intTypePromotion=1

Sáng kiến kinh nghiệm: Một số ứng dụng Toán học trong Vật lý

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

0
1.091
lượt xem
339
download

Sáng kiến kinh nghiệm: Một số ứng dụng Toán học trong Vật lý

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để xác định các đại lượng vật lý, giải thích sự thay đổi các đại lượng vật lý, giải thích các hiện tượng vật lý nhất thiết phải dùng các công thức toán học như các hàm số sơ cấp, hàm siêu việt, phép tính đạo hàm, tích phân.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Một số ứng dụng Toán học trong Vật lý

  1. Tên đề tài A. ĐẶT VẤN ĐỀ CHUNG: -Vật lý là môn khoa học thực nghiệm, các định luật, công thức vật lý được xây dựng trên biểu thức toán học phù hợp với kết quả thực nghiệm. -Để xác định các đại lượng vật lý, giải thích sự thay đổi các đại lượng vật lý, giải thích các hiện tượng vật lý nhất thiết phải dùng các công thức toán học như các hàm số sơ cấp, hàm siêu việt, phép tính đạo hàm, tích phân … -Việc sử dụng toán học có ý nghĩa và hiệu quả vào bài toán vật lý vẫn là chuyện khó đối với học sinh phổ thông và giáo viên mới ra trường. Làm thế nào để học sinh hiểu phương pháp sử dụng để giải quyết vấn đề quen thuộc, tiết kiệm được thời gian và vận dung linh hoạt vào bài toán lạ. -Sau đây chỉ là một số phương pháp đơn giản để giải quyết 1 phần của vấn đề khó mà các em học sinh được bồi dưỡng để ôn tập trong các kỳ thi học kỳ, tốt nghiệp, đại học, học sinh giỏi … B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG: Bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một đại lượng vật lý khi có một đại lượng vật lý khác thay đổi… khảo sát sự biến thiên của chúng thường gặp ở bài toán điện 1 chiều và xoay chiều. 1.Các phương pháp thực hiện: +Chọn đối số và lập luận hàm số y=f(x) +Dùng 1 trong các phương pháp sau đây để giải a.Phương pháp 1: Dùng bất đẳng thức Côsi: Nội dung: +Áp dụng cho 2 số dương a,b (a  b) min  a.b a + b  2. a.b   a  b dấu “=” xảy ra khi a=b ( a.b )  max   2 +Áp dụng cho n số hạng a1  a 2  ...  a n n  a1 .a 2 ...a n dấu bất đẳng thức xảy ra khi a1=a2= … = an n b.Phương pháp 2: a b c +Dùng định lý hàm số sin trong tam giác:   sin A sin B sin C  +Định lý hàm số cosin trong tam giác: a = b2 + c2 + 2.b.c.cos b.c 2 c.Phương pháp 3: Dựa vào hàm số bậc 2: y= f(x)= ax2 + bx + c (a0)  4ac  b 2 b  +a>0 thì ymin = khi x= 4a 4a 2a 2  4ac  b b  +a
  2. d.Phương pháp 4: Dùng đạo hàm. Nội dung: +Hàm số y=f(x) có cực trị khi f’(x)=0 +Giải phương trình f’(x) = 0 +Lập bảng biến thiên tìm cực trị. +Vẽ đồ thị nếu đề bài yêu cầu khảo sát sự biến thiên. e.Ngoài các phương pháp trên còn có một số phương pháp khác để t ìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng vật lý. Tùy theo biểu thức của đại lượng vật lý có dạng hàm số nào mà áp dụng bài toán để giải. y Ví dụ: Có những hàm số không có cực trị, chỉ có tính đồng biến hoặc nghịch f(b) biến ta tìm được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong miền nào đó. Trong đoạn: [a,b] f(a) f(b) lớn nhất khi x=b x f(a) nhỏ nhất khi x=a. Sau đây là một số bài toán tiêu biểu áp dụng cho phương pháp 1. 0 a b 2.Vấn đề 1: Bài toán 1: Cho 2 điện tích điểm cùng dấu (điện tích dương) q1= q2 = q đặt tại hai điểm A và B cách nhau 2R. a.Xác định cường độ điện trường tổng hợp tại M nằm trên đường trung trực và cách AB một đoạn x. b.Định vị trí M để EM cực đại, cực tiểu. Cách làm: a.Xác định EM: Cường độ điện trường tổng hợp tại M do hai điện 2 tích gây ra.     EM  E A  E B k .q k .q (với AM2= R 2  x 2 ) Độ lớn:EA = EB = 2 2 R  x2 AM     E , E  2  Vì  A B  E A  EB  EM = 2.EA.cos Trong tam giác vuông AOM: x x 2k .q. x cos =  thay vào EM = 3 AM 2 2 ( R 2  x2 ) 2 R x b.Định vị trí M để EM cực đại: x Đặt y= 3 ( R  x2 ) 2 2 EM cực đại khi ymax. EM= 2kq.y Dùng bất đẳng thức côsi để tìm ymax như sau: R2 R2 2 +Tách R2 + x2 thành 3 số không âm: , ,x. 2 2 R2 R2 R2 R2 2 + x2 ≥ 3 3 + . .x 2 2 22 R2 R2 R2 R2 2 + x2 )3 ≥ 27( Lũy thừa 3 hai vế: ( + . .x ) 2 2 22 3  R2 R2 2  33 2  x2  Lấy căn bậc hai 2 vế:    .R .x 2 2 2  Trang 2
  3. 2 x Chuyển vế:  y 3 2 3 3.R (R2  x2 ) 2 2 y 3 3R 2 R2 2  x2 ymin = khi 2 2 3 3.R R x=  (có 2 điểm M nằm đối xứng nhau qua O)tam giác AMB vuông cân tại M 2 4.kq thay vào: (EM) max = 3 3R 2 Định vị trí M để EM cực tiểu Nhìn vào biểu thức EM ta thấy (EM)min=0 khi x=0, lúc này M trùng O  Nhận xét 1: Qua một bài toán trên nếu tại M ta đặt điện tích thử q0. Tìm vị trí M để lực tĩnh điện tác dụng lên q0 cực đại cực tiểu thì cách làm cũng tương tự áp dụng cho biểu thức lực tổng hợp tại M. FM = q0. EM. Biểu thức cho thấy (EM) max thì (FM) max 2 1  Nhận xét 2: Nếu ta cho điện tích q quay vòng tròn đường kính 2R 2  bài toán trở thành xác định EM tại M do vòng dây dẫn mãnh có đường kính 2R mang điện tích dương + Q gây ra.  Cách làm: ta thay 2 điện tích điểm thành q nằm đối xứng xuyên tâm tính     EM   E A   EB k .2q.x EM  2E A .cos   3 ( R2  x2 ) 2 Cường độ điện trường tổng hợp của cả vòng dây gây ra tại M.    EM    EM Độ lớn: k .x.2q kx EM   EM   3  2q 3 2 22 2 22 (R  x ) (R  x )  2q = Q k .x.Q EM  3 (R  x2 ) 2 2 Việc đi t ìm (EM)max, (EM)min giống như trên.     Hình vẽ chỉ cần thay bằng vectơ  E A ,  EB ,  EM Nhận xét 3: không áp dụng được cho điện thế tại M do 2 điện tích điểm gây ra hoặc vòng   dây gây ra vì điện thế là đại lượng vô hướng. Áp dụng được cho cảm ứng từ B của dòng điện. Từ hình vẽ nếu ta xem hai điện tích dương tại A và B là 2 dòng diện cùng chiều, cùng độ lớn chạy trong hai dây dẫn song song M là điểm nằm trong mặt phẳng vuông góc hai dây dẫn nằm trên đường trung trực AB cách AB một 2 đoạn x. Cảm ứng từ tổng hợp tại M.      BM  B1  B2 I I B1= B2 = 2. 107.  2.107. AM R 2  x2 Trang 3
  4.  B1  B2       B1 B2  2  4.107.I x I .x 7 BM=2B1.cos = 4. 10 . 2 2 (với cos= ) R  x2 R R  x2 2 x x Tìm (BM)max, (BM)min ở biểu thức này đơn giản hơn. 3.Vấn đề 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm công suất P theo biến trở R. Phương pháp thường dùng là bất đẳng thức Côsi hay hàm số bậc 2 phù hợp cho học sinh khối 11. Bài toán 2: Cho mạch điện hình vẽ. Nguồn điện có , r mạch điện ngoài R1 và biến trở x thay đổi được. a.Tính x để công suất tiêu thụ mạch ngoài cực đại. ,r Tính Pmax. b.Tính x để công suất tiêu thụ trên biến trở x cực đại. Tính Pxmax. Giải: a.Tính x để Pmax: Công suất tiêu thụ mạch ngoài P= (R + x) I2.  Mà I= R xr ( R  x). 2 P= (1) ( R  x  r )2 2 Chia tử và mẫu cho R+x: P= r )2 ( Rx  Rx Vì tử số của P là hằng số, Pmax khi mẫu cực tiểu. Theo bất đẳng thức Côsi: r Rx  r R x r  r  Rx   Rx   r Rx R  x  min  R+x=r  x=r–R 2  Thay x vào (1): Pmax = 4r b.Tính x để Pxmax : x. 2 Px = x.I2 = Công suất tiêu thụ trên x: ( R  x  r )2 2 Px = (2) Rr 2 ( x ) x Rr Lý luận tương tự: Pxmax khi x  x x=R+r 2 Thay vào (2): Pxmax = 4 R  r  Bài toán 3: Cho mạch điện hình vẽ: ,r Trang 4
  5.  = 16V; r = 4 ; R2 = 6 ; R3 = 2. Tìm điện trở của biến trở R1 để: a.Công suất mạch ngoài cực đại. b.Công suất tiêu thụ ở R3 cực đại. c.Công suất tiêu thụ ở R2 cực đại. d.Công suất tiêu thụ ở R1 cực đại. Cách làm: a.Tính R1 để Pmax: Công suất tiêu thụ mạch ngoài. RR P = Rtđ . I2 với Rtđ = R3 + 1 2 R1  R2 R td .2 2  P= (R td  r)2 ( R  r ) td R td Mẫu số có hai tích số không đổi. Theo bất đẳng thức Côsi tổng nhỏ nhất khi R1R 2 r R td   R td = r  R3 + =r R1  R 2 R td Giải ra R1 = 3 2 Pmax = = 16w 4r b.Công suất tiêu thụ trên R3 cực đại: R3 2 P3 = R3. I2 = ( R3  R12  r )2 6 R1 P3max khi R12 = 0   R1= 0 =0 R1  6 R3 2 P3max= =14,2 w ( R3  r )2 c.Công suất tiêu thụ trên R2 cực đại: U2 U 2 P2= R2 I 2 mà I2 = MN P2 = MN R2 R2   R1 .R2 với R12 = UMN = I.R12 = .R12 = R3 r R3  R12  r R1  R2 1 R12 R12 2 P2 = 2 R r R2  3  1  R12   R12  Để P2max thì R12 =   R1 =  2 P2 = = 42,6 w R2 d.Công suất tiêu thụ trên R1 cực đại: 2 2 U MN U MN 2 P1 = R1 I1  R1 2  R1 R1  R1R2 6 R1  với R12 = + I= R3  R12 R1  R2 R1  6 Trang 5
  6. 16( R1  6) 4( R1  6) 16   + I= 6 R1 8R1  12 2 R1  3 2 R1  6 4( R1  6) 6 R1 24 R1  . + UMN = I.R12 = (2 R1  3) ( R1  6) 2 R1  3 2 242 R1 24 2 1  24 R1    P1 = .  R1  2 R1  3  (2 R1  3)2 (2 R  3 )2 1 R1 Dùng côsi mẫu số: P1max khi R1 = 1,5 24 2 242 P1max = = 96w  4 R1 6 Nhận xét: +Ở câu (a) và câu (d) mẫu số là tổng hai số có tích số không đổi nên áp dụng bất đẳng thức côsi được. +Ở câu (b) và (c) mẫu số là hàm số không có cực trị (tích hai số thay đổi) không dùng bất đẳng thức côsi được. +Nếu đề tài đòi hỏi khảo sát sự phụ thuộc của một đại lượng vật lý vào một đại lượng khác ta dùng đồ thị diễn tả. Bài toán 4: Cho mạch điện hình vẽ. Khảo sát sự phụ thuộc các đại lượng sau đây vào biến trở mạch ngoài mắc kín với nguồn điện. a.Cường độ dòng điện trong mạch (số chỉ A) b.Hiệu điện thế ở 2 cực nguồn điện (số chỉ V) c.Công suất tiêu thụ mạch ngoài. d.Công suất của nguồn điện. e.Hiệu suất của nguồn điện. Cách làm: Lập các biểu thức là hàm số theo biến R  a có dạng f(x) = a.I = hình 1 Rr xb R ax có dạng f(x) = b.U = hình 2 Rr xb R 2 ax c.P = R.I2 = có dạng f(x) = hình 3 ( x  b) 2 2 (R  r) 2 a d.P = I = có dạng f(x) = hình 4 Rr xb P R x có dạng f(x) =  e. H = hình 5 P R  r xb I U E  r R R O O Hình 1 Hình 2 PE P H 1 2 E E2 r 4r R R R Trang 6 O O O R=r Hình 4 Hình 5 Hình 3
  7. Nhận xét: Để vẽ đồ thị của hàm sơ cấp đơn giản có tính liên tục không bị gián đoạn đối với giá trị dương của biến trở R ta chọn 2 trong 3 giá trị R. +Chọn R=0 cho điểm đầu (tìm giới hạn R0) +Chọn R= cho điểm cuối (tìm lim f(x)) x  +Nếu hàm có cực trị ta t ìm cực trị chọn giá trị R nằm ở phần giữa. Đồ thị hàm số qua giá trị này tăng hoặc giảm. Cụ thể hàm số đang tăng qua giá trị R này đạt cực đại, tiếp tục tăng R thì hàm số không tăng nữa mà giảm. Ngược lại hàm số đang giảm qua giá trị R này đạt cực tiểu, tiếp tục tăng R hàm số không giảm nữa mà tăng lên. Bài toán 5: Khảo sát sự phụ thuộc của đại lượng sau vào cường độ dòng điện trong mạch kín. a.Hiệu điện thế ở hai cực của nguồn điện. b.Công suất tiêu thụ mạch ngoài. c.Công suất của nguồn điện. d.hiệu suất của nguồn điện. Trong thực tế thay đổi I bằng cách thay đổi biến trở R. Cách làm: Lập các biểu thức là hàm số theo biến I. có dạng f(x) = b – ax. a. U = E – rI 2 có dạng f(x) = bx – ax2. b. P = EI – rI có dạng f(x) = ax. c. PE = EI P rI d. H =  1  có dạng f(x) = 1 – ax. PE E Đồ thị có dạnh như sau: U P E I I O O E/2r E/4r E/r H PE 1 I I O E/r 4.Vấn đề 3: O Ở lớp 12 bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng vật lý như số chỉ thay đổi thế nào khi một đại lượng vật lý khác như R, L, C, W thay đổi: học sinh A VW có nhiều kiến thức toán để giải, như dùng đạo hàm để tìm cực trị hàm số. Tuy nhiên phương pháp 1 và 3 vẫn được dùng nhiều hơn vì nó đơn giản. Tóm lại tùy theo dạng bài toán mà dùng phương pháp nào có lợi hơn, dễ nhớ hơn. Sau đây là một số bài tập minh họa điều này. Bài toán 6: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ: 1.Thay đổi L hoặc C hoặc W để công suất tiêu thụ trên đoạn mạch AB cực đại Cách làm: Công suất tiêu thụ trên mạch Trang 7
  8. ( R  r ).U 2 2 P= (R+r+)I = ( R  r ) 2  ( Z L  Z C )2 Các đại lượng thay đổi đều nằm trong số hạng: (ZL – ZC)2 Để Pmax thì hiệu ZL – ZC =0, mạch có cộng hưởng điện LCw2 = 1  Tính L hoặc C hoặc w U2 Pmax = Rr Nếu đề bài đòi hỏi khảo sát sự biến thiên thì ta lập thêm bảng biến thiên để vẽ đồ thị cụ thể như sau: a.P thay đổi theo L. ta khảo sát P theo ZL và để ý ZL = Lw giữa ZL và L quan hệ đồng biến. Bảng biến thiên:  ZL 0 ZL=ZC U2 ( R  r ).U 2 P 0 ( R  r ) 2  ZC2 Rr Đồ thị: P 2 U Rr ZL O ZL=ZC Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành 1 b.Thay đổi theo C. Ta khảo sát P theo ZC và để ý ZC = giữa ZC và C quan hệ nghịch biến. Cw Bảng biến thiên:  ZC 0 ZC=ZL U2 ( R  r ).U 2 P 0 (R  r)2  Z L 2 Rr Đồ thị: ZL P U2 Rr ZC O ZC=ZL c.P thay đổi theo w (hoặc f) Bảng biến thiên: 1 w  w 0 LC U2 ( R  r ).U 2C P 0 Rr L Đồ thị: P 2 U Rr w 1 O w Trang 8 LC
  9. Nhận xét: thay đổi L hoặc C hoặc w để công suất tiêu thụ trên R cực đại, công suất tiêu thụ trên cuộn dây cực đại. Công suất tiêu thụ trên R R.U 2 PR=R.I2 = ( R  r ) 2  ( Z L  Z C )2 Công suất tiêu thụ trên cuộn dây r.U 2 PR=r.I2 = ( R  r ) 2  ( Z L  Z C )2 Hai biểu thức PR và Pr có dạng giống biểu thức P nên cùng 1 cách làm và dáng điệu của đồ thị như nhau. 2.Bây giờ ta thay đổi R để a.Công suất tiêu thụ trên mạch AB cực đại. b.Công suất tiêu thụ trên R cực đại. c.Công suất tiêu thụ trên cuộn dây cực đại. Cách làm: a.Tính R để Pmax ( R  r ).U 2 chia tử và mẫu cho R+r P= ( R  r )  (Z L  ZC )2 U2 P= ( Z  Z C )2 (R  r )  L Rr U2 Dùng Côsi mẫu số: Pmax = khi R+r = Z L  ZC 2( R  r ) R0=R= Z L  ZC - r Khảo sát sự biến thiên của P theo R  R0= Z L  ZC - r R 0 U2 r.U 2 P 0 r 2  (Z L  ZC )2 2( R  r ) Đồ thị: P Pmax R O R0 b.Tính R để PRmax: 2 R.U PR = R.I2 = khai triển mẫu rồi chia tử và mẫu cho R ( R  r )  ( Z L  Z C )2 2 R.U 2 U2 PR = R.I2 = = r 2  (Z L  ZC )2 R 2  2 Rr  r 2  (Z L  Z C )2 R  2r R Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho mẫu số: U2 r 2  ( Z L  ZC )2 PRmax = khi R0 =R = 2( R  r ) Trang 9
  10. Khảo sát PR theo R  R 0 R0 PR 0 PRmax 0 Đồ thị: P PRmax R O R0 c.Tính R để Prmax: r.U 2 Pr = r.I2 = ( R  r ) 2  ( Z L  Z C )2 r.U 2 Prmax = khi R=0 r 2  (Z L  ZC )2 Khảo sát Pr theo R  R 0 2 r.U Pr 0 r  (Z L  ZC )2 2 Đồ thị: Pr(w) Prmax R() O Bài toán 7: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ Thay đổi C để số chỉ V1 cực đại. Khảo sát số chỉ V1 khi C thay đổi. U R2  Z L 2 Số chỉ V1 chỉ U1 = I. Z1 U1= R 2  ( Z L  ZC ) 2 U R2  Z L2 1 U1max= khi ZL – ZC = 0; C= Lw2 R 1 Ta khảo sát U1 theo ZC và để ý ZC = ZC và C nghịch biến. Cw Bảng biến thiên:  ZC 0 ZC=ZL U R2  Z L 2 U1 U 0 R U1(v) Đồ thị: U1max U ZC() Trang 10 O ZL=ZC
  11. Nhận xét: đại lượng biến thiên C hoặc L nằm ngoài số chỉ vôn kế đều rơi vào trường hợp công hưởng. Nếu đại lượng biến thiên L hoặc C hoặc w nằm trong số chỉ vôn kế bài toán trở nên phức tạp hơn. Bài toán sau đây minh hoạ điều này. Bài toán 8: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ 1.Thay đổi R để UR cực đại. 2.Thay đổi L để UL cực đại. 3.Thay đổi C để UC cực đại. 4.Thay đổi w lần lượt để UR cực đại, UL cực đại, UC cực đại. Các làm: U .R 1.Trường hợp câu 1: UR = I.R = R 2  ( Z L  ZC ) 2 U UR = (Z  Z )2 1 L 2 C R URmax = U khi R =  UR(v) Đồ thị: U R() O 2.Định L để UL cực đại: U .Z L U .Z L  Cách 1: UL = I.ZL = R 2  ( Z L  ZC )2 R 2  Z L  2Z L ZC  Z C 2 2 U Chia tử và mẫu cho ZL và thu gọn: UL= 1 2Z ( R 2  ZC ) 2  C  1 2 Z L ZL 1 Đặt x = ZL a  R 2  Z C 2  UL= U Hàm y=ax2 + bx +1 với  b  2 ZC y  Để ULmax thì ymin  b Vì a>0 nên ymin =  khi x =  4a 2a 2Z C 1 Thay a, b vào: = Z L 2( R 2  ZC ) 2 R 2  ZC 2 +ZL = L ZC U R2  ZC 2 4ac  b 2 R2  ULmax = +ymin= 2 2 R R  ZC 4a Bảng biến thiên:  ZL 0 Trang 11
  12. U R2  ZC 2 UL 0 U R UL(v) Đồ thị: ULmax U ZL() Cách 2: dùng giản đồOvectơ Zồi dựa vào phép tính hình học: r L=ZC uAB= uAM + uMN + uNB        Dạng vectơ: U AB  U AM  U MN  U NB       U  U R  U L  UC  Vẽ giản đồ theo cách nối tiếp vectơ: AB= UAB = U   AM = UR MN = AN’ = UL Trục dòng điện NB = UC Kẻ AN’ song song MN và bằng MN để tạo thành tam giác ABN’ AB AN ' U U L  Dùng định lý hàm số sin:  sin  sin  sin  sin  U . sin  UL = sin  Z NB C Khi L thay đổi góc  không đổi với tg = N 'N R 1 R sin= sin(900 - ) = cos =  2 2 2 1  tg R  ZC Còn góc  thay đổi U khi sin = 1   = 900 tam giác ABN’ vuông tại B ULmax = sin  U R2  ZC 2 lúc này góc BAM   ULmax = R MB Z L  ZC Z  ZC  cotg = L tg =  AM R R 2 2 R Z L  ZC R  ZC   ZL = ZC R ZC Cách 3: dùng đạo hàm để tìm cực trị có tính tổng quát cho mọi bài toán Nhận xét: +Ở cách 2 và 3phức tạp và công phu nên dùng kiến thức toán đơn giản như cách 1 +Đối với mạch xoay chiều phức tạp phương pháp hình học ở cách 2 có lợi hơn. 3.Định C để UC cực đại: UZ C UC = I.ZC = R  ( Z L  ZC ) 2 2 Dùng cách 1 giải như câu 2 chỉ cần thay đổi đại lượng ZC = ZL được kết quả. U . R2  Z L 2 R2  Z L 2 C UCmax= khi ZC = R R Trang 12
  13. Đồ thị có dạng như câu 2 4.Thay đổ i lần lượt w để a.UR cực đại U .R U .R  UR = I.R = 2 2 12 R  ( Z L  ZC ) R 2  ( L  ) C 1 URmax = U khi Lw - =0 c 1 mạch có cộng hưởng điện w0 = LC Bảng biến thiên: 1 w 0 w0= LC UR 0 U 0 Đồ thị: UR URmax w b.Định w để ULmax O w0 U .Z L U .Z L  UL=I.ZL = 2 2 2 2 2 R  ( Z L  ZC ) R  Z  ZC  2Z L ZC L U .L. chia tử và mẫu cho w và thu gọn lại UL= 1 L 2 22 R L  2 2 2 C C U .L UL= 1 2L 1  ( R 2  ) 2  L2 24 C C 1  a  C 2  1 2L  2 y= ax + bx + d với b  R 2  Đặt x = 2  C  2 d  L   U .L UL = y ULmax khi ymin  b Vì a>0 nên ymin = khi x= 4a 2a Thay các hằng số a,b,d vào ta tính được 2U .L 1 2 2L  R2 với điều kiện ULmax= khi w0= C 2L  R2 C 22 R 4 LC  C R C Bảng biến thiên:  w 0 w0 Trang 13
  14. UL 0 ULmax U UL Đồ thị: (v) ULmax U w(rad/s) c.Định w để UCmax: O w0 U .Z C U  UC=I.ZC = R 2  ( Z L  ZC )2 1 2L C. . R 2  L2 2   22 C C U UC= L 1 C L2 4  ( R 2  2 ) 2  2 C C  a  L2  2L  Đặt w2 = x 2 y= ax + bx + d với b  R 2  C  1  d  C 2  U UC = Cy UCmax khi ymin  b Vì a>0 nên ymin = khi x= 4a 2a Thay các hằng số a,b,d vào và biến đổi ta được 2L  R2 1C 2U .L 2L  R2 với điều kiện UCmax= khi w0= L 2 C 22 R 4 LC  C R Đồ thị có dạng như câu b. Nhận xét: có thể dùng đạo hàm để tính UCmax khi w thay đổi. Bài toán 9: cho mạch điện xoay chiều hình vẽ. Hiệu thế 2 đầu đoạn mạch AB là u= 85 2 sin 100 t (v) R= 70 ; r= 80 cuộn dây có L thay đổi được, tụ điện có C thay đổi được. 3 1.Điều chỉnh L = H rồi thay đổi điện dung C. T ìm điện dung C để UMB cực tiểu. 2 Khảo sát UMB khi C thay đổi 1 .103 F rồi thay đổi L. T ìm độ cảm L để UAN cực đại. Khảo sát 2.Điều chỉnh C = 7 UAN khi L thay đổi. Cách làm: 1.Tìm C để UMB cực tiểu. ZL = 150 , R= 70, r = 80 U r 2  ( Z L  ZC )2 r 2  (Z L  Z C )2 U UMB = I.ZMB = ( R  r )2  ( Z L  ZC ) 2 ( R  r ) 2  (Z L  Z C )2 Trang 14
  15. Ở bài toán này biểu thức phức tạp nên thay số vào rồi đặt ẩn số cho giống biểu thức toán Đặt x = (ZL – ZC)2 (x>0) r 2  (Z L  ZC )2 80 2  x y=  ( R  r ) 2  (Z L  Z C )2 150 2  x UMB= U y UMB min khi ymin 802  x 1502  802  1 Khảo sát hàm y= 1502  x 150 2  x 1 ymin= 0.2845 khi x= 0  (ZL – ZC)2 = 0  ZC = ZL = 150   C= .103 F 15 UMBmin= U ymin = 85 0, 2845 = 45,33 (v) Bảng biến thiên:  ZC 0 150 UMB 55 45,33 U=85 UMB Đồ thị: (v) 85 55 45,33 ZC () O 150 2.Tìm L để UAN max: U R2  Z L 2 R2  Z L 2 U UAN= I.ZAN= ( R  r )2  ( Z L  ZC ) 2 ( R  r ) 2  (Z L  Z C )2 Đặt x= ZL (x>0) R2  ZL 2 70 2  x 2 y=  ( R  r ) 2  (Z L  Z C )2 1502  ( x  150)2 UAN=U y Để UAN max thì ymax 702  x 2 Khảo sát: y= 1502  ( x  150)2 300 x 2  80200 x  70 2.300 Lấy đạo hàm rồi thu gọn: y’= 1502  ( x  150)2    y’= 0  -300x2 +80200x + 1470000 = 0 x = -17,22  x=284,55 Bảng biến thiên:  x -17,22 0 284,55 y’ 0 + + 0 y 2,11 0,108 1 ymax = 2,11 khi x= 284,55 ZL=284,55  thì UAMmax= U y max = 85 2,11 = 123,47 v Z Vậy khi L= L =0,906H thì UAMmax= 123,47 (v)  UAN (v) 123,47 Trang 15 85
  16. Đồ thị: Nhận xét: ở bài tập 9 không thể đưa về tam thức bậc 2 ở mẫu số như các bài tập trước vì tử số có thêm 1 hằng số nên không thể thực hiện phép chia. II.Bài toán áp dụng phép tính tích phân 1.Đặt vấn đề: Để xác định vận tốc tức thời, gia tốc tức thời của chuyển động khi biết sự phụ thuộc của vị trí của vật theo thời gian đã dẫn chúng ta đến khái niệm về đạo hàm dx dv v(t) = a(t)= dt dt Bài toán ngược: cho biết vận tốc tức thời v(t) là 1 hàm đã biết. Xác định vị trí và quãng đường đi sau thời gian t đã dẫn chúng ta đến khái niệm về tích phân. Ở phổ thông toán học ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng hoặc tính thể tích hình tròn xoay. Môn vật lý ứng dụng tích phân để t ìm đại lượng vật lý biểu diễn dưới dạng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong f(x) và các trục tọa độ như tính quãng đường đi, công của một lực thực hiện, xác định điện trường, điện trở, từ thông. Phương pháp: dùng định nghĩa tích phân xác định. b b  f(x)dx  F(x)I  F(b)  F(a) a a Định nghĩa tích phân như là giới hạn của 1 tổng. Việc đi t ìm hàm dưới dấu tích phân là vấn đề khó xác định cận trên, cận dưới nên chọn như thế nào cho phép tính đơn giản hơn. Dưới đây là 1 số bài toán minh hoạ điều đó. Bắt đầu từ những bài dễ đến các bài khó hơn. 2.Bài tập áp dụng: Bài toán 10: Một điện trở có dạng hình nón cụt, bán kính đáy lần lượt là a và b và chiều cao L. Giả sử mật độ dòng điện là đều qua bất kỳ tiết diện nào. Tính điện trở của vật đó. Cách làm: chọn trục Ox như hình vẽ  Ta chia khối điện trở thành những khúc điện trở nhỏvi phân có chiều dài dx  có tiết diện tròn bán kính r Điện trở khúc vi phân có chiều dài dx dx: dR = . : là điện trở suất S ba  tg  L   r=x.tg Theo hình:  tg  r  x  S=.r2 dx dx  . Thay vào: dR=. 2  .x .tg 2 2  .r Điện trở R của khối là điện trở tương đương nhiều khúc vi phân dR mắc nối tiếp nhau. n  dR   dR R= i i 1 Trang 16
  17. x2 x .dx   1 2 dx x2  . 2  . R=  x1  .tg  .x  .tg  x1 x  .tg 2 x 2 2 2 x1 a b Các cận tích phân: x1= ; x2= tg tg   tg tg   (b  a) L R=      .tg   b a   .tg .ab  .a.b 2   Khi a=b khối điện trở có dạng hình trụ L L  . S: tiết diện đáy hình trụ. R= 2  .a S Nhận xét:Từ bài toán trên cho học sinh tính điện dung C của tụ điện phẳng có 2 mặt phẳng tạo với nhau một góc . Bài toán 11: Trong cùng một mặt phẳng với một dòng điện x0 AI thẳng dài vô hạn có cường độ I=20A người ta đặt hai thanh kim loại trượt song song với dòng điện cách dòng điện một l v khoảng x0 = 1 cm và cách nhau l = 0,5 m (như hình vẽ). B Trên hai thanh trượt người ta lồng vào một đoạn dây dẫn AB dài l. tìm hiệu điện thế xuất hiện giữa 2 đầu dây AB nếu cho dây AB trượt tịnh tiến trên các thanh với vận tốc v=3m/s Cách làm: x0 x AI Dây AB chuyển động trong từ trường của dòng I nên trong khung suất hiện suất điện động cảm ứng l dx   B d Dây không kín nên UAB = EC   dt Xét đoạn dây vi phân dx chuyển động song song dòng điện cách dòng điện một đoạn x Từ thông quét qua dây vi phân dx khi chuyển động  I.v.t.dx d= B.dS = 0 với dS = v.t.dx 2 x Từ thông quét qua cả đoạn AB là tổng các từ thông quét qua các đoạn vi phân dx. x0  l x0  l x l  0 .I.v.t.dx  0 .I.v.t 0 dx    d   d     2.x 2  x0 x x0 x0  0 .I.v.t x l .ln 0 = 2 x0 d I.v x l .In 0 UAB= EC    dt 2 x0 -5 Thay số liệu vào UAB= 9,4.10 v Bài toán 12: Khung dây chữ nhật cạnh a=10cm, b=20cm đặt gần dây dẫn thẳng dài sao cho cạnh b song song dây dẫn và mặt phẳng khung chứa dây dẫn. Cạnh của khung dây dẫn và cách dây x0=5cm. Dây dẫn thẳng mang dòng điện I1=5A, khung dây mang dòng điện I2=1A. Tính công cần thực hiện trong hai trường hợp: a.Tịnh tiến khung một đoạn a theo phương nằm trong mặt   phẳng khung và vuông góc với dây dẫn. B 0 b.Quay khung 180 chung quanh cạnh b xa dây dẫn hơn. Coi rằng trong khi khung chuyển động dòng điện trong khung và trong dây dẫn thẳng là đều không đổi. Cách làm: a.Công của lực ngoài làm di chuyển khung được tính bằng công thức: Trang 17
  18. An=I2 (1 – 2) Trong đó: 1: là từ thông gởi qua khung lúc đầu. 2: là từ thông gởi qua khung lúc sau khi di chuyển một đoạn a. tương tự: từ thông gởi qua dS của khung có chiều dài dx. I với (B=2.10-7. 1 ; d = B.dS dS=b.dx) x b.dx d = 2.10-7.I1. x x0  a b.dx x a 1   2.10 7.I1 .  2.10 7.I1.b.Ln 0 x x0  a x0 x 0  2a b.dx x  2a 2.10 7.I1 .  2.10 7.I1.b.Ln 0 2    x x0 x0  a (x 0  a)2  x a x  2a  An=2.10-7.b.I1.I2.  Ln 0 = 2.10-7.b.I1.I2. Ln =1,2.10-7(J)  Ln 0  x0 x0  a  x 0 (x 0  2a)  0   b.Trường hợp quay khung dây 180 quanh cạnh b xa dây hơn thì 1 có giá trị cũ 1 =1 và    2 cũng có giá trị cũ nhưng vectơ n của khung ngược chiều lần trước.   2 =  2  x a x  2a  A n =I2( 1 –  2 )  A n =2.10-7.I1.I2.b  Ln 0      Ln 0  x0 x0  a   x  2a A n = 2.10-7. I1.I2.b. Ln 0 =3,2.10-7 (J)  x0 Bổ sung: công thức tính công của lực từ khi một khung dây mang dòng điện chuyển động trong từ trường: A= I (  2  1 ) Công của lực ngoài: An = – A An=I ( 1   2 ) > 0 Nhận xét: Qua 3 bài toán trên ta lấy cận tích phân theo đơn vị độ dài. Đối với các bài toán cần xác định đại lượng vật lý là một đại lượng vectơ, phương của các phần tử vi phân biến đổi liên tục. Để tính độ lớn ta phải chiếu lên trục đối xứng và chọn góc để làm cận tích phân. Bài toán sau đây sẽ minh hoạ điều đó. Bài toán 13: Thanh nhựa tích điện âm –q uốn thành ½ cung tròn bán kính R có tâm là O. a.Xác định hướng và độ lớn của cường độ điện trường tại tâm O. b.Một thanh nhưạ khác tích điện dương +q uốn thành ½ cung tròn bán kính R được nối liền với nhau tạo thành đường tròn (O,R). Xác định cường độ điện trường tại tâm O. Cách làm:   a.Xác định E Kẻ trục OC chia cung AB làm 2 phần bằng nhau.  Do tính đối xứng hình học E cùng phương OC. Xét phần tử có chiều dài dl mang điện tích dq= dl ( là mật độ điện dài)  dq gây ra tại tâm O 1 điện trường d E có phương nằm trên bán kính nối từ O đến dq. k.dq k..de Độ lớn: dE =  R2 R2 Vectơ cường độ điện trường tổng hợp tại O do điện tích q trên cung AB gây ra Trang 18
  19.  n    E   dE   dE i 1 AB   Để tính độ lớn E ta chiếu đẳng thức vectơ lên đường OC là phương của E .dl E =  dE.cos    k. 2 .cos  R AB AB   k. R .cos .d Thay dl= R.d vào E= AB a a f(x)dx  2  f(x)dx nếu f(x) là hàm số chẳn. Để ý rằng  a 0 0   0 E= 2.k. .  cos .d  2.k. sin  0 R0 R .sin 0 E= 2.k. R 1 q q  cung tròn nên: 0=  sin0= 1 =  Vì AB = 2 2 l .R   1 2kq ) hướng E theo OC với (k = Thay vào E= .R 2 4 0   b.Xác định E tại O do cả vòng tròn:  Tương tự do ½ cung tròn AB mang điện tích +q, E có hướng ra xa điện tích dương, tức cùng hướng nửa cung tròn mang điện âm và có cùng độ lớn. Cường độ điện trường tại O 4kq E= E+ + E- = .R 2 Nhận xét: Nếu cả vòng tròn mang cùng điện tích dương hoặc cùng điện tích âm thì E = 0 (gọi là vật dẫn cân bằng điện) Bài toán 14: Một tụ điện phẳng được mắc vào nguồn điện để giữ cho hiệu điện thế các bản luôn luôn là U0. Đưa vào khoảng giữa hai bản đó một điện môi có hằng số điện môi là  để lấp đầy. q U (   0 ) a.Chứng minh rằng khi đó nguồn điện thực hiện 1 công bằng Ang= 0 0 trong 0 đó q0 là điện tích trên các bản tụ điện ban đầu (khi chưa lấp đầy điện môi) b.Tính công thực hiện bởi lực cơ học (lấp đầy điện môi). Công thực hiện do lực đặt lên điện môi hay bởi điện môi thực hiện? c.Nhiệt lượng tỏa ra ở tụ trong thời gian lấp đầy. Cách làm: Q2 -Biểu thức năng lượng của tụ: w= (1) 2C -Trong quá trình điện môi dịch chuyển vào tụ thì: +Điện tích các bản tụ thay đổi. +Điện dung C của tụ thay đổi. +Hiệu thế U0 giữa hai bản tụ không đổi do nối với nguồn. -Lấy vi phân hai vế biểu thức (1) Q2 Q dw = dQ  2 dC C 2C U2 Q nên dw = U0dQ  0 dC Vì hiệu thế không đổi U0 = 2 C Trang 19
  20. Ý nghĩa biểu thức: đây cũng là định luật bảo toàn năng lượng +Số hạng thứ 1 vế phải dAng= U0.dQ là công của nhuồn điện làm thay đổi điện tích trên các bản tụ U2 Số hạng thứ 2 vế phải dAC= 0 dC là công cơ học cần thết đặt trên điện môi. 2 dW: độ biến thiên năng lượng của tụ cũng chính là nhiệt lượng tỏa ra. q U (   0 ) a.Chứng minh: Ang= 0 0 0 Từ biểu thức: dAng= U0.dQ q1 q1 q1  U dQ  U  dQ  U Q Ang = 0 0 0 q0 q0 q0 Lúc đầu điện tích của tụ q0 q 0 q q (do U0 = 1  0  q1) Khi lấp đầy điện môi điện tích của tụ là q1= C1 C 0 0 q U (   0 )  Thay cận vào: Ang= 0 0  q 0 .U 0 (  1) 0 0 b.Tính công cơ học: C1 U2 U2 U2 Từ biểu thức dAC = 0 dC  AC=  0 dC  0 C C10 C 2 2 2 C0 q0 Cận tích phân : Điện dung tụ lúc đầu C0 = U0  q0 . Điện dung tụ lúc lấp đầy điện môi: C1= (tính từ q1)  0 U0 q0 U0  (  1) . Vì AC>0 công này do lực tác dụng lên điện môi gây ra. Thay vào: AC= 2 0 qU  c.Q= dW = Ang – AC = 0 0 (  1) 2 0 C.HIỆU QUẢ CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP: Bài toán tìm giá trị lớn nhất giúp học sinh lớp 11 có dịp làm quen ở các bài tập điện trường, công suất dòng điện một chiều, từ trường … khi lên lớp 12 các em có dịp gặp lại lần nữa, tự tin hơn khi áp dụng được. So với đạo hàm thì phương pháp dùng Côsi mẫu số đơn giản hơn. Tuy nhiên cũng phải có những hàm số phải dùng đến đạo hàm. Từ bài toán đơn giản, dẫn dắt học sinh đến những bài toán phức tạp theo tuần tự từ dễ đến khó, dùng phương pháp nào cho có lợi, tiết kiệm được thời gian. Các bài tập nêu trên vừa có tính cơ bản, vừa có tính tổng quát giúp cho học sinh phân biệt và lựa chọn công cụ toán để dùng, có tính hệ thống phân biệt được cái đơn giản và cái khó của từng dạng bài tập. Các bài tập này được dùng để dạy bồi dưỡng học sinh ôn thi tốt nghiệp phổ thông, ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả phần nào. Từ một phần nhỏ của phép tính tích phân cũng xây dựng phương hướng khi áp dụng để tạo niềm tin vững vàng và có kiến thức cơ bản giúp các em đọc sách tham khảo dễ dàng hơn. D.BÀI HỌC KINH NGHIỆM: Để vận dụng kiến thức cho học sinh đòi hỏi có kiến thức rộng, hiểu kỹ vấn đề. Không nhất thiết phải chọn các bài tập khó, giải thật nhiều mà không hệ thống lại được để học sinh nắm vững. Trang 20
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2