1). z x x ThËt vËy (1) ⇔ xy + z 2 − yz ≥ xz (do x, z ≥ 0) BiÕn ®æi ®Õn ( x − z )( y − z ) ≥ 0 (2) . Do z lµ sè nhá nhÊt trong 3 sè x, y, z nªn (2) lu«n ®óng. Tõ ®ã t×m ®−îc gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 3 khi x = y = z. Bµi 16: Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc lín h¬n -1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 1 + x2 1+ y2 1+ z2 P= + + . 1 + y + z 2 1 + z + x2 1 + x + y2 L i gi i ‘‘có v n ñ ’’ NÕu x < 0 , ta thay x bëi (-x) th× hai h¹ng tö ®Çu cña P kh«ng ®æi cßn h¹ng tö cßn l¹i gi¶m xuèng. Tõ ®ã kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö x ≥ y ≥ z ≥ 0 . Tõ ( x − 1) ≥ 0 , suy ra 3 ( x 2 + 1) ≥ 2 ( x 2 + x + 1) . 2 §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x = 1. 1 + x2 1 + x2 2 Do ®ã ≥ ≥ . 1+ y + z 2 1+ x + x 2 3 1+ y2 2 1+ z2 2 T−¬ng tù ta còng cã ≥ ; ≥ . 1+ z + x 2 3 1+ x + y 2 3 Tõ ®ã suy ra P ≥ 2 . DÊu “=’ x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = z = 1 . Bình lu n Theo c¸c b¹n lêi gi¶i trªn ®· chuÈn ch−a? Lêi gi¶i cña b¹n nh− thÕ nµo? Gi i ñáp C¸c biÕn x, y, z trong biÓu thøc P cã d¹ng ho¸n vÞ vßng quanh mµ kh«ng cã vai trß nh− nhau nªn chØ ®−îc xem biÕn bÊt k× nµo lµ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt mµ th«i. Do ®ã ®o¹n lËp luËn: Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö x ≥ y ≥ z ≥ 0 . GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP. QUY NHƠN
Tõ ( x − 1) ≥ 0 , suy ra 3 ( x 2 + 1) ≥ 2 ( x 2 + x + 1) . 2 §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x = 1. 1 + x2 1 + x2 2 Do ®ã ≥ ≥ (1) 1+ y + z 2 1+ x + x 2 3 1+ y2 2 T−¬ng tù ta còng cã ≥ ; (2) 1+ z + x 2 3 1+ z2 2 ≥ (3) 1+ x + y 2 3 lµ kh«ng ®óng. Kh«ng thÓ tõ (1) suy ra (2) vµ (3) b»ng phÐp t−¬ng tù v× vai trß cña c¸c biÕn x, y, z trong P kh«ng nh− nhau. L i gi i ñúng 1 + x2 1+ y2 1+ z2 2 (1 + x 2 ) 2 (1 + y 2 ) 2 (1 + z 2 ) Ta cã P = + + ≥ + + =M 1 + y + z 2 1 + z + x 2 1 + x + y 2 2 (1 + z 2 ) + (1 + y 2 ) 2 (1 + x 2 ) + (1 + z 2 ) 2 (1 + y 2 ) + (1 + x 2 ) §Æt 1 + x 2 = a; 1 + y 2 = b; 1 + z 2 = c (a, b, c > 0) . 2a 2b 2c Lóc ®ã M = + + . 2c + b 2a + c 2b + a c a b §Æt N = + + . 2c + b 2a + c 2b + a b c a H= + + 2c + b 2a + c 2b + a Khi ®ã 2 N + H = 3 . 2a + c 2b + a 2c + b ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-si ta cã M + N = + + ≥ 3 , suy ra 2M + 2 N ≥ 6 (4) 2c + b 2a + c 2b + a M 2b + a 2c + b 2a + c M 3 L¹i cã 2 H + = + + ≥ 3 , suy ra H + ≥ (5) 2 2c + b 2a + c 2b + a 4 2 9M 15 Céng vÕ theo vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc (4) vµ (5) ta cã: + ( 2 N + H ) ≥ . Mµ 2 N + H = 3 nªn M ≥ 2 . 4 2 Tõ ®ã suy ra P ≥ 2 . DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = z = 1 . A6 - M T S D NG SAI L M KHÁC Bµi 17: Cho a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP. QUY NHƠN
a 4 + b 4 + c 4 < 2 ( a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) . L i gi i ‘‘có v n ñ ’’ V× a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c nªn b−c < a ⇒ b 2 − 2bc + c 2 < a 2 ⇒ b 2 + c 2 − a 2 < 2bc ⇒ ( b 2 + c 2 − a 2 ) < ( 2bc ) 2 2 ⇒ b 4 + c 4 + a 4 + 2b 2c 2 − 2b 2 a 2 − 2c 2 a 2 < 4b 2 c 2 ⇒ a 4 + b 4 + c 4 < 2 ( a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) Bình lu n Lêi gi¶i trªn ®· ®óng ch−a? NÕu ch−a, gi¶i thÕ nµo th× ®óng? Gi i ñáp N©ng lªn luü thõa bËc ch½n ë hai vÕ cña B§T mµ kh«ng cã ®iÒu kiÖn hai vÕ cïng kh«ng ©m Lêi gi¶i ch−a ®óng v× tõ b 2 + c 2 − a 2 < 2bc ⇒ ( b 2 + c 2 − a 2 ) < ( 2bc ) lµ sai, ch¼ng h¹n 2 2 −2 < 1 ⇒ ( −2 ) < 12 (sai). L−u ý chØ ®−îc b×nh ph−¬ng hai vÕ cña B§T khi c¶ hai vÕ ®Òu kh«ng ©m. 2 L i gi i ñúng V× a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c nªn b−c < a < b+c ⇒ (b − c ) < a2 < (b + c ) 2 2 ⇒ b 2 − 2bc + c 2 < a 2 < b 2 + 2bc + c 2 ⇒ −2bc < a 2 − b 2 − c 2 < 2bc ⇒ a 2 − b 2 − c 2 < 2bc ⇒ ( a 2 − b 2 − c 2 ) < ( 2bc ) 2 2 ⇒ a 4 + b 4 + c 4 − 2a 2b 2 − 2c 2 a 2 + 2b 2 c 2 < 4b 2 c 2 ⇒ a 4 + b 4 + c 4 < 2 ( a 2b 2 + c 2 a 2 + b 2 c 2 ) x2 + y2 Bµi 18: Cho hai sè x; y tho¶ m·n x > y vµ xy = 1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = . x− y L i gi i ‘‘có v n ñ ’’ x 2 + y 2 x 2 − 2 xy + y 2 + 2 xy ( x − y ) + 2 xy 2 Ta cã A = = = x− y x− y x− y GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP. QUY NHƠN
Do x > y vµ xy = 1 nªn ( x − y) 2 2 xy 2 A= + = x− y+ x− y x− y x− y 1 BiÕt r»ng nÕu a > 0 th× a + ≥ 2 (B§T C«si) a x− y 2 x− y x− y Do ®ã A = + + ≥ 2+ . 2 x− y 2 2 x− y 2 VËy A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt khi + =2 2 x− y ⇔ ( x − y) + 4 = 4( x − y) ⇔ ( x − y) − 4( x − y) + 4 = 0 . 2 2 Gi¶i ph−¬ng tr×nh nµy ®−îc nghiÖm x – y = 2. x − y = 2 Do ®ã ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh sau  , nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh lµ  xy = 1 ( x; y ) = (1 + ) 2; − 1 + 2 ; ( x; y ) = (1 − ) 2; − 1 − 2 (Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi ra). x− y 2 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ A = + 2 = + 2 = 3. 2 2 Bình lu n 6+ 2 6− 2 6−2 Nh−ng víi x = ; y= th× cã x > y; xy = = 1 vµ A = 2 2 < 3. T¹i sao l¹i nh− thÕ? 2 2 4 Gi i ñáp Chøng minh f ≥ m (hay f ≤ m ), kh¼ng ®Þnh gi¸ trÞ nhá nhÊt (hay lín nhÊt) cña f b»ng m mµ kh«ng chØ ra m lµ h»ng sè x− y x− y Râ rµng lêi gi¶i sai . V× A ≥ 2 + mµ ch−a lµ h»ng sè. Sai lÇm ë ®©y lµ sai lÇm ë b−íc 1, ®¸nh 2 2 gi¸ f ≥ m nh−ng m kh«ng lµ h»ng sè. L i gi i ñúng x 2 + y 2 x 2 − 2 xy + y 2 + 2 xy ( x − y ) + 2 xy 2 A= = = x− y x− y x− y 2 2 = ( x − y) + ≥ 2 ( x − y ). =2 2 x− y x− y GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP. QUY NHƠN
2 (¸p dông B§T C«si cho hai sè d−¬ng x – y vµ ). x− y  2 x − y = 6+ 2 6− 2 DÊu “=” x¶y ra ⇔  x − y . Gi¶i hÖ nµy t×m ra x = ; y= tho¶ m·n ®Ò bµi.  xy = 1 2 2  Bµi 19: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x 2 − x + 3 + x 2 − x − 2 . L i gi i ‘‘có v n ñ ’’ 2 2 1 1 11 1 1 9 Ta cã A = x 2 − x + 3 + x 2 − x − 2 = x 2 − 2. x +   + + x 2 − 2. x +   − 2 2 4 2 2 4 2 2  1  11  1 9 = x−  + + x−  − .  2 4  2 4 11 9 11 9 Suy ra A ≥ + − = + = 5. 4 4 4 4 2  1 1 1 §¼ng thøc x¶y ra ⇔  x −  = 0 ⇔ x − = 0 ⇔ x = .  2 2 2 1 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ 5 khi x = . 2 Bình lu n Trong líp cã hai nhãm ®−a ra c¸c nhËn xÐt kh¸c nhau, nhãm thø nhÊt cho lµ lêi gi¶i cña b¹n häc sinh trªn “cã vÊn ®Ò”, nhãm thø hai hoµn toµn nhÊt trÝ víi lêi gi¶i trªn. Cßn b¹n, b¹n sÏ ®øng ë nhãm nµo? T¹i sao? Gi i ñáp HiÓu sai nhiÒu lo¹i B§T nh− A2 + m ≥ m 2 2  1  11  1  9 11 9 B−íc gi¶i sai lÇm  x −  + +  x −  − ≥ + − = 5.  2 4  2 4 4 4 2 2  1 9 9  1 9 9 Ta thÊy  x −  − ≥ − víi mäi x, nh−ng kh«ng thÓ suy ra x−  − ≥ −  2 4 4  2 4 4 2 2  1 9  1 9 1 9 9 Ch¼ng h¹n nÕu x = 0 th×  x −  − =  0 −  − = − = −2 < −  2 4  2 4 4 4 4 L−u ý tõ a ≥ b chØ suy ra ®−îc a ≥ b khi a ≥ b ≥ 0 . L i gi i ñúng GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP. QUY NHƠN
2 2 2 2  1  11  1 9  1  11 9  1 A = x−  + +  x−  − =  x−  + + −x−   2 4  2 4  2 4 4  2 2 2  1  11 9  1 11 9 ≥ x −  + + − x−  = + = 5.  2 4 4  2 4 4 Do ®ã A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 5 khi vµ chØ khi  1  11   9  2 1  2 9  1 2  2 1  11  x −  +  .  −  x −   ≥ 0 ⇔ −  x −  ≥ 0 (v×  x −  + ≥ 0 víi mäi x)   2 4  4    2  4  2  2 4 Tõ ®ã t×m ®−îc −1 ≤ x ≤ 2 Bµi 20: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = ( x 2 − 1)( x 2 + 1) . L i gi i ‘‘có v n ñ ’’ Ta cã x 2 ≥ 0 víi mäi x, suy ra x 2 − 1 ≥ −1 vµ x 2 + 1 ≥ 1 Suy ra P = ( x 2 − 1)( x 2 + 1) ≥ ( −1) .1 = −1 ⇒ P ≥ −1.  x 2 − 1 = −1  DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi  ⇔ x = 0. x +1 = 1 2  VËy P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -1 khi x = 0. Bình lu n Sai lÇm ë ®©u? Gi i ñáp VËn dông sai c¸c tÝnh chÊt cña B§T nh− nh©n hai B§T cïng chiÒu mµ kh«ng cã ®iÒu kiÖn hai vÕ cïng kh«ng ©m. Ph©n tÝch sai lÇm: Chç sai cña lêi gi¶i trªn lµ ®· nh©n hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu trong khi cã nh÷ng vÕ nhËn gi¸ trÞ ©m, ch¼ng h¹n 5 > 3 vµ -2 > -3 nh−ng 5.(-2) < 3.(-3) L i gi i ñúng Lêi gi¶i ®óng kh¸ ®¬n gi¶n: P = ( x 2 − 1)( x 2 + 1) = x 4 − 1 ≥ −1 ⇒ P ≥ −1. DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x 4 = 0 ⇔ x = 0. VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P lµ -1, gi¸ trÞ nµy ®¹t ®−îc khi vµ chØ khi x = 0. Bài 21: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = x − 2 xy + 3 y − 2 x + 1 i L i gi i ‘‘có v n ñ ’’ §iÒu kiÖn x ≥ 0; y ≥ 0. GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP. QUY NHƠN