Trang 1
CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Các hệ thức lượng giác cơ bản
* Hàm số sin
y x D R
* Hàm số cos
y x D R
* Hàm số tan \ 2
y x D R k
* Hàm số
cot \
y x D R k
* Hàm số
u x
yv x
điều kiện xác định là
0
v x
* Hàm số
u x
y
v x
điều kiện xác định là
0
v x
2) Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
- Định nghĩa
Hàm số
y f x
có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số
0
T
sao cho với
mọi
x D
ta có:
*
x T D
và
x T D
*
f x T f x
Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.
Người ta chứng minh được rằng hàm số
sin
y x
tuần hoàn với chu kì
2
T
; hàm số
cos
y x
tuần
hoàn với chu kì
2
T
; hàm số
tan
y x
tuần hoàn với chu kì T
; hàm số
cot
y x
tuần hoàn với
chu kì T
.
- Chú ý
* Hàm số
sin
y ax b
tuần hoàn với chu kì 0
2
T
a
* Hàm số
cos
y ax b
tuần hoàn với chu kì 0
2
T
a
* Hàm số
tan
y ax b
tuần hoàn với chu kì 0
T
a
* Hàm số
cot
y ax b
tuần hoàn với chu kì 0
T
a
Trang 2
* Hàm số
1
y f x
tuần hoàn với chu kì
1
T
và hàm số
2
y f x
tuần hoàn với chu kì
2
T
thì hàm số
1 2
y f x f x
tuần hoàn với chu kì
0
T
là bội chung nhỏ nhất của
1
T
và
2
T
.
3) Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
- Định nghĩa
* Hàm số
y f x
có tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
sau:
x D x D
f x f x
* Hàm số
y f x
có tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
sau:
x D x D
f x f x
- Chú ý
* Các hàm số chẵn thường gặp:
2 2 2
cos ; cos ; sin ; sin ; cos
x kx x kx kx
* Các hàm số lẻ thường gặp: 3 3
sin ; tan ; cot ; sin ; tan ...
x x x x x
* Hàm số
f x
chẵn và
g x
lẻ thì hàm
.
f x g x
và
f x
g x
đều là hàm số lẻ.
* Hàm số
f x
và
g x
đều là hàm lẻ thì hàm
.
f x g x
và
f x
g x
đều là hàm số chẵn.
4) Sự biến thiên và đồ thị các hàm số lượng giác
a) Hàm số y = sinx
* Tập xác định:
D R
* Tập giá trị
1; 1
T , có nghĩa là
1 sin 1
x
* Là hàm số tuần hoàn chu kì
2
, có nghĩa
2 sin
x k x
với k
* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
2 ; 2
2 2
k k
và nghịch biến trên mỗi khoảng
3
2 ; 2 ,
2 2
k k k
* Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số như hình vẽ bên
dưới.
Trang 3
b) Hàm số y = cosx
* Tập xác định:
D R
* Tập giá trị
1; 1
T , có nghĩa
1 sin 1
x
* Là hàm số tuần hoàn với chu kì
2
, có nghĩa
cos 2 cos
x k x
với k
* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
2 ; 2
k k
và nghịch biến trên mỗi khoảng
2 ; 2 ,k k k
* Là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới
c) Hàm số y = tanx
* Tập xác định \ ,
2
D k k
* Tập giá trị
T
* Là hàm số tuần hoàn với chu kì
, có nghĩa
tan tan
x k x
với k
* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; ,
2 2
k k k
* Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
Trang 4
d) Hàm số y = cotx
* Tập xác định
\ ,D k k
* Tập giá trị
T
* Là hàm số tuần hoàn với chu kì
, có nghĩa
tan tan
x k x
với k
* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
; ,k k k
* Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
- Dạng 1: Tập xác định và Tập giá trị của hàm số lượng giác
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) 2
sin
1
x
yx
b)
sin
y x
Lời giải:
a) ĐK xác định:
1
x
TXĐ:
\ 1
D
Trang 5
b) ĐK xác định:
sin 0 2 2 1
x k x k
Suy ra TXĐ:
2 ; 2 1D k k
Ví dụ 2. Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau:
a) 2
1 cos
y x
b) 1
sin 1
yx
Lời giải:
a) ĐK xác định: 2
1 cos 0
x
(luôn đúng)
TXĐ:
Lại có: 2 2
0 cos 1 0 1 cos 1 0 1
x x y
Tập giá trị là
0, 1
T
b) ĐK xác định: sin 1 0 sin 1 sin 2 \ 2
2 2
x x x k D R k
Ta có:
1
0 sin 1 2
2
x y
Tập giá trị là 1,
2
T
Ví dụ 3. Tìm tập xác định D của hàm số
1 sin
cos 1
x
y
x
a)
D
. b) \ ,
2
D k k
.
c)
\ ,D k k
. d)
\ 2 ,D k k
.
Lời giải:
Hàm số xác định khi và chỉ khi cos 1 0 cos 1 2 ,x x x k k
Vậy tập xác định
\ 2 ,D k k
. Chọn D
Ví dụ 4. Tìm tập xác định D của hàm số 1
sin
2
y
x
a) \ ,
2
D k k
. b)
\ ,D k k
.
c)
\ 1 2 ,
2
D k k
. d)
\ 1 2 ,D k k
.
Lời giải:
Hàm số xác định sin 0 ,
2 2 2
x x k x k k
Vậy tập xác định \ ,
2
D k k
. Chọn C
Ví dụ 5. Tìm tập xác định D của hàm số 1
sin cos
y
x x
a)
D
. b) \ ,
4
D k k
.