intTypePromotion=1
ADSENSE

Sóng gió - Vũ Thanh Ca

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:292

156
lượt xem
45
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình này được viết chung cho sinh viên năm thứ ba của khoa kỹ thuật bờ biển Trường đại học Thuỷ lợi. Giáo trình này cũng có thể được dùng để giảng dạy cho các chương trình sau đại học của các ngành liên quan. Ngoài ra, nó còn có thể được dùng làm sách tham khảo …

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Sóng gió - Vũ Thanh Ca

  1. Trường Đại học Thuỷ lợi Hà nội SÓNG GIÓ Vũ Thanh Ca Tháng 4 năm 2005
  2. Lời giới thiệu Giáo trình này được viết chung cho sinh viên năm thứ ba của khoa kỹ thuật bờ biển Trường đại học Thuỷ lợi. Giáo trình này cũng có thể được dùng để giảng dạy cho các chương trình sau đại học của các ngành liên quan. Ngoài ra, nó còn có thể được dùng làm sách tham khảo trong việc nghiên cứu sóng gió phục vụ cho việc khai thác và bảo vệ nguồn lợi biển. Giáo trình này được viết với tài trợ của Chính phủ Hà lan trong khuôn khổ dự án HWRU/CE. Tác giả xin chân thành cảm ơn GS J. A. Battjes về những ý kiến đề xuất cải tiến nội dung cho giáo trình. Lời cảm ơn cũng xin được gửi đến nhiều người khác như GS-TS Lê Minh Truyền, Hiệu trưởng Trường Đại học Thuỷ lợi, PGS-TS Vũ Minh Cát, GS K. d’Angremond, TS Van de Graaf, Ông C. Pilarczyc, TS J. Van Dijk, cô Van der Vast và nhiều đồng nghiệp khác tại Trường Đại học Thuỷ lợi Hà nội về sự giúp đỡ nhiệt tình của họ trong thời gian tác giả viết và chỉnh lý giáo trình.
  3. MỤC LỤC Trang 1 LỜI GIỚI THIỆU 1 1.1 Mục đích và nội dung của bài giảng 1 1.2 Sóng đại dương 1 1.3 Các định nghĩa cơ bản 3 1.4 Sóng ngắn và sóng dài 5 2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC CHẤT LỎNG 7 2.1 Các phương pháp mô tả dòng chảy của chất lỏng 7 2.2 Đạo hàm thời gian 7 2.3 Phương trình thể tích kiểm tra 7 2.4 Định luật bảo toàn vật chất và phương trình liên tục 10 2.5 Định luật bảo toàn động lượng và phương trình chuyển động 10 2.5.1 Phương trình chuyển động của Cauchy 11 2.5.2 Chuyển dịch, quay và vận tốc biến dạng 13 2.5.3 Mối liên hệ giữa vận tốc biến dạng và ứng suất – Phương trình 17 Navier-Stokes 2.5.4 Chất lỏng lý tưởng 18 3 LÝ THUYẾT TUYẾN TÍNH VỀ SÓNG BỀ MẶT TRONG VÙNG NƯỚC CÓ 21 ĐỘ SÂU KHÔNG ĐỔI 3.1 Các phương trình cơ bản và điều kiện biên 21 3.1.1 Các giả thiết trong lý thuyết sóng tuyến tính 21 3.1.2 Điều kiện không nén được – Phương trình liên tục 22 3.1.3 Các phương trình động lượng 22 3.2 Lời giải giải tích của bài toán sóng trọng lực bề mặt 24 3.3 Mối liên hệ phân tán của chuyển động sóng 29 3.4 Chuyển động của hạt nước và áp suất 30 3.5 Vận tốc nhóm và năng lượng sóng 34 3.6 Năng lượng của sóng phức hợp 38 4 NHỮNG LÝ THUYẾT SÓNG PHI TUYẾN CHO VÙNG NƯỚC CÓ ĐỘ SÂU 41 KHÔNG ĐỔI 4.1 Giới thiệu chung 41 4.2 Lý thuyết Stokes 41 4.2.1 Mặt cắt bề mặt nước 42 4.2.2 Vận tốc và quỹ đạo hạt nước 45 4.2.3 Mối liên hệ phân tán và vận tốc pha 46 4.2.4 Hàm lượng năng lượng và sự vận chuyển năng lượng 46 4.3 Lý thuyết Cnoidal 46 4.3.1 Mặt cắt bề mặt nước 48 4.3.2 Vận tốc và quỹ đạo hạt nước 48 4.3.3 Vận tốc pha 49 4.3.4 Hàm lượng năng lượng và sự vận chuyển năng lượng 49 4.4 Các lý thuyết số trị 49 4.5 Giới hạn áp dụng của các lý thuyết khác nhau 50 i
  4. 5 CÁC ĐẶC TRƯNG DO SÓNG GIÓ TẠO TA 52 5.1 Cơ chế tạo sóng do gió 52 5.1.1 Profile vận tốc gió và ứng suất gió trên mặt biển khơi 52 5.1.2 Các lý thuyết và cơ chế tạo sóng gió 53 5.1.3 Sóng gió và sóng lừng 57 5.2 Mô tả sóng gió 61 6 CÁC ĐẶC TRƯNG THỐNG KÊ CỦA SÓNG GIÓ 66 6.1 Các phương pháp thống kê dùng mô tả sóng ngẫu nhiên 66 6.1.1 Sóng mặt đại dương như là một hàm thống kê 66 6.1.2 Các định nghĩa và khái niệm cơ bản của phân tích chuỗi thời gian 69 6.1.3 Các cơ sở của việc mô tả phổ sóng đại dương 75 6.2 Mô tả sóng gió bằng phổ 76 6.2.1 Phổ năng lượng của sóng gió 76 6.2.2 Chiều rộng của phổ và dạng phổ 81 6.2.3 Các phổ tần số điển hình 86 6.2.4 Các hàm phổ hướng 93 6.3 Mô hình pha ngẫu nhiên 98 6.4 Xác định các đặc trưng phổ của sóng đại dương từ các ghi chép sóng ngoài hiện trường 110 7 CÁC QUÁ TRÌNH SÓNG VEN BỜ 110 7.1 Suy giảm sóng do ma sát đáy 110 7.2 Hiệu ứng nước nông 111 7.3 Khúc xạ sóng 117 7.3.1 Sự khúc xạ của sóng thường có đỉnh dài 117 7.3.2 Sự khúc xạ của sóng ngẫu nhiên 120 7.3.3 Tính sự khúc xạ của sóng ngẫu nhiên bằng phương trình thông lượng năng lượng 122 7.3.4 Sự khúc xạ cúa sóng ngẫu nhiên tại vùng biển có các đường đẳng sâu thẳng song song 124 7.4 Sự phản xạ sóng 126 7.4.1 Phân tích lý thuyết sự phản xạ sóng điều hoà 126 7.4.2 Sự phản xạ sóng ngẫu nhiên từ các công trình ven bờ 128 7.5 Sự nhiễu xạ sóng 132 7.5.1 Quá trình nhiễu xạ của sóng điều hoà 132 7.5.2 Nguyên lý Huygen 136 7.5.3 Đường xoắn ốc Cornu 136 7.5.4 Sự nhiễu xạ của sóng ngẫu nhiên 146 7.5.5 ứng dụng của giản đồ nhiễu xạ sóng điều hoà 153 7.6 Sóng có độ cao lớn nhất 153 7.7 Sóng vỡ 155 7.7.1 Sự vỡ của sóng điều hoà 155 7.7.2 Sự vỡ của sóng ngẫu nhiên 162 8 NƯỚC DÂNG VÀ DÒNG VEN DO SÓNG TẠO RA 173 8.1 Giới thiệu 173 8.2 Ứng suất bức xạ: trường hợp 1 chiều 173 8.3 Nước dâng do sóng: trường hợp 1 chiều 175 8.4 Ứng suất bức xạ: trường hợp hai chiều 180 ii
  5. 8.5 Dòng ven do sóng tạo ra 182 8.6 Nước dâng sóng gây ra do sóng vỡ 186 8.7 Dòng ven do sóng ngẫu nhiên gây ra trên một bãi phẳng 188 9 LỰC SÓNG LÊN CÁC CÔNG TRÌNH 191 9.1 Giới thiệu chung 191 9.2 Các thông số và chế độ dòng chảy 192 9.3 Lực sóng lên một bức tường 196 9.4 Lực sóng lên một công trình có thể tích lớn 199 9.5 Lực sóng lên một công trình nhỏ gọn 199 9.5.1 Giới thiệu chung 202 9.5.2 Lực của chất lỏng tác dụng lên các vật thể trong một dòng chảy đều và ổn định 202 9.5.3 Lực của chất lỏng tác dụng lên các vật thể trong một dòng chảy đều và không ổn định 205 9.5.4 Lực của chất lỏng tác dụng lên các vật thể nhỏ gọn khi có sóng 210 9.6 Tổng kết về các chế độ dòng chảy 212 9.7 Thí dụ 214 10 ĐO ĐẠC VÀ DỰ BÁO SÓNG ĐẠI DƯƠNG 217 10.1 Các kỹ thuật đo đạc sóng đại dương 217 10.1.1 Các kỹ thuật đo đạc tại chỗ 218 10.1.2 Các kỹ thuật viễn thám 221 10. Các phương pháp dự báo sóng cho FAS 224 10.2.1 Các đặc trưng thống kê của sóng ngoài hiện trường 225 10.2.2 Dự báo sóng cho FAS 228 10.3 Các phổ trung bình của sóng gió 235 10.4 Các phương pháp đơn giản để dự báo cho một vùng có độ sâu giới hạn 237 10.5 Sóng trong khu vực dự báo 242 10.6 Sóng trong khu vực phân tán 245 10.7 Các mô hình số trị để dự báo sóng 249 10.7.1 Các mô hình phân giải pha 250 10.7.2 Các mô hình tính pha trung bình cho vùng nước sâu 254 10.7.3 Các mô hình tính pha trung bình cho vùng nước nông 261 11 CÁC ĐẶC TRƯNG SÓNG GIÓ TRONG VÙNG BIỂN VIỆT NAM 265 11.1 Chế độ gió vùng biển nước ta 265 11.1.1 Những nhận xét chung 265 11.1.2 Vùng khí hậu biển miền Bắc và Bắc Trung bộ 266 11.1.3 Vùng khí hậu biển miền Trung và Nam Trung bộ 269 11.1.4 Vùng khí hậu biển miền đồng bằng miền Nam 270 11.1 Chế độ sóng vùng biển nước ta 272 11.2.1 Sóng tại Miền Bắc và Bắc Trung bộ 272 11.2.2 Các đặc trưng sóng gió ngoài khơi và duyên hải miền Trung 273 11.2.3 Các đặc trưng sóng gió ngoài khơi và duyên hải miền Nam 274 275 Tài liệu tham khảo iii
  6. Ch−¬ng 1 Lêi giíi thiÖu 1.1 Môc ®Ých vµ néi dung cña gi¸o tr×nh Gi¸o tr×nh nµy tr×nh bµy nh÷ng vÊn ®Ò liªn quan tíi viÖc t¹o ra, lan truyÒn, biÕn d¹ng vµ tiªu t¸n cña sãng giã. Néi dung cña gi¸o tr×nh nµy n»m trung gian gi÷a mét gi¸o tr×nh lý thuyÕt c¬ së vµ mét gi¸o tr×nh thùc hµnh dµnh cho kü s−. Lý thuyÕt to¸n häc vÒ sãng tiÕn h×nh sin vµ ph−¬ng ph¸p thèng kª m« t¶ sãng giã ®−îc tr×nh bµy chi tiÕt bëi v× chóng lµ c¬ së ®Ó hiÓu vÒ c¸c qu¸ tr×nh sãng. C¸c tr−êng hîp phøc t¹p h¬n ®−îc tr×nh bµy s¬ l−îc h¬n v× chóng qu¸ phøc t¹p (nh− m« h×nh sè trÞ vÒ sù lan truyÒn vµ biÕn d¹ng cña sãng trong vïng ven bê), hoÆc lµ v× nh÷ng lý thuyÕt to¸n häc vÒ chóng kh«ng tån t¹i (thÝ dô hiÖn t−îng sãng vì),. Sinh viªn ®¨ng ký häc gi¸o tr×nh nµy cÇn cã nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ gi¶i tÝch vµ c¬ häc chÊt láng. Tuy nhiªn, ®Ó gióp ®ì sinh viªn cã thÓ hiÓu ®−îc nh÷ng ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña ®éng lùc häc sãng, trong ch−¬ng 2 nh÷ng ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n vµ cÇn thiÕt cña c¬ häc chÊt láng sÏ ®−îc rót ra vµ ph©n tÝch. 1.2 Sãng ®¹i d−¬ng RÊt khã t×m thÊy mét mÆt n−íc tho¸ng trong tù nhiªn mµ kh«ng cã sãng. C¸c sãng nµy lµ sù thÓ hiÖn cña c¸c lùc t¸c ®éng lªn mÆt n−íc, chèng l¹i nh÷ng lùc cã xu h−íng gi÷ cho mÆt n−íc n»m ngang lµ träng lùc vµ søc c¨ng mÆt ngoµi. C¸c lùc nµy cã thÓ lµ nh÷ng lùc g©y nªn bëi mét c¬n giã giËt, hay lùc g©y nªn bëi mét hßn ®¸ r¬i xuèng mÆt n−íc. C¸c lùc nµy sÏ t¹o ra sãng, vµ träng lùc vµ søc c¨ng mÆt ngoµi sÏ lµm cho sãng lan truyÒn. N¨ng l−îng sãng (tû lÖ −íc ®Þnh) Sãng giã vµ sãng lõng Sãng ngäai träng Sãng søc c¨ng mÆt Sãng chu kú dµi ngßai lùc TÇn sè (vßng/s) H×nh 1. 1: S¬ ®å ph©n bè n¨ng l−îng sãng theo tÇn sè (Massel, 1996) Nãi chung, c¸c sãng trong ®¹i d−¬ng cã thÓ ®−îc ph©n chia thµnh 5 lo¹i: sãng ©m, 1
  7. sãng søc c¨ng mÆt ngoµi, sãng träng lùc, sãng néi vµ sãng cã quy m« hµnh tinh. Sãng ©m g©y ra do tÝnh nÐn ®−îc cña n−íc biÓn. Sãng träng lùc lµ do lùc träng tr−êng t¸c ®éng lªn c¸c h¹t n−íc ®· bÞ dÞch chuyÓn khái vÞ trÝ c©n b»ng trªn bÒ mÆt biÓn hay lµ trªn mét bÒ mÆt ®¼ng ®Þa thÕ bªn trong mét chÊt láng ph©n tÇng (sãng mÆt hay sãng néi). T¹i bÒ mÆt tiÕp xóc gi÷a khÝ vµ n−íc, sù kÕt hîp cña rèi do giã vµ lùc c¨ng mÆt ngoµi t¹o ra sãng søc c¨ng mÆt ngoµi víi tÇn sè lín. MÆt kh¸c, sãng cã quy m« hµnh tinh hay sãng Rossby ®−îc t¹o ra bëi nh÷ng biÕn ®æi cña ®é xo¸y thÕ trong t×nh tr¹ng c©n b»ng, g©y ra bëi nh÷ng thay ®æi cña ®é s©u hoÆc vÜ ®é. TÊt c¶ nh÷ng d¹ng sãng trªn cã thÓ x¶y ra ®ång thêi, t¹o ra nh÷ng d¹ng dao ®éng phøc t¹p. B¶ng 1.1: Chu kú vµ c¬ chÕ thµnh t¹o cña c¸c lo¹i sãng kh¸c nhau D¹ng sãng C¬ chÕ vËt lý thµnh t¹o Chu kú < 10-1 s Sãng søc c¨ng Søc c¨ng mÆt ngßai mÆt ngoµi Sãng giã < 15 s øng suÊt c¾t cña giã, träng lùc Sãng lõng Sãng giã < 30 s Sãng ®Ëp Nhãm sãng 1 - 5 min Seiche Thay ®æi vÒ tr−êng giã 2 - 40 min Céng h−ëng c¶ng Sãng ®Ëp, seich 2 - 40 min Tsunami §éng ®Êt, ®Êt ®¸ lë 10 min - 2 h N−íc d©ng b·o 1 - 3 days øng suÊt giã vµ biÕn ®æi cña ¸p suÊt kh«ng khÝ Sãng triÒu Träng lùc g©y ra do t¸c ®éng 12 - 24 h cña mÆt tr¨ng, mÆt trêi vµ lùc ly t©m do tr¸i ®Êt quay D¶i tÇn sè liªn quan ®Õn ngo¹i lùc rÊt réng vµ nh÷ng ph¶n øng cña bÒ mÆt ®¹i d−¬ng cã mét d¶i b−íc sãng vµ chu kú ®Æc biÖt réng, tõ c¸c sãng søc c¨ng mÆt ngoµi cã chu kú nhá h¬n 1s, sãng giã vµ sãng lõng cã chu kú tíi chõng 15s, tíi nh÷ng sãng triÒu vµ sãng n−íc d©ng do giã cã chu kú vµi giê tíi vµi ngµy. H×nh 1.1 vµ B¶ng 1.1 tr×nh bµy s¬ ®å ph©n bè n¨ng l−îng sãng bÒ mÆt theo tÇn sè còng nh− c¬ chÕ h×nh thµnh c¸c sãng nµy. H×nh vÏ nµy cho ta kh¸i niÖm vÒ tÇm quan träng t−¬ng ®èi cña c¸c d¹ng dao ®éng kh¸c nhau cña bÒ mÆt biÓn, nh−ng kh«ng nhÊt thiÕt ph¶n ¸nh n¨ng l−îng thùc sù cña mçi sãng ë mét vïng nµo ®ã. Sãng träng lùc cã tÇm quan träng lín nhÊt ®èi víi nh÷ng ho¹t ®éng kü thuËt trªn biÓn, v× ¶nh h−ëng cña sãng do giã g©y ra ®èi víi c¸c c«ng tr×nh biÓn lµ nguy hiÓm nhÊt. C¸c 2
  8. c«ng tr×nh biÓn cÇn ®−îc thiÕt kÕ sao cho chóng cã kh¶ n¨ng chÞu ®ùng tÊt c¶ c¸c lùc vµ vËn tèc dßng n−íc do c¸c sãng ®ã g©y ra. Mét hiÓu biÕt ®Çy ®ñ vÒ t−¬ng t¸c cña sãng víi c¸c c«ng tr×nh ngoµi kh¬i hiÖn nay ®· trë thµnh mét yÕu tè quyÕt ®Þnh cho viÖc tÝnh to¸n thiÕt kÕ c¸c c«ng tr×nh biÓn bÒn v÷ng víi chi phÝ tiÕt kiÖm nhÊt. Thñ tôc tÝnh to¸n ¸p lùc sãng nãi chung bao gåm nh÷ng b−íc sau ®©y: a) thiÕt lËp chÕ ®é sãng gÇn c«ng tr×nh b) ®¸nh gi¸ nh÷ng ®iÒu kiÖn sãng thiÕt kÕ cho c«ng tr×nh vµ c) lùa chän vµ ¸p dông mét m« h×nh tÝnh sãng ®Ó x¸c ®Þnh t¶i träng cña lùc t¸c ®éng lªn c«ng tr×nh. §Ó thùc hiÖn c¸c viÖc trªn, cÇn biÕt kiÕn thøc vÒ sãng bÒ mÆt. Vai trß cña sãng ®èi víi m«i tr−êng vïng ven biÓn cÇn ®−îc ®¸nh gi¸ ®óng. Sãng tiÕn tíi bê, vì vµ tiªu t¸n n¨ng l−îng trªn b·i c¸t. Sãng giã vµ sãng b·o t¸c ®éng nh÷ng lùc rÊt lín lªn c¸c c«ng tr×nh tù nhiªn vµ nh©n t¹o ven bê. Dßng ven do sãng t¹o ra kÕt hîp víi c¸c dßng ch¶y cã nguyªn nh©n kh¸c vËn chuyÓn trÇm tÝch vµ t¹o ra nh÷ng miÒn båi vµ xãi. KiÕn thøc vÒ chuyÓn ®éng sãng vµ c¸n c©n bïn c¸t cho ta ch×a khãa ®Ó lùa chän ®óng ®¾n ph−¬ng ph¸p vµ lo¹i c«ng tr×nh cÇn thiÕt cho b¶o vÖ bê. Nh÷ng d¹ng kh¸c cña sãng ®¹i d−¬ng, nh− sãng víi quy m« hµnh tinh, sãng triÒu vµ n−íc d©ng do giã, b·o, sãng néi vµ sãng bÞ chÆn t¹i vïng bê, cã vai trß nhá h¬n ®èi víi ngµnh kü thuËt bê biÓn vµ ®¹i d−¬ng hoÆc lµ ®· ®−îc tr×nh bµy trong c¸c s¸ch chuyªn kh¶o kh¸c, sÏ kh«ng ®−îc tr×nh bµy ë trong gi¸o tr×nh nµy. 1.3 C¸c ®Þnh nghÜa c¬ b¶n §Ønh VËn tèc truyÒn sãngc B−íc sãng L §é cao sãng H Mùc n−íc trung b×nh (MWL) h Bông §¸y biÓn H×nh 1.2 C¸c th«ng sè ®Ó ®Þnh nghÜa mét sãng 3
  9. C¸c th«ng sè cÇn thiÕt ®Ó ®Þnh nghÜa mét sãng bÒ mÆt ®−îc tr×nh bµy trªn h×nh 1.2. Nh− ®· chØ ra trªn h×nh, mùc n−íc cao nhÊt trong mét sãng ®−îc gäi lµ ®Ønh sãng, mùc n−íc thÊp nhÊt ®−îc gäi lµ bông sãng. Kho¶ng c¸ch gi÷a mét bông sãng vµ mét ®Ønh sãng liªn tiÕp ®−îc gäi lµ ®é cao sãng (H). Mét nöa cña ®é cao sãng lµ biªn ®é sãng a. Kho¶ng c¸ch n»m ngang gi÷a hai ®Ønh sãng liªn tiÕp ®−îc gäi lµ b−íc sãng L. §èi víi mét sãng tiÕn, thêi gian ®Ó hai ®Ønh sãng liªn tiÕp tíi mét ®iÓm cè ®Þnh trong kh«ng gian ®−îc gäi lµ chu kú sãng T. Tèc ®é di chuyÓn cña ®Ønh mét sãng tiÕn ®−îc gäi lµ vËn tèc pha hay vËn tèc truyÒn sãng. C¸c sãng cã chu kú vµ ®é cao t¹i mét vÞ trÝ kh«ng thay ®æi theo thêi gian ®−îc gäi lµ sãng ®iÒu hßa. Sãng trong tù nhiªn rÊt hiÕm khi lµ sãng ®iÒu hßa vµ truyÒn theo mét h−íng cè ®Þnh. NÕu mét sãng ký ®−îc ®Æt ®©u ®ã t¹i mét ®iÓm ë gi÷a ®¹i d−¬ng ®Ó ®o mùc n−íc ζ nh− lµ hµm cña thêi gian th× kÕt qu¶ ®o sÏ gièng nh− trong H×nh 1.3. C¸c sãng biÓu diÔn trªn h×nh nµy ®−îc gäi lµ sãng ngÉu nhiªn. Sãng do giã t¹o thµnh ®é ngÉu nhiªn rÊt cao, nh−ng sau khi lan truyÒn mét qu·ng ®−êng dµi, chóng trë thµnh c¸c sãng lõng cã tÝnh chÊt gÇn sãng ®iÒu hßa h¬n. ζ (t ) H×nh 1.3 ThÝ dô vÒ mét gi¶n ®å sãng ký z=ζ(x,y,t) z y x MWL (z=0) w v u z=-h H×nh 1.4 HÖ täa ®é §Ó cã thÓ m« t¶ chuyÓn ®éng sãng, ta nhÊt thiÕt ph¶i x¸c ®Þnh mét hÖ täa ®é. Mét hÖ täa ®é Cartesian th«ng th−êng ®−îc dïng ®Ó m« t¶ chuyÓn ®éng sãng ®−îc vÏ trªn H×nh 1.4. 4
  10. Nh− ®· chØ ra trªn h×nh, hÖ täa ®é cã gèc ®Æt t¹i mùc n−íc trung b×nh (z=0), vµ cã trôc x n»m ngang h−íng theo ph−¬ng truyÒn sãng vµ trôc z h−íng lªn trªn. Mùc n−íc tù do trªn MWL ®−îc ký hiÖu lµ ζ , vµ ph−¬ng tr×nh m« t¶ bÒ mÆt tho¸ng trë thµnh z = ζ ( x, y , t ) , víi t lµ thêi gian. 1.4 Sãng ng¾n vµ sãng dµi Theo quan ®iÓm thuû lùc, cã thÓ ph©n chia dßng ch¶y thµnh nh÷ng d¹ng kh¸c nhau dùa trªn tÇm quan träng t−¬ng ®èi cña c¸c thµnh phÇn kh¸c nhau trong c¸n c©n ®éng l−îng. NÕu nh− ta xÐt ®Õn ®éng l−îng theo ph−¬ng th¼ng ®øng, cã thÓ ph©n biÖt dßng ch¶y mµ trong ®ã kh«ng cã hay cã thÓ bá qua gia tèc theo ph−¬ng th¼ng ®øng, vµ dßng ch¶y cã gi¸ trÞ ®¸ng kÓ cña gia tèc theo ph−¬ng th¼ng ®øng. Trong thuû lùc cña dßng ch¶y dõng trong kªnh hë, c¸c dßng ch¶y nªu trªn t−¬ng øng lµ dßng ch¶y ®Òu hay dßng ch¶y biÕn ®æi chËm (®−êng cong n−íc vËt) hoÆc lµ dßng ch¶y dõng biÕn ®æi nhanh (dßng ch¶y qua miÖng cèng, dßng ch¶y qua ®Ëp v.v.). Trong dßng ch¶y biÕn ®æi chËm, tèc ®é biÕn ®æi cña vËn tèc theo kh«ng gian lµ nhá. Nãi mét c¸ch kh¸c, b¸n kÝnh cong cña c¸c ®−êng dßng trong mÆt ph¼ng th¼ng ®øng lín h¬n ®é s©u n−íc rÊt nhiÒu. §iÒu nµy cã nghÜa lµ gia tèc theo ph−¬ng th¼ng ®øng lµ kh«ng ®¸ng kÓ, vµ nh− vËy ph©n bè ¸p suÊt theo ph−¬ng th¼ng ®øng rÊt gÇn víi ¸p suÊt tÜnh. Khi ®ã, ¸p suÊt do sãng g©y ra cã thÓ coi lµ ®ång nhÊt theo ph−¬ng th¼ng ®øng. Gradient ¸p suÊt sÏ cã xu h−íng duy tr× mét dßng ch¶y ®ång nhÊt theo ph−¬ng th¼ng ®øng. Tuy r»ng ®iÒu nµy cã nghÜa lµ trong tr−êng hîp nµy, ¶nh h−ëng cña lùc c¶n ®¸y trë nªn ®¸ng kÓ vµ nh− vËy líp biªn s¸t ®¸y sÏ t¹o ra mét dßng ch¶y kh«ng ®ång nhÊt theo ph−¬ng th¼ng ®øng, viÖc lÊy trung b×nh dßng ch¶y theo ph−¬ng th¼ng ®øng lµ hoµn toµn chÊp nhËn ®−îc. KÕt qu¶ lµ täa ®é th¼ng ®øng nh− mét biÕn ®éc lËp bÞ lo¹i khái bµi to¸n. Sù kh¸c biÖt gi÷a dßng ch¶y biÕn ®æi chËm vµ dßng ch¶y biÕn ®æi nhanh còng gièng nh− sù kh¸c biÖt gi÷a sãng ng¾n vµ sãng dµi (thùc ra th× sãng dµi cã thÓ coi lµ dßng ch¶y biÕn ®æi chËm kh«ng dõng). C¸c kh¸c biÖt nµy ®−îc tËp hîp trong B¶ng 1.2 vµ ®−îc gi¶i thÝch trªn h×nh 1.5. B¶ng 1.2 Sù kh¸c biÖt gi÷a dßng ch¶y dõng biÕn ®æi chËm (sãng dµi) vµ dßng ch¶y dõng biÕn ®æi nhanh (sãng ng¾n) TÝnh chÊt dßng ch¶y Dßng ch¶y dõng biÕn ®æi Dßng ch¶y dõng biÕn ®æi chËm vµ sãng dµi nhanh vµ sãng ng¾n 5
  11. §é cong theo ph−¬ng th¼ng YÕu M¹nh ®øng cña c¸c ®−êng dßng Gia tèc th¼ng ®øng Kh«ng ®¸ng kÓ §¸ng kÓ Ph©n bè ¸p suÊt XÊp xØ thuû tÜnh TÝnh phi thuû tÜnh rÊt ®¸ng kÓ Profile vËn tèc GÇn nh− ®ång nhÊt (ngo¹i RÊt kh«ng ®ång nhÊt trõ líp biªn ®¸y) Lùc c¶n ®¸y §¸ng kÓ Kh«ng ®¸ng kÓ (p) (u ) (p) (u ) a) Sãng dµi b) Sãng ng¾n H×nh 1.4 Profile ¸p suÊt (p) vµ vËn tèc (u) bªn d−íi sãng dµi vµ sãng ng¾n 6
  12. Ch−¬ng 2 c¸c ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña c¬ häc chÊt láng 2.1 C¸c ph−¬ng ph¸p m« t¶ dßng ch¶y cña chÊt láng Cã hai ph−¬ng ph¸p m« t¶ dßng ch¶y cña chÊt láng. Ph−¬ng ph¸p thø nhÊt lµ ph−¬ng ph¸p Lagrange. Ph−¬ng ph¸p nµy kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña tõng h¹t láng trong kh«ng gian vµ theo thêi gian. Ph−¬ng ph¸p thø hai lµ ph−¬ng ph¸p Euler, kh¶o s¸t biÕn tr×nh thêi gian cña c¸c tÝnh chÊt vËt lý cña chÊt láng t¹i nh÷ng ®iÓm cè ®Þnh trong kh«ng gian. Trong bµi gi¶ng nµy, chØ trõ khi nãi râ rµng, ta mÆc nhiªn thõa nhËn lµ ph−¬ng ph¸p Euler sÏ ®−îc dïng ®Ó m« t¶ chuyÓn ®éng cña chÊt láng do tÝnh thuËn tiÖn cña nã. Trong ph−¬ng ph¸p nµy, mét hÖ täa ®é cÇn ®−îc thiÕt lËp vµ chuyÓn ®éng cña chÊt láng ®èi víi hÖ täa ®é ®ã sÏ ®−îc xem xÐt. HÖ täa ®é nµy cã thÓ lµ hÖ täa ®é ®−îc vÏ trªn h×nh 1.4 hoÆc trªn h×nh 2.1. 2.2 §¹o hµm thêi gian Gi¶ thiÕt r»ng ta dïng ph−¬ng ph¸p Lagrange ®Ó m« t¶ chuyÓn ®éng cña chÊt láng vµ kh¶o s¸t sù thay ®æi cña mét tÝnh chÊt vËt lý s cña mét h¹t láng chuyÓn ®éng cïng víi chÊt láng. Tèc ®é thay ®æi toµn bé cña tÝnh chÊt vËt lý nµy cã thÓ ®−îc chia thµnh hai phÇn: mét phÇn biÓu thÞ thay ®æi theo thêi gian cña tÝnh chÊt vËt lý t¹i vÞ trÝ cho tr−íc vµ mét phÇn biÓu thÞ sù thay ®æi cña tÝnh chÊt vËt lý g©y ra do sù thay ®æi vÞ trÝ cña h¹t láng. Nh− vËy, cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh sau: ds ∂s ∂s = + ui (2.1) dt ∂t ∂xi ë ®©y, quy ®Þnh Eistein vÒ viÖc tæng ®−îc lÊy theo chØ sè lÆp l¹i trong mét sè h¹ng ®¬n ®· ®−îc ¸p dông. Trong ph−¬ng tr×nh (2.1), ký hiÖu d / dt biÓu thÞ tèc ®é thay ®æi toµn phÇncña tÝnh chÊt vËt lý s cña h¹t láng vµ ®−îc coi lµ ®¹o hµm toµn phÇn hoÆc lµ ®¹o hµm Lagrange. Ký hiÖu ∂ / ∂t biÓu thÞ tèc ®é thay ®æi theo thêi gian cña tÝnh chÊt vËt lý t¹i mét ®iÓm cè ®Þnh vµ ®−îc gäi lµ tèc ®é thay ®æi ®Þa ph−¬ng theo thêi gian cña tÝnh chÊt vËt lý ®ã. 2.3 Ph−¬ng tr×nh thÓ tÝch kiÓm tra H×nh 2.1 chØ ra mét thÓ tÝch kiÓm tra cè ®Þnh trong kh«ng gian trong mét hÖ täa ®é cho tr−íc. T¹i mét thêi gian cho tr−íc t nµo ®ã, mét khèi chÊt láng lÊp ®Çy thÓ tÝch kiÓm tra nµy. Mét l¸t sau, t¹i thêi ®iÓm t + Δt, mét phÇn cña khèi chÊt láng nµy ®· ch¶y ra khái thÓ tÝch kiÓm tra vµ chÊt láng tõ ngoµi thÓ tÝch kiÓm tra sÏ ch¶y vµo trong ®Ó thay thÕ. 7
  13. z ThÓ tÝch kiÓm tra y x O H×nh 2.1 ThÓ tÝch kiÓm tra vµ khèi chÊt láng t¹i c¸c thêi ®iÓm t vµ t + Δt. Gi¶ thiÕt lµ B biÓu thÞ tæng l−îng cña mét tÝnh chÊt nµo ®ã cña chÊt láng (nh− khèi l−îng, ®éng l−îng hay nhiÖt l−îng v.v.) chøa trong thÓ tÝch kiÓm tra V. Ký hiÖu b lµ l−îng cña B trªn mét ®¬n vÞ khèi l−îng (mËt ®é cña B) sao cho B = ∫ ρbdV (2.2) V §Þnh luËt b¶o toµn cña tÝnh chÊt vËt lý yªu cÇu r»ng tèc ®é thay ®æi tæng céng cña tÝnh chÊt vËt lý bªn trong thÓ tÝch kiÓm tra b»ng tèc ®é thay ®æi ®Þa ph−¬ng cña tÝnh chÊt vËt lý céng víi tèc ®é cña tÝnh chÊt vËt lý ra khái thÓ tÝch kiÓm tra trõ ®i tèc ®é cña tÝnh chÊt vËt lý ®i vµo trong thÓ tÝch kiÓm tra. §iÒu nµy khi thÓ hiÖn b»ng ph−¬ng tr×nh th× cã thÓ ®−îc viÕt nh− sau: B − Bin ∂ dB =∫ ρbdV + lim out (2.3) dt CV ∂t Δt Δt →0 ë ®©y Bout vµ Bin lÇn l−ît lµ l−îng cña tÝnh chÊt vËt lý ra khái vµ ®i vµo thÓ tÝch kiÓm tra trong kho¶ng thêi gian Δt . H×nh 2.2 Mét diÖn tÝch v« cïng bÐ trªn bÒ mÆt cña thÓ tÝch kiÓm tra Bëi v× tÝnh chÊt B chuyÓn ®éng cïng víi chÊt láng, tèc ®é ch¶y ra cña B tõ thÓ tÝch 8
  14. kiÓm tra chØ cã thÓ lµ hµm sè cña vËn tèc dßng ch¶y trªn bÒ mÆt thÓ tÝch kiÓm tra. Nh− chØ ra trªn h×nh 2.2, khèi l−îng chÊt láng ch¶y ra khái thÓ tÝch kiÓm tra trong kho¶ng thêi gian rr r Δt qua mét diÖn tÝch rÊt nhá trªn bÒ mÆt thÓ tÝch kiÓm tra lµ ρ (u ⋅ n )ΔAΔt víi n lµ vector rr ®¬n vÞ vu«ng gãc víi phÇn tö bÒ mÆt ΔA vµ h−íng ra ngßai. (u ⋅ n ) ký hiÖu tÝch v« h−íng cña hai vector. §¹i l−îng B ch¶y ra khái phÇn tö bÒ mÆt trong kho¶ng thêi gian v« cïng bÐ rr nµy sÏ lµ ρb(u ⋅ n )ΔAΔt . TÝch ph©n trªn toµn bé bÒ mÆt cho ta: Bout − Bin rr = ∫ ρb(u ⋅ n )dA lim (2.4) Δt Δt → 0 S Nh− vËy, ph−¬ng tr×nh (2.3) cã thÓ ®−îc viÕt lµ: ∂ dB rr = ∫ ρbdV + ∫ ρb(u ⋅ n )dA (2.5) dt CV ∂t S víi S lµ diÖn tÝch cña bÒ mÆt thÓ tÝch kiÓm tra. NÕu nh− kh«ng cã ®iÓm nguån hoÆc ®iÓm hót cña tÝnh chÊt vËt lý ë bªn trong thÓ tÝch kiÓm tra th× ta sÏ cã ph−¬ng tr×nh sau: ∂ dB rr = ∫ ρbdV + ∫ ρb(u ⋅ n )dA = 0 (2.6) dt CV ∂t S T¹i ®iÓm nµy, ta cã ®−îc ph−¬ng tr×nh b¶o toµn cho thÓ tÝch kiÓm tra. Tuy nhiªn, rÊt khã ®¸nh gi¸ tõng sè h¹ng trong ph−¬ng tr×nh (2.6). §Ó cã thÓ lµm ®−îc ®iÒu nµy, nh− ®· chØ ra trªn h×nh 2.3, thÓ tÝch kiÓm tra ®−îc chia nhá thµnh mét sè v« h¹n c¸c thÓ tÝch kiÓm tra v« cïng bÐ. Sau ®ã, thay v× kh¶o s¸t tèc ®é ch¶y cña tÝnh chÊt vËt lý ra khái thÓ tÝch kiÓm tra, ta kh¶o s¸t tèc ®é ch¶y cña tÝnh chÊt vËt lý ra khái mçi thÓ tÝch kiÓm tra v« cïng bÐ. Tèc ®é ch¶y ra khái mét thÓ tÝch nh− thÕ nµy trõ ®i tèc ®é ch¶y vµo thÓ tÝch nµy lµ ∂u y ⎛ ⎞ ∂u ∂u ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ u x + x Δx ⎟ΔyΔz + ⎜ u y + Δy ⎟ΔxΔz + ⎜ u z + z Δz ⎟ΔyΔx ⎜ ⎟ ∂x ∂y ∂z ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.7) ∂u y ∂u z ⎞ ⎛ ∂u ( ) rr − (u x ΔyΔz + u y ΔxΔz + u z ΔxΔy ) = ⎜ x + ⎟ΔxΔyΔz = ∇ ⋅ u ΔV + ⎜ ∂x ∂z ⎟ ∂y ⎝ ⎠ r r rr rr r ë ®©y ∇ = i ∂ / ∂x + j ∂ / ∂y + k ∂ / ∂z víi i , j vµ k lÇn l−ît lµ c¸c vector ®¬n vÞ theo c¸c h−íng x, y vµ z. LÊy tæng cña tÊt c¶ tèc ®é ch¶y ra tõ mçi thÓ tÝch kiÓm tra víi giíi h¹n lµ thÓ tÝch cña 9
  15. mçi phÇn tö tiÕn tíi zero sÏ cho ta tèc ®é ch¶y ra tõ thÓ tÝch kiÓm tra. Sau ®ã, dïng ®Þnh lý ph©n kú ®Ó liªn hÖ gi÷a c¸c tÝch ph©n thÓ tÝch vµ bÒ mÆt, ta cã: r rr r ∫ ρb(u ⋅ n )dA = ∫ ∇ ⋅ (ρbu )dV (2.8) S CV Nh− vËy, tõ c¸c ph−¬ng tr×nh (2.5), (2.6) vµ (2.8), ta cã thÓ rót ra ph−¬ng tr×nh sau: r ⎡∂ r⎤ ∫ ⎢ ∂t (ρb) + ∇ ⋅ (ρbu )⎥dV = 0 (2.9) ⎣ ⎦ CV H×nh 2.3 C¸c thÓ tÝch v« cïng bÐ bªn trong thÓ tÝch kiÓm tra Bëi vµ thÓ tÝch kiÓm tra CV lµ tuú ý chän, râ rµng lµ nÕu cã mét ®iÓm trong kh«ng gian mµ t¹i ®ã ®¹i l−îng trong ngoÆc vu«ng bªn vÕ tr¸i cña ph−¬ng tr×nh (2.9) kh¸c zero, ta cã thÓ ®iÒu chØnh thÓ tÝch kiÓm tra sao cho nã chØ chøa ®iÓm nµy. §iÒu nµy cã nghÜa lµ tÝch ph©n bªn vÕ tr¸i cña ph−¬ng tr×nh (2.9) kh¸c zero vµ ph−¬ng tr×nh nµy kh«ng ®−îc tháa m·n ®èi víi thÓ tÝch kiÓm tra nµy. Nh− vËy, ®Ó ®¶m b¶o lµ ph−¬ng tr×nh (2.9) ®−îc tháa m·n cho toµn bé miÒn tÝnh, ®¹i l−îng trong ngoÆc vu«ng ë vÕ tr¸i cña ph−¬ng tr×nh (2.9) ph¶i lµ zero t¹i tÊt c¶ mäi ®iÓm trong miÒn nghiªn cøu. Hay nãi c¸ch kh¸c r ∂ r (ρb ) + ∇ ⋅ (ρbu ) = 0 (2.10) ∂t 2.4 §Þnh luËt b¶o toµn vËt chÊt vµ ph−¬ng tr×nh liªn tôc NÕu nh− ®¹i l−îng vËt lý nãi ë trªn ®−îc lÊy lµ khèi l−îng chÊt láng th× b trong ph−¬ng tr×nh (2.10) b»ng 1, vµ ph−¬ng tr×nh b¶o toµn vËt chÊt trë thµnh ∂ρ ∂ρ r ∂ r (ρu i ) = 0 + ∇ ⋅ ( ρu ) = 0 or + (2.11) ∂t ∂xi ∂t Ph−¬ng tr×nh (2.11) th−êng ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh liªn tôc cña dßng ch¶y láng. 10
  16. 2.5 §Þnh luËt b¶o toµn ®éng l−îng vµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng 2.5.1 Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña Cauchy Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng ®−îc rót ra b»ng c¸ch liªn hÖ B víi ®éng l−îng cña toµn hÖ thèng. §éng l−îng lµ mét ®¹i l−îng vector, lµ tÝch cña khèi l−îng vµ vËn tèc. Nh− vËy, b lµ r vector vËn tèc u . Tõ ®Þnh luËt chuyÓn ®éng cña Newton, tèc ®é thay ®æi cña ®éng l−îng trong mét hÖ víi khèi l−îng bÊt biÕn b»ng lùc t¸c dông: r dB r =F (2.12) dt r ë ®©y F lµ lùc t¸c dông lªn hÖ. Nh− vËy b»ng c¸ch sö dông ph−¬ng tr×nh (2.12), ph−¬ng tr×nh (2.5) trë thµnh: r ∂ r rr r ∫ ∂t (ρu )dV + ∫ ρu (u ⋅ n )dA F= (2.13) CV S r Trong ®ã F lµ tæng cña tÊt c¶ c¸c lùc t¸c dông lªn chÊt láng trong thÓ tÝch kiÓm tra. r Ký hiÖu lùc t¸c ®éng lªn mét ®¬n vÞ khèi l−îng láng (mËt ®é lùc) lµ f , ta cã: r r ∫ F= fdV (2.14) CV Dïng ®Þnh lý ph©n kú vµ ph−¬ng tr×nh (2.14), cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh (2.13) cho mçi thµnh phÇn trªn mçi h−íng nh− sau: ⎡ ⎤ ∂ (ρui ) − ∂ (ρu i u j )⎥ dV = 0 ∫ ⎢f − (2.15) i ∂t ∂x j ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ CV Bëi v× thÓ tÝch kiÓm tra lµ tuú ý, tõ ph−¬ng tr×nh (2.15) ta cã thÓ rót ra ph−¬ng tr×nh sau: ∂ (ρu i ) + ∂ (ρui u j ) = f i (2.16) ∂t ∂x j Dïng ph−¬ng tr×nh liªn tôc (Eq. 2.11), ta cã thÓ viÕt l¹i ph−¬ng tr×nh (2.16) nh− sau: 11
  17. ∂u i ∂u ρ + ρu j i = f i (2.17) ∂t ∂x j H×nh 2.4 Lùc ¸p suÊt theo h−íng x Ph−¬ng tr×nh (2.17) lµ ph−¬ng tr×nh Cauchy cña chuyÓn ®éng cña chÊt láng. Sè h¹ng ®Çu tiªn trong vÕ tr¸i cña ph−¬ng r×nh biÓu thÞ tèc ®é thay ®æi ®Þa ph−¬ng cña ®éng l−îng t¹i mét ®iÓm trong khi sè h¹ng thø hai biÓu thÞ tèc ®é thay ®æi cña ®éng l−îng t¹i ®iÓm ®ã g©y ra do dßng ch¶y (¶nh h−ëng cña hiÖn t−îng b×nh l−u). §èi víi bµi to¸n sãng träng lùc bÒ mÆt, chØ cã ¸p suÊt, øng suÊt c¾t vµ träng lùc lµ cÇn ®−îc xem xÐt. ¸p suÊt d− t¸c ®éng lªn mét ®¬n vÞ thÓ tÝch cña chÊt láng cã thÓ t×m ®−îc dÔ dµng b»ng c¸ch xem xÐt h×nh lËp ph−¬ng v« cïng bÐ nh− chØ ra trªn h×nh 2.4. Trong h×nh, chØ cã lùc ¸p suÊt t¸c ®éng lªn c¸c bÒ mÆt vu«ng gãc víi trôc x lµ ®−îc vÏ. Lùc ¸p suÊt d− t¸c ®éng theo h−íng x lªn mét ®¬n vÞ thÓ tÝch lµ: ⎡ ⎤ ∂p ⎞ ∂p ⎛ 1 ⎢ pΔyΔz − ⎜ p + ∂x Δx ⎟ΔyΔz ⎥ = − ∂x (2.18) ΔV ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ øng suÊt c¾t t¸c ®éng theo h−íng x lªn mét thÓ tÝch v« cïng bÐ ®−îc chØ ra trªn h×nh 2.5. Trong h×nh, chØ sè thø nhÊt cña τ chØ trôc täa ®é vu«ng gãc víi bÒ mÆt cña h×nh lËp ph−¬ng vµ chØ sè thø hai chØ ra h−íng cña thµnh phÇn cña øng suÊt. Thµnh phÇn cña øng suÊt t¸c ®éng theo h−íng vu«ng gãc víi bÒ mÆt ®−îc bao hµm trong ¸p suÊt vµ nh− vËy kh«ng ®−îc tÝnh ®Õn. Nh− ®· chØ ra trong h×nh, lùc d− trªn mét ®¬n vÞ thÓ tÝch do øng suÊt nhít g©y ra theo h−íng i lµ: ∂τ yi ∂τ zi ⎞ ∂τ ⎛ ∂τ ( f i )τ = −⎜ xi + ⎟ = − ji + (2.19) ⎜ ∂x ∂z ⎟ ∂y ∂x j ⎝ ⎠ Träng lùc theo h−íng i lµ tÝch cña träng l−îng cña phÇn tö ®−îc xem xÐt nh©n víi cosine cña gãc gi÷a ph−¬ng th¼ng ®øng vµ h−íng i. 12
  18. ∂h ( f i )g = − ρg (2.20) ∂xi ë ®©y, chiÒu d−¬ng cña h h−íng lªn phÝa trªn. TiÕp theo, dïng c¸c ph−¬ng tr×nh tõ (2.18) tíi (2.20), ph−¬ng tr×nh (2.17) trë thµnh ∂h ∂τ ji ∂u i ∂u ∂p ρ + ρu j i = − − ρg − (2.21) ∂t ∂x j ∂xi ∂xi ∂x j H×nh 2.5 øng suÊt c¾t theo h−íng x trªn thÓ tÝch v« cïng bÐ Ph−¬ng tr×nh (2.21) chøa tensor øng suÊt c¾t τ . §Ó cã thÓ viÕt ®−îc ph−¬ng tr×nh nµy d−íi d¹ng ¸p dông ®−îc, tensor nµy nhÊt ®Þnh ph¶i ®−îc biÓu thÞ d−íi d¹ng nh÷ng ®¹i l−îng c¬ b¶n nh− vËn tèc vµ nh÷ng ®¹o hµm cña nã. §Ó cã thÓ lµm ®−îc viÖc nµy, ta ph¶i kh¶o s¸t kü c¸c ®Æc tÝnh cña chÊt láng chuyÓn ®éng. 2.5.2 ChuyÓn dÞch, quay vµ vËn tèc biÕn d¹ng r H·y xem xÐt mét ®iÓm xi0 trong mét chÊt láng mµ t¹i ®ã vËn tèc lµ u 0 (xem h×nh r r r 2.6). T¹i mét ®iÓm l©n cËn víi täa ®é lµ xi0 + Δx , vËn tèc lµ u 0 + Δu . Gi¶ thiÕt r»ng u lµ mét hµm liªn tôc cña c¸c biÕn kh«ng gian th× ta cã thÓ khai triÓn Taylor hµm nµy t¹i l©n cËn ®iÓm xi0 nh− sau: r r ∂ 2 u (Δxi ) 2 ∂u r rr u 0 + Δu = u 0 + Δxi + 2 + ...... (2.22) ∂xi ∂xi 2! Bá qua c¸c sè h¹ng bËc hai vµ nhá h¬n, tõ ph−¬ng tr×nh (2.22) ta cã thÓ rót ra ph−¬ng tr×nh sau: 13
  19. ∂u i Δu i = Δx j (2.23) ∂x j Hay, b»ng c¸ch céng vµo vµ trõ ®i nh÷ng sè h¹ng gièng nhau vµo vÕ ph¶i cña ph−¬ng tr×nh (2.23), ta cã: 1 ⎛ ∂ui ∂u j ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎟Δx j + 1 ⎜ ∂ui − j ⎟Δx j ⎜ Δui = + (2.24) 2 ⎜ ∂x j ∂xi ⎟ 2 ⎜ ∂x j ∂xi ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Nh− vËy tensor ∂u i / ∂x j ®· ®−îc chia thµnh mét tensor bÊt ®èi xøng ω ij vµ mét tensor ®èi xøng d ij lÇn l−ît ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau: 1 ⎛ ∂u ∂u j ⎞ ω ij = ⎜ i − ⎟ (2.25) 2 ⎜ ∂x j ∂xi ⎟ ⎝ ⎠ 1 ⎛ ∂u i ∂u j ⎞ ⎜ ⎟ d ij = + (2.26) 2 ⎜ ∂x j ∂xi ⎟ ⎝ ⎠ H×nh 2.6 ChuyÓn ®éng cña nh÷ng ®iÓm l©n cËn H×nh 2.7 Mét phÇn tö láng ë vÞ trÝ ban ®Çu 14
  20. Thêi ®iÓm t+Δt H×nh 2.8 ChuyÓn ®éng cña phÇn tö láng H·y xem xÐt mét phÇn tö láng h×nh ch÷ nhËt víi mét gãc n»m t¹i gèc täa ®é, nh− trªn h×nh 2.7. ChÊt láng chuyÓn ®éng víi vËn tèc biÕn ®æi trong kh«ng gian vµ vËn tèc chuyÓn r r r r ®éng cña chÊt láng t¹i gèc täa ®é lµ u 0 , vËn tèc t¹i ®iÓm a lµ u a = u 0 + (∂u / ∂y )Δy , vµ r r r vËn tèc t¹i ®iÓm c lµ u c = u 0 + (∂u / ∂x )Δx . H·y xem xÐt h¹t láng nµy sau mét kho¶ng thêi r gian Δt, nh− thÊy trªn h×nh 2.8. §iÓm o chuyÓn ®éng ®−îc mét qu·ng ®−êng u 0 Δt , ®iÓm a r chuyÓn ®éng ®−îc mét qu·ng ®−êng u a Δt , v.v. Bëi v× vËn tèc chuyÓn ®éng t¹i c¸c ®iÓm kh¸c nhau nãi chung lµ kh¸c nhau mét chót, phÇn tö láng ®· bÞ biÕn d¹ng vµ kh«ng cßn lµ h×nh ch÷ nhËt n÷a. §Ó cã thÓ thÊy râ tÝnh chÊt cña sù biÕn d¹ng nµy, tr−íc hÕt ta h·y xem xÐt tr−êng hîp ∂u y ∂u x ∂u y ∂u x =− = =0 vµ (2.27) ∂y ∂x ∂x ∂y Bëi v× kh«ng cã sù biÕn ®æi vËn tèc chuyÓn ®éng theo h−íng x däc theo trôc x, c¸c c¹nh a-b vµ o-c kh«ng dµi ra vµ còng kh«ng ng¾n ®i; t−¬ng tù, c¸c c¹nh o-a vµ b-c còng gi÷ nguyªn chiÒu dµi. Sau mét kho¶ng thêi gian Δt, h¹t láng trë thµnh h×nh d¹ng nh− trªn h×nh 2.9. §iÓm a ®· chuyÓn ®éng ®−îc mét qu·ng ®−êng dµi h¬n mét kho¶ng lµ ∂u x / ∂yΔyΔt theo h−íng x so víi ®iÓm o, vµ ®iÓm c ®· chuyÓn ®éng ®−îc mét qu·ng ®−êng dµi h¬n mét kho¶ng lµ ∂u y / ∂xΔxΔt theo h−íng y so víi ®iÓm o. Gãc gi÷a c¹nh o-a vµ ph−¬ng th¼ng ®øng lµ ∂u x / ∂yΔt ; gãc gi÷a c¹nh o-c vµ ph−¬ng n»m ngang lµ ∂u y / ∂xΔt . Nh− vËy, víi nh÷ng gi¶ thiÕt nh− trªn, phÇn tö láng ®· tr¶i qua mét qu¸ tr×nh dÞch chuyÓn vÞ trÝ vµ quay. Më réng lý luËn cho ba chiÒu, ta thÊy r»ng ®iÒu kiÖn cho chuyÓn ®éng nh− thÕ nµy lµ ω ij ≠ 0 vµ d ij = 0 . Xem xÐt tiÕp tensor ω ij ta thÊy r»ng nã m« t¶ chuyÓn ®éng quay cña phÇn tö láng. §Ó ®Þnh l−îng sù biÕn d¹ng cña phÇn tö láng, mét vector xo¸y ®−îc ®Þnh nghÜa nh− 15
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2