Sổ tay Kỹ Thuật Thuỷ Lợi -Phần 1-Tập 1 -Chương 1

Chia sẻ: Nguyễn Bắc Kiều Phong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:85

Thêm vào BST

Báo xấu

513
lượt xem 252
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1: Cơ sở Kỹ thuật Thuỷ lợi. Tập 1: Toán học & Cơ kết cấu. Chương 1. Toán học. Thủy lợi góp phần quyết định vào việc điều hòa nguồn nước, Đa nước đến những nơi cần thiết và giảm nhẹ mức ngập lụt khi xảy ra ma lũ. Vì vậy, thủy lợi là kết cấu hạ tầng rất quan trọng của toàn xã hội.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sổ tay Kỹ Thuật Thuỷ Lợi -Phần 1-Tập 1 -Chương 1

Bé N«ng nghiÖp vµ Ph¸t triÓn n«ng th«n viÖn khoa häc thñy lîi sæ tay kü thuËt thñy lîi phÇn 1 c¬ së kü thuËt thñy lîi tËp 1 · To¸n häc · C¬ kÕt cÊu Chñ biªn GS. TSKH. Ph¹m Hång Giang biªn so¹n PGS. TS. Phã §øc Anh - PGS. TS. NguyÔn H÷u B¶o GS. TS. Ph¹m Ngäc Kh¸nh - GS. TS. NguyÔn V¨n LÖ PGS. TS. D¬ng V¨n Thø - PGS. TS. Hoµng §×nh TrÝ Nhµ xuÊt b¶n n«ng nghiÖp Hµ Néi - 2005
2 sæ tay KTTL * PhÇn 1 - C¬ së kü thuËt thñy lîi * TËp 1 sæ tay kü thuËt thñy lîi Thêng trùc Ban biªn tËp: GS. TSKH. Ph¹m Hång Giang, Trëng ban GS. TS. NguyÔn TuÊn Anh, Phã Trëng ban ths. NguyÔn BØnh Th×n, ñy viªn PGS. TS. Lª Minh, ñy viªn TS. §inh Vò Thanh, ñy viªn CN. TrÇn ThÞ Hång Lan, ñy viªn th ký
Lêi giíi thiÖu 3 Lêi Giíi ThiÖu Hµng ngµy, hµng giê, n-íc kh«ng thÓ thiÕu cho cuéc sèng, cho sù ph¸t triÓn kinh tÕ x∙ héi. §ång thêi, qu¸ nhiÒu n-íc l¹i cã thÓ g©y nhiÒu tai häa. ViÖt Nam cã nguån n-íc t-¬ng ®èi dåi dµo nh-ng l-îng n-íc ph©n bè theo thêi gian hÕt søc chªnh lÖch do m-a hÇu nh- chØ tËp trung trong chõng 3 th¸ng mçi n¨m. Thñy lîi gãp phÇn quyÕt ®Þnh vµo viÖc ®iÒu hßa nguån níc, ®a níc ®Õn nh÷ng n¬i cÇn thiÕt vµ gi¶m nhÑ møc ngËp lôt khi x¶y ra ma lò. V× vËy, thñy lîi lµ kÕt cÊu h¹ tÇng rÊt quan träng cña toµn x· héi. §¶ng vµ Nhµ n-íc ta rÊt quan t©m ph¸t triÓn thñy lîi. Nh©n d©n ta ®∙ dµnh nhiÒu c«ng søc x©y dùng nh÷ng hÖ thèng thñy lîi, gãp phÇn kh«ng nhá vµo th¾ng lîi cña sù nghiÖp gi¶i phãng d©n téc còng nh- trong c«ng cuéc ®æi míi gÇn 20 n¨m qua. §éi ngò c¸c nhµ nghiªn cøu, c¸c chuyªn gia, kü s-, kü thuËt viªn ®∙ tr-ëng thµnh nhanh chãng. Hµng lo¹t c¸c quy tr×nh, quy ph¹m, tiªu chuÈn kü thuËt ®∙ ®-îc ban hµnh cïng víi rÊt nhiÒu tµi liÖu tra cøu, tham kh¶o, s¸ch gi¸o khoa,... ®∙ ®-îc xuÊt b¶n. Trong thêi kú míi, sù nghiÖp c«ng nghiÖp hãa vµ hiÖn ®¹i hãa ®Êt n-íc ®ang ®Æt ra nh÷ng yªu cÇu cao cho nhiÖm vô ph¸t triÓn thñy lîi. Nhu cÇu n-íc cho d©n sinh, cho s¶n xuÊt c«ng nghiÖp, n«ng nghiÖp, cho c¸c ho¹t ®éng dÞch vô, giao th«ng, cho gi÷ g×n vµ c¶i thiÖn m«i sinh,... ®ang kh«ng ngõng t¨ng lªn. Møc an toµn ph¶i cao khi ®èi phã víi lò lôt. NhiÒu hÖ thèng thñy lîi vµ c¸c c«ng tr×nh thñy ®iÖn víi quy m« kh¸c nhau sÏ ®-îc x©y dùng trªn c¶ n-íc. C«ng t¸c qu¶n lý thñy lîi còng ph¶i ®-îc t¨ng c-êng nh»m ph¸t huy hiÖu qu¶ cao c¸c hÖ thèng ®∙ ®-îc x©y dùng. §Ó gãp phÇn thùc hiÖn nhiÖm vô Êy, ®-îc sù chØ ®¹o cña Bé N«ng nghiÖp vµ Ph¸t triÓn n«ng th«n vµ Bé Khoa häc vµ C«ng nghÖ, ViÖn Khoa häc Thñy lîi ®∙ tæ chøc, mêi c¸c Gi¸o s-, c¸c nhµ nghiªn cøu, c¸c chuyªn gia cã kinh nghiÖm trong tõng lÜnh vùc
4 sæ tay KTTL * PhÇn 1 - C¬ së kü thuËt thñy lîi * TËp 1 tham gia biªn so¹n tËp tµi liÖu tra cøu vµ tham kh¶o "Sæ tay Kü thuËt Thñy lîi" gåm 3 phÇn: - C¬ së kü thuËt Thñy lîi. - C«ng tr×nh Thñy lîi. - Qu¶n lý khai th¸c c«ng tr×nh Thñy lîi. Mçi phÇn gåm mét sè tËp. Sæ tay nµy phôc vô c«ng viÖc tra cøu vµ tham kh¶o cña kü s-, kü thuËt viªn c¸c ngµnh cã liªn quan ®Õn thñy lîi khi lËp qui ho¹ch, tiÕn hµnh kh¶o s¸t, x©y dùng (thiÕt kÕ, thi c«ng) c«ng tr×nh, qu¶n lý hÖ thèng. Sæ tay còng rÊt h÷u Ých cho c¸n bé gi¶ng d¹y vµ nghiªn cøu, nghiªn cøu sinh, häc viªn cao häc, sinh viªn ®¹i häc, cao ®¼ng vµ trung häc chuyªn nghiÖp. C¸c t¸c gi¶ ®∙ cè g¾ng theo s¸t nh÷ng quy tr×nh, quy ph¹m, tiªu chuÈn kü thuËt hiÖn hµnh, nh÷ng thµnh tùu míi ë trong vµ ngoµi n-íc. Tuy nhiªn, do kh¶ n¨ng vµ ®iÒu kiÖn cã h¹n nªn cuèn sæ tay kh«ng tr¸nh khái nh÷ng khiÕm khuyÕt. Chóng t«i rÊt mong nhËn ®-îc sù gãp ý cña b¹n ®äc ®Ó sæ tay sÏ ®-îc hoµn thiÖn h¬n trong lÇn xuÊt b¶n sau. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n Bé N«ng nghiÖp vµ Ph¸t triÓn n«ng th«n, Bé Khoa häc vµ C«ng nghÖ, c¸c c¬ quan vµ ®ång nghiÖp ®∙ nhiÖt t×nh gióp ®ì, t¹o ®iÒu kiÖn cho viÖc biªn so¹n vµ xuÊt b¶n. Thay mÆt tËp thÓ c¸c t¸c gi¶ GS. TSKH. Ph¹m Hång Giang
Môc lôc 5 Môc lôc Lêi giíi thiÖu 3 Môc lôc 5 Ch¬ng 1. To¸n häc 9 1.1. To¸n s¬ cÊp 9 1.1.1. §¹i sè vµ lîng gi¸c 9 1.1.2. H×nh häc 19 1.2. To¸n cao cÊp 30 1.2.1. §¹i sè tuyÕn tÝnh 30 1.2.2. Hµm sè 39 1.2.3. PhÐp tÝnh vi ph©n 41 1.2.4. PhÐp tÝnh tÝch ph©n 56 1.2.5. Ph¬ng tr×nh vi ph©n thêng 80 1.2.6. Lý thuyÕt chuçi 88 1.3. To¸n øng dông 95 1.3.1. X¸c suÊt & thèng kª 95 1.3.2. Ph¬ng ph¸p tÝnh 110 Phô lôc 119 Tµi liÖu tham kh¶o 127 Ch¬ng 2. C¬ kÕt cÊu 129 2.1. Ngo¹i lùc, néi lùc, øng suÊt vµ biÕn d¹ng 129 2.1.1. Ngo¹i lùc 129 2.1.2. Néi lùc 130 2.1.3. øng suÊt 131 2.1.4. Tr¹ng th¸i øng suÊt 131 2.1.5. BiÕn d¹ng 134
6 sæ tay KTTL * PhÇn 1 - c¬ së kü thuËt thñy lîi * TËp 1 2.2. §Æc tr-ng c¬ häc cña vËt liÖu vµ c¸c thuyÕt bÒn 135 2.2.1. §Æc trng c¬ häc cña vËt liÖu 135 2.2.2. C¸c thuyÕt bÒn 138 2.3. §Æc tr-ng h×nh häc mÆt c¾t ngang cña thanh 139 2.3.1. §Þnh nghÜa 139 2.3.2. Mét sè c«ng thøc thêng dïng 142 2.4. TÝnh thanh, dÇm vµ d©y mÒm 146 2.4.1. TÝnh thanh chÞu kÐo (nÐn) ®óng t©m 146 2.4.2. TÝnh dÇm chÞu uèn ph¼ng 149 2.4.3. TÝnh thanh chÞu xo¾n 161 2.4.4. TÝnh thanh chÞu lùc phøc t¹p 165 2.4.5. TÝnh d©y mÒm 175 2.5. TÝnh kÕt cÊu hÖ thanh 176 2.5.1. TÝnh kÕt cÊu tÜnh ®Þnh chÞu t¶i träng bÊt ®éng 177 2.5.2. TÝnh kÕt cÊu tÜnh ®Þnh chÞu t¶i träng di ®éng 185 2.5.3. TÝnh hÖ thanh siªu tÜnh 188 2.6. Lý thuyÕt ®µn håi 231 2.6.1. Gi¶ thiÕt tÝnh to¸n vµ mét sè kh¸i niÖm 231 2.6.2. Ph¬ng tr×nh c¬ b¶n vµ ph¬ng ph¸p gi¶i 232 2.6.3. Bµi to¸n ph¼ng 239 2.6.4. Bµi to¸n kh«ng gian ®èi xøng trôc 248 2.6.5. TÊm máng ®µn håi 250 2.6.6. Vá máng ®µn håi 297 2.6.7. VËt liÖu ®µn håi phi tuyÕn 307 2.7. TÝnh hÖ kÕt cÊu - nÒn 308 2.7.1. Kh¸i niÖm vµ gi¶ thiÕt tÝnh to¸n 308 2.7.2. TÝnh dÇm vµ tÊm trªn nÒn ®µn håi Uyn - cê - le 311 2.8. æn ®Þnh ®µn håi cña kÕt cÊu 312 2.8.1. æn ®Þnh ®µn håi cña thanh chÞu nÐn ®óng t©m 312 2.8.2. æn ®Þnh ®µn håi cña dÇm chÞu uèn ph¼ng 314
Môc lôc 7 2.8.3. æn ®Þnh ®µn håi cña khung ph¼ng 317 2.8.4. æn ®Þnh ®µn håi cña tÊm chÞu nÐn 320 2.8.5. æn ®Þnh ®µn håi cña vá trô trßn 322 2.9. Dao ®éng cña kÕt cÊu 324 2.9.1. Dao ®éng cña hÖ cã mét bËc tù do 324 2.9.2. Dao ®éng cña hÖ cã n bËc tù do 328 2.9.3. Dao ®éng cña hÖ cã v« h¹n bËc tù do 330 2.10. Lý thuyÕt dÎo vµ tõ biÕn 348 2.10.1. Lý thuyÕt dÎo 348 2.10.2. Lý thuyÕt tõ biÕn 351 2.11. Ph-¬ng ph¸p sè gi¶i c¸c bµi to¸n kÕt cÊu 354 2.11.1. Më ®Çu 354 2.11.2. C¬ së cña ph¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n 355 2.11.3. D¹ng phÇn tö vµ hµm xÊp xØ chuyÓn vÞ øng víi mét sè d¹ng kÕt cÊu 369 2.11.4. TÝnh kÕt cÊu cïng lµm viÖc víi nÒn 374 2.11.5. TÝnh kÕt cÊu ®µn håi phi tuyÕn 376 2.11.6. TÝnh kÕt cÊu ®µn dÎo 376 2.11.7. TÝnh kÕt cÊu chÞu t¶i träng ®éng 377 2.12. Thùc nghiÖm kÕt cÊu c«ng tr×nh 379 2.12.1. Nguyªn lý vµ dông cô ®o biÕn d¹ng 380 2.12.2. §o chuyÓn vÞ b»ng ph¬ng ph¸p c¬ häc 385 2.12.3. §o mét sè ®¹i lîng kh¸c 386 Tµi liÖu tham kh¶o 387
Ch¬ng 1 - to¸n häc 9 Ch¬ng 1 to¸n häc 1.1. To¸n s¬ cÊp 1.1.1. §¹i sè vµ l-îng gi¸c 1.1.1.1. C¸c c«ng thøc kÕt hîp - NhÞ thøc Niu t¬n 1. Ho¸n vÞ (kh«ng lÆp) cña n phÇn tö ph©n biÖt (n Î N) (KÝ hiÖu: n Î N Û n lµ mét sè nguyªn, d¬ng hoÆc b»ng 0). a) §Þnh nghÜa Mçi c¸ch xÕp (kh«ng lÆp) n phÇn tö ph©n biÖt thµnh d∙y cã thø tù cho ta mét ho¸n vÞ cña n phÇn tö ®ã. VÝ dô: (5, 3,1, 2, 4) lµ mét ho¸n vÞ cña 5 sè tù nhiªn ®Çu tiªn. b) Sè ho¸n vÞ cña n phÇn tö ph©n biÖt Pn = n(n -1)(n -2)...1 = n! (1.1.1) ( n! ®äc lµ giai thõa n hoÆc n giai thõa. Sè nµy b»ng tÝch cña n sè tù nhiªn ®Çu tiªn). VÝ dô: Sè ho¸n vÞ cña 5 sè tù nhiªn ®Çu tiªn lµ: P5 = 5! = 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 = 120. Nh vËy, sÏ cã 120 c¸ch xÕp 5 phÇn tö thµnh d∙y cã thø tù. c) Quy íc tÝnh 0! = 1. 2. ChØnh hîp (kh«ng lÆp) chËp k cña n phÇn tö ph©n biÖt (0 £ k £ n; n, k Î N) a) §Þnh nghÜa Mçi c¸ch xÕp (kh«ng lÆp) k trong n phÇn tö ph©n biÖt thµnh d∙y cã thø tù cho ta mét chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö ®ã. VÝ dô: (5, 3, 1) lµ mét chØnh hîp chËp 3 cña 5 sè tù nhiªn ®Çu tiªn. b) Sè chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö ph©n biÖt n! Ak = = n ( n - 1)( n - 2 ) ... ( n - k + 1) (1.1.2) n ( n - k )! VÝ dô: Sè chØnh hîp chËp 3 cña 5 sè tù nhiªn ®Çu tiªn lµ 5 ´ 4 ´ 3 = 60. Nh vËy, tõ 5 sè tù nhiªn ®Çu tiªn, cã thÓ lËp ®îc 60 sè ph©n biÖt gåm 3 ch÷ sè kh¸c nhau ®«i mét.
10 sæ tay KTTL * PhÇn 1 - c¬ së kü thuËt thñy lîi * TËp 1 c) Sè chØnh hîp chËp n cña n phÇn tö ph©n biÖt chÝnh lµ sè ho¸n vÞ cña n phÇn tö ®ã: A n = Pn . n 3. Tæ hîp (kh«ng lÆp) chËp k cña n phÇn tö ph©n biÖt (0 £ k £ n; n, k Î N) a) §Þnh nghÜa Mçi tËp con (kh«ng lÆp) gåm k trong n phÇn tö ph©n biÖt cho ta mét tæ hîp chËp k cña n phÇn tö ®ã. VÝ dô: TËp ba sè 5, 3, 1 kh«ng kÓ thø tù lµ mét tæ hîp chËp 3 cña 5 sè tù nhiªn ®Çu tiªn. b) Sè tæ hîp chËp k cña n phÇn tö ph©n biÖt n! Ak Ck = = n (1.1.3) k!( n - k ) ! k! n 60 VÝ dô: Sè tæ hîp chËp 3 cña 5 sè tù nhiªn ®Çu tiªn lµ = 10 . Nh vËy tõ 5 sè tù 3! nhiªn ®Çu tiªn, cã thÓ lËp ®îc 10 tËp con, ®Ó mçi tËp gåm 3 ch÷ sè kh¸c nhau ®«i mét. c) Sè chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö ph©n biÖt gÊp (k!) lÇn sè tæ hîp chËp k cña n phÇn tö ®ã. 4. ChØnh hîp (cho phÐp lÆp) chËp k cña n phÇn tö ph©n biÖt (n, k Î N) a) §Þnh nghÜa Mçi c¸ch xÕp (cho phÐp lÆp) k phÇn tö, rót tõ n phÇn tö ph©n biÖt, thµnh d∙y cã thø tù cho ta mét chØnh hîp lÆp chËp k cña n phÇn tö ®ã. VÝ dô: (5, 3, 3) lµ mét chØnh hîp lÆp chËp 3 cña 5 sè tù nhiªn ®Çu tiªn. Mét d∙y 16 sè 0, sè 1 lµ mét chØnh hîp lÆp chËp 16 cña hai sè nµy. b) Sè chØnh hîp lÆp chËp k cña n phÇn tö ph©n biÖt Lk = n k n (1.1.4) VÝ dô: Sè chØnh hîp lÆp chËp 5 cña 3 sè tù nhiªn ®Çu tiªn lµ 35 = 243. Nh vËy, tõ 3 ch÷ sè 1, 2, 3 cã thÓ lËp ®îc 243 d∙y sè, ®Ó mçi d∙y gåm 5 sè cã kÓ thø tù (n¨m sè nµy cã thÓ gièng nhau hoÆc kh¸c nhau ®«i mét). 5. Tæ hîp vµ ho¸n vÞ (cho phÐp lÆp) cña tËp n phÇn tö a) NÕu thùc hiÖn phÐp chän n phÇn tö trong k nhãm (c¸c phÇn tö trong mçi nhãm gièng nhau vµ sè phÇn tö trong mçi nhãm lín h¬n hay b»ng n) ta cã sè phÐp chän lµ: k- C n +1 -1 . §©y lµ sè tæ hîp (cho phÐp lÆp) cña n phÇn tö chän tõ k nhãm. k
Ch¬ng 1 - to¸n häc 11 VÝ dô: Sè c¸ch chän 6 cuèn s¸ch thuéc ba lo¹i To¸n, V¨n, Tin häc trong mét ®èng 2 s¸ch chøa c¶ ba lo¹i (sè s¸ch mçi lo¹i lín h¬n hoÆc b»ng 6) lµ: C 8 = 28 . b) Sè c¸ch chia tËp hîp n phÇn tö ph©n biÖt thµnh k nhãm, trong ®ã nhãm thø i cã mi phÇn tö kh¸c nhau ®«i mét vµ (m1 + m2 + ... + mk) = n ®îc tÝnh theo c«ng thøc: n! C m1 ;m2 ;...;m k = n (1.1.5) m1 !m2 ! ...m k ! §©y lµ sè ho¸n vÞ (cho phÐp lÆp) cña n c¸i nh∙n hiÖu cña k nhãm. VÝ dô: Sè c¸ch xÕp 10 hµnh kh¸ch vµo 3 toa tÇu sao cho toa I cã 3, toa II cã 2, toa III cã 5 lµ: 3;2;5 10! C10 = = 2520 c¸ch. 3! 2! 5! §©y lµ sè ho¸n vÞ lÆp cña 10 sè (nh∙n) I,II,III. c) Tõ c«ng thøc (1.1.5) cã thÓ trë l¹i c«ng thøc (1.1.3) vµ ta cã thÓ hiÓu: n! Ak Ck = = n k!( n - k ) ! k! n lµ sè c¸ch chia tËp n phÇn tö ph©n biÖt thµnh 2 nhãm; mét nhãm cã k phÇn tö, nhãm kia cã (n – k) phÇn tö. 6. C«ng thøc khai triÓn nhÞ thøc Niu-t¬n a) C«ng thøc n ( a + b )n = å C k a n - k b k n (1.1.6) k =0 (Gi¶i thÝch (1.1.6): Trong c«ng thøc khai triÓn (a + b)n = (a + b) (a + b) ... (a + b), sè h¹ng a n - k b k xuÊt hiÖn C k lÇn). n b) C¸c tÝnh chÊt cña khai triÓn nhÞ thøc Niu-t¬n + VÕ ph¶i cña (1.1.6) gåm (n + 1) sè h¹ng xÕp theo thø tù (mò cña a gi¶m dÇn tõ n ®Õn 0, trong khi mò cña b t¨ng dÇn tõ 0 ®Õn n hoÆc ngîc l¹i). Trong mçi sè h¹ng, tæng c¸c sè mò cña a vµ b lu«n b»ng n. + C¸c hÖ sè cã tÝnh ®èi xøng, tøc lµ: C k = C n - k . n n + HÖ sè cña sè h¹ng sau cã thÓ suy tõ hÖ sè cña sè h¹ng tríc theo c«ng thøc: Ck ( n - k ) ( HÖ sè tríc ) ´ ( sè mò cña a ) C k +1 = n = n k +1 ( Sè mò cña b ) + 1
12 sæ tay KTTL * PhÇn 1 - c¬ së kü thuËt thñy lîi * TËp 1 + C¸c hÖ sè khai triÓn theo thø tù lËp nªn tam gi¸c Pascale: C0 0 C1 C1 0 1 C 2 C1 C 2 0 2 2 ........................ tháa m∙n tÝnh chÊt: C k + C k +1 = C k +1 n n n +1 (0 £ k £ n; k, n Î N) TÝnh ra sè cô thÓ, tam gi¸c Pascale cã d¹ng: n C¸c hÖ sè khai triÓn 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1.1.1.2. Sè phøc 1. §Þnh nghÜa Sè phøc lµ mét sè cã d¹ng: Z = a + ib trong ®ã: a, b lµ hai sè thùc; i lµ ®¬n vÞ ¶o víi i2 = -1 (a ®îc gäi lµ phÇn thùc, kÝ hiÖu ReZ, cßn i b ®îc gäi lµ phÇn ¶o cña Z, kÝ hiÖu ImZ; khi a = 0, Z lµ sè thuÇn ¶o cßn khi b = 0, Z lµ sè thùc).
Ch¬ng 1 - to¸n häc 13 Ngêi ta biÓu diÔn sè phøc Z = a + ib b»ng ®iÓm M(a; b) trong hÖ to¹ ®é vu«ng gãc xOy. Khi ®ã: r = OM = a 2 + b2  b ®îc gäi lµ m«®un, kÝ hiÖu ïZïvµ j = xOM (víi tgj = ; chän j sao cho: a b p sin j = vµ j = ± khi a = 0) lµ acguymen chÝnh cña sè phøc Z, kÝ hiÖu lµ a2 + b2 2 argZ. Sè phøc cã thÓ viÕt díi d¹ng ®¹i sè: Z = a + ib hoÆc d¹ng lîng gi¸c: Z = r(cosj +i sinj). Hai sè phøc cã cïng phÇn thùc vµ cã phÇn ¶o ®èi nhau ®îc gäi lµ hai sè phøc liªn hîp ( Z = a + ib vµ Z = a - ib). 2. C¸c phÐp tÝnh trªn tËp sè phøc + PhÐp céng (hoÆc phÐp trõ) cho ta tæng (hoÆc hiÖu) hai sè phøc: (a1 + ib1) ± (a2 + ib2) = (a1 ± a2) + i(b1 ± b2) + PhÐp nh©n cho ta tÝch hai sè phøc: (a1 + ib1) (a2 + ib2) = (a1a2 – b1b2) + i(a1b2 + a2b1) + PhÐp chia cho ta th¬ng hai sè phøc (víi ®iÒu kiÖn Z2 ¹ 0, tøc lµ: a 2 + b 2 ¹ 0 ). 2 2 Z1 a1 + ib1 ( a + ib1 )( a 2 - ib 2 ) a1a 2 + b1 b 2 b1a 2 - b 2 a1 = = 1 = + i Z 2 a 2 + ib 2 ( a 2 + ib 2 )( a 2 - ib 2 ) a2 + b2 2 2 a2 + b2 2 2 + Tæng hai sè phøc liªn hîp b»ng: Z + Z = 2a = 2ReZ. + TÝch hai sè phøc liªn hîp b»ng: 2 Z ´ Z = a2 + b2 = Z . + PhÐp nh©n vµ phÐp chia hai sè phøc viÕt díi d¹ng lîng gi¸c sÏ rÊt tiÖn lîi: Ch¼ng h¹n víi hai sè phøc: Z1 = r1(cosj1 + i sin j1) vµ Z2 = r2(cosj2 + i sin j2), ta cã thÓ tÝnh m« ®un vµ aguymen cña tÝch hoÆc th¬ng hai sè theo c¸c c«ng thøc: ½Z1 ´ Z2½ = ½Z1½ ´ ½Z2½ = r1 r2; arg(Z1 ´ Z2) = argZ1 + argZ2 = j 1 + j 2;
14 sæ tay KTTL * PhÇn 1 - c¬ së kü thuËt thñy lîi * TËp 1 Z1 Z = 1 (Z2 ¹ 0); Z2 Z2 Z1 arg = argZ1 - argZ2 = j 1 - j 2. Z2 + PhÐp lòy thõa vµ khai c¨n ®èi víi sè phøc còng cã thÓ thùc hiÖn b»ng d¹ng lîng gi¸c: víi Z = r(cosj +i sin j ) vµ n lµ sè nguyªn d¬ng, ta cã: Zn = rn(cosnj + i sinnj) æ j + 2kp j + 2kp ö vµ n Z = n r ç cos + i sin ÷ ( k = 0, 1, ..., n - 1) è n n ø + Lòy thõa bËc n cña mét sè phøc Z cßn cã thÓ tÝnh ®îc theo khai triÓn Niu-t¬n: n Z n = ( a + ib ) = å C k a n -k (ib)k n n k =0 vµ n gi¸ trÞ c¨n bËc n còng cã thÓ tÝnh ®îc b»ng c¸ch gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ®¹i sè, ch¼ng h¹n ®Ó khai c¨n bËc hai cña Z = a + ib, ngêi ta ®Æt Z = x + iy, råi gi¶i hÖ: ìx 2 - y 2 = a, ï í ï î 2xy = b ®Ó t×m x, y. 1.1.1.3. CÊp sè 1. CÊp sè céng (CSC) CSC lµ mét d∙y sè h÷u h¹n hoÆc v« h¹n, trong ®ã mçi sè h¹ng, kÓ tõ sè h¹ng thø hai trë ®i, lu«n b»ng sè h¹ng ®øng tríc nã céng víi mét sè kh«ng ®æi, gäi lµ c«ng sai un = un–1 + d (1.1.7) víi: n lµ sè nguyªn, n ³ 2; d lµ c«ng sai, d = h»ng sè; khi d > 0, CSC lµ t¨ng (hay tiÕn), khi d < 0, CSC lµ gi¶m (hay lïi); KÝ hiÖu CSC lµ ¸. + Muèn x¸c ®Þnh mét CSC, cÇn biÕt u1, d vµ n (h÷u h¹n hoÆc v« h¹n). + Sè h¹ng thø n: un = u1 + (n - 1)d (1.1.8)
Ch¬ng 1 - to¸n häc 15 + Tæng n sè h¹ng ®Çu tiªn cña CSC lµ: ( u1 + u n ) n n Sn = = é 2u + ( n - 1) d ù (1.1.9) 2 2ë 1 û 2. CÊp sè nh©n (CSN) CSN lµ mét d∙y sè h÷u h¹n hoÆc v« h¹n, trong ®ã mçi sè h¹ng, kÓ tõ sè h¹ng thø hai trë ®i, lu«n b»ng sè h¹ng ®øng tríc nã nh©n víi mét sè kh«ng ®æi, gäi lµ c«ng béi un = un-1 ´ q (1.1.10) víi: n lµ sè nguyªn d¬ng, n ³ 2; q lµ c«ng béi, q = h»ng sè; khi q > 1, CSN lµ t¨ng (hay tiÕn), khi 0 < q < 1, CSN lµ gi¶m (hay lïi); KÝ hiÖu CSN lµ: :: . + Muèn x¸c ®Þnh mét CSN, cÇn biÕt u1, q vµ n (h÷u h¹n hoÆc v« h¹n). + Sè h¹ng thø n: un = u1 qn – 1 (1.1.11) + Tæng n sè h¹ng ®Çu tiªn cña CSN lµ: Sn = ( u1 q n - 1 ) = u q-un 1 nÕu q ¹ 1 (1.1.12) q -1 q -1 S n = nu1 nÕu q = 1 (1.1.13) + Tæng c¸c sè h¹ng cña mét CSN v« h¹n víi ½q½ < 1 b»ng: u1 S= (1.1.14) 1- q C«ng thøc (1.1.14) cã thÓ suy tõ (1.1.12) khi cho n ® ¥. 1.1.1.4. L«garÝt 1. §Þnh nghÜa Víi N > 0, 0 < a ¹ 1, ph¬ng tr×nh: ax = N cã mét nghiÖm duy nhÊt, kÝ hiÖu: x = logaN vµ ®îc gäi lµ l«garÝt theo c¬ sè a cña N.
16 sæ tay KTTL * PhÇn 1 - c¬ së kü thuËt thñy lîi * TËp 1 + Tõ ®Þnh nghÜa trªn, suy ra: a loga N = N; loga a x = x. + L«garÝt theo c¬ sè 10 ®îc gäi lµ l«garÝt thËp ph©n, kÝ hiÖu lµ lgN hoÆc logN. + L«garÝt theo c¬ sè e ®îc gäi lµ l«garÝt tù nhiªn, kÝ hiÖu lµ lnN (e lµ sè v« tØ, cã gi¸ trÞ gÇn ®óng lµ 2,71828). 2. C¸c c«ng thøc vÒ l«garÝt loga(N1. N2) = logaN1 + logaN2 (N1; N2 > 0; 0 < a ¹ 1) N log a 1 = log a N 1 - log a N 2 N2 log a N a = a.log a N ( a Î Â) log b N log a N = (0 < b ¹ 1). log b a Cã thÓ viÕt tæng qu¸t h¬n c¸c c«ng thøc trªn nh sau: loga½N1. N2 ½= loga ½N1 ½+ loga ½N2 ½ (N1; N2 ¹ 0; 0 < a ¹ 1) N1 log a = log a N 1 - log a N 2 N2 log a N 2 n = 2n log a N ( N ¹ 0) 1.1.1.5. Lîng gi¸c 1. §¬n vÞ ®o gãc: radian a) §Þnh nghÜa Gãc mét radian lµ gãc cã ®Ønh O ë t©m mét ®êng trßn b¸n kÝnh R, ch¾n mét cung AB trªn ®êng trßn cã ®é dµi b»ng R. b) Theo ®Þnh nghÜa trªn: 180 0 1 radian ~ » 57017' 45'' p p 10 ~ radian » 0, 017453 radian ; 1' ~ 0,000291 radian; 1" ~ 0,000005 radian. 180 Gãc tÝnh theo ®é 10 300 450 600 900 1800 2700 3600 p p p p p 3p Gãc tÝnh theo radian p 2p 180 6 4 3 2 2
Ch¬ng 1 - to¸n häc 17 2. C¸c ®Þnh nghÜa c¬ b¶n a) Trong hÖ trùc chuÈn xOy, ®êng trßn ®Þnh híng t©m O(0; 0), b¸n kÝnh R = 1 ®îc gäi lµ ®êng trßn lîng gi¸c. Trªn ®êng trßn nµy, cho ®iÓm A(1; 0) vµ ®iÓm M(x; y). Gäi cung AM t¹o bëi mét ®iÓm ch¹y trªn ®êng trßn tõ A ®Õn M (cã thÓ quay nhiÒu vßng quanh t©m O, cïng chiÒu hoÆc ngîc chiÒu kim ®ång hå) lµ cung lîng gi¸c víi ®iÓm ®Çu A, ®iÓm cuèi M. b) Gäi a lµ sè ®o (tÝnh theo ®é hoÆc radian) cña cung lîng gi¸c AM. Khi ®ã, ngêi ta ®Þnh nghÜa: + Tung ®é ®iÓm M lµ sin cña a vµ kÝ hiÖu lµ sina: sina = y. + Hoµnh ®é ®iÓm M lµ cos cña a vµ kÝ hiÖu lµ cosa: cosa = x. + TØ sè gi÷a tung ®é vµ hoµnh ®é ®iÓm M (khi x ¹ 0) lµ tang cña a vµ kÝ hiÖu lµ tga: sin a tga = (tga x¸c ®Þnh Û cosa ¹ 0). cos a + TØ sè gi÷a hoµnh ®é vµ tung ®é ®iÓm M lµ c«tang cña a vµ kÝ hiÖu lµ cotga: 1 cos a cot ga = = (cotga x¸c ®Þnh Û sina ¹ 0) tga sin a sina; cosa; tga; cotga ®îc gäi lµ c¸c gi¸ trÞ lîng gi¸c cña cung lîng gi¸c a. 1 1 §«i khi, ngêi ta cßn ®a vµo c¸c kÝ hiÖu: cos eca = ; sec a = . sin a cos a Tõ c¸c ®Þnh nghÜa trªn, ta cã thÓ x¸c ®Þnh dÊu cña c¸c gi¸ trÞ lîng gi¸c cña a tïy theo vÞ trÝ ®iÓm cuèi M cña cung nµy n»m ë gãc phÇn t nµo trªn ®êng trßn lîng gi¸c. 3. C¸c hÖ thøc l-îng gi¸c c¬ b¶n a) sin 2 a + cos2 a = 1 "a sin a p b) tga = "a ¹ + kp cos a 2 cos a cot ga = "a ¹ kp; k Î Z sin a c) cos(a ± b) = cos a cos b  sin a sin b; "a; b d) sin(a ± b) = sin a c os b ± cos a sin b; "a; b
18 sæ tay KTTL * PhÇn 1 - c¬ së kü thuËt thñy lîi * TËp 1 Tõ nh÷ng c«ng thøc c¬ b¶n trªn, cßn cã c¸c c«ng thøc dÉn xuÊt kh¸c mµ ®éc gi¶ cã thÓ tù suy ra ®îc, ch¼ng h¹n: 1 1 e) 1 + tg 2 a = ; 1 + cot g2 a = ; 2 cos a sin 2 a f) cos ( -a ) = cos a; sin ( -a ) = - sin a; g) sin ( p - a ) = sin a; cos ( p - a ) = - cos a; æp ö æp ö h) sin ç - a ÷ = cos a; cos ç - a ÷ = sin a; è2 ø è2 ø §éc gi¶ cã thÓ dÔ dµng t×m ®îc c¸c c«ng thøc biÕn tæng thµnh tÝch; biÕn tÝch thµnh tæng; c¸c c«ng thøc cho gi¸ trÞ lîng gi¸c cña c¸c gãc nh©n ®«i, chia ®«i, nh©n x ba còng nh c¸c c«ng thøc tÝnh sinx; cosx; tgx theo t = tg . 2 4. C¸c hÖ thøc l-îng gi¸c ®Ó gi¶i tam gi¸c Gäi: a, b, c lµ ®é dµi c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC, theo thø tù ®èi diÖn víi c¸c gãc A, B, C. Gäi R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c; p lµ nöa chu vi tam gi¸c; r lµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c. Khi ®ã, ta cã: + C¸c ®Þnh lý h×nh chiÕu: a = bcosC + ccosB; b = ccosA + acosC; c = acosB + b cosA. + §Þnh lý hµm sè sin: a b c = = = 2R. sin A sin B sin C §Æc biÖt, nÕu cho A = 900, a = BC = 2R, th× tõ c¸c ®Þnh lý nµy, ta sÏ cã nh÷ng c«ng thøc liªn quan gi÷a c¹nh, gãc, b¸n kÝnh R ®Ó gi¶i mét tam gi¸c vu«ng. + §Þnh lý hµm sè cos: a 2 = b 2 + c2 - 2bc cos A . Tõ ®Þnh lý nµy, cã thÓ suy ra ®Þnh lý Pi-ta-go thuËn vµ ®¶o: A = 900 Û a2 = b2 + c2.
Ch¬ng 1 - to¸n häc 19 1.1.2. H×nh häc 1.1.2.1. DiÖn tÝch h×nh ph¼ng 1. Tam gi¸c th-êng 1 S= aha 2 víi ha - chiÒu cao øng víi c¹nh a. S = p(p - a)(p - b)(p - c) (C«ng thøc Hª-r«ng); 1 S= ab sin C; 2 S = p r. 2. Tø gi¸c + H×nh thang cã diÖn tÝch: a+b S= h 2 víi: a, b - ®é dµi hai ®¸y; h - chiÒu cao. + H×nh b×nh hµnh cã diÖn tÝch: S = ah víi: a - chiÒu dµi ®¸y; h - chiÒu cao. + H×nh thoi ABCD cã diÖn tÝch: 1 S= AC ´ BD 2 + DiÖn tÝch mét tø gi¸c bÊt kú cã thÓ tÝnh b»ng c¸ch chia tø gi¸c thµnh hai tam gi¸c. 3. H×nh trßn b¸n kÝnh R + Chu vi: C = 2pR + DiÖn tÝch: S = pR2. Tõ c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch cña h×nh trßn vµ tam gi¸c, cã thÓ suy ra c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch c¸c h×nh vµnh kh¨n, qu¹t trßn, viªn ph©n.
20 sæ tay KTTL * PhÇn 1 - c¬ së kü thuËt thñy lîi * TËp 1 1.1.2.2. DiÖn tÝch vµ thÓ tÝch bÒ mÆt cña mét sè khèi c¬ b¶n 1. DiÖn tÝch + DiÖn tÝch xung quanh cña h×nh trô trßn xoay: Sxq = C§ h + DiÖn tÝch xung quanh cña h×nh nãn trßn xoay: S xq = pRl trong ®ã: C§ - chu vi ®¸y; h - chiÒu cao; R - b¸n kÝnh ®¸y; l - ®é dµi ®êng sinh. + MÆt cÇu: S = 4pR2 víi: R - b¸n kÝnh h×nh cÇu. 2. ThÓ tÝch + H×nh l¨ng trô: V = S§ h + H×nh chãp: 1 V= S§ h 3 + H×nh chãp côt: V= ( h B + B ' + BB ' ) 3 + H×nh trô trßn xoay: V = S§ h + H×nh nãn: 1 V= S§ h 3 + H×nh nãn côt: V= ( h B + B ' + BB ' ) 3
Ch¬ng 1 - to¸n häc 21 + H×nh cÇu: 4pR3 V= » 4,1888 R3 3 víi: S§ - diÖn tÝch ®¸y h - chiÒu cao. B, B’ - diÖn tÝch ®¸y lín, ®¸y nhá. Ngêi ta cßn tÝnh diÖn tÝch mÆt trßn xoay vµ thÓ tÝch khèi trßn xoay b»ng ®Þnh lý Guyn-®anh hoÆc b»ng tÝch ph©n (xem 1.2.4). 1.1.2.3. H×nh gi¶i tÝch trong mÆt ph¼ng vµ trong kh«ng gian 1. PhÐp tÝnh vect¬ a) Vect¬ trong kh«ng gian ®îc x¸c ®Þnh bëi mét bé ba sè thùc cã thø tù gäi lµ ba to¹  ®é cña vect¬ ®ã. KÝ hiÖu “vect¬ a” lµ: a = (ax; ay; az), khi ®ã, ®é dµi vµ ba c«sin chØ  híng cña a ®îc tÝnh theo c¸c c«ng thøc:  a = a2 + a2 + a2 ; x y z ì    ï cos a = cos ï ( a; Ox ) = ax a2 + a2 + a2 ï x y z ï    ay ï ( a; Oy ) = í cos b = cos ; (a 2 x + a2 + a2 ¹ 0 y z ) ï a2 x + a2 y + a2 z ï ï   ( a; Oz ) = ï cos g = cos az ï a2 + a2 + a2 î x y z b) C¸c phÐp tÝnh vect¬ + Tæng (hiÖu) hai vect¬ lµ mét vect¬ cã to¹ ®é b»ng tæng (hiÖu) c¸c to¹ ®é t¬ng øng cña hai vect¬ ®ã. + TÝch cña vect¬ víi mét sè thùc lµ mét vect¬ cã to¹ ®é b»ng tÝch sè ®ã víi c¸c to¹ ®é cña vect¬ ®∙ cho. C¸c phÐp tÝnh céng, trõ, nh©n vect¬ víi mét sè nãi trªn cã c¸c tÝnh chÊt gièng nh c¸c tÝnh chÊt phÐp céng, trõ, nh©n hai sè ®¹i sè.   + TÝch v« híng cña hai vect¬ a; b lµ mét sè x¸c ®Þnh theo c«ng thøc:       ( ) a .b = a . b cos a; b = a x .b x + a y .b y + a z .b z