Tạo bảng biến thiên chuyển đổi tự động cho các hàm đa thức trong Geogebra

TẠO BẢNG BIẾN THIÊN CHUYỂN ĐỔI TỰ ĐỘNG CHO CÁC HÀM ĐA THỨC TRONG GEOGEBRA<br /> Lê Thị Mỹ Diệu1<br /> Tóm tắt: Nội dung chính của bài viết là tạo bảng biến thiên có thể chuyển đổi tự động giữa 4 loại<br /> hàm đa thức: hàm trùng phương, hàm bậc 3, hàm bậc 2 và hàm bậc nhất trong Geogebra qua 5 bước cơ<br /> bản: mở phần mềm; vẽ đồ thị; thực hiện các lệnh trên vùng Cas; tạo các cột và các dòng cho bảng biến<br /> thiên; tạo các điểm cực trị, dấu của đạo hàm và chiều biến thiên của hàm số trên bảng biến thiên.<br /> Từ khóa: Bảng biến thiên, Hàm đa thức, Geogebra.<br /> <br /> 1. Mở đầu<br /> Hàm số và những vấn đề liên quan đến hàm số là những đối tượng đã và đang được quan tâm<br /> nhiều nhất trong chương trình Toán phổ thông hiện nay. Sự biến thiên của hàm số là một trong những đối<br /> tượng đó. Việc khảo sát sự biến thiên của hàm số dù bằng phương pháp sơ cấp hay phương pháp đạo<br /> hàm bao giờ cũng được kết thúc bởi một bảng biến thiên mà trên đó sẽ thể hiện tất cả các kết quả vừa<br /> khảo sát đồng thời phát họa ban đầu hình dáng của đồ thị hàm số đó. Để soạn thảo một bảng biến thiên<br /> cho một giáo án dạy học thì hầu như không ai không làm được, chúng ta có thể vẽ bằng công cụ Table<br /> trong Word hoặc Excell. Tuy nhiên với mỗi một hàm số khác nhau thì lại mất một lần vẽ và điều chỉnh. Điều<br /> này sẽ dẫn đến tốn kém thời gian và nhiều sai sót khi điều chỉnh. Nhưng với phần mềm Geogebra, chỉ cần<br /> một lần thiết lập, chúng ta có thể tạo bảng biến thiên chuyển đổi tự động cho 4 loại hàm đa thức: bậc 1,<br /> bậc 2, bậc 3 và hàm trùng phương, chỉ một thao tác thay đổi hàm số, ta có ngay một bảng biến thiên tương<br /> ứng mà không cần điều chỉnh, rất dễ dàng cho việc soạn thảo cũng như trình chiếu. Chính vì vậy tôi quyết<br /> định viết bài báo này để giới thiệu đến người đọc những bước thiết lập đó. Bài báo có tên: “Tạo bảng biến<br /> thiên cho các hàm đa thức trong Geogebra”.<br /> <br /> 2. Nội dung<br /> 2.1. Giới thiệu về phần mềm Geogebra<br /> GeoGebra là phần mềm toán học động được thiết kế cho việc dạy và học toán học từ Tiểu học đến<br /> Đại học. Phần mềm là sự kết hợp giữa môi trường hình học động, thao tác tính toán với các biểu thức đại<br /> số, giải tích và bảng tính điện tử trong mặt phẳng tọa độ. Vì vậy, nó cho phép thu hẹp khoảng cách giữa<br /> các lĩnh vực toán học của hình học, đại số, giải tích và thậm chí cả tính toán.<br /> Tác giả phần mềm là Markus Hohenwarter, quốc tịch Áo, giảng viên Toán - Tin học thuộc trường<br /> Đại học University of Salzburg, Cộng hòa Áo. Phần mềm GeoGebra được khởi động từ năm 2001 và đã<br /> trãi qua nhiều năm liên tục phát triển. Phần mềm GeoGebra đã đạt rất nhiều giải thưởng tại nước chủ nhà<br /> Áo và liên minh Châu Âu về phần mềm giáo dục tốt nhất trong nhiểu năm liền.<br /> Một mặt, GeoGebra là một hệ thống hình học động. Bạn có thể dựng hình theo điểm, vec-tơ, đoạn<br /> thẳng, đường thẳng, đường conic, cũng như đồ thị hàm số, và có thể thay đổi chúng về sau. Mặt khác,<br /> phương trình và tọa độ có thể được nhập vào trực tiếp. Đồng thời, với các phiên bản mới GeoGebra có<br /> thể xuất bản với giao diện web, nhúng vào phần mềm Powerpoint và có thể xử lí các thao tác như trên<br /> phần mềm GeoGebra tạo cho người dùng thuận lợi hơn rất nhiều khi trình chiếu hay trong giảng dạy.<br /> <br /> 2.2. Cách thức lập bảng biến thiên cho các hàm đa thức<br /> Với sự thuận lợi của Geogebra, bằng một số bước thiết lập các thao tác, Geogebra có thể tạo một<br /> bảng biến thiên chuyển đổi nhanh chóng giữa các hàm đa thức: bậc 1, bậc 2, bậc 3 và hàm trùng phương.<br /> Cụ thể như sau:<br /> <br /> 1<br /> <br /> . ThS, Khoa Toán, Trường Đại học Quảng Nam<br /> <br /> Bước 1: Mở giao diện Geogebra:<br /> + Vào hộp Các tùy chọn→ Tên → Không hiển thị tên các đối tượng mới.<br /> + Vào hộp Hiển thị → Vùng làm việc, Đồ thị 2 và CAS (vùng tính toán)<br /> Bước 2: Vẽ đồ thị cho Vùng làm việc<br /> Kích vào khung Nhập lệnh, nhập hàm f (x) = x ^ 4− 2x ^2+ 3 , sau đó kích vào Vùng làm việc, khi đó<br /> chỉ tại Vùng làm việc sẽ xuất hiện đồ thị hàm số đã nhập.<br /> <br /> Hình 1<br /> Lưu ý: ở đây ta nhập hàm bậc trùng phương, đây là hàm có mũ cao nhất trong các hàm được vẽ ở<br /> phổ thông, khi đó bảng biến thiên sẽ lớn nhất và đầy đủ nhất các yếu tố. Dựa vào đó, ta sẽ dự toán được<br /> các khả năng có thể xảy ra, thiết lập các biến và tạo điều kiện ràng buộc đầy đủ nhất.<br /> Bước 3: Thực hiện các lệnh trên vùng CAS<br /> Vào vùng Cas, thực hiện tính và gán theo các lệnh sau:<br /> S:=solutions(f’(x)) (S là tập nghiệm của phương trình f’(x)=0)<br /> T:= length(S) (Chiều dài của tập S)<br /> X1:= S(1)<br /> <br /> (nghiệm thứ nhất của phương trình f’(x)=0)<br /> <br /> X2:= S(2)<br /> <br /> (nghiệm thứ hai của phương trình f’(x)=0)<br /> <br /> X3:= S(3)<br /> <br /> (nghiệm thứ ba của phương trình f’(x)=0)<br /> <br /> Hình 2<br /> Trong trường hợp f(x) là hàm bậc nhất, thì S sẽ không xác định, khi đó T sẽ không xác định, để khắc<br /> phục lỗi này, ta thực hiện thêm lệnh sau:<br /> TT:= if(T=?, 0, T ).<br /> Bước 4: Tạo các cột và các dòng cho bảng biến thiên trên vùng Đồ thị 2 Vào vùng Đồ thị 2, ta<br /> tiến hành như sau:<br /> <br /> <br /> Trước hết, ta vẫn giữ nguyên lưới và các trục tọa độ của vùng này để dễ chọn điểm, giả<br /> sử ta chọn điểm A (-6,5)<br /> <br /> Vào công cụ Vẽ đường vuông góc: ta thực hiện vẽ đường vuông góc đi qua A với các trục<br /> Ox, Oy. Đồng thời vẽ thêm các đường vuông góc khác và xác định giao điểm giữa chúng như hình sau:<br /> <br /> Hình 3<br /> Sau đó bỏ hiển thị lưới, các trục tọa độ và các đường, khi đó ta còn lại các giao điểm.<br /> <br /> <br /> Vào công cụ Vẽ đoạn thẳng: để vẽ các đoạn thẳng đi qua các điểm trong Vùng Đồ thị 2 đã<br /> có ở trên. Khi đó ta được bảng (hình 4).<br /> Kích chuột vào bảng để điều chỉnh kích thước cho phù hợp, nhìn góc trái ta sẽ thấy tọa độ các đỉnh<br /> và độ dài các đoạn thẳng sẽ thay đổi theo, tuy nhiên vấn đề ta quan tâm là tên các đỉnh và tên các đoạn<br /> thẳng. Ở đây ta có tên các đỉnh và các đoạn thẳng như sau:<br /> <br /> Các đỉnh và các đoạn mà ta quan tâm nhất là đỉnh A, E, 4<br /> đoạn nằm ngang m, n, p, q và đoạn thẳng đứng s = EH.<br /> Việc hiển thị này chỉ là để nhớ tên các đỉnh và các đoạn đó,<br /> giúp cho các thao tác thực hiện lệnh dễ dàng, do đó ta chỉ cần đưa<br /> chuột vào gần các đối tượng thì cũng thấy tên cũng như các chỉ số<br /> liên quan đến đối tượng nên ta bỏ đi hiển thị tên.<br /> <br />  Vào khung nhập lệnh, thực hiện các lệnh sau:<br /> Hình 4<br /> <br /> Pheptinhtien({m,n,p,q,r,s},vecto(A,E))<br /> <br /> Dayso(Pheptinhtien({m,n,p,q,r,s}, k vecto(A,E)), k, 0, TT + 2)<br /> Sau đó kích chuột vào vùng Đồ thị 2, thì chỉ trên vùng đó sẽ<br /> tự động xuất hiện bảng sau:<br /> <br /> Hình 5<br /> Bước 5: Tạo các điểm cực trị, dấu của đạo hàm và chiều biến thiên của hàm số trên bảng biến thiên.<br /> Ở đây, bài viết trình bày các thao tác được thực hiện lần lượt trên từng dòng của bảng. Cụ thể như<br /> sau:<br /> y Dòng 1:<br /> + Vào công cụ Trung điểm: để tạo điểm chính giữa cho ô đầu tiên của dòng 1 của bảng, ta được<br /> điểm đó có tên là I:<br /> <br /> Hình 6<br /> + Vào khung nhập lệnh, thực hiện liên tiếp các lệnh tịnh tiến điểm I như sau :<br /> Pheptinhtien(I,vecto(A,E)) → Tạo điểm I’<br /> Pheptinhtien(I, 2vecto(A,E)) → Tạo điểm I’_1<br /> Pheptinhtien(I, 3vecto(A,E)) → Tạo điểm I’_2<br /> <br /> Pheptinhtien(I, 4vecto(A,E)) →Tạo điểm I’_3<br /> Pheptinhtien(I, (TT+2)vecto(A,E)) → Tạo điểm I’_4<br /> Lưu ý: sau mỗi lệnh ta thực hiện kích chọn vào vùng đồ thị 2, để chỉ trên vùng đó xuất hiện các điểm<br /> mới.<br /> <br /> Hình 7<br /> + Vào công cụ Chèn chữ: Đồng thời kích chọn vào từng điểm mới xuất hiện lần lượt từ trái sang để<br /> chèn tên văn bản cho các điểm đó. Cụ thể:<br /> Điểm I: Nhập: x → kích chọn Công thức Latex → Ok.<br /> Điểm I’: nhập: −∞ (Kí hiệu này có ở khung Các biểu tượng)→ kích chọn Công thức Latex → Ok.<br /> Điểm I’_1: Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào đó gõ X1 → kích chọn Công<br /> thức Latex → Ok.<br /> Điểm I’_2: Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào đó gõ X2 → kích chọn Công<br /> thức Latex → Ok.<br /> Điểm I’_3: Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào đó gõ X3 → kích chọn Công<br /> thức Latex → Ok.<br /> Điểm I’_4 (giống như điểm I’): nhập: +∞ (Kí hiệu này có ở khung Các biểu tượng)→ kích chọn Công<br /> thức Latex → Ok.<br /> Khi đó ta được dòng 1 trên bảng như sau:<br /> <br /> Hình 8<br /> + Tiến hành tạo ràng buộc cho các văn bản :<br /> Bây giờ ta có thể kích chọn bỏ hiện thị cho các điểm, chỉ làm việc với các văn bản của điểm.<br /> Với hàm đa thức, Tập xác định D=� , nên hai văn bản −∞ và +∞sẽ luôn xuất hiện, do đó không cần<br /> điều kiện ràng buộc.<br /> Văn bản mang giá trị của X1 (văn bản số 3) chỉ xuất hiện khi phương trình f '(x) = 0 có ít nhất 1<br /> nghiệm, do đó, ta kích chuột phải vào văn bản đó, chọn Thuộc<br /> <br />