Thông tin số

Chia sẻ: Đỗ Gia Phong | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:87

Thêm vào BST

Báo xấu

1.041
lượt xem 501
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Là hệ thống thông tin liên lạc bằng điện tín, đánh dấu sự phát triển đầu tiên của hệ thống truyền thông điện. Đây là một hệ thống truyền thông số. Truyền thông điện báo được khởi xướng bởi Samuel Morse và được công bố vào năm 1837.Morse đã phát minh ra mã nhị phân có chiều dài thay đổi bằng cách sử dụng chuỗi các dấu chấm (∙) và dấu gạch (-) (gọi là các từ mã) để biểu diễn cho các mẫu tự alphabet của Tiếng Anh....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Thông tin số

…………..o0o………….. Thông tin số
CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU CHUNG 1.1. Sơ lược về sự phát triển thông tin số - Telegraphy: là hệ thống thông tin liên lạc bằng điện tín, đánh dấu sự phát triển đầu tiên của hệ thống truyền thông điện. Đây là một hệ thống truyền thông số. Truy ền thông điện báo được khởi xướng bởi Samuel Morse và được công bố vào năm 1837. Morse đã phát minh ra mã nhị phân có chiều dài thay đổi bằng cách sử dụng chuỗi các dấu chấm (∙) và dấu gạch (-) (gọi là các từ mã) để biểu diễn cho các mẫu tự alphabet của Tiếng Anh. Với mã này, các mẫu tự trong bản tin xuất hiện với tần xuất nhiều hơn sẽ được biểu diễn bằng các từ mã ngắn còn cac mẫu tự xuất hiện với tần xuất ít sẽ được biểu diễn bằng các từ mã dài hơn. Cũng chính vì thế mà mã Morse là tiền thân của các phương pháp mã hóa nguồn có chiều dài từ mã thay đổi. Minh hoa về mã ̣ Morse: - Năm 1875: Gần 40 năm, sau thời kỳ của Morse, Emile Baudot đã đề xuất một loại mã dành cho truyền thông điện tín trong đó các mẫu tự trong bảng Alphabet Tiếng Anh được mã hóa bởi các từ mã nhị phân có chiều dài từ mã cố định bằng 5. Với mã Baudot, các thành phần của từ mã nhị phân này là các bit dấu “1” hoặc bit trống “0”. Minh hoa mã Baudot: ̣
Mặc dù Morse đã khởi xướng cho sự phát triển của hệ thống truyền thông số bằng điện đầu tiên là hệ thống điện tín (Telegraphy), cũng được xem như là truyền thông số hiện đại, đăc biêt là bắt nguồn cho nghiên cứu của Nyquist năm 1924. ̣ ̣ Nyquist đã tập trung vào việc xác định tốc độ truyền tín hiệu tối đa có thể đ ạt đ ược qua một kênh truyền điện tín với độ rộng băng kênh cho trước mà không có nhiễu liên ký hiệu (ISI). Ông đã đưa ra được mô hình toán học của một hệ thống truy ền thông điện tín (Telegraph) trong đó tín hiệu phát đi có dạng tổng quát: s( t) = an g ( t − nT ) n { 1} được truyên với tôc độ 1 Tb bit s . Nyquist Trong đó an là chuôi dữ liêu nhị phân ̃ ̣ ̀ ́ đã xac đinh được dang xung tôi ưu có băng tân giới han tới W Hz đam bao tôc độ bit tôi ̣́ ̣ ́ ̀ ̣ ̉ ̉́ ́ đa mà không gây ra nhiêu ký hiêu (ISI). ̃ ̣ 1.2. Hệ thống thông tin số 1.2.1. Khái niệm về thông tin số Trước hết ta cần hiểu khái niệm “digital” ở đây có nghĩa là giá trị rời rạc và có hàm ý rằng tín hiệu có một biến giá trị nguyên độc lập. Thông tin số bao gồm các con số và các ký hiệu (ví dụ như các ký tự trên bàn phím). Máy tính dựa trên dạng th ể hiện số (digital) của thông tin để xử lý. Các ký hiệu (symbols) không có giá tr ị số và mỗi ký hiệu được máy tính biểu diễn bởi một số duy nhất. Ví dụ như mã ASCII biểu
diễn ký tự “a” tương ứng với giá trị số ( 97 ) 10 và ký tự “A” tương ứng với giá trị số ( 65 ) 10 . 1.2.2. Mô hình hệ truyền tin số nói chung Hinh 1.1: Cac thanh phân cơ ban cua môt hệ thông thông tin số ̀ ́ ̀ ̀ ̉ ̉ ̣ ́ Hình 1.1 minh họa sơ đồ chức năng và các thành phần cơ bản của hệ thống truyền thông số. Ở đó, đầu ra của nguồn phát tin cũng có thể là tín hiệu tương tự như tín hiệu audio hay video hoặc tín hiệu số chẳng hạn như đầu ra của máy điện báo đánh chữ (teletype). Trong hệ thống truyền thông số, các bản tin được tạo ra từ các nguồn phát tin được chuyển thành chuỗi ký hiệu nhị phân (binary digits). Một cách lý tưởng là chúng ta mong muốn bản tin ở đầu ra nguồn phát tin là có ít hay không có thành phần dư thừa. Quá trình chuyển đổi hiệu quả các bản tin đầu ra của nguồn phát tin tương tự hay số thành một chuỗi các ký hiệu nhị phân được gọi là mã hóa nguồn hay nén dữ liệu. Chuỗi ký hiệu nhị phân tạo ra bởi bộ mã hóa nguồn mà chúng ta còn gọi là chuỗi thông tin, được đưa qua bộ mã hóa kênh. Chuỗi nhị phân tại đầu ra của bộ mã hóa kênh lại được cho qua bộ điều chế số để tạo dạng thích hợp với kênh truy ền thông. 1.2.3. Kênh truyền tin Kênh truyền thông là môi trường để truyền tín hiệu từ máy phát đến máy thu. Với truyền dẫn vô tuyến, kênh có thể là áp suất khí quyển (khoảng không tự do). Với môi trường khác như các kênh thoại hữu tuyến, thường là chất liệu vật lý như các dây dẫn kim loại, cáp sợi quang. - Kênh sử dung dây dân kim loai (wireline) ̣ ̃ ̣
- Kênh sử dung sợi quang (Fiber Optic Channels) ̣ - Kênh vô tuyên sử dung điên từ trường (Wireless Electromagnetic Channels) ́ ̣ ̣
Hình 1.2: Đường truyên tin sử dung song trời và song đât: ̀ ̣ ́ ́ ́ - Kênh truyên tin hiêu âm thanh dưới nước (underwater acoustic channels) ̀́ ̣ - Kênh lưu trữ (storage channels). 1.3. Tín hiệu băng cơ sở và tín hiệu băng thông dải 1.3.1. Tín hiệu băng cơ sở Thuật ngữ băng cơ sở chỉ miền tần số của tín hiệu bản tin và thường đó là tin hiệu băng thông thấp. Tín hiệu băng cơ sở có thể ở dạng số hay tương tự. Đối với tín hiệu tương tự: cả thời gian và biên độ là liên tục. Đối với tín hiệu số: Thời gian và biên độ (dạng sóng) đều rời rạc (ví dụ lối ra của máy tính có thể coi là tín hiệu số băng cơ sở). 1.3.2. Tín hiệu băng thông dải Để truyền dẫn, tín hiệu bản tin phải được chuyển thành tín hiệu phát có tính chất phù hợp với kênh truyền. Trong truyền dẫn băng cơ sở: Băng tần kênh hỗ trợ phù hợp với băng tần tín hiệu bản tin nên có thể truyền trực tiếp tín hiệu bản tin. Trong truyền dẫn băng thông dải: Băng tần của kênh có tần số trung tâm lớn hơn nhiều tần số cao nhất của tín hiệu bản tin. Khi đó tín hiệu được phát đi là tin hiệu băng thông dải (phù hợp với kênh truyền) mang thông tin của tín hiệu bản tin. Việc tạo ra tín hiệu băng thông dải này goi là điều chế. Khi nghiên cứu tín hiệu băng thông dải, thường người ta dùng phương pháp đưa về tín hiệu băng cơ sở tương. Liên hệ nghịch đảo giữa thời gian và tần số: Theo những tính chất của biến đổi Fourier trong lý thuyết xử lý tín hiệu có th ể rút ra những tính chất căn bản sau: - Mô tả miền thời gian của một tín hiệu thay đổi có chiều ngược với mô tả miền tần số của tín hiệu: ví dụ chu kỳ của tín hiệu tăng thì tần số của nó giảm, xung càng hẹp thì phổ càng rộng…
- Nếu tín hiệu là giới hạn trên miền tần số, thì mô tả trên miền thời gian s ẽ là vô hạn dù biên độ của nó ngày càng nhỏ (xung sinc(t) là một ví dụ). Ngược lại nếu tín hiệu bị giới hạn trong miền thời gian thì phổ của nó rộng vô cùng. ( chú ý là không có tín hiệu đồng thời giới hạn cả về tần số lẫn thời gian song l ại có thể có tín hi ệu vô hạn cả về tần số lẫn thời gian). 1.4. Ưu, nhược điểm của hệ thống thông tin số 1.4.1. Những ưu điểm của thông tin số (1). Tăng được khả năng truyền dẫn dữ liệu (2). Tăng khả năng tích hợp, độ phức tạp và sự tin cậy của các hệ thống điện t ử s ố trong việc xử lý tín hiệu, đồng thời với giá thành giảm. (3). Dễ dàng trong việc mã hóa để nén dữ liệu. (4). Khả năng mã hóa kênh để tối thiểu hóa các ảnh hưởng của tạp và nhiễu. (5). Dễ dàng cân đối công suất, thời gian và độ rộng dải thông để tối ưu hóa việc sử dụng tài nguyên có hạn này. (6). Dễ dàng chuẩn hóa các tín hiệu, bất kể kiểu, nguồn gốc và dịch vụ mà chúng cung cấp dẫn tới việc thiết lập một mạng số liên kết đa dịch vụ. 1.4.2. Một số nhược điểm của thông tin số (1). Hệ thống thông tin số thường phức tạp hơn một hệ thống tương tự tương đương. (2). Chi phí lắp đặt lớn hơn so với thông tin tương tự do trong thông tin số bao gồm nhiều thành phần hơn. (3). Yêu cầu độ chính xác cao đặc biệt trong các hệ thống đồng bộ số.
CHƯƠNG 2. TRUYỀN TIN BĂNG CƠ SỞ 2.1. Nhiễu giao thoa ký hiệu (ISI) 2.1.1. Những vấn đề về nhiễu giao thoa ký hiệu Với bất kỳ kênh thực tế nào, không thể tránh khỏi hiện tượng trải rộng các ký hiệu dữ liệu riêng lẻ khi đi qua kênh. Với các ký hiệu liên tiếp nhau, một phần năng lượng ký hiệu chồng lấn sang các ký hiệu bên cạnh, hiện tượng này đ ược gọi là nhiễu giao thoa giữa các ký hiệu (ISI-Intersymbol Interference). Ngoài ra, quá trình lọc trong máy phát và máy thu cũng có thể tự làm suy giảm ISI. Khi các bước thiết kế được thực hiện thận trọng thì ISI có thể suy giảm đáng kể, bộ tách dữ liệu có khả năng phân biệt được một chuỗi các ký hiệu riêng biệt từ một năng l ượng hỗn h ợp của các ký hiệu bên cạnh. Thậm chí, nếu tạp âm không tham gia vào kênh thì có th ể tách lỗi gọi là tỷ lệ lỗi tối giản và ở đó ít nhất sẽ giảm bớt tỷ số lỗi bit hay l ỗi ký hiệu trong trường hợp có tạp âm. Hình 2.1: ISI do bộ lọc kênh. Bằng cách điều chỉnh các đặc tính lọc của kênh (với bất kỳ quá trình thu hay phát thông tin), có thể điều khiển ISI để giảm tỷ lệ lỗi bit trên đường truyền. Những kết quả này thu được bằng cách đảm bảo rằng hàm truyền đạt của bộ lọc kênh tổng thể có hệ số đáp ứng tần số Nyquist.
H ình 2.2: Y êu cầu cho đáp ứng xung Nyquist Đáp ứng xung Nyquist được đặc trưng bởi hàm truyền đạt có băng tần chuyển tiếp giữa dải thông và dải chặn là đối xứng tại tần số khoảng 0.5 1Ts . Đối với loại đáp ứng kênh này thì ký hiệu dữ liệu vẫn bị nhiễu nhưng dạng sóng đầu ra tiến dần tới 0 tại các bội số của chu kỳ ký hiệu. Bằng cách lấy mẫu luồng ký hiệu chính xác tại các điểm mà ISI tiến dần tới 0, năng lượng phổ của các xung bên cạnh không bị ảnh hưởng tới giá trị của các xung đang lấy mẫu tại điểm lấy mẫu. Điều đó chứng tỏ rằng thời gian lấy mẫu phải được tính toán chính xác để giảm tối đa nhiễu giao thoa giữa các ký hiệu ISI. Khi thiết kế các hệ thống, cần quan tâm đặc biệt đến tạp âm hoặc suy giảm lớn của đường truyền để khôi phục chính xác thông tin định thời ký hiệu. Đ ịnh thời ký hiệu không chính xác luôn dẫn đến trôi định thời. Hình 2.3: Mạch lọc Nyquist 2.1.2. Đáp ứng kênh Nyquist Ít kênh truyền không có được đặc tính truyền đạt Nyquist, do đó thiết kế hệ thống cần phải đưa thêm bộ lọc bù để thu được đáp ứng mong muốn.
Hình 2.4: Lọc cosin tăng với ISI bằng 0. Mạch lọc Nyquist được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực thông tin số, một thí dụ được nêu ra là thông tin vô tuyến số, kênh truyền dẫn tự nó không chịu ảnh hưởng của việc lọc qua độ rộng băng tần điều chế và việc lọc tín hiệu chủ yếu được thực hiện ở máy thu và máy phát. Quá trình lọc phần lớn được được thực hiện ở phía phát để điều chế ở độ rộng băng tần thích hợp. Ở phía thu, quá trình lọc cần thiết cho việc chuyển vô số các tín hiệu khác nhau tới máy thu và tối thiểu hoá tạp âm rồi đưa vào bộ giải điều chế. Thông thường, đáp ứng lọc Nyquist cần có hệ số ISI bằng 0 được chia đều cho cả hai hệ thống phát và thu bằng cách sử dụng một cặp bộ l ọc cosin-tăng nghiệm (RRC). Hình 2.5: Sử dụng các bộ lọc RRC-Root Raised Cosine Filter. Vấn đề ISI luôn tồn tại trong kênh băng tần hạn chế (vì nó cắt bớt tần số cao trong xung tin hiệu) làm các xung cạnh nhau ảnh hưởng lên nhau, song với kỹ thuật truyền tin số, điều này có thể được giải quyết ‘hoàn hảo’nếu tại ‘thời điểm’ lấy mẫu 1 ký hiệu thi các ảnh hưởng của ký hiệu khác
phải dao động cắt zero, hoặc nếu khác zero thì phải xác định được giá trị ảnh hưởng là bao nhiêu. Điều này liên quan đến tạo dạng xung p(t) để theo đó ISI bị loại trừ. 2.1.3. Tiêu chuẩn Nyquist cho truyền tin băng cơ sở Tiêu chuẩn này làm cho ISI là zero. Thông thường hàm truyền của kênh và dạng xung của tín hiệu bản tin là được xác định trước, vấn đề tiếp đó là xác đ ịnh hàm truyền của bộ lọc phát và lọc thu thế nào để tạo lại được dãy dữ liệu nhị phân {b k} được chính xác. Việc tách là lấy mẫu tại t=iT b, việc giải mã đúng yêu cầu không có đóng góp của các xung khác thông qua akp(iTb-kTb) với k≠i (tức là không có ISI hay ISI zero), điều này yêu cầu ta phải có được xung p(t) sao cho (2.1) Lúc đó thì y(ti)=µai Đây chính là điều kiện thu hoàn hảo khi không có ồn. Phân tích điều kiện này bằng cách chuyển sang vùng tần số: Theo lý thuyết xử lý tín hiệu, phổ của tín hiệu lấy mẫu là chồng chập các phiên bản dịch của phổ của tín hiệu được lấy mẫu (p(t)) nhân với nhân tử tỷ lệ 1/Tb. Các bước dịch là bội lần của tốc độ mẫu (2.2) Ở đó Rb=1/Tb là tốc độ bit trên giây. Mặt khác Pδ(f) cũng có thể biểu diễn là biên đổi Fourier của dãy vô hạn các ́ xung delta lặp lại với chu kỳ Tb, được trọng số bởi giá trị mẫu của p(t): (2.3) Đặt m=i-k (khi i=k, m=0; khi i≠k, m≠0) và dựa trên điều kiện lấy mẫu không có ISI của p(t) ta có: (2.4)
Kết hợp (2.2 và 2.4), điều kiện ISI zero sẽ là: (2.5) Tức là tổng P(f) với các phiên bản dịch của nó là hằng số. Chú ý là P(f) là phổ của tín hiệu sau cùng sau khi đi qua hệ thống gồm: bộ lọc phát, lọc thu và kênh truyền. (2.5) có thể được viêt lai như sau: ̣́ P ( ω − nωb ) = Tb (2.6) n =− Hình 2.6: (a) Phổ tín hiệu cơ sở. (b) Phổ thỏa mãn phương trình ISI bẳng zero 1) Nghiệm lý tưởng: Cách đơn giản nhất thỏa mãn điều kiện ISI zero nói trên là hàm P(f) có dạng chữ nhật (2.7) Ở đó W là độ rộng phổ của tín hiệu xung và cũng là yêu cầu tối thiểu hệ thống để truyền xung xác định bởi: W=Rb/2=1/2Tb (dễ dàng thấy rằng phổ này và các phiên bản dịch, tức là đặt cạnh nhau sẽ cho tổng là hằng số). Dạng sóng của xung truyền sẽ là hàm sinc:
(2.8) Hình 2.7. Đáp ứng tần số và dạng xung cơ sở lý tưởng Giá trị đặc biệt của tốc độ bit R b=2W gọi là tốc độ Nyquist, W gọi là độ rộng băng Nyquist. Hệ truyền xung băng cơ sở mô tả như trên gọi là hệ có kênh Nyquist lý tưởng. Tuy nhiên dạng xung sinc không thực tế (xuất phát từ -∞) đồng thời p(t) giảm 1t t chậm theo tăng (sự giảm này gây ảnh hưởng lên nhiều xung khác xung khi quanh). Khi có lỗi đồng hồ (lỗi lấy mẫu) các phần cộng vào thêm của các xung xung quanh vào mẫu chính có thể tạo thành chuỗi phân kỳ gây nên lỗi lớn. 2) Nghiệm thực tế Phổ cosin tăng
Chúng ta có thể khắc phục những nhược điểm của kênh Nyquist lý tưởng bằng cách mở rộng độ rộng băng tần kênh từ giá trị tối thiểu W=R b/2 đến một giá trị thích hợp giữa W và 2W để tạo nên dạng xung thực tế hơn trong miền thời gian Ta duy trì 3 số hạng trong phương trình ISI zero và hạn chế băng tần quan tâm trong khoảng [0,W]: P ( f ) + P ( f − 2w ) = 1 2w = Tb ; 0 < f < w = R b 2 (2.9) Hay: P ( ω ) + P ( ω − ωb ) = Tb Chú ý là có thể tạo ra nhiều hàm số có phổ hạn chế thỏa mãn phương trình trên. Một dạng có nhiều ưu điểm mong muốn là dạng hàm phổ cosin tăng. Tính chất của nó là có một khúc bằng phẳng và một khúc cuộn cắt như hàm cosin Hình 2.8: Phổ vêt ́ Đăt: ω = x + ωb 2 ̣ (2.10) Vì P ( ω) là ham thực nên ta co: ̀ ́ (2.11)
Phổ như trên được goi là phổ vêt (vestigial spectrum). Độ rông băng cua P ( ω) là ̣ ́ ̣ ̉ ω ωb ωb ̣ r= , x = ωx thi: 0 r 1 . Khi đó độ rông băng cua x + x vơi x ́ ̀ ̣ ̉ 2 . Ta đăt: ωb 2 2 P ( ω) sẽ la: ̀ (2.12) Trong đó r được goi là hệ số cuôn căt (roll-off factor) và được tinh theo phân ̣ ̣ ́ ́ ̀ trăm. Khi r = 1 ta có cuộn cắt xoải, biên độ của đuôi p(t) dao đ ộng tr ở nên nhỏ nhất, do đó lượng ISI gây nên do lỗi định thời mẫu sẽ giảm khi r tăng từ 0 đến 1. Môt trong số họ phổ thoa man tiêu chuân Nyquist la: ̣ ̉ ̃ ̉ ̀ (2.13) Hay có thể viêt dưới dang rut gon hơn: ́ ̣ ̣́ Đăc tich nay cua P ( ω) được goi là đăc tinh cosin-tăng (raised – cosine). Biến đổi ̣́ ̀ ̉ ̣ ̣́ Fourier ngược cho đáp ứng thời gian: (2.14)
̣ ̉ ̃ ̉ Hình 2.9: Dang dung thoa man tiêu chuân Nyquist. ̣́ ̣ ́ Quan sat dang xung trên ta nhân thây: - Băng thông cua xung p ( t ) là R b Hz . ̉ - p ( t ) có giá trị cực đai là R b tai t = 0 và căt zero không chỉ tai những điêm bao hiêu ̣ ̣ ́ ̣ ̉ ́ ̣ mà con căt zero tai cả những điêm giữa hai khoang bao hiêu. ̀ ́ ̣ ̉ ̉ ́ ̣ - xung giam nhanh theo 1 t 3 . ̉ Bài tập ví dụ: Xác định yêu cầu độ rộng băng cho đường truyền dẫn T1 (Đấy là đường hợp kênh của 24 tín hiệu lối vào độc lập dựa trên mã PCM, T1 dùng dạng lưỡng cực) có Tb=0.647µs và tạo dạng xung cosin tăng có r=1/2. Giải: Nếu coi kênh là thông thấp lý tưởng thì độ rộng kênh Nyquist để truyền tín hiệu qua là W=1/2Tb=772kHz. Tuy nhiên một độ rộng thực tế dùng tín hiệu cuôn cắt có r=1/2 sẽ là: BT = 1.158MHz 2.2. Mật độ phổ công suất của mã đường
2.2.1. Mã đường Dãy dữ liệu nhị phân được mã hóa bởi các xung điện hay các dạng sóng khác nhau tùy thuộc vào mục đích của truyền dẫn qua kênh truyền cụ thể. Quá trình này được gọi là mã đường truyền (Line coding) hay mã truyền dẫn (Transmisstion coding). Hình dưới đây chỉ ra một số cách mã hóa khác nhau cho dãy dữ liệu nhị phân. Một số thuộc tính cần có của mã đường truyền: (1) Độ rộng băng thông truyền dẫn: yêu cầu càng nhỏ càng tốt. (2) Với một độ rộng băng và xác suất lỗi bit cho trước thì yêu cầu công suất truyền dẫn càng nhỏ càng tốt. (3) Có khả năng phát hiện và sửa lỗi (dựa trên vi phạm luật mã hóa). (4) Mật độ phổ công suất có ích: cần có PSD bằng zero tại tần số 0 (DC). (5) Mã đường phải chứa được thông tin định thời. (6) Mã đường cần đạt được tính thông suốt. Hình 2.10: (a) Mã đóng mở RZ. (b) Mã cực RZ. (c). Mã lưỡng cực RZ. (d) Mã đóng mở NRZ. (e) Mã cực NRZ. Công thức chung để xác định mật độ phổ công suất của mã đường
Ta xem xét đoàn xung y ( t ) được hình thành từ xung cơ sở p ( t ) trong hình 2.11. Trong đó mỗi xung có khoảng thời gian kéo dài là Tb , biên độ của xung tại thời điểm t = kTb là a k . Xung thứ k trong đoàn xung y ( t ) là a ( k ) p ( t ) , với giá trị a k là độc lập và ngẫu nhiên. Đoàn xung như thế gọi là tín hiệu PAM, và các mã đ ường truy ền (line codes) đóng-mở, mã cực, mã lưỡng cực là các trường hợp đặc biệt của đoàn xung y ( t ) . Vì vậy ta có thể phân tích được nhiều loại mã đường khác nhau khi biết về PSD của y ( t ) . Đáng tiếc là nó có điều không thuận lợi vì bị hạn chế bởi dạng xung nhất định. Khó khăn này có thể được giải quyết bằng sự khéo léo đơn giản là xét tín hiệu PAM x ( t ) hình 2.11c với chu kỳ lặp lại là Tb , độ lớn xung tại t = kTb là ak . Hình 2.11. Tín hiệu PAM ngẫu nhiên
Nếu cho x ( t ) tác động vào lối vào của một mạch lọc có đáp ứng xung đơn vị là h ( t ) = p ( t ) , thì lối ra y ( t ) . Vì vậy PSD Sy ( ω) của y ( t ) sẽ là: Sy ( ω) = P ( ω) Sx ( ω) . 2 Cách này phù hợp vì nó tổng quát. Bây giờ ta cần tìm �y ( τ ) , hàm tự tương quan thời gian của dãy xung x ( t ) . Điều này dễ dàng thực hiện khi coi các xung là giới hạn của xung chữ nhật như hình 2.12a. Mỗi xung có độ rộng ε 0 và chiều cao của xung thứ k là h k . Do độ lớn của xung thứ k là a k nên ta có a k = h k �. Nếu ký hiệu dãy xung ε chữ nhật tương ứng là x ( t ) , theo định nghĩa về hàm tự tương quan trung bình, ta có: ˆ (2.15) Vì �x ( τ ) là hàm chẵn với τ nên ta chỉ cần xét với τ dương. ˆ