Tập 2 Liên tục và vi phân - Bài tập Giải tích

Chia sẻ: Nguyen Tien Vu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:405

Thêm vào BST

Báo xấu

222
lượt xem 69
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các bài tập trong Tài liệu được sắp xếp từ dễ cho tới khó và có nhiều bài tập hay, lời giải khá đầy đủ và chi tiết, kết hợp những ý tưởng hay giữa toán học sơ cấp và toán học hiện đại. Tài liệu có thể dùng làm Tài liệu cho các học sinh phổ thông ở các lớp chuyên cũng như cho các sinh viên đại học ngành Toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tập 2 Liên tục và vi phân - Bài tập Giải tích

§¹i Häc Quèc Gia Hµ Néi Tr−êng §¹i Häc Khoa Häc Tù Nhiªn Hµ Néi W. J. Kaczor M. T. Nowak Bµi tËp Gi¶i TÝch II Liªn tôc vµ Vi ph©n (Cã Lêi Gi¶i Chi TiÕt) Biªn dÞch: NguyÔn Duy TiÕn, D− §øc Th¾ng, Lª Huy TiÔn Hµ néi 2002
2
Môc lôc Lêi nãi ®Çu 7 Ký hiÖu vµ kh¸i niÖm 11 Bµi tËp 3 1 Giíi h¹n vµ liªn tôc 3 1.1 Giíi h¹n cña hµm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 C¸c tÝnh chÊt cña hµm liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 TÝnh chÊt gi¸ trÞ trung gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Hµm nöa liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 TÝnh liªn tôc ®Òu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6 Ph−¬ng tr×nh hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.7 Hµm liªn tôc trong kh«ng gian metric . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 PhÐp tÝnh vi ph©n 35 2.1 §¹o hµm cña hµm thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 §Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 C«ng thøc Taylor vµ quy t¾c L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4 Hµm låi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.5 C¸c øng dông cña ®¹o hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.6 Kh¶ vi m¹nh vµ kh¶ vi theo nghÜa Schwarz . . . . . . . . . . . . 72 3
4 3 D·y vµ chuçi hµm 77 3.1 D·y hµm vµ sù héi tô ®Òu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2 Chuçi hµm vµ sù héi tô ®Òu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3 Chuçi luü thõa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.4 Chuçi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Lêi gi¶i 105 1 Giíi h¹n vµ liªn tôc 105 1.1 Giíi h¹n cña hµm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 1.2 C¸c tÝnh chÊt cña hµm liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 1.3 TÝnh chÊt gi¸ trÞ trung gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 1.4 Hµm nöa liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 1.5 TÝnh liªn tôc ®Òu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 1.6 Ph−¬ng tr×nh hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 1.7 Hµm liªn tôc trong kh«ng gian metric . . . . . . . . . . . . . . . 193 2 PhÐp tÝnh vi ph©n 207 2.1 §¹o hµm cña hµm sè thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 2.2 C¸c ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 2.3 C«ng thøc Taylor vµ quy t¾c L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . 241 2.4 Hµm låi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 2.5 C¸c øng dông cña ®¹o hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 2.6 Kh¶ vi m¹nh vµ kh¶ vi theo nghÜa Schwarz . . . . . . . . . . . . 307 3 D·y hµm vµ chuçi hµm 315 3.1 D·y hµm vµ sù héi tô ®Òu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 3.2 Chuçi hµm vµ sù héi tô ®Òu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 3.3 Chuçi luü thõa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 3.4 Chuçi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
5 Tµi liÖu tham kh¶o 389
6
Lêi nãi ®Çu B¹n ®ang cã trong tay tËp II cña mét trong nh÷ng s¸ch bµi tËp gi¶i tÝch (theo chóng t«i) hay nhÊt thÕ giíi. Tr−íc ®©y, hÇu hÕt nh÷ng ng−êi lµm to¸n cña ViÖt Nam th−êng sö dông hai cuèn s¸ch næi tiÕng sau (b»ng tiÕng Nga vµ ®· ®−îc dÞch ra tiÕng ViÖt): 1. “Bµi tËp gi¶i tÝch to¸n häc” cña Demidovich (B. P. Demidoviq; 1969, Sbornik Zadaq i Upra¼neni$ i po Matematiqeskomu Analizu, Izdatel~stvo "Nauka", Moskva) 2. “Gi¶i tÝch to¸n häc, c¸c vÝ dô vµ bµi tËp” cña Ljaszko, Bo- jachuk, Gai, Golovach (I. I. LÂxko, A. K. BoÂquk, º. G. Ga$i, G. P. Golobaq; 1975, Matematiqeski$ i Analiz v Primerah i Zadaqah, Tom 1, 2, Izdatel~stvo VixaÂ Xkola) ®Ó gi¶ng d¹y hoÆc häc gi¶i tÝch. CÇn chó ý r»ng, cuèn thø nhÊt chØ cã bµi tËp vµ ®¸p sè. Cuèn thø hai cho lêi gi¶i chi tiÕt ®èi víi phÇn lín bµi tËp cña cuèn thø nhÊt vµ mét sè bµi to¸n kh¸c. LÇn nµy chóng t«i chän cuèn s¸ch (b»ng tiÕng Ba Lan vµ ®· ®−îc dÞch ra tiÕng Anh): 3. “Bµi tËp gi¶i tÝch. TËp I: Sè thùc, D∙y sè vµ Chuçi sè” (W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Cze´sc´ Pierwsza, Liczby Rzeczywiste, Ciagi i Szeregi Liczbowe, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1996), 4. “Bµi tËp gi¶i tÝch. TËp II: Liªn tôc vµ Vi ph©n ” (W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Cze´sc´ Druga, Funkcje Jednej Zmiennej–Rachunek R´ozniczowy, Wydawnictwo Univer- sytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1998). 7
8 Lêi nãi ®Çu ®Ó biªn dÞch nh»m cung cÊp thªm mét tµi liÖu tèt gióp b¹n ®äc häc vµ d¹y gi¶i tÝch. Khi biªn dÞch, chóng t«i ®· tham kh¶o b¶n tiÕng Anh: 3*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Problems in Mathematical Analy- sis I, Real Numbers, Sequences and Series, AMS, 2000. 4*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Problems in Mathematical Analy- sis II, Continuity and Differentiation, AMS, 2001. S¸ch nµy cã c¸c −u ®iÓm sau: • C¸c bµi tËp ®−îc x¾p xÕp tõ dÔ cho tíi khã vµ cã nhiÒu bµi tËp hay. • Lêi gi¶i kh¸ ®Çy ®ñ vµ chi tiÕt. • KÕt hîp ®−îc nh÷ng ý t−ëng hay gi÷a to¸n häc s¬ cÊp vµ to¸n häc hiÖn ®¹i. NhiÒu bµi tËp ®ù¬c lÊy tõ c¸c t¹p chÝ næi tiÕng nh−, American Mathematical Monthly (tiÕng Anh), Mathematics To- day (tiÕng Nga), Delta (tiÕng Balan). V× thÕ, s¸ch nµy cã thÓ dïng lµm tµi liÖu cho c¸c häc sinh phæ th«ng ë c¸c líp chuyªn còng nh− cho c¸c sinh viªn ®¹i häc ngµnh to¸n. C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n ®Ó gi¶i c¸c bµi tËp trong s¸ch nµy cã thÓ t×m trong 5. NguyÔn Duy TiÕn, Bµi Gi¶ng Gi¶i TÝch, TËp I, NXB §¹i Häc Quèc Gia Hµ Néi, 2000. 6. W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw -Hil Book Company, New York, 1964. Tuy vËy, tr−íc mçi ch−¬ng chóng t«i tr×nh bµy tãm t¾t lý thuyÕt ®Ó gióp b¹n ®äc nhí l¹i c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n cÇn thiÕt khi gi¶i bµi tËp trong ch−¬ng t−¬ng øng. TËp I vµ II cña s¸ch chØ bµn ®Õn hµm sè mét biÕn sè (trõ phÇn kh«ng gian metric trong tËp II). Kaczkor, Nowak ch¾c sÏ cßn viÕt Bµi TËp Gi¶i TÝch cho hµm nhiÒu biÕn vµ phÐp tÝnh tÝch ph©n. Chóng t«i ®· biªn dÞch tËp I, vµ ®· xuÊt b¶n. Nh©n dÞp nµy chóng t«i xin bµy tá sù biÕt ¬n ch©n thµnh tíi GS. Ph¹m Xu©n Yªm (Ph¸p) ®· göi cho chóng t«i b¶n gèc tiÕng Anh tËp I cña s¸ch nµy, GS.
Lêi nãi ®Çu 9 TSKH. NguyÔn H÷u ViÖt H−ng (ViÖt Nam) ®· göi cho chóng t«i b¶n gèc tiÕng Anh tËp II cña s¸ch nµy, GS. Spencer Shaw (Mü) ®· göi cho chóng t«i b¶n gèc tiÕng Anh cuèn s¸ch næi tiÕng cña W. Rudin (nãi trªn), xuÊt b¶n lÇn thø ba, 1976, GS. TSKH. Ph¹m Kú Anh, TS. NguyÔn Vò L−¬ng, TS. Hoµng Quèc Toµn vµ PGS. TSKH. NguyÔn V¨n Minh ®· ®äc kü b¶n th¶o vµ gãp cho chóng t«i nhiÒu ý kiÕn ®Ó b¶n dÞch ®−îc hoµn thiÖn h¬n. Chóng t«i còng ch©n thµnh c¸m ¬n tËp thÓ sinh viªn To¸n - Lý K5 HÖ §µo t¹o Cö nh©n Khoa häc Tµi n¨ng, Tr−êng §HKHTN, §HQGHN, ®· ®äc kü b¶n th¶o vµ söa nhiÒu lçi chÕ b¶n cña b¶n ®¸nh m¸y ®Çu tiªn. Chóng t«i hy väng r»ng cuèn s¸ch nµy sÏ ®−îc ®«ng ®¶o b¹n ®äc ®ãn nhËn vµ gãp nhiÒu ý kiÕn quÝ b¸u vÒ phÇn biªn dÞch vµ tr×nh bµy. RÊt mong nhËn ®−îc sù chØ gi¸o cña quý vÞ b¹n ®äc. Mäi ý kiÕn gãp ý xin göi vÒ: NguyÔn Duy TiÕn, Khoa To¸n - C¬ - Tin häc, tr−êng §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn, §¹i häc Quèc gia Hµ Néi, 334 NguyÔn Tr∙i, Thanh Xu©n, Hµ Néi. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n. Hµ Néi, Xu©n 2002. Nhãm biªn dÞch
Ký hiÖu vµ kh¸i niÖm • Ac = X\A - phÇn bï cña t¹p A, ¯ X (x, r) - h×nh cÇu më vµ ®ãng cã t©m t¹i x vµ b¸n kÝnh r > 0 • BX (x, r), B ¯ t−¬ng øng. NÕu cè ®Þnh X th× ta chØ cÇn viÕt B(x, r), B(x, r), • Ao - phÇn trong cña A trong kh«ng gian metric (X, d), ¯ - bao ®ãng cña A trong kh«ng gian metric (X, d), • A ¯ ∩ X\A - biªn cña A, • ∂A = A • diam(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A} - ®−êng kÝnh cña tËp A, • dist(x, A) = inf{d(x, y) : y ∈ A} - kho¶ng c¸ch gi÷a x vµ tËp A, • A ®−îc gäi lµ cã d¹ng Fσ nÕu nã lµ hîp cña mét sè ®Õm ®−îc c¸c tËp ®ãng trong (X, d), • A ®−îc gäi lµ cã d¹ng Gδ nÕu nã lµ giao cña mét sè ®Õm ®−îc c¸c tËp më trong (X, d), • X ®−îc gäi lµ liªn th«ng nÕu kh«ng tån t¹i hai tËp më kh¸c rçng rêi nhau B, C ⊂ X sao cho X = B ∪ C, • Hµm 1 nÕu x ∈ A, χA (x) = 0 nÕu x ∈ (X\A) ®−îc gäi lµ hµm ®Æc tr−ng cña A, • NÕu A ⊂ X vµ nÕu f lµ hµm x¸c ®Þnh trªn X th× f|A ®−îc ký hiÖu lµ h¹n chÕ cña f trªn A, 11
12 Ký hiÖu vµ kh¸i niÖm NÕu f vµ g lµ hai hµm thùc biÕn thùc th× • f (a+ ) vµ f (a− ) lµ giíi h¹n tr¸i vµ ph¶i cña f t¹i a, t−¬ng øng, • nÕu th−¬ng f (x)/g(x) dÇn tíi kh«ng (hay bÞ chÆn) khi x → x0 th× ta viÕt f (x) = ◦(g(x)) (hay f (x) = O(g(x))) • C(A) - tËp c¸c hµm liªn tôc trªn A, • C(a, b) - tËp c¸c hµm liªn tôc trªn kho¶ng (a, b), • f (n) - ®¹o hµm cÊp n cña f , • C n (a, b) - tËp c¸c hµm kh¶ vi liªn tôc ®Õn cÊp n trªn kho¶ng (a, b), • f+ (a), f− (a) - ®¹o hµm tr¸i, ph¶i cña f t¹i ®iÓm a, • C 1 ([a, b]) - tËp c¸c hµm kh¶ vi liªn tôc trªn [a, b], trong ®ã ®¹o hµm t¹i c¸c ®iÓm mót ®−îc hiÓu lµ ®¹o hµm tr¸i, ®¹o hµm ph¶i, t−¬ng øng. TËp C n ([a, b]) lµ tËp c¸c hµm kh¶ vi liªn tôc ®Õn cÊp n ®−îc ®Þnh nghÜa quy n¹p. • C ∞ (a, b), C ∞ ([a, b]) - tËp c¸c hµm kh¶ vi liªn tôc v« h¹n lÇn trªn (a, b) vµ [a, b], t−¬ng øng. • [a, b] - ®o¹n ®ãng, (a, b) - kho¶ng më (a, b cã thÓ v« h¹n), [a, b) - kho¶ng ®ãng tr¸i (b cã thÓ v« h¹n), (a, b] kho¶ng ®ãng ph¶i (a cã thÓ v« h¹n). I ký hiÖu mét trong bèn tËp nµy vµ ®−îc gäi lµ kho¶ng.
Bµi tËp
Ch−¬ng 1 Giíi h¹n vµ liªn tôc 1.1 Giíi h¹n cña hµm sè Ta dïng c¸c ®Þnh nghÜa sau. §Þnh nghÜa 1. Hµm f gäi lµ t¨ng (t−¬ng øng, t¨ng thùc sù, gi¶m, gi¶m thùc sù) trªn tËp kh¸c rçng A ⊂ R nÕu x1 < x2 , x1 , x2 ∈ A kÐo theo f (x1 ) ≤ f (x2 ) (t−¬ng øng f (x1 ) < f (x2 ), f (x1 ) ≥ f (x2 ), f (x1 ) > f (x2 ) ). Hµm t¨ng hay gi¶m (t−¬ng øng, t¨ng thùc sù hay gi¶m thùc sù) gäi lµ hµm ®¬n ®iÖu (t−¬ng øng, ®¬n ®iÖu thùc sù). §Þnh nghÜa 2. TËp (a − ε, a + ε) \ {a}, ë ®©y ε > 0 gäi lµ l©n cËn khuyÕt cña ®iÓm a ∈ R. 1.1.1. T×m c¸c hoÆc chøng minh chóng kh«ng tån t¹i. 1 1 (a) lim x cos , (b) lim x , x→0 x x→0 x x b [x] (c) lim , a, b > 0, (d) lim , x→0 a x x→0 x 3 cos( π2 cos x) (e) lim x( x2 + 1 − x3 + 1), (f) lim . x→+∞ x→0 sin(sin x) 1.1.2. Gi¶ sö f : (−a, a) \ {0} → R. Chøng minh r»ng (a) lim f (x) = l nÕu vµ chØ nÕu lim f (sin x) = l, x→0 x→0 3
4 Ch−¬ng 1. Giíi h¹n vµ liªn tôc (b) nÕu lim f (x) = l th× lim f (|x|) = l. §iÒu ng−îc l¹i cã ®óng x→0 x→0 kh«ng ? 1.1.3. Gi¶ sö hµm f : (−a, a) \ {0} → (0, +∞) tho¶ m∙n ®iÒu kiÖn 1 lim f (x) + f (x) = 2. Chøng minh r»ng lim f (x) = 1. x→0 x→0 1.1.4. Gi¶ sö hµm f ®−îc x¸c ®Þnh trªn mét l©n cËn khuyÕt cña a 1 vµ lim f (x) + |f (x)| = 0. T×m lim f (x). x→a x→a 1.1.5. Chøng minh r»ng nÕu f lµ hµm bÞ chÆn trªn ®o¹n [0, 1] vµ tho¶ m∙n f (ax) = bf (x) víi 0 ≤ x ≤ a1 vµ a, b > 1 th× lim f (x) = f (0). x→0+ 1.1.6. TÝnh 1 (a) lim x2 1 + 2 + 3 + · · · + |x| , x→0 1 2 k (b) lim x x + x +··· + x , k ∈ N. x→0+ [P (x)] 1.1.7. TÝnh lim , ë ®©y P (x) lµ ®a thøc víi hÖ sè d−¬ng. x→∞ P (|x|) 1.1.8. ChØ ra b»ng vÝ dô r»ng tõ ®iÒu kiÖn (∗) lim (f (x) + f (2x)) = 0 x→0 kh«ng suy ra f cã giíi h¹n t¹i 0. Chøng minh r»ng nÕu tån t¹i hµm ϕ sao cho bÊt ®¼ng thøc f (x) ≥ ϕ(x) ®−îc tho¶ m∙n trong mét l©n cËn khuyÕt cña 0 vµ lim ϕ(x) = 0, th× (∗) suy ra lim f (x) = 0. x→0 x→0 1.1.9. (a) Cho vÝ dô hµm f tho¶ m∙n ®iÒu kiÖn lim (f (x)f (2x)) = 0 vµ x→0 lim f (x) kh«ng tån t¹i. x→0 (b) Chøng minh r»ng nÕu trong mét l©n cËn khuyÕt cña 0, c¸c bÊt ®¼ng thøc f (x) ≥ |x|α , 12 < α < 1, vµ f (x)f (2x) ≤ |x| ®−îc tho¶ m∙n, th× lim f (x) = 0. x→0 f (ax) 1.1.10. Cho tr−íc sè thùc α, gi¶ sö lim xα = g(a) víi mçi sè d−¬ng x→∞ a. Chøng minh r»ng tån t¹i c sao cho g(a) = caα .
1.1. Giíi h¹n cña hµm sè 5 f (2x) 1.1.11. Gi¶ sö f : R → R lµ hµm ®¬n ®iÖu sao cho lim = 1. x→∞ f (x) Chøng minh r»ng lim f (cx) = 1 víi mäi c > 0. x→∞ f (x) 1.1.12. Chøng minh r»ng nÕu a > 1 vµ α ∈ R th× ax ax (a) lim= +∞, (b) lim = +∞. x→∞ x x→∞ xα ln x 1.1.13. Chøng minh r»ng nÕu α > 0, th× lim α = 0. x→∞ x 1.1.14. Cho a > 0, chøng minh lim ax = 1. Dïng ®¼ng thøc nµy ®Ó x→0 chøng minh tÝnh liªn tôc cña hµm mò. 1.1.15. Chøng minh r»ng x x 1 1 (a) lim 1+ = e, (b) lim 1+ = e, x→∞ x x→−∞ x 1 (c) lim (1 + x) x = e. x→0 1.1.16. Chøng minh r»ng lim ln(1 + x) = 0. Dïng ®¼ng thøc nµy, x→0 suy ra hµm logarit liªn tôc trªn (0, ∞). 1.1.17. TÝnh c¸c giíi h¹n sau: ln(1 + x) ax − 1 (a) lim , (b) lim , a > 0, x→0 x x→0 x (1 + x)α − 1 (c) lim , α ∈ R. x→0 x 1.1.18. T×m 1 (a) lim (ln x) x , (b) lim xsin x , x→∞ x→0+ 1 1 (c) lim (cos x) sin2 x , (d) lim (ex − 1) x , x→0 x→∞ 1 (e) lim (sin x) ln x . x→0+ 1.1.19. T×m c¸c giíi h¹n sau: sin 2x + 2 arctan 3x + 3x2 ln cos x (a) lim , (b) lim , x→0 ln(1 + 3x + sin2 x) + xex x→0 tan x2 √ √ 1 − e−x − 1 − cos x (c) lim √ , (d) lim (1 + x2 )cot x . x→0+ sin x x→0
6 Ch−¬ng 1. Giíi h¹n vµ liªn tôc 1.1.20. TÝnh 1 πx x x x (a) lim tan , (b) lim x ln 1 + − ln . x→∞ 2x + 1 x→∞ 2 2 1.1.21. Gi¶ sö r»ng lim g(x) = 0 vµ tån t¹i α ∈ R, c¸c sè d−¬ng x→0+ f (x) m, M sao cho m ≤ M víi nh÷ng gi¸ trÞ d−¬ng cña x trong xα ≤ l©n cËn cña 0. Chøng minh r»ng nÕu α lim g(x) ln x = γ, th× x→0+ lim f (x)g(x) = eγ . Tr−êng hîp γ = ∞ hoÆc γ = −∞, ta quy −íc x→0+ e∞ = ∞ vµ e−∞ = 0. 1.1.22. BiÕt r»ng lim f (x) = 1 vµ lim g(x) = ∞. Chøng minh r»ng x→0 x→0 nÕu lim g(x)(f (x) − 1) = γ , th× lim f (x)g(x) = eγ . x→0 x→0 1.1.23. TÝnh x √ √ 1 (a) lim 2 sin x + x sin , x→0+ x 1 e x2 − 12 1 (b) lim 1 + xe x sin , x→0 x4 1 e x2 − 12 1 1 1 (c) lim 1 + e x arctan 2 + xe− x2 sin 4 . x→0 x x 1.1.24. Cho f : [0, +∞) → R lµ hµm sao cho mçi d∙y {f (a+n)}, a ≥ 0, héi tô tíi kh«ng. Hái giíi h¹n lim f (x) cã tån t¹i kh«ng ? x→∞ 1.1.25. Cho f : [0, +∞) → R lµ hµm sao cho víi mäi sè d−¬ng a, d∙y {f (an)} héi tô tíi kh«ng. Hái giíi h¹n lim f (x) cã tån t¹i kh«ng ? x→∞ 1.1.26. Cho f : [0, +∞) → R lµ hµm sao cho víi mäi a ≥ 0 vµ mäi b > 0, d∙y {f (a + bn)} héi tô tíi kh«ng. Hái giíi h¹n lim f (x) cã x→∞ tån t¹i kh«ng ? f (2x)−f (x) 1.1.27. Chøng minh r»ng nÕu lim f (x) = 0 vµ lim x = 0 th× x→0 x→0 f (x) lim = 0. x→0 x
1.1. Giíi h¹n cña hµm sè 7 1.1.28. Gi¶ sö f x¸c ®Þnh trªn (a, +∞), bÞ chÆn trªn mçi kho¶ng h÷u h¹n (a, b), a < b. Chøng minh r»ng nÕu lim (f (x+1)−f (x)) = l, x→+∞ th× lim f (x) = l. x→+∞ x 1.1.29. Cho f x¸c ®Þnh trªn (a, +∞), bÞ chÆn d−íi trªn mçi kho¶ng h÷u h¹n (a, b), a < b. Chøng minh r»ng nÕu lim (f (x + 1) − f (x)) = x→+∞ f (x) +∞, th× lim = +∞. x→+∞ x 1.1.30. Cho f x¸c ®Þnh trªn (a, +∞), bÞ chÆn trªn mçi kho¶ng h÷u h¹n (a, b), a < b. Chøng minh r»ng nÕu víi sè nguyªn kh«ng ©m k nµo ®ã, lim f (x+1)−f xk (x) tån t¹i th× x→+∞ f (x) 1 f (x + 1) − f (x) lim k+1 = lim . x→+∞ x k + 1 x→+∞ xk 1.1.31. Cho f x¸c ®Þnh trªn (a, +∞), bÞ chÆn trªn mçi kho¶ng h÷u h¹n (a, b), a < b vµ gi¶ sö f (x) ≥ c > 0 víi x ∈ (a, +∞). Chøng minh 1 r»ng nÕu lim f (x+1) f (x) tån t¹i th× lim f (x) còng tån t¹i vµ x x→+∞ x→+∞ 1 f (x + 1) lim (f (x)) x = lim . x→+∞ x→+∞ f (x) 1 −1 1.1.32. Gi¶ thiÕt r»ng lim f x = 0. Tõ ®ã cã suy ra lim f (x) x→0 x→0 tån t¹i kh«ng ? a 1.1.33. Cho f : R → R sao cho víi mäi a ∈ R, d∙y f n héi tô tíi kh«ng. Hái f cã giíi h¹n t¹i 0 kh«ng ? 1 1 1.1.34. Chøng minh r»ng nÕu lim f x x − x = 0, th× lim f (x) = x→0 x→0 0. 1.1.35. Chøng minh r»ng nÕu f ®¬n ®iÖu t¨ng (gi¶m) trªn (a, b), th× víi mäi x0 ∈ (a, b), (a) f (x+ 0 ) = lim+ f (x) = inf f (x) f (x+ 0 ) = sup f (x) , x→x0 x>x0 x>x0 (b) f (x− 0 ) = lim− f (x) = sup f (x) f (x− 0 ) = inf f (x) , x→x0 x
8 Ch−¬ng 1. Giíi h¹n vµ liªn tôc (c) f (x− + 0 ) ≤ f (x0 ) ≤ f (x0 ) f (x− + 0 ) ≥ f (x0 ) ≥ f (x0 ) . 1.1.36. Chøng minh r»ng nÕu f ®¬n ®iÖu t¨ng trªn (a, b), th× víi mäi x0 ∈ (a, b), (a) lim f (x− ) = f (x+ 0 ), x→x+ 0 (b) lim f (x+ ) = f (x− 0 ). x→x− 0 1.1.37. Chøng minh ®Þnh lÝ Cauchy sau ®©y. §Ó f cã giíi h¹n h÷u h¹n khi x → a, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ víi mäi ε > 0, tån t¹i δ > 0 sao cho |f (x) − f (x )| < ε víi mäi x, x tho¶ m∙n 0 < |x − a| < δ vµ 0 < |x − a| < δ . LËp c«ng thøc vµ chøng minh ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ t−¬ng tù ®Ó lim f (x) tån t¹i. x→∞ 1.1.38. Chøng minh r»ng nÕu lim f (x) = A vµ lim g(y) = B th× x→a y→A lim g(f (x)) = B , trong ®ã (g ◦ f )(x) = g(f (x)) ®−îc x¸c ®Þnh vµ f x→a kh«ng nhËn gi¸ trÞ A trong l©n cËn khuyÕt cña a. 1.1.39. T×m c¸c hµm f vµ g sao cho lim f (x) = A vµ lim g(y) = B , x→a y→A nh−ng lim g(f (x)) = B . x→a 1.1.40. Gi¶ sö f : R → R lµ hµm t¨ng vµ x → f (x) − x cã chu kú 1. KÝ hiÖu f n lµ phÐp lÆp thø n cña f , tøc lµ f 1 = f vµ f n = f ◦f n−1 víi n n ≥ 2. Chøng minh r»ng nÕu lim f n(0) tån t¹i, th× víi mäi x ∈ R, n→∞ n n lim f (x) = lim f (0) . n→∞ n n→∞ n 1.1.41. Gi¶ sö f : R → R lµ hµm t¨ng vµ x → f (x) − x cã chu kú 1. Ngoµi ra, gi¶ sö f (0) > 0 vµ p lµ sè nguyªn d−¬ng cè ®Þnh. KÝ hiÖu f n lµ phÐp lÆp thø n cña f . Chøng minh r»ng nÕu mp lµ sè nguyªn d−¬ng nhá nhÊt sao cho f mp (0) > p, th× p f n (0) f n (0) p 1 + f (0) ≤ lim ≤ lim ≤ + . mp n→∞ n n→∞ n mp mp 1.1.42. Gi¶ sö f : R → R lµ hµm t¨ng vµ x → f (x) − x cã chu kú 1. n Chøng minh r»ng lim f n(x) tån t¹i vµ nhËn cïng gi¸ trÞ víi mäi n→∞ x ∈ R, ë ®©y f n kÝ hiÖu phÐp lÆp thø n cña f .