Tăng cường các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học đại số tuyến tính ở trường cao đẳng sư phạm

Chia sẻ: Minh Minh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

72
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo này, trình bày việc xây dựng một số bài toán có nội dung thực tiễn để dạy học trong giai đoạn xây dựng lí thuyết và củng cố bài học của học phần Đại số tuyến tính. Ngoài ra, chúng tôi còn giới thiệu cho sinh viên bài toán thực tế được xây dựng theo quan điểm liên môn nhằm tạo hứng thú trong học tập và chuẩn bị tiềm năng dạy học vận dụng Toán học vào thực tiễn cho sinh viên ngành Toán ở THCS sau nay.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tăng cường các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học đại số tuyến tính ở trường cao đẳng sư phạm

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science in Mathematics, 2014, Vol. 59, No. 2A, pp. 61-67 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn TĂNG CƯỜNG CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM Phan Văn Lý Khoa Tự nhiên, Trường Cao đẳng Sư phạm Bình Phước Tóm tắt. Hiện nay, chương trình đào tạo giáo viên (GV) Toán Trung học cơ sở (THCS) đã đảm bảo mục tiêu đặt ra của từng học phần. Tuy nhiên, so với xu hướng dạy học môn Toán hiện nay trên thế giới và khu vực, chẳng hạn theo hướng đánh giá học sinh toàn cầu (PISA) là vận dụng Toán học vào thực tiễn thì chương trình đào tạo GV Toán THCS lại thiếu. Vì vậy việc dạy học Toán ở trường Cao đẳng Sư phạm theo hướng vận dụng Toán học vào thực tiễn là cần thiết và cấp bách. Bài báo này, trình bày việc xây dựng một số bài toán có nội dung thực tiễn để dạy học trong giai đoạn xây dựng lí thuyết và củng cố bài học của học phần Đại số tuyến tính. Ngoài ra, chúng tôi còn giới thiệu cho sinh viên bài toán thực tế được xây dựng theo quan điểm liên môn nhằm tạo hứng thú trong học tập và chuẩn bị tiềm năng dạy học vận dụng Toán học vào thực tiễn cho sinh viên ngành Toán ở THCS sau nay. Từ khóa: Bài toán thực tiễn, đại số tuyến tính. 1. Mở đầu Trong đời sống xã hội, toán học chiếm một vị trí quan trọng do sự phát triển mạnh mẽ và khả năng ứng dụng vô tận của nó. Nâng cao năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh là một trong những mục tiêu cơ bản của việc dạy học toán ở THCS. Nét nổi bật của dạy học Toán ở bậc phổ thông ngày nay là chú trọng phát triển tư duy, coi trọng tính hệ thống của tri thức và gắn chặt tri thức truyền thụ với đời sống thực tiễn. Điều khẳng định của các tác giả R.Courant; H.Robbins: “Việc thiết lập lại mối liên hệ giữa tri thức thuần túy và tri thức ứng dụng, sự cân bằng lành mạnh giữa tính khái quát trừu tượng và tính cụ thể phong phú là nhiệm vụ của Toán học trong một tương lai gần” [1], đang trở thành hiện thực. Ở nước ta, nguyên tắc xây dựng chương trình của môn Toán ở THCS phải đảm bảo các mục tiêu: - Tính chỉnh thể của chương trình môn Toán trong nhà trường phổ thông, chương trình Toán THCS phải được xây dựng cùng với chương trình Toán tiểu học và chương trình Toán THPT theo một hệ thống quan điểm chỉ đạo chung, đảm bảo tính hệ thống giữa các lớp trong toàn cấp THCS. - Không quá coi trọng tính cấu trúc, tính chính xác của hệ thống kiến thức toán học trong chương trình, hạn chế đưa vào chương trình những kết quả có ý nghĩa lí thuyết thuần túy và các phép chứng minh dài dòng, phức tạp không phù hợp với đại đa số học sinh. Tăng tính thực tiễn và tính sư phạm, tạo điều kiện để học sinh được luyện tập, thực hành, rèn luyện kĩ năng tính toán và vận dụng các kiến thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác [5]. Liên hệ: Phan Văn Lý, e-mail: pvly74@yahoo.com.vn. 61
Phan Văn Lý Trong những năm đầu của thế kỉ 21, các nước trong tổ chức OECD (Organisation for Economic Cooperation and Development: Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế) đã đưa ra chương trình đánh giá quốc tế PISA (Programme for International Student Assessment) cho HS phổ thông ở lứa tuổi 15. Phạm vi đánh giá năng lực học sinh của PISA có liên quan đến khả năng phân tích, suy luận kết nối ý tưởng một cách có hiệu quả khi họ đặt câu hỏi, lập công thức, giải quyết vấn đề trong các tình huống. Đánh giá của PISA tập trung vào vấn đề thực tế, chuyển những tình huống dạng này về vấn đề điển hình có thể gặp phải trong lớp học. Chẳng hạn, khi mua bán, tham gia giao thông, khi giải quyết những công việc liên quan đến chính trị, xã hội,. . . mà ở đó trình độ Toán học nhất định sẽ tạo điều kiện thuận lợi để giải quyết vấn đề [6]. Theo tác giả của [4] cho rằng: Ngày nay, trong bối cảnh kinh tế hội nhập và cạnh tranh toàn cầu, nâng cao và bảo đảm chất lượng giáo dục là một trong những yêu cầu mà một đất nước cần phải quan tâm. Các chương trình đánh giá học sinh quốc tế phần lớn không chỉ đơn thuần là sự xếp hạng mà nó còn nêu ra được những điểm mạnh và điểm yếu của hệ thống giáo dục của các quốc gia tham gia khảo sát để không ngừng cải thiện chất lượng giáo dục. Hiểu biết toán được xác định như là năng lực của học sinh để xác định và hiểu vai trò của toán học trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét có cơ sở, để sử dụng và gắn kết với Toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu của cuộc sống. Đánh giá Toán PISA mong muốn tìm kiếm học sinh tuổi 15 cần có những hiểu biết Toán học nào để chuẩn bị cho cuộc sống trưởng thành mà các em sắp sửa bước vào. Tổng thư kí của OECD, Angel Gurria, phát biểu rằng: “PISA là một công cụ hỗ trợ các chính phủ đưa ra các lựa chọn chính sách giáo dục. Ông cho rằng “điều tra PISA không chỉ để xếp hạng, điều quan trọng là nó chỉ ra điểm mạnh, điểm yếu của hệ thống giáo dục của các quốc gia, đồng thời chỉ ra hướng đi cải cách hệ thống giáo dục ấy”. Về nhiệm vụ của các trường Sư phạm, Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo đã ban hành chỉ thị số 15/1999/CT-BGD&ĐT ngày 20/04/1999 về việc “Đẩy mạnh hoạt động đổi mới phương pháp giảng dạy và học tập trong các trường sư phạm”, chỉ thị nhấn mạnh sự cần thiết phải đẩy mạnh nghiên cứu khoa học về đổi mới nội dung và phương pháp giảng dạy, học tập ở trường sư phạm gắn với yêu cầu đổi mới giáo dục phổ thông. Như vậy các trường sư phạm cần phải trang bị cho giáo viên Toán tương lai tiềm năng khai thác các yếu tố thực tiễn trong dạy học Toán như thế nào để họ thực hiện một cách có hiệu quả nguyên lí giáo dục “làm rõ mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn” trong dạy học Toán THCS sau khi tốt nghiệp. Các học phần Toán trong chương trình đào tạo GV THCS ngành Toán như: Phép tính vi phân, tích phân hàm số một biến số; Phép tính vi phân, tích phân hàm số nhiều biến số; Đại số tuyến tính; Xác suất thống kê là những học phần có thể dạy học theo hướng tăng cường vận dụng Toán học vào thực tiễn. Điều này đồng nghĩa với việc Giảng viên thực hiện nguyên lí giáo dục “làm rõ mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn” trong dạy học Toán cho Giáo sinh ngành Toán ở trường Cao đẳng Sư phạm. 2. Nội dung nghiên cứu Chúng tôi đã xây dựng một số tình huống phát triển thành bài toán có nội dung thực tiễn trong giai đoạn xây dựng lí thuyết của bài học, củng cố bài học đại số tuyến tính. Ngoài ra chúng tôi còn giới thiệu cho sinh viên bài toán thực tế được xây dựng theo quan điểm liên môn nhằm gây hứng thú trong học tập cho sinh viên. 62
Tăng cường các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học Đại số tuyến tính... 2.1. Bài toán thực tế trong giờ lí thuyết Một trong những động lực thúc đẩy sự phát triển của các lí thuyết toán học và giúp hoàn thiện quá trình xây dựng một mức chặt chẽ thống nhất trong toàn bộ tri thức toán và lĩnh vực ứng dụng của toán học, trong đó có giải quyết những tình huống mới (có thể từ thực tế) nảy sinh. Vì vậy, trong giai đoạn xây dựng lí thuyết cần thiết lập những bài toán với những yêu cầu mới từ một tình huống nào đó để phát triển hệ thống lí thuyết toán học của bài học. Ví dụ: Để dạy nội dung Hệ phương trình Cramer, chúng tôi xét tình huống trong kinh tế về mô hình cân bằng thị trường như sau: [3;28-35] + Hàm cung: Cung (Supply) là toàn bộ mối quan hệ giữa giá (p) và lượng cung, do đó cung được biểu diễn như một hàm số của giá: QS = f (p) + Hàm cầu: Cầu (Demand) phản ánh toàn bộ mối quan hệ giữa giá (p) và lượng cầu vì vậy cầu được trình bày như một hàm số của giá và nó được biểu diễn qua hàm số: QD = f (p). + Thị trường cân bằng khi lượng cung bằng lượng cầu: QS = QD , tại điểm cân bằng của thị trường sẽ xác định được giá cân bằng. Xét các bài toán: 1) Thị trường có 3 loại sản phẩm, lượng cung (QS ), lượng cầu (QD ) được cho cụ thể: Sản phẩm 1: QS1 = 8p1 + p2 + p3 − 40 và QD1 = −11p1 + 3p2 + 2p3 + 133 Sản phẩm 2: QS2 = p1 + 15p2 − 23 và QD2 = 2p1 − 7p2 + p3 + 70 Sản phẩm 3: QS3 = −p1 + 7p3 − 20 và QD3 = 2p2 − 10p3 + 79 Trong đó, p1 là giá bán sản phẩm 1, p2 là giá bán sản phẩm 2, p3 là giá bán sản phẩm 3. Tìm điểm cân bằng trên thị trường (p1 , p2 , p3 )? Như chúng ta đã biết, thị trường cân bằng khi lượng cung bằng lượng cầu, tức là: QS1 = QD1 ⇔ 8p1 + p2 + p3 − 40 = −11p1 + 3p2 + 2p3 + 133 ⇔ 19p1 − 2p2 − p3 = 173 (1) QS2 = QD2 ⇔ p1 + 15p2 − 23 = 2p1 − 7p2 + p3 + 70 ⇔ −p1 + 22p2 − p3 = 93 (2) QS3 = QD3 ⇔ −p1 + 7p3 − 20 = 2p2 − 10p3 + 79 ⇔ −p1 − 2p2 + 17p3 = 99 (3) Các phương trình (1), (2), (3) tạo thành một hệ ba phương trình ba ẩn số (đã học ở lớp 10). 2) Tổng quát thị trường có n sản phẩm, với QSi là lượng cung của sản phẩm thứ i, với QDi là lượng cầu của sản phẩm thứ i, với Pi là giá bán của sản phẩm thứ i. Giả định các yếu tố khác không đổi, hàm cung, hàm cầu sản phẩm thứ i là: QSi = ai0 + ai1 P1 + .... + ain Pn (i = 1, 2, ..., n) QDi = bi0 + bi1 P1 + .... + bin Pn (i = 1, 2, ..., n) Thị trường cân bằng khi lượng cung bằng lượng cầu, tức là: Qsi = QDi , ∀i = 1, n    a10 + a11 P1 + .... + a1n Pn = b10 + b11 P1 + .... + b1n Pn  a20 + a21 P1 + .... + a2n Pn = b20 + b21 P1 + .... + b2n Pn ⇔   .............................................................  an0 + an1 P1 + .... + ann Pn = bn0 + bn1 P1 + .... + bnn Pn 63
Phan Văn Lý    c11 P1 + c12 P2 + .... + c1n Pn = −c10  c21 P1 + c22 P2 + .... + c2n Pn = −c20 ⇔ (∗)   ......................................................  cn1 P1 + cn2 P2 + .... + cnn Pn = −cn0 với cik = aik − bik (i = 1, 2, ..., n; k = 0, 1, 2, ..., n).   c11 c12 ... c1n  c21 c22 ... c2n  Đặt C =   .. , với det(C) 6= 0 hệ (*) được gọi là hệ phương trình .. ... ..  cn1 cn1 ... cnn Cramer. Giải được hệ phương trình (*) là tìm được giá của các sản phẩm tại thời điểm thị trường cân bằng. Từ đó định nghĩa hệ phương trình Cramer một cách tổng quát: Một hệ phương trình Cramer là một hệ n (n ≥ 1) phương trình tuyến tính đối với n ẩn x1 , x2 , ..., xn :    a11 x1 + a12 x2 + .... + a1n xn = b1  a21 x1 + a22 x2 + .... + a2n xn = b2 (1)   ............................................................  an1 x1 + an2 x2 + .... + a2n xn = bn Trong đó các aij và bi ∈ K, i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., n, và định thức D thành lập bởi các hệ số aij là khác 0. Nghiệm của hệ phương trình Cramer là duy nhất cho bởi công thức: Dj xj = , j = 1, 2, ... , n D Trong đó Dj suy ra từ D bằng cách thay cột thứ j của D bằng cột các số hạng tự do bi của hệ phương trình. Như vậy, từ tình huống đã phát triển thành bài toán có nội dung thực tiễn để xây dựng lí thuyết của bài học Hệ phương trình Cramer cho sinh viên. 2.2. Bài toán thực tế trong giai đoạn củng cố bài học Trong toán học, củng cố kiến thức diễn ra dưới các hình thức luyện tập, đào sâu, ứng dụng, hệ thống hóa và ôn tập. Sau khi hoàn chỉnh một phần lí thuyết bài học, người học có thêm những kiến thức mới để có những hướng mới phát triển bài toán ban đầu. Phát triển tình huống thực tế khi củng cố kiến thức bài học giúp nhìn nhận tình huống thực tế đã xét trong giai đoạn trước đó một cách đầy đủ, phong phú và tổng quan hơn [2]. Ví dụ: 1) Sau khi dạy xong phần lí thuyết của bài học Hệ phương trình Cramer, chúng tôi yêu cầu sinh viên tiếp tục giải hệ phương trình ở bài toán 1 của ví dụ mục 2.1   19p1 − 2p2 − p3 = 173 −p1 + 22p2 − p3 = 93 (1)  −p1 − 2p2 + 17p3 = 99 Giải hệ phương trình (1), ta tìm được điểm cân bằng thị trường (p1 , p2 , p3 ) 64
Tăng cường các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học Đại số tuyến tính... Giải: Hệ phương trình (1) là hệ Cramer vì có số phương trình bằng số ẩn số, bằng 3 và ma trận hệ số:  
19 − 2 − 1
19 − 2 − 1
A =  −1 22 − 1 , với D =
−1 22 − 1
= 7008 6= 0. −1 − 2 17
−1 − 2 17
D Khi đó, hệ phương trình (1) có duy nhất nghiệm: pj = Dj , j = 1, 2, 3