Sáng kiến kinh nghiệm
1
Sử dụng phương trình tiếp tuyến
của đồ thị hàm số chứng minh bất đẳng thức
Sáng kiến kinh nghiệm
2
Phần 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Việc nâng cao phương pháp dạy học là cần thiết và thường xuyên đối với giáo viên của tất
cả các bộ môn. Trong môn toán có nhiều đơn vị kiến thức giáo viên phải thực sự tích cực trau
dồi, bồi dưỡng kiến thức và phương pháp thì mới đạt hiệu quả khi truyền tải kiến thức cho học
sinh. Hơn nữa, trong thời điểm hiện nay, với cấu trúc thi đại học mới ban hành, nhiều phần kiến
thức giáo viên phải tìm tòi sáng tạo, tìm ra phương pháp mới để học sinh có thể giải quyết các
bài toán mới trong các đề thi học sinh giỏi, thi đại học cao đẳng. Và bài toán chứng minh bất
đẳng thức và các ứng dụng trong môn toán THPT không phải là ngoại lệ. Khi gặp dạng toán
chứng minh bất đẳng thức, giáo viên thường củng cố nêu kiến thức và các phương pháp kinh
điển, các phương pháp có sẵn để giải quyết bài toán đó. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này
giới thiệu một phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà tác giả đã tìm tòi, học hỏi trang bị cho
học sinh. Qua đó học sinh có thêm một công cụ giải bài tập, có hướng tìm ra và sử dụng các
phương pháp chứng minh các bất đẳng thức.
Bên cạnh đó, xuất phát từ thực tế giảng dạy nhiệm vụ giải bài tập chứng minh bất đẳng
thức (nhất là trong đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng của bộ giáo dục và đào tạo) là nhiệm vụ rất
khó khăn. Nhu cầu của mỗi học sinh trước khi giải bài tập dạng này có cách nhìn khái quát, định
hướng phương pháp giải. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này đó là nêu rõ phương pháp và
cách áp dụng khi chứng minh các bất đẳng thức.
Với nội dung nêu trên, đề tài sáng kiến của tôi là:
“Sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số chứng minh bất đẳng thức”
2. Mục đích nghiên cứu :
Khi kết thúc chương trình lớp 12, khi gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức và các ứng
dụng đòi hỏi học sinh phải nhận dạng được bài toán chứng minh bất đẳng thức vận dụng theo
phương pháp nào. Sự kết hợp các phần kiến thức khác nhau giữa đại số, hình học, giải tích sẽ
cho ta các phương pháp chứng minh thích hợp. Vận dụng tính chất của tiếp tuyến đường cong,
ứng dụng của nó cùng với tính chất của các bất đẳng thức cơ bản sẽ cho ta một phương pháp
chứng minh mới, phù hợp là mục đích của sáng kiến kinh nghiệm này.
3. Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu:
Kết quả lớn nhất của sáng kiến này là đã tìm ra thêm một phương pháp chứng minh bất
đẳng thức, ngoài việc tổng hợp các 10 phương pháp chính làm bài tập chứng minh bất đẳng thức.
Sáng kiến kinh nghiệm
3
Từ đó phân biệt các phương pháp giải các bài toán về bất đẳng thức, liên quan đến bất đẳng thức
(tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số,..) trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng và thi
học sinh giỏi các cấp. Khi đó giáo viên sẽ rút ra kinh nghiệm khi giảng bài và sáng tạo các bài
toán mới.
Phương pháp nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là phân tích, tổng hợp hiệu quả
của các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thông thường. Từ đó sáng tạo ra phương pháp
mới, đồng thời phân tích, tổng hợp để làm rõ hiệu quả của phương pháp mới này.
4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
Về con người là các thầy cô giáo giảng dạy môn toán THPT và các em học sinh đang học
tại trường THPT của tôi. Trong phần toán học, ở đây đối tượng nghiên cứu là các phương pháp
chứng minh bất đẳng thức mà học sinh được học trong chương trình phổ thông.
5. Điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:
Là nêu một phương pháp mới chứng minh bất đẳng thức, vận dụng tổng hợp các kiến
thức về tính chất bất đẳng thức, các ứng dụng cơ bản của đạo hàm.
Nội dung chính của sáng kiến kinh nghiệm này bao gồm:
Chương 1: Cơ sở lý luận (Phương pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức)
1) Phân bậc hoạt động chứng minh bất đẳng thức.
2) Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh qua chứng minh bất đẳng thức.
3) Hướng dẫn học sinh tìm ra nhiều phương pháp chứng minh một bất đẳng thức.
4) Phát hiện, khắc phục và sửa chữa sai lầm trong chứng minh bất đẳng thức.
Chương 2: Cơ sở thực tiễn (Giải pháp cũ thường làm) 10 phương pháp chứng minh bất
đẳng thức thường gặp.
Chương 3: (Giải pháp mới) Phương pháp mới chứng minh bất đẳng thức.
Chương 4: Kết quả thực nghiệm tại trường tôi công tác.
Phần 2: NỘI DUNG
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
Bất đẳng thức là một dạng toán khó ở bậc trung học phổ thông đối với đại trà học sinh.
Điều đó đồng nghĩa với việc dạy học bất đẳng thức là một nội dung không hề đơn giản. Nhiều
giáo viên xác định không cần dành quá nhiều thời gian để củng cố ôn tập cho học sinh phần kiến
thức này, chấp nhận từ bỏ bài toán chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng của nó. Chưa hẳn
điều đó đã đúng, nếu chúng ta nghiêm túc phân bậc đối tượng học sinh và chỉ cần bồi dưỡng
năng lực giải bài tập bất đẳng thức tùy theo mức độ các nhóm học sinh khác nhau.
1) Phân bậc hoạt động chứng minh bất đẳng thức:
Sáng kiến kinh nghiệm
4
Điều này rất quan trọng, có thể căn cứ vào số lượng biến, sự phức tạp của đối tượng, căn cứ
vào mức độ tường minh, sự phối hợp ít hay nhiều hoạt động để xây dựng hệ thống bài toán từ dễ
đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, nhằm rèn luyện các phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
Nhằm rèn luyện cho học sinh vận dụng Bất đẳng thức Cô-si có thể lấy một hệ thống bài toán
phân bậc như sau. Ta lấy một ví dụ: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
(1) 1 1
( )( ) 4
a b
a b
, với
, 0
a b
(2) 2 2 2
a b c ab bc ca
với
, , 0
a b c
(3) 2 2 2 2 2
( )
a b c d e a b c d e
với
, , , , 0
a b c d e
(4) Cho
, , 0, 1
x y z xyz
chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
1 1 1
3 3
x y y z z x
xy yz zx
(5) Cho 1 1 1
, , 0, 4
x y z x y z
chứng minh rằng:
111
1
222
x y z y z x z x y

Trong hệ thống bài tập ở trên mức độ vận dụng ở các bài toán là khó dần:
bài (1) chỉ cần vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi cho hai số.
bài (2) phải ghép đôi rồi áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số.
bài (3) đầu tiên phải biết tách
2 2 2 2
2
4 4 4 4
a a a a
a
và ghép đôi
bài (4) vừa áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số trong căn, vừa áp dụng cho ba số hạng ở
vế trái
bài (5) là câu khó trong đề thi tuyển sinh Đại học,Cao đẳng khối A năm 2002. Đòi hỏi vận
dụng sáng tạo: Từ 1 1
( )( ) 4
a b
a b
với
, 0
a b
đến
1 1 1 1
( )
4
a b a b
Từ đó:
1 1 2 1 1
( )
2 16
x y z x y z
và tương tự cho hai hạng tử còn lại.
2) Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh qua chứng minh bất đẳng thức:
Bất đẳng thức và các ứng dụng rất thuận lợi để rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh:
phân tích, so sánh, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá,… Học sinh cần phải có được cách giải
quyết bài toán, đồng thời là cách suy nghĩ để giải quyết bài toán, giải quyết vấn đề.
Sáng kiến kinh nghiệm
5
Ví dụ: Giáo viên nêu các dấu hiệu gợi ý cho học sinh nghĩ đến bất đẳng thức Côsi (đây là hoạt
động phân tích, so sánh) như: các số tham gia bất đẳng thức dương; Có căn bậc 2, bậc 3; Vì sao
phải sáng tạo, đặc biệt hoá khi dấu bằng xảy ra để làm gì?; Áp dụng bất đẳng thức (1) cho bất
đẳng thức (2) hay ngược lại một cách linh hoạt.
(1) Cho
, , 0
a b c
và
3
4
a b c
.CMR: 3 3 3
3 3 3 3
a b b c c a
(2) Cho
, , 0
a b c
và
1
abc
.CMR: 3 3 3
3 3 3 3
a b b c c a
3) Hướng dẫn học sinh tìm nhiều phương pháp chứng minh một bất đẳng thức:
Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, bất đẳng thức không phải là ngoại lệ do
cách nhìn khác nhau, từ nhiều phương diện khác nhau. Ta có thể tìm hiểu qua các ví dụ sau đây:
a) Ví dụ 1: Cho
0 , 1
x y
. Chứng minh rằng:
1
4
x y y x
Cách 1: Dựa vào điều kiện
0 , 1
x y
ta có:
( ) (1 )
VT xy x y y y
Lúc này lại áp dụng bất đẳng thức Côsi:
1
( ) (1 )
4
xy x y y y
Cách 2: Đặc biệt hoá dấu bằng xảy ra khi x = 4y. Vậy khi biến đổi ta phải để ý điều này.
2
( )
1
( ) ( )
2 4 4
y x y x x
VT x y x y x
Cách 3: Đặt 21
. 0
4
t y t x x t
.Vế trái là 1 tam thức bậc 2 của t, có
2
0
tx x
nên ta được ĐPCM.
b) Ví dụ 2: Cho 2 2
36 16 9
x y
. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: T
= y – 2x + 5.
Cách 1: Ta có:
2 2
2 2
36 16 9 1
1/ 4 9 /16
x y
x y
. Đặt 1 3
cos , sin
2 4
x y
.
Ta có: T 1 5
2 5 (3sin 4cos ) 5 sin( ) 5
4 4
y x
,
(với
3 4
cos ,sin
5 5
). Khi đó
15 25
4 4
T .
Ta được GTLN của T là
25
4
khi
sin( ) 1
, GTNN là
15
4
khi
sin( ) 1
.
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki