Sử dụng những hệ thống đại số máy tính trong việc dạy và học đại số tuyến tính ở đại học

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 14, 2002<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> SỬ DỤNG NHỮNG HỆ THỐNG ĐẠI SỐ MÁY TÍNH<br /> TRONG VIỆC DẠY VÀ HỌC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ở ĐẠI HỌC<br /> <br /> Trần Vui<br /> Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế<br /> <br /> <br /> Nhiều nhà giáo dục toán học đã thừa nhận đại số  tuyến tính là một môn học  <br /> khó cả  về  nhận thức lẫn khái niệm ([4] Jean­Luc Dorier, 2001). Có rất nhiều quan  <br /> điểm tiếp cận đổi mới cách dạy và học bộ môn này tùy thuộc vào kinh nghiệm, kiến  <br /> thức và công cụ  làm việc của riêng từng giảng viên. Bài báo này đề  cập đến một  <br /> quan   điểm   sử   dụng   những  hệ   thống   đại   số   của   máy   tính   (HTĐSMT:  Computer  <br /> Algebra System) trong việc dạy và học đại số tuyến tính cơ sở. Hai ví dụ dưới dạng  <br /> hoạt động toán học được đưa ra minh họa với những mục đích sư phạm khác nhau.  <br /> Những ví dụ này được mô tả theo sự quan sát sinh viên trong quá trình làm việc trong  <br /> môi trường HTĐSMT. Việc đánh giá HTĐSMT ([3] Hillel J., 2001) như là một công  <br /> cụ dạy học hiệu quả bộ môn sẽ được nêu ra như một vấn đề  cần được nghiên cứu  <br /> trên đối tượng sinh viên và hoàn cảnh cụ thể để có câu trả lời xác đáng.<br /> 1. Mối quan hệ của HTĐSMT với Đại số tuyến tính:<br /> Cách đây hơn năm mươi năm HTĐSMT đã được sử  dụng trong việc tính toán  <br /> các biểu thức bằng chữ đơn giản, chẳng hạn tính toán một vài đạo hàm ([2] Hillel J.,  <br /> 2000). Nhưng chỉ đến những năm cuối của thập niên 70, khi những HTĐSMT có thể <br /> sử  dụng được cho máy tính cá nhân thì những yêu cầu về  việc sử  dụng HTĐSMT  <br /> như là công cụ để dạy và học mới được đặt ra.  Ngày nay, ngay cả một số loại máy  <br /> tính bỏ túi cũng có những chức năng của HTĐSMT. Những phần mềm toán học hiện  <br /> đại như  Mathematica, Maple đã được lập trình với những tính năng HTĐSMT phong  <br /> phú. Càng ngày người ta càng chấp nhận HTĐSMT có thể dùng được trong dạy học  <br /> nhằm những mục đích khác nhau, bằng những cách khác nhau tùy thuộc vào phong <br /> cách giảng dạy của từng giảng viên. Công bằng mà nói, trong dạy học toán thì  ở <br /> <br /> <br /> 13<br /> nhiều nước HTĐSMT đã được xem như một phần của “hệ thống công cụ” bao gồm <br /> bài giảng, sách giáo khoa, cũng như những bài toán giấy­bút truyền thống.<br /> Không có gì ngạc nhiên khi phần lớn những ví dụ minh hoạ ứng dụng sư phạm  <br /> với sự  hỗ  trợ  của HTĐSMT đều khai thác việc dạy các khái niệm về  phép tính vi  <br /> tích phân và phương trình vi phân. Vì trong những ví dụ đó những tính năng về đồ thị,  <br /> tính toán bằng chữ, ký hiệu, và tính toán bằng số của HTĐSMT được tận dụng triệt <br /> để  một cách dễ  dàng. Nhưng đối với đại số  tuyến tính, dẫu sao việc  ứng dụng <br /> HTĐSMT cũng khác nhiều. Sinh viên thường gặp khó khăn trong cách tiếp cận có  <br /> tính cấu trúc của bộ môn, bởi vì với đa số sinh viên đây là môn học đầu tiên trong đó <br /> các đối tượng toán học được xây dựng theo định nghĩa một cách hệ thống. Sinh viên <br /> cũng thường bị nhầm lẫn bởi sự hợp nhất của ba loại ngôn ngữ được dùng để mô tả <br /> bộ môn (trừu tượng, hình học và đại số). Để  hiểu được các ngôn ngữ  này liên quan <br /> với nhau như thế  nào trong một tình huống cụ  thể  đã cho thường làm cho sinh viên <br /> lúng túng ([4] Jean­Luc Dorier, 2001). Trong khi HTĐSMT hỗ trợ một công cụ tốt để <br /> tính toán các ma trận và giải hệ  phương trình, nhưng lại không đưa ra được một  <br /> phương tiện rõ ràng để  giúp sinh viên hiểu được các cấu trúc trừu tượng của lý <br /> thuyết tổng quát về không gian vector. Nhưng nếu chúng ta chỉ dùng cho trường hợp  <br /> cụ  thể  là không gian Rn  thì những hoạt động HTĐSMT có thể  được sử  dụng theo  <br /> nhiều cách khác nhau để giúp sinh viên hiểu và đánh giá cao tầm quan trọng của môn  <br /> học.<br /> Việc sử dụng các phương tiện công nghệ thông tin có chức năng HTĐSMT giúp  <br /> sinh viên quan sát các hiện tượng toán học từ  đó dự  đoán được giả  thuyết phù hợp <br /> cho bài toán và rồi tìm cách chứng minh. Mô hình sau đây minh hoạ  vai trò của <br /> HTĐSMT trong dạy và học toán ([5] Tran Vui, 2001).<br /> <br /> Công Nghệ Thông <br /> Tin<br /> HTĐSMT<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Quan Sát Giả Thuyết Định Lý<br /> (Trực quan) (Dự đoán) (Chứng minh)<br /> <br /> <br /> <br /> 14<br /> Tư duy Tư duy<br /> Qui nạp Suy diễn<br />  2. Những hoạt động minh họa sư phạm:<br /> M. Artigue ([1], 1999) chỉ  ra rằng những cách tiếp cận có tính kiến tạo trong <br /> dạy và học toán đã cho phép sinh viên có một cách nhìn mới về  việc học, nó không  <br /> phải chỉ  là việc truyền thụ  đơn thuần các kiến thức toán học. Những điều mà một  <br /> sinh viên có thể học được thường bị hạn chế rất nặng nề bởi những khái niệm đã có <br /> ban đầu, bởi tình huống đặt ra cho sinh viên và ngay cả  bởi những công cụ  mà sinh <br /> viên được sử dụng trong những tình huống đó. Hai hoạt động mẫu sau đây minh họa <br /> những tình huống sư phạm khi sinh viên học toán trong môi trường HTĐSMT.<br /> Hoạt động 1:  Đem lại những ngạc nhiên<br /> Cho ma trận A tuỳ ý, khảo sát ảnh hưởng của việc tính toán liên tiếp  <br /> các lũy thừa của A.<br /> Khi hỏi những sinh viên năm thứ nhất mới bắt đầu học giáo trình đại số tuyến  <br /> tính về các ma trận thoả  A2 = 0, thì câu trả lời của các sinh viên thường là A = 0 ([3] <br /> Hillel J., 2001). <br /> Dĩ nhiên điều đó không có gì đáng phải ngạc nhiên khi sinh viên vẫn còn giữ <br /> những hiểu biết quen thuộc đã học về các tính chất của phép nhân các số  thực. Tuy <br /> nhiên khi học xong giáo trình nhập môn đại số tuyến tính, hy vọng sinh viên sẽ hiểu <br /> được sâu sắc hơn các khái niệm và sẽ  nhận ra rằng còn có các ma trận khác không <br /> vẫn thỏa mãn phương trình trên.<br /> Nhưng hiểu biết về  các ma trận như  vậy của sinh viên phần nào thiếu chính <br /> xác và không đầy đủ. Hầu hết các sinh viên thường tin tưởng là những ma trận như <br /> 0 1<br /> vậy phải là rất hiếm, và một ma trận có dạng     được xem như  là một trong <br /> 0 0<br /> những ma trận tiêu biểu để minh họa.<br /> Hoạt động 1 là một trong những ví dụ  về  việc sử  dụng khoa học công nghệ <br /> trước hết nhằm mục đích tạo ra một sự  ngạc nhiên. Trong trường hợp cụ  thể  này,  <br /> yêu cầu sinh viên dùng phần mềm  Mathematica hoặc Maple để tính liên tiếp các lũy <br /> thừa của một ma trận “lớn” A, được chọn một cách thận trọng như sau:<br /> <br /> 12 8 13 ­17 ­24<br /> ­44 ­12 0 32 36<br /> A :=  ­20 ­22 26 50 ­12<br /> 4 46 ­26 ­10 44<br /> 60 40 ­13 ­7 ­16<br /> Việc khám phá ra A5 = 0 thoạt đầu sẽ làm cho sinh viên hoài nghi. Đôi khi, sinh <br /> viên sẽ rà soát lại các tính toán một lần nữa chỉ để bảo đảm là sinh viên không phạm <br /> <br /> 15<br /> sai lầm trong tính toán. Nhiều ví dụ khác cùng dạng như vậy sẽ nhanh chóng thuyết <br /> phục được sinh viên đây là một hiện tượng toán học có lôgic.<br /> Trên đây là một trong nhiều bài toán liên quan đến việc lấy lũy thừa liên tiếp  <br /> của một ma trận đặc biệt được chọn trước. Mục tiêu của những hoạt động như vậy <br /> rõ ràng không phải để  tính toán mà quan trọng hơn là để  quan sát và thấy được  <br /> những ma trận trông phức tạp có thể  có những tính chất thú vị. Những tính chất đó  <br /> có thể  được đặt tên về  sau (như lũy linh, giải được...). Nếu được giới thiệu sớm  ở <br /> các lớp mở đầu đại số tuyến tính, các hoạt  động này sẽ cung cấp cho học sinh một  <br /> cái nhìn khác về các tính chất phong phú của ma trận.  Đương nhiên sinh viên sẽ thấy <br /> việc giáo viên chọn trước ma trận  A như trên là thiếu tự nhiên. Sinh viên sẽ tự đặt ra  <br /> nhiều câu hỏi, chẳng hạn xây dựng một ma trận lũy linh cấp  4  4 với các hệ số khác <br /> không. Khi đó hoạt động ban đầu có thể được liên hệ với những hướng quan trọng  <br /> của lý thuyết, ví dụ như tính đồng dạng và những tính chất của ma trận mà bất biến <br /> qua đồng dạng.<br /> Theo kinh nghiệm, sinh viên thường có suy nghĩ biến đổi ma trận chỉ theo một <br /> hướng xuôi, đó là biến đổi một ma trận phức tạp về một ma trận có dạng đơn giản  <br /> hơn bằng cách dùng các phép đồng dạng hoặc tương đương hàng...Nhưng người ta  <br /> cũng có thể làm “phức tạp” một ma trận đơn giản bằng cách thực hiện những biến  <br /> đổi như  trên mà vẫn còn giữ  được các tính chất chính yếu của ma trận, chẳng hạn  <br /> tính lũy linh. Đó là kỹ thuật mà các giảng viên thường dùng để tạo ra các ví dụ về ma  <br /> trận không tầm thường với những tính chất đặc biệt bằng cách tính toán ngược lại  <br /> từ kết quả.<br /> Hoạt động 2:  Những khảo sát thăm dò<br /> Cho một ma trận A và một vector v, khảo sát  ảnh hưởng của việc lập lại tác  <br /> động của A lên v.<br /> Trong giáo trình đại số tuyến tính nâng cao, khi trình bày dạng chính tắc Jordan,  <br /> sinh viên phải làm việc với những không gian các vector riêng tổng quát, tức là những  <br /> vector bị quy về vector không bằng một lũy thừa nào đó của phép biến đổi dạng ma <br /> trận (A­ I). Khái niệm vector riêng tổng quát chỉ là ý tưởng tác động lập lại của một  <br /> ma trận lên một vector. Một lần nữa, sinh viên thường có rất ít kinh nghiệm trong <br /> việc thao tác các tác động lập lại. Vì thế sinh viên sẽ khó nhận ra được rằng, có một  <br /> số  vector có những tính chất “đặc quyền” đối với một ma trận (chẳng hạn  Akv = v <br /> hoặc Akv = 0, với k   1 nào đó). Sinh viên có khả  năng nhận ra và nắm bắt các kiến <br /> thức mới này thông qua các khảo sát toán học. Để  chuẩn bị  cho hoạt động 2, trước  <br /> <br /> 16<br /> hết chúng ta cho phép sinh viên sử  dụng  Mathematica hoặc Maple để  khảo sát một <br /> vài khái niệm chưa được trình bày ở trên lớp.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 17<br />  Tuổi thọ của v dưới tác động của A<br /> Bắt đầu với một ma trận A, một vector khác không v có thể  không “sống sót” <br /> dưới tác động đầu tiên của A theo nghĩa Av = 0. Nó có thể  sống sót dưới tác động <br /> đầu tiên của A, nhưng lại không sống sót được dưới tác động thứ  hai, tức là  Av   0, <br /> nhưng        A2v = 0, và cứ tiếp tục như vậy.<br /> Đặt vk = Ak v, v0 = v.  Nếu v0   0, nhưng v1 = 0 ta nói v có tuổi thọ 1 đối với A. <br /> Nếu v1    0, nhưng v2 = 0 thì v có tuổi thọ 2 đối với A, và cứ tiếp tục như vậy.<br /> Vector zero xem như có tuổi thọ 0 đối với A.<br /> Ta nói v có tuổi thọ hữu hạn đối với A nếu tồn tại k sao cho vk = 0. Trong các <br /> trường hợp khác ta nói v có tuổi thọ vô hạn.<br /> Để  tiến hành hoạt động 2, giảng viên cố  gắng đưa ra nhiều ma trận và vector <br /> khác nhau rồi yêu cầu sinh viên kiểm tra tuổi thọ. Ví dụ xét ma trận:<br /> 8 8 5 4 3 2<br /> 5 5 8 4 3 2<br /> N 3 3 3 8 6 4<br /> 2 2 2 1 4 6<br /> 1 1 1 7 11 3<br /> Tìm tuổi thọ đối với N của những vector cột  [1, 2, 1, 2, ­1, 1], [­3, 0, ­3, 2, ­1, 1]  <br /> và [1, 1, 1, 1, 1, 1]. Yêu cầu sinh viên tự chọn những vector của riêng mình và tìm tuổi  <br /> thọ của chúng.<br /> Hoạt động này có khả  năng đưa đến nhiều câu hỏi có tính lý thuyết khi sinh <br /> viên cố gắng tìm mối liên hệ giữa khái niệm mới với các khái niệm đã học, ví dụ về <br /> các vector riêng, không gian không (nullspace) và các ma trận lũy linh. Nó cũng có thể <br /> dẫn đến việc nghiên cứu khái niệm những đa thức tối tiểu của một vector  v đối với <br /> một ma trận A ([3] Hillel J., 2001).<br /> 3. Đánh giá HTĐSMT như một công cụ giáo dục:<br /> Người ta thường thách thức những giảng viên sử dụng HTĐSMT như một công <br /> cụ giáo dục phải đưa ra được những bằng chứng cụ thể để thuyết phục rằng họ  đã <br /> thực sự  cải thiện chất lượng dạy và học hay không. Nhưng người ta lại thường  <br /> không xét đến trong hoàn cảnh cụ thể nào, chẳng hạn dùng cho ai, với mục đích gì, <br /> và cách đánh giá hiệu quả của việc sử dụng lại không hoàn toàn rõ ràng. Ngay cả đối <br /> với một giảng viên nào đó có sẵn trong đầu một mục đích giáo dục rõ ràng nhất định, <br /> thì việc thành công hay thất bại cũng không thể  phụ  thuộc hoàn toàn vào việc sử <br /> dụng   HTĐSMT   trong   dạy   và   học.   Sự   thành   công   hay   thất   bại   của   việc   dùng  <br /> HTĐSMT tùy thuộc vào rất nhiều yếu tố thực tế. Khi kết quả học tập của sinh viên  <br /> <br /> 18<br /> được cải thiện theo chiều hướng tốt qua việc sử dụng HTĐSMT, thì chúng ta cũng <br /> nên xem xét các yếu tố  quan trọng khác tác động đến thành công. Còn nếu gặp thất  <br /> bại, thì chúng ta cũng nên xét xem liệu chúng ta đã dùng HTĐSMT đúng với tình <br /> huống cụ thể  chưa. Chúng ta cũng nên thừa nhận là, trong thực tế  vì lý do hạn chế <br /> thời gian lên lớp, trang thiết bị cần thiết chưa đủ, rồi có những người mới sử dụng  <br /> HTĐSMT phải chịu “lãng phí” thời gian để  làm những việc không có ý nghĩa lắm <br /> trong khảo sát toán học. <br /> Khi đánh giá tính hiệu quả của HTĐSMT trong dạy học, chúng ta cần lưu ý đến  <br /> hai yếu tố quan trọng chính sau đây: mô tả  tình huống dạy học cụ thể và những lựa  <br /> chọn sư phạm đi kèm với những hoạt động HTĐSMT.<br /> 4. Kết luận:<br /> Chắc chắn khi mới bắt đầu làm quen với HTĐSMT, người sử  dụng sẽ  gặp  <br /> nhiều lỗi về  cú pháp máy tính và những khó khăn về  kỹ  thuật khác. Nhưng với suy  <br /> nghĩ thận trọng, và kinh nghiệm giảng dạy, chúng ta sẽ tìm được nhiều hoạt động có  <br /> khả  năng thu hút hầu hết sinh viên theo đuổi tìm tòi một ý tưởng toán học nào đó.  <br /> Trong quá trình  tìm tòi, sinh viên có thể trở nên tò mò một cách toán học để rồi tổng  <br /> quát hóa các ý tưởng toán học và điều đó sẽ khẳng định vai trò của HTĐSMT trong <br /> dạy và học đại số  tuyến tính. Còn việc đánh giá tính hiệu quả  của việc sử  dụng  <br /> HTĐSMT trong một tình huống giáo dục cụ  thể  cần phải được nghiên cứu để  có  <br /> những kết luận thỏa đáng.<br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> 1. Artigue   M.  The   Teaching   and   Learning   of   Mathematics   at   the   University   Level. <br /> Notices of the AMS, 1377­1385 (1999)<br /> 2. Hillel J. Computer Algebra Systems in the Learning and Teaching of Linear Algebra:  <br /> Some Examples. In Derek Holton (Ed.), The Teaching and Learning of Mathematics <br /> at University Level: An ICMI Study, Kluwer Academic Publishers, 371­380 (2001)<br /> 3. Hillel J. Modes of Description and the Problem of Representation in Linear Algebra.  <br /> In J­L Dorier (Ed.), On the Teaching of Linear Algebra,Dordrecht: Kluwer Academic <br /> Publishers, 191­207 (2000)<br /> 4. Jean­Luc  Dorier and Anna Sierpinski Research into The Teaching and Learning of  <br /> Linear Algebra. In Derek Holton (Ed.), The Teaching and Learning of Mathematics <br /> at University Level: An ICMI Study, Kluwer Academic Publishers, 255­273 (2001)<br /> 5. Tran Vui  Investigating Geometry with the Geometer’s Sketchpad – A Conjecturing  <br /> Approach. SEAMEO RECSAM, Penang, Malaysia. (2001)<br /> <br /> <br /> 19<br />  USING COMPUTER ALGEBRA SYSTEMS IN TEACHING AND LEARNING <br /> OF LINEAR ALGEBRA AT UNIVERSITY LEVEL<br /> Tran Vui<br />  College of  Pedagogy,  Hue University<br /> <br /> SUMMARY<br /> <br /> At the university level the introduction of technologies were seen as a means to renew  <br /> pedagogical practices. This article discusses one point of view of the use of Computer Algebra  <br /> Systems (CAS) in the teaching and learning of  linear algebra. Two activities are given, each  <br /> with a different pedagogical purpose. With thought, care, and experience, there are activities  <br /> that can engage most students in a mathematical idea or confront them with unexpected results.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 20<br />