1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT TƯƠNG DƯƠNG 2
-------------------
SÁNG KIẾN
PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH HƯỚNG, TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN
XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ,
TÌM GIỚI HẠN TỔNG
LĨNH VỰC: TOÁN
NHÓM TÁC GIẢ: 1. TRẦN VĂN KHÁNH- PHÓ HIỆU TRƯỞNG
2. NGUYỄN VĂN HUẤN- GIÁO VIÊN TOÁN.
SĐT: 0968632555
Năm học: 2021-2022
2
A - PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Dãy số và giới hạn của dãy số là một phần kiến thức vô cùng quan trọng
trong chương trình toán học phổ thông, xuất hiện rất nhiều trong các đề thi học
sinh giỏi Olympic, học sinh giỏi tỉnh, và trong các đề thi chọn học sinh giỏi quốc
gia. Trong rất nhiều bài toán, đôi khi “chiếc chìa khóa” chính là phải xác định được
số hạng tổng quát của dãy số, tuy vậy công việc này cũng không hề dễ dàng với
các em học sinh. Mặc dù có rất nhiều tài liệu hướng dẫn cách xác định công thức
của số hạng tổng quát nhưng vấn đề ở chổ khi đối mặt với một bài toán dãy số các
em chưa có một định hướng, tư duy chính xác để giải quyết được vấn đề.
Qua thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi ở lớp 11 tại trường, tôi
thấy các em học sinh rất khó khăn trong việc xác định số hạng tổng quát của dãy
số. Vì thế tôi đã áp dụng một số biện pháp nhằm giúp các em có thể tiếp cận, tư
duy định hướng và giải được các bài tập về dãy số tốt hơn.
Để rút ra bài học cần thiết, tôi đã lựa chọn học sinh của lớp 11 qua bài kiểm
tra và phần điều tra tôi đã phân loại chất lượng học tập và tìm nguyên nhân, từ đó
thực hiện các biện pháp thích hợp trong quá trình giảng dạy.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
Trình bày các ý tưởng, cách suy nghĩ để tìm lời giải cho bài toán xác định số
hạng tổng quát của dãy số, giúp học sinh tiếp cận các cách giải khác nhau, so sánh
chúng từ đó tìm ra lời giải tối ưu nhất cho bài toán. Qua đó, giúp các em không còn
“ sợ” khi đối mặt với các bài toán dãy số.
Định hướng cho học sinh tính giới hạn của tổng thông qua việc thu gọn tổng
đó bằng cách phân tích hạng tử tổng quát thành hiệu các hạng tử nối tiếp nhau để
các hạng tử có thể triệt tiêu, cuối cùng đưa tổng đó về biểu thức chỉ còn chứa xn ,
sau đó tìm limxn.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán về xác định công thức tổng quát của dãy số và áp dụng tính giới
hạn.
Các bài toán tìm giời hạn của tổng.
4. Giới hạn của đề tài
3
Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc định hướng tìm lời giải cho các bài
toán xác định công thức tổng quát của một số dãy số, từ đó áp dụng vào một số bài
toán cụ thể. Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác
định công thức tổng quát của dãy số. Đặc biệt áp dụng các công thức lượng giác và
lý thuyết về sai phân tuyến tính để giải quyết vấn đề.
5. Phương pháp nghiên cứu
Để áp dụng được một phần đề tài “ Phương pháp định hướng, tìm lời giải cho
bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số, tìm giới hạn tổng’’ tôi kết hợp sử
dụng phương pháp phép thế lượng giác, lý thuyết về phương trình sai phân tuyến tính
cấp một và cấp hai qua một số chuyên đề mà bản thân tôi đã được học.
Nội dung của đề tài nhằm cung cấp một số phương pháp cơ bản xác định
công thức tổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số bài toán. Đây cũng là
đề tài mà tôi đã dạy cho học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi và lớp chọn và là tài
liệu cho học sinh và đồng nghiệp tham khảo.
Trong đề tài này tôi đã sử dụng một số kết quả có tính hệ thống của “ Lý thuyết
phương trình sai phân” tuy nhiên những vấn đề áp dụng kiến thức toán học hiện đại
chỉ dừng lại ở một số trường hợp đặc biệt và giới hạn trong trường số thực.
B - PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận
Dựa trên công thức lượng giác dự đoán công thức của số hạng tổng quát của
dãy số và chứng minh công thức bằng phương pháp quy nạp toán học. Dựa vào lý
thuyết của phương trình sai phân tuyến tính để xác định số hạng tổng quát của dãy.
Dựa vào phương pháp đặt ẩn phụ để đưa dãy chưa xác định được về cấp số nhân
thông qua một dãy phụ để xác định số hạng tổng quát của dãy cần tìm.
2. Thực trạng việc dạy và học chuyên đề dãy số ở trường trung học phổ thông
+ Về phía giáo viên
Trong những năm gần đây, hầu hết các giáo viên ở trường đã tích cực đổi mới
phương pháp giảng dạy và chuyên đề dãy số cũng không phải ngoại lệ. Tất cả các
thầy cô giáo của tổ đều nhận thấy được tầm quan trọng của việc giúp học sinh xác
định được công thức của số hạng tổng quát của dãy số khi dãy số cho bằng công
thức truy hồi. Các thầy cô đều nắm rất vững các phương pháp xác định công thức
của số hạng tổng quát của dãy số và luôn cố gắng truyền đạt cho học sinh. Tuy
nhiên, qua thăm dò ý kiến thì hầu hết các thầy cô đều cho rằng đây là một phần
kiến thức “quá khó, vượt tầm” với hầu hết học sinh, các em có cố gắng nhưng vẫn
4
không thể hiểu nổi. Một bộ phận thầy cô tỏ ra chán nản và dạy qua loa đại khái cho
xong, hiệu quả mang lại chưa cao, học sinh không tiếp cận được.
+ Về phía học sinh:
Phần lớn các em đều ý thức được tầm quan trọng của dãy số, tuy nhiên các em
thừa nhận rằng học phần dãy số quá khó khăn, đặc biệt là các cách xác định công
thức của số hạng tổng quát. Các em có nắm phương pháp cũng không thể áp dụng
được với những bài khác nhau.
3. Nội dung và hình thức của giải pháp
3.1 Mục tiêu của giải pháp
Trang bị cho các em học sinh những kiến thức căn bản về các cách xác định
công thức của số hạng tổng quát, giúp học sinh định hướng tư duy và tìm tòi lời
giải.
Giới thiệu cho học sinh các cách giải khác nhau trên một số bài toán để các em
có cái nhìn đa chiều, so sánh và đánh giá chúng để tìm ra cách giải tối ưu.
3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp
3.2.1 Sử dụng phép thế lượng giác
Ví dụ 1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số sau:
1
21
1
2
21
nn
u
uu

Cách giải 1:
Ý tưởng: Dựa vào công thức truy hồi ta kiểm tra một vài số hạng của dãy
1
2
2
3
4
...............
1
2
11
21
42
11
21
22
1
2
1
2
n
u
u
u
u
u




5
Từ những kết quả có được ta có thể dự đoán và chứng minh công thức của số hạng
tổng quát bằng phương pháp quy nạp. Nhưng không phải bài nào cũng đẹp như
vậy, do đó ta có cách giải thứ 2
Cách giải 2:
Ý tưởng: Từ hệ thức truy hồi ta liên tưởng đến công thức:
2
os2 2cos 1c x x
Do đó:
2
12
1
34
2
, 2 1
33
4 8 2
, ...
3 3 3
n
n
u cos u cos x cos
u cos u cos u cos

Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta được:
1
21
32
n
n
u cos
Ví dụ 2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số sau:
1
21
1
2
2 2 1
2
n
n
u
u
u

Ý tưởng: Ta liên tưởng đến công thức
22
sin os 1x c x
221
2 2 1 sin 22 6
166
sin , sin
12
2 6 2 2 2 2.6
cos
cos
uu





Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta dễ dàng chứng minh được
1
sin 2 .6
n
un
Ví dụ 3: Cho dãy số
()
n
u
xác định bởi
1
1
1
3
.
21 2
1 (1 2)
n
n
u
u
un
nu


Tính
2021
u