Phương pháp hàm số đại diện giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình: SKKN

Ở Ạ Ị

S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O NAM Đ NH Ụ

ƯỜ

Ự

NG THPT TR C NINH

BÁO CÁO SÁNG KI NẾ

Ề

ƯƠ

Ể Ả

Ệ

Đ TÀI

: PH

Ố Ạ NG PHÁP HÀM S Đ I DI N Đ GI I

ƯƠ

Ấ

ƯƠ

Ệ ƯƠ

NG TRÌNH, B T PH

NG TRÌNH, H PH

NG TRÌNH

ễ

Tác gi

1:ả Nguy n Văn Di n

ộ

ạ

ọ Th c sĩ Toán h c

Trình đ chuyên môn:

ứ ụ Giáo viên

Ch c v :

ễ

Tác gi

2:ả Nguy n Đình Dùng

ộ

ạ

ọ Th c sĩ Toán h c

Trình đ chuyên môn:

ệ

ưở

ứ ụ Phó hi u tr

Ch c v :

ơ

ườ

ự

: Tr

ng THPT Tr c Ninh

N i công tác

gày 20 tháng 05 năm 2016

Nam Đ nh, n

ị

Ề

Ế

THÔNG TIN CHUNG V SÁNG KI N

1. Tên sáng ki nế : Ph

ươ ố ạ ể ả ệ ươ ấ ng pháp hàm s đ i di n đ gi i ph ng trình, b t

ươ ph ng

ệ ươ ng trình. trình và h ph

ự ế Toán h cọ ụ 2. Lĩnh v c áp d ng sáng ki n:

ụ ờ ừ ế ế : T ngày 10/10/2015 đ n ngày 10/05/2016 3. Th i gian áp d ng sáng ki n

4. Tác gi :ả

ọ ễ ễ H và tên: Nguy n Văn Di n

Năm sinh: 13/03/1985

ườ ự ệ ả ỉ ị ơ N i th ng trú: Xã Liêm H i, Huy n Tr c Ninh, T nh Nam Đ nh.

ạ ộ ọ Trình đ chuyên môn: Th c sĩ Toán h c

ứ ụ ạ ộ Ch c v công tác: Giáo viên d y b môn Toán

ệ ơ ườ ự N i làm vi c: Tr ng THPT Tr c Ninh A

ệ ạ Đi n tho i: 0918254492

ỷ ệ ạ T l đóng góp t o ra sáng ki n ế : 50%

ồ 5. Đ ng tác gi

ọ ễ Nguy n Đình Dùng

ườ ự ự ỉ ị ả H và tên: Năm sinh: 12/08/1975 ơ N i th ệ ng trú: Xã Tr c Thanh, Huy n Tr c Ninh, T nh Nam Đ nh.

ạ ộ ọ Trình đ chuyên môn: Th c sĩ Toán h c

ứ ụ ệ ưở Ch c v công tác: Phó hi u tr ng.

ệ ơ ườ ự N i làm vi c: Tr ng THPT Tr c Ninh A

ệ ạ Đi n tho i: 0917493236

ỷ ệ ạ T l đóng góp t o ra sáng ki n ế : 50%

ơ ị ế

ườ ự ụ 6. Đ n v áp d ng sáng ki n: ơ Tên đ n v : ng THPT Tr c Ninh A ị Tr

ự ệ ị ị ỉ ỉ Đ a ch : TT Cát Thànhhuy n Tr c Ninht nh Nam Đ nh

ệ ạ Đi n tho i:03503883099

BÁO CÁO SÁNG KI NẾ

Ạ Ệ Ế Ề Ả I. ĐI U KI N HOÀN C NH T O RA SÁNG KI N

ươ ấ ươ ệ ươ ề Ph ng trình, b t ph ng trình hay h ph ng trình là chuyên đ mang

ổ ế ạ ấ ọ ọ ớ ố ề ộ ụ n i d ng quan tr ng, ph bi n v i nhi u d ng toán xuyên su t các c p h c mà

ườ ấ ượ ể ặ ể ọ chúng ta th ng g p trong các kì thi ki m tra ch t l ng h c kì, thi tuy n sinh

ặ ệ ố ọ ỏ ớ l p 10 THPT, đ c bi t là kì thi THPT Qu c Gia hay kì thi h c sinh gi ấ i các c p,

ề ề ấ ạ ờ ả ớ ự chúng r t đa d ng và phong phú v đ bài và l i gi ạ i. Ngày nay v i s sáng t o

ủ ườ ọ ươ ấ ươ ừ không ng ng c a ng i h c toán thì ph ng trình, b t ph ng trình hay h ệ

ươ ệ ề ễ ấ ấ ọ ph ớ ng trình ngày càng xu t hi n r t nhi u trên các di n đàn Toán h c v i

ữ ứ ưở ặ ắ ộ ề ẻ ớ nh ng hình th c, ý t ặ ng m i m và đ c s c. M c dù đây là m t đ tài quen

ư ế ề ả ầ ộ ố ị thu c, chính th ng nh ng không vì th mà gi m đi ph n thú v , nhi u bài toán

ổ ẹ ứ ế ầ ậ ấ ộ ớ ế ơ ả c b n tăng d n lên m c đ khó, th m chí r t khó, v i các bi n đ i đ p k t

ứ ế ề ẫ ọ ộ ợ h p nhi u ki n th c, kĩ năng v n làm khó h c sinh THCS, THPT. M t ph ươ ng

ấ ươ ệ ươ ề ươ trình, b t ph ng trình hay h ph ể ng trình có th có nhi u ph ng pháp gi ả i

ố ớ ọ ự ệ ọ khác nhau. Tuy nhiên đ i v i các em h c sinh có h c l c trung bình, khá thì vi c

ả ề tìm ra đ ượ ờ c l i gi i cho bài toán còn nhi u khó khăn.

ạ ườ ư ả ự ề ấ ự Th c tr ng tr ng THPT Tr c Ninh còn nhi u em ch a c m th y có

ứ ệ ề ớ ọ ả ệ ế ươ ấ h ng thú nhi u v i vi c h c gi i toán li n quan đ n ph ng trình, b t ph ươ ng

ệ ươ ọ ự ữ ỉ trình hay h ph ọ ng trình. Ch nh ng em h c sinh có h c l c khá, gi ỏ ủ i c a

ườ ụ ộ ự ề ớ tr ọ ng m i có s quan tâm và có ni m đam mê chinh ph c n i dung Toán h c

ỏ ế ươ ấ ươ ọ này. Các em h c sinh khá, gi i quan tâm đ n ph ng trình, b t ph ng trình hay

ươ ở ộ ủ ề ườ ệ ệ h ph ng trình b i n i dung c a chuyên đ này th ấ ng xuyên xu t hi n trong

ố ở ứ ộ ế ả ề đ thi THPT Qu c gia và ọ m c đ khó. Các em h c sinh ph i chi m lĩnh đ ượ c

ề ươ ấ ươ ệ ươ ớ chuyên đ ph ng trình, b t ph ng trình, h ph ơ ộ ng trình thì m i có c h i

ơ ộ ữ ể ể ườ ạ đ t đi m cao môn Toán và c h i trúng tuy n nh ng tr ầ ạ ọ ố ng Đ i h c t p đ u

ơ ướ ề ớ ố ọ mà các em đang m ả c. V i mong mu n ngày càng có nhi u em h c sinh c m

ọ ỉ ụ ữ ứ ề ấ ộ th y có h ng thú và có ni m đam mê chinh ph c nh ng n i dung Toán h c đ nh

ề ề ử ụ ố ạ ự ệ cao này, tôi đã xây d ng chuyên đ v s d ng hàm s đ i di n đ gi ể ả i

ươ ấ ươ ệ ươ ph ng trình, b t ph ng trình, h ph ng trình.

II. MÔ T GI I PHÁP

Ả Ả

ướ

ạ

ế

1. Mô t

ả ả gi

i pháp tr

c khi t o ra sáng ki n

ướ ượ ạ ọ ọ ượ ế ọ c khi h c sinh đ c h c đ o hàm, h c sinh đã đ ậ c ti p c n và s ử

ươ ể ả ươ ấ ươ ụ d ng các ph ơ ả ng pháp c b n đ gi i ph ng trình, b t ph ng trình hay h ệ

ươ ph ng trình.

ươ ấ ạ ượ ẳ ị ươ ư ệ ươ Các ph ng pháp r t m nh đã đ c kh ng đ nh th ng hi u nh ph ng pháp

ụ ươ ư ề ạ ề ặ ẩ đ t n ph hay ph ng pháp đ a v d ng tích. Tuy nhiên trong nhi u bài toán

ươ ạ ượ ả ặ ệ ệ ố ớ các ph ng pháp đó l i không phát huy đ c hi u qu , đ c bi ữ t đ i v i nh ng

ươ ấ ươ ệ ươ ứ ồ ề ph ng trình, b t ph ng trình hay h ph ng trình có hình th c c ng k nh,

ứ ạ ế ớ ề ố ọ ươ ơ ph c t p. Chính vì th v i mong mu n h c sinh có nhi u ph ng pháp h n, có

ề ự ự ể ả ọ ơ ế ượ ề ả ươ nhi u s l a ch n h n đ gi i quy t đ c nhi u bài toán gi i ph ấ ng trình, b t

ươ ệ ươ ề ề ự ươ ph ng trình, h ph ng, tôi đã xây d ng chuyên đ v ph ng pháp hàm s ố

ệ ạ đ i di n.

ế

2. Mô t

ả ả gi

i pháp sau khi có sáng ki n

ế ệ ồ ươ ỗ ươ Báo cáo sáng ki n kinh nghi m g m 4 Ch ng, trong m i Ch ng l ạ ồ i g m

ỗ ạ ồ ụ ụ ể ỗ ộ các bài khác nhau, trong m i bài l i g m các ví d c th , m i m t ví d đ ụ ượ c

ấ ờ ả ệ ư ữ trình bày theo c u trúc ậ . Vi c đ a ra nh ng Phân tích L i gi iBình lu n phân

ữ ọ ị ướ ờ ả ủ ộ ng l i gi i c a bài toán m t cách t ự tích giúp cho h c sinh có nh ng đ nh h

ữ ự ự ứ ủ ọ nhiên d a trên hình th c c a bài toán, giúp cho h c sinh có nh ng d báo v ề

ậ ợ ữ ế ị ự ọ ọ nh ng thu n l i và khó khăn khi mà h c sinh quy t đ nh l a ch n m t h ộ ướ ng

ả ể ả ư ế ệ ờ ủ gi i nào đó đ gi i quy t bài toán. Còn vi c đ a ra ả c a bài toán là l ờ i l i gi i

ả ấ ự ự ữ ứ gi ẩ i chính th c mang tính chính xác và chu n m c nh t d a trên nh ng phân tích

ở ặ ệ ụ ằ ữ ỗ ắ ằ trên. Đ c bi t trong m i ví d b ng nh ng ấ bình lu nậ s c bén nh m nh n

ố ủ ư ữ ể ấ ạ ả m nh nh ng đi m m u ch t c a bài toán và đ a ra các cách gi ể i khác đ so sánh

ư ượ ể ớ ươ ố ạ ể u đi m, nh c đi m v i ph ệ ng pháp hàm s đ i di n và làm tăng thêm s ự

ạ ờ ả ủ ấ ượ ọ ữ ấ phong phú đa d ng cho l i gi i c a bài toán. H c sinh th y đ ệ c nh ng d u hi n

ể ự ọ ươ ả ợ ổ ậ ủ n i b t c a bài toán đ l a ch n ph ng pháp gi ư ậ i toán cho phù h p. Nh v y

ế ạ ằ ậ ầ ổ ươ ử ụ ư ph n bình lu n nh m t ng k t l i ph ữ ng pháp đã s d ng và đ a ra nh ng

ươ ướ ờ ả ộ ớ ể ph ng h ớ ng m i cho l i gi i bài toán hay phát tri n bài toán thành m t l p bài

ể ấ ộ ượ ự ủ ươ ố ạ ơ toán r ng h n đ th y đ c s thành công c a ph ệ ng pháp hàm s đ i di n.

ụ ể ủ ữ ộ ả ế Sau đây tôi trình bày nh ng n i dung c th c a gi i pháp trong sáng ki n.

ƯƠ

Ấ

ƯƠ

NG 1

Ả . GI I PH

NG TRÌNH, B T PH

Ằ NG TRÌNH B NG

ƯƠ

Ố Ạ

Ệ

NG PHÁP HÀM S Đ I DI N

ứ ơ ở

ế Bài 1. Ki n th c c s

ộ ử ủ ộ ộ ả ạ ả ặ Cho K là m t kho ng, m t đo n ho c m t n a kho ng nào đó c a và hàm

s ố

ộ ố ế ả ụ liên t c trên mi n ề K. Khi đó ta có m t s k t qu sau đây

ệ ớ ọ ươ K. Khi đó v i m i thu c t p ỏ ộ ậ K th a mãn ph ng trình ố ơ 1. Cho hàm s đ n đi u trên

ỉ khi và ch khi .

ế ấ ớ ọ K. Khi đó v i m i thu c t p ỏ ộ ậ K th a mãn b t ph ươ ng ố ồ 2. Cho hàm s đ ng bi n trên

ỉ trình khi và ch khi .

3. Cho hàm s ngh ch bi n trên

ế ố ị ọ ớ K. Khi đó v i m i thu c t p ấ ộ ậ K th a mãn b t ỏ

ươ ỉ ph ng trình khi và ch khi .

4. Cho hàm s ố đ n đi u trên

ệ ơ ươ ề ộ K thì trên K, ph ng trình ệ ấ có nhi u nh t m t nghi m.

ề ươ ệ ế Đi u đó cũng có nghĩa là trên K, ph ệ ng trình n u có nghi m thì nghi m đó là

duy nh t.ấ

5. Cho hàm s ố có đ o hàm trên kho ng N u trên kho ng ph

ế ạ ả ả ươ ng trình có nghi mệ

ệ ả ươ ệ ệ phân bi t thì trên kho ng ph ng trình có không quá nghi m phân bi ầ ư t. C n l u

ử ụ ứ ế ả ả ư ộ ấ ý là k t qu này khi s d ng ph i ch ng minh, chúng ta nên dùng nó nh m t d u

ệ ậ ế ế ả ậ ể hi u đ nh n bi ủ t, còn khi trình bày vào bài làm thì nên l p b ng bi n thiên c a

ả ố hàm s trên kho ng

6. Gi

ả ươ ằ ươ ố ạ ệ i ph ng trình b ng ph ế ng pháp hàm s đ i di n có nghĩa là chúng ta bi n

ươ ề ạ ố ồ ế ố ổ đ i ph ặ ng trình đã cho v d ng . Trong đó hàm s là hàm s đ ng bi n ho c

ứ ể ế ả ị ươ ngh ch bi n trên kho ng và các bi u th c Khi đó ph ng trình

7. Gi

ả ấ ươ ằ ươ ố ạ ế i b t ph ng trình b ng ph ổ ệ ng pháp hàm s đ i di n có nghĩa là ta bi n đ i

ươ ề ạ ố ồ ế ố ấ b t ph ặ ng trình đã cho v d ng Trong đó hàm s là hàm s đ ng bi n ho c

ứ ế ể ả ị ngh ch bi n trên kho ng và các bi u th c Khi đó

ố ồ ế ả ấ ươ ế a. N u hàm s đ ng bi n trên kho ng thì b t ph ng trình

ế ả ấ ố ị ươ ế b. N u hàm s ngh ch bi n trên kho ng thì b t ph ng trình

ệ ự

ố ạ

ủ

ậ

ấ

ỹ

Bài 2. K thu t tìm hàm s đ i di n d a vào c u trúc c a hai v

ế

ươ

ấ

ươ

trong ph

ng trình hay b t ph

ng trình

ố ạ ữ ự ế ệ ế ậ ằ ề ấ ề Tìm ki m hàm s đ i di n tr c ti p b ng nh ng suy lu n v c u ặ ấ Đ t v n đ .

ủ ế ươ ấ ươ trúc c a hai v trong ph ng trình hay b t ph ng trình là thao tác chúng ta quan sát

ế ủ ự ế ươ ấ ươ tr c ti p hai v c a ph ng trình hay b t ph ề ặ ấ ng trình đã cho, quan sát v m t c u

ư ự ư ủ ệ ế ệ ế ố ố trúc c a hai v xem gi ng h t nhau ch a. N u ch a gi ng thì chúng ta th c hi n các

ổ ầ ế ế ể ộ ế ủ ầ ươ phép bi n đ i c n thi t. C n chú ý có th m t trong hai v c a ph ấ ng trình hay b t

ươ ổ ế ể ế ề ẫ ợ ạ ph ng trình đã làm n n, làm m u đ là g i ý chúng ta bi n đ i v còn l i theo cái

ườ ủ ế ợ ươ ấ ẫ ề n n, cái m u đó. Tr ng h p khác là không có v nào c a ph ng trình, b t ph ươ ng

ế ả ẫ ả ổ ươ ấ ươ trình có kh năng làm m u thì chúng ta ph i bi n đ i ph ng trình, b t ph ng trình

ộ ạ ượ ể ể ạ ệ ế ể ặ ả đó đ tìm m t đ i l ạ ng trung gian đ thay m t, đ đ i di n cho c hai v . Đ i

ượ ượ ọ ứ ủ ố ặ ệ ể l ng trung gian đó đ ư ố ạ c g i là bi u th c c a hàm s đ i di n hay hàm s đ c tr ng

ả ươ ấ ươ ị ướ ả ả ầ c n tìm. Gi i ph ng trình hay b t ph ng trình theo đ nh h ng này ph i tr i qua

ạ ướ ế ả ự ể ế ế hai công đo n, tr c h t ta ph i d đoán các bi u th c ứ và sau đó ta đi thi t k hàm

ệ ỏ ố ệ s di n th a mãn và vi c tìm ki m ế , đóng vai trò then ch t.ố

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 1.2.1.

ủ ươ ứ ậ ớ ẩ ộ ng trình là m t đa th c b c ba v i n là x. Trong vế ế Phân tích. V trái c a ph

ươ ứ ể ấ ặ ạ ề ầ ặ ả ủ ph i c a ph ệ ng trình xu t hi n bi u th c 53 x l p l i nhi u l n. M t khác, ta có

ể ế ứ ậ ả ủ ế ể ộ th bi n đ i ổ là m t bi u th c b c 3 đ i v i ố ớ đ i l ạ ượ . Khi đó v ph i c a ph ng ươ ng

ố ớ ạ ượ ứ ậ ở ộ ế ấ trình tr thành , đây là m t đa th c b c ba đ i v i đ i l ủ ng . Đ n đây c u trúc c a

ệ ấ ứ ủ ề ế ậ ạ ả ố ế v trái gi ng h t c u trúc c a v ph i (đ u có d ng đa th c b c ba và các h s ệ ố

ươ ứ ừ ể ề ấ ộ ố ượ ọ t ằ ng ng b ng nhau), t đây ta có th đ xu t m t hàm s , đ ố ạ c g i là hàm s đ i

ố ặ ể ộ ả ư ệ ự ố ủ ế di n (hay hàm s đ c tr ng) đ l t t ề ấ nên s gi ng nhau v c u trúc c a hai v trong

ươ ể ượ ủ ế ph ng trình. Ta có các bi u th c ứ Khi ta thay t=x thì ta có đ c v trái c a ph ươ ng

ứ ượ ế ả ủ ươ ứ ể trình là bi u th c còn thay ta thu đ c v ph i c a ph ể ng trình là bi u th c Khi

ươ ế ở ượ ả ế đó ph ng trình tr thành , đ n đây bài toán đ c gi i quy t.

ề ệ ị ươ ươ ươ ờ ả Đi u ki n xác đ nh Ph ng trình t ng đ ớ ng v i L i gi i.

ố ế ụ +) Ta có hàm s liên t c trên Có suy ra hàm s ố ồ đ ng bi n trên . Khi đó ph ươ ng

ạ trình (*) có d ng

ươ ệ ấ ậ . Ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t là ế +) K t lu n

ử ụ ế ồ đ ng bi n trên chúng ta đã s d ng công c ụ ố Bình lu nậ . Đ ch ng minh hàm s ể ứ

ớ ố ượ ủ ớ ạ ớ ọ ạ đ o hàm c a l p 12, còn khi d y bài toán này v i đ i t ọ ng là h c sinh l p 10 (h c

ư ượ ọ ạ ể ứ ố ạ ớ sinh l p 10 ch a đ ệ c h c đ o hàm) thì chúng ta có th ch ng minh hàm s đ i di n

ế ằ ố ỉ ố ồ ỏ ị ồ đ ng bi n b ng cách ch ra hàm s đó ế ủ th a mãn đ nh nghĩa c a hàm s đ ng bi n

ỉ ố ụ ể ụ ặ ớ ọ ả ử ụ ho c công c xét t s . C th là v i m i gi s ta có Tuy nhiên công c này ch ỉ

ế ố ớ ọ ấ ả ợ ớ ố ơ ớ phù h p v i hàm s có c u trúc đ n gi n, vì th đ i v i h c sinh l p 10 chúng ta ch ỉ

ớ ệ ả ươ ấ ươ ệ ươ gi i thi u các bài toán gi i ph ng trình, b t ph ng trình, h ph ng trình gi ả i

ươ ố ạ ệ ệ ấ ả ơ ằ b ng ph ệ ố ạ ng pháp hàm s đ i di n mà hàm s đ i di n có c u trúc đ n gi n. Vi c

ớ ệ ọ ớ ươ ố ạ ệ ầ gi i thi u cho h c sinh l p 10 ph ng pháp hàm s đ i di n cũng là c n thi ế ể ọ t đ h c

ế ậ ề ớ ộ ầ ả ấ ấ ộ ộ ộ sinh lĩnh h i d n và không c m th y đ t ng t khi ti p c n v n đ m i. M t góc nhìn

ể ử ụ ươ ụ ể ả ế khác, đó là chúng ta có th s d ng ph ặ ẩ ng pháp đ t n ph đ gi i quy t bài toán.

ụ ể ặ ươ ở ươ ẩ a, b. C th ta đ t thì ph ng trình (*) tr thành ph ng trình hai n

ụ ể ả ự i bài toán này đ c xem là t

ặ ẩ ươ ng pháp đ t n ph đ gi ớ ổ

thành Khi đó vi c phân tích thành nhân t

ở ậ ợ ệ ấ ượ ư ượ ề ạ ư ườ ử nh tr ươ ệ ủ t c a ph i. Qua đây ta th y đ c tính năng u vi c thu n l

ươ ả ng trình i ph Gi ệ ử ụ nhiên Vi c s d ng ph ố ớ ọ ặ ơ h n đ i v i h c sinh l p 10. Tuy nhiên khi ta thay đ i bài toán v d ng sau Đ t thì ợ ươ ng h p trên ng trình tr ph ượ không đ ng pháp hàm ệ ố ạ s đ i di n. ụ Ví d 1.2.2.

ủ ấ ươ ơ ộ ứ ể ỉ ng trình khá tr khi l ể rõ bi u th c vô t và bi u Phân tích. C u trúc c a ph

ứ ạ ộ ậ ứ ứ ớ ớ ự ự th c d ng đa th c, chúng đ ng đ c l p v i nhau. V i suy nghĩ t nhiên là ta th c hiên

ứ ể ế ậ ằ ổ ươ ề ạ cô l p hai nhóm bi u th c trên b ng cách bi n đ i ph ng trình đã cho v d ng Lúc

ố ớ ạ ượ ứ ậ ể ấ ế ộ này chúng ta có th th y ngay v trái là m t đa th c b c ba đ i v i đ i l ế ng . Đ n

ể ự ươ ể ế ổ ượ ề ạ đây chúng ta có th d đoán ph ng trình có th bi n đ i đ c v d ng trong đó

ả ề ạ ự ể ổ ế ế ế ề ẩ ộ ộ Đi u này là đ ng l c đ thúc đ y chúng ta ti n hành bi n đ i v ph i v d ng m t

ộ ạ ượ ứ ậ ủ ở ữ ế ả ộ đa th c b c 3 c a m t đ i l ạ ng nào đó. Tuy nhiên v ph i đang s h u m t ngo i

ố ớ ạ ượ ộ ứ ậ ể ế ả ứ ậ hình là m t đa th c b c 6 đ i v i đ i l ng ố ạ x. Đ v ph i có d ng đa th c b c 3 đ i

ứ ể ạ ả ặ ộ ớ ạ ượ v i đ i l ứ ậ ng thì ph i có d ng là m t tam th c b c 2, t c là Quan sát đ c đi m các

ổ ế ố ạ ế ế ế ả ả ề ạ ệ ố ủ h s c a các s h ng trong v ph i cho phép ta ti n hành bi n đ i v ph i v d ng

ả ủ ế ươ ứ ủ ủ ả ậ ộ Lúc này v ph i c a ph ạ ng trình đã có m t hình nh c a đa th c b c 3 c a đ i

và có c u trúc gi ng h t v trái.

ượ ệ ế ấ ố l ng

ờ ả ủ ệ ề ị ươ Đi u ki n xác đ nh c a ph L i gi i. ng trình là

ươ Khi đó ph ng trình

ố ế ồ ươ ụ Ta có hàm s liên t c trên Có nên hàm s ố đ ng bi n trên . Khi đó ph ng trình +)

(*) có d ng ạ

ươ ệ ậ . Ph ng trình đã cho có nghi m là ế +) K t lu n

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 1.2.3.

ươ ậ ấ ướ ề ệ ng trình xu t hi n hai căn b c 2, tr c các căn này đ u có Phân tích. Trong ph

ứ ứ ể ể ể ể ế ứ bi u th c ch a ứ x. Đ ý bi u th c trong căn th hai là ể ổ có th bi n đ i thành mà bi u

ứ ướ ấ ự ươ ế ậ ề ấ ứ ứ th c đ ng tr c căn này là ( x+1). Đ n đây ta nh n th y s t ng x ng v c u trúc

ứ ể ể ượ ố ạ ự ươ ầ ủ c a hai bi u th c Tuy nhiên đ có đ ệ c hàm s đ i di n ta c n có s t ứ ng x ng v ề

ủ ế ươ ứ ế ể ầ ậ ấ c u trúc c a hai v trong ph ả ể ng trình, v y là ta c n chuy n bi u th c sang v ph i

ươ ế ế ộ ọ ổ ổ ươ ủ c a ph ng trình. M t chú ý quan tr ng là bi n đ i Do đó ta bi n đ i ph ng trình

ư ề ộ ạ v m t d ng khác nh sau

ậ ị ươ ươ ươ ờ ả T p xác đ nh . Khi đó ph ng trình đã cho t ng đ ớ ng v i L i gi i.

ố ế ạ ồ +) Xét hàm s trên Có nên đ ng bi n trên Khi đó (*) có d ng

ươ ệ ấ ậ . Ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t là . ế +) K t lu n

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 1.2.4.

ệ ị ươ ươ ươ ớ Khi đó ph ng trình đã cho t ng đ ng v i ề Phân tích. Đi u ki n xác đ nh

ơ ở ự ế ế ả ộ ơ Đ n đây v trái đã có m t hình nh rõ ràng h n và đây là c s chúng ta d đoán là

ố ạ ệ ế ụ ứ ể ế xét hàm s đ i di n và còn ả ủ là bi u th c nào, chúng ta ti p t c quan sát v ph i c a

ươ ứ ủ ứ ế ể ế ả ph ng trình. V ph i là bi u th c ch a tích c a hai căn mà trong khi đó v trái là

quan

ứ ủ ứ ể ưở ả ề ạ ổ ế ế bi u th c ch a tích c a ba căn nên ý t ng lúc này là bi n đ i v ph i v d ng

ả ủ ế ươ ượ ố sát ti p m i quan h ế ệ Khi đó v ph i c a ph ng trình đ c vi ế ạ t l i thành

ủ ế ệ ế ế ả ấ ố ượ ả ế Đ n đây c u trúc c a v ph i gi ng h t v trái và bài toán đ c gi i quy t.

ệ ề ị ươ ươ ươ ớ ờ ả Đi u ki n xác đ nh Khi đó ph ng trình đã cho t ng đ ng v i L i gi i.

ố ạ ệ +) Xét hàm s đ i di n trên Ta có

ơ ữ ố ồ ế ươ ạ nên là hàm s đ ng bi n trên h n n a Khi đó ph ng trình (*) có d ng

ươ ệ ấ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t là ế +) K t lu n

ổ ủ ớ ở ự ư ứ ẹ ưở ẫ ng v n là Bình lu n. ậ Bài toán đ p b i s thay đ i c a l p căn th c, nh ng ý t

ươ ể ả ệ ệ ư ế ể ộ ố ạ ng pháp hàm s đ i di n đ gi ứ i quy t bài toán. Vi c đ a m t bi u th c

dùng ph 11

ừ ề ể ậ ả ả ố t căn b c thành nhi u lúc có th giúp ta gi m t i tính toán đi, đây là l i suy ng ượ c

ố ủ ể ề ấ ặ ộ ọ ị khá thú v . M t đi m m u ch t c a bài toán là h c sinh g p nhi u khó khăn khi tính

ố ạ ứ ụ ủ ể ể ắ ệ ạ đ o hàm c a . Đ kh c ph c khó khăn này ta có th ch ng minh hàm s đ i di n

ự ế ụ ể ế ị ằ ồ đ ng bi n trên tr c ti p b ng đ nh nghĩa. C th

ư ậ ế ớ ồ Nh v y, v i nên đ ng bi n trên

ứ ể

ố ạ

ể

ệ

ậ

ỹ

Bài 3. K thu t chia bi u th c đ tìm hàm s đ i di n

ả ươ ấ ươ ằ ươ ề Gi i ph ng trình hay b t ph ng trình b ng ph ng pháp hàm s ố ặ ấ Đ t v n đ .

ệ ề ấ ả ượ ố ạ ệ ố ạ đ i di n thì đi u m u ch t là chúng ta ph i tìm đ c hàm s đ i di n. Tuy nhiên

ề ả ươ ấ ươ ể i ph ng trình hay b t ph ng trình chúng ta không th nhìn trong nhi u bài toán gi

ượ ổ ầ ố ạ ự ệ ệ ế ả ế ra ngay đ c hàm s đ i di n mà ph i th c hi n các phép bi n đ i c n thi ộ t. M t

ổ ế ứ ế ủ ế ả ọ ươ trong các phép bi n đ i h t s c quan tr ng là phép chia c hai v c a ph ng trình

ươ ể ậ ộ ượ ươ ấ hay b t ph ứ ng trình cho m t bi u th c nào đó mà ta nh n đ ộ c m t ph ng trình

ươ ươ ươ ươ ấ ươ ượ ấ hay b t ph ng trình t ng đ ng. Ph ng trình hay b t ph ng trình thu đ c có

ễ ể ể ậ ượ ố ạ ệ ặ đ c đi m là chúng ta có th quan sát và d dàng nh n ra đ ầ c hàm s đ i di n c n

ổ ặ ể ế ộ ộ ệ ứ ụ ứ tìm. Phép chia cho m t bi u th c là m t phép bi n đ i đ c bi t và có ng d ng quan

ệ ọ ả ươ ấ ươ tr ng trong vi c gi i ph ng trình hay b t ph ng trình nên tôi dành riêng bài này đ ể

ề ứ ủ ụ ế ổ trình bày v ng d ng c a phép bi n đ i đó.

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 1.3.1.

ề ị ế ủ ươ ệ ả Đi u ki n xác đ nh ho c ặ ả Khi đó chia c 2 v c a ph ng trình cho ta ờ L i gi i.

ượ ươ ươ ươ đ c ph ng trình t ng đ ng

ế +) Xét hàm s ố ồ đ ng bi n trên và .

ươ ạ Khi đó ph ng trình (*) có d ng .

ặ ượ Đ t ta đ c

ề ệ ỏ ề Do đi u ki n ệ (th a mãn đi u ki n).

ươ ệ ấ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t là ế +) K t lu n

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 1.3.2.

ủ ệ ươ ả ậ ả Nh n xét không là nghi m c a ph ế ủ ng trình đã cho. Chia c hai v c a ờ L i gi i.

ươ ượ ươ ươ ươ ph ta đ c ph ng trình t ng đ ng ng trình cho

ặ ươ ở Đ t thì ph ng trình trên tr thành

ố ồ ế ươ ạ +) Xét hàm s ố là hàm s đ ng bi n trên Khi đó ph ng trình (*) có d ng .

ươ ệ ậ ậ . V y ph ng trình có nghi m là ế +) K t lu n

ủ ệ ả ươ ộ Tìm nghi m thu c kho ng c a ph ng trình sau đây

ậ ế ủ ả ươ ượ ờ ả Nh n xét nên chia c hai v c a ph ta đ c ụ Ví d 1.3.3. L i gi i. ng trình cho

ố ạ ệ +) Xét hàm s đ i di n trên kho ng ả

đ ng bi n trên kho ng

ế ả ồ ơ ữ ươ Có nên hàm s ố H n n a, do Khi đó ph ng trình (*) có

d ng ạ

ươ ệ ả ấ ộ ậ . Ph ng trình có duy nh t 1 nghi m thu c kho ng là ế +) K t lu n

ụ ả ấ ươ Gi i b t ph ng trình Ví d 1.3.4.

ử ố ề ẫ ươ ộ ế (Trích d n: Đ thi th THPT Qu c GiaL ng Th VinhHà N i năm

2015)

ệ ề ị ờ ả Đi u ki n xác đ nh L i gi i.

ươ ươ ươ ươ ấ B t ph ng trình đã cho t ng đ ớ ấ ng v i b t ph ng trình sau

ậ ủ ệ ờ ườ Nh n xét không là nghi m c a (1). Bây gi ta xét 2 tr ợ ng h p sau:

ườ +) Tr ng h p 1 ợ . Khi thì

ế ả Chia c hai v cho ta đ c ượ

nên đ ng bi n trên

ệ ế ồ ươ ạ ố ạ Xét hàm s đ i di n Có ấ B t ph ng trình (2) có d ng

ả ấ ươ ệ ề ượ ệ Gi i b t ph ế ợ ng trình trên và k t h p đi u ki n ta đ c nghi m

ườ thì +) Tr ng h p 2 ợ . Khi

ế c ượ Chia hai v cho ta đ

ệ

ấ ươ ạ ườ ợ ế Khi đó b t ph ng trình (3) có d ng , tr ng h p này vô ố ạ Xét hàm s đ i di n Có ố ồ Nên hàm s đ ng bi n trên

ệ ậ ng trình đã cho có t p nghi m là

ng trình trên chúng ta đã ti n hành phân chia tr

ế ệ ươ ử ụ ố ạ ứ

ố ọ ờ

ế ự ả ề ơ ự nhiên h n và t

nhiên và gây nhi u khó khăn đ i v i đa s h c sinh. Bây gi ố i khác t ươ ươ ề ạ ươ ậ ệ nghi m vì ấ ậ . B t ph ế ươ +) K t lu n ể ả ấ Bình lu n. ậ Đ gi ươ i b t ph ố ậ ợ h p, s d ng kĩ thu t chia xu ng và xét hàm s đ i di n t thi u t cách gi ư ấ đ a b t ph ố ớ ả ệ ng đ i hi u qu . Đó là ph ướ ế ng trình đã cho v d ng tích. Tr c h t ta có nh n xét ườ ng ng ng. Cách làm này là tôi trình bày ợ ng pháp nhân liên h p không là nghi mệ

ấ ỉ ươ ươ ng trình, khi đó chúng ta ch xét và b t ph ng trình đã cho t ươ ng

ủ ấ c a b t ph ớ ươ ng v i đ Xét hàm s ố

ễ ấ ờ thì d th y bây gi ta xét N u ế

Ta có

ừ ế ợ ủ ấ ề ệ ệ ươ T (1) và (2) suy ra Do đó . K t h p đi u ki n suy ra nghi m c a b t ph ng trình đã cho là

ậ ử ụ

ố ạ

ể

ệ

ầ

ỹ

Bài 4. K thu t s d ng máy tính c m tay đ tìm hàm s đ i di n.

ử ụ ầ CASIO fx570 VN PLUS để ặ ấ Đ t v n đ . ề Trong ph n này tôi s d ng máy tính

ủ ươ ệ ượ ệ ẹ ể ộ ệ dò nghi m c a ph ng trình. Nghi m thu đ ặ c có th là m t nghi m đ p ho c

ệ ệ ấ ượ ặ nghi m x u. Sau đó ta thay nghi m tìm đ ứ c vào các căn th c có m t trong ph ươ ng

ị ủ ị ủ ứ ứ ể ố trình đ tìm giá tr c a các căn th c. Cu i cùng so sánh giá tr c a các căn th c thu

ượ ị ủ ệ ớ ệ ủ ể ố đ c v i giá tr c a nghi m tìm đ ượ ở c ụ trên đ tìm m i quan h c a chúng. M c

ứ ủ ệ ể ỏ ể đích c a vi c làm này là đ chúng ta tìm các bi u th c th a mãn đây là c s đ ơ ở ể

ố ạ ệ ả ế ạ ế chúng ta truy tìm hàm s đ i di n và gi ủ i quy t thành công bài toán. Th m nh c a

ươ ử ữ ươ ứ ứ ph ng pháp phân tích Casio là s lí nh ng ph ể ng trình ch a căn th c và các bi u

ứ ạ ỏ ổ ươ ứ ủ ư th c có d ng t ng quát th a mãn ph ạ ể ng trình nh ng khi bi u th c c a có d ng

ứ ứ ể ậ ậ ươ đa th c b c 2, b c 3 hay bi u th c khác thì ph ng pháp này l ạ ỏ i t ra không đ ượ c

ư ệ ặ ạ ả ươ ộ ọ hi u qu ho c không m nh nh ph ng pháp khác. M t chú ý quan tr ng là khi

ử ụ ươ ể ượ ể ế chúng ta s d ng ph ng pháp phân tích Casio đ tìm đ ứ c các bi u th c đ n đây

ử ụ ố ạ ệ ệ ỏ ươ ngoài vi c chúng ta s d ng hàm s đ i di n th a mãn ph ng trình thì chúng ta có

ể ả ế ướ ụ ể ợ ớ th gi i quy t bài toán theo h ố ắ ng nhân liên h p, c th ta thêm b t hàm s v ng

ứ ậ ư ế ệ ạ ậ ợ ể ẫ nh sau Khi đó n u có d ng đa th c b c 2, b c 3 thì vi c nhân liên h p có th d n

ử ứ ậ ể ạ ế đ n nhân t ẳ chung là đa th c b c cao, ch ng h n ta xét các bi u th c ề ứ và , đi u này có

ể ẫ ế ươ ứ ệ ử ứ ậ th d n đ n ph ng trình nào đó có ch a hi u thì nhân t chung là đa th c b c 4, lúc

ề ặ ọ ả ế ọ ẹ ế này h c sinh g p nhi u khó khăn khi gi i quy t tr n v n bài toán. Chính vì th khi

ươ ấ ươ ả ằ ươ ố ạ ạ sáng t o ph ng trình, b t ph ng trình mà gi i b ng ph ệ ng pháp hàm s đ i di n

ườ ự ể ạ ọ ổ ta th ứ ng l a ch n các bi u th c có d ng t ng quát sau

+) ho c ặ

ả ươ i ph ng trình ụ Ví d 1.4.1. Gi

ử ụ ớ fx570 VN PLUS v i công c ụ SHIFT Phân tích CASIO. S d ng máy tính CASIO

ượ ượ ế ế CALC v iớ ta thu đ ệ c nghi m Thay ứ vào căn th c ta thu đ ả c k t qu Đ n đây ta

và bi n đ i ph

ự ế ổ ươ ứ ừ ể ể ệ ấ d đoán ng trình đ xu t hi n các bi u th c ch a ứ T đó chúng ta

ượ ố ạ ệ ỏ tìm đ c hàm s đ i di n th a mãn

ệ ề ị ươ ươ ươ ờ ả Đi u ki n xác đ nh là ng trình đã cho t ng đ ng v i L i gi i. Ph ớ .

ố ạ ế +) Xét hàm s đ i di n ệ trên . Ta có ố ồ Do đó hàm s đ ng bi n trên . Khi đó ph ngươ

ượ trình (*) đ c vi ế ạ t l i thành

ươ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có nghi m ệ duy nh tấ là ế +) K t lu n

ể ử ụ ộ ươ ặ ẩ ng pháp đ t n Bình lu n. ậ M t góc nhìn khác là chúng ta có th s d ng ph

ụ ụ ể ươ ở ph , c th là đ t ặ . Khi đó ph ng trình (*) tr thành

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 1.4.2.

ử ụ ớ fx570 VN PLUS v i công c ụ SHIFT Phân tích CASIO. S d ng máy tính CASIO

ượ ệ ứ ượ CALC v iớ ta thu đ c nghi m . Thay nghi m ệ vào căn th c ta đ c Khi đó ta có

và bi n đ i ph

ươ ự ế ế ổ ươ ệ ấ ph ng trình Đ n đây ta d đoán ể ng trình đã cho đ xu t hi n các

ừ ể ượ ố ạ ỏ ươ ứ bi u th c ch a ứ T đó tìm đ ệ c hàm s đ i di n th a mãn ph ng trình và gi ả i

ế quy t bài toán.

ậ ị ươ ượ ế ờ ả T p xác đ nh . Ph ng trình đã cho đ ổ c bi n đ i thành L i gi i.

ụ ế ươ +) Xét hàm số liên t c trên Có nên hàm s ố ồ đ ng bi n trên Khi đó ph ng trình (*)

có d ng ạ

ươ ệ ậ ậ . V y ph ng trình có 3 nghi m là ế +) K t lu n

ệ ử ụ ố ạ ể ả ụ ư ệ ế i quy t Bình lu n. ậ Ngoài vi c s d ng công c hàm s đ i di n nh trên đ gi

ể ặ ẩ ư ụ ươ ở bài toán trên, chúng ta có th đ t n ph nh sau Khi đó ph ng trình (*) tr thành

ế ượ ế ủ ệ ả ươ ươ ự Đ n đây ta thu đ c k t qu nghi m c a ph ng trình t ng t ư nh trên.

ế ả ằ ở Ngoài ra, k t qu phân tích b ng máy tính CASIO fx570 VN PLUS trên chúng ta

ượ ủ ệ ẹ ộ ươ ể ư ế đã tìm đ c m t nghi m đ p c a ph ng trình là x=5, đ n đây ta có th t duy l ờ i

ả ướ ử ể ư ươ ề ạ gi i bài toán theo h ng phân tích nhân t đ đ a ph ng trình đã cho v d ng tích.

ấ ờ ế ậ ả ự Đ n đây nh n th y l i gi i bài toán cũng khá t ư nhiên nh ng chúng ta ụ ể C th là

ạ ặ ệ ờ ệ ả ươ l i g p khó khăn trong vi c hoàn thi n l i gi i cho ph ng trình (**) kia. Qua đây ta

ượ ư ủ ươ ố ạ ệ ấ ạ ấ th y đ ể c u đi m c a ph ệ ử ng pháp hàm s đ i di n, r t m nh trong vi c s lí

ươ ứ ạ ề ạ ả ồ ượ ph ng trình có ngo i hình c ng k nh, ph c t p và có kh năng quyét đ ế c h t

ủ ệ ươ ố ủ ể ể ế ậ ấ nghi m c a ph ng trình. V y đi m m u ch t c a bài toán là làm th nào đ tìm ra

ượ ố ạ đ ệ c hàm s đ i di n cho bài toán.

ử ụ ế ố ọ +) Ta bàn thêm tình hu ng n u h c sinh s d ng máy tính CASIO fx570 VN PLUS

ượ ứ ớ v i công c ệ c nghi m là Thay vào căn th c ta đ ụ SHIFT CALC cho ta dò đ ượ . c

ạ ế ủ ế ổ ươ ể ượ ố ạ ệ ỏ Nh v y i bi n đ i hai v c a ph ng trình đ đ c hàm s đ i di n th a mãn ư ậ ta l

ậ ử ụ ỹ +) Ngoài k thu t s d ng máy tính CASIO ố ạ ể fx570 VN PLUS đ truy tìm hàm s đ i

ụ ể ư ề ệ ươ ậ ặ ẩ ể ử ụ ệ ỹ di n, chúng ta có th s d ng k thu t đ t n ph đ đ a v h ph ẳ ng trình, ch ng

ệ ươ ặ ạ h n ta đ t . Ta có h ph ng trình

ế ủ ừ ộ ươ ượ C ng t ng v c a hai ph ng trình, ta đ c .

ồ ươ Xét hàm s ố trên có ế nên hàm s ố đ ng bi n trên . Khi đó ph ạ ng trình (***) có d ng

ả ươ ượ ế ả ư Gi i ph ng trình và thu đ c k t qu nh trên.

ế ế ổ ươ ả ợ +) Khai thác thêm k t qu g i ý cho chúng ta bi n đ i ph ề ạ ng trình đã cho v d ng

ụ ể ố ắ ậ ớ ợ ỹ ươ tích thông qua k thu t thêm b t hàm s v ng, nhân liên h p. C th ph ng trình đã

cho

ế ươ ệ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có 3 nghi m là K t lu n

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 1.4.3.

ử ụ ớ fx570 VN PLUS v i công c ụ SHIFT Phân tích CASIO. S d ng máy tính CASIO

và

ượ ệ ứ ượ ự ế CALC v iớ ta thu đ c nghi m Thay vào căn th c ta đ c Đ n đây ta d đoán

ế ổ ươ ừ ứ ệ ể ể ấ ượ bi n đ i ph ng trình đã cho đ xu t hi n các bi u th c ch a ứ T đó tìm đ c hàm

ệ ỏ ươ ố ạ s đ i di n th a mãn ph ng trình

ủ ậ ị ươ ươ ượ ờ ả T p xác đ nh c a ph ng trình Ph ng trình đã cho đ c vi ế ướ i t d L i gi i. .

d ngạ

ệ ụ ế ố ạ +) Xét hàm s đ i di n Có nên hàm s ố ồ liên t c và đ ng bi n trên Khi đó ph ngươ

trình (*) có d ng ạ

ủ ệ ươ ệ ặ ề ỏ ươ +) Xét các nghi m c a ph ng trình trên th a mãn đi u ki nđ t thì ph ng trình trên

ươ ươ ậ ố ệ ở tr thành Cho ặ M t khác ph ng trình (**) là ph ng trình b c ba nên có t i đa 3 nghi m

ươ ệ ậ ậ . V y ph ng trình có 3 nghi m là ế +) K t lu n

ươ ể

ử ụ ng pháp s d ng CASIO ể ử ụ ng pháp đ t n ph đ đ a v h ph fx570 VN PLUS đ truy tìm hàm ươ ụ ể ư ề ệ ặ ẩ ng

ệ ẳ ặ ươ ng trình sau

ừ ộ ượ ng trình trong h , ta đ

ạ ế ủ ố ạ ệ ệ ố ồ c . ế ươ Bình lu n. ậ Ngoài ph ố ạ s đ i di n, chúng ta có th s d ng ph ệ ươ trình, ch ng h n ta đ t . Ta có h ph C ng t ng v c a hai ph Xét hàm s đ i di n ươ trên có nên hàm s đ ng bi n trên Khi đó ph ng trình (*)

có d ng ạ

ượ ế ả ư và thu đ c k t qu nh trên.

ả ợ ươ ế ổ ng trình v d ng tích thông qua k ỹ

ợ ụ ể ươ ề ạ ng trình

ươ ả ớ ng trình này tìm đ i ph Gi ượ c ng trình ế Khai thác thêm k t qu g i ý ta bi n đ i ph ố ắ ậ thu t thêm b t hàm s v ng, nhân liên h p. C th ph ả ươ . Gi i ph ụ Ví d 1.4.4.

ử ụ ớ fx570 VN PLUS v i công c ụ Phân tích CASIO. S d ng máy tính CASIO

ượ ứ SHIFT CALC v i ớ ta thu đ c nghi vào căn th c ta đ ế ượ k t qu c ệm. Thay ả Đ nế

và bi n đ i ph

ể ự ế ổ ươ ệ ể ấ đây chúng ta có th d đoán ể ng trình đã cho đ xu t hi n các bi u

ừ ứ ượ ố ạ ỏ ươ th c ch a ứ T đó chúng ta tìm đ ệ c hàm s đ i di n th a mãn ph ng trình

ề ị ươ ươ ươ ớ ệ ờ ả Đi u ki n xác đ nh . Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i L i gi i.

ố ạ ố ồ ế ệ ươ +) Xét hàm s đ i di n trên. Có Nên hàm s đ ng bi n trên . Khi đó ph ng trình (*)

ạ có d ng là

ươ ệ ấ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t là ế +) K t lu n

ụ Ví d 1.4.5. ả ươ Gi i ph ng trình

ử ụ ớ fx570 VN PLUS v i công c ụ SHIFT Phân tích CASIO. S d ng máy tính CASIO

ượ ệ ứ ượ ế CALC v i ớ ta thu đ c nghi m Thay vào các căn th c ta đ c và Đ n đây ta d ự

ế ổ ươ ừ ứ ể ệ ể ấ đoán và bi n đ i ph ng trình đã cho đ xu t hi n các bi u th c ch a ứ T đó chúng

ượ ố ạ ỏ ươ ả ế ta tìm đ ệ c hàm s đ i di n th a mãn ph ng trình và gi i quy t bài toán.

ệ ề ị ươ ươ ươ ớ ờ ả Đi u ki n xác đ nh và . Khi đó ph ng trình đã cho t ng đ ng v i L i gi i.

ươ ạ +) Xét hàm số trên có Khi đó ph ng trình (*) có d ng ố ồ ế nên hàm s đ ng bi n trên .

ươ ệ ậ . Ph ng trình đã cho có 2 nghi m là ế +) K t lu n

ộ ướ ể ơ ng khác ở ứ ư m c t duy cao h n. Bình lu n. ậ Bài toán trên có phát tri n theo m t h

ả ấ ươ ườ Gi i b t ph ng trình Ta xét 2 tr ợ ng h p sau.

ườ ấ ươ ươ ươ ớ ợ . N u ế thì b t ph ng trình t ng đ ng v i +)Tr ng h p 1

. Khi đó b t ph

ế ấ ươ ạ ố ồ Xét hàm s đ ng bi n trên ng trình (*) có d ng

ườ ấ ươ ươ ươ ớ ợ . N u ế thì b t ph ng trình t ng đ ng v i +)Tr ng h p 2

. Khi đó b t ph

ế ấ ươ ạ ố ồ Xét hàm s đ ng bi n trên ng trình (*) có d ng

ấ ươ ệ ậ ậ . B t ph ng trình trên có t p nghi m là ế +) K t lu n

ả ấ ươ i b t ph ng trình ụ Ví d 1.4.6. Gi

ớ

ử ụ ệ ượ fx570 VN PLUS v i công c ế ứ ượ ự Phân tích CASIO. S d ng máy tính CASIO CALC v i ớ ta thu đ c nghi m . Thay c Đ n đây ta d đoán ụ SHIFT và vào căn th c ta đ

ế ươ ứ ể ệ ể ừ ấ ứ T đó tìm đ ượ c

ng trình đã cho đ xu t hi n các bi u th c ch a ỏ ổ ấ bi n đ i b t ph ệ ố ạ hàm s đ i di n th a mãn ho c .ặ

ề ệ ị ờ ả Đi u ki n xác đ nh L i gi i.

ươ ươ ươ

ng đ ệ ế ấ ấ B t ph ng trình t ố ạ Xét hàm s đ i di n trên ớ ng v i có ồ nên hàm s ố đ ng bi n trên . Suy ra b t ph ươ ng

ế ợ ề ệ ớ ượ +) trình (*) có d ngạ , K t h p v i đi u ki n ta đ c

ấ

ươ

ể ể ộ ế ệ ậ ng trình đã cho có t p nghi m là ử ụ ả ng pháp phân tích i bài toán chúng ta đã s d ng ph ấ ự ể ọ ả Đây là m t k t qu quan tr ng đ chúng ta d đoán b t ậ . V y b t ph ươ ế ậ +) K t lu n Bình lu n. ậ Trong l ờ i gi ứ Casio đ truy tìm bi u th c

ố ạ ể ể

ươ ư ể ư ả ệ ng trình có th chuy n v d ng Tuy nhiên đ tìm chính xác hàm s đ i di n duy bài

ề ạ i trên là khó khăn. Ngoài cách gi ặ ẩ ụ ụ ể ờ ướ ặ ở ph nh trong l toán theo h i gi ng đ t n ph . C th ta đ t ể ả i trên chúng ta có th t ươ ấ thì b t ph ng trình tr thành

Khi đó b t ph

ấ ươ ệ ậ ng trình đã cho có t p nghi m là

ả ấ ươ Gi i b t ph ng trình ụ Ví d 1.4.7.

ả ấ ả ặ ươ ả ng trình ta có c m giác ầ Phân tích. C m giác đ u tiên khi g p ph i b t ph

ư ộ ộ ủ ướ ế ủ ấ ề ệ ợ ị choáng ng p. Ch a v i đ ng th , tr c h t ta tìm đi u ki n xác đ nh c a b t ph ươ ng

ổ ấ ướ ế ế ươ ừ ề ả ậ ộ trình là B c ti p theo là ta bi n đ i b t ph ng trình. M t đi u ph i th a nh n là

ươ ướ ắ ố ồ ố ấ b t ph ng trình khá hóc búa khi mà ngay b c qui đ ng cũng r c r i (mu n qui

ẫ ố ươ ả ộ ồ đ ng ta ph i xem xét m u s d ng hay âm tùy thu c vào hay Tuy nhiên chúng ta đã

ươ ả ươ ươ ớ ấ ứ ươ có ph ng pháp là gi i ph ng trình t ng ng v i b t ph ng trình trên, sau đó

ủ ấ ể ệ ấ ả ươ ấ ươ dùng b ng xét d u đ tìm nghi m c a b t ph ng trình trên. B t ph ng trình đã cho

ươ ươ t ng đ ớ ng v i

Đ t ặ

ờ ủ ử ố ấ ủ ẫ ố ệ ả Bây gi chúng ta đi tìm nghi m c a t ậ s và m u s và đi l p b ng xét d u c a

ệ ủ ử ố ủ ệ ươ ế ủ Nghi m c a m u s ẫ ố là Nghi m c a t ệ s là nghi m c a ph ng trình V trái là

ứ ậ ế ả ậ ậ ộ ộ ả ươ m t đa th c b c ba còn v ph i là m t căn b c ba. V y gi i theo ph ng pháp thông

ườ ươ ượ ộ ế ả ố ẹ ặ ẩ th ậ ng là l p ph ế ẽ ẳ ng hai v s ch ng thu đ c m t k t qu t t đ p gì. Đ t n ph ụ

ở ế ể ặ ặ ẩ ể ả ỉ ễ ụ cũng không kh quan, b i n u đ t n ph thì ch có th đ t mà không bi u di n

ạ ư ệ ế ắ ườ ổ đ ượ ượ c l ng còn l i theo n ẩ t thì cũng không n. D ng nh vi c b t c trong các

ươ ứ ủ ươ ợ ph ớ ng pháp khác cùng v i hình th c c a ph ự ng trình đã g i và ép chúng ta l a

ươ ử ụ ố ạ ố ạ ệ ể ệ ọ ch n ph ng pháp hàm s đ i di n. Đ truy tìm hàm s đ i di n ta s d ng máy tính

ể ượ ứ ệ ệ ượ CASIO fx570 VN PLUS đ dò đ c nghi m là . Thay nghi m vào căn th c ta đ c

và bi n đ i ph

ể ự ế ế ổ ươ ể ệ ấ Đ n đây ta có th d đoán ể ng trình đã cho đ xu t hi n các bi u

ừ ệ ố ạ ự ứ ệ ầ ỏ th c ch a ứ T vi c phân tích này ta d báo hàm s đ i di n c n tìm là th a mãn

ứ ẳ đ ng th c .

ươ Ta có ph ng trình (*)

ố ồ ố ạ ệ ế ươ Xét hàm s đ i di n . Đây là hàm s đ ng bi n trên . Khi đó ph ng trình (**) có

d ngạ

ấ ủ ế ủ ấ ả ậ ươ Ta l p b ng xét d u c a v trái c a b t ph ng trình đã cho

ủ ấ ậ ươ ệ ậ . T p nghi m c a b t ph ng trình là ế +) K t lu n

ậ ồ

ấ ể

ố ạ

ệ

ỹ

Bài 5. K thu t đ ng nh t đ tìm hàm s đ i di n

ươ ấ ể ố ạ ệ ồ ươ ề Ph ng pháp đ ng nh t đ tìm hàm s đ i di n là ph ng pháp mà ặ ấ Đ t v n đ .

ấ ừ ộ ẳ ứ ẩ ữ ứ ậ ầ ớ xu t phát t m t đ ng th c ch a n nào đó v i nh ng suy lu n có lý c n thi ế ể t đ

ượ ầ ố chúng ta tìm đ ầ c các tham s mà chúng ta đang c n tìm, góp ph n thành công trong

ố ạ ệ ế ả ế quá trình tìm ki m hàm s đ i di n và gi i quy t bài toán.

ả ươ . Gi i ph ng trình ụ Ví d 1.5.1

ươ ủ ấ ả ươ ứ ế ng trình th y v ph i c a ph ng trình có ch a đa Phân tích. Ta quan sát ph

ứ ế ậ ậ ị ướ ế ứ th c b c ba còn v trái ch a căn b c ba nên ta đ nh h ố ạ ng n u có xét hàm s đ i

trong đó

ư ệ ạ ố ươ ề ạ di n thì hàm s đó có d ng và đ a ph ng trình đã cho v d ng

là 1 nên

ề ấ ạ ệ ố ứ ệ ố ướ +) V n đ còn l i là chúng ta đi tìm các h s Ta có h s đ ng tr c căn

ượ ệ ố ươ tìm đ c h s . Khi đó ph ng trình

ho c ặ

ừ T đây chúng ta có

ế ươ +) N u khi đó ph ng trình

K t h p v i ph

ế ợ ớ ươ ng trình đã cho ta có

ấ ệ ố ế ủ ồ ươ ượ Đ ng nh t h s 2 v c a ph ng trình trên ta đ c

ư ậ ượ ố ạ ệ ẽ ươ +) Nh v y ta tìm đ c Khi đó ta s xét hàm s đ i di n và ph ng trình đã cho

ậ ị ươ ươ ươ ờ ả T p xác đ nh Ph ng trình đã cho t ng đ ớ ng v i L i gi i.

ố ạ ệ ế ồ ươ +) Xét hàm s đ i di n trên có nên hàm s ố đ ng bi n trên . Khi đó ph ng trình (*)

có d ng ạ

ươ ệ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có nghi m là ế + ) K t lu n

ừ ọ

ư ế ố ạ ượ ữ ệ ơ ệ ư ệ ng trình chúng ta ch n nghi m nh th là u tiên nghi m ệ c hàm s đ i di n nên chúng ta

Bình lu n.ậ T ph ươ nguyên, h n n a khi xét nghi m chúng ta đã tìm đ 22

ữ ố ạ ệ ng pháp tìm các h s đ truy tìm hàm s đ i di n nh ư

ươ ồ ấ ể ng pháp đ ng nh t đ tìm hàm s đ i di n.

ể ử ụ ụ ể ặ ẩ ệ ố ể ố ạ ng pháp đó chúng ta có th s d ng ph ệ ươ ng pháp đ t n ph đ tìm

ươ ng trình đã cho .

ặ ộ c .

ượ ng trình, ta đ ế ồ ươ ạ ệ không xét nghi m n a. Ph ươ ọ trên ta g i là ph ươ Ngoài ph ệ ụ ể ố ạ hàm s đ i di n. C th ph ệ ươ ng trình Đ t , ta có h ph ế ủ ươ ừ C ng t ng v c a hai ph Xét hàm s ố trên có nên hàm s ố đ ng bi n trên . Ph ng trình (**) có d ng

ở ộ ươ ỉ ạ ư ổ M r ng cho bài toán chúng ta xét ph ng trình vô t d ng t ng quát nh sau

, trong đó các h s ệ ố

ậ ươ ẽ ồ ạ ộ ử ớ Nh n xét ph ng trình trên s t n t i m t nhân t là v i

ứ ể ế ấ ả ứ ằ K t qu nghiên c u cho th y chúng ta có th tìm đ ượ p, q b ng công th c sau đây c

ậ ụ ể ả ế ả ươ V n d ng k t qu trên đ gi i ph ng trình

ệ ố Ta có các h s trong

ừ ử ươ ầ T đó nhân t trong ph ng trình mà chúng ta c n tìm là

ươ ng trình đã cho Cách 1. Ph

ươ ng trình đã cho Cách 2. Ph

ả ươ . Gi i ph ng trình ụ Ví d 1.5.2

ươ ủ ế ấ ươ ứ ng trình th y v trái c a ph ng trình có ch a đa Phân tích. Ta quan sát ph

ứ ế ả ậ ậ ị ướ ế ứ th c b c ba còn v ph i ch a căn b c ba nên ta đ nh h ố ạ ng n u có xét hàm s đ i

trong đó

ư ệ ạ ố ươ ề ạ di n thì hàm s đó có d ng và đ a ph ng trình đã cho v d ng

là 1 nên tìm

ề ấ ạ ệ ố ứ ướ +) V n đ còn l ệ ố i là chúng ta đi tìm h s Ta có h s đ ng tr c căn

ượ ứ ầ ẳ đ ỏ c . Chúng ta c n tìm th a mãn đ ng th c sau

ế ợ ớ ươ ứ ẳ ầ ỏ K t h p v i ph ng trình đã cho ta c n tìm th a mãn đ ng th c sau

ấ ệ ố ế ủ ươ ượ ng trình trên ta đ c ồ Đ ng nh t h s 2 v c a ph 23

ư ậ ượ ố ạ ệ ố ệ ẽ +) Nh v y ta tìm đ ể c các h s Khi đó ta s xét hàm s đ i di n là và có th

ế ổ ươ ề ạ bi n đ i ph ng trình đã cho v d ng sau đây

ậ ị ươ ươ ươ ờ ả T p xác đ nh Ph ng trình đã cho t ng đ ớ ng v i L i gi i.

ế ồ ươ ạ +) Xét hàm s ố trên có nên đ ng bi n trên . Khi đó ph ng trình (*) có d ng

ươ ệ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có 3 nghi m là ế +) K t lu n

ươ ồ ấ ể ng pháp đ ng nh t đ tìm các h s t

ệ ươ trên, chúng ta có th s d ng ph

ươ ượ ể ử ụ ng trình và truy tìm đ ệ ố ừ đó ặ ẩ ng pháp đ t n ố ạ c hàm s đ i

ụ ể ừ

ệ ệ ố ồ ươ Bình lu n. ậ Ngoài vi c sệ ử d ng ph ụ ố ạ ư ở ượ tìm đ c hàm s đ i di n nh ề ệ ươ ụ ể ư ph đ đ a ph ng trình đã cho v h ph ệ ệ ươ ặ di n, c th ta đ t . Ta có h ph ng trình ế ủ ộ C ng t ng v c a hai ph ng trình trong h , ta đ ố ạ Xét hàm s đ i di n ươ trên có ượ c ế nên hàm s đ ng bi n trên. Khi đó ph ng trình (**)

có d ngạ

fx570 VN PLUS đ dò đ

. T đây chúng ta ti n hành thêm b t hàm s v ng đ

ươ ệ ớ

ng trình có 3 nghi m là ủ ử ự ể ử ụ ừ ươ ế ụ ể ươ chung c a ph ng trình. C th là ph ể ố ắ ng trình đã cho t ượ c ể ươ ng

+) Ngoài ra chúng ta có th s d ng máy tính CASIO ph ạ t o d ng nhân t ớ ươ ng v i đ

ả ươ . Gi i ph ng trình ụ Ví d 1.5.3

ế ổ ươ ề ạ ng trình v d ng Phân tích. Bi n đ i ph

ươ ủ ấ ả ươ ứ ậ ứ Ta quan sát ph ế ng trình th y v ph i c a ph ng trình có ch a đa th c b c ba còn

ứ ị ướ ệ ế ố ậ ế v trái ch a căn b c ba nên ta đ nh h ố ạ ng n u có xét hàm s đ i di n thì hàm s đó

trong đó

ư ạ ươ ề ạ có d ng và đ a ph ng trình đã cho v d ng

là 2 nên tìm

ề ấ ạ ệ ố ứ ướ +) V n đ còn l ệ ố i là chúng ta đi tìm h s Ta có h s đ ng tr c căn

ờ ứ ầ ẳ ỏ đ c ượ . Bây gi ệ ố chúng ta c n tìm ba h s th a mãn đ ng th c

ế ợ ớ ươ ứ ẳ ầ ỏ K t h p v i ph ng trình đã cho ta c n tìm th a mãn đ ng th c sau

ồ ấ ệ ố ế ủ ượ c

ư ậ ươ ượ ố ạ ệ ố ệ ẽ Đ ng nh t h s 2 v c a ph +) Nh v y chúng ta đã tìm đ ng trình ta đ c các h s Khi đó ta s xét hàm s đ i di n và có

ể ế ổ ươ ề ạ th bi n đ i ph ng trình đã cho v d ng sau đây

ậ ị ươ ươ ươ ờ ả T p xác đ nh Ph ng trình đã cho t ng đ ớ ng v i L i gi i.

ố ạ ệ ế ồ ươ +) Xét hàm s đ i di n trên có nên hàm s ố đ ng bi n trên . Khi đó ph ng trình (*)

có d ng ạ

ươ ệ ấ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t là ế +) K t lu n

ệ ấ ể ậ ồ ố ạ ụ ỹ Bình lu n. ậ Ngoài vi c chúng ta s ệ ử d ng k thu t đ ng nh t đ tìm hàm s đ i di n

ư ở ụ ể ư ể ử ụ ặ ẩ ậ ươ nh ỹ trên chúng ta có th s d ng k thu t đ t n ph đ đ a ph ng trình đã cho

ượ ụ ể ặ ố ạ ề ệ ươ v h ph ng trình và truy tìm đ ệ c hàm s đ i di n, c th đ t .

ệ ươ Ta có h ph ng trình

ộ ừ ế ủ ượ c

ng trình trong h , ta đ ồ ệ ế ệ ươ ạ C ng t ng v c a hai ph ố ạ Xét hàm s đ i di n ươ trên có nên đ ng bi n trên. Khi đó ph ng trình (**) có d ng

ể

ượ ế ả c k t qu nghi m là ệ fx570 VN PLUS đ dò nghi m ệ . Thay nghi m này vào căn

ể ử ụ ng trình đã cho và thu đ ượ

ỏ

c ố ạ ả ng trình i ph . Gi +) Ngoài ra chúng ta có th s d ng máy tính CASIO ệ ươ ủ c a ph ứ th c, ta đ ệ ầ Khi đó hàm s đ i di n c n tìm là th a mãn ươ ụ Ví d 1.5.4

ươ ủ ế ấ ươ ứ ng trình th y v trái c a ph ng trình có ch a đa Phân tích. Ta quan sát ph

ứ ế ả ậ ậ ị ướ ế ứ th c b c ba còn v ph i ch a căn b c ba nên ta đ nh h ố ạ ng n u có xét hàm s đ i

trong đó

ư ệ ạ ố ươ ề ạ di n thì hàm s đó có d ng và đ a ph ng trình đã cho v d ng

là 3 nên tìm

ề ấ ạ ệ ố ứ ướ +) V n đ còn l ệ ố i là chúng ta đi tìm h s Ta có h s đ ng tr c căn

ượ ờ ầ ẳ ỏ đ c Bây gi ứ chúng ta c n tìm th a mãn đ ng th c

ế ợ ớ ươ ứ ầ ẳ ỏ K t h p v i ph ng trình đã cho ta c n tìm th a mãn đ ng th c sau

Đ ng nh t h s 2 v c a ph

ấ ệ ố ế ủ ồ ươ ượ ng trình ta đ c

ố ạ ẽ ệ ề Đi u này có nghĩa là ta s xét hàm s đ i di n

ể ế ổ ươ ề ạ Khi đó chúng ta có th bi n đ i ph ng trình đã cho v d ng sau đây

ậ ị ươ ươ ươ ờ ả T p xác đ nh Ph ng trình đã cho t ng đ ớ ng v i L i gi i.

ế ồ ươ ạ +) Xét hàm s ố trên có nên đ ng bi n trên . Khi đó ph ng trình (*) có d ng

ươ ệ ấ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t là ế + ) K t lu n

ậ ặ ẩ

ụ ể

ố ạ

ệ

ỹ

Bài 6. K thu t đ t n ph đ tìm hàm s đ i di n

ộ ụ ươ ặ ẩ ạ ng pháp r t m nh đ gi

ng trình. Trong bài này tôi trình bày ph

ươ ụ ể ng pháp đ t n ph là m t ph ươ ệ ụ ể ớ

ươ ấ

ượ ế

ấ ề Ph ươ ấ ố ạ ế ươ ng trình đã cho v m t hình d ng m i. Khi đó ph ệ ớ ng trình m i thu đ ừ ệ ụ ẽ ặ ẩ ạ ớ ậ ợ ơ ử ụ ụ ể ụ ụ ẩ

ụ ơ ả ề ẩ ặ ẩ ụ

ẩ ụ ể ả ặ ấ ươ i Đ t v n đ . ặ ẩ ng pháp đ t n ng trình hay b t ph ph ươ ổ ng ph đ tìm hàm s đ i di n, c th v i phép đ t n ph s làm bi n đ i ph ề ộ trình hay b t ph ng trình hay ươ ấ i h n trong vi c tìm ki m hàm c giúp chúng ta thu n l b t ph ẩ ố ạ s đ i di n. Tùy t ng bài toán c th chúng ta s d ng 1 n ph hay 2 n ph hay nhi u n ph , sau đây tôi trình bày 2 cách đ t n ph c b n. 1. Đ t n ph không hoàn toàn (S d ng 1 n ph

ể ươ ệ ậ ợ ơ ử ụ ầ ẩ x ban đ u) đ thu n l ể ư ụ t đ đ a ph ng trình v i h n trong vi c tìm hàm s ề ố

ươ ả ng trình i ph

ủ ề ị

ươ ươ ng trình là ở ặ ẩ ẩ ươ ng trình n t và n ph ạ ệ đ i di n. Gi Bài 1.6.1. ệ ờ ả Đi u ki n xác đ nh c a ph L i gi i. +) Đ t ặ thì Khi đó ph ng trình đã cho tr thành

mà các bi u th c

ế ồ ể ứ Khi đó

ệ , có nên hàm s ố đ ng bi n trên ạ ươ ố ạ +) Xét hàm s đ i di n ng trình (*) có d ng ph

ậ ậ . V y ph

ệ ế ng trình đã cho có 2 nghi m là ổ ả ử

ế ụ ư ổ ự ế ươ ọ ặ ẩ ươ ư ạ ng pháp đ t n ph nh trên mà bi n đ i tr c ti p ph

ươ ng trình ố ạ ế ệ

ồ ng trình có dang

ươ ả

ng trình ị Gi ề ươ ủ i ph ệ ờ ả Đi u ki n xác đ nh c a ph ng trình là

ở ệ ữ ế ơ ồ ế +) K t lu n ể Bình lu n.ậ Khi h c sinh đã có kh năng bi n đ i linh ho t thì có th không s ụ d ng ph ng trình nh sau ươ +) Ph +) Xét hàm s đ i di n đ ng bi n trên ươ +) Ph ụ Ví d 1.6.2. i. L i gi ặ +) Đ t thì ươ Ph ng trình đã cho tr thành ố ạ +) Xét hàm s đ i di n trên Có nên hàm s ố đ ng bi n trên , h n n a và Khi đó

ươ ạ ph ng trình (*) có d ng

ệ ng trình đã cho có nghi m là

ậ V y ph ậ ươ ả i ph ươ ng trình

ế +) K t lu n. ụ Gi Ví d 1.6.3.

ệ ề ị ươ ươ ươ ờ ả Đi u ki n xác đ nh . Khi đó ph ng trình đã cho t ng đ ớ ng v i L i gi i.

ươ ở +) Đ t ặ thì Ph ng trình trên tr thành

ố ố ồ ữ ế ơ ươ ng trình

ệ ấ

ươ ươ ng trình đã cho có 1 nghi m duy nh t là ng trình ậ . V y ph ậ ả i ph Gi +) Xét hàm s trên có nên hàm s đ ng bi n trên h n n a và Khi đó ph ở (*) tr thành ế +) K t lu n ụ Ví d 1.6.4.

ề ệ ờ ả Đi u ki n xác đinh L i gi i.

ệ ề ớ ươ V i đi u ki n (*) thì ph ng trình trên

ặ ươ ở +) Đ t Khi đó ph ng trình trên tr thành

ố ạ ế ệ ồ ươ +) Xét hàm s đ i di n có nên hàm s ố đ ng bi n trên Khi đó, ph ng trình (*) có

d ngạ

ươ ệ ấ . Ph ng trình đã cho có 1 nghi m duy nh t là ế +) K t luân

2. S d ng 2 n ph

ử ụ ể ư ẩ ươ ề ươ ụ u, v đ đ a ph ng trình đã cho v ph ẩ ng trình 2 n

ậ ợ ơ ể ố ạ ệ ệ m i ớ u, v đ thu n l i h n trong vi c tìm hàm s đ i di n.

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 1.6.5.

ề ệ ị ươ ươ ươ ớ ờ ả Đi u ki n xác đ nh Khi đó ph ng trình đã cho t ng đ ng v i L i gi i.

ề ươ ở +) Đ t ặ đi u ki n ệ thì ph ng trình trên tr thành

ố ạ ệ +) Xét hàm s đ i di n trên Ta có

ơ ữ ố ồ ế ươ ạ nên là hàm s đ ng bi n trên h n n a Khi đó ph ng trình (*) có d ng

ươ ệ ấ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t là ế +) K t lu n

ươ ươ ấ ả ệ t c các nghi m nguyên d ủ ng c a ph ng trình sau đây Tìm t

ử ạ ọ ề ươ ) (Trích d n: Đ thi th Đ i h cL ng Th VinhHà N i năm 2013

ề ệ ị ươ ươ ươ ớ ụ Ví d 1.6.6. ẫ ờ ả Đi u ki n xác đ nh Khi đó ph ế ng trình đã cho t ộ ng đ ng v i L i gi i.

ở

ể ả ượ ươ ươ ươ ươ ặ ng trình trên tr thành +) Đ t thì ph ứ ế ớ Nhân c hai v v i bi u th c >0, ta đ c ph ng trình t ng đ ng

ố ồ ươ +) Xét hàm số trên có ế nên hàm s đ ng bi n trên . Khi đó ph ạ ng trình (*) có d ng

và

ươ ệ ươ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có nghi m nguyên d ng là ế +) K t lu n

ố ạ ệ

ậ ử ụ

ỹ

Bài 7. K thu t s d ng hàm s đ i di n không hoàn toàn

ươ ố ạ ể ả ươ ề Ph ệ ng pháp hàm s đ i di n không hoàn toàn đ gi i ph ng trình ặ ấ Đ t v n đ .

ươ ươ ả ươ ấ ươ ấ hay b t ph ng trình là ph ng pháp mà khi gi i ph ng trình hay b t ph ng trình

, v i bi n là

ử ụ ố ạ ệ ạ ế ớ ộ đó chúng ta đã s d ng m t hàm s đ i di n có d ng t, tuy nhiên trong

ố ẫ ẩ ầ ủ ứ ươ ấ ươ hàm s v n còn ch a tham s ố x (là n c n tìm c a ph ng trình hay b t ph ng trình

ử ụ ố ạ ệ ặ ầ ấ ặ ạ ban đ u) ho c chúng ta s d ng hàm s đ i di n có tính ch t không thay m t hay đ i

ế ủ ệ ả ươ ấ ươ ệ di n cho c hai v c a ph ng trình hay b t ph ộ ỉ ạ ng trình mà ch đ i di n cho m t

ứ ể ặ ươ ấ ươ nhóm bi u th c nào đó có m t trong ph ng trình hay b t ph ng trình đã cho.

ả ấ ươ Gi i b t ph ng trình ụ Ví d 1.7.1.

ệ ề ấ ị ươ ươ ươ Đi u ki n xác đ nh B t ph ng trình đã cho t ng đ ớ ng v i L i gi ờ ả i.

+) Xét hàm s nố ẩ và là tham s . ố Ta có

ế ồ ớ v i nên hàm s ố đ ng bi n trên .

ấ ươ ạ Khi đó b t ph ng trình (*) có d ng

ấ ế ươ ệ ậ ậ . V y b t ph ậ ng trình có t p nghi m là K t lu n +)

ươ ươ ả ấ ng pháp gi i ph

ươ ươ ng trình hay b t ph ạ ứ ặ ẩ

ử ụ ố ạ ệ ỉ ng trình vô t ng pháp đ t n ph không hoàn toàn có s c công phá khá m nh. Trong cách ươ ng pháp hàm s đ i di n không hoàn i trên chúng ta đã khai thác và s d ng ph

Bình lu n.ậ Trong các ph ụ thì ph ả gi toàn nẩ là tham s .ố và ươ ẻ ả ố ớ Đây là cách làm t ệ ng đ i m i m và hi u qu . Ngoài ra ta

ể ả ấ ươ ằ ươ ố ắ ớ có th gi i b t ph ng trình trên b ng ph ng pháp thêm b t hàm s v ng, nhân liên

ể ạ ự ử ế ợ h p đ t o d ng nhân t c h t ta s d ng máy tính

ứ chung. Tr là Thay ướ ử ụ vào căn th c ta đ ượ Khi đó b t ph c ể ượ c Casio đ tìm đ ươ ấ ng trình đã

ươ ế ướ ạ ệ nghi m c a ph ượ t d cho đ ng trình i d ng sau ủ c vi

ươ ệ ậ ấ ậ V y b t ph ng trình đã cho có t p nghi m là

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 1.7.2.

ươ ệ ờ ả Đi u ki n xác đ nh c a ph ng trình là i.

ươ ờ ị ủ ng trình đã cho. Bây gi ta xét ề ủ ệ là 1 nghi m c a ph

ươ L i gi ậ +) Nh n xét ng trình Ph

và ph

ế ươ ạ ng trình (*) có d ng là

ế ồ ố +) Xét hàm s Có ố ồ Khi đó hàm s đ ng bi n trên +) Ta có và H n n a ơ ữ đ ng bi n trên nên

ươ Khi đó, ta có Do đó ph ng trình (**)

ươ ệ ậ ậ . V y ph

ế +) K t lu n

ng trình đã cho có hai nghi m là

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 1.7.3.

ủ ề ị ươ ệ ờ ả Đi u ki n xác đ nh c a ph ng trình là L i gi i.

ươ ượ ế ướ ạ Khi đó ph ng trình đã cho đ c vi i d ng sau t d

ố +) Xét hàm s Có

và ph

ế ươ ạ ố ồ Khi đó hàm s đ ng bi n trên ng trình (2) có d ng là

+) Vì

ế ợ ượ +) K t h p (1) và (4), ta đ c

, đ t ặ ta đ

ặ ượ ươ Đ t thì c ph ng trình

ặ ẩ ổ Đ t n ph ỏ ụ a th a mãn ế , ta có bi n đ i sau

nên ph

ươ ệ ng trình (5) có nghi m là

ươ ệ ậ ậ . V y ph ng trình có nghi m là ế +) K t lu n

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 1.7.4.

ho c ặ L i gi ờ ả i. ươ ươ ươ ị Khi đó ph ng trình đã cho t ng đ ớ ng v i Đi u ki n xác đ nh

ề Xét hàm s ố ệ trên Có +)

ế ạ ồ ố ườ ợ nên hàm s đ ng bi n trên đo n . Ta xét các tr ng h p sau đây

ủ ệ ậ ớ ươ +) Nh n xét. V i không là nghi m c a ph ng trình

V i ớ thì và

ủ ệ ớ ươ . V i là nghi m c a ph ng trình ườ +) Tr ợ ng h p 1

ườ ữ ể ơ N u ế ố ứ và ta có các bi u th c H n n a hàm s ế ồ đ ng bi n trên Tr ợ ng h p 2 +) .

đo nạ Khi đó

ơ ữ H n n a ươ ệ nên ph ng trình (*) vô nghi m trên

ườ ứ ể ơ . N u ế và ta có các bi u th c H n n a ữ hàm s ố ế ồ đ ng bi n trên Tr ợ ng h p 3

+) đo nạ . Khi đó

ệ ng trình (*) vô nghi m trên

ệ ấ ng trình đã cho có 1 nghi m duy nh t là

ươ ươ Gi ng trình ơ ữ ươ H n n a nên ph ậ . V y ph ậ ế +) K t lu n ả ụ i ph Ví d 1.7.5.

L i gi ờ ả i. ề ệ ị Đi u ki n xác đ nh

ươ Khi đó ph ng trình

Xét hàm s ố ạ trên đo n Ta có +)

ế ạ ơ ữ ứ ể Nên hàm s ố ồ đ ng bi n trên đo n H n n a ta có các bi u th c

và nên

nên ph

ả ấ ươ D u ‘=’ x y ra ng trình (*) ặ . M t khác

ươ ệ ấ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có 1 nghi m duy nh t là ế +) K t lu n

ộ ố

ổ

ợ

ươ

ấ

ươ

Bài 8 . M t s bài toán t ng h p ph

ng trình, b t ph

ng trình

ầ ọ ượ ậ ươ ề Trong ph n này h c sinh đ ụ c v n d ng các ph ng pháp đã bi ế t ặ ấ Đ t v n đ .

ụ ể ạ ủ ủ ừ ằ ả ố ọ vào trong t ng bài toán c th nh m làm c ng c thêm kh năng linh ho t c a h c

ệ ự ọ ươ ể ượ ủ ặ ươ sinh trong vi c l a ch n ph ng pháp, hi u đ c đ c tính c a ph ng pháp, th ế

ủ ạ ươ ủ ừ ụ ạ ươ m nh c a ph ứ ng pháp hay ph m vi ng d ng c a t ng ph ng pháp.

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 1.8.1.

ọ ề ẫ ỏ ớ ả ) (Trích d n: Đ thi h c sinh gi i l p 12Qu ng Ninh năm 2014

ề ị ươ ượ ệ ờ ả . Đi u ki n xác đ nh . Ph ng trình đã cho đ c vi ế ạ t l i thành L i gi i

ố ạ +) Xét hàm s đ i di n ệ . Ta có .

ơ ữ ố ồ ứ ể ế ươ ạ Nên hàm s đ ng bi n trên h n n a các bi u th c Khi đó ph ng trình (*) có d ng

ươ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có nghi m ệ duy nh tấ là ế +) K t lu n

ả ươ i ph ng trình Bài 1.8.2. Gi

ủ ậ ị ươ ươ ượ ng trình là Ph ng trình đ c vi ế ạ t l L i gi ờ ả T p xác đ nh c a ph i. i là

ố ặ ư Do đó ta xét hàm s đ c tr ng . Ta có

ậ ồ ươ ạ V y hàm số ế đ ng bi n trên . Khi đó ph ng trình (*) có d ng sau

ế ươ ệ ệ ậ . Ph ng trình có 3 nghi m phân bi t là +)K t lu n Bình lu nậ . Bên c nhạ

ệ ử ụ ể ả ư ặ ằ ươ vi c s d ng hàm s ố đ c tr ng, ta cũng có th gi i bài toán b ng ph ng pháp nhân

ươ cho t ng đ ươ ng ể ạ ự ử ậ ậ ươ liên h pợ đ t o d ng nhân t chung. Th t v y, ph ng trình đã

v i ớ

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 1.8.3.

ề ệ ị ươ ươ ươ x>2. Ph ng trình đã cho t ng đ L i gi ờ ả Đi u ki n xác đ nh là i. ớ ng v i

ố ạ +) Xét hàm s đ i di n ệ Có

ậ ồ V y hàm số ế đ ng bi n trên ơ ữ h n n a

Khi đó (*) có d ng ạ

ươ ệ ậ . Ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t ấ là ế +) K t lu n

ử ụ ộ ươ ố ắ ớ ng pháp thêm b t hàm s v ng, Bình lu n. ậ M t góc nhìn khác là s d ng ph

ể ạ ợ ử ử ụ ơ ở nhân liên h p đ t o nhân t chung trên c s là ta s d ng máy tính CASIO fx570

ệ ể ẩ ượ ươ VN PLUS nh m nghi m đ thu đ ế c k t qu ng trình đã cho t ươ ng ả . Do đó ph

ươ ớ đ ng v i

ặ ươ M t khác nên ph ng trình trên

ả ươ Gi i ph ng trình Bài 1.8.4.

ệ ề ị ờ ả Đi u ki n xác đ nh L i gi i.

ươ +) Ph ng trình

ố ạ ế ệ ồ +) Xét hàm s đ i di n đ ng bi n trên

ươ ỏ Ph ạ ng trình có d ng (th a mãn)

ươ ệ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có 2 nghi m là ế +) K t lu n

ả ươ Gi i ph ng trình Bài 1.8.5.

ề ệ ị ươ ờ ả . Đi u ki n xác đ nh . Ph ng trình L i gi i

+)Xét hàm số trên Ta có

ế ị ươ Nên ngh ch bi n trên Ph ng trình (*) .

ươ ệ ấ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có 1 nghi m duy nh t là ế +) K t lu n

ả ươ i ph ng trình ụ Ví d 1.8.6. Gi

ệ ề ị ươ ươ ươ ờ ả . Đi u ki n xác đ nh ng trình t ng đ ớ ng v i L i gi i . Khi đó ph

[

= + t

t ( )

;

] 0;4 .

t 4

(cid:0) -

+) Xét Có

ứ ữ ế ể ạ ồ ơ ươ Do đó hàm s ố đ ng bi n trên đo n h n n a các bi u th c Khi đó ph ng trình (*)

có d ng ạ

ỏ (th a mãn)

ươ ệ ấ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t là ế +) K t lu n

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 1.8.7.

ọ ẫ ỏ ớ ) ề (Trích d n: Đ thi h c sinh gi i l p 12Vĩnh Phúc năm 20152016

ặ ờ ả . Đ t thì L i gi i

ươ Khi đó ph ng trình trên

ữ ế ồ ươ ố +) Xét hàm s trên , có nên ơ đ ng bi n trên h n n a Khi đó ph ng trình (*) có

d ng ạ

ươ ệ ậ ậ : V y ph ng trình đã cho có 2 nghi m là ế +) K t lu n

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 1.8.8.

ử ụ ớ fx570 VN PLUS v i công c ụ SHIFT Phân tích CASIO. S d ng máy tính CASIO

ượ ệ ượ ế ế CALC v iớ ta thu đ c nghi m Thay ứ vào căn th c ta thu đ ả c k t qu Đ n đây ta

ự ế ổ ươ ừ ứ ứ ệ ể ể ấ d đoán Ta bi n đ i ph ng trình đ xu t hi n các bi u th c ch a T đó tìm đ ượ c

ố ạ ỏ ươ ệ hàm s đ i di n th a mãn ph ng trình .

ề ị ươ ươ ươ ệ ờ ả Đi u ki n xác đ nh . Ph ng trình t ng đ ớ ng v i L i gi i.

ố ươ ạ +) Xét hàm s trên Có nên ế ồ đ ng bi n trên. Ph ng trình (*) có d ng .

ươ ệ ấ ậ . Ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t là ế +) K t lu n

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 1.8.9.

ị ươ ươ ươ ớ ậ ờ ả T p xác đ nh ph ng trình đã cho t ng đ ng v i L i gi i. Khi đó

ế ươ ạ +) Xét hàm s ố ố ồ có nên hàm s đ ng bi n trên Ph ng trình (*) có d ng

ủ ệ ươ ệ ề +) Ta xét các nghi m c a ph ỏ ng trình (**) th a mãn đi u ki n

ặ ươ ở Đ t . Khi đó ph ng trình trên tr thành

Cho

ạ ậ ươ ệ thì ph ng trình có 3 nghi m là +) Nh n xét. Trên đo n

ặ ươ ươ ậ ố ệ M t khác ph ng trình(**) là ph ng trình b c ba nên có t i đa 3 nghi m.

ươ ệ ậ ậ . V y ph ng trình có 3 nghi m là ế +) K t lu n

ụ ả ươ Gi i ph ng trình Ví d 1.8.10.

ọ ớ ề ẫ ) (Trích d n: Đ thi h c kì 1 l p 12, Nam Đinh năm 20122013

ủ ị ươ ậ ậ ờ ả Có nên t p xác đ nh c a ph ng trình là Nh n xét i.

ươ ươ ớ L i gi Khi đó ươ +) Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i

ố ồ ố ồ ế ế ả ả +) Xét hàm s đ ng bi n trên kho ng có nên hàm s đ ng bi n trên kho ng Khi đó

ươ ạ ph ng trình (*) có d ng

ươ ệ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có 2 nghi m là ế +) K t lu n

ụ ả ươ Gi i ph ng trình Ví d 1.8.11.

ệ ề ậ ị ờ ả Đi u ki n xác đ nh . Nh n xét L i gi i.

ươ Khi đó ph ng trình

Khi đó ph

ế ươ ạ +) Xét hàm s ố ố ồ có nên hàm s đ ng bi n trên ng trình (*) có d ng

ươ ệ ấ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t là ế +) K t lu n

ụ ả ươ Gi i ph ng trình Ví d 1.8.12.

ậ L i gi ờ ả Nh n xét và i.

ủ ậ ị ươ Do đó nên t p xác đ nh c a ph ng trình là

ươ ươ ươ ớ +) Khi đó ph ng trình đã cho t ng đ ng v i

ố ồ ố ạ ệ ế ươ +) Xét hàm s đ i di n có nên hàm s đ ng bi n trên Khi đó ph ng trình trên có

ạ d ng

ươ ệ ậ ậ . V y ph ng trình có nghi m là ế +) K t lu n

ụ ả ươ Gi i ph ng trình Ví d 1.8.13.

ậ ậ ị ươ ờ ả Nh n xét nên t p xác đ nh . Ph ng trình đã cho L i gi i.

+) Xét hàm s ố ả trên kho ng . Có

ố ồ ế ả ươ ạ Nên hàm s đ ng bi n trên kho ng . Khi đó ph ng trình (*) có d ng

ươ ở +) Đ t ặ thì ph ng trình tr thành

ườ ợ ặ ươ ở Xét tr ng h p thì đ t . Khi đó ph ng trình (**) tr thành

Cho

ặ ươ ậ ố ệ ươ M t khác (**) là ph ng trình b c ba nên có t i đa 3 nghi m mà nên ph ng trình

(**) có đúng 1 nghi m ệ

ươ ệ ậ ậ . V y ph ặ ng trình có 2 nghi m là ho c ế +) K t lu n

ụ ả ươ Gi i ph ng trình Ví d 1.8.14.

ủ ề ị ươ ươ ệ ờ ả Đi u ki n xác đ nh c a ph ng trình là . Khi đó ph ng trình đã cho L i gi i.

ố ạ ế ệ ồ +) Xét hàm s đ i di n đ ng bi n trên

ươ +) Ph ng trình

ươ ệ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có 2 nghi m là ế +) K t lu n

ụ ả ươ Gi i ph ng trình Ví d 1.8.15.

ề ị ươ ươ ươ ệ ờ ả Đi u ki n xác đ nh . Ph ng trình đã cho t ng đ ớ ng v i L i gi i.

ố ồ ế ố ươ ạ +) Xét hàm s có nên hàm s đ ng bi n trên Khi đó ph ng trình (*) có d ng

ươ ệ ậ +) Nh n xét ph ng trình trên có 2 nghi m là

ế ố ồ ươ ố Xét hàm s ố trên . Ta có Cóhàm s đ ng bi n trên . Nên ph ng trìnhcó t i đa 1

ệ nghi m .

ụ ạ ố ươ ấ Ngoài ra và hàm s liên t c trên đo n [0; 4] nên ng trình ệ có ít nh t 1 nghi m

ộ ươ ệ thu c . Do đó ph ng trình có đúng 1 nghi m .

ố ừ ủ ế ả ậ ươ ệ L p b ng bi n thiên c a hàm s t đó ph ng trình có đúng 2 nghi m phân bi ệ t

là

ươ ệ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có 2 nghi m là ế +) K t lu n

ƯƠ

Ả Ệ ƯƠ

Ằ

ƯƠ

NG 2

. GI I H PH

NG TRÌNH B NG PH

NG PHÁP

Ệ

Ố Ạ HÀM S Đ I DI N

ướ ộ ố ươ ọ ạ ề Tr ọ c khi h c đ o hàm h c sinh đã có m t s ph ng pháp gi ả ệ i h ặ ấ Đ t v n đ .

ươ ữ ươ ấ ạ ượ ư ẳ ph ng trình, có nh ng ph ng pháp r t m nh đã đ ị c kh ng đ nh nh ph ươ ng

ổ ươ ệ ề ạ ặ ẩ ụ ế pháp bi n đ i ph ng trình nào đó trong h v d ng tích hay pháp đ t n ph . Tuy

ề ệ ớ ươ ữ ươ ế nhiên v i nhi u h ph ớ ng trình thì v i nh ng ph ng pháp đã bi ể ậ t không th v n

ể ả ế ệ ươ ụ d ng đ gi ữ i quy t nh ng h ph ầ ng trình đó. Trong ph n này tôi trình bày ph ươ ng

ể ả ệ ệ ươ ụ ệ ố ạ pháp hàm s đ i di n đ gi i h ph ủ ng trình, m c đích c a vi c làm này là đ ể

ượ ệ ủ ẳ ạ ầ ố chúng ta thu đ c m i quan h c a 2 n ẩ x, y ch ng h n là C n chú ý khi chúng ta s ử

ươ ệ ể ượ ế ụ d ng ph ố ạ ng pháp hàm s đ i di n đ thu đ ử ụ c , khi đó n u chúng ta s d ng

ươ ế ư ề ạ ử ượ ẽ ph ng pháp đã bi t là đ a v d ng tích thì nhân t chung thu đ ề ạ c s có d ng đi u

ươ ệ ươ ử này có nghĩa là ph ố ạ ng pháp hàm s đ i di n và ph ng pháp nhân t ố chung có m i

ệ ậ ế ớ ư ệ ố quan h m t thi ể ọ ữ t v i nhau. Ngoài vi c đ a ra nh ng tình hu ng khác nhau đ h c

ậ ượ ố ớ ố ạ ệ ươ ệ ể ế sinh có th ti p c n đ c hàm s đ i di n đ i v i ph ng trình nào đó trong h thì

ươ ạ ệ ượ ế ế ề ạ ớ ươ ph ng trình còn l i trong h đ c thi t k khá đa d ng, v i nhi u ph ng pháp s ử

ể ọ ượ ệ ỹ ả ươ lí khác nhau đ h c sinh đ c rèn luy n thêm k năng gi i ph ỉ ng trình vô t .

ệ ự

ố ạ

ủ

ậ

ấ

ỹ

Bài 1. K thu t tìm hàm s đ i di n d a vào c u trúc c a 1 trong 2

ươ

ệ ươ

ng trình trong h ph

ng trình

ạ ộ ộ ươ ề Trong ho t đ ng này chúng ta quan sát m t trong hai ph ng trình ặ ấ Đ t v n đ .

ệ ươ ươ ả ượ trong h ph ng trình xem ph ng trình nào có kh năng xét đ ệ ố ạ c hàm s đ i di n.

ế ộ ươ ướ ế ự Khi chúng ta đã dành s quan tâm đ n m t ph ng trình nào đó thì b c ti p theo

ế ủ ủ ả ỹ ươ ứ ự ư ề quan sát k hình nh c a hai v c a ph ng trình. Chúng ta bàn v th t u tiên

ố ạ ệ ườ ả ợ ơ trong quan sát, trong góc nhìn ra hàm s đ i di n. Trong tr ng h p đ n gi n hai v ế

ở ạ ế ế ậ ươ ư ở ạ ự ệ d ng đã cô l p hai bi n. N u ph ng trình ch a d ng này thì ta th c hi n thao

ỗ ế ủ ứ ậ ươ ụ ể ứ ỉ tác cô l p, t c là trong m i v c a ph ư ộ ẩ ng trình ch ch a m t n. C th là ta đ a

ươ ể ệ ề ạ ệ ủ ứ ẳ ố ph ng trình đó v d ng đ ng th c này th hi n m i quan h c a hai bi n ế x, y có

ệ ủ ả ơ ơ ươ ầ ố ạ d ng đ n gi n h n m i quan h c a hai bi n ế x, y trong ph ng trình ban đ u. Đây

ụ ủ ố ươ ố ạ ệ cũng chính là m c đích c t lõi c a ph ng pháp hàm s đ i di n.

ộ ố ố ạ ể ệ ố ố ơ ả Ta bàn thêm m t s tình hu ng đ tìm hàm s đ i di n, tình hu ng đ n gi n

ế ậ ấ ượ ủ ế ấ ươ nh t là sau khi đã cô l p hai bi n ta đ c c u trúc c a hai v trong ph ng trình

ố ừ ề ấ ượ ố ạ ệ ẳ ệ gi ng h t nhau, t đây chúng ta đ xu t ngay đ ạ c hàm s đ i di n, ch ng h n

trên . N uế

ươ ộ ệ ố ạ ệ chúng ta xét ph ng trình sau trong m t h nào đó và hàm s đ i di n là

ế ả ố ươ ế tình hu ng trên không x y ra ta quan sát ti p trong ph ủ ng trình đó, v nào c a

ươ ể ế ề ả ạ ủ ế ấ ổ ph ng trình có kh năng làm ‘n n’ đ v còn l i bi n đ i theo cái c u trúc c a cái

ế ấ ở ạ ế ả ả ơ ẳ ề n n đó, ch ng h n ạ Lúc này quan sát th y v trái ơ d ng đ n gi n h n v ph i và ta

và hàm

ủ ế ổ ế ư ề ế ế ể ả ấ coi v trái làm n n đ ta bi n đ i v ph i theo c u trúc c a v trái nh sau

M t ví d n a v trái trong ph

ượ ụ ữ ế ộ ươ ệ ố ạ s đ i di n tìm đ c là trên ộ ng trình đã mang m t

ứ ậ ấ ạ ả ộ hình nh r t rõ ràng, có d ng là m t đa th c b c 3 đ i v i n ề ố ớ ẩ y, đi u này thôi thúc

ế ả ươ ứ ậ ả ộ ổ ế chúng ta bi n đ i v ph i trong ph ng trình cũng có m t hình nh là đa th c b c 3

ộ ạ ượ ậ ậ ư ế ế ế ế ố ớ đ i v i m t đ i l ng nào đó nh v trái. Th t v y ta có bi n đ i ả ổ , đ n đây v ph i

ứ ậ ạ ộ ờ ố ạ đã có d ng là m t đa th c b c 3 đ i v i đ i l ố ớ ạ ượ Bây gi ng , ta có ệ và hàm s đ i di n

ả ế ươ ế ề ả ph i tìm là trên N u trong ph ng trình không có v nào có kh năng làm n n thì

ộ ạ ượ ả ể ặ ả chúng ta ph i đi tìm m t đ i l ng trung gian đ thay m t cho c hai v , đ i l ế ạ ượ ng

ứ ủ ố ặ ố ạ ư ể ệ ẳ trung gian đó chính là bi u th c c a hàm s đ i di n hay hàm s đ c tr ng, ch ng

ư ặ ế ề ư ư ệ ả ạ ố ậ ạ h n nh m c dù c hai v đ u có d ng b c 3 nh ng chúng ch a gi ng h t nhau v ề

ổ ế ặ ấ ế ề ể ế ạ ả m t c u trúc và không v nào có kh năng làm n n đ ta bi n đ i v còn l i theo cái

ế ổ ươ ề ạ ư ệ ề n n đó, nên ta bi n đ i ph ng trình v d ng khác nh sau ố ạ và hàm s đ i di n là

ọ ươ ệ ả Chú ý quan tr ng là ph ậ ả ng trình trong h không ph i lúc nào cũng ph i cô l p

ượ ố ạ ệ ế ả ớ ổ đ ậ c hai bi n thì m i có kh năng sinh hàm s đ i di n mà t ng quát là ta đi cô l p

ứ ế ế ể ố ườ ễ các nhóm bi u th c liên quan đ n hai bi n, tình hu ng này th ng gây nhi u và

ượ ố ạ ư ươ ệ ẳ ạ chúng ta khó nhìn ra đ c hàm s đ i di n, ch ng h n nh ph ng trình

ế ệ ậ ươ ế ấ ả ổ ươ Vi c cô l p hai bi n trong ph ng trình là b t kh kháng, ta bi n đ i ph ng trình

ề ạ v d ng

ệ ầ ố ạ và hàm s đ i di n c n tìm là trên ươ ở Khi đó ph ng trình đã cho tr thành

và là

ể ế ổ ổ ươ ệ ề ạ T ng quát ta có th bi n đ i ph ng trình nào đó trong h v d ng trong đó

ứ ế ể ờ ộ ố ụ ệ ọ ứ các bi u th c ch a 2 bi n Bây gi ta xét m t s ví d minh h a cho vi c suy đoán

ố ạ ủ ệ ấ ươ hàm s đ i di n thông qua c u trúc c a ph ệ ng trình trong h .

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 2.1.1

ủ ệ ươ ề ệ ị ờ ả . Đi u ki n xác đ nh c a h ph ng trình là L i gi i

ươ ượ ế ướ ạ +) Ph ng trình (1) đ c vi i d ng là t d

ố ạ +) Xét hàm s đ i di n ệ trên , có

nên hàm s đ ng bi n trên h n n a

ố ồ ế ươ ạ ơ ữ . Khi đó ph ng trình (3) có d ng

+) Th ế y=x vào (2), ta đ c ượ

ệ ươ ệ ậ ậ . V y h ph ng trình đã cho có 2 nghi m là ế +) K t lu n

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 2.1.2

ệ ươ ế ổ ớ ị ươ ng trình xác đ nh v i m i s th c ọ ố ự x, y. Bi n đ i ph ng trình (1) L i gi ờ ả . H ph i

d ng ạ v ề

Có

ố Xét hàm s trên

ậ +) Nh n xét

. Ph

. Th ế

ế ồ ươ ươ Khi đó đ ng bi n trên ng trình (1) vào ph ng trình (2), ta đ ượ c

ươ ph ng trình

ậ ướ ế ề ỏ +) Nh n xét. Tr c h t chúng ta xét các giá tr c a ị ủ x th a mãn đi u ki n ệ Khi đó ta có

ươ ả nên ph ệ ng trình (3) không có nghi m trong kho ng (2; 2).

ờ ỏ ươ ở Bây gi chúng ta xét x th a mãn ta đ t ặ Khi đó, ph ng trình (3) tr thành

ươ ệ ấ Ta tìm đ cượ Khi đó, ph ng trình (3) có nghi m duy nh t là

ệ ươ ệ ấ ậ ậ . V y h ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t là ế +) K t lu n

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 2.1.3

ổ ươ ề ạ ế ờ ả . Bi n đ i ph ng trình (1) v d ng L i gi i

ả ữ ế ơ +) Xét ố trên kho ng . Có nên hàm s ả ồ đ ng bi n trên kho ng h n n a . Khi đó

ươ ạ ế ươ ượ ph ng trình (3) có d ng Th vào ph ng trình ta đ c

ươ ở +) Đ t ặ thì ph ng trình (5) tr thành

ươ ệ Có nên ph ng trình (6) có 2 nghi m là

ả ệ ng trình . Đi u ki n

i ph ươ ế ề ượ +) Gi Bình ph ươ ng hai v , ta đ c

ệ ươ ệ ậ ậ . V y h ph ng trình đã cho có nghi m là ế +) K t lu n

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 2.1.4

ậ ủ ệ ươ ề ị ờ ả . Nh n xét ệ và Khi đó đi u ki n xác đ nh c a h ph ng trình là . Ta có L i gi i

ươ ph ng trình

ế ươ +) Xét hàm s ố trên . Có nên hàm s ố ồ đ ng bi n trên trên Khi đó ph ng trình (**) .

ế ạ ươ ượ ươ có d ng Th vào ph ng trình ta đ c ph ng trình

ướ ươ . Ph ng trình (4) H ng 1

ế ủ ả ươ ượ ươ ặ Chia c 2 v c a ph ng trình cho ta đ c ph ng trình . Đ t

ươ ở thì ph ng trình trên tr thành

x + <

1 0

ướ ươ . Ph ng trình H ng 2

ủ ệ ươ ế ả ủ ế ươ ậ +) Nh n xét không là nghi m c a ph ng trình. N u thì v ph i c a ph ng

x +

x + >

1 0

ủ ế ươ ươ ươ ệ trình (4) âm mà v trái c a ph ng trình (4) d ng nên ph ng trình (4) vô nghi m.

ế ủ ươ N u ế ả thì ta chia c hai v c a ph ng trình (4) cho

(

+ = - 1

1 +

1 + 1)

(

� + + x 1 � �

� � �

= + +

=� t

- = 1

6(3

)

1 +

11 5

ươ ở +) Đ t ặ thì ph ng trình trên tr thành

�

- = x

+ + 1

1 0

1 +

11 5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

ả ươ Gi i ph ng trình

+ 1

(cid:0)� � + - x x

- (cid:0)

ướ ề ệ ươ ệ . Đi u ki n ph ng trình (4) có nghi m là H ng 3

+ =

�

+ - x

(

1 6(1

2 2 )

+ 13

+ = x 6

3 0

- -

Khi đó (4)

ế ợ ệ ớ ượ ủ ệ ề K t h p v i đi u ki n trên ta đ c nghi m c a (4) là

x y ( ;

)

;

21 1 10

� 1 � � �

�� 1 , ��

� � � �

- - -

ệ ươ ệ ậ . H ph ng trình có nghi m ế +) K t lu n

ố

ậ ủ Bài t p c ng c

+ + 1

1 (1)

ln(1

)

+ ln(1

= )

(2)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0)

ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 2.1.5. Gi

- = y

7) 3

1 (3

+ 4) 3

(1)

ﾡ

x y ( ,

)

1. 3

- = y 5

(2)

(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0)

ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 2.1.6. Gi

+ 3 x

2 x 2 )

(1)

ﾡ

x y ( ,

)

+ = y 8 + y

13 2 x x (

2)(

y = y 1) 5(1 2 )

(2)

(cid:0) - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0)

ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 2.1.7. Gi

+ 3

(1)

ﾡ

x y ( ,

)

17 +

= y 32 +

+ 2

y + x

+ y

(

+ 4 (

9) 2

24 = 9

1 (2)

(cid:0) - - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 2.1.8. Gi

+ 2 3

(1)

ﾡ

x y ( ,

)

2 y 3 (

+ 3) 11(

= 4)

3 2 13

(2)

(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - - (cid:0) (cid:0)

ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 2.1.9. Gi

= 3

+ 2

) 2(3

(1)

ﾡ

x y ( ,

)

+ y

2 x 2 (

(

= 1) ) 8

(2)

(cid:0) - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - (cid:0) (cid:0)

ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 2.1.10. Gi

ươ Gi ả i ệ h ph ng trình Bài 2.1.11.

+ y

+ y 2

= 2

(1)

ﾡ

x y ( ,

)

5 +

0 +

2(7

( + 1) 3(5

(

11)

(2)

(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ợ ể

ố ạ

ệ

ậ

ỹ

Bài 2. K thu t nhân liên h p đ tìm hàm s đ i di n

ả ươ ấ ươ ệ ươ ề Khi gi i ph ng trình, b t ph ng trình hay h ph ng trình thì ặ ấ Đ t v n đ .

ươ ứ ụ ạ ằ ạ ợ ph ự ng pháp nhân liên h p có s c công phá khá m nh, nh m m c đích là t o d ng

ử ủ ầ ạ ộ ươ nhân t chung. Trong ph n này, tôi khai thác m t khía c nh khác c a ph ng pháp

ụ ằ ậ ợ ộ nhân liên h p là nh m m c đích cô l p m t cách nhanh chóng 2 bi n ừ ế x, y. T đó thúc

ố ạ ể ả ệ ệ ệ ậ ạ ế ẩ đ y vi c nh n d ng và phát hi n ra hàm s đ i di n đ gi i quy t bài toán.

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 2.2.1

ọ ẫ ỏ ớ ệ ) ề ( Trích d n: Đ thi h c sinh gi i l p 12Ngh Annăm 20132014

= +

ệ ươ ớ ươ ươ ươ ị ng trình xác đ nh v i m i ọ x, y. Ph ng trình (1) t ng đ ớ ng v i L i gi ờ ả . H ph i

ﾡ ��

ﾡ �

= + t

t ( )

t ( ) 1

t 2

t ( )

ﾡ

ố ạ ệ +) Xét hàm s đ i di n

ồ ươ ạ nên hàm s ố ế đ ng bi n trên . Khi đó ph ng trình trên có d ng

�

y = -

= - x

= - y

f x ( )

y ( 2 )

x 2

�

(

2 (**)

ươ ượ . Th ế vào ph ứ ng trình th (2), ta đ c

g u ( )

ﾡ

ệ ố ạ +) Xét hàm s đ i di n Có

ồ ươ ạ nên hàm s ố ế đ ng bi n trên . Khi đó ph ng trình trên có d ng .

x y ( ;

)

;

13 1 12

� 1 � � �

�� 1 , ��

� � � �

- - -

ệ ươ ệ ậ . H ph ng trình có nghi m ế +) K t lu n

ộ ướ ấ ự ng khai thác khác cũng r t t nhiên t ừ ươ ph ng trình (1) là chúng Bình lu n. ậ M t h

ươ ể ắ ợ ử ư ể ử ụ ta có th s d ng ph ng pháp nhân liên h p đ b t nhân t chung nh sau.

ﾡ �

� � x

+ > 4

+ + > " 2 x 0,

+ -

ﾡ �

+ > 4

�� y 2

4 2

> " y 0,

+ + +

+ -

vì

ﾡ

> " 0,

x y ,

4 2 +

x + + 4

(cid:0)

ươ ệ nên Do đó ph ng trình (*) vô nghi m.

= + + - � x x x x + x x 3 4 2 (3 - = x 1) + - x 4 + 2 ( 1)

ả ươ +) Gi i ph ng trình

x y ( ;

)

;

13 1 12

� 1 � � �

�� 1 , ��

� � � �

- - -

ệ ươ ậ ệ V y h ph ng trình có nghi m

ứ ấ ử ụ ư ậ ố ạ ệ ầ Nh v y, trong cách trình bày th nh t chúng ta đã s d ng 2 l n hàm s đ i di n, ta

ươ ố ồ ứ ố ờ ọ g i là ph ng pháp hàm s l ng hàm s thì trong cách trình bày th hai l i gi ả ẽ i r

ộ ướ ử ụ ươ ợ hoàn toàn m t h ng khác, đó là s d ng ph ộ ng pháp nhân liên h p. Đây là m t

ụ ự ệ ủ ấ ầ ạ ớ công c cũng khá t nhiên và r t m nh. V i tinh th n đó, không gian làm vi c c a bài

ị ơ ấ ẫ ở ơ ở toán tr nên thoáng đãng h n và bài toán tr nên h p d n, thú v h n.

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 2.2.2

ờ ả . Ta có và L i gi i

ủ ệ ươ ệ ề ị Khi đó đi u ki n xác đ nh c a h ph ng trình là

(1)

ậ +) Nh n xét

ế ủ ươ ượ Nhân 2 v c a ph ng trình ớ v i ta đ c

ố +) Xét hàm s Ta có

ﾡ

ậ Nh n xét

ế ố ị ươ ạ Nên hàm s ngh ch bi n trên . Khi đó ph ng trình (3) có d ng

Th vào ph

ế ươ ượ ng trình (2) ta đ c

Khi đó ph

ươ ở +) Đ t ặ ng trình (4) tr thành

ươ ệ ậ Nh n xét ph ng trình (5) có 1 nghi m là t=1

+) Xét hàm s ố Ta có

. Khi đó ph

ế ươ ệ ồ Nên hàm s ố đ ng bi n trên ng trình (5) có 1 nghi m là t=1 V i ớ

ệ ươ ệ ậ ậ : V y h ph ng trình đã cho có nghi m là ế +) K t lu n

ả ươ ử ụ ươ ặ ẩ i ph ng trình (4) chúng ta đã s d ng ph ng pháp đ t n ph ụ Bình lu n. ậ Đ ể gi

ớ ươ ể ử ụ ố ạ ệ ồ ế ợ k t h p v i ph ờ ng pháp hàm s đ i di n. Ngoài ra chúng có th s d ng đ ng th i

= - - - x a = x b = x c 12 , 15 , 20

ư ặ ẩ ề 3 n ph ụ nh sau. Đ t đi u ki n ệ Khi đó ế ợ , k t h p

ệ ươ ớ v i (4) ta có h ph ng trình

a 2

�

= � x

1 2

� �

� � �

= ) 12 = ) 15 =

(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) -

a b a c )( + a b b c )( c a c b )(

)

+ ab bc + ab bc + ab bc

- = x - = x - = x

( � � ( � � ( �

a � � = b � � c �

- (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ụ ươ . Gi ả i ệ h ph ng trình Ví d 2.2.3

+ x y

(cid:0)

)

(

) (

= y

2015

+ - 1

+ - 2 1

(1)

+ y

200

672

716

+ 2

= 10

0 (2)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0)

(cid:0) (cid:0) -

ệ ề ị ậ Đi u ki n xác đ nh . Nh n xét ờ L i gi ả . i

ﾡ

> x

> y

+ - 1

+ - 2 1

x y ,

" (cid:0)

ươ ượ +) Ta có ph ng trình (1) đ c vi ế ạ t l i thành

�

- - - -

)

(

= x

2015

+ - 1

2015

+ + 2 1

2015

+ - 2 1

y 2015 [

+ - 2 y )

(

1 (

)]

)

(

t ( )

t 2015

+ - 1

.ﾡ

ố ạ ệ +) Xét hàm s đ i di n trên Có

)

(

+ - 2 t

t '( )

t 2015

+ - 1

t ln 2015 2015

= 1

t 2015

ln 2015

t 2

1 + 2

� � �

- - -

�

ﾡ �

1;ln 2015 1

ln 2015

1 + 2

ﾡ

t 2015

+ - > t 1

> 1

- " " (cid:0)

và +) Có

ﾡ

> t '( ) 0,

t ( )

(1)

ﾡ

" (cid:0)

ồ ươ Do đó nên hàm s ố ế đ ng bi n trên . Khi đó ph ng trình

x= -

= -� x

f x ( )

(

)

y .

(2)

ươ ượ Th ế vào ph ng trình ta đ c ph ươ ng có d ng ạ

+ 3

trình

- + x

200

+ x 672

+ 716

- = 10

0 (3)

- -

x(cid:0)

10.

(cid:0)

Ta trình bày theo 2 cách sau: ề ị ệ +) Đi u ki n xác đ nh

+ 3

ậ ươ ệ ề ạ ổ ng trình có 1 nghi m là ế x=6. Khi đó ta bi n đ i (3) v d ng Cách 1: Nh n xét ph

�

200

+ x 672

720 (

+ 2 2)

2) 0

- - - - - -

�

+ 2 x

(

6)(

+ 120)

( 10 x 6 = - + x 10

- - - - -

�

+ 2 x

(

6)(

+ 120)

(

1 - +

1 = - + x

2 2

x 6 + - + x 2 2 � � �

� � �

- - - - -

�

+ 2 x

(

6)(

+ 120)

(

x 2 = - + x

(

10 - + 2 2)( 10 2

- - - - - - -

+ x

-� x (

2 6) (

20)

(

- +

- + x

(

2 2)( 10

2)( 10

= 2)

- - - -

�

(

2)(

10)

- +

- + x

(

2 2)( 10

2)( 10

� � �

- =

- - - - -

� x ( � � 6 0

(

2)(

= 10)

(4)

- +

- + x

(

2 2)( 10

2)( 10

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) - - - (cid:0)

0, 2

(

2)(

10) 0.

+ x

(

+ 2 2)( 10

2)( 10

x(cid:0)

(cid:0) (cid:0) - - (cid:0) - - - - - (cid:0)

x =

Vì nên Mà

ươ ệ ươ ệ ng trình (4) vô nghi m. Do đó ph ng trình trên có nghi m

Nên ph 49

x y = ( ; )

(6; 6)

ệ ươ ấ ậ ậ . V y h ph ệ ng trình có nghi m duy nh t là ế +) K t lu n

]

+ x

( 10

[ 2 (10

)

(

= 2)

- - (cid:0) - -

ấ ẳ ụ ứ Cách 2: Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopski, có

�

= x

6 (*)

- + x

- - - (cid:0)

+ 3

ừ ả T đây, ta có . D uấ x y ra

��

200

+ x 672

720 0

(

2 6) (

2)(

� 10) 0

- - - - -

Khi đó ta có đánh giá sau

x =

(

2)(

10) 0

10 (**)

x =

x(cid:0)

- - (cid:0) (cid:0)

+) Mà nên Khi đó ho c ặ ho c ặ .

ế ợ ượ ươ ệ ấ K t h p (*) và (**), ta đ c ph ng trình (3) có nghi m duy nh t là x=6

x y = ( ; )

(6; 6)

ệ ươ ấ ậ ậ . V y h ph ệ ng trình có nghi m duy nh t là ế +) K t lu n

xy y

1 =

+ - 1

(1)

ﾡ

x y ( ,

)

3 =

(

)

x xy

(2)

- (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0)

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 2.2.4

+ (cid:0)

�ﾡ

� � x

> x

+ + 2 1

ﾡ

1 0,

x y ,

- " " (cid:0)

ậ ờ ả . Nh n xét và L i gi i

- (cid:0) (cid:0) xy x y 0, 0.

ủ ệ ươ ệ ề ị +) Đi u ki n xác đ nh c a h ph

+ -

1 1

1 y

�

)

(

+ - 2 x

+ - = 1 1

+ - 2 1

1 = y 3

(3)

1 > y

+ -

)

(

- ng trình là )

1 1 3

+ - 2 1

> x 3

Khi đó (1) (

suy ra . Khi đó ph

ươ ươ Do ng trình (3) t ng đ ươ ng

ươ ớ v i ph ng trình

ố +) Xét hàm s Ta có

t ( )

ﾡ

Do và

ồ Nên suy ra hàm s ố ế đ ng bi n trên .

(2)

ươ ạ Khi đó ph ng trình (4) có d ng

ươ ượ Th ế vào ph ng trình ta đ c

ủ ệ ề ị ươ +) Đi u ki n xác đ nh c a ph ng trình (3) là

ậ ượ ệ ố ứ ạ c h đ i x ng lo i 1. Cách 1. Đ t ặ thì ta nh n đ

ệ ươ ở ề Đ t ặ đi u ki n ệ thì h ph ng trình trên tr thành

ậ ượ ủ ệ ươ +) V i ớ ta nh n đ c nghi m c a ph ng trình (3) là

ươ ở ng trình (3) tr thành Cách 2. Đ t ặ thì ph

ặ ươ ở Đ t thì ph ng trình (4) tr thành

+) V iớ

+) V i ớ

ệ ệ ậ . H có nghi m là ế +) K t lu n

ả ươ ở ấ ằ i ph ng trình (3) trên chúng ta th y r ng t ấ ả t c Bình lu n. ậ Qua 2 cách gi

ữ ươ ỷ ả ằ ươ ượ ệ nh ng ph ng trình vô t i b ng ph gi ng pháp l ng giác hóa có nghi m t ườ ng

ứ ệ ệ ẹ ả ướ ạ ượ minh t c là có nghi m ‘đ p’ mà không ph i là nghi m d i d ng l ng giác thì

ể ả ằ ươ ơ ả ừ ề chúng ta đ u có th gi i bài toán b ng ph ư ư ng pháp c b n nh nâng lũy th a, đ a

ặ ẩ ụ ờ ả ẹ ọ i gi ơ ấ i cho nó còn đ p và g n gàng h n r t ề ạ v d ng tích, đ t n ph mà đôi khi l 51

ề ớ ươ ượ ươ ượ nhi u so v i ph ng pháp l ng giác hóa. Tuy nhiên ph ng pháp l ng hóa l ạ ỏ i t

ệ ớ ươ ỷ ớ ạ ệ ượ ư ra u vi t v i các ph ng trình vô t có nghi m v i d ng l ng giác.

ố

ậ ủ Bài t p c ng c

(

+ + 1

)(

+ + 4

= ) 1

(1)

ﾡ

x y ( ,

)

+ + 2 x

= y 5 2

1 10

(2)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0)

ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 2.2.5. Gi

(

1)(y

= 1) 1

(1)

ﾡ

x y ( ,

)

= 2 3 )

x 2 . 1

(2)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0)

ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 2.2.6.. Gi

ệ ệ Đáp số. H có nghi m là

3 )(

(

(1)

ﾡ

x y ( ,

)

x +

3) = y

)

2 ) (4 3 3

+ 2

2 (2)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - (cid:0) (cid:0)

ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 2.2.7. Gi

ướ ổ ươ ề ạ ế ẫ . Bi n đ i ph ng trình (1) v d ng H ng d n

ố Xét hàm s Có

ệ ươ ệ ấ ng trình đã cho có nghi m duy nh t là Đáp số. H ph

ứ ể

ố ạ

ể

ệ

ậ

ỹ

Bài 3 K thu t chia bi u th c đ tìm hàm s đ i di n

ả ệ ươ ố ạ ệ ề ấ ằ ố ề Gi i h ph ng trình b ng hàm s đ i di n thì đi u m u ch t là ặ ấ Đ t v n đ .

ả ượ ố ạ ề chúng ta ph i tìm đ ệ c hàm s đ i di n. Tuy nhiên trong nhi u bài toán chúng ta

ể ượ ố ạ ự ệ ế ệ ả không th nhìn ra ngay đ ổ c hàm s đ i di n mà ph i th c hi n các phép bi n đ i

ế ổ ế ứ ế ự ế ộ ọ ầ c n thi t. M t trong các phép bi n đ i h t s c quan tr ng và thi u t ấ nhiên nh t

ế ủ ả ươ ộ ạ ượ ệ chính là phép chia c hai v c a ph ng trình nào đó trong h cho m t đ i l ng nào

ậ ượ ươ ươ ươ ươ ượ đó mà ta nh n đ ộ c m t ph ng trình t ng đ ng. Ph ng trình thu đ ặ c có đ c

ể ậ ượ ố ạ ể đi m là chúng ta có th quan sát và nh n ra đ ệ ầ c hàm s đ i di n c n tìm. Phép chia

ư ế ỏ ặ ọ ọ ươ ố nh th ta g i là ‘phép chia xu ng’. Câu h i đ t ra là ta ch n ph ng trình nào trong

ạ ượ ệ ố ầ ệ ể ự h đ th c hi n phép chia xu ng và chia cho đ i l ng nào. Thao tác đ u tiên là quan

ươ ệ ả ả ờ sát xem ph ng trình nào trong h mà chúng ta nghi ng có kh năng s n sinh ra hàm

ủ ệ ể ặ ươ ố ạ s đ i di n, sau đó tùy vào đ c đi m c a ph ng trình đó mà ta chia cho đ i l ạ ượ ng

,x y

ộ ứ ụ ạ ẳ ố ườ ặ ậ nào. Ch ng h n phép chia xu ng có m t ng d ng th ế ng g p là làm cô l p hai bi n

ươ ằ ở ỗ ế ủ ế ươ trong ph ng trình, hai bi n này n m m i v c a ph ể ng trình đ thu n l ậ ợ i

ổ ặ ố ạ ế ệ ệ ố ộ ệ trong vi c xét hàm s đ i di n. Phép chia xu ng là m t phép bi n đ i đ c bi t và có

ứ ụ ệ ả ệ ươ ầ ọ ng d ng quan tr ng trong vi c gi i h ph ng trình nên tôi dành riêng ph n này đ ể

ề ế ổ trình bày v phép bi n đ i đó.

(

1)(

1) (1)

ﾡ

x y ( ,

)

x + 1 - = x

+ y

+ x 3 4(

(2)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0)

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 2.3.1

> -

ử ề ẫ ) ố ( Trích d n: Đ thi th THPT Qu c giachuyên Vĩnh Phúc năm 2016

x y

1 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0)

+ +

�

(

[(

1) 1]

+ +

+ x +

+ +

x x

x x ( x 1(

1) 1)

ề ệ ị ế ủ ả ờ ả . Đi u ki n xác đ nh . Khi đó chia c 2 v c a (1) cho ta đ cượ L i gi i

ươ ph ng trình

(

)

) 1

3 � � �

+ + = + + + = + + + � y y y y y + + 1 1 1 1 (3) + + x x 1) + x x + x x + x x 1( 1) x x ( + x 1( 1) 1 1 � � � �

+ >

ﾡ

= + 3 t

t ( )

= t t ( ) 3

1 0,

(cid:0) " (cid:0)

(

�

x + x

� � �

�= x �+ x 1 �

.ﾡ

ồ +) Xét hàm s ố Có nên ế đ ng bi n

+ = 1

ươ ạ trên Khi đó ph ng trình (3) có d ng

- = x

+ x x

(2)

23 x

3 4

1 (4)

x + x

ươ ượ +) Th ế vào ph ng trình ta đ c

(cid:0)

ặ ẩ ươ ở ụ . Đ t n ph thì ph ng trình (4) tr thành ướ +)H ng 1

(cid:0) = + t 1 = - 1

�

t 3

t 4

+ 2 t 14

+ = t 4

8 0

+ 2 t (3

t 2

t 4)(

= t 2

� (cid:0) = t

- + 1

(cid:0) = t

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - - - - - (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0)

+ 2

+ +

ươ ệ ệ Khi đó ph ng trình (4) có 2 nghi m phân bi t là

�

x x

+ x

+ = x 1

1 4(

ươ . Ph ng trình (4) ướ +)H ng 2

- = + x

= 2

�

� (cid:0)

+ x

(

1 - = - 1

+ x + 2

(cid:0) - - (cid:0) (cid:0)

= +

�

3 2 3

4 3 3 2

- = x

3 0

+ = - x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0)

ả ươ Gi i ph ng trình

= -

�

1 3

5 2 13 9

41 7 13 72

+ = -

- = x

3 0

1 1 3

(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0)

ả ươ Gi i ph ng trình

x y ( ;

)

;

4 3 3 2

5 2 13 9

41 7 13 72

� 3 2 3; � � �

�� ; ��

- -

� . � � �

ệ ươ ệ ậ . H ph ng trình có nghi m ế +) K t lu n

x (cid:0)

ﾡ

y (cid:0)

4 5

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 2.3.2

ệ ế ủ ả ươ ề ả . Đi u ki n và . Chia c hai v c a ph ng trình (1) cho ta ờ L i gi i

ượ đ c

(3)

y x

1 x

5 y � � + � � x � �

5 1 � � + - x � � x � �

t ( )

ﾡ

ố ồ ế ươ +) Xét hàm s ố là hàm s đ ng bi n trên Khi đó ph ng trình (3) .

�

= y

2 1

(2)

1 x

y x

y = - x x

1 x

� � � � f � � � � � � � �

- - -

ươ Th ế vào ph ng trình ta có d ng ạ

ượ đ c

+(cid:0)

;

4 5

� 3 �

� . �

x =

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

�

+(cid:0)

ệ ậ +) Nh n xét (3) có nghi m Xét hàm s ố trên

;

4 5

f x ( )

� 3 �

�

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

+(cid:0)

ồ Có nên hàm s ố ế đ ng bi n trên và xét hàm số

;

g x ( )

= + 2

4 5

+ +

6 + 2

� 3 �

� . �

x 2( 2 x

4) 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

�

+(cid:0)

= -

trên Có

;

�(cid:0)

g x '( )

;

< 2

4 5

x 12 + 2 x 1)

(

g x ( )

� 3 �

� . �

� 4 +� 3 5 �

�

" (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1x =

ế ị nên hàm s ố ngh ch bi n trên

x y = ( ; )

(1;0)

ươ ệ ấ Khi đó ph ng trình (3) có nghi m duy nh t là

ệ ươ ệ ấ ậ . H ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t là ế +) K t lu n

+ x

= y

) 2

(1)

ﾡ

x y ( ;

)

= x

3 2 12

- + x 6

(2)

(cid:0) - - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0)

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 2.3.3

x x

2 + (cid:0) y

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ủ ệ ệ ề ị ươ ườ ờ ả . Đi u ki n xác đ nh c a h ph ng trình . Ta xét các tr ợ ng h p L i gi i

�

= - y

(1)

+ = 2

).0

- = x

=� x

= -

ươ N u ế thì ph ng trình

y = -

32 36 36

+ + = 8 12 2 5 3

ươ ượ Th ế vào ph ng trình (2), ta đ c (lo i)ạ

�

= x

+ = y

= -� y

(1)

0 6 2

ươ N u ế thì ph ng trình

x y = ( ; )

(2; 2)

+ > y

ạ ủ ệ ươ Tóm l i thì ệ không là nghi m c a h ph ng trình đã cho.

ờ ế ủ ươ +) Bây gi ỉ ta ch xét ả Khi đó chia c 2 v c a ph ng trình (1) cho

+ x

> y

ứ ể ượ ươ ươ ươ ươ bi u th c ta đ c ph ng trình (1) t ng đ ớ ng v i ph ng trình

)

+ 2 )

)

�

(3)

- - - - - - - -

1 x

x + x

y y

2 x

+ x 6 ( + x

y y

x 6 ( + x

y y

2 2

4 2 2

6 (2 2 2 2

- - -

= -

g t ( )

g t '( )

1 0,

+� � (0; )

6 - < " 2 t

g t ( )

(0;

)+(cid:0)

ố ạ ệ Xét hàm s đ i di n . Ta có

ế ả ị ữ ứ ể ơ Nên hàm s ố ngh ch bi n trên kho ng , h n n a các bi u th c Khi đó

ươ ph ng trình (3) có ạ d ng

�

+ x

- = x

+ x

= - � y

(2 2

= )

(

)

2 2

4(2

= + x )

8 5

- -

= -

8 5

(2)

ươ ượ ươ Thế vào ph ng trình ta đ c ph ng trình

= 2

�

+ - x

3 2 6

- = 3 3

1 2( 6

)

- - - - -

�

(

+ 1) 1

= 2

3 ( 6

+ 2 2 x 3 )

(

3 1) 6

+ 3

(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - - (cid:0) (cid:0)

- = x

1 0

(4)

x (cid:0) + 1

(5)

(cid:0) - (cid:0) (cid:0)

3 ( 6

+ 2 2 )

(

3 1) 6

+ 3

(

(cid:0) - - - - (cid:0)

2 1) " <

+ x

3 ( 6

+ 2 2 )

(

3 1) 6

+ x 3

(

x + 2

x > 4

� 3 � �

2 � � �

- - - - - - -

> " < x 0,

Vì

3 ( 6

+ - 2 2 x ) (

3 1) 6

+ - 2 x 3

(

- -

nên

3 3

- x - = x 1 0 (4).

ả ươ +) Gi i ph ng trình

< x

- (cid:0)

ủ ệ ươ ề ệ ỏ Ta xét các nghi m c a ph ng trình (4) th a mãn đi u ki n

ươ ở Đ t ặ Khi đó ph ng trình trên tr thành

ﾡ

�

8 cos

b 6 cos

b 2 cos 3

b cos 3

(

)

1 2

b ��(cid:0) b

p = - + 9

p k 2 3 p k 2 3

�

cos

2cos

b cos

2cos

b cos

p 2cos

x 1

x 2

x 3

p 5 9

7 9

(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Cho

(

]

2; 2

x x x 1 2 3

ậ ươ ệ Nh n xét. Trên thì ph ng trình (4) có 3 nghi m là

ặ ươ ươ ậ ố ệ M t khác ph ng trình (4) là ph ng trình b c ba nên có t i đa 3 nghi m

2 cos

p 2 cos

p 5 9

7 9

ậ ươ ệ V y ph ng trình có 3 nghi m là

ệ ươ ệ ậ . H ph ng trình đã cho có 3 nghi m là ế +) K t lu n

x y ( ;

)

2 cos

p ; 8 10 cos

;8 10 cos

p ; 8 10 cos

5 9

7 9

� � �

p �� , 2 cos ��

� . � �

- - -

ể ươ ệ ươ ng trình (1) trong h ph ng trình thông Bình lu nậ . Chúng ta có th khai thác ph

ả ươ ặ ẩ ụ ư qua góc nhìn cu ph ng pháp đ t n ph không hoàn toàn nh sau:

+ x

+ x x (

+ )

= 6 2

- - - -

ế ổ ươ ề ạ . Bi n đ i ph ng trình (1) v d ng ướ +) H ng 1

+ 2

x t .

= 1) t 6 2

(cid:0) - - - -

D =

ươ Đ t ặ , ta đ c ượ . Xem đây là ph ậ ng trình b c 2

+ 1)

24(2

)

- - -

ố n ẩ t, x là tham s . Có

= -

t 1

< x

6 2

�

2 2

= y

2 2

8 5

(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - - - (cid:0) (cid:0)

Khi đó

ượ ệ Tìm đ c hai nghi m là

y b ,

x a , (

- (cid:0) (cid:0)

ươ ứ ấ . Đ t ặ thì ph ng trình th nh t trong h ệ ướ +) H ng 2

ươ ở ph ng trình tr thành

�

= y

2 2

8 5

� � � b

ab + >

3 0

- -

nên ta có

Vì

ể ả ươ ả Ngoài ra chúng ta có th gi i ph ng trình thông qua góc nhìn cu ph ươ ng

ố ạ ệ ị ướ pháp hàm s đ i di n theo các đ nh h ng sau đây

ử ụ ớ . S d ng máy tính CASIO fx570 VN PLUS v i công c ụ SHIFT CALC ướ +) H ng 1

ượ ượ ừ v i ớ ta thu đ c nghi m ệ ệ Thay nghi m vào căn th c ứ ta đ c T đây chúng ta có th ể

ố ạ ự ệ ỏ ươ ươ d báo hàm s đ i di n là th a mãn ph ng trình Khi đó ph ng trình

ươ ạ Xét hàm s ố Ta có Khi đó ph ng trình trên có d ng

ệ . Đ t ặ Ta có h sau ướ +) H ng 2

ế ủ ừ ộ ươ ệ ượ C ng t ng v c a hai ph ng trình trong h trên, ta đ c

ố ạ ươ ạ Xét hàm s đ i di n ệ Ta có Ph ng trình có d ng

+ =

3 (4

+ y ) 3 2

(1)

ﾡ

x y ( ;

)

= y 3 2

(2)

+ +

x 2 x 2

x 1

(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0)

. Gi

ươ ể

ấ ượ ấ ủ ệ ệ ể ệ

ng trình là h cho ta đ ứ ể ộ ph

ồ ề ệ ồ ệ ấ ph

ả ươ tích bên ph i ph

ươ ẽ ệ ừ ố ề ộ ấ ứ ng trình th nh t cho

c ta s chia hai v c a ph ộ ươ ế ủ ạ ụ ề ể ấ

y 2 (4 2 ) 3 2

- - - ụ ả ệ ươ ng trình i h ph Ví d 2.3.4 ấ ở ạ Phân tích. C u trúc c a h ph ng trình khá c ng k nh, tuy nhiên đi m h m nh ả ệ ươ ề nh t cu h ph c d u hi u c ng k nh đ công phá h này ươ ể ắ ầ ừ ở không th b t đ u t ng trình th hai trong h . Ngoài ra có m t đi m h cũng ắ ế ở ạ ứ x khác khá m nh là cách s p x p ng trình th nh t trong h rõ ràng cho ta ế ở ạ ắ ư ớ ắ ứ i s p x p không nh ng l ng trình ch a m t th a s đ u g n v i x2, đi u này g i m đ x2 đ bi n ở ượ ợ ề ể ế ứ ươ ổ ng trình th nh t v m t d ng khác. C th sau khi chia, ta có đ i ph 4 3 1 - + = + 2 3 x x x ậ ượ ế . Ở ươ ph ứ ả c v ph i có ch a

3 2y

1 (3 2 ),

4 2

- - - ng trình này ta nh n đ = + y

ậ ả và ta hoàn toàn tách đ c ượ

= y

3 2 ,y

y (4 2 ) 3 2

+ y ( 3 2 )

- - - - - ứ ế v y là ta có v ph i là đa th c y 3 2 .

ớ ạ ượ ng

th t v y ta bi n đ i ủ

ằ ẳ ậ ậ ế ươ ể ổ ứ ng trình này theo h ng đ ng th c

ậ ế b c ba v i đ i l ặ M t khác, chúng ta có th tách v trái c a ph 1 � �- . 1 � � x � � ươ ứ ấ ệ ở Khi đó ph ng trình th nh t trong h tr thành

ấ ố ạ

i đây c u trúc c a hàm s đ i di n đã rõ ràng. ị ệ ủ ệ ề ệ i.

ớ ủ và t ờ ả Đi u ki n xác đ nh c a h là L i gi 60

+ >

ﾡ

t ( )

= t t ( ) 3

1 0,

ươ +) Khi đó ph (cid:0) " (cid:0) ứ ấ ế ướ ạ i d ng ng trình th nh t vi = + = 3 ﾡ t t t f y . ( ) t d t ,

.ﾡ

ố ạ ệ +) Xét hàm s đ i di n Có nên

ươ ạ ế ồ đ ng bi n trên Khi đó ph ng trình (3) có d ng

= - y

3 2

1 x

ệ ươ ươ ượ ng trình, ta đ c

vào ph ươ

= + 1

(4)

1 x

2 x

1 x

2 x

1 � �+ 2 � � x � �

� � � � �

3 � � + � � � � � �

� � = � � 3 � � � �

3 � � + � � 3 � � � �

� � � �

ế ủ +) Th ế ả Chia c hai v c a ph ng trình th hai trong h ph c ượ ứ x, ta đ ng trình cho

ﾡ

g u ( )

u u ,

.ﾡ

(cid:0)

�

(5).

1 x

2 x

1 x

2 x

� � � �

� � g � � 3 � � � �

� � � �

ố ạ ệ ế ồ +) Xét hàm s đ i di n Có nên đ ng bi n trên

�

+ - = x

1 0

1 x

2 x

1 x

2 x

� � � �

6 � � = � � 3 � � � �

3 2 � � � � � = 1 � � � � � � � � � � �

= -

5 1 2 + 5 1 2

ươ ạ Ph ng trình (4) có d ng (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

=� y

5 1 2

- -

ử ạ ượ ươ Th l i, thay giá tr c a ị ủ x tìm đ c vào ph ng trình (5) ta có

x y ( ;

)

5 1 3 ; 2

� = � � �

� � � �

- -

ệ ươ ậ . H ph ế +) K t lu n

ệ ng trình đã cho có nghi m là ố ậ ủ Bài t p c ng c

+ +

(

1 1)

+ 16 4

(1)

ﾡ

x y ( ,

)

+ 2 x y

9(1

)(2

= 8)

3(2

(2)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - (cid:0) (cid:0)

ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 2.3.5. Gi

ệ ươ ệ ng trình có nghi m là Đáp số. H ph

= 4

+ 4

(1)

(

2 y x 3 )

4 y 3 )

(

ﾡ

x y ( ,

)

+ +

(2)

5 2

+ = 3

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2015

2014

2030

2016

ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 2.3.6. Gi

(1)

ﾡ

x ( , y

)

+ =

(2)

8 2

x x (3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 2.3.7. Gi

(

)

x y ;

;

6 89 5

� � � �

�� , ��

� � � �

- - - - -

2015

2014

4030

2016

ệ ệ Đáp số. H có nghi m

(1)

ﾡ

x ( , y

)

162

27 3

(2)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 2.3.8. Gi

(

)

x y ;

cos

;

p cos

;

p cos

� � � �

p �� , cos ��

� � � �

ệ ệ Đáp số. H có nghi m

ậ ử ụ

ố ạ

ể

ệ

ầ

ỹ

Bài 4. K thu t s d ng máy tính c m tay đ tìm hàm s đ i di n

= y

) 2

(1)

ﾡ

x y ( ;

)

- =

+ 3 x

y 3 (14 10 )

(2)

(cid:0) - - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 2.4.1 . Gi

�

= y

) 2

= ) 2

- - - - - - -

ươ ng trình Phân tích. Xét ph

ộ ươ ứ ế ể ấ ượ ắ Đây là m t ph ng trình ta nhìn th y hai v có nhóm bi u th c đ ầ ế c s p x p g n

y =

100

x y , .

ắ ẽ ư ượ ể ắ ố ạ ư ề ầ gi ng nhau. Tuy nhiên, đ ch c ch n s đ a đ c v hàm đ i tr ng, ta c n đánh giá

ệ ủ ế ố ươ ở ề v m i quan h c a các bi n ta có ph ng trình tr thành Xét

= x

) 2

100 796.

- -

ử ụ ầ ớ S d ng máy tính c m tay CASIO fx570 VN PLUS v i công c ụ

,x y

x = -

197.

1x =

ượ ệ ệ ữ ể ố SHIFT CALC v i ớ ta thu đ c nghi m Đ tìm m i quan h gi a ta

100,

= - ( 197) 3 2.100

= -

y 3 2 .

- - 197 ệ ớ ể ễ v i ớ ễ ủ ầ c n liên h v i cách bi u di n c a ể đó là bi u di n . Do

ấ ẳ ứ ề đó ta đ xu t đ ng th c

- a 3 = y = - a y 3 2 , 2 ề ệ ờ ả . Đi u ki n Đ t ặ khi đó ta có L i gi i

)

�

- = x

) 2

- = x ) 2

) 2

(3)

ươ ệ ượ ư ế Khi đó ph ổ c bi n đ i nh sau - - ứ ấ ng trình th nh t trong h đ a 8(3 - - - - -

y =

=� y

= 4

= x

=� x

) 2

1 2

- - -

thì

. N u ế . N u ế x=2,

1 2

+) N u ế x=2 thì y = < < x a 2; 2

thay vào (1) ta có 81+1=0 (vô lý) nên . Do đó

t ( )

-� � (

;2)

= -

�

f x ( )

f a ( )

3 2

- - ) 2 ố ặ ư +) Xét hàm s đ c tr ng v i ớ ế ố ồ là hàm s đ ng bi n.

ạ Khi đó ph ng trình (3) có d ng .

+ = x

+ 3 x

3 (5

3 (4)

3 2

- - ươ = -

x =

1 5

ươ ượ +) Th ế vào ph ng trình (2) ta đ c

ươ ươ ng trình (4)

+ x

không là nghi m c a ph + 3 3

+ - 3

�

= x

+ - 3 x

3 2

+ x 4 x

x 6 x 5

2 1

- - - ậ Nh n xét + 3 x ng trình (4). Do đó ph 3 = - - - - ệ 2 x 6 x 5 ủ + x 2 1

+ +

�

= x

3 2

+ = - 3

+ = 2

(cid:0) (cid:0) -

x ��(cid:0) x

3 0

- (cid:0)

ki m tra không

ể +)Xét

+ + �۹ x 3 2

+ 2

+ - 3

ỏ ươ ờ ươ th a mãn ph ng trình. Bây gi ta xét ng trình

(

x 3 2 )

�

3 2 )( 3

- - -

+ + 3 x x + +

+ x 4 + +

4 x

+ x 4 x

3 2

- -

trên

+ = 2

3 0

+ = 2

3 0

+ 2

�

(

1 + +

1 x

3 2

� � 5 �

� = � x �

1 + +

1 x

= x

3 2

= +

2 4 3 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ế ợ ệ ề ệ K t h p đi u ki n thì (4) có nghi m là

ươ ệ ấ ệ ậ . H có ph ng trình đã cho có 1 nghi m duy nh t là ế +) K t lu n

ờ ả ươ ở ử ụ ươ i gi i ph ng trình (4) trên chúng ta đã s d ng ph ng pháp Bình lu nậ . Trong l

ạ ự ố ắ ớ ợ ử ộ ộ thêm b t hàm s v ng, nhân liên h p và t o d ng nhân t chung. M t góc đ khác đ ể

ả ươ ử ự ươ ặ ẩ ụ gi i ph ng trình (4) là s d ng ph ụ ể ng pháp đ t n ph không hoàn toàn. C th là

�

+ + 3 x

(

3 6

= 2

- - -

ươ ph ng trình (4)

+ 1)

= 2

+ 3 3,

- - - (cid:0)

thì ph

D =

ươ ở Đ t ặ ng trình trên tr thành

4(6

x 2 )

+ = 2 x 2

1 (

- - - - -

Có

(

(cid:0) = t

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) - - -

- + - x 1) 2 1) 2

(cid:0) (cid:0)

ươ ệ nên ph ng trình trên có 2 nghi m là

�

+ = 3 3

x 3

1 0 + 2

1 = +

3 ��(cid:0) x

+ = x

2 0

4 3 2

- (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

ườ ế ợ ng h p 1. N u +) Tr

�

+ = 3

x 3

+ = 2

2 ��(cid:0) x

3 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0)

= +

4 3 2,

ườ ế ợ ng h p 2. N u +) Tr

ươ ệ ậ . Ph ng trình đã cho có nghi m là ế +) K t lu n

- + x

- = y x

(1)

- +

+ 3 x

+ 2 x

x y

= x 4

6(2)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0)

ụ Ví d 2.4.2 . Gi ả ệ ươ i h ph ng trình

3 100

+ 100

100 1000000

x =

100

- -

y =

100

ở (1) tr thành Phân tích CASIO. Đ t ặ . Sử

y =

9.998000101.10

ớ ta thu ụ d ng máy tính CASIO fx570 VN PLUS v i công c ụ SHIFT CALC v i ớ

ượ ệ ệ ệ đ c nghi m ấ Nghi m này trong máy tính đang là nghi m r t .

ể ệ ượ ư ệ ệ ậ ớ l n và không th hi n đ c nghi m. Vì v y ta truy tìm nghi m nh sau:

= 11

�

9.998000101.10

9.10

9.998000101.10

�

= � y

9.10

9800010100

+ 4

- -

�

= 10 9.10 + 8 9998.10

10000 100 (10000 2).100

999800010100 + 10000 100

+ 2

�

+ 4 x

�

x ( - = x

= 2 x

- = y

+ x 2

(

)

3 x

- = x

- - -

hay

ế ấ ậ Do đó đ n đây ta nh n th y

ứ ể ệ ấ ậ ộ ở ươ ể V y đ xu t hi n các bi u th c trên, ta c ng thêm ế ủ hai v c a ph ng trình (1) và

f x ( )

(

)

t ( )

y(cid:0)

ư ặ ặ đ t hàm đ c tr ng ể ư ề ạ đ đ a v d ng

�

- + x

- = y x

+ 3 x

- + + y

- = y

(2)

ủ ệ ệ ề ị ộ ở ờ ả . Đi u ki n xác đ nh c a h là . C ng thêm ế ủ hai v c a ph ươ ng L i gi i

ượ trình (1) ta đ c

ﾡ

t ( )

t t ;

= t t '( ) 3

+ > " 1 0;

(cid:0) (cid:0)

t ( )

.ﾡ

ư ặ +) Xét hàm đ c tr ng Ta có

ươ Do đó hàm s ố ế ồ đ ng bi n trên ậ Vì v y ph ạ ng trình (2) có d ng

�

+ x

- = y x

+ � x

- = y

(

= )

f x ( )

- -

- = x

vào ph

ươ ượ Thay ng trình (2) ta đ c:

+ �

+ x

+ 2 x

- = 3 x

x x (

) 6 0

(

+ 3

+ 4)

(

2) 0

+ 2

- - - - - -

�

+ x

+ 2 x

(

2)(

+ 2)

(

= 2) 0

(

2)(

+ 3

3) 0

- =

�

= y

1 0

- - -

Do đó

x y = ( ; )

(1; 1)

ệ ươ ộ ặ ệ ấ ậ ậ . V y h ph ng trình có m t c p nghi m duy nh t là ế +) K t lu n

(1)

ﾡ

x y ( ,

)

= 9 0 + 3

+ 2

x 11 + x

= y

+ x

+ y 2 + 21

1) 2

(2)

(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0)

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 2.4.3

ấ ầ ả fx570 VN PLUS cho c hai Phân tích CASIO. B m máy tính c m tay CASIO

nguyên suy ra

.(1)

ươ ớ ẻ ế ợ ề ệ ph ng trình v i l ế . Đi u này ta nghĩ đ n vi c k t h p hai

và b m máy tính v i các giá tr là

k =

1, 2, 3, 4

ươ ệ ấ ấ ớ ị ph ng trình trong h . L y (2)

và y=0. C th ta có

+ 3

+ 2

ụ ể

+ x

+ 21

+ x (2

1) 2

+ x 11

= 2

k =

- - - - - -

và

1x -

ế ượ ớ ị ủ ộ ố ả K t qu thu đ c v i giá tr c a ị ủ ta có m t s giá tr c a ư nh sau.

đ tìm giá tr c a căn

ị ủ ừ ị ủ ể ế ả Thay t ng giá tr c a vào . K t qu thu đ ượ c

- = 1

ớ ươ ứ ự ẳ ta đem so sánh v i giá tr c a ị ủ y t ng ng và ta d đoán ứ Đ ng th c

+ =

ơ ở ể ế ươ ố ạ ệ này là c s đ chúng ta nghĩ đ n ph ng pháp hàm s đ i di n.

23 y

3 (2

1) 2

+ +

ấ ượ ờ ả . L y (2)2.(1) ta đ c L i gi i

- + x

(

1) 2(

+ = 1)

1) 2

1 2 2

y +

+ 3

- -

�

y + = 1)

(

( 2

2 2

1 (3)

- -

ﾡ

t ( )

t t 2 ;

= t t '( ) 3

+ > " 2 0;

(cid:0) (cid:0)

t ( )

.ﾡ

ố ặ ư +) Xét hàm s đ c tr ng Ta có

ươ Do đó hàm s ố ế ồ đ ng bi n trên ậ Vì v y ph ạ ng trình (3) có d ng

+ = 1

- - - � f x x f y ( + = 1) ( 2 1) + = y 1 2 1.

ươ Th ế vào ph ng trình (1) ta

+ x 11

11 0

- =

2 2

1 2

+ x 11

+ 3

=(cid:0) x x

1 5

2 ��(cid:0) 4

165

+ x 250

125 0

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x y = ( ; )

(1, 0), (5; 2)

đ c ượ

ệ ươ ệ ậ ậ . V y h ph ng trình đã cho có nghi m là ế +) K t lu n

ậ ặ ẩ

ụ ể

ố ạ

ệ

ỹ

Bài 5. K thu t đ t n ph đ tìm hàm s đ i di n

ả ươ ấ ươ ươ ề Khi gi i ph ng trình hay b t ph ng trình thì ph ặ ẩ ng pháp đ t n ặ ấ Đ t v n đ .

ụ ể ố ạ ệ ầ ươ ả ố ươ ế ph đ góp ph n tìm ki m hàm s đ i di n là t ệ ng đ i hi u qu . Ph ng pháp đó

ượ ệ ả ươ ằ ươ ế ụ ti p t c đ c phát huy trong vi c gi ệ i h ph ng trình b ng ph ng pháp hàm s ố

ử ụ ụ ể ứ ệ ẩ ổ ươ ạ đ i di n. Chúng ta s d ng n ph đ làm thay đ i hình th c ph ng trình nào đó

ệ ươ ớ ươ ượ ễ ượ trong h ph ụ ng trình v i m c đích trong ph ng trình thu đ c d tìm đ c hàm s ố

ừ ả ừ ế ươ ệ ệ ạ đ i di n và t đó gi i quy t bài toán. Tùy theo t ng ph ng trình trong h mà chúng

ộ ố ử ụ ụ ụ ụ ể ẩ ẩ ọ ữ ta s d ng 1 n ph hay 2 n ph . Ta xét m t s ví d sau đ minh h a cho nh ng

phân tích trên.

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 2.5.1

ọ ẫ ỏ ớ ọ ị ) ề (Trích d n: Đ thi h c sinh gi i l p 12Nam Đ nh năm h c 20132014

ừ ươ ươ ở T ph ng tình (1) ta đ t ặ thì ph ng trình (1) tr thành

ố ạ ế ệ ươ ồ Xét hàm s đ i di n đ ng bi n trên . Khi đó ph ặ ẩ ạ ng trình (3) có d ng Cách đ t n

ỉ ặ ẩ ụ ụ ữ ph trong ví d trên là không hoàn toàn (ch đ t n ph v i n ụ ớ ẩ x, n ẩ y gi nguyên)

ế ủ ụ ươ ệ ấ ố ể ớ v i m c đích đ 2 v c a ph ng trình (1) có c u trúc gi ng h t nhau. Th ế vào

ươ ệ ượ ph ng trình (2) trong h ta đ c

ệ ươ ệ ậ . H ph ng trình có nghi m là ế +) K t lu n

ứ ấ ng trình th nh t chúng ta đã dùng ph ng pháp đăt n ph

ệ ụ ẩ ự ế c tr c ti p hàm

ươ ố ạ ế ươ ổ

có d ng ạ

, đ nế

ươ ế ề ạ ng trình v d ng sau . Khi đó ph ng trình

ả ư

c k t qu nh trên. ả ệ ươ i h ph ượ ế . Gi ng trình ươ Bình lu n. ậ Trong ph ể ấ ượ ấ ể ệ đ làm xu t hi n hàm s đ i di n, tuy nhiên chúng ta có th th y đ ệ b ng cách bi n đ i ph ằ ố ạ s đ i di n ố ồ ệ là hàm s đ ng bi n trên ố ạ Xét hàm s đ i di n đây ta thu đ ụ Ví d 2.5.2

( Trích d n: Đ thi chính th c Đ i h c kh i A năm h c 2013

ứ ạ ọ ố ọ ề ẫ )

ﾡ

(cid:0) (cid:0)

ủ ệ ươ ề ệ ị ờ ả . Đi u ki n xác đ nh c a h ph ng trình là L i gi i

(

- + 0.

(cid:0)

ừ ươ ậ ứ ệ Nh n xét: T ph ng trình th hai trong h , ta có

+ (cid:0)

ừ ươ ở T (1) ta đ t ặ thì ph ng trình (1) tr thành

' f u ( )

1 0,

u 4 4

f u ( )

+ + 2

u u ,

" (cid:0) (cid:0)

+ (cid:0)

f u ( )

[0;

ố ạ ệ Có +) Xét hàm s đ i di n

+ 4

�

= x

ươ ạ nên hàm s ố ế ồ đ ng bi n trên Khi đó ph ng trình (3) có d ng

f t ( )

f y ( )

+ - = y

42 y

4 0 (4)

- = 1

+ 4 1

ượ ng trình (2) ta đ c

vào ph ộ ủ

+ (cid:0)

+ - y

g y ( )

(cid:0) " (cid:0) ươ ệ 0 +) Thay ậ ươ ố y=1 là m t nghi m c a ph Nh n xét ng trình (4). M t khác, xét hàm s + = = 7 ' y g y ( ) g y ( ) 7 ặ 1 0,

+ (cid:0)

[0;

ta có nên hàm s ố đ ngồ

x y = ( ; )

(2;1)

ế ả ươ ấ bi n trên kho ng Do đó ph ng trình (4) có duy nh t nghi m ệ y=1.

ệ ươ ệ ậ ậ . V y h ph ng trình đã cho có nghi m là

ế +) K t lu n 69

ứ ấ ng trình th nh t chúng ta đã dùng ph ng pháp đăt n ph

ệ ụ ẩ ự ế c tr c ti p hàm

ươ ố ạ ế ươ ằ ổ ề ạ ng trình v d ng sau đây:

+ + 4 y 2

- = x 1

y .

t ( )

+ + 2

+ (cid:0)

t ( )

- ươ Bình lu n. ậ Trong ph ể ấ ượ ấ ể ệ đ làm xu t hi n hàm s đ i di n, tuy nhiên chúng ta có th th y đ ệ b ng cách bi n đ i ph ố ạ s đ i di n ) 4 ( + + 2 (cid:0)

Ta xét hàm s ố [0;

ế ề ồ ươ Có hàm s ố đ ng bi n trên mi n Khi đó ph ạ ng trình (1) có d ng

�

= x

+ 4 y

(

= 1)

f y ( )

- = x 1

ế

ừ ươ ế Đ n đây cho ta k t qu nh trên. ể ắ ươ ử +) Ngoài ra, t ph ả ư ằ chung b ng ph ng pháp nhân

(1;0)

ng trình (1) ta có th b t nhân t x y = ( ; )

ướ ế ậ ủ ệ ươ ợ liên h p. Tr c h t, nh n xét ệ không là nghi m c a h ph ng trình nên

> y

> x

+ + 1

- + 1

> y 1,

> "

+ 4

ỉ ta ch xét x>1 và y>0. Khi đó

= y

(

+ - 1

+ 2)

(

) 0

- -

�

2) +

c vi ế ạ t l ượ 2 - - - - - - -

y - + 4 x

1 - + 1

(

- + x 1

1 2 )(

)

ng trình (1) đ y x y x ờ ươ Bây gi ph + + 4 ( 1) ( + + 1 i thành 4 y x 1 + + 4 1

�

= �

- = 4 y

(

1 0

1 2 )(

- + x 1

(

- + 1

1 + + 1

+ 2

� � � �

� = � � ) �

- - -

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 2.5.3

ề ệ ươ ươ ươ ớ ờ ả Đi u ki n và . Khi đó ph ng trình (1) t ng đ ng v i L i gi i.

ố ồ ươ ạ +) Xét hàm s ố ế là hàm s đ ng bi n trên . Khi đó ph ng trình trên có d ng

ươ ượ ế +) Th vào ph ng trình (2) ta đ c

ử ụ ớ fx570 VN PLUS v i công c ụ Phân tích CASIO. S d ng máy tính CASIO

ượ ứ ệ c nghi m là vào căn th c ta đ c SHIFT CALC v i ớ ta thu đ . Thay ượ Do đó ta th cự

ố ắ ứ ư ệ ớ hi n thêm b t các hàm s v ng vào các căn th c nh sau

ừ ươ . T ph ng trình (3) có ậ +) Nh n xét

ế ợ ề ệ ượ ớ K t h p v i đi u ki n ta đ c . Khi đó ta có các đánh giá

ươ ượ ư ế Ph ng trình (3) đ ổ c bi n đ i nh sau:

ậ +) Nh n xét: Do

ươ ươ ươ ớ Khi đó ph ng trình (4) t ng đ ng v i

ế ợ ề ệ ớ +) K t h p v i đi u ki n

ệ ươ ệ ậ ậ . V y h ph ng trình đã cho có nghi m là ế +) K t lu n

ể ệ ộ ố ụ ọ ươ ụ Sau đây tôi trình bày m t s ví d minh h a th hi n ph ặ ẩ ng pháp đ t n ph hoàn

ộ ươ ệ ể ậ ợ ơ ệ ệ toàn cho m t ph ng trình trong h đ thu n l ử ụ i h n trong vi c phát hi n và s d ng

ố ạ ệ ả ế hàm s đ i di n gi i quy t bài toán

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 2.5.4

ủ ệ ươ ề ệ ị ờ ả Đi u ki n xác đ nh c a h ph ng trình là L i gi i.

ươ ệ ở ề +) Đ t ặ đi u ki n ệ Khi đó ph ng trình (1) trong h tr thành

+) Xét hàm s ố Ta có

ế ồ ươ ạ Nên hàm số đ ng bi n trên . Khi đó ph ng trình (3) có d ng

ế ươ ượ +) Th vào ph ng trình (2) ta đ c

ủ ề ệ ị ươ Đi u ki n xác đ nh c a ph ng trình (4) là

ặ ẩ ụ Đ t n ph thì

và

ươ ở Khi đó ph ng trình (4) tr thành

+) V i ớ

ề ỏ ị ượ ệ V i ớ (th a mãn đi u ki n xác đ nh), khi đó tìm đ c

ệ ươ ệ ậ ậ . V y h ph ng trình đã cho có nghi m là ế +) K t lu n

ả ệ Gi i h ụ Ví d 2.5.5.

ủ ệ ươ ề ệ ị ờ ả Đi u ki n xác đ nh c a h ph ng trình là L i gi i.

ừ ậ ỏ +) Nh n xét. T (1) v i ớ thay vào (2) không th a mãn nên ta xét

ặ ẩ ề ươ ệ ở ụ +) Đ t n ph đi u ki n ệ Khi đó ph ng trình (1) trong h tr thành

ố ạ +) Xét hàm s đ i di n ệ Ta có

ế ồ ươ ạ Nên hàm số đ ng bi n trên Khi đó ph ng trình (3) có d ng

ế ượ +) Th vào (2) ta đ c

ủ ệ ề ị ươ ặ ẩ +) Đi u ki n xác đ nh c a ph ụ ng trình là Đ t n ph

Ta có , khi đó ta có h ệ

ườ ớ ợ . V i Khi đó +) Tr ng h p 1

ườ ợ . V i ớ (lo i)ạ +) Tr ng h p 2

ươ ệ ấ Khi đó ph ng trình (4) có nghi m duy nh t là

ệ ươ ệ ậ . H ph ng trình đã cho có nghi m là ế +) K t lu n

ố ạ ệ

ậ ử ụ

ỹ

Bài 6. K thu t s d ng hàm s đ i di n không hoàn toàn

ố ạ ệ ươ 6.1. Xét hàm s đ i di n không hoàn toàn cho 1 ph ng trình

ế ố ưở ươ ố ạ ệ ề Ti p n i ý t ủ ng c a ph ng pháp hàm s đ i di n không hoàn ặ ấ Đ t v n đ .

ể ả ươ ấ ươ ầ toàn đ gi i ph ng trình hay b t ph ng trình, trong ph n này tôi trình bày ph ươ ng

ố ạ ể ả ệ ươ ệ ướ ế pháp hàm s đ i di n không hoàn toàn đ gi i h ph ng trình. Tr c h t quan sát 1

ươ ươ ả ượ trong 2 ph ủ ệ ng trình c a h , xem ph ng trình nào có kh năng xét đ ố ạ c hàm s đ i

ố ạ ệ ở ệ ẩ ứ ủ ố ạ ư ể di n. Hàm s đ i di n đây có n là ệ t nh ng trong bi u th c c a hàm s đ i di n

ế ầ ẳ ạ ẫ ẫ v n còn bi n ban đ u, ch ng h n v n còn bi n ế x hay y

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 2.6.1

ệ ươ ớ ọ ị ng trình xác đ nh v i m i L i gi ờ ả H ph i.

ươ ươ ươ ớ Ph ng trình (1) t ng đ ng v i

ố ạ ố ẩ ố ớ +) Xét hàm s đ i di n ệ Đây là hàm s n và là tham s . Ta có v i m i ọ nên hàm

ế ồ ươ ạ số đ ng bi n trên Khi đó ph ng trình (3) có d ng

ế ượ Th vào (2) ta đ c

+) Xét hàm s nố ẩ và là tham s . ố Ta có

ế ồ ớ v i nên hàm s ố đ ng bi n trên .

ươ ạ Khi đó ph ng trình (4) có d ng

ệ ươ ệ ậ . H ph ng trình có nghi m là ế +) K t lu n

ố ể ả ệ ử ụ ạ ị 6.1. S d ng hàm s đ gi i h có d ng hoán v vòng quanh.

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 2.6.2

ọ ề ẫ ỏ ọ ố ) ( Trích d n: Đ thi h c sinh gi i Qu c gia năm h c 2002

ủ ệ ươ ệ ề ị ờ ả Đi u ki n xác đ nh c a h ph ng trình là L i gi i.

ệ ươ ươ ươ ớ +)H ph ng trình đã cho t ng đ ng v i

ố ạ +)Xét hàm s đ i di n ệ . Có

t ( )

ế ả Suy ra hàm s ố ồ đ ng bi n trên kho ng

ả ổ +) Không gi m tính t ng quát, gi ả ử s

ả ươ +) Gi i ph ng trình

ậ ị ủ ộ ươ T p xác đ nh là ậ Nh n xét ệ là m t nghi m c a ph ng trình.

g x ( )

ả ố Xét hàm s trên kho ng Ta có

ế ả ồ ươ nên hàm s ố đ ng bi n trên kho ng Khi đó ph ệ ng trình (4) có nghi m

ấ duy nh t là

ệ ươ ấ ậ ậ . V y h ph ệ ng trình có nghi m duy nh t là ế +) K t lu n

+ 2

+ y

ln(

(1)

+ 2

ﾡ

+ z

ln(

(2)

x ( , y, z

)

+ 2

+ x

ln(

(3)

- (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0)

+ >

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 2.6.3

ﾡ

1 0,

x y z , ,

" (cid:0)

ậ ờ ả Nh n xét L i gi i.

+ 2 y

+ y ln(

+ 2 z

+ z ln(

+ 2 x

+ x ln(

ﾡ

x y z (cid:0) , ,

- (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) - - - (cid:0) (cid:0) - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ề ệ ị ệ ươ Đi u ki n xác đ nh H ph ng trình đã cho

ﾡ

t '( )

;

1 + 2

1 t e

+ 2 t

t ( )

+ t ln(

� e � �

� � �

ﾡ

- (cid:0) - - -

+) Xét hàm s ố trên . Có

ﾡ ��

ﾡ �

�� 2;

> " t '( )

1 + 2

1 t e

t ( )

ﾡ

Ta có nên ế ồ đ ng bi n trên

(*).

f y ( );

f z ( );

f x ( ).

(cid:0) (cid:0)

ả ổ +) Không gi m tính t ng quát, gi ả ử s Ta có

= = y

(*)

(**)

f x ( )

� �� f y ( )

f z ( )

(**)

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

Khi đó ế ợ . K t h p và ta có

�

+ 2 x

+ x ln(

+ ln(

- = 2 1)

0 (4).

- - - - - -

x =

D = ﾡ

ả ươ +) Gi i ph ng trình

ậ ị ậ ủ ộ ươ T p xác đ nh là Nh n xét ệ là m t nghi m c a ph ng trình.

g x '( )

1 x e

� e � �

� � �

+ 2 x

g x ( )

+ x ln(

,ﾡ

+ 1

� 1 � +� 2 x

- - - - -

� � � Ta có

Xét hàm s ố trên có

ﾡ ��

ﾡ �

�� 2;

> g x '( ) 0,

1 2

1 x e

g x ( )

.ﾡ

" "

x =

nên hàm s ố ế ồ đ ng bi n trên

x y z = ( ; ; )

(0;0;0)

ươ ệ ấ Khi đó ph ng trình (4) có nghi m duy nh t là

ệ ươ ấ ậ ậ . V y h ph ệ ng trình có nghi m duy nh t là ế +) K t lu n

ậ ế ợ

ỹ

ươ

Bài 7. K thu t k t h p 2 ph

ố ạ ệ ể ng trình trong h đ tìm hàm s đ i

di nệ

ả ệ ươ ệ ằ ề Khi chúng ta gi i h ph ề ố ạ ng trình b ng hàm s đ i di n trong nhi u ặ ấ Đ t v n đ .

ề ự ế ộ ộ ươ bài toán n u chúng ta giao toàn b quy n l c cho m t ph ng trình nào đó trong h ệ

ố ạ ứ ự ệ ệ ả ả ả ấ có trách nhi m sinh ra hàm s đ i di n là b t kh kh kháng. T c là ph i có s chia

ự ế ợ ề ự ế ố ả ươ ệ ể ạ ự ẻ s quy n l c, ph i có s k t h p, k t n i hai ph ng trình trong h đ t o d ng nên

ố ố ạ ở ườ ệ ờ ả ủ ữ hàm s s đ i di n, m đ ng cho l i gi ế ố ơ ả i c a bài toán. Nh ng phép k t n i c b n

ư ế ạ ố ự ệ ế ế ộ là phép th hay phép c ng đ i s . Tuy nhiên ta th c hi n rút th nh th nào hay

ạ ố ủ ể ề ặ ộ c ng đ i s ra sao thì tùy vào đ c đi m c a bài toán và trong nhi u bài toán đ bi ể ế t

ượ ả ử ụ ủ ệ ề đ c đi u đó chúng ta ph i s d ng công ngh phân tích c a máy tính Casio.

+ 2

+ y

= 2 1)

(

3)(

+ 11 7)

(1)

x +

x (2 4 =

2 0

(2)

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) - - - (cid:0) (cid:0)

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 2.7.1

ọ ẫ ỏ ớ ọ ắ ) ề ( Trích d n: Đ thi h c sinh gi i l p 12B c Giang năm h c 2014

ệ ấ ể ớ ươ ờ ả Bài h r t khó khăn đ chúng ta phán đoán. Tuy nhiên, v i ph ng pháp L i gi i.

ừ ắ ử ệ ớ ườ ẽ ộ c ng, tr , nhân b t chéo nhân t ể chung v i ki u h này th ng chúng ta s cho hai

ằ ượ ử ể ạ ệ ạ ố căn b ng nhau và tìm đ c các phép th đ t o m i quan h ’ ghép và t o’ tìm đ ườ ng

ả ế ươ ư ứ ậ ạ gi i quy t vì tuy ph ng trình th hai có d ng b c hai nh ng không cho delta chính

ươ ươ ừ ế ế ươ ph ấ ng. L y 2 ph ng trình tr cho nhau v theo v ta có ph ng trình

= y

- + y 6

9 2

+ - 2 x 4

+ 2 (

+ 3)

11 0

�

+ = 2

(

�

x (2 )

+ = 2

(

2 (*)

- -

ươ ể ệ ố ạ ủ ệ ả ầ ấ Ph ng trình (*) đã th hi n rõ c u trúc c a hàm s đ i di n mà ta c n ph i tìm.

(

)

ﾡ

t ( )

t 2

2 +

ﾡ

t ( )

" (cid:0) (cid:0)

t ( )

ﾡ

+) Xét , có nên

ế ồ ươ hàm s ố luôn đ ng bi n trên . Khi đó ph ạ ng trình (*) có d ng

�

x= 2

x (2 )

f y (

- -

ươ ượ Th ế vào ph ứ ng trình th hai, ta đ c ph ươ ng

=� y

+ x

= (cid:0) 19 0

= -� y

5 3 5 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

trình

x y ( ;

)

;

5 3

� 9 � � �

� � 9 , � � � � � �

� � � �

- -

ệ ươ ệ ậ . H ph ng trình có nghi m là ế +) K t lu n

+ + 2

+ -

+ 2 x y

2 x y

2)( 4

= 1 1) 8

(

(1)

2 x y

1 3 - + = x

2 0

(2)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 2.7.2.

ử ố ọ ề ẫ ) (Trích d n: Đ thi th chuyên Vĩnh Phúc kh i A năm h c 2013

ớ ệ ệ ệ ầ ậ ấ ươ ứ ả V i h này vi c đ u tiên nhìn vào h ta nh n th y ph ng trình th hai ờ L i gi i.

ư ậ ẽ ẩ ư ế ế ệ ơ trong h cho ta phép rút th , nh ng n u nh v y đã s đ y bài toán còn khó khăn h n

y (cid:0)

ấ ạ ươ ấ ở ầ lúc đ u nên t ư ưở t ng này th t b i. Quan sát ph ng trình (1) ta th y ế ế hai v n u mà

y >

y (cid:0)

x y ( ;

)

ươ ế ả ươ ệ ể ế thì v trái d ng còn v ph i không d ệ ng, do đó h không th có nghi m

ở ệ ế ệ ầ ặ ừ mà đó do đó h này n u có nghi m thì c n . M t khác t (2), ta

>� x

2x y

+ +

( 4

1 1)( 4

+ - = 1 1)

ả ủ ế ế ơ có mà n u tách v ph i c a (1) theo thì còn th a ừ ữ , h n n a

ạ ế ợ nên ta l ụ ể i nghĩ đ n phép nhân liên h p. C th ,

+ -

+ + 2

+ - = 2

+ 2 x y

2 x y

+ - 2 y

(

1 3

2)( 4

1 1)( 4

1 1) 8

( 4

1 1)

+ -

+ - 2

�

2 x y

+ - 2 x

+ = 2 x y

2 x y

1 3

+ = 2

( 4

1 1)

2 2

+ 4

1 (3)

+ + =

+ +

2 x y

1 2

= - x

2 x y

ươ ươ ươ ớ ph ng trình (1) t ng đ ng v i

x >

ừ ế ượ +) T (2) ta có th vào (3) ta đ c

+ +

y (2 )

1 2

(4)

1 x

1 2 x

1 + = x

t ( )

+ + 1

ế ủ ả ươ ươ ở V i ớ chia c hai v c a ph ng trình trên cho thì ph ng trình tr thành

+ (cid:0)

t ( )

(0;

ố ạ ệ +) Xét hàm s đ i di n Có

�

y (2 )

1 x

1 � �= � � x � �

nên ế ồ đ ng bi n trên Khi đó (4) có d ngạ

ế ợ ớ ươ K t h p v i ph ng trình (2), ta đ ượ ệ c h là

�

1 2

2 �

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

xy 2 x y

1 - + = x

2 0

x � � = y �

=� xy � � x

4 1 8

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

x y ( ;

)

1 � � 4; � � 8 � �

ệ ươ ệ ậ . H ph ng trình đã cho có nghi m là ế +) K t lu n

- =

+ 2

+ y

e 1 2 ln(

(1)

ﾡ

x y ( ;

)

- =

+ 2

+ x

1 2

ln(

(2)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ﾡ

x y (cid:0) ,

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 2.7.3

ề ị ệ ượ ế ệ ả Đi u ki n xác đ nh Khi đó h đ c vi t l ạ i ờ L i gi i.

+ 2

+ y

2 ln(

+ 2

+ x

2 ln(

1 = x e 1 = y e

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

ế ủ ừ ộ ươ ệ ượ C ng t ng v c a 2 ph ng trình trong h trên, ta đ c

+ x

+ y

2 ln(

+ = 2 1)

+ y 2 ln(

(3)

1 + x e

1 + y e

- -

ﾡ

+ 2

t '( )

+ t

t ( )

2ln(

2 + 2

1 t e

� e � �

� + � �

ﾡ

1 + t e

" (cid:0) -

=� x

t ( )

f x ( )

f y ( )

ﾡ

+)Xét hàm s ố trên Có .

- =

+ 2

ồ ươ ạ Nên hàm s ố ế đ ng bi n trên . Ph ng trình (3) có d ng

�

+ x

e 1 2 ln(

+ 2 ln(

= 1) 0 (4)

1 x e

- -

ả ươ +) Gi i ph ng trình

ậ ươ ệ Nh n xét ph ng trình (4) có 1 nghi m là x=0

x g'( )

+ 2 x

g x ( )

+ x 2ln(

2 2

1 x e

� e � �

� � �

.ﾡ

1 x e

- - -

trên Có Ta Xét hàm s ố

ﾡ

g'( ) 0,

1 x e

g x ( )

2 + � � �� 2; + 2 x

" (cid:0) "

x =

ﾡ

Nên hàm s ố đ ngồ có

x y = ( ; )

(0;0)

ế ươ ệ ấ bi n trên . Khi đó ph ng trình (4) có nghi m duy nh t là

ệ ươ ệ ấ ng trình đã cho có nghi m duy nh t là ậ ậ . V y h ph +) K t lu n ế

ệ ươ ứ ệ . Ch ng minh h ph ng trình có đúng 2 nghi m ụ Ví d 2.7.4

ủ ệ ề ị ệ ươ Đi u ki n xác đ nh c a h ph ng trình là ờ L i gi ả i.

(*)

�(cid:0) �

(cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

2 � � 2

- (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

�

2, 67 3

- (cid:0) (cid:0)

y< (cid:0)

x< (cid:0)

ế ợ ớ ậ +) Nh n xét ề K t h p v i đi u mà

ệ ượ ươ ự ượ ki n (*) ta đ c ậ . Nh n xét t ng t ta cũng đ c

+ y

= x

= x 2

�

+ 2

(3)

- - - - - - -

ừ ế ượ +) Tr 2 v cho nhau ta đ c

22 t

t ( )

(0; 2].

- -

+)Xét hàm số trên Có

22 t

t '( )

t 2 ln 2 2

ln 2

(0; 2).

t ( )

� t � -� 2

� > � �

- " (cid:0)

=� x

f x ( )

f y ( )

(0; 2]

ế ồ Nên hàm số đ ng bi n trên

- =

4 0 (4)

ươ ạ . Khi đó ph ng trình (3) có d ng . Th ế y=x vào ph ngươ

trình (1), ta đ c ượ

g x ( )

(0; 2].

- -

ả +) Xét hàm s ố trên kho ng Ta có

< < x

x g'( )

2 ln 2 2

x 2; g'( ) 0

(5)

2 =� x

- � x � �

� .ln 2, 0 � �

h u ( )

(0; 2).

2 u

- - - -

ố ạ ệ +) Xét hàm s đ i di n trên kho ng ả Ta có

h u '( )

(0; 2)

u 2 . .ln 2 2 2 u

2 ( .ln 2 1) 2 u

2 ( 2 ln 2 1) 2 u

- - - " (cid:0)

h u ( )

(0; 2).

ế ả ị ươ nên hàm s ố ngh ch bi n trên kho ng Khi đó ph ạ ng trình (5) có d ng .

�

= x

h x ( )

( 2

)

g x =

'( ) 0

- -

x = (cid:0)

1 (0; 2).

ậ ươ V y ph ng trình có đúng 1 nghi mệ

ươ Do đó ph ng trình có đúng 2 nghi mệ

ệ ươ ệ ng trình đã cho có đúng 2 nghi m. ậ ậ . V y h ph +) K t lu n ế

2016

(1)

y 2

ﾡ

x y ( ,

)

2016

(2)

x 2

(cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0)

ệ ươ ứ ằ . Ch ng minh r ng h ph ng trình ụ Ví d 2.7.5

ệ ệ ề ỏ có đúng 2 nghi m ( x; y) th a mãn đi u ki n

- >

1 0

- >

> >

1 0

x y

0 0

1 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ủ ệ ươ ề ệ ị . nên ờ ả Đi u ki n xác đ nh c a h ph ng trình là và L i gi i.

ế ủ ừ ừ ươ ệ ượ Tr t ng v c a 2 ph ng trình trong h trên, ta đ c

t ( )

t 2

(1;

)+(cid:0)

- -

" > t

t '( )

+) Xét hàm s ố trên kho ng ả . Ta có

t (

(1;

)+(cid:0)

t ( )

- -

đ ng bi n trên kho ng

ế ả ồ nên hàm s ố

=� x

(3)

f x ( )

f y ( )

y .

+ x

ươ ở ươ Khi đó ph ng trình tr thành Th ế vào ph ng trình

�

2016

= 2016 0

(4)

x 2

(2)

- - - -

ượ ta đ c

> x

x g'( )

g x ( )

2016

x 2

(

(1;

)+(cid:0)

- - - - -

" > x

x g''( )

x 3 2

+) Xét hàm s ố trên . Ta có

(

'( ) g x

- -

+(cid:0)

x = g'( ) 0

(1;

ế . Nên hàm s ố ả ồ đ ng bi n trên kho ng và

ươ ố ơ Khi đó ph ng trình có t ữ ệ i đa 1 nghi m. H n n a

�

g'(2)

0;g'

< .g'(2) 0

' ( ) g x

11 � � < � � 10 � �

11 � � � � 10 � �

1 3 3

� e � �

� > � �

11 � � ; 2 � �� 10

x = g'( ) 0

và hàm s ố ụ liên t c trên

11 � � ; 2 � �� 10

(4)

ươ ệ ấ ộ ươ nên ph ng trình có duy nh t 1 nghi m thu c Khi đó ph ng trình .

ệ ươ ệ ệ có đúng 2 nghi m và h ph ng trình đã cho có đúng hai nghi m.

ƯƠ

Ộ Ố

Ầ

ƯỜ

Ặ

NG 3

. M T S SAI L M TH

Ả NG G P KHI GI I

ƯƠ

Ấ

ƯƠ

Ệ ƯƠ

NG TRÌNH, B T PH

NG TRÌNH, H PH

NG TRÌNH

Ằ

ƯƠ

Ố Ạ

Ệ

B NG PH

NG PHÁP HÀM S Đ I DI N

ả ặ ấ

ử ụ ươ ươ ả

ệ ươ ấ ị ươ

ấ ằ ề. Trong quá trình gi ầ ữ ằ ươ ng trình b ng ph ầ ữ

ố ạ

ng g p ph i khi s d ng ph ươ ườ ạ ể ừ ả ầ ệ

ượ ủ ủ ề ệ ng pháp và hoàn thi n ph

ấ c các góc c nh c a v n đ , chi u sâu c a ph ả ươ ố ạ ề ủ ư ế ệ

a b ( ;

t ( )

)

ộ ng pháp i toán khi chúng ta s d ng m t ph Đ t v n đ ươ ỏ i ph ng ng pháp gi nào đó thì cũng không tránh kh i nh ng sai l m nh t đ nh, ph ệ ố ạ ng pháp hàm s đ i di n cũng ng trình hay h ph trình, b t ph ữ ậ ầ không n m ngoài nh ng qui lu t đó. Trong ph n này tôi trình bày nh ng sai l m mà ệ Ở ươ ử ụ ặ ọ đây tôi phân ng pháp hàm s đ i di n . h c sinh th ấ ọ đó h c sinh th y tích, phân lo i các sai l m trên các ph ng di n khác nhau đ t ươ ạ đ ng ắ ạ ầ i toàn c nh c a lý thuy t hàm s đ i di n nh sau pháp. C n nh c l = y

ế ế ặ ả +) Cho hàm s ố ị ồ đ ng bi n (ho c ngh ch bi n) trên kho ng Khi đó và

a b ( ;

)

ươ ph ạ = ng trình có d ng t ( )

ế ả ấ ươ +) Cho hàm s ố ồ đ ng bi n trên kho ng và Khi đó b t ph ng trình có

a b

t ( )

a b ( ;

)

u, v ( ;

ạ d ng (cid:0)

ế ả ị +) Cho hàm s ố ngh ch bi n trên kho ng và Khi đó b tấ

ươ

ư ế ạ

ữ ị ọ ị

ạ

ạ ướ ươ

ầ ị ủ ẽ ầ ế

ế

ề

ầ

ạ ng trình có d ng ph ọ ị ắ ự ế Đ nh lý tuy ng n g n là th nh ng trong th c t có nh ng bài toán vi ph m các ắ ụ ậ ế ủ ả ẩ thi t c a đ nh lý nên khi v n d ng đ nh lý này h c sinh m c tiêu chu n trong gi ụ ể ầ ề ư ầ ộ ố ả ph i nhi u lo i sai l m. C th là tôi s trình bày m t s lo i sai l m chính và đ a ữ ụ ắ ng kh c ph c nh ng sai l m đó trong các ph n sau đây. ng h ra ph Bài 1. Sai l m liên quan đ n mi n giá tr c a các bi n

ặ ấ ả ươ ấ ươ ươ ề. Khi gi i ph ng trình, b t ph ằ ng trình b ng Đ t v n đ ệ = ng trình hay h ph t ( )

u, v ( ;

a b ( ;

)

ươ ố ạ ố ạ ệ ệ ỏ ph ọ ng pháp hàm s đ i di n, h c sinh xét hàm s đ i di n (cid:0) ồ th a mãn đ ng a b )

ặ ế ế ả . N u h c sinh ch a ch ra đ

ế ậ ộ ế ỉ ặ ế ạ ậ

ượ c ộ ế ộ ư ơ ở ể ươ ắ ụ ể ể ể ầ ọ

a b

u, v ( ;

)

ọ ị bi n (ho c ngh ch bi n) trên kho ng . Khi đó ph ng trình có d ng là m t k t lu n thi u c s ho c m t k t lu n sai ầ l m. Đ kh c ph c ki u sai l m này thì h c sinh có th tri n khai m t trong hai ướ h ng sau đây. (cid:0)

ứ ượ ặ ở ộ ả ả . H c sinh ph i ch ng minh đ c

)

(

)

a b ; 1 1

ọ ( ướ +) H ng 1 a b ) ( ; ho c m r ng kho ng đang t ( )

(

ộ ố ạ ệ xét thành sao cho u, v thu c kho ng và hàm s đ i di n

a b ; 1 1

ả )

ế ả

ờ ả ủ ng đi khác cho l i gi i c a bài toán

ươ ng trình ị ặ ồ ế đ ng bi n ho c ngh ch bi n trên kho ng ọ ế ế ộ ướ ướ . H c sinh đi thi +) H ng 2 t k m t h ả ụ i ph . Gi Ví d 3.1.1

ứ ạ ọ ố ọ ề ẫ ) ( Trích d n: Đ thi chính th c Đ i h c kh i D năm h c 2006

ệ ị ươ ng trình i.

ề ờ ả Đi u ki n xác đ nh L i gi ố ặ +) Xét hàm s đ c tr ng Có = y ư f t ( )

. (th aỏ

ồ ế ế ươ ạ đ ng bi n bi n trên Khi đó ph ng trình (*) có d ng

ấ ươ ậ ậ . V y ph ng trình trên có duy nh t 1 nghi m là

ộ ầ ể

ạ ụ ể ắ ầ ệ thì bi u th c có th không ờ i x=1 ứ ể ộ ố i đi khác cho l

ả i đúng cho bài toán.

ươ ươ ươ ớ ng v i ng đ

ng trình đã cho có 2 nghi m là ậ ậ . V y ph

ươ ở

ệ ng trình đã cho tr thành ệ ng trình đã cho có 2 nghi m là ậ ậ . V y ph

ươ ng trình đã cho Do đó hàm s ố mãn) ế +) K t lu n ắ ờ ả i bài toán trên đã m c m t sai l m là khi +) L i gi ộ ẳ thu c ch ng h n khi Đ kh c ph c sai l m này ta đi tìm m t l ả ủ i c a bài toán. Sau đây tôi trình bày 3 cách gi gi Cách 1. Ph ng trình đã cho t ế ươ +) K t lu n Cách 2. Đ t ặ Khi đó ph ươ ế +) K t lu n Cách 3. Ph

ươ ở Đ t ặ Khi đó ph ng trình (*) tr thành

ươ ệ Có nên ph ng trình (**) có 2 nghi m là

ươ ệ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có 2 nghi m là ế +) K t lu n

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 3.1.2

t ( )

ệ ươ ớ ọ . ị ng trình xác đ nh v i m i L i gi ờ ả H ph i.

. Do đó hàm s ố

ố ế ị +) Xét hàm s Ta có luôn ngh ch bi n trên đo n ạ . Khi đó (1)

có d ng ạ

ế ơ ở ư ế ậ ẳ ị ượ +) K t lu n trên là thi u c s vì chúng ta ch a kh ng đ nh đ ị ủ c giá tr c a các

ứ ể ụ ự ố ể ề ể ắ bi u th c Đ kh c ph c s c này chúng ta đi tìm hi u mi n giá tr th c s ị ự ự

ệ c a ủ t ừ ươ ph ng trình (2) trong h đã cho.

Đ n đây kh ng đ nh trên m i hoàn toàn đúng. Th

ươ ế ẳ ớ ị ứ ng trình th (2) ta có ế ừ +) T ph

ươ ượ vào ph ng trình (2), ta đ c

ệ ệ ậ . H có nghi m ế +) K t lu n

+ 3 y

+ x 9

(1)

ﾡ

x y ( ,

)

- + x

= y

(2)

= 22 1 2

(cid:0) - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

. Gi ụ Ví d 3.1.3

ả ệ ươ i h ph ng trình ề ẫ ứ ạ ọ ọ ố ) ( Trích d n: Đ thi chính th c Đ i h c kh i A năm h c 2012

ậ ệ ậ ng trình th nh t trong h có các bi n có tính cô l p nên i

�

- = x

12(

(

- - - - - - ấ ờ ả . Nh n th y ph L i gi ố ạ ả kh năng xét hàm s đ i di n là r t cao. Ph + 1) ứ ấ ươ - = 3 1) ươ ệ 3 ế ươ ươ ớ ng trình (1) t ng v i ng đ + + 3 y y x 1) 12( 1) ( 12( ấ 9

. (3)

< 2

ấ ượ ủ ệ ầ ừ T đây chúng ta đã th y đ

�

= ' t t ( ) 3(

4) 0,

t 12 ,

t ( )

3 3 ; 2 2

� � �

- " - - " - ố ạ c hình dáng c a hàm s đ i di n c n tìm. � � � ố ạ ệ +) Xét hàm s đ i di n

t ( )

3 3 ; 2 2

� � �

�

= - y

ị ươ , khi đó ph ng trình (3)

f x (

- = + x y 1

+ f y (

Do đó hàm s ố - = 1) ế luôn ngh ch bi n trên đo n � 1 1) ạ 2

ế ơ ở . ư ậ ẳ ị ượ có d ng ạ ế +) K t lu n trên là thi u c s vì chúng ta ch a kh ng đ nh đ ị ủ c giá tr c a các

ứ ể ụ ự ố ề ể ể ắ bi u th c Đ kh c ph c s c này chúng ta đi tìm hi u mi n giá tr th c s ị ự ự

+ y

c a ủ t ừ ươ ph ng trình (2).

ưở ề ệ ể ầ ượ ề +) Do đó ý t ặ ng phát sinh là ta c n ch n mi n nghi m. Đ có đ c đi u này ta quan

ươ ứ ể ậ ươ ế tâm đ n ph ng trình th hai. Không khó đ nh n ra ph ứ ng trình th hai là ph ươ ng

ư ậ ươ ệ ử trình b c hai nh ng không có delta chính ph ng nên vi c tách nhân t ể là không th .

ươ ư Tuy nhiên chúng ổ ế ta bi n đ i ph ng trình này nh sau

- + = x y

+ y

1 2

2 2 � � � � = + � � � � � � � � �

ừ ư . T đây ta có đánh giá nh sau

�

- (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0)

+ (cid:0) y

� � � � � � �

1 2 1 + (cid:0) y 2

1 2 3 2

3 2 1 2

1 2 3 2

- (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0)

= -� y

+ = (cid:0) x 3 0

= -� y

1 2 3 2

3 2 1 2

(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ươ ượ Thay vào ph ng trình (2), ta đ c

x y ( ;

)

;

3 2

1 2

1 � � 2 �

3 �� , �� 2 ��

� � �

- -

ệ ậ . H ph ng trình đã cho có nghi m là

ệ ươ ả ệ ươ i h ph . Gi ng trình ế +) K t lu n ụ Ví d 3.1.4

ứ ạ ọ ọ ố ề ẫ ) (Trích d n: Đ thi chính th c Đ i h c kh i A năm h c 2013

ủ ệ ươ ệ ề ị ờ ả Đi u ki n xác đ nh c a h ph ng trình là L i gi i.

(

) 4 + + 2

- = x 1

+ + 4 y 2

+ (cid:0)

ươ ươ ươ ớ +) Khi đó ph ng trình (1) t ng đ ng v i (3)

' f u ( )

1 0,

u 4 4

f u ( )

+ + 2

u u ,

f u ( )

" (cid:0) (cid:0)

+)Xét Có đ ngồ nên

+ (cid:0)

�

= � x

+ 4 y

(

= 1)

f y ( )

- = x 1

[0;

ế bi n trên Khi đó (3) có d ng ạ

ế ơ ở ư ẳ ẳ ị ị +) Kh ng đ nh trên là thi u c s vì chúng ta ch a kh ng đ nh đ ắ ượ . Đ kh c ể c

ự ụ ầ ươ ệ ươ ứ ph c sai l m này chúng ta d a vào ph ng trình th hai trong h ph ng trình.

(

- + 0

(cid:0)

+ (cid:0)

f u ( )

[0;

ươ ể ế ứ ổ Ph ng trình th hai có th bi n đ i thành nên t đâyừ

trên mi nề

Trên mi n này ta nh n đ

f u ( )

ề chúng ta xét hàm s ố ậ ượ ế c k t

ả ố ơ ồ ươ ứ qu là hàm s ế luôn đ ng bi n, h n n a ữ nên ph ấ ng trình th nh t

�

= x

+ 4 y

(

= 1)

f y ( )

- = x 1

+ - = y

42 y

4 0 (4)

+ 4 1

ạ ệ trong h có d ng

ươ ượ +) Thay vào ph ng trình (2) ta đ c

ậ ủ ệ ộ ươ ặ Nh n xét y=1 là m t nghi m c a ph ố ng trình (4). M t khác, xét hàm s

+ (cid:0)

+ - y

' g y

g y ( )

= ( ) 7

1 0,

g y ( )

(cid:0) " (cid:0)

+ (cid:0)

[0;

ta có nên hàm s ố đ ngồ

x y = ( ; )

(2;1)

ế ả ươ ấ bi n trên kho ng Do đó ph ng trình (4) có duy nh t nghi m ệ y=1.

ệ ươ ệ ậ ậ . V y h ph ng trình đã cho có nghi m là ế +) K t lu n

ố ạ

ủ

ế

ệ

ầ

ề Bài 2. Sai l m liên quan đ n mi n đang xét c a hàm s đ i di n

t ( )

ặ ấ ả ươ ấ ươ ệ ươ ề. Khi gi i ph ng trình, b t ph ng trình hay h ph ằ ng trình b ng Đ t v n đ

ươ ố ạ ố ạ ể ặ ệ ệ ả ọ ph ng pháp hàm s đ i di n, h c sinh có th g p ph i hàm s đ i di n th aỏ

ề ế ế ặ ả ẳ ồ ị ạ mãn đ ng bi n (ho c ngh ch bi n) trên nhi u kho ng khác nhau, ch ng h n

�

(

)

(

)

� u, v (

)

(

)

a b ; 1 1

a b ; 2 2

a b ; 1 1

a b ; 2 2

(cid:0)

ươ ộ ế ạ ậ và . Khi đó ph ế ng trình d ng là m t k t lu n thi u

ậ ầ ặ ộ ế ơ ở c s ho c m t k t lu n sai l m.

(

)

(

a b ; 1 1

a b ; 2 2

ụ ể ắ ả ườ ậ ng h p c a ế ợ ủ u, v. K t lu n trên ch ỉ ầ Đ kh c ph c sai l m này ta ph i phân chia tr

ả ờ ộ ồ ộ ỉ đúng u, v đ ng th i ch thu c m t trong hai kho ng ho c ặ t c làứ

u, v (

)

u, v (

)

� u (

� ), v (

)

a b ; 1 1

a b ; 2 2

a b ; 1 1

a b ; 2 2

(cid:0) (cid:0)

ho c ặ , còn n u ế ặ ho c ng ượ ạ c l ậ ế i thì k t lu n

ơ ở ữ ụ ế ầ ặ ọ trên là sai l m ho c thi u c s . Sau đây là ví d minh h a cho nh ng phân tích ở

trên.

(1)

1 y

ﾡ

x y ( ,

)

1 = x =

(2)

(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 3.2.1.

ứ ạ ọ ố ọ ề ẫ ) ( Trích d n: Đ thi chính th c Đ i h c kh i A năm h c 2003

(cid:0) (cid:0)

ủ ệ ươ ề ệ ị ờ ả Đi u ki n xác đ nh c a h ph ng trình là L i gi i.

= - t

t ( )

� �� ; 0)

(

+ 0;

� ).

1 t

= +

ố ạ ệ +) Xét hàm s đ i di n Có

t ( ) 1

� �� ;0)

(

+ (0;

� ).

t ( )

1 2 t

" -

ố ạ ệ ế ồ đ ng bi n trên Khi đó hàm s đ i di n

=� x

(

�� ; 0)

+ (0;

� )

f x ( )

f y ( )

ả ỗ ươ ạ m i kho ng ng trình (1) có d ng . Ph

,x y

t ( ).

ơ ở ư ế ế ậ ẳ ị ượ +) K t lu n trên là thi u c s vì ch a kh ng đ nh đ c ộ có thu c cùng

ố ạ ộ ơ ệ ả ụ ự ố ể ắ ệ ủ m t kho ng đ n đi u c a hàm s đ i di n Đ kh c ph c s c trên ta

t ( )

ế ườ ti n hành phân chia thành 4 tr ợ ng h p sau

nên ta có Th ế

ườ ế ồ ố ợ . N u thì do hàm s ế đ ng bi n trên và +) Tr ng h p 1

t ( )

ươ vào ph ng trình (2) ta có

nên ta có và thu

ườ ế ồ ố ợ . N u thì do hàm s ế đ ng bi n trên và +) Tr ng h p 2

ượ ế ả ươ ự ư đ c k t qu t ng t nh trên.

ườ ả ủ ươ ế ế . N u ế ta có v ph i c a (2) d ủ ng và v trái c a (2) âm, khi đó +) Tr ợ ng h p 3

ươ ệ ệ ph ả ng trình (2) không x y ra và h vô nghi m.

ườ ợ . N uế thì t ừ ươ ph ng trình (2) ta có +) Tr ng h p 4

ươ ệ ệ Khi đó ph ệ ng trình (2) có nghi m và h vô nghi m

ệ ươ ệ ệ ậ ậ . V y h ph ng trình đã cho có 3 nghi m phân bi t là ế +) K t lu n

ờ ố ắ ế

ươ ộ

ả i gi ủ ự ế khi chúng ta đi theo con đ

ườ

ế ờ ệ ầ i gi

ệ ọ ủ ố ạ i trên chúng ta c g ng đi theo ti ng g i c a hàm s đ i ố ạ ủ ả ng trình (1), nó cho ta m t hình nh c a hàm s đ i ứ ạ ươ ườ ng đ i ph c t p, ng này thì t ố ượ ụ ỏ ẻ ể đ áp d ng đ ự ặ ượ ng ép m c dù h ể ế ng trình (1)

ả ủ ụ ể ư Bình lu n. ậ Trong l ệ ạ di n vì cái ngo i hình c a ph ố ệ di n. Tuy nhiên th c t ế ủ ả ợ c lý thuy t c a hàm s ph i phân chia thành các tr ng h p nh l ế ả ướ ạ i quy t là t ng gi đ i di n. Vì th l i trên là có ph n g ươ ổ ố ạ nhiên. Ngoài góc nhìn c a hàm s đ i di n chúng ta có th bi n đ i ph ề ạ v d ng tích nh sau. C th

ươ Ph ng trình (1)

ườ ế ế ươ ợ . N u th vào ph ng trình (2) ta có +) Tr ng h p 1

ườ ế ế ươ ợ . N u th vào ph ng trình (2) ta có

)

= - x )

(1)

ﾡ

x y ( ,

)

ln(1 2

+ ln(1 = 2

+ xy

(2)

+) Tr ng h p 2 (vô nghi m)ệ - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0)

> -

> - y

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 3.2.2

ủ ệ ươ ề ệ ị ờ ả Đi u ki n xác đ nh c a h ph ng trình là L i gi i.

t ( )

ố ạ ệ +) Xét hàm s đ i di n Có

khi đó hàm s ố

=� x

f x ( )

f y ( )

y .

ế ế ả ả ồ đ ng bi n trên kho ng (1; 0) và nghich bi n trên kho ng

,x y

ươ ạ Ph ng trình (1) có d ng

t ( ).

ơ ở ư ế ế ậ ẳ ị ượ +) K t lu n trên là thi u c s vì ch a kh ng đ nh đ c ộ có thu c cùng

ố ạ ơ ộ ệ ả ụ ự ố ể ắ ệ ủ m t kho ng đ n đi u c a hàm s đ i di n Đ kh c ph c s c trên ta

ườ ợ xét 3 tr

(1;0]

t ( )

ng h p sau đây. x y (cid:0) ,

mà hàm s ố

=� x

f x ( )

f y ( )

ườ ế ồ ợ . N u ế đ ng bi n trên (1; 0] +)Tr ng h p 1

x y (cid:0) ,

(0;1]

t ( )

ươ ạ Khi đó ph ng trình (1) có d ng

mà hàm s ố

=� x

f x ( )

f y ( )

ườ ị ợ . N u ế ế ngh ch bi n trên (0; 1] +) Tr ng h p 2

�

(1; 0],

(0;1]

ươ ạ Khi đó ph ng trình (1) có d ng

ườ ợ . N u ế ặ ho c ng ượ ạ c l i thì +) Tr ng h p 3

ươ ệ ươ ả ệ Khi đó ph ng trình (2) không x y ra và h ph ng trình vô nghi m.

y= .

Th ế

vào ph

=� y

ế ả ươ Tóm l ạ ừ ươ ph i t ng trình (1) cho chúng ta k t qu là ng

x y = ( ; )

(0;0).

ượ ệ trình (2) và ta thu đ c nghi m

ệ ươ ệ ậ . H ph ng trình đã cho có nghi m là ế +) K t lu n

(

+ = x 1

(1)

ﾡ

x y ( ,

)

+ x

x y (

= 2)

2 2

(2)

(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0)

Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 3.2.3.

(cid:0) - (cid:0)

- =

ủ ệ ươ ệ ề ị ờ ả Đi u ki n xác đ nh c a h ph ng trình là L i gi i.

=� t

t ( )

t 4 ,

+� � ).

[0;

t ( )

t 4

4 0

t ( )

ố ạ ệ +) Xét hàm s đ i di n Có

+ (cid:0)

�

(

)

+ = 1

ế ế ả ả ồ ị Khi đó hàm s ố ngh ch bi n trên kho ng [0; 1) và đ ng bi n trên kho ng

ươ ạ ( ng trình (1) có d ng

t ( ).

ơ ở ế ế ậ ư ị ượ +) K t lu n trên là thi u c s ẳ vì ch a kh ng đ nh đ ứ ể c các bi u th c

ệ ủ ố ạ ộ ộ ệ ả ơ có thu c cùng m t kho ng đ n đi u c a hàm s đ i di n

t ( )

ụ ự ố ể ắ ườ ợ Đ kh c ph c s c trên ta xét 3 tr ng h p sau đây.

�

(

)

+ = 1

x= +

ườ ị ợ . N u ế mà hàm s ố ế ngh ch bi n trên [0; 1) +)Tr ng h p 1

ươ ạ Khi đó ph ng trình (1) có d ng . Th ế vào

+ -

(

1 1)

0 1

(cid:0)

= - x � � = x �

= y � � y �

= x ��(cid:0) x

1 1 + x

= - 1

(cid:0) (cid:0)

ươ ượ ph ng trình (2), ta đ c

+� [1;

� )

t ( )

mà hàm s ố

�

(

)

+ = 1

ườ ế ồ ợ . N u ế đ ng bi n trên +) Tr ng h p 2

ế ươ ạ Đ n đây ta thu Khi đó ph ng trình (1) có d ng

ượ ế ả ươ ự ư đ c k t qu t ng t nh trên.

ườ ặ ợ . N u ế ho c ng ượ ạ c l i thì +) Tr ng h p 3

+ -

�

- < y

(

1 1)(

1) 0

- < x y (

1) 0

x + +

y y

1 1

1 < + 1

+ - x

x y (

- = 1)

(

1 1)

�� 0

x y (

� 1) 0

ặ M t khác t ừ ươ ph ng trình (2), ta có

x y = - ( ; )

( 1;0), (0; 1).

ấ ỉ ả Khi đó d u ‘=’ x y ra khi và ch khi

ệ ươ ệ ậ . H ph ng trình đã cho có nghi m là ế +) K t lu n

ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 3.2.4. Gi

ớ ậ ọ Nh n xét, t ừ ươ ph ế ng trình (1) n u

ị ng trình xác đ nh v i m i ỏ

ế ủ ể ả ệ ươ ng trình (2) không th a mãn. ươ Ta chia c hai v c a ph

ng trình (1) cho bi u th c ế ố ậ ả ị c ượ . Khi đó

ươ ố ạ ng trình (3) có d ng

ế ơ ở ượ ư ẳ ẳ ị ị ộ ờ ả H ph L i gi i. ươ Thay vào ph ứ thu đ ờ Bây gi ta xét ỗ ệ . Nh n xét là hàm s ngh ch bi n trên m i kho ng +) Xét hàm s đ i di n ạ ph +) Kh ng đ nh trên là thi u c s vì ch a kh ng đ nh đ ộ c cùng thu c m t

luôn

ể ắ ụ ơ ệ ả ầ ươ kho ng đ n đi u. Đ kh c ph c sai l m này ta xét ph ng trình (3) ta có

ộ ộ ơ ệ ấ ả cùng d u, do đó cùng thu c m t kho ng đ n đi u ho c ặ . Khi đó là k t quế ả

đúng.

ươ ứ ệ ượ ươ ế +) Th vào ph ng trình th (2) trong h , ta đ c ph ng trình

ệ ươ ế ậ H ph +) K t lu n. ệ ng trình có nghi m

(

(1)

ﾡ

x y ( ,

)

+ 2

+ y

+ 20

(2)

x x

+ x + x

2 2

9 9

6 = 8

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - (cid:0) - (cid:0)

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 3.2.5

ề ệ ị

�

1) ln

(3)

ln(

(

ln x

ờ ả Đi u ki n xác đ nh c a h ph i. ừ ươ ủ ệ ươ ệ ấ ứ ấ ế ượ L i gi +) T ph c

ng trình là ự nhiên hai v ta đ ng trình th nh t trong h l y logarit t + y 1) ln( + y 1

t ( )

=� t

t '( )

ln t

+ (cid:0)

(0;

t ( )

(e;

. 1 ln 2 t ố ạ ệ Có +) Xét hàm s đ i di n y suy ra hàm số ). ế ả ả ị đ ng bi n trên kho ng ế và ngh ch bi n trên kho ng

,x y

ạ ồ ươ Khi đó ph ng trình (3) có d ng

t ( ).

ơ ở ư ế ế ậ ẳ ị ượ +) K t lu n trên là thi u c s vì ch a kh ng đ nh đ c ộ có thu c cùng

,x y

ố ạ ộ ơ ệ ả ụ ự ố ể ắ ệ ủ m t kho ng đ n đi u c a hàm s đ i di n Đ kh c ph c s c trên ta

ị ự ự ủ ề ể đi tìm hi u mi n giá tr th c s c a .

+ + 1

4 +

ươ ứ ệ ươ ở +) Đ t ặ Khi đó ph ng trình th hai trong h ph ng trình tr thành

1 � � . 0; � �� 2

Xét hàm s ố Có

T đó suy ra .

�

(0;

e ),

[3;

� � )

e ( ;

� ).

,x y

5 � � � � 2; � �� 2

ế ạ ồ ố ừ nên hàm s đ ng bi n trên đo n

t ( ).

ư ậ ộ +) Nh v y ừ T đó ộ không cùng thu c m t

ệ ủ ố ạ ơ ệ ả kho ng đ n đi u c a hàm s đ i di n Do đó chúng ta không có kh ngẳ

ờ ộ ướ ề ị đ nh Bây gi ẽ chúng ta r sang m t h ị ủ ng khác, đó là khai thác mi n giá tr c a

ử ụ ư và s d ng phép đánh giá nh sau

ế ố ị ặ +) Ta có suy ra hàm s ngh ch bi n trên . Do đó ế M t khác suy ra hàm s đ ng bi n

ố ồ = y 2;

. Khi đó ph

ừ ươ ươ ươ ớ ng trình (3) t ng đ ng v i Thay

x y = ( ; )

(2; 3)

ươ ứ ấ ỏ trên Do đó T đó suy ra vào ph ng trình th hai th y th a mãn.

ệ ươ ế ấ ậ ậ V y h ph ệ ng trình có nghi m duy nh t là +) K t lu n.

ệ ủ

ố ạ

ơ

ế

ệ

ầ

Bài 3. Sai l m liên quan đ n tính đ n đi u c a hàm s đ i di n

t ( )

ố ạ ệ ọ ế ề. Khi h c sinh xét hàm s đ i di n ấ ồ có tính ch t đ ng bi n trên ặ ấ Đ t v n đ

ế ề ề ị ươ ạ ẳ mi n và ngh ch bi n trên mi n và Khi đó ph ng trình có d ng ị Kh ng đ nh này là

có th thu c hai mi n khác nhau,

ơ ở ế ặ ầ ở ể ề ộ thi u c s ho c sai l m, nguyên nhân đây là

ể ể ụ ể ắ ẳ ầ ướ ch ng h n ạ . Đ kh c ph c sai l m này ta có th tri n khai 2 h ng chính sau.

ỏ ể ế ề ề ị . Chúng ta ti n hành phân chia mi n xác đ nh thành các mi n nh đ xét ướ +) H ng 1

ố ạ ề ươ ệ ố ạ ứ ệ ỗ hàm s đ i di n trên các mi n t ề ng ng, mà trên m i mi n đó hàm s đ i di n ch ỉ

ả ế ố ồ ứ ế ế ể ặ ố ị có th là hàm s đ ng bi n ho c hàm s ngh ch bi n. T c là chúng ta ph i ti n hành

ườ ả ườ phân chia tr ợ ng h p và gi ế ừ i quy t t ng tr ợ ng h p đó.

t ( )

ẹ . Chúng ta thu h p mi n ề D đang xét thành mi n ề K sao cho sao cho u, v ướ +) H ng 2

ố ạ ệ ộ ế ế ặ ồ ề K thu c mi n ề K và hàm s đ i di n ị đ ng bi n ho c ngh ch bi n trên mi n

ộ ố ụ ữ ọ ở đó. Sau đây tôi trình bày m t s ví d minh h a cho nh ng phân tích trên.

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 3.3.1.

ủ ề ị ươ ệ ờ ả Đi u ki n xác đ nh c a ph ng trình là L i gi i.

+)Xét hàm s ố Có

Ta có

ươ ự T ng t

ồ ế ế ị Khi đó hàm s ố đ ng bi n trên [1; 0) và ngh ch bi n trên [0; 1]. Khi đó

ươ ế ơ ở ạ ẳ ị ph ố ạ ng trình đã cho có d ng . Kh ng đ nh này là thi u c s khi hàm s đ i

ụ ồ ể ế ệ ế ầ ắ ị ề di n đ ng bi n và ngh ch bi n trên mi n đang xét. Đ kh c ph c sai l m này,

ủ ề ị ươ ư ề ta phân chia mi n xác đ nh c a ph ng trình đã cho thành 2 mi n nh sau.

ườ ỏ ợ . Xét các giá tr c a ị ủ x th a mãn Khi đó ta có Mà hàm s ố ngh chị +) Tr ng h p 1

ế ươ ạ ả bi n trên kho ng [0; 1] nên ph ng trình đã cho có d ng

ườ ỏ . Xét các giá tr c a ị ủ x th a mãn Khi đó ta có Mà hàm s ố đ ngồ +) Tr ợ ng h p 2

ế ả ươ ạ bi n trên kho ng [1; 0) nên ph ạ ng trình đã cho có d ng lo i

ươ ệ ậ . Ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t ấ x=0. ế +) K t lu n

ờ ả ố ạ ế ệ ồ ị i gi ỏ i trên, hàm s đ i di n th a mãn đ ng bi n và ngh ch Bình lu n. ậ Trong l

ế ể ả ắ ề ế ắ ắ ọ ề bi n trên mi n đang xét, h c sinh ph i n m ch c ch n lý thuy t đ phân chia mi n

ườ ợ ả ể ư đang xét và phân chia tr ng h p. Ngoài cách gi i trên chúng ta có th t duy bài toán

ướ ể ạ ự ợ ử ư theo h ng nhân liên h p đ t o d ng nhân t chung nh sau

ườ ợ . Xét thì +) Tr ng h p 1

ườ Xét thì +) Tr ợ ng h p 2.

ươ ệ ậ . Khi đó ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t ấ x=0. ế K t lu n

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 3.3.2.

ủ ề ị ươ ệ ờ ả Đi u ki n xác đ nh c a ph ng trình là L i gi i.

ươ +) Khi đó ph ng trình

Xét hàm s ố Có

Do đó

Ta có

và

ồ ế ế ị Khi đó hàm s ố đ ng bi n trên [15; 3) và ngh ch bi n trên [3; 9] nên

ươ ơ ở ế ạ ẳ ị ph ố ạ ng trình đã cho có d ng Kh ng đ nh này là thi u c s khi hàm s đ i

ụ ồ ế ể ệ ế ầ ắ ị ề di n đ ng bi n và ngh ch bi n trên mi n đang xét. Đ kh c ph c sai l m này,

ủ ề ị ươ ư ề ta phân chia mi n xác đ nh c a ph ng trình đã cho thành 2 mi n nh sau.

ườ ố ồ ế ế ươ : N u mà hàm s đ ng bi n trên nên ph ạ ng trình (*) có d ng +)Tr ợ ng h p 1

(lo i)ạ

ườ ế ế ố ị ươ : N u mà hàm s ngh ch bi n trên nên ph ạ ng trình (*) có d ng +)Tr ợ ng h p 2

ỏ (th a mãn).

ế ươ ệ ấ ậ ậ V y ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t là +) K t lu n.

+ 3 y

+ x 9

= 22

(1)

ﾡ

x y ( ,

)

+ 3

+ 2

= 2

+ y

(2)

7 4

(cid:0) - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0)

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 3.3.3

ươ ệ ượ ế ướ ạ ứ ấ ng trình th nh t trong h đ c vi i d ng là t d L i gi ờ ả Ph i.

�

- = x

+ y

(

12(

(

- = 3 1)

+ x 12(

(

12(

1) (3)

- - - - - - -

t ( )

ố ạ ệ +) Xét hàm s đ i di n Có

ế ế ả ồ ỗ ị Do đó hàm s ố ả đ ng bi n trên m i kho ng và ngh ch bi n trên kho ng

�

= - y

f x (

= 1)

+ f y (

- = + y x 1

Khi đó (3) có d ng ạ

t ( )

ố ạ ệ ế ậ ỏ ầ +) K t lu n trên là sai l m vì hàm s đ i di n ấ ừ th a mãn tính ch t v a

ế ừ ồ ế ị ụ ự ố ể ắ đ ng bi n v a ngh ch bi n trên là ẹ Đ kh c ph c s c này chúng ta đi thu h p

ố ỉ ơ ẹ ề ề ẹ ề ể mi n đang xét thành mi n h p h n đ trên mi n thu h p đó hàm s ch có th ể

ồ ể ế ế ặ ị ượ ứ ề ề đ ng bi n ho c ngh ch bi n. Đ làm đ c đi u đó ta đi nghiên c u mi n giá tr ị

ừ ươ ệ ươ ứ c a ủ t ph ng trình th (2) trong h ph ng trình.

ươ ệ ươ ượ ế ướ ạ +) Ph ng trình (2) trong h ph ng trình đ c vi i d ng là t d

4 +

- (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) - (cid:0)

+ y

1 2

4 � � � � � � � � � � � �

+ (cid:0) y

� � � = �� 1 � � �

� � � � � � �

1 2 1 + (cid:0) y 2

3 2 1 2

1 2 3 2

- (cid:0) - (cid:0)

�

� �

�

= - x

1 [ 2; 2],

1 [ 2; 2].

3 1 , 2 2

1 3 , 2 2

� � �

� = + y v , � �

� � �

- - - - -

t ( )

Khi đó

. Khi đó hàm s ố

ờ ố ạ ệ +) Bây gi chúng ta xét hàm s đ i di n Có luôn ngh chị

�

= - y

f x (

= 1)

+ f y (

- = + x y 1

x= -

ế ươ ạ bi n trên Ph ng trình (3) có d ng

ươ ứ ệ ượ Th ế vào ph ng trình th hai trong h , ta đ c

ệ ươ ệ ậ . H ph ng trình đã cho có nghi m là ế +) K t lu n

t ( )

ề ấ ố ờ ả ẹ ề i gi i trên là chúng ta đi thu h p mi n đang xét Bình lu n. ậ Đi u m u ch t trong l

ố ạ ệ ộ ấ ế ủ c a hàm s đ i di n ế là thành đo n ạ , m t v n đ đ t ra là n u chúng ta ti p ề ặ

ề ế ẹ ạ ả ẫ ụ t c thu h p mi n đang xét thành đo n ạ thì k t qu trên v n còn đúng vì đo n đang

t ( )

ố ạ ệ ề ỏ ư ế ị ệ xét th a mãn 2 đi u ki n là hàm s đ i di n ế ngh ch bi n và . Nh ng n u

ế ụ ữ ẹ ạ ẳ ọ ơ chúng ta ti p t c tham v ng thu h p h n n a, ch ng h n xét ạ trên đo n thì

�

= - y

f x (

= 1)

+ f y (

- = + x y 1

ư ế ố ị hàm s ngh ch bi n trên đó nh ng Khi đó

ữ ớ ỏ ỉ ữ ch đúng v i nh ng giá tr c a ị ủ x, y th a mãn còn nh ng giá tr c a ỏ ị ủ x, y th a mãn thì

ụ ậ ượ ế ả ạ ệ chúng ta không v n d ng đ c k t qu trên. Tóm l ự i, khi chúng ta th c hi n thao tác

t ( )

ệ ề ẹ ạ ạ ả ỏ ố ạ thu h p thành đo n thì đo n này ph i th a mãn 2 đi u ki n, đó là trên đó hàm s đ i

ả ơ ế ệ ặ ồ ị di n ệ ế ph i đ n đi u (đ ng bi n ho c ngh ch bi n) và

ế ổ

ự

ệ

ầ

Bài 4. Sai l m khi th c hi n các phép bi n đ i trong quá trình xây

ố ạ

ự

ệ

d ng hàm s đ i di n

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 3.4.1.

ề ệ ị ươ ờ ả Đi u ki n xác đ nh . Khi đó ph ng trình L i gi i.

ế ổ ộ ắ ầ +) Trong bi n đ i trên đã m c m t sai l m là

và cùng d u. Đ kh c ph c sai l m này ta xét 2

ể ắ ụ ứ ẳ ấ ầ ỉ Đ ng th c trên ch đúng khi

ườ ợ tr ng h p sau đây.

ườ ế ươ ươ ươ ợ . N u . Khi đó ph ng trình trên t ng đ ớ ng v i +) Tr ng h p 1

Xét hàm s ố ả trên kho ng. Có

ế ị ươ ạ Nên hàm số ngh ch bi n trên . Khi đó ph ng trình (*) có d ng

ế ợ ề ượ ớ K t h p v i đi u ki n ệ ta đ ệ c nghi m là

ườ ế ươ ươ ươ ớ ợ . N u . Khi đó ph ng trình trên t ng đ ng v i +) Tr ng h p 2

Xét hàm s ố trên Có

ế ả ị ươ ạ Nên hàm số ngh ch bi n trên kho ng. Khi đó ph ng trình (**) có d ng

ượ Mà nên ta tìm đ c

ậ ươ ệ ng trình đã cho có nghi m là ậ . V y ph ế +) K t lu n

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 3.4.2

ủ ệ ươ ệ ề ị ờ ả Đi u ki n xác đ nh c a h ph ng trình là L i gi i.

không th a mãn h ph

ậ ệ ỏ ươ ỉ ươ +) Nh n xét. Khi ng trình. Do đó ta ch xét . Ph ng trình

(2)

ư ộ ổ ổ ế ế ể ầ +) Bi n đ i nh trên là m t sai l m, vì bi n đ i trên chi đúng khi ắ Đ kh c

ự ủ ụ ể ề ể ầ ị ứ ph c sai l m đó, chúng ta đi tìm hi u mi n giá tr đích th c c a các bi u th c

t ừ ươ ph ủ ệ ng trình (2) c a h .

ừ ươ +) T ph ng trình (1) ta có

ươ ố ươ ậ Ta coi (4) là ph ậ ng trình b c hai n ẩ x còn y là tham s và (5) là ph ng trình b c hai

ể ề ệ ươ ệ ố n ẩ y còn x là tham s . Đi u ki n đ các ph ng trình (4), (5) có nghi m là

100

ươ Khi đó , ph ng trình (2)

ố ạ

ươ ạ ng trình (3) có d ng ề Khi đó ph

ượ ệ Ta có ế ng trình (1), ta đ

ệ ươ ệ ng trình đã cho có nghi m là +) Xét hàm s đ i di n ố ồ Nên hàm s đ ng bi n trên mi n ươ +) Th ế ph c ậ . H ph ế +) K t lu n

+ + x

1)(

= 1) 1

(

(1)

ﾡ

x y ( ,

)

(2)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 3.4.3.

ﾡ

x y (cid:0) ,

ậ ờ ả Nh n xét L i gi i.

ệ ươ ớ ọ ị ả ử ệ Nên h ph ng trình đã cho xác đ nh v i m i Gi s (vô nghi m)

ớ ươ ế ủ ng trình (1) v i

ươ ươ ớ ng đ ng v i 0=2 (vô lí) ế thì ph

ng trình (3) t ươ ươ ế ủ ng trình (3) cho

ế ượ ươ ế ổ c bi n đ i thành ả Nên . Nhân c hai v c a ph ậ +) Nh n xét. N u N u ế thì ta chia c hai v c a ph ả ả ủ V ph i c a ph ng trình đ

ươ Khi đó ph ng trình (4)

. Đ ng th c trên ch đúng khi

ế ổ ầ ắ ứ ẳ ỉ +) Trong quá trình bi n đ i trên đã m c sai l m là

ụ ể ầ ầ ắ ườ ợ Đ kh c ph c sai l m ta c n xét 2 tr ng h p sau đây

(5)

ườ ẳ ươ ng trình (4) ợ . N u ế thì ta có đ ng th c ứ và ph +) Tr ng h p 1

Xét hàm s ố Có

Gi ả ử s

(vô lí) nên Khi đó đ ng bi n trên

. Ph

ế ồ ươ ạ ng trình (5) có d ng

ươ ượ Th ế vào ph ng trình (2) ta đ c

ẳ ứ ợ . N u ế thì ta có đ ng th c

ườ +) Tr ng h p 2 ươ và ph ng trình

ậ +) Nh n xét

ặ M t khác, do

ườ ươ ệ Khi đó trong tr ng h p ng trình (5) vô nghi m ợ thì ph

ệ ươ ệ ậ : H ph ng trình có nghi m là

ế +) K t lu n 101

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 3.4.4

ủ ệ ệ ề ị ươ ờ ả Đi u ki n xác đ nh c a h là Ta có ph ng trình (1) L i gi i.

ớ ề ổ ế ắ ầ +) Trong bi n đ i trên đã m c sai l m vì v i đi u ki n ệ ta có

ụ ề ể ể ầ ắ Đ kh c ph c sai l m này ta đi tìm hi u mi n giá tr th c s c a ị ự ự ủ x. Ta có

�

�ﾡ

+ x

= 2

(

+ > 2 1) 1

(

= 1)

(

+ - > x 2

1 0,

>� y

- - - - - - - "

2 2 4 +

y x (

y >

y 1 + - x

2 1

- -

. Do đó đ h có nghi m thì

ể ệ ệ Khi đó

nên

(do y >0). V i ớ ta có

= +

Ngoài ra t ừ ươ ph ng trình (2) ta có

ﾡ

t '( ) 1

+ + 1

t 2

ﾡ

= + t

t ( )

" (cid:0) (cid:0)

nên hàm số

t ( )

ﾡ

Xét hàm s ố Có

�

y (2 )

ế ồ ươ ạ luôn đ ng bi n trên . Khi đó ph ng trình (3) có d ng

1 x

1 � � � � �- 1 � �

(4)

- -

108 + 2

(2)

1 x

�

+ 10 2

+ + 5

+) Th ế vào ta đ c ượ

t 2

(cid:0)

�

216

+ + 4

+ = 6

Đ t ặ

102

ươ ở +) Khi đó ph ng trình (4) tr thành

�

= x

+ 10 2

= 24 13

145 36

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ệ ươ ệ ấ ậ . H ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t là ế +) K t lu n

ƯƠ

Ạ

ƯƠ

Ấ

ƯƠ

NG 4

. SÁNG T O PH

NG TRÌNH, B T PH

NG TRÌNH,

Ệ ƯƠ

H PH

. NG TRÌNH

ạ

ươ

ấ

ươ

ừ

Bài 1. Sáng t o ph

ng trình, b t ph

ng trình t

ệ . ố ạ hàm s đ i di n

ự ể ươ ấ ươ ả ằ ề. Đ xây d ng ph ng trình hay b t ph ng trình gi i b ng ph ươ ng ặ ấ Đ t v n đ

ố ạ ự ể ệ ướ ố ạ ể ạ ự ệ ộ pháp hàm s đ i di n, ta có th xây d ng tr c m t hàm s đ i di n đ t o d ng vô

ươ ấ ươ ể ễ ố s ph ng trình hay b t ph ng trình. Đ có các bài toán d , khó khác nhau chúng ta

ố ạ ệ ừ ơ ứ ạ ế ề ể ạ ả ả ơ có th sáng t o các hàm s đ i di n t ạ đ n gi n đ n ph c t p. Đ n gi n v ngo i

ﾡ

t ( )

(cid:0)

ư ứ ủ ẳ ạ ậ ậ hình c a chúng, ch ng h n nh các hàm đa th c b c 3 là , b c 5 là

ﾡ

t ( )

t 2015 ,

(cid:0)

ứ ạ ứ ứ ậ ơ ỉ ố hay ph c t p h n là các hàm s vô t có ch a các căn th c b c 2,

ﾡ

+ + 2 9

(cid:0)

ư ậ b c 3, bâc 4, ẳ ch ng ạ h n nh

t ( )

t 4

+ - 3

� �� ; 0)

(

+ (0;

� )

1 t

ữ ệ ặ ho c nh ng hàm khó khăn trong vi c tính

g u ( )

(

3)(

(cid:0) -

103

ư ẳ ạ ố ạ đ o hàm, ch ng h n nh hàm s , khó khăn trong

+ 2

ố ồ ề ế ế ệ ạ ẳ ỉ ị vi c ch ra hàm s đ ng bi n, ngh ch bi n trên mi n đang xét, ch ng h n nh ư

g t ( )

+ t 2

+ t 6 ln(

ộ ấ ề ữ ố ạ ủ ệ ớ ượ ự ướ ạ M t v n đ n a, v i ngo i hình c a hàm s đ i di n đ c xây d ng tr ư c ch a

=� u

,u v

f u ( )

f v ( )

ế ị ủ ắ ộ ọ ộ ễ ch c đã quy t đ nh n i dung c a bài toán d hay khó, còn tùy thu c vào cách ch n các

ứ ể ứ ạ bi u th c ể đ có n u ế mà ph c t p thì góc nhìn ra hàm s ố

,u v

ệ ẽ ị ẹ ơ ạ đ i di n s b thu h p h n.

ứ ể ể ư ữ Ngoài cách khai thác bi u th c chúng ta còn có th đ a ra nh ng hàm không

ế ế ề ả ồ ỏ ị ề luôn đ ng bi n hay không luôn ngh ch bi n trên mi n đang xét mà ph i chia nh mi n

ệ ế ế ề ẹ ể ạ ặ ồ ị ị xác đ nh đ hàm đ i di n luôn đ ng bi n ho c ngh ch bi n trên các mi n thu h p đó.

+(cid:0)

ộ ố ữ ọ ở ụ Sau đây tôi trình bày m t s ví d minh h a cho nh ng phân tích trên

g t ( )

t t ,

[0,

(cid:0)

ừ ồ ố hàm s ế đ ng bi n trên ta ch nọ ề ấ 1. Đ xu t ấ . Xu t phát t

= x v

+ + 1

3 2 ,

� (2 � �

�- 1) � 2 � ,

các ể bi u ứ th c khi đó

g( 2

+ + 1

= x 3 2 )

� (2 � �

�- 1) � 2 �

+ 2

4 2 4

+ 3

+ + x 1

= x 3 2

2 1) (4

1 4

- - - -

ừ ậ ượ ươ t đây ta nh n đ c ph ng trình

4 2 4

+ + 2 3

+ + x 1

= x 3 2

2 1) (4

1 4

- - - -

104

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 4.1.1.

+ (cid:0)

(cid:0)�

(*).

2 3 2

1 0 x 0

1 2

3 2

(cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

ề ị ươ ươ ệ ả . Đi u ki n xác đ nh Ph ng trình t ng đ ươ ng ờ L i gi i

v i ớ

+ 2

( 2

+ + 1

x 3 2 )

( 2

+ + x 1

= x 3 2 )

(*)

� (2 � �

2 �- 1) + � 2 �

[ 0,

)+(cid:0)

t ( )

- - -

ữ ứ ể ơ +) Xét hàm s ố ế ồ đ ng bi n trên . H n n a ta có các bi u th c Khi

ươ đó ph ng trình (*) có ạ d ng

(

) =

�

+ + 1

3 2

+ + x 1

= x 3 2

� (2 � �

� � �

�- � 1) � � 2 � �

+ +

- - -

= x

2 2

1 2 3 2

+ x 4

- -

ướ ế ổ ươ ề ạ . Bi n đ i ph ng trình v d ng H ng 1

+ = 2 3

x t

+ + 1

3 2 ,

- - - (cid:0)

+ 2

ướ . Đ t ặ Khi đó H ng 2

�

t 8

= t 8

t t (

- + 3 t 8

= 8)

=(cid:0) t � (cid:0) =(cid:0) t

0 2

ươ ở ph ng trình trên tr thành

= -

�

� (cid:0)

= x

+ + 1

3 2

- = x 4

3 0

1 2 3 2

(cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0)

+ =

ả ươ Gi i ph ng trình

+ a b

ab a b ) 4 )( = 2 ab

(

)

a b (cid:0) ,

x 3 2 ,

- (cid:0) (cid:0) - - (cid:0)

105

ướ ề ệ . Đ t ặ đi u ki n . Ta có H ng 3

= + (cid:0) a b

S = P ab

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ệ ề ệ ươ Đ t ặ (Đi u ki n ). Khi đó ta có h ph ng trình

�

S � P

(2 � 2 S

= P S ) = P

S � � � P

2 P

= P 4

1 = + 1

+ 1 = - 1

� S � � � P �

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) - - - (cid:0) (cid:0) - - (cid:0)

+ =

= -

�

= =

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

a � b

0 2

a � b

1 2

3 2

1 0 = x

1 2 = x

3 2

- - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ượ Tìm đ c

�

+ a b

ab = + ab

� (cid:0)

)

(

2 2 )

(

)

= 8

(cid:0) (cid:0) - - -

1 = - 1

(cid:0) (cid:0)

ướ ổ H ng 4 ế . Bi n đ i

+ = 2 a

2 � � b

� � 0

ab = - 1

(cid:0) + = ab 2

(cid:0)

= -

3 2

1 2

Do (lo i), ạ (lo i).ạ

+(cid:0)

(0,

f t ( )

t 5

t 4

ươ ệ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có 2 nghi m là ế +) K t lu n

ấ ừ ồ ố hàm s ế đ ng bi n trên Ta ch nọ 2. Đ xu t ề ấ . Xu t phát t

�

= v

+ x

+ - x

4 1.

f u ( )

f v ( )

(

= 3)

(

4 1)

- - -

+ 3

ứ ể các bi u th c Khi đó

- + x

- = x

(

3) 4

+ - 3 x (

+ 4 1)

+ - 3 5(

+ 4 1)

+ - 4(

4 1)

- +

(

3 4

+ 3 19 2 (

+ 4)

+ 3 3

- -

- +

ậ ượ ế ổ ươ Bi n đ i ta nh n đ c ph ng trình

(

3 4

+ 3 19 2 (

+ 4)

+ 3 3

- -

106

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 4.1.2.

3x (cid:0)

ề ị ế ổ ươ ệ ả . Đi u ki n xác đ nh . Khi đó, bi n đ i ph ề ạ ng trình đã cho v d ng ờ L i gi i

+ 3

- + x

- = x

(

3) 4

+ - 3 x (

+ 4 1)

+ - 3 5(

+ 4 1)

+ - 4(

4 1)

+(cid:0)

t ( )

t 5

t 4

(0,

+ >

" > t

= t t '( ) 3

t 10

4 0,

t ( )

(0,

)+(cid:0)

ả +) Xét hàm ố s trên kho ng Có

+ 3

ế ả ồ nên hàm s ố đ ng bi n trên kho ng .

�

+ - x

+ x

33,

4 1

+� = D (0,

� )

(

= 3)

(

4 1)

4 1

- - - - -

nên ơ ữ H n n a

= 2

+ 3

�

+ x

= - x

= + 3 x

= 3, v

v= -

= 2

ữ ơ thì H n n a +)Đ t ặ

�

= v

(

- = v 2

8 0

(

+ + v 2)(

= 4) 0

x =

- - - -

= + 3 t

t ( )

,ﾡ

ươ ệ ấ ậ . Ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t là ế +) K t lu n

+ 3

+ 2

ể ấ ừ ố hàm s ế ồ đ ng bi n trên ta ch nọ ấ ề 3. Đ xu t . Xu t phát đi m t

�

f u ( )

f v ( )

f x ( )

= - 3

+ 3

+ 2

x v ,

x 9 8

� � 3 � �

� � � �

x 9 8

+ 3

+ 2

ứ ẳ Khi đó ta có đ ng th c

�

+ 3 x

+ 2 x

= x

1 x

x 9 8

1 8

9 + x 8

� = - � �

� + - 3 � �

- - -

Ta có bài toán sau

1 x

1 - = x 8

9 + - 2 x 8

107

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 4.1.3.

x (cid:0)

+ 3

ề ệ ị ế ủ ả ươ ớ ờ ả . Đi u ki n xác đ nh Nhân c hai v c a ph ng trình v i ta đ cượ L i gi i

�

+ = - 3 x

+ 3 x

(*)

x - = 2 8

x 9 + 8

x 9 + - 8

x 9 8

� + � �

� + 3 � �

+ >

- -

ﾡ

= + 3 t

t ( )

,ﾡ

= t t '( ) 3

1 0,

t ( )

" (cid:0)

.ﾡ

+) Xét hàm số trên có nên đ ngồ

+ 3

+ 2

= - 3

ươ ế bi n trên Khi đó ph ng trình (*) có ạ d ng

�

+ 3 x

+ 2 x

f x ( )

x 9 8

� � 3 � �

� � � �

�

0 2

x 9 = 8

9 8

- = x

9 0

� 2 � �

� � �

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - - (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ươ ệ ậ ậ . V y ph ng trình đã cho có hai nghi m là ế +) K t lu n

ﾡ

t ( )

t 4 ,

(cid:0)

ề ể ấ ừ ể ọ hàm s ứ ta ch n các bi u th c Đ xu t ấ . Xu t phát đi m t ố

�

f u ( )

f v ( )

2 x

5 2

5 � � 2 �

� 5 � -� = v , � � 2 � �

� � � = x 4 � � � � � � �

� � � �

� � � � . Khi đó

108

- - -

�

2 + x

2 x

5 2

5 � � 2 �

3 5 � � + 4 � � 2 � �

� � = x � � � � �

3 � � 4 � � � � � �

� . � � �

- - - -

+ 2

ổ ế ế ế ậ Đ n đây bi n đ i ti p ta nh n đ ượ c

512

960

536

+ 165

125

600 + x

960 2 x

512 = 3 x

- - - -

+ 2

ươ ph ng trình

512

960

536

+ 165

125

600 + x

960 2 x

512 = 3 x

- - - -

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 4.1.4.

�

2 + x

2 x

5 2

5 � � 2 �

3 5 � � + 4 � � 2 � �

� � = x � � � � �

3 � � 4 � � � � � �

- - - -

� . � � �

ươ ng trình đã cho L i gi ờ ả . Ph i

ﾡ

t ( )

t 4 ,

(cid:0)

ố ạ ệ ồ ươ ạ +) Xét hàm s đ i di n ế đ ng bi n trên ng trình có d ng

�

= 4

2 x

5 2

5 � � 2 �

� � = f � � � � �

� � � �

+ 2

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - -

+ = x

5 x � 8 � � - 3 x 16

2 0

2 = x

5 2 � �� 5 � 2

5 � � 2 �

2 � � �

- - (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x =

- + 2

+ - 5 3

)

(

1 2

t ( )

ﾡ

ươ ệ ậ . Ph ng trình đã cho có nghi m là ế +) K t lu n

ừ ươ ế ồ đ ng bi n trên ta có ph ng trình ề ấ 5. Đ xu t ấ . Xu t phát t ,

�

x (3 )

( 2

+ x 3 (2

+ 2 x (3 )

= - 3)

[

+ (2

1)]( [

+ (2

+ + 2 1)]

3 2) (*)

- - -

+ + x

x 3 (2

2)( 1

= 1) 0

d ng ạ

+ + x

x 3 (2

2)( 1

= 1) 0

ậ ượ ế ổ ươ Bi n đ i ta nh n đ c ph ng trình

109

ả ươ . Gi i ph ng trình ụ Ví d 4.1.5

D = ﾡ

= -

+ + x

x 3 (2

1)( 4

4 2)

ị ươ ươ . Ph ng đ ớ ng v i L i gi i ậ ờ ả . T p xác đ nh 2 ng trình đã cho t + 2 ươ + x

�

+ x

x 3 (2

= - [

1)]( [

+ x (2

+ + 2 1)]

3 2) (*)

t ( )

ﾡ

t ( )

ﾡ

+) Xét hàm s ố trên có ,

ế ồ ươ ạ Nên hàm s ố đ ng bi n trên . Khi đó ph ng trình (*) có d ng

�

= - �

�

x (3 )

( 2

= - x 3

= - 1

1 5

x = -

1 5

- - -

ệ

,u v

ấ ng trình đã cho có nghi m duy nh t là ể ế ợ ượ ố ạ ớ ươ . c hàm s đ i diên, ta có th k t h p v i ph ặ ng pháp đ t ươ ậ ậ . V y ph ế +) K t lu n ề ấ . Sau khi có đ 6. Đ xu t

g t ( )

3)(

(

ẩ ụ ể ấ ố ơ ứ ể n ph đ che gi u t t h n các bi u th c (cid:0) - ệ 3 t và khó khăn trong vi c phát hi n hàm + y 7) ệ 3

�

ta có

(

ừ ố ạ ẳ s đ i di n, ch ng h n xu t phát t + = = u g u 6 ( ( ) ệ g t ( ) ạ 3)( ấ 7) ố hàm s + x 3)(

ặ ẩ ụ ế ti p t c đ t n ph ụ

ế ứ ổ ể 3 và bi n đ i các bi u th c trong căn, khai căn làm thay đ i các căn th c ta + ứ + ổ +

+ = 8

ậ ượ ươ nh n đ c ph ng trình

ả ươ Gi i ph ng trình ụ Ví d 4.1.6.

+ � �۳ x

2 0

�

+ = 7

6 ( 4

3)(

�

(

4)(

+ = 7

(

3)(

ề ệ ị ươ ờ ả . Đi u ki n xác đ nh . Khi đó ph ng trình đã cho L i gi i

- + = + + = 2 � x x 1, 4

(

- (cid:0) -

110

ươ ở thì ph ng trình trên tr thành +) Đ t ặ

t (

t 3)(

+ = 6

(

3)(

6 (*)

[ 3; - +(cid:0)

= = + + + y u u g u ( ) u ( 3)( 7) 6

(

" > - u

g u '( )

u 3)( +

5) +

]

3 3 (

( [ 2 ( 4

3)(

[ 3; - +(cid:0)

)

g u ( )

Xét hàm s ố trên Có

ồ ươ ạ Nên hàm s ố ế đ ng bi n trên . Khi đó, ph

+ =

�

g t ( )

g x ( )

+ = 1

1 0

(cid:0) ng trình (*) có d ng: - + 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0)

5 3 2

ế ợ ệ ậ ớ ủ ệ ươ ề K t h p v i đi u ki n, ta nh n là nghi m c a ph ng trình

5 3 2

ươ ệ ấ

ng trình đã cho có nghi m duy nh t là ạ ủ ề ặ ọ ậ ậ . V y ph H c sinh g p nhi u khó khăn khi tính đ o hàm c a hàm s ố ế +) K t lu n Bình lu n. ậ

g u ( )

u (

3)(

(cid:0) -

ể ộ ộ ứ . M t góc đ khác, chúng ta có th ch ng

[ �

�

- + 3;

� ),

u u , 1

< u 1

+ < + u 3 1 2

+ < + u 7 1 2

2 +

�

3)(

7),

u (

+ < + u 6 2 1 + + < 6

u ( 1

u 1

2 +

u 2 +

�

3)(

7) (

u (

3)(

7) (

)

g u (

)

u ( 1

u 1

g u ( 1

111

ố ụ ự ế ể ế ằ ồ ớ ị minh hàm s ọ trên đ ng bi n tr c ti p b ng đ nh nghĩa. C th là v i m i

[ �

�

[ 3; - +(cid:0)

)

+ 3;

� ),

)

g u (

)

u u , 1

< u 1

< g u ( 1

g u ( )

" -

ồ V i ớ nên ế đ ng bi n trên

ạ ệ ươ

ừ

ố ạ

ệ

ướ

Bài 2. Sáng t o h ph

ng trình t

hàm s đ i di n cho tr

ể ươ ự ề. Đ xây d ng m t h ph ng pháp hàm s

ng trình gi ố ạ ươ ự ướ ự ộ

ể ể ệ

ﾡ

t ( )

ệ ừ ơ ế ả ả ẳ ạ ố ặ ấ Đ t v n đ ươ ệ ạ đ i di n, ta có th xây d ng tr ng ố ạ trình trong h . Đ có các bài toán d , khó khác nhau ta có th sáng tác các hàm s đ i ư di n t ề đ n gi n đ n ph c t p. Đ n gi n v ngo i hình c a chúng, ch ng h n nh (cid:0) (cid:0) ạ f ả ằ ộ ệ ệ ộ c m t hàm s đ i di n đ t o d ng m t ph ễ ơ t , i b ng ph ể ạ ể ủ + t 2015 , ứ ạ = t f ( )

ứ ậ ố , b c 5 là ậ ậ ứ ứ ậ ỉ ứ ạ hay ph c t p ư ạ ẳ

� �� ; 0)

+ - 3

+ (0;

� )

t ( )

t 4

(

ﾡ

+ + 2 9

- (cid:0) các hàm đa th c b c 3 là ơ h n là các hàm s vô t có ch a các căn th c b c 2, b c 3, bâc 4, ch ng h n nh 1 t

ướ ươ ệ 1. ng trình trong h ph ươ ng

ạ

�

( 3 2

t 2015 ,

( 4

= )

- + (2027 3 ) 4

(6 y 2024) 3 2

- - - - - ộ ố ị ố ạ ﾡ �� ự ng xây d ng 1 ph ứ ừ 1 hàm s đ i di n có d ng hàm đa th c. + 3 x Nhóm 1. M t s đ nh h ệ trình t = = t ( )

ướ ươ ệ ng trình trong h ph ươ ng

ự ng xây d ng 1 ph ạ ừ ỉ 1 hàm s đ i di n có d ng hàm vô t .

3 u u

g u ( )

[0;

+� � ) + +

�

(

+ = 1)

(

+ = 4

2. Nhóm 2. M t s đ nh h trình t = ộ ố ị ố ạ + ệ +

ướ ươ ệ ng trình trong h ph ươ ng

ệ

ﾡ ��

+ - 2 x

+ - y

ln(

t ( )

(

)

ln(

+ 1

)

ln(

)

3. Nhóm 3. M t s đ nh h trình t = - - ự ng xây d ng 1 ph ạ ỗ ạ . ừ 1 hàm s đ i di n có d ng hàm h n t p + = = = 3 3 � y x f x ( )

x y

�

t ( )

f x ( )

f y ( )

e sin

x sin y sin

ộ ố ị ố ạ + - 2 1 p � � �� 0; � � 4 � �

ướ ươ ự ng xây d ng 1 ph ươ ng

ử ụ ươ

ệ ệ ệ ướ ươ ươ ng

ng trình trong h ph ố ạ ợ ể ạ ng pháp nhân liên h p đ t o hàm s đ i di n. ng trình trong h ph ố ạ ự ng xây d ng 1 ph ể ạ ử ụ ươ ệ ộ ố ị 4. Nhóm 4. M t s đ nh h trình mà có s d ng ph ộ ố ị 5. Nhóm 5. M t s đ nh h trình mà có s d ng ph ng pháp chia đ t o hàm s đ i di n.

(

)

ﾡ ��

�

+ = 2 x

t ( )

3 2

3 (4

+ ) 3 2

1 � � = 1 � � x � �

112

- - - -

2017

ế ậ ắ ầ ố ạ ệ ể ọ ớ . Khi h c sinh b t đ u ti p c n v i hàm s đ i di n ta có th xét hàm s ố ướ a. H ng 1

ﾡ

t ( )

t 2017 ,

ﾡ

(cid:0)

2017

= 2017

ứ ạ ả ẳ ạ ơ đa th c d ng đ n gi n, ch ng h n ế ồ đ ng bi n trên . Ta có

�

f x ( )

f y ( )

2017

x 2017 .

- -

ế Đ n đây ta có đ ượ c

ươ ứ ệ ươ ở ứ ậ ế ể ộ ph ấ ng trình th nh t trong h ph ng trình ộ m c đ nh n bi t. Đ tăng đ khó

ạ ố ượ ủ ứ ể ọ ươ ứ ủ ệ c a h và đ s c phân lo i đ i t ng h c sinh ta có th sáng tác ph ng trình th hai

ệ ở ứ ộ ậ ụ ệ ươ ạ ẳ trong h m c đ v n d ng cao. Ch ng h n, ta xét h ph ng trình sau

2017

ụ ươ . Gi ả i ệ h ph ng trình Ví d 4.2.1

= 2017

2017

(1)

2017 3

ﾡ

x y ( ,

)

(2)

y + 4

+ 3

y + 2

+ y

(

(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) - - - (cid:0) (cid:0) - (cid:0)

+ >

2 0

y + (cid:0) y

1 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

2017

ủ ệ ề ệ ị ờ ả . Đi u ki n xác đ nh c a h là L i gi i

2017

2016

ươ ệ ượ +)Ph ứ ấ ng trình th nh t trong h đ c vi ế ạ t l i thành

ﾡ

t ( )

t 2017 ,

t '( )

t 2017

2017 0,

(cid:0) " (cid:0)

nên hàm

=� x

f x ( )

f y ( )

y .

t ( )

ﾡ

ố ạ ệ Xét hàm s đ i di n Có

ế ồ ươ ạ s ố luôn đ ng bi n trên . Khi đó ph ng trình trên có d ng

113

ươ ứ ệ ượ ươ Th ế vào ph ng trình th hai trong h ta thu đ c ph ng trình

�

= 7

(

+ 1)

+ 3

+ 5

2 (3)

x + 4

x + 3

x + 2

+ x

(

- - - - - - - -

ể ả ươ ử ụ ươ ố ắ ớ +) Đ gi i ph ng trình (3) ta s d ng ph ng pháp thêm b t hàm s v ng, nhân liên

+ 4

+ 3

+ 2

ử ụ ể ươ ươ ươ ớ ể ạ ợ h p đ t o nhân t chung. C th là ph ng trình (3) t ng đ ng v i

+ x

+ 2 x

1)(

2 (

� = 1) �

� x ( �

- -

+ x

�

4 +

1 +

+ 2 (

� = � � �

� 1) 1 � � � + =

1 0

(4)

+ 4

+ 3

+ 2

+ x

+ + x 2

= 2

(5)

�

= - �

(

= - (

x 2 )

+ = - x 1

+ (1

= - x 2)

1 + 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

+ 2

ươ +) Ph ng trình (4)

�

3 2

11 4

140 121

� x � �

2 � + � �

2 � 6 � � + + x � � � 11 � � � �

� = � � �

x = -

1 + 3

ươ +) Ph ng trình (5) vô nghi m.ệ

= -

ươ ệ ấ ư ậ Nh v y ph ng trình (3) có nghi m duy nh t là

;

)

x y ( ;

1 + 3

� � �

ng trình đã cho có nghi m là

ệ ủ ả ệ ươ ệ i h ph

ệ ớ

ệ ng trình trên chính là gi i thi u thêm cách gi ẫ ả ả ở ử i ph i khác đ ng trình (3) v n trong th i kì m c a, ch

� � � . ươ ng ể ờ ng pháp đ t n ph không hoàn

ươ ệ ờ ặ ẩ ụ

ượ ữ ẩ ư

+ 2

�

+ x

+ x 4

(3)

1)(

(

+ 4

+ 1) 7

+ x 3

+ 7

ươ + 3 - - - ậ . H ph ệ ươ ế +) K t lu n ể Bình lu nậ . Đi m nh n c a vi c gi ấ ỉ ộ ươ ng trình vô t khó, tôi xin gi trình (3). Đây là m t ph ớ ươ ấ c không gian làm vi c v i ph th y đ ụ ể ợ ph đ i nh ng tuy t chiêu đ chinh ph c nó. Đó là ạ ề ệ ố ứ toàn 2 n, đ a ph ng trình v h đ i x ng lo i 2. + = + 2 2 2 x 1)

114

ệ ươ ố ứ ạ ạ Đ t ặ ta có h ph ng trình d ng đ i x ng lo i 2

+ 3

+ 2

(

v 1).

x 2

v + +

x + 3

x + 2

u v

+ = x

1 0

+ = x 1) + = x 1)

(

+ x 4 + x 4

u 1).

(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ườ +) . Tr ng ợ h p 1

= -

= - 3

�

+ �

+ x

(

x 2 )

+ = - x 1

= - 2)

= - � 1

1 + 3

+ +

+ 4

+ 3

+ 2

= + + + + + + + = � � u v x x x x x x x x + = 1 3 5 3 2 3 3 3 1 0

�

u v

+ = x

1 0

+ + 2 1

+ + x 2

+ = x 4

1 0

- -

+ 2

+ 4

+ 3

+ 2

ườ +)Tr ợ ng h p 2.

�

+ = x 2

x = -

1 + 3

ươ ệ ng trình này vô nghi m.

ươ ệ ấ ư ậ Nh v y ph ng trình (3) có nghi m duy nh t là

ố ạ ượ ủ ệ ộ

=� u

ướ ư ễ ắ ộ

,u v

f u ( )

ộ ế ị ,u v ạ ự ướ . M t góc đ khác là ngo i hình c a hàm s đ i di n đ c xây d ng b. H ng 2 ủ ộ c ch a ch c đã quy t đ nh n i dung c a bài toán d hay khó mà còn tùy thu c vào tr = f v ( )

ứ ể ọ ứ ể cách ch n các bi u th c ể đ có n u ế ứ là các bi u th c ph c

> t t 3 ,

g t ( )

ố ạ ệ ẽ ị ố ạ ẹ ẳ ạ ơ ớ - ệ ạ t p thì góc nhìn ra hàm s đ i di n s b thu h p h n, ch ng h n v i hàm s đ i di n = y

ổ ế ế ươ ề ạ ế ả và bi n đ i ti p ph ng trình v d ng Đ n đây chúng ta ph i sáng tác ph

ươ (1; ng trình + (cid:0) ).

ị ủ ứ ệ ể ả ả th hai trong h sao cho giá tr c a các bi u th c ứ ph i thu c kho ng ộ ,x y

ưở ườ ượ ử ụ ị ủ ế ặ t ng th ng đ ề c s d ng là ch n mi n giá tr c a các bi n thông qua các phép ,x y

. Ch ngẳ

,x y

+ y 6

ề ặ ố ớ ẩ ng trình b c 2 đ i v i n ủ + ệ + - - ươ ệ đánh giá ho c đi u ki n có nghi m c a ph x 7 ậ = 14 0

th a mãn đ ng th c x

ươ ỏ ứ ẳ , ta coi đây là ph ng trình h n ạ

115

ố ớ ẩ ặ ệ ươ ậ b c 2 đ i v i n và ố là tham s ho c ng ượ ạ c l i. Ta có h ph ng trình sau đây.

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 4.2.2

(2)

(cid:0) - (cid:0) - x y 1; 1

ủ ệ ệ ề ị ừ ươ ờ ả . Đi u ki n xác đ nh c a h là . T ph ng trình ta có: L i gi i

(cid:0)� �� 0

x y (

+ 7)

+ y 6

= 14 0

10 3

D (cid:0) - -

có nghi m ệ

(cid:0)� �� 0

y x (

+ 6)

+ x 7

= 14 0

7 3

D (cid:0) - -

có nghi m ệ

Ho c ặ Khi đó ta có .

(1)

g t

t 3

= t '( ) 3

- > " > 3 0,

ế ổ ươ Bi n đ i ph ng trình - ề ạ v d ng = 3 t g t y ( )

g t ( )

ố ạ ệ +) Xét hàm s đ i di n ả trên kho ng . Có nên

ứ ể ế ả ồ ươ hàm s ố đ ng bi n trên kho ng và ta có các bi u th c Khi đó ph ng trình

g u

= - '( ) 1

" > u 0,

ở (3) tr thành

+ u

g u ( )

1 u

> 1

(3)

=� x

g u ( )

g x ( )

(y)

+) Xét hàm s ố ả trên kho ng . Có nên hàm số

ế ả ươ ồ đ ng bi n trên kho ngKhi đó ph ng trình có d ng ạ

+ x

= 14 0

x =

(2)

7 3

(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x y ( ;

)

(2; 2),

ươ Th ế vào ph ng trình ta đ c ượ

7 7 � � ; � � 3 3 � � .

116

ệ ươ ệ ậ ậ . V y h ph ng trình đã cho có 2 nghi m là ế +) K t lu n

ộ ướ ữ ự ể . M t h

+ 2

ố ạ ề ệ ế ỉ ị ệ ướ ng sáng tác n a là chúng ta có th xây d ng hàm s đ i di n c. H ng 3 ế ọ mà h c sinh khó khăn trong vi c ch ra hàm s đ ng bi n, ngh ch bi n trên mi n đang

g t ( )

+ t 6ln(

- ố ồ + t 2

ừ ẳ ư ạ ố ấ . Xu t phát t ph ươ ng

+ 2

xét, ch ng h n nh hàm s trình

�

g x

+ x

+ 2 y

= y ( ) g( )

6 ln(

= 9)

+ y 2

+ y 6 ln(

9).

- -

+ 2

ế ổ Bi n đ i ti p

+ xy

(

y x )(

= 2) 6 ln

� y � � x �

- -

ươ ng trình này v d ng

ươ ụ ế � � � � ng Gi ả i ệ h ph trình . ph Ví ề ạ 4.2.3 d

+ 2

+ xy

(

y x )(

= 2) 6ln

(1)

ﾡ

x y ( ,

)

� � � �

� y � � x �

= - y 1

(2)

(cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0)

- + (cid:0) y

1 0

ờ ả . Nh n xét i ậ L i gi (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

+ 2

ệ ề ị ươ Đi u ki n xác đ nh Khi đó ph ng trình (1) vi i thành

�

+ x

6ln(

= 9)

+ y 2

+ y 6ln(

9) (3)

+ 2

- - ế ạ t l + 2 y

g t ( )

+ t 2

+ t 6 ln(

.ﾡ

ố ạ ệ +) Xét hàm s đ i di n trên Có

ﾡ

g t

= t '( ) 3

- + 2

6 + 2

3 + 2

t 26 9

= 9

+ 9

� � �

�+ 9 - + 3 � 9 �

(cid:0)

ﾡ

g t

'( ) 3

- = - + 3 3 3

3 + 2

t 26 9

2 t 26 = 9

t 26 9

117

(cid:0) (cid:0) " (cid:0)

g t ( )

ﾡ

ươ nên hàm s ế ồ đ ng bi n trên . Khi đó ph ạ ng trình (3) có d ng

g x ( )

g y ( )

(2)

ố =� x

ươ ươ Thế ng trình ta đ ng trình cượ ph

�

- + 2 x

= - x 1

1) 1

- + 2 x 2(

- vào ph = - + x

= 2

�

= x

= - x

(

- + 1

)

- + x 1

�(cid:0)

ế ng hai v ta đ ượ c (cid:0) (cid:0) ươ Bình ph 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

1 � � �� x

0 + = x

1 0

- (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x y ( ;

)

5 3 ;

� 3 = � � �

� � � �

- -

ệ ậ ậ . V y h ph

,u v

ng trình đã cho có nghi m là ố ạ ượ ể ế ợ ớ ươ ệ ươ . Sau khi có đ c hàm s đ i diên, ta có th k t h p v i ph ng pháp ế +) K t lu n ướ d. H ng 4

ấ ố ơ ứ ể ệ ụ ể ặ ẩ đ t n ph đ che gi u t t h n các bi u th c ệ và khó khăn trong vi c phát hi n

ố ạ ệ ệ ạ ẳ ậ ỹ ươ ề hàm s đ i di n, ch ng h n k thu t sáng tác bài h ph ạ ng trình trong đ thi đ i

+ + =

ấ ố ừ ộ ố ạ ư ệ ọ h c kh i A năm 2013 là xu t phát t m t hàm s đ i di n nh sau

�

f u ( )

f y ( )

+ + 2

y u ,

+ + x 1

- = x 1

+ + 4 y 2

ế ả ươ ị ủ ẩ ứ Đ n đây chúng ta ph i sáng tác ph ệ ng trình th hai trong h sao cho giá tr c a n

ố ươ ả ưở ườ ượ ử ụ ị ủ ề ế ặ ph i là s d ng. Ý t ng th ng đ c s d ng là ch n mi n giá tr c a bi n

ủ ề ệ ệ ươ ậ ặ thông qua các phép đánh giá ho c đi u ki n có nghi m c a ph ố ng trình b c 2 đ i

xy y

,x y

2 (

- + 1)

+ = y 6

1 0

. Ch ng h n

th a mãn

ạ ẳ ỏ ớ ẩ v i n , ta coi đây là

118

ươ ố ớ ẩ ậ ệ ươ ố ph ng trình b c 2 đ i v i n và là tham s . Ta có h ph ng trình sau đây.

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 4.2.4

ứ ạ ọ ố ọ ề ẫ ) ( Trích d n: Đ thi chính th c Đ i h c kh i A năm h c 2013

ộ ệ ươ ạ ố ượ ủ ể ng trình hay và đ khó đ phân lo i đ i t ọ ng h c Phân tích. Đây là m t h ph

ề ấ ủ ệ ươ ấ ươ ứ sinh. Bàn v c u trúc c a h ph ng trình ta th y ph ệ ng trình th hai trong h là

ươ ể ể ậ ẩ ộ m t ph ng trình b c hai hai n. Ta ki m tra xem có th phân tích thành nhân t ử

ổ ề ươ ạ ượ ạ ế ằ b ng cách bi n đ i v ph ng trình bâc hai n ẩ x ho c n ặ ẩ y, đ i l ng còn l i là tham

ư ể ế ả ươ ọ ố s . Nh ng sau khi ki m tra không cho k t qu delta chính ph ng, do đó hy v ng có

ử ở ươ ả ươ ứ ấ nhân t chung ph ấ ng trình này là b t kh kháng. Ph ng trình th nh t trong h ệ

ư ứ ứ ể ậ ầ ộ ộ ỉ ch ch a m t có ch a m t căn b c 4 nên u tiên hàng đ u là bi u di n n ễ ẩ x v nề ẩ

�

= - 4 x

= + x t

�� 0

+ + =

+ + 2

ụ ể ế ụ ớ ứ ặ ph m i có ch a mũ 4. C th n u đ t ta s cóẽ

f u ( )

+ + 2

ươ ấ ượ ứ ế ổ ệ ủ ph ng trình th nh t đ c bi n đ i là và dáng đi u c a hàm

ﾡ

ệ ố ạ ệ ế ố ạ s đ i di n đã đ ượ ộ c l rõ. Tuy nhiên hàm s đ i di n n u ta xét

ộ ậ ố ự ế ế ặ ố ồ ị trên toàn b t p s th c thì hàm s không luôn đ ng bi n ho c ngh ch bi n nên ý

ưở ố ơ ẹ ệ ề t ể ng chúng ta thu h p mi n đang xét đ trên đó hàm s đ n đi u. Quan sát ph ươ ng

(

- + 0

(cid:0)

+ (cid:0)

f u ( )

[0;

ể ế ứ ệ ổ ừ trình th 2 trong h có th bi n đ i thành nên t đây ta xét

trên mi nề

Trên mi n này ta nh n đ

t, y [0;

)+� �

ề ậ ượ ế ả ố hàm s ố c k t qu hàm s luôn

nên ph

119

ữ ế ơ ươ ứ ệ ấ ồ đ ng bi n, h n n a ạ ng trình th nh t trong h có d ng

+ 4

�

= x

t ( )

f y ( )

- = 1

và

ậ ượ ệ ủ ố Ta đã nh n đ c m i quan h c a

ệ ượ ả ế t ư ưở t ố ạ ng hàm s đ i di n đ c gi i quy t.

ﾡ

(cid:0) (cid:0)

ủ ệ ươ ệ ề ị ừ ươ ờ ả . Đi u ki n xác đ nh c a h ph ng trình là T ph ng trình L i gi i

(

- + 0.

�

= - 4 x

= � x

+ 4 t

(cid:0) -

+ + =

+ + 2

(3)

ứ ệ th hai trong h , ta có Đ t ặ ta

+ (cid:0)

ươ ứ ấ ượ ế ổ ẽ s có ph ng trình th nh t đ c bi n đ i là

' f u ( )

1 0,

u 4 4

f u ( )

+ + 2

u u ,

" (cid:0) (cid:0)

+ (cid:0)

f u ( )

[0;

ố ạ ệ +) Xét hàm s đ i di n Có

+ 4

�

= x

f t ( )

f y ( )

- = 1

+ - = y

42 y

4 0 (4)

+ 4 1

ế ả ươ nên hàm s ố ồ đ ng bi n trên kho ng Khi đó ph ạ ng trình (3) có d ng

ươ ượ +) Thay vào ph ng trình (2) ta đ c

ậ ủ ệ ộ ươ ặ Nh n xét y=1 là m t nghi m c a ph ố ng trình (4). M t khác, xét hàm s

+ (cid:0)

+ - y

' g y

g y ( )

= ( ) 7

1 0,

g y ( )

(cid:0) " (cid:0)

+ (cid:0)

[0;

ta có nên hàm s ố đ ngồ

120

ế ả ươ ấ bi n trên kho ng Do đó ph ng trình (4) có duy nh t nghi m ệ y=1.

x y = ( ; )

(2;1)

ệ ươ ệ ậ ậ . V y h ph ng trình đã cho có nghi m là ế +) K t lu n

+ (cid:0)

t ( )

[0;

ể ạ ự ố ồ ữ ề ệ . Chúng ta có th t o d ng nh ng hàm s c ng k nh, khó khăn trong vi c ướ e. H ng 5

trên

�

f x (

(

3 1. (

4 2. (

3 2. (

4 2. (

+ = 4

ư ẳ ạ ạ tính đ o hàm, ch ng h n nh Khi đó

ế ụ ậ ượ ế ổ Ti p t c bi n đ i ta nh n đ c

10 (1)

3(3

5(3

+ ) 2

+ x 2

(2)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0)

ả ệ ươ . Gi i h ph ng trình ụ Ví d 4.2.5

ả ươ ệ ươ ề ậ ng trình trong h ph ọ ng trình đ u th t ‘nh c ớ ệ Phân tích. V i h này, c hai ph

ằ ớ ươ nh n’, v i tâm lí chung chúng ta không dám nhúng tay vào công phá ph ng trình nào

ệ ươ ứ ứ ấ trong h . Tuy nhiên, hãy quan sát ph ng trình th nh t tuy ch a các căn khác nhau,

ư ậ ả ượ ố ạ ấ nh ng đã cô l p hai bi n ế x, y nên kh năng xét đ ệ c hàm s đ i di n là r t cao. Quan

ươ ứ ấ ủ ế ấ ươ ề sát ph ậ ng trình th nh t ta nh n th y v trái c a ph ậ ng trình này có đi u gì đó th t

�

(1)

3 1. (

4 2. (

+ = 3

ệ ặ đ c bi t. Ta có

ế ươ ộ ờ ng trình này đã có m t ‘hình nh’ r t rõ ràng, bây gi ta c

ả ộ

121

ả ư ậ ư ẽ ượ ậ ế ế ớ ế ậ ả ỉ ủ ậ ố ấ V y là v trái c a ph ậ ả ổ ế ắ c m t hình nh nh v y. V i ý nghĩ này, ta nh n g ng bi n đ i v ph i cũng s đ ạ ậ ủ ầ ấ th y v trái có đ y đ các căn b c hai, b c ba, b c 4 nh ng v ph i ch có hai lo i

+ +

ậ ậ

= 10 (

2 2

2)(

căn là b c 3 và b c 4. V c u trúc căn ta c n ph i thêm có v ph i m t căn bâc 2. y ả ộ + = + + y ề ấ + + 2 7 y ế 2 3), ầ + 5) ả y (

ậ ấ ặ M t khác, nh n th y

ươ ố ớ ạ ượ ệ ố ừ ủ ồ ạ ượ Nét t ng đ ng c a các h s th a ra là 2, 3 đ i v i đ i l ng y+2 và đ i l ng y+1

+ 2 2 ( 4

2)(

+ 2 3)

ự ể ế ớ ượ ế ư ế ả ả ộ làm ta thêm t tin đ ti n t i tách đ c v ph i có m t ‘hình nh’ nh v trái.

+ +

(

2) 2

2 ( 4

+ + = 2) 3.

3 2 . (

4 2. (

ụ ể ẽ ế ư ế ổ C th ta s ti n hành bi n đ i nh sau

3 1. (

4 2. (

+ = 3

3 2 . (

4 2. (

ươ ứ ấ ượ ế ướ ạ ư ậ Nh v y, ph ng trình th nh t đ c vi i d ng là t d

ố ạ ư ệ ớ ể T i đây, chúng ta có 2 cách đ xét hàm s đ i di n nh sau

ố ạ ệ +)Cách 1. Xét hàm s đ i di n

+ (cid:0)

t ( )

[0;

Có

�

ế ả ươ ứ Nên hàm số ồ đ ng bi n trên kho ng Khi đó ph ấ ng trình th nh t

(

+ = 1

f x (

+ (cid:0)

3 u u

g u ( )

[0;

ạ ệ ẽ trong h s có d ng

trên

[ 0;

)+(cid:0)

g u ( )

ố ạ ệ Có +)Cách 2. Xét hàm s đ i di n

�

ứ ấ ng trình th nh t trong h ệ

(

+ = 1)

+ = 1

Nên hàm s ố g ồ g ế đ ng bi n trên + 2) . Khi đó ph x 2 4 ươ + = 1

ạ ẽ s có d ng

ứ ứ ệ ớ

ộ ể ệ ậ ấ

ạ ố ạ ư ố ề ệ ữ ề

122

ố ồ ượ ệ ẽ ượ ế ậ ợ ớ i V i hai cách này thì rõ ràng ng v i cách th hai thì vi c tính đ o hàm có thu n l ế ơ ả h n m t chút. Không khó đ nh n th y c hai cách xét hàm s đ i di n đ u cho k t ả qu hàm s đ ng bi n trên mi n đang xét. Nh v y, xem nh m i quan h gi a hai bi n ế x, y đã đ c gi ế ả i quy t và h s đ ư ậ ả i hoàn toàn. c gi

ố ạ ự ệ ấ ỉ ừ ộ . Cách xây d ng hàm s đ i di n không ch xu t phát t m t ph ươ ng ướ f. H ng 6

ể ế ố ệ ươ trình nào đó trong h mà chúng ta có th k t n i hai ph ệ ằ ng trình trong h b ng

ươ ạ ố ể ạ ố ạ ể ệ ộ ườ ph ng pháp c ng đ i s đ t o hàm s đ i di n, ki u bài này th ng gây khó khăn

ế ợ ể ể ơ ươ ệ ạ ớ ọ v i h c sinh h n. Đ sáng tác ki u bài k t h p hai ph ng trình trong h t o hàm

ệ ấ ả ấ ơ ừ ệ ươ ạ ố ạ s đ i di n cách đ n gi n nh t là xu t phát t các h ph ố ứ ng trình đ i x ng lo i 2,

ể ấ ượ ặ ượ ộ ủ ươ ệ m t khác đ th y đ c tính năng v t tr i c a ph ọ ố ạ ng pháp hàm s đ i di n ta ch n

ệ ố ứ ữ ạ ả ượ ằ ươ ườ nh ng h đ i x ng lo i 2 mà không gi c b ng ph i đ ng pháp thông th ng, đó là

ươ ể ắ ừ ế ử ph ng pháp tr 2 v cho nhau đ b t nhân t chung. Sau đây, tôi trình bày ví minh

ữ ể ở ọ h a đi n hình cho nh ng phân tích trên.

= + y

(1)

ﾡ

x y ( ;

)

= + x

(2)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ﾡ

,x y (cid:0)

. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình ụ Ví d 4.2.6

ị ế ủ ậ ờ ả . T p xác đ nh ng trình trong h ệ L i gi i

+ + y

1 (3)

ươ + ừ . Khi đó c ng t ng v c a hai ph + + x ộ + = + 1 (1

ươ ượ ph ng trình, ta đ c .

ﾡ

t ( )

t 2) ln(1

t 2

ﾡ

+ + t

t ( )

� 1 � �

� > � �

" (cid:0) (cid:0)

t ( )

ﾡ

+) Xét , có

ồ ươ ạ . Khi đó ph ng trình (3) có d ng

y .

ế đ ng bi n trên y= ố =� x nên hàm s = f y f x ( ) ( )

�

= + x

ln(1

ln(

ln(1

ln(

+ 2

ế + vào ph = ươ ng trình (1), ta đ + c ph + 2 - ượ + x ươ ng trình = 1) 0

+ x

g x ( )

ln(1

ln(

ﾡ

+) Xét hàm s ố trên .

ﾡ �

g x '( )

ln(1

;

= g x ''( )

1 2

(

123

Ta có

g x

=� x

x = g'( ) 0

= ''( ) 0

;x x 1 2

- >

ươ ố ệ Có nên ph ng trình có t i đa 2 nghi m là .

�

g'( 1) 0; g'(0) 0, g'(1) 0

g'( 1).g'(0) 0; g'(0).g'(1) 0.

y g'( )x

x = g'( ) 0

ơ Mà ữ H n n a hàm s ố

-�

�

( 1;0);

(0;1)

,x 1

x 2

x 1

x 2

ụ ạ ươ liên t c trên các đo n [1; 0], [0; 1] nên ph ng trình có đúng 2

= -

= x

ệ ệ nghi m phân bi t trong đó

g x ( )

ậ ủ ươ ậ ặ ả Nh n xét ệ là 3 nghi m c a ph ế ng trình. M t khác l p b ng bi n

ủ ươ ố ệ ố thiên c a hàm s ấ ta th y ph ng trình có t i đa 3 nghi m.

x y = - ( ; )

( 1; 1), (1;1), (0;0)

ệ ươ ệ ậ ậ . V y h ph ng trình đã cho có 3 nghi m là ế +) K t lu n

124

Ả Ế Ệ Ạ III. HI U QU DO SÁNG KI N ĐEM L I

ệ ố ệ ế ả ộ ề ươ ng Sáng ki n kinh nghi m đã trình bày m t cách có h th ng và bài b n v ph

ể ả ệ ươ ấ ươ ệ ươ ố ạ pháp hàm s đ i di n đ gi i ph ng trình, b t ph ng trình hay h ph ng trình.

ể ọ ỏ ụ ụ ể ọ ỗ H c sinh có th h c h i và đúc rút kinh nghiêm qua m i ví d c th . Các ví d đ ụ ượ c

ự ấ ậ ộ ế ụ ể ậ ậ ấ xây d ng theo các c p đ (Nh n bi ụ t Thông hi u V n d ng th pV n d ng cao)

ứ ượ ố ượ ể ọ ỗ nên đã đáp ng đ ả c đông đ o các đ i t ộ ọ ng h c sinh. M i h c sinh có th lĩnh h i

ượ ọ ố ượ ớ ả ữ ụ ữ ộ ợ đ c nh ng ví d , nh ng n i dung phù h p v i b n thân. M i đ i t ọ ng h c sinh

ế ậ ố ạ ể ả ụ ệ ươ ấ trung bình, khá đã bi t v n d ng hàm s đ i di n đ gi i ph ng trình, b t ph ươ ng

ệ ươ ặ ệ ọ ỏ ả ấ trình, h ph ng trình. Đ c bi t các em h c sinh khá gi ứ i c m th y h ng thú khi s ử

ậ ủ ố ạ ệ ỹ ươ ể ả ụ d ng các k thu t c a hàm s đ i di n và coi đó là ph ng pháp đ gi i ph ươ ng

ấ ươ ệ ươ ứ ố trình, b t ph ng trình hay h ph ng trình, đáp ng kì thi THPT Qu c gia. Ngoài ra

ư ế ề ộ ớ ạ ề ệ ươ sáng ki n còn đ a ra nhi u n i dung m i và l , nhi u h ph ng trình bao hàm

ươ ỷ ặ ắ ặ ệ ậ ử ụ ầ ỹ ph ng trình vô t đ c s c. Đ c bi t là k thu t s d ng máy tính c m tay CASIO

ậ ử ụ ố ạ ể ọ ệ ỹ fx570 VN PLUS đ h c sinh tìm nhanh hàm s đ i di n hay k thu t s d ng hàm

ứ ệ ọ ỏ ố ạ s đ i di n không hoàn toàn đáp ng h c sinh gi ố i Qu c gia.

Th c t

ự ế ế ạ ụ ể ớ , qua ki m tra đánh giá sau khi áp d ng sáng ki n t i hai l p 12A1 và 12B

c aủ

ườ ả ư Ự ế ọ tr ng THPT TR C NINH năm h c 20152016, tôi có k t qu nh sau.

ố ọ

ể

ạ

ỏ

ố ọ ể ạ đ t đi m gi

i (%)

S h c sinh đ t đi m trung bình (%)

ụ

ướ

c khi áp d ng

Tr sáng ki nế Sau khi áp d ng ụ sáng ki nế

ố ọ

ể

ạ

ỏ

ả ể K t qu ki m tra t ế S h c sinh ạ ớ i l p 12A1 ố ọ S h c sinh ể ạ đ t đi m khá (%)

i (%)

S h c sinh đ t đi m trung bình (%)

ụ

ướ

c khi áp d ng

Tr sáng ki nế Sau khi áp d ng ụ sáng ki nế

125

ế ả ể K t qu ki m tra t ố ọ S h c sinh ể ạ đ t đi m gi ạ ớ i l p 12B ố ọ S h c sinh ể ạ đ t đi m khá (%)

ế ọ ươ ớ ng pháp m i và cách nhìn ệ Sáng ki n kinh nghi m đã giúp h c sinh có ph

ề ệ ơ ươ ể ả ươ ấ ươ hoàn thi n h n v ph ng pháp đ gi i ph ng trình, b t ph ng trình hay h ệ

ươ ể ự ọ ự ơ ọ ươ ợ ph ng trình. H c sinh có th t tin h n khi l a ch n ph ng pháp phù h p đ ể

ả ự ự ớ ể ế ề ồ ọ gi i toán. Sáng ki n th c s là lu ng gió m i đ ngày càng có nhi u h c sinh

ứ ụ ả ớ ọ ấ quan tâm, đam mê chinh ph c và c m th y có h ng thú v i Toán h c nói chung và

ề ươ ấ ươ ệ ươ chuyên đ ph ng trình, b t ph ng trình hay h ph ng trình nói riêng.

ữ ộ ướ ớ ủ ệ ế ể M t trong nh ng h ng phát tri n m i c a sáng ki n kinh nghi m là s ử

ấ ẳ ố ạ ứ ứ ệ ệ ị ớ ụ d ng hàm s đ i di n trong vi c ch ng minh b t đ ng th c hay tìm giá tr l n

ấ ủ ứ ể ể ấ ỏ ị ươ ế ế nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c. Đi n hình là ph ả ng pháp ti p tuy n, b n

ươ ố ạ ụ ệ ạ ớ ấ ủ ch t c a ph ấ ng pháp này là xét hàm s đ i di n v i m c đích t o ra các b t

ấ ẳ ứ ứ ứ ụ ẳ đ ng th c ph tham gia vào quá trình ch ng minh b t đ ng th c. Do khuôn kh ổ

ế ế ụ ạ ế ụ ề ớ bài vi t có h n nên tôi ti p t c vi ờ t chuyên đ này vào th i gian sau v i m c tiêu

ệ ươ ể ả ệ ươ ấ ươ hoàn thi n ph ố ạ ng pháp hàm s đ i di n đ gi i ph ng trình, b t ph ng trình,

ươ ấ ẳ ị ớ ứ ứ ấ ỏ ệ h ph ấ ủ ng trình, ch ng minh b t đ ng th c và tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a

126

ứ ể bi u th c.

Ờ IV. L I CAM ĐOAN

ế ệ ằ ả Tôi xin cam đoan r ng sáng ki n kinh nghi m này do b n thân tôi suy nghĩ và

ủ ấ ạ ả ị sáng t o ra, không sao chép c a b t kì tác gi nào. Tôi xin hoàn toàn ch u trách

ệ ế ạ ờ nhi m n u vi ph m l i cam đoan trên.

Ọ

ƯỜ

Ự

Ả

Ế

TÁC GI SÁNG KI N

ễ

Ổ TR NG TRUNG H C PH THÔNG TR C NINH ................................................................................................. ......................................... ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ………

Nguy n Văn Di n

Ụ Ụ M C L C

ề

ệ

ạ

ả

Đi u ki n hoàn c nh t o ra gi

i pháp

……………………………………….………………..…Trang 1

II.

Mô t

ả ả gi

i pháp

……………………………………………………………………….…………..………Trang 2

ươ

ả

ươ

ấ

ươ

ằ

ươ

ng 1

. Gi

i ph

ng trình, b t ph

ng trình b ng ph

ng pháp hàm s đ i di n

ố ạ ệ Trang 3

127

ứ ơ ở

ế

Bài 1. Ki n th c c s …………………………………………………………………. ….Trang 34

ố ạ

ủ

ế

ấ

ậ

ỹ

ươ

ng trình…….Trang 5

ệ ự Bài 2. K thu t tìm hàm s đ i di n d a vào c u trúc c a hai v trong ph

ứ ể

ố ạ

ệ

ể

ậ

ỹ

Bài 3. K thu t chia bi u th c đ tìm hàm s đ i di n…………………………………….Trang 11

ậ ử ụ

ố ạ

ể

ệ

ầ

ỹ

Bài 4. K thu t s d ng máy tính c m tay đ tìm hàm s đ i di n………………………Trang 15

ấ ể

ố ạ

ậ

ồ

ỹ

ệ Bài 5. K thu t đ ng nh t đ tìm hàm s đ i di n………………………………………..Trang 26

ụ ể

ố ạ

ặ ẩ

ậ

ỹ

ệ Bài 6. K thu t đ t n ph đ tìm hàm s đ i di n……………………………………….Trang 34

ậ ử ụ

ố ạ

ệ

ỹ

Bài 7. K thu t s d ng hàm s đ i di n không hoàn toàn………………………………Trang 38

ộ ố

ổ

ợ

ươ

ấ

ươ

ng trình, b t ph

ng trình…………………………Trang 43

Bài 8 . M t s bài toán t ng h p ph

ươ

ằ

ươ

ng 2

. Gi

ả ệ ươ i h ph

ng trình b ng ph

ố ạ ệ ng pháp hàm s đ i di n

Trang 53

ủ

ấ

ạ

ậ

ỹ

ươ

ệ

ng trình trong h Trang 53

ệ ự Bài 1. K thu t tìm hàm đ i di n d a vào c u trúc c a 1 trong 2 ph

ố ạ

ệ

ể

ậ

ợ

ỹ

Bài 2. K thu t nhân liên h p đ tìm hàm s đ i di n……………………… …....T……..Trang 6168

ố ạ

ứ

ể

ệ

ể

ậ

ỹ

Bài 3 K thu t chia bi u th c đ tìm hàm s đ i di n……………………………………Trang 69

ậ ử ụ

ố ạ

ể

ệ

ầ

ỹ

Bài 4. K thu t s d ng máy tính c m tay đ tìm hàm s đ i di n……………………….Trang 77

ậ ặ ẩ

ụ ể

ố ạ

ỹ

ệ Bài 5. K thu t đ t n ph đ tìm hàm s đ i di n………………………………...............Trang 81

ậ ử ụ

ố ạ

ệ

ỹ

Bài 6. K thu t s d ng hàm s đ i di n không hoàn toàn………………………………...Trang 87

ậ ế ợ

ỹ

ươ

ố ạ

ệ ể

ệ

ng trình trong h đ tìm hàm s đ i di n………………….Trang 90

Bài 7. K thu t k t h p 2 ph

ươ

ộ ố

ầ

ườ

ặ

ả

ươ

ấ

ươ

ng 3

. M t s sai l m th

ng g p khi gi

i ph

ng trình, b t ph

ng trình,

Trang 95

ệ ươ

ằ

ươ

ố ạ ệ

h ph

ng trình b ng ph

ng pháp hàm s đ i di n

128

ị ủ

ề

ầ

ế …………………………. …………..Trang 9599

ế Bài 1. Sai l m liên quan đ n mi n giá tr c a các bi n

ố ạ

ủ

ệ

ề

ế

ầ

Bài 2. Sai l m liên quan đ n mi n đang xét c a hàm s đ i di n………………………..Trang 100

105

ệ ủ

ố ạ

ệ

ế

ầ

Bài 3. Sai l m liên quan đ n tính đ n đi u c a hàm s đ i di n………………………….Trang 106

110

ổ ể

ố ạ

ệ

ế

ầ

ự Bài 4. Sai l m trong các phép bi n đ i đ xây d ng hàm s đ i di n………………….. .Trang 111

116

ươ

ạ

ươ

ấ

ươ

ệ ươ

ng 4

. Sáng t o ph

ng trình, b t ph

ng trình, h ph

ằ ng trình b ng cách

Trang 117

ố ạ

ự

ệ . xây d ng hàm s đ i di n

ạ

ươ

ấ

ươ

ừ

ố ạ

ệ

ướ

ng trình, b t ph

ng trình t

hàm s đ i di n cho tr

c…………. Trang 117

Bài 1. Sáng t o ph

122

ệ ươ

ạ

ừ

ố ạ

ệ

ướ

ng trình t

hàm s đ i di n cho tr

c…………………............ .Trang 123

Bài 2. Sáng t o h ph

133

ế

ệ

ả

III.

Hi u qu do sáng ki n đem l

ạ ……………………………………..………………………...… Trang 134

135

ờ

IV.

L i cam đoan

……………………………………………………………………………………………Trang 136

129

SKKN: Phương pháp hàm số đại diện để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O NAM Đ NH Ụ

ƯỜ

Ự

ƯƠ

Ể Ả

Ệ

Ố Ạ NG PHÁP HÀM S Đ I DI N Đ GI I

ƯƠ

Ấ

ƯƠ

Ệ ƯƠ

ộ

ứ ụ Giáo viên

ộ

ứ ụ Phó hi u tr

ơ

Ề

Ế

ướ

ạ

ế

ả ả gi

ế

ả ả gi

ƯƠ

ƯƠ

Ấ

ƯƠ

Ả . GI I PH

Ằ NG TRÌNH B NG

ƯƠ

Ố Ạ

Ệ

ứ ơ ở

ế Bài 1. Ki n th c c s

ệ ự

ố ạ

ủ

ậ

ấ

ỹ

ế

ươ

ấ

ươ

ứ ể

ố ạ

ể

ệ

ậ

ỹ

ậ ử ụ

ố ạ

ể

ệ

ầ

ỹ

ậ ồ

ấ ể

ố ạ

ệ

ỹ

ậ ặ ẩ

ụ ể

ố ạ

ệ

ỹ

ế +) K t lu n. ụ Gi Ví d 1.6.3.

ố ạ ệ

ậ ử ụ

ỹ

ế +) K t lu n

ộ ố

ổ

ợ

ươ

ấ

ươ

ƯƠ