Tài liệu: Bài giảng phương pháp tính tóm tắt

Chia sẻ: Huynh Luu Phat | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

0
300
lượt xem
136
download

Tài liệu: Bài giảng phương pháp tính tóm tắt

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giới thiệu môn phương pháp tính Phương pháp tính là bộ môn toán học có nhiệm vụ giải đến kết quả bằng số cho các bài toán, nó cung cấp các phương pháp giải cho những bài toán trong thực tế mà không có lời giải chính xác.Môn học này là cầu nối giữa toán học lý thuyết và các ứng dụng của nó trong thực tế.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tài liệu: Bài giảng phương pháp tính tóm tắt

  1. Bài giảng phương pháp tính
  2. Baøi giaûng phöông phaùp tính toùm taét Chương 0: MÔÛ ÑAÀU I. Giới thiệu môn phương pháp tính Phương pháp tính là bộ môn toán học có nhiệm vụ giải đến kết quả bằng số cho các bài toán, nó cung cấp các phương pháp giải cho những bài toán trong thực tế mà không có lời giải chính xác. Môn học này là cầu nối giữa toán học lý thuyết và các ứng dụng của nó trong thực tế. Trong thời đại công nghệ thông tin hiện nay thì việc áp dụng các phương pháp tính càng trở nên phổ biến nhằm tăng tốc độ tính toán. II. Nhiệm vụ môn học  Tìm ra các phương pháp giải cho các bài toán gồm : Phương pháp đúng và phương pháp gần đúng. *) Phương pháp đúng : cho ta kết quả dưới dạng một biểu thức giải tích cụ thể. *) Phương pháp gần đúng: thường cho ta kết quả sau một quá trình tính lặp theo một quy luật nào đó, nó được áp dụng trong trường hợp bài toán không có lời giải đúng hoặc nếu có thì quá phức tạp và khó khăn. Chính vì vậy việc giải gần đúng là một vấn đề rất thực tế và cần thiết.  Tìm nghiệm các phương trình Đại số, Siêu việt, …  Tìm nghiệm các hệ phương trình Tuyến tính, phi tuyến, …  Tìm giá trị của tích phân và giá trị nghiệm của phương trình hay hệ phương trình vi phân, …  Giải các bài toán về cực trị.  Xấp xỉ hàm: Khi khảo sát, tính toán trên một hàm f(x) khá phức tạp, ta có thể thay hàm f(x) bởi hàm g(x) đơn giản hơn sao cho g(x)  f (x) . Hoặc giữa hai đại lượng x và y nào đó được liên hệ với nhau qua hệ thức y  f (x) nhưng f (x) không xác định được mà qua tiến hành đo đạc hay thí nghiệm ta chỉ nhận được một số giá trị tương ứng : x0  y0 , x1  y1 ,  , xn  yn * Vấn đề được đặt ra là “Hỏ i rằng với những giá trị của x * không đo đạc được thì y = ?”. Để giải quyết được vấn đề này ta cũng phải tìm một hàm g(x) thỏa * thay cho f(x), khi đó g(x) được gọi là đa thức nội suy để suy ra được giá trị tai x * là y*  g  x * . Tóm lại thì việc lựa chọn tìm ra g(x) để thay thế cho f(x) được gọi là phép xấp xỉ hàm.  Xác định tính chất nghiệm.  Đánh giá sai số : Khi giải bài toán bằng phương pháp gần đúng thì sai số xuất hiện do sự sai lệch giữa giá trị gần đúng nhận được với nghiệm chính xác của bài toán. Vì vậy ta phải đánh giá sai số để từ đó chọn ra được phương pháp tối ưu nhất. III. Trình tự giải bài toán trong phương pháp tính  Khảo sát, phân tích bài toán.  Lựa chọn phương pháp dựa vào các tiêu chí sau : Khối lượng tính toán ít. Đơn giản khi xây dựng thuật toán. -Trang 1-
  3. Baøi giaûng phöông phaùp tính toùm taét Sai số bé. Tính khả thi. Xây dựng thuật toán : sử dụng ngôn ngữ giả hoặc sơ đồ khối ( càng mịn càng tốt ). Viết chương trình: sử dụng ngôn ngữ lập trình ( Pascal, C, C++, Maple, Matlab, … ). Thực hiện chương trình, thử nghiệm, sửa đổi và hoàn chỉnh. -Trang 2-
  4. Baøi giaûng phöông phaùp tính toùm taét LYÙ THUYEÁT SAI SOÁ Chöông 1: Soá xaáp xæ Baøi 1: 1.1 Ñònh nghóa : Soá a ñöôïc goïi laø soá xaáp xæ cuûa A neáu noù ñöôïc duøng thay theá cho A trong quaù trình tính toaùn. Kí hieäu: a  A.  Chuù yù: Tuøy theo phaïm vi söû duïng maø ngöôøi ta seõ laáy a saùt vôùi A theo tính chaát coâng vieäc.  Neáu a  A thì ta noùi a laø soá  thieáu cuûa A.  Neáu a  A thì ta noùi a laø soá  thừa cuûa A. 1, 41  2  1, 42 Ví duï :  1, 41 laø  thieáu cuûa 2; 1, 41 laø  thöøa cuûa 2. 1.2 Sai soá tuyeät ñoái : a. Ñònh nghóa : Cho a laø soá xaáp xæ cuûa soá A . Sai soá tuyeät ñoái cuûa A ñöôïc kí hieäu laø   a A . b. Ñònh nghóa : Sai soá tuyeät ñoái giôùi haïn cuûa soá xaáp xæ a laø 1 soá khoâng nhoû hôn sai soá tuyeät ñoái cuûa soá xaáp xæ a. Kí hieäu laø a .   a  a  A  a  A  a  a  A  a Ví duï : Choïn A = 25,1384 ; a = 10-4  25,1383  a  25,1385 1.3 Sai soá töông ñoái :  a. Ñònh nghóa : Sai soá töông ñoái kí hieäu laø :   . A b. Ñònh nghóa : Sai soá töông ñoái giôùi haïn cuûa soá saáp xæ a kí hieäu laø:  a  a . A Ta coù :  a   . Chuù yù: Ñoâi khi vieäc xaùc ñònh soá ñuùng A raát khoù, do ñoù ngöôøi ta coøn tính sai soá töông ñoái baèng caùch thay A bôûi a, neân ta coù coâng thöùc sau :     ; A  A a a Ví duï : Ño ñuùng moät chi tieát maùy coù chieàu daøi A  150cm. -Trang 3-
  5. Baøi giaûng phöông phaùp tính toùm taét Ño sai chi tieát maùy ñoù vôùi chieàu daøi a = 155 cm. Tính % sai soá. Giaûi 155  150   3, 33%  100%   100% 150 A Vaäy sai soá töông ñoái cho ta bieát phaàn traêm sai leäch cuûa kích thöôùc. 2.1 Chöõ soá coù nghóa : Chöõ soá coù nghóa cuûa moät soá laø nhöõng chöõ soá cuûa soá ñoù keå töø chöõ soá khaùc khoâng ñaàu tieân tính töø beân traùi (sang phaûi ). Ví duï : 0,2 0 5 0 0 : coù 3 chöõ soá coù nghóa ( 2 chöõ soá 0 cuoái cuøng khoâng coù giaù trò ) 87,1035 : coù 6 chöõ soá coù nghóa. 0,03 1 0 7 : coù 4 chöõ soá coù nghóa. 2.2 Chöõ soá ñaùng tin : Moïi soá xaáp xæ a ñeàu coù theå bieåu dieãn ñöôïc döôùi daïng heä thaäp phaân nhö sau : a   n .10n   n1.10n1  ...   nk .10nk   nk1.10nk1  ... Chöõ soá  nk ñöôïc goïi laø ñaùng tin neáu a  0, 5  10nk . Chöõ soá  nk ñöôïc goïi laø nghi ngôø neáu . a  0, 5  10nk Ví duï : Haõy tìm nhöõng chöõ soá chaéc cuûa soá a  153, 0489 vôùi a  0, 3.102. Giaûi Ta coù : a  135, 0489  1.102  3.101  5.100  0.101  4.102  8.103  9.104 Chöõ soá 1: 0,5  102  50  a  soá 1 laø ñaùng tin. 3: 0,5  101  5  a  soá 3 laø ñaùng tin.    2 4: 0,5  10  a  soá 4 laø ñaùng tin. 8: 0,5  103  a  soá 8 laø nghi ngôø. 9: 0,5  104  a  soá 9 laø nghi ngôø. Nhaän xeùt: Neáu 1 chöõ soá laø ñaùng tin thì nhöõng chöõ soá beân traùi cuûa noù cuõng ñaùng tin. Neáu 1 chöõ soá laø nghi ngôø, thì nhöõng chöõ soá beân phaûi cuûa noù cuõng nghi ngôø. Caùch 2 : Ta coù 135, 0489   n .10n   n1 .10n1  ...   nk .10nk  ...  1.102  3.101  5.100   n2 -Trang 4-
  6. Baøi giaûng phöông phaùp tính toùm taét Chöõ soá thöù (k  1),  nk laø ñaùng tin neáu a  0, 5  10nk a  10nk  0, 5     n  k  log10  a   0, 5       0, 3  102     4,22  k  n  log10  a   2  log10     0, 5       0, 5     k4 Vaäy coù k  1  5 chöõ soá ñaùng tin laø: 1, 3, 5, 4, 0 2 chöõ soá ñaùng ngôø laø: 8, 9. 2.3 Caùch vieát soá xaáp xæ : Coù 2 caùch vieát :  Caùch 1 : A  a  a . Ví duï : A = 35,105  0,3 .10-2  35,102  a  35,108  Caùch 2 : Vieát caùc chöõ soá coù nghóa laø nhöõng chöõ soá ñaùng tin, hay chöõ soá coù nghóa cuoái cuøng laø ñaùng tin. Nghóa laø trong tröôøng hôïp naøy ngöôøi ta khoâng cho a . Khi ñoù ta choïn a  0,5  10 j ( j laø vò trí chöõ soá haøng cuoái cuøng)  a  0, 5.103 Ví duï : a = 15,034  b  0, 5.104 b = 0,0508 Baøi taäp: 1/ Cho a = 25,1085. Tính  a ? Giaûi Ta coù : a 0, 5  104  3,158934  109 a   25,1085 a 2/ Xaùc ñònh chöõ soá ñaùng tin cuûa soá a = 607,58931 vôùi a  0,5.102 Giaûi Ta xeùt chöõ soá 8 : 0,5.10-2 = a  soá 8 laø ñaùng tin.  caùc chöõ soá 6, 0, 7, 5 cuõng laø ñaùng tin. xeùt chöõ soá 9 : 0,5.10-3 < a  soá 9 laø nghi ngôø.  caùc chöõ soá 3, 1 cuõng laø nghi ngôø. Vaäy 6, 0, 7, 5, 8 : ñaùng tin -Trang 5-
  7. Baøi giaûng phöông phaùp tính toùm taét 9, 3, 1 : nghi ngôø. 2.4 Söï quy troøn: Neáu chöõ soá bò boû ñi beù hôn hay baèng 4 ta xoùa chöõ soá ñoù ñi, coøn neáu chöõ soá bò boû ñi lôùn hôn hay baèng 5 sau khi boû ñi ta coäng theâm 1 cho chöõ soá beân traùi ñöùng keà vôùi chöõ soá bò boû ñi. Ví duï : 35,25749 laáy 3 soá leû 35,257  35,25751 laáy 3 soá leû 35,258   Chuù yù: Taát caû tính toaùn trong moân hoïc ñeàu phaûi laáy 6 chöõ soá thaäp phaân. 3. Xaùc ñònh sai soá cuûa haøm soá : 3.1 Coâng thöùc toång quaùt : Cho haøm nhieàu bieán u = u(x1, x2, …, xn) Goïi i laø sai soá tuyeät ñoái giôùi haïn cuûa bieán xi , i  1, n Kí hieäu: u/ laø ñaïo haøm rieâng caáp 1 cuûa haøm u theo bieán xi ( nghóa laø caùc x i bieán coøn laïi ta xem nhö laø haèng soá). Khi ñoù, ta coù caùc coâng thöùc sau :  Sai soá tuyeät ñoái giôùi haïn cuûa u : n u   u/ .k  u/ .1  u/ .2  ...  u/ .n . x x x x k 1 2 n k1  Sai soá tưông ñoái giôùi haïn cuûa u : u u  . u Ví duï: Tính sai soá tuyeät ñoái giôùi haïn vaø töông ñoái giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sau 1/ u  xy2  yez , vôùi x  1, 032; y  2,16; z  1,132; x  0, 3.103 ; y  0, 4.102. Giaûi  Sai soá tuyeät ñoái giôùi haïn cuûa u : Ta coù u  u /  x  u /  y  u /  z , x y z vôùi  u/ x  y 2.x  (2,16)2  0, 3.103  u/  y2 =A x x   = 2.1, 032.2,16  e1,132  0, 4.102  B  u/  2xy  ez  u/  y y y 3 / z / 1,132  u  ye  u z  0, 5.10 C = 2,16.e z z  u  A  B  C  0, 034990  Sai soá töông ñoái giôùi haïn cuûa u : -Trang 6-
  8. Baøi giaûng phöông phaùp tính toùm taét u  xy 2  yez  1, 032.(2,16)2  2,16.e1,132  11, 514904  0, 034990  3, 038676.103  u  u  11, 514904 u 2/ u  xy  sin z , vôùi x = 1,925; y = 0,162; z = 0,53. ÑS: u  5, 357535  103 ;  u  6, 554495  103. Chuù yù: Neáu haøm soá coù chöùa daïng löôïng giaùc thì taát caû caùc maùy tính ñeàu phaûi ñeå ôû cheá ñoä “Rad” khi tính toaùn. 3.2 Daïng ñaëc bieät : a/. Neáu u  x1  x 2  ...  x n u Thì u  1  2  ...  n ;  u  . u b/. Neáu u  x1  x 2  ...  x n Thì u  u . u ;  u   x   x  ...   x . 1 2 n -Trang 7-
  9. Baøi giaûng phöông phaùp tính toùm taét Chöông 2 : GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH- ÑAÏI SOÁ & SIEÂU VIEÄT Ñaët vaán ñeà Baøi 1:  Giaûi phöông trình laø ta ñi tìm nghieäm cuûa phöông trình f(x) = 0. Trong moät soá tröôøng hôïp nghieäm cuûa phöông trình treân khoâng giaûi ñöôïc hoaëc giaûi ñöôïc nhöng raát khoù khaên. Trong khi ñoù thì vieäc laáy nghieäm chính xaùc trong moät soá tröôøng hôïp laø khoâng caàn thieát. Chính vì vaäy, vieäc tính nghieäm gaàn ñuùng laø thöïc teá vaø caàn thieát.  Vieäc tieán haønh tính nghieäm gaàn ñuùng cuûa moät phöông trình ñöôïc thöïc hieän theo hai böôùc nhö sau: Böôùc 1: Tìm khoaûng caùch ly nghieäm nghóa laø tìm khoaûng (a, b) chöùa moät vaø chæ moät nghieäm cuûa phöông trình. Böôùc 2: Xuaát phaùt töø khoaûng caùch ly nghieäm tìm ñöôïc ôû böôùc 1. Tính gaàn ñuùng nghieäm thöïc cuûa phöông trình ñaït ñoä chính xaùc yeâu caàu baèng moät phöông phaùp giaûi gaàn ñuùng. Khoaûng caùch ly nghieäm Baøi 2: 2.1 Ñònh lyù : Neáu haøm f(x) lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm khoâng ñoåi daáu treân khoaûng (a, b) vaø f(a).f(b) < 0. Khi ñoù (a, b) ñöôïc goïi laø khoaûng caùch ly nghieäm cuûa phöông trình. 2.2 Caùch tìm khoaûng caùch ly nghieäm : Ñeå tìm khoaûng caùch ly nghieäm cuûa phöông trình f(x) = 0. Ta veõ ñoà thò haøm soá y = f(x), giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi truïc hoaønh chính laø nghieäm thoâ cuûa phöông trình. Töø caùc nghieäm thoâ naøy ta xaùc ñònh ñöôïc caùc khoaûng caùch ly nghieäm. Ví duï : Tìm khoaûng caùch ly nghieäm cuûa caùc phöông trình sau: 1/. x 3  3x 2  3  0 Giaûi Ta vẽ đồ thị haøm số y  x  3x 2  3 laø : 3 -Trang 8-
  10. Baøi giaûng phöông phaùp tính toùm taét Döïa vaøo ñoà thò ta thaáy 3 nghieäm thoâ x1, x2, x3 vaø caùc khoaûng caùch ly töông öùng laø : x1  3; 2 , x 2  2; 1 , x 3  0;1 Tuy nhieân, ta coù thể taùch phương trình x 3  3x 2  3  0  x 3  3  3x 2 vaø vẽ hai đồ thị y  x 3 vaø y  3  3x 2 treân cuøng một hệ trục tọa độ thì hoaønh độ của caùc giao điểm “ thoâ ” chính laø caùc nghiệm thoâ của phương trình vaø từ ñoù ta cũng xaùc ñònh được khoảng caùch ly nghiệm. Caùc phöông phaùp tìm nghieäm gaàn ñuùng Baøi 3: I. Phöông phaùp chia ñoâi : Cho phöông trình f(x) = 0, coù khoaûng caùch ly nghieäm laø (a, b) vaø sai soá . 1. YÙ töôûng : Chia ñoaïn AB  b  a ra laøm 2 ñoaïn baèng nhau, ta seõ giöõ laïi ñoaïn naøo coøn chöùa nghieäm cuûa phöông trình vaø cöù tieáp tuïc chia 2 ñoaïn coøn laïi nhö theá cho ñeán khi ñoaïn coøn laïi cuoái cuøng coù ñoä daøi beù tuøy yù (vaãn coøn chöùa ngheäm). ba Sau moät laàn chia 2 ñoä daøi AB  b  a coøn laïi vaø nhö vaäy thì 2 ba sau n laàn chia 2 ñoä daøi AB coøn laïi laø . Giaû söû ñeán luùc naøy ñoaïn coøn laïi ñaõ 2n ñaït yeâu caàu chieàu daøi  beù tuøy yù cho tröôùc, nghóa laø : -Trang 9-
  11. Baøi giaûng phöông phaùp tính toùm taét ba  2n ba  2n   ba  n  log2  2. Soá laàn chia 2 :  b  a  n   log2 1    laáy phaàn nguyeân 3. Thuaät toaùn : ab  Tính f(a), f(b). Ñaët c  , tính f(c). 2  Neáu f(c) cuøng daáu vôùi f(a) thì laáy a:=c. Neáu f(c) cuøng daáu vôùi f(b) thì laáy b:=c. Thuaät toaùn tieáp tuïc laëp laïi cho ñeán böôùc n, khi ñoù c laø nghieäm gaàn ñuùng caàn tìm. 4. Ñaùnh giaù sai soá : Giaû söû x* laø nghieäm chính xaùc cuûa phöông trình. c laø nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình. ba Sai soá : c  x *  n1 2 Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ x 3  3x 2  3  0, vôùi x  (2, 75; 2, 5);   103. Giaûi  Soá laàn chia 2:  2, 5  2, 75  n  log2  1  8.   103    Thuaät toaùn: a f(a) = f(-2,75) = - 1,109375 < 0 b f(b) = f(-2,5) = 0,125 >0 Böôùc 1: a  b 2,75  2, 5 c   2, 625 2 2 a = c ( do f(c) cuøng daáu f(c) = f(-2,625) < 0  vôùi f(a) ) Böôùc 2: a  b 2,625  2, 5 c   2, 5625 2 2 -Trang 10-
  12. Baøi giaûng phöông phaùp tính toùm taét a =c f(c) = f(-2,5625) < 0  Böôùc 3: f(c) = f(-2,53125) > 0  b=c Böôùc 4: a =c f(c) = f(-2,546875) < 0  Böôùc 5: a =c f(c) = f(-2,5390625) < 0  Böôùc 6: a =c f(c) = f(-2,53515625) < 0  Böôùc 7: f(c) = f(-2,533203125) < 0  a=c Böôùc 8: a  b 2,533203125  2, 53125 c   2, 5322265 2 2 Vaäy c  2,5322265 laø nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình. 2/ ex  x 1,1  0, vôùi x  (0;1) ;   103 . ÑS: x10  0, 483398437 . II. Phöông phaùp laëp : Cho phöông trình f(x) = 0 vôùi x(a, b) vaø ñoä chính xaùc . 1. YÙ töôûng : 2. Thuaät toaùn : o Böôùc 1: Bieán ñoåi phöông trình f(x) = 0 veà phöông trình x = (x) vôùi ñieàu kieän hoäi tuï nghieäm cuûa thuaät toaùn laø / (x)  1, x  (a, b) . o Böôùc 2 : ab Laáy x 0  , vaø tính caùc x1, x 2 ,... theo coâng thöùc 2  (x n ), n  0,1,2,... x n 1 Tính cho tôùi khi x n1  x n   thì x n1 laø nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình. 3. Ñaùnh giaù sai soá : Giaû söû x* laø nghieäm chính xaùc cuûa phöông trình. x n1 laø nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình. -Trang 11-
  13. Baøi giaûng phöông phaùp tính toùm taét Sai soá: q • x n1  x *  x  xn 1  q n1 vôùi / (x)  q  1, x  (a, b). q n 1 • x n 1  x  * x  x0 , 1q 1 vôùi / (x)  q  1, x  (a, b). Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau: 1/ x 3  3x 2  3  0(*), vôùi x  (2, 75; 2, 5) ;   105. Giaûi Moät soá caùch bieán ñoåi phöông trình (*) veà daïng x = (x). Caùch 1 : (*)  x 3  3  3x 2 3 x 3 2 x    (x) Caùch 2 : (*)  x  3  3x 2 3 3 3  3x 2  x   (x) Caùch 3 : (*)  0  x 3  3x 2  3  x  x 3  3x 2  x  3   (x) ................. Kieåm tra ñieàu kieän hoäi tuï (theo caùch 1) (*)  x 3  3  3x 2 3  (x)  3 x2 6 ñaët   / (x)  3  h(x) x 18  h/ (x)  4  0, x  (2, 75; 2, 5). x  h(x) taêng treân (2, 75; 2, 5)  h max  h(2, 5)  0, 384  1 Hay / (x)  0, 384  q  1, x  (2, 75; 2, 5). Thuaät toaùn : 3 Laëp theo coâng thöùc: x n1  (x n )   3, n  0,1, 2,... x2 n a  b 2,75  2, 5 Choïn x0    2, 625 2 2 -Trang 12-
  14. Baøi giaûng phöông phaùp tính toùm taét Nhaäp( x0 ): - 2,625 = 3 Nhaäp haøm  x    Ans : 3 Ans2 3 x1  3  2, 56462585 Nhaán = : x2 0   3  3  2, 543886188 x2    2 x1  x x    3 2 1 x 3  2  3  2, 53641871    x2      2, 532089441 x12   x x    2, 532089091 x13  13 12   Vaäy x13  2, 532089091 laø nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình. 3 3  3x 2 Nhöng neáu choïn theo caùch bieán ñoåi 2: x   . Ta laëp theo  (x) coâng thöùc : x n1  3 3  3x 2 nhö sau : n ab x0   2,625 Vôùi 2   3 3  3x 2  2, 604718  x1   x x   0  2, 588991 2 1  x2       x 31   2, 532148  2, 532135  x 32    x  x  9.106     2, 532126 x 33  33 32   Vaäy x 33  2, 532126 laø nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình. Neáu söû duïng caùch 3 thì (x) khoâng thoûa ñieàu kieän hoäi tuï cuûa phöông phaùp.  Chuù yù : Caùch bieán ñoåi töø f (x )  0 veà x  (x ) laø khoâng duy nhaát. Chính vì vaäy vieäc choïn haøm (x ) cuõng seõ aûnh höôûng ñeán:  Soá laàn laëp cuûa phöông phaùp.  Caùc x k ( k = 1,2,…) cuõng khaùc nhau.  Nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình (vì ta chæ kieåm tra hai x lieân tieáp nhau). -Trang 13-
  15. Baøi giaûng phöông phaùp tính toùm taét III. Phöông phaùp Newton ( Tieáp tuyeán ) : Cho phöông trình f(x) = 0 vôùi x(a, b) vaø ñoä chính xaùc . 1. YÙ töôûng : y \ f(b) M0 f(x) M1 M2 x 0 a x* b x2 x1 x0 x3 f(a) d1 d0 b Laáy x 0  a, b  y 0  f  x 0  Vieát phöông trình tieáp tuyeán d0 vôùi f  x  taïi M0 x 0 ; y 0  : d 0 : y  f / x 0  x  x 0   y 0 Tìm giao ñieåm y  f /  x   x  x   y  y N  x1; 0  d0  Ox :   x1  x 0  / 0 0 0 0  f x 0  Ox : y  0    f x 0  Hay x1  x 0  / , ñaây laø bieåu thöùc lieân heä giöõa x1 vaø x 0 hay x1 f x 0  ñöôïc tính döïa vaøo x 0 Ta “hy voïng” raèng x1 seõ “gaàn” nghieäm chính xaùc hôn so vôùi x 0 . Quaù trình treân ñöôïc thöïc hieän moät caùch lieân tuïc, ta coù : f x n  x n1  x n  / f x n  2. Thuaät toaùn :  Böôùc 1 : Kieåm tra ñieàu kieän hoäi tuï nghieäm cuûa thuaät toaùn : f(x)f // (x)  1, x  a, b 2 f / (x)    Böôùc 2 : ab Laáy x 0  a, b ( thöôøng choïn x 0  ) 2 Tính caùc x1, x 2 ,  baèng coâng thöùc laëp : f(x n ) x n 1  x n  n  0,1,2,... , f / (x n ) -Trang 14-
  16. Baøi giaûng phöông phaùp tính toùm taét Tính cho tôùi khi x n1  x n   thì x n1 laø nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình. 3. Ñaùnh giaù sai soá : Giaû söû x* laø nghieäm chính xaùc cuûa phöông trình. x n1 laø nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình. Sai soá: M 2 x n1  x *  x n1  x n 2m / // vôùi 0  m  f (x) ; f (x)  M, x  (a, b) Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ x 3  3x 2  3  0(*), vôùi x  (2, 75; 2, 5) ;   105. Giaûi 3 2  Ta coù: f(x)  x  3x  3  f / (x)  3x 2  6x  f // (x)  6x  6 f(x)f // (x)  1, x  2, 75; 2, 5  Kieåm tra ñieàu kieän hoäi tuï 2 f / (x)   f(x)f // (x) 2 x 4  4x 3  3x 2  3x  3 A  2 x 4  4x 3  4x 2 3 f / (x)   x 4  4x 3  3x 2  3x  3 Ñaët g x  , x  2, 75; 2, 5 x 4  4x 3  4x 2 2x 3  9x 2  18x  12  g / x   0   3 x 2  2x  x  1,181083  2, 75; 2,5 g 2, 75  0, 45632     g x  0, 45632  g 2, 5  0,12  max    2 2  Amax  g  x   .0, 45632  0, 304255  1 3 3 max x 3  3x 2  3 Laëp theo coâng thöùc: x n 1  x n  n 2 n 3x n  6x n ab x0  2,625 Vôùi 2  x1  2, 54047 -Trang 15-
  17. Baøi giaûng phöông phaùp tính toùm taét x 2  2, 532167 x 3  2, 532088893   x x   x 4  2, 532088886 4 3   Vaäy x 4  2, 532088886 laø nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình. 2/ ex  x  1,1  0, x  (0,1);   105  Ta coù : f(x)  ex  x  1,1  f / (x)  e x  1 x n  x n  1,1 e Laëp theo coâng thöùc : x n 1  x n  x n e 1  x 0  0, 5 x1  0, 483402 x 2  0, 483183 x 3  0, 483183  Chuù yù : Phöông phaùp Newton (tieáp tuyeán) cho toác ñoä hoäi tuï nghieäm raát nhanh, nhöng ñoâi khi noù cho nghieäm naèm ngoaøi khoaûng caùch ly. Khi ñoù ta phaûi duøng phöông phaùp laëp ñôn ñeå giaûi. Neáu duøng phöông phaùp laëp khoâng ñöôïc ta phaûi duøng phöông phaùp chia ñoâi. Phöông phaùp chia ñoâi luoân luoân tìm ñöôïc nghieäm nhöng raát laâu (tuy nhieân ta coù theå ruùt ngaén khoaûng caùch ly nghieäm). -Trang 16-
  18. Baøi giaûng phöông phaùp tính toùm taét Chöông 3 : HEÄ PHÖÔNG TRÌNH TUYEÁN TÍNH Ñònh nghóa : Heä phöông trình tuyeán tính laø heä coù daïng a x  a x    a x  b  11 1  12 2 1n n 1  a x  a x    a x  b  21 1  22 2 2n n 2     a x  a x    a x  b  n1 1   n2 2 nn n n Hay vieát ngaén goïn laø AX  B , vôùi A  Mn   ; X, B  Mn1   . a  a1n  x  b   11 a12   1  1        a x      2   ; B   b2  a 22  a 2n  A   21  ; X                       b  a x     n1 a n2  n  n  a nn        Phöông phaùp Gauss & Phöông phaùp ma traän ñaûo Baøi 1: 1.1 Phöông phaùp Gauss: Cho heä phöông trình AX  B , vôùi A  Mn (); B, X  Mn1( ); det(A)  0. Phöông phaùp Gauss ñöôïc giaûi theo theo sô ñoà sau : a b  c   1     0           A B     y z    n1   0  0 w          n  Suy ra nghiệm bằng caùch giải từ dưới leân. Ví duï : Giaûi caùc heä phöông trình sau x  2y  3z  8    2x  y  z  7   x  y  z  2    Giaûi. Ta coù -Trang 17-
  19. Baøi giaûng phöông phaùp tính toùm taét 1 2 3 8 1 2 3 8       2d d d   2 1 1 7  0 3 5 9      A B     1 2 2       d1 d3  d 3  0 1 2 6 1 1 1 2          1 2 3 8  1 2 3 8      3d  d d   0 1 2 6   0 1 2 6    d2 d3       2 3 3       0 0 1 9 0 3 5 9          z  9 z  9       y  2z  6  y  6  2z  12     x  2y  3z  8 x  8  2y  3z  5       1.2 Phöông phaùp ma traän ñaûo : Cho heä phöông trình : AX  B , vôùi A  Mn (); B, X  Mn1( ); det(A)  0. Phöông phaùp : Tính ma traän ñaûo A1  X  A1B. Moät soá phöông phaùp tìm ma traän ñaûo  Phöông phaùp 1: Söû duïng pheùp bieán ñoåi sô caáp treân doøng - Hoaùn vò hai doøng cuûa ma traän. - Nhaân moät doøng cuûa ma traän vôùi moät soá khaùc 0. - Thay moät doøng cuûa ma traän baèng chính doøng ñoù coäng theâm k laàn doøng khaùc.    A I  I A1  Phöông phaùp 2: Söû duïng ma traän phuï trôï - Tìm ma traän phuï trôï C  c ij  vôùi cij  (1)i j Aij trong ñoù Aij laø ñònh thöùc buø ñaïi soá cuûa A . 1T - Suy ra : A1  C. A x  2y  3z  8    Ví duï : Giaûi caùc heä phöông trình sau : 2x  y  z  7   x  y  z  2    Giải: Ta có -Trang 18-
  20. Baøi giaûng phöông phaùp tính toùm taét 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0        2 1 1 0 1 0     0 3 5 2 1 0  2d1 d2  d2    A I         d1  d3  d3  0 1 2 1 0 1      1 1 1 0 0 1          1 2 3 1 0 0  1 0 1 1 0 2         0 1 2 1 0 1     0 1 2 1 0 1  2d2 d1  d1   -d3  d2            3d2  d 3  d 3   0 0 1 1 1 3     0 3 5 2 1 0           1 0 0 0 1 1 0 1 1         0 1 0 1 2 5   A1  1 2 5    d 3  d1  d1  dd         2d3  2  2  1 1 3     0 0 1 1 1 3   d 3  d 3         0 1 18  5          1 2 5  7  12      X A B    1           1 1 3  2  9           Chuù yù: Ñoái vôùi ma traän caáp 3 ta coù theå söû duïng maùy tính 570 MS hoaëc ES ñeå tính ma traän ñaûo. Ñoái vôùi moân hoïc naøy thì hai phöông phaùp treân seõ tính toaùn phöùc taïp neáu caùc heä soá laø soá leû. Chuaån Ma traän vaø Vector Baøi 2: 2.1 Định nghĩa : Cho ma traän A mn , chuaån cuûa ma traän A ñöôïc kyù hieäu laø A laø 1 soá thöïc thoûa maõn caùc tính chaát sau: i) A  0, A  0  A  0 ii)   , .A   . A iii) A, B  Mn (), A  B  A  B A.B  A . B 2.2 Moät soá chuaån thoân g duï ng : Cho A  Mmn ( )  Chuaån 1: (chuaån coät) m    A  max  a ij    1 jn   1  i1     Chuaån 2: (chuaån Euclide) -Trang 19-

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản