Thủy lực 2 ( Nxb Nông nghiệp ) - Chương 11

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

113
lượt xem 32
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyển động không ổn định Trong lòng dẫn hở Đ11-1. Khái niệm chung về chuyển động không ổn định trong lòng dẫn hở Trong thực tiễn tính toán thủy lợi, thủy điện, ta thường gặp vấn đề chuyển động không ổn định trong sông thiên nhiên và kênh nhân tạo. Ví dụ: lúc dòng chảy mặt chảy vào sông thay đổi, đặc biệt vào mùa lũ, thì dòng chảy trong sông sẽ trở thành dòng chảy không ổn định. Lúc các cống lấy nước, âu thuyền dẫn nước vào hay tháo nước ra, lúc đê đập bị vỡ thì dòng chảy...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Thủy lực 2 ( Nxb Nông nghiệp ) - Chương 11

Ch¬ng XI ChuyÓn ®éng kh«ng æn ®Þnh Trong lßng dÉn hë §11-1. Kh¸i niÖm chung vÒ chuyÓn ®éng kh«ng æn ®Þnh trong lßng dÉn hë Trong thùc tiÔn tÝnh to¸n thñy lîi, thñy ®iÖn, ta thêng gÆp vÊn ®Ò chuyÓn ®éng kh«ng æn ®Þnh trong s«ng thiªn nhiªn vµ kªnh nh©n t¹o. VÝ dô: lóc dßng ch¶y mÆt ch¶y vµo s«ng thay ®æi, ®Æc biÖt vµo mïa lò, th× dßng ch¶y trong s«ng sÏ trë thµnh dßng ch¶y kh«ng æn ®Þnh. Lóc c¸c cèng lÊy níc, ©u thuyÒn dÉn níc vµo hay th¸o níc ra, lóc ®ª ®Ëp bÞ vì th× dßng ch¶y ë thîng h¹ lu s«ng còng trë thµnh kh«ng æn ®Þnh. Trong qu¸ tr×nh vËn hµnh cña tr¹m thñy ®iÖn, do phô t¶i t¨ng gi¶m, lu lîng ch¶y vµo tuabin thay ®æi còng sinh ra dßng kh«ng æn ®Þnh trong kªnh dÉn hay trong s«ng ë h¹ lu. Dßng ch¶y trong c¸c ®o¹n s«ng chÞu ¶nh hëng cña thñy triÒu còng lµ dßng ch¶y kh«ng æn ®Þnh. ChuyÓn ®éng kh«ng æn ®Þnh lµ chuyÓn ®éng trong ®ã c¸c yÕu tè thñy lùc ë mét vÞ trÝ x¸c ®Þnh nh: lu tèc, lu lîng, ®é s©u, mÆt c¾t ít... ®Òu thay ®æi theo thêi gian. Cã nh÷ng chuyÓn ®éng kh«ng æn ®Þnh lµ thay ®æi chËm. VÝ dô: Sù truyÒn ®Ønh lò, dßng kh«ng æn ®Þnh sinh ra do ®iÒu tiÕt ngµy ë kªnh dÉn cña tr¹m thñy ®iÖn, dßng ch¶y trong c¸c ®o¹n s«ng chÞu ¶nh hëng cña thñy triÒu. Trong c¸c trêng hîp ®ã, ®êng mÆt níc tøc thêi cã d¹ng sãng, cã ®é cong rÊt bÐ, ®é dµi cña sãng b»ng hµng tr¨m hµng ngh×n lÇn ®é cao cña sãng. Nhng cã nh÷ng trêng hîp kh¸c, trong mét kho¶ng c¸ch ng¾n, ®é s©u mùc níc l¹i thay ®æi rÊt râ rÖt. Ngay t¹i mét mÆt c¾t, trong mét thêi gian t¬ng ®èi ng¾n lu lîng thay ®æi còng t¬ng ®èi nhiÒu, ®é dèc mÆt níc trong kªnh dÉn còng thay ®æi ®ét ngét. Trong c¸c trêng hîp nµy, chuyÓn ®éng kh«ng æn ®Þnh thuéc lo¹i thay ®æi gÊp. Do dßng kh«ng æn ®Þnh trong lßng dÉn hë cã quan hÖ víi hiÖn tîng sãng nªn ngêi ta còng gäi chuyÓn ®éng kh«ng æn ®Þnh lµ chuyÓn ®éng sãng. ChuyÓn ®éng kh«ng æn ®Þnh cã tÝnh chÊt thay ®æi chËm cßn gäi lµ sãng liªn tôc. ChuyÓn ®éng kh«ng æn ®Þnh cã tÝnh chÊt thay ®æi nhanh cßn gäi lµ sãng gi¸n ®o¹n. Nhng sãng trong chuyÓn ®éng kh«ng æn ®Þnh trong lßng dÉn hë kh¸c víi sãng ngoµi biÓn hay trong hå do giã sinh ra. Trong trêng hîp nµy, sãng cã kh¶ n¨ng vËn chuyÓn mét lîng níc lín. Sãng biÓn hÇu nh kh«ng cã dao ®éng t¹i chç cña chÊt ®iÓm níc. 33 http://www.ebook.edu.vn
ChuyÓn ®éng kh«ng æn ®Þnh trong ®ã thuÇn tuý chØ cã n©ng cao hoÆc h¹ thÊp mùc níc gäi lµ sãng mét chiÒu (h×nh 11-1). Sãng truyÒn theo dßng ch¶y gäi lµ sãng thuËn (h×nh 11-1a, b), trêng hîp ngîc l¹i gäi lµ sãng nghÞch (h×nh 11-1c, d). Sãng cã ®Æc tÝnh n©ng cao mÆt níc gäi lµ sãng d¬ng (h×nh 11-1a, c) ngîc l¹i nÕu lµm h¹ thÊp mùc níc th× gäi lµ sãng ©m (h×nh 11-1b, d). Sãng d¬ng còng nh sãng ©m ®Òu cã thÓ lµ sãng thuËn hay sãng nghÞch. TÊt c¶ c¸c sãng ®Òu cã hai phÇn: ®Çu sãng vµ th©n sãng (h×nh 11-1a). VÞ trÝ mÆt tù do c) ban ®Çu a) Biªn sãng Th©n sãng §Çu sãng VÞ trÝ mÆt tù do ban ®Çu VÞ trÝ mÆt tù do d) ban ®Çu VÞ trÝ mÆt tù do b) ban ®Çu Biªn sãng §Çu sãng H×nh 11-1 §Çu sãng chuyÓn ®éng däc theo dßng ch¶y víi tèc ®é sãng, vµ g©y ra mét sù thay ®æi rÊt ®ét ngét trong dßng ch¶y, cßn ë ph¹m vi th©n sãng c¸c yÕu tè thñy lùc thay ®æi chËm. Lóc lßng dÉn cã sù thay ®æi ®ét ngét vÒ h×nh d¹ng vµ kÝch thíc mÆt c¾t ngang, th× t¹i ®ã sÏ sinh ra hiÖn tîng ph¶n x¹ sãng. Sãng sÏ chia thµnh hai: mét sãng tiÕp tôc chuyÓn ®éng theo ph¬ng ban ®Çu gäi lµ sãng khóc x¹ vµ sãng kh¸c quay ngîc trë l¹i gäi lµ sãng ph¶n x¹. Trong trêng hîp sãng gÆp ph¶i mét têng th¼ng ®øng th× chØ cã sãng ph¶n x¹ thuÇn tuý. Ngoµi ra cßn cã sãng ®æi híng, ®ã lµ sãng sinh ra lóc lu lîng ë tuyÕn ®Çu ®ang thay ®æi theo híng nµo ®ã, th× sau mét thêi gian ng¾n, lu lîng Êy l¹i thay ®æi theo híng ngîc l¹i. Sãng lò thuéc lo¹i sãng ®æi híng. Cuèi cïng lóc chÕ ®é ch¶y thay ®æi liªn tiÕp theo c¸c híng kh¸c nhau, th× chuyÓn ®éng kh«ng æn ®Þnh ®ã gäi lµ sãng phøc t¹p. VÝ dô: dßng ch¶y thay ®æi trong ®iÒu tiÕt ngµy ë tr¹m thñy ®iÖn, dßng ch¶y trong c¸c ®o¹n sãng ë gÇn biÓn, v.v... Trong ch¬ng nµy, ta chØ nghiªn cøu chuyÓn ®éng kh«ng æn ®Þnh thay ®æi chËm vµ quy luËt biÕn ®æi cña trÞ sè trung b×nh c¸c yÕu tè thñy lùc cña mçi mÆt c¾t. 34 http://www.ebook.edu.vn
§11-2. Ph¬ng tr×nh vi ph©n c¬ b¶n cña chuyÓn ®éng kh«ng æn ®Þnh thay ®æi chËm Quy luËt c¬ b¶n cña chuyÓn ®éng kh«ng æn ®Þnh, còng nh c¸c quy luËt chuyÓn ®éng kh¸c, bao gåm c¸c mèi quan hÖ c¬ b¶n nãi lªn tÝnh liªn tôc vµ sù chuyÓn ®éng cña dßng níc. Ta sÏ nghiªn cøu hai ph¬ng tr×nh c¬ b¶n viÕt díi d¹ng ph¬ng tr×nh vi ph©n vµ c¸ch tÝch ph©n hai ph¬ng tr×nh ®ã. 1. Ph-¬ng tr×nh liªn tôc §èi víi chÊt láng kh«ng nÐn ®îc, ta ®∙ cã ph¬ng tr×nh liªn tôc cña dßng kh«ng æn ®Þnh lµ ph¬ng tr×nh (7-1): ¶ω ¶Q + =0 (11-1) ¶t ¶s Q = w v, Do nªn ph¬ng tr×nh (11-1) còng cã thÓ viÕt díi d¹ng: ¶ ( ωv ) ¶ω + =0 (11-2) ¶t ¶s ¶ω ¶ω ¶z ¶z V× r»ng = =B (11-3) ¶t ¶z ¶t ¶t nªn ph¬ng tr×nh (11-2) trë thµnh: ¶ ( ωv ) ¶z B + =0 (11-4) ¶t ¶s §èi víi lßng dÉn l¨ng trô, cã mÆt c¾t h×nh ch÷ nhËt: w = bh, trong ®ã h lµ ®é s©u cña dßng ch¶y, th× ph¬ng tr×nh liªn tôc cã d¹ng: ¶h ¶q + =0 (11-5) ¶t ¶s ¶h ¶( hv) hoÆc + =0 (11-6) ¶t ¶s trong ®ã q lµ lu lîng trªn mét ®¬n vÞ chiÒu réng. 2. Ph-¬ng tr×nh ®éng lùc Víi chÊt láng kh«ng nÐn ®îc, ta cã ph¬ng tr×nh ®éng lùc lµ ph¬ng tr×nh (7-6); nhng nh ®∙ chØ râ ë §11-1, ë ®©y c¸c yÕu tè c¬ b¶n cña mçi mÆt c¾t lµ nh÷ng trÞ sè trung b×nh, nªn thay u b»ng v ta ®îc: æ p v 2 ö 1 ¶v ¶h ¶ + w = 0. çz + + ÷ + (11-7) ç γ 2g ÷ g ¶t ¶s ¶s è ø 35 http://www.ebook.edu.vn
V× chuyÓn ®éng lµ thay ®æi chËm nªn cã thÓ bá qua nh÷ng tæn thÊt côc bé, do ®ã: h w = hd (11-8) Cho tíi nay, tæn thÊt cét níc däc ®êng (hd) cña dßng kh«ng æn ®Þnh ®îc nghiªn cøu cßn Ýt nªn thêng vÉn tÝnh tæn thÊt ®ã nh víi dßng æn ®Þnh: v2 Q2 ¶h d J= =2=2 (11-9) ¶s CR K Trong nh÷ng trêng hîp cã dßng ch¶y theo hai chiÒu (lóc ngîc, lóc xu«i dßng) nh ë c¸c s«ng chÞu ¶nh hëng cña thñy triÒu, ®é dèc thñy lùc J ®îc viÕt díi d¹ng tæng qu¸t h¬n: QQ vv J= = (11-10) C2 R 2 K v vµ Q lÊy trÞ sè d¬ng nÕu ch¶y theo chiÒu cña s. v vµ Q lÊy trÞ sè ©m nÕu ch¶y theo chiÒu ngîc l¹i. VËy (11- 7) ®îc viÕt lµ: æ p v 2 ö 1 ¶v vv ¶ çz + + ÷+ + 2 =0 (11-11) ç ÷ g ¶t ¶s γ 2g ø CR è Gäi im lµ ®é dèc mÆt níc vµ i lµ ®é dèc ®¸y kªnh dÉn ta cã: ¶z ¶h im = - =i– (11-12) ¶s ¶s ë ®©y z lµ cao ®é cña ®iÓm trªn mÆt tho¸ng. Do ®ã ph¬ng tr×nh (11-11) cã thÓ viÕt díi d¹ng: vv ¶z 1 ¶v v ¶v - = + +2 (11-13) ¶s g ¶t g ¶s CR vv ¶h 1 ¶v v ¶v hoÆc: i– = + +2 (11-14) ¶s g ¶t g ¶s CR §11-3. VÊn ®Ò tÝch ph©n ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng kh«ng æn ®Þnh thay ®æi chËm trong lßng dÉn hë Gi¶i bµi to¸n vÒ chuyÓn ®éng kh«ng æn ®Þnh trong lßng dÉn hë chÝnh lµ viÖc tÝch ph©n hÖ thèng hai ph¬ng tr×nh vi ph©n: ¶ω ¶Q ü + = 0, ï ¶t ¶s ï (11-15) ý ¶h 1 ¶v v ¶v v v ï i- = + + ¶s g ¶t g ¶s C 2 R ï þ ¶h ¶z Trong ®ã i - = - . ¶s ¶s 36 http://www.ebook.edu.vn
Do Q = vw ta cã: ¶ω ¶Q ¶v +w =v (11-16) ¶s ¶s ¶s ¶h ¶h ¶ω 1 ¶ω cßn = = (11-17) ¶s ¶w ¶s B ¶s nªn ta còng cã thÓ viÕt hÖ ph¬ng tr×nh (11-15) díi mét d¹ng kh¸c. Thay (11-16) vµ (11-17) vµo hÖ ph¬ng tr×nh (11-15) ta ®îc: ¶ω ¶v ¶ω ü +ω + = 0, v ï ¶s ¶s ¶t ï (11-18) vv ý 1 ¶ω v ¶v 1 ¶v =i- 2 ï + + C Rï B ¶s g ¶s g ¶t þ TÝch ph©n hÖ ph¬ng tr×nh (11-15) hoÆc (11-18) ta ®îc nghiÖm viÕt díi d¹ng: Q = Q ( s, t ) ü ï (11-19) ý z = z ( s, t ) ï þ v = v ( s, t ) ü ï hoÆc: (11-20) ý ω = ω ( s, t ) ï þ BiÕt nh÷ng hµm sè ®ã ta cã thÓ gi¶i hµng lo¹t vÊn ®Ò thùc tÕ. HÖ ph¬ng tr×nh (11-18) lµ hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n phi tuyÕn cã hÖ sè biÕn ®æi, ®a vÒ ph¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng lo¹i HypÐcb«n. ViÖc t×m tÝch ph©n cña lo¹i ph¬ng tr×nh nµy cßn gÆp nhiÒu khã kh¨n vÌ mÆt to¸n häc. NhiÒu nhµ nghiªn cøu ®∙ cè g¾ng t×m c¸c biÖn ph¸p gi¶i gÇn ®óng cã thÓ ®¸p øng nh÷ng nhu cÇu thùc tÕ. C¸c c¸ch gi¶i, ®¹i thÓ cã thÓ chia lµm 4 lo¹i: 1. Lo¹i thø nhÊt Dïng ph¬ng ph¸p ph©n tÝch to¸n häc chÆt chÏ ®Ó tÝch ph©n c¸c ph¬ng tr×nh trªn. VÝ dô: C¸ch gi¶i cña Xanhvªn¨ng cho dßng kh«ng æn ®Þnh trong kªnh ch÷ nhËt n»m ngang, bá qua lùc c¶n. Lêi gi¶i riªng ®¬n gi¶n nhÊt ®ã cho ®Õn nay vÉn ®îc s ö dông trong mét sè trêng hîp thùc tÕ. C¸ch gi¶i tæng qu¸t nhÊt thuéc lo¹i nµy, trong trêng hîp kªnh l¨ng trô lµ ph¬ng ph¸p ®êng ®Æc trng cña X.A. Kh¬ritchian«vÝch ®Ò xuÊt tõ n¨m 1938. Ph¬ng ph¸p nµy gióp ta cã thÓ xÐt ®Õn nhiÒu vÊn ®Ò kh¸c nhau trong thùc tÕ c«ng tr×nh mµ kh«ng cÇn bá qua lùc c¶n. Lóc tÝnh to¸n chØ cÇn viÕt c¸c ph¬ng tr×nh ®Æc trng díi d¹ng sai ph©n. Cã mét sè t¸c gi¶ nh L©m BØnh Nam vµ DiÖp BØnh Nh ®∙ ®a ra nh÷ng ph¬ng ph¸p ®å gi¶i dùa trªn c¬ së c¸c ph¬ng tr×nh ®Æc trng. 37 http://www.ebook.edu.vn
2. Lo¹i thø hai Lóc ®êng mÆt níc tøc thêi cña dßng kh«ng æn ®Þnh cã d¹ng sãng, ®é cao cña sãng rÊt nhá, ®é dµi cña sãng rÊt lín, th× cã thÓ dïng lý luËn sãng cã biªn ®é nhá ®Ó gi¶i hÖ thèng (11-15). Do bá qua c¸c tÝch sè, hay b×nh ph¬ng cña nh÷ng lîng v« cïng bÐ, nªn ngêi ta cã thÓ biÕn ph¬ng tr×nh phi tuyÕn tÝnh thµnh tuyÕn tÝnh ®Ó t×m tÝch ph©n. Ngêi ta dïng ph¬ng ph¸p sãng biªn ®é nhá ®Ó gi¶i bµi to¸n dßng kh«ng æn ®Þnh trong c¸c kªnh cña tr¹m thñy ®iÖn ®iÒu tiÕt ngµy. Trong mét sè trêng hîp thùc tÕ, ngêi ta còng cã thÓ ®¹t ®îc nh÷ng kÕt qu¶ tháa m∙n yªu cÇu. 3. Lo¹i thø ba Gi¶i gÇn ®óng hÖ ph¬ng tr×nh (11-15) b»ng c¸ch thay hÖ ph¬ng tr×nh (11-15) b»ng mét hÖ ph¬ng tr×nh sai ph©n, kÕt hîp gi÷a gi¶i b»ng sè vµ b»ng ®å gi¶i. Trong nhiÒu trêng hîp ngêi ta ®∙ bá sè h¹ng qu¸n tÝnh. Ph¬ng ph¸p nµy gäi lµ ph¬ng ph¸p tr¹ng th¸i tøc thêi vµ ®îc dïng kh¸ réng r∙i. 4. Lo¹i thø t Gi¶i b»ng m¸y tÝnh ®iÖn tö. §©y lµ mét híng lín ®∙ ®îc nhiÒu níc trªn thÕ giíi chó ý tíi. Cã hai thø m¸y tÝnh: m¸y tÝnh ®iÖn tö b»ng sè (ph¬ng ph¸p sè) vµ lo¹i m¸y t¬ng tù. M¸y tÝnh t¬ng tù dùa vµo sù t¬ng tù vÒ h×nh thøc to¸n häc gi÷a sù chuyÓn ®éng cña dßng ®iÖn trong c¸c m¹ch ®iÖn víi sù chuyÓn ®éng cña dßng níc trong lßng dÉn hë ®Ó lµm nªn c¸c m« h×nh t¬ng tù. Trong m« h×nh t¬ng tù, ngêi ta cã thÓ thu ®îc c¸c trÞ sè cña c¸c ®¹i lîng vÒ ®iÖn. Tõ ®ã cã thÓ suy ra ®îc c¸c trÞ sè cña yÕu tè thñy lùc mµ ta cÇn t×m. M¸y tÝnh ®iÖn t ö b»ng sè dùa trªn c¬ së c¸c ph¬ng ph¸p tÝnh b»ng sè cho hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n c¬ b¶n hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh cña ®êng ®Æc trng. §11-4. §iÒu kiÖn ban ®Çu vµ ®iÒu kiÖn biªn C¸c yÕu tè thñy lùc trong dßng kh«ng æn ®Þnh biÕn ®æi theo thêi gian t vµ kho¶ng c¸ch s, tháa m∙n hÖ ph¬ng tr×nh (11-15) hoÆc (11-18). HÖ ph¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng Êy cã rÊt nhiÒu nghiÖm, trong ®ã ta ph¶i t×m ra mét nghiÖm duy nhÊt tháa m∙n mét sè ®iÒu kiÖn cô thÓ cho tríc cña bµi to¸n, ®ã lµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu vµ ®iÒu kiÖn biªn. 1. §iÒu kiÖn ban ®Çu Lµ t×nh h×nh toµn dßng ch¶y lóc ban ®Çu hoÆc t¹i mét thêi ®iÓm t0 nµo ®ã. §iÒu kiÖn ban ®Çu cÇn ph¶i biÕt tríc, cô thÓ cÇn ph¶i biÕt: Q t = t 0 = Q(s) vµ z t =t 0 = z(s). 38 http://www.ebook.edu.vn
2. §iÒu kiÖn biªn Lµ quy luËt biÕn ®æi theo thêi gian t cña cïng mét hoÆc hai yÕu tè thñy lùc trong (11-19) hoÆc (11-20) t¹i hai mÆt c¾t ë hai ®Çu. Quy luËt biÕn ®æi nµy ph¶i ®∙ biÕt, thÝ dô biÕt. Qs=s1 = Q1(t) vµ zs = s2 = z2(t) hoÆc: Qs=s1 = Q1(t) vµ Qs = s2 = Q2(t) hoÆc: v s=s1 = v1(t) vµ ws=s2 = w2(t),... §iÒu kiÖn ban ®Çu vµ ®iÒu kiÖn biªn cña c¸c bµi to¸n cô thÓ th× mu«n h×nh mu«n v Î, cÇn x¸c ®Þnh cho chÝnh x¸c, v× nã quyÕt ®Þnh kÕt qu¶ tÝnh to¸n. Khi x¸c ®Þnh cÇn chó ý r»ng ®iÒu kiÖn ban ®Çu vµ ®iÒu kiÖn biªn còng ph¶i nghiÖm ®óng hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n. ThÝ dô: Khi nghiªn cøu dßng kh«ng æn ®Þnh trong mét kªnh dÉn cña nhµ m¸y thñy ®iÖn, kªnh xuÊt ph¸t t õ mét hå chøa níc, th× ®iÒu kiÖn biªn ë ®Çu trªn cã thÓ xem lµ “mùc níc thîng lu kh«ng ®æi” (mùc níc hå) vµ ®iÒu kiÖn biªn ë ®Çu díi lµ “®êng qu¸ tr×nh lu lîng cña mÆt c¾t h¹ lu” (do ®iÒu kiÖn vËn hµnh cña nhµ m¸y thñy ®iÖn x¸c ®Þnh). Cßn ®iÒu kiÖn ban ®Çu lµ: biÕt trÞ sè lu lîng vµ mùc níc trªn toµn bé kªnh lóc b¾t ®Çu tÝnh to¸n. §11-5. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh c¬ b¶n b»ng ph¬ng ph¸p ®êng ®Æc trng 1. C¸c ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng TÝch ph©n hÖ ph¬ng tr×nh (11-15) hoÆc (11-18) ta ®îc mét trong hai hÖ thèng hai hµm sè (11-19) hoÆc (11-20). Hai hµm sè ®ã x¸c ®Þnh trong mét miÒn kÝn D cña mÆt ph¼ng täa ®é (s, t): D (t ³ t0; sd £ s £ sc). trong ®ã: t0 - thêi ®iÓm b¾t ®Çu tÝnh to¸n, sd, sc - täa ®é cña mÆt c¾t trªn vµ díi cña ®o¹n s«ng (kªnh) tÝnh to¸n. Khi cã mét biÕn ®æi nµo ®ã x¶y ra ë mÆt c¾t cã täa ®é s, t¹i thêi ®iÓm t, th× biÕn ®æi ®ã sÏ lan truyÒn sang mÆt c¾t kh¸c víi tèc ®é W. Nh vËy trong thêi ®o¹n dt lan truyÒn ®îc ®o¹n dµi ds = Wdt (h×nh 11-2). 39 http://www.ebook.edu.vn
t+dt t t+dt ds = w'dt ds = wdt s H×nh 11-2 NÕu ®i theo sãng lan truyÒn th× ®¹o hµm c¸c ®Æc trng theo thêi gian sÏ lµ: dv ¶v ¶v ds ¶v ¶v ü = + = +W ¶s ïï dt ¶t ¶s dt ¶t (11-21) ý dω ¶ω ¶ω ds ¶ω ¶ω ï = + = +W ¶s ï ¶t ¶s dt ¶t þ dt Ta sÏ biÕn ®æi hÖ ph¬ng tr×nh (11-18) thµnh ph¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm thêng d¹ng (11-21) vµ gäi lµ hÖ ph¬ng tr×nh ®Æc trng. Muèn vËy ta nh©n ph¬ng tr×nh ®Çu (ph¬ng tr×nh liªn tôc) cña hÖ (11-18) víi mét hµm sè f nµo ®ã (sÏ x¸c ®Þnh trong qu¸ tr×nh biÕn ®æi), råi céng víi ph¬ng tr×nh thø hai cña hÖ (11-18), sao cho ®¹o hµm cña v vµ cña w cã d¹ng (11-21). Thùc hiÖn phÐp biÕn ®æi ®ã ta ®îc: ¶ω æ 1 ö ¶ω æ ¶ω ¶ω ö + ç vf + ÷ +W f = fç ¶s ÷ ¶t B ø ¶s è ¶t è ø 1 ¶ω æ v ö ¶v 1 æ ¶v ¶v ö = ç +W ÷ + ç ωf + ÷ g ¶t g ø ¶s g è ¶t ¶s ø è Tõ ®ã ta ®îc hai ph¬ng tr×nh ®¹i sè víi Èn sè lµ W vµ f: ü 1 vf + = fW ï ï B v Wý ï ωf + = g gï þ Tõ ph¬ng tr×nh thø hai cña hÖ nµy t×m ®îc: W-v f= gω vµ thay thÕ vµo ph¬ng tr×nh ®Çu ta ®îc ph¬ng tr×nh ®¹i sè bËc 2 cña W. gw ( W - v )2 = B gω W=v± vµ do ®ã: (11-22) B 40 http://www.ebook.edu.vn
1 Cã W ta t×m ra f = ± . Thùc hiÖn phÐp biÕn ®æi cho hÖ (11-18) sau khi ®¬n gi¶n gω B ta nhËn ®îc hÖ ph¬ng tr×nh ®Æc trng: ü gω ds W= = v± ï dt B ï (A) ý æ v v öï g dω dv ± = gçi - 2 ÷ ç C R ÷ï Bω dt dt è øþ trong ®ã: øng víi dÊu (+) lµ hÖ ph¬ng tr×nh ®Æc trng thuËn, øng víi dÊu (–) lµ hÖ ph¬ng tr×nh ®Æc trng nghÞch. Ký hiÖu gω c= . B Thø nguyªn cña c lµ thø nguyªn tèc ®é vµ c cã ý ngh Üa lµ tèc ®é lan truyÒn ¶nh hëng khi cha kÓ ®Õn tèc ®é dÞch chuyÓn v cña dßng ch¶y, nh ® ∙ xÐt ë §9-5. Khi ®ã: ds W= =v+c dt lµ tèc ®é lan truyÒn ¶nh hëng theo ph¬ng thuËn (cïng chiÒu víi dßng ch¶y) vµ ds W’ = =v–c dt lµ tèc ®é lan truyÒn ¶nh hëng theo ph¬ng nghÞch (ngîc chiÒu dßng ch¶y) (h×nh 11-2). §Ó tiÖn sö dông ta viÕt riªng rÏ. - HÖ ph¬ng tr×nh ®Æc trng thuËn ü ds W= = v+c (11 - 23)ï dt ï (B) ý æ vv ö dv c dω (11 - 24) ï + = gçi - 2 ÷ ç C R÷ ï dt ω dt è ø þ - HÖ ph¬ng tr×nh ®Æc trng nghÞch ü ds W' = = v-c (11 - 25)ï dt ï (C) ý æ vvö dv c dω (11 - 26) ï - = gçi - 2 ÷ ï dt ω dt è C Rø þ 41 http://www.ebook.edu.vn
2. C¸ch gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng Gi¶i ®ång thêi hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n thêng (B), (C), ta ®îc nghiÖm tæng qu¸t cña bµi to¸n díi d¹ng: v = v és ( t ) , t ù ü ûï ë (D) ý ω = ω és ( t ) , t ù ï ë ûþ Trªn mÆt ph¼ng (s, t) (h×nh 11-3) ph¬ng tr×nh (11-23) ®îc biÓu thÞ b»ng hä ®êng ®Æc trng thuËn, ph¬ng tr×nh (11-25) ®îc biÓu thÞ b»ng hä ®êng ®Æc trng nghÞch. Hai hä ®êng nµy ®an víi nhau thµnh líi ®êng ®Æc trng. Giao ®iÓm cña c¸c ®êng ®Æc trng lµ nót. Gi¶i ®ång thêi 4 ph¬ng tr×nh cña hÖ (B) vµ (C) tøc lµ vÏ trªn mÆt ph¼ng (s, t) líi ®êng ®Æc trng ®ã, sao cho: gw - §é dèc cña ®êng ®Æc trng thuËn b»ng v + , B gw - §é dèc cña ®êng ®Æc trng nghÞch b»ng v – , B - §i tõ nót nµy sang nót kh¸c trªn ®êng ®Æc trng thuËn th× v vµ w thay ®æi theo (11-24), - §i tõ nót nµy sang nót kh¸c trªn ®êng ®Æc trng nghÞch th× v vµ w thay ®æi theo (11-26). t R 0 7 1 6 2 5 54 3 4 55 34 5 45 2 35 6 1 sãng thuËn 36 7 s 26 sãng nghÞch H×nh 11-3 Nh vËy ta sÏ ®îc vÞ trÝ c¸c nót cña líi vµ trÞ sè v, w t¹i c¸c nót. Líi cã thÓ dµy tïy ý, vËy ta sÏ biÕt v, w t¹i mäi trÞ sè cña s, t, ngh Üa lµ t×m ®îc nghiÖm (11-20). ý nghÜa to¸n häc cña toµn bé vÊn ®Ò lµ ë chç ta ®∙ thay hÖ hai ph¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng b»ng viÖc gi¶i ®ång thêi hai hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n thêng (B) vµ (C). Tuy nhiªn, viÖc gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh Êy ®Ó t×m nghiÖm chÝnh x¸c vÉn cßn rÊt khã kh¨n. Trong thùc tÕ ngêi ta thêng ph¶i ®æi thµnh c¸c ph¬ng tr×nh sai ph©n ®Ó gi¶i. 42 http://www.ebook.edu.vn
3. Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng d-íi d¹ng sai ph©n Ta sÏ nghiªn cøu c¸ch gi¶i trong trêng hîp lßng dÉn l¨ng trô vµ kh«ng cã kªnh nh¸nh. Nãi chung cã nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c nhau, ë ®©y ta nghiªn cøu c¸ch gi¶i cña X. A. Kh¬ritchian«vÝch. a. C¸ch vÏ l-íi ®Æc tr-ng æ vv ö z = g çi - 2 ÷ §Æt (11-27) ç C R÷ è ø g Dλ = Dω Bω hay g λ=ò dω + λ 0 (11-28) Bω x=v+l (11-29) h=v–l (11-30) Trêng hîp mÆt c¾t ch÷ nhËt th×: gω l=2 = 2 gh (11-28’) B §a c¸c ký hiÖu trªn vµo hÖ ph¬ng tr×nh (B), (C) vµ viÕt díi d¹ng sai ph©n, ta cã: ü Δs = WΔt ï (E) ý Δξ = Δv + Δλ = ζΔt ï þ ü Δs = W' Δt ï (F) ý Δη = Δv - Δλ = ζΔt ï þ trong ®ã dÊu g¹ch ngang (–) trªn c¸c ch÷ lµ chØ sè trung b×nh cña ®¹i lîng trong kho¶ng Dt. VÏ ®êng ®Æc trng thuËn qua ®iÓm A vµ nghÞch qua ®iÓm B trªn mÆt ph¼ng sãng (s, t) (h×nh 11-4) t¹i ®ã c¸c yÕu tè cña sãng (s, t, v, w) ®∙ biÕt. Hai ®êng ®ã giao nhau t¹i nót M. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh (E), (F) ta sÏ t×m ®îc s, t, v, w t¹i nót ®ã. Ta ®¸nh sè c¸c ®êng ®Æc trng thuËn b»ng chØ sè T (T = 1, 2, 3,... n) vµ c¸c ®êng ®Æc trng nghÞch b»ng chØ sè N (N = 1, 2, 3,... m). Nót ®îc ký hiÖu b»ng chØ sè T, N cã nghÜa r»ng ®ã lµ giao ®iÓm cña ®êng ®Æc trng thuËn T vµ ®êng ®Æc trng nghÞch N. Cô thÓ c¸c ®iÓm M, A, B trong h×nh (11-4) ®îc ký hiÖu b»ng (T, N) (T, N – 1) vµ (T – 1, N); c¸c yÕu tè sãng t¹i ®ã sÏ lµ: 43 http://www.ebook.edu.vn
sT,N; tT,N; vT,N; wT,N ®èi víi ®iÓm M, sT,N -1; tT,N-1; vT,N-1; wT,N-1 ®èi víi ®iÓm A, sT-1,N; tT-1,N; vT-1,N; wT-1,N ®èi víi ®iÓm B. t A T,N-1 M T,N B T-1,N s H×nh 11-4 Lóc ®ã hÖ ph¬ng tr×nh (E), (F) ®îc viÕt díi d¹ng sau: sT,N - sT,N -1 = W ( t T,N - t T,N -1 ) ü ï (G) ý ξ T,N - ξ T,N -1 = ζ ( t T,N - t T,N -1 ) ï þ sT,N - sT -1,N = W ' ( t T,N - t T -1,N ) ü ï (H) ý ηT,N - ηT -1,N = ζ ( t T,N - t T -1,N ) ïþ Gi¶i ®ång thêi hai hÖ (G), (H) ta cã thÓ t×m ra: sT,N; tT,N; xT,N; hT,N Sau lóc cã xT,N; hT,N dùa vµo (11-29), vµ (11-30), ta cã: ξ T,N + ηT,N vT,N = (11-31) 2 ξ T , N - ηT , N lT,N = (11-32) 2 Chó ý r»ng theo (11-28), l lµ hµm sè cña h, vµ theo (11-23), (11-25) vµ (11-27) th× W, W’, z lµ hµm sè cña v vµ h tøc lµ hµm sè cña v vµ l. VËy cã vT,N vµ lT,N, ta tÝnh ®îc hT,N; wT,N; W’T,N; WT,N vµ zT,N. Tuy nhiªn trong ph¬ng tr×nh (G) vµ (H), W , W ' , ζ ph¶i lµ trÞ sè trung b×nh cña c¸c nót ®∙ biÕt víi nót cÇn t×m. Do ®ã, c¸c hÖ ph¬ng tr×nh trªn ph¶i gi¶i b»ng c¸ch tÝnh ®óng dÇn: 44 http://www.ebook.edu.vn
- TÝnh gÇn ®óng lÇn thø nhÊt: lÊy W , W ' , ζ b»ng trÞ sè t¹i nót ®∙ biÕt, gi¶i hai ph¬ng tr×nh ®Çu cña hÖ (G), (H), ta ®îc: ( sT -1,N - sT,N -1 ) + ( WT,N -1t T,N -1 ) - ( WT -1,N t T -1,N ) ' t T,N = (11-33) WT,N -1 - WT -1,N sT,N = sT,N -1 + WT,N -1 (t T,N - t T,N -1 )üï (11-34) ý ' sT,N = sT -1,N + WT -1,N (t T,N - t T -1,N ) ï hoÆc þ Thay tT,N tÝnh theo (11-33) vµo hai ph¬ng tr×nh cuèi cña hÖ (G), (H), ta ®îc: xT,N = xT,N-1 + zT,N-1 (tT,N – tT,N-1) (11-35) hT,N = hT-1,N + zT-1,N (tT,N – tT-1,N) (11-36) Sau khi t×m ®îc c¸c yÕu tè t¹i (T, N), tÝnh WT,N, W’T,N, xT,N vµ t×m ra W , W ' , ζ ®Ó tÝnh lÇn thø hai. - TÝnh gÇn ®óng lÇn thø hai: thay c¸c trÞ sè W , W' , ζ võa tÝnh ®îc vµo hÖ ph¬ng tr×nh (G), (H) vµ tÝnh nh lÇn thø nhÊt. (NÕu W , W ' , ζ kh«ng kh¸c nhiÒu so víi trÞ sè t¹i c¸c nót ®∙ biÕt th× kh«ng cÇn tÝnh lÇn thø hai). §èi víi c¸c nót ë biªn (ë mÆt c¾t trªn cïng vµ díi cïng) do chØ viÕt ®îc mét trong hai hÖ (G) hoÆc (H) nªn cÇn kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn biªn t¹i ®ã ®Ó t×m nghiÖm. ThÝ dô: T×m nghiÖm t¹i nót R ë mÆt c¾t trªn cïng (h×nh 11-5) víi ®iÒu kiÖn biªn t¹i mÆt c¾t ®ã lµ Q = Q(t). ViÕt hÖ (H) cho ®êng ®Æc trng nghÞch tõ P ®Õn R ta ®îc: s R – s P = W ' PR ( t R - t P ) hR – hP = ζ P R ( t R - t P ) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh nµy, b»ng c¸ch lÊy gÇn ®óng lÇn thø nhÊt W ' = W'P ; ζ = zP vµ chó ý r»ng sR = 0 ta ®îc: sP tR = t P – (11-37) ' WP æs ö hR = hP + zP (tR – tP) = hP + zP ç - P' ÷ (11-38) çW ÷ è ø P TÝnh ®îc hR vµ biÕt QR = Q(tR) theo ®iÒu kiÖn biªn, ta cã hai ph¬ng tr×nh: ηR = v R - λ R ü (11-39) ý Q R = v R ωR þ 45 http://www.ebook.edu.vn
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh nµy sÏ ®îc vR, hR, wR. NÕu ®iÒu kiÖn biªn t¹i mÆt c¾t ®Çu cho lµ h = h(t) th× viÖc gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh nµy cµng dÔ dµng: biÕt h R, ta cã lR vµ tÝnh ngay ra vR. MÆt c¾t trªn t R p s H×nh 11-5 b) C¸ch vÏ ®-êng ®Æc tr-ng ban ®Çu C¸ch gi¶i tr×nh bµy ë trªn cÇn xuÊt ph¸t tõ nh÷ng nót ®∙ biÕt gäi lµ nót ban ®Çu. Nãi chung, cã thÓ lÊy tïy ý c¸c nót ban ®Çu trªn mÆt ph¼ng (s, t) lóc t = 0 (h×nh 11-3). T¹i c¸c nót ®ã, c¸c yÕu tè s, W, W’, v, l... ®Òu ®∙ biÕt nhê ®iÒu kiÖn ban ®Çu. Nhng, víi dßng kh«ng æn ®Þnh ph¸t sinh tõ mét dßng æn ®Þnh th× c¸c nót ban ®Çu kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i lÊy t¹i t = 0 mµ cã thÓ lÊy trªn ®êng ®Æc trng ®Çu tiªn gäi lµ ®êng ®Æc trng ban ®Çu. VÝ dô: ®êng 00 – 08 trªn h×nh (11-6). §êng ®Æc trng ban ®Çu biÓu thÞ quy luËt truyÒn cña sãng (thuËn hoÆc nghÞch) ®Çu tiªn xuÊt ph¸t tõ tuyÕn kÝch thÝch vµ truyÒn trªn mÆt dßng æn ®Þnh ban ®Çu. t 00 11 22 33 44 55 23 12 34 45 01 24 13 35 02 14 25 03 15 04 05 06 s 07 08 H×nh 11-6 NÕu tuyÕn kÝch thÝch ë mÆt c¾t trªn, th× ®êng ®Æc trng ban ®Çu biÓu thÞ sù truyÒn cña sãng thuËn, ta dïng ph¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ (G). NÕu tuyÕn kÝch thÝch ë mÆt c¾t díi th× ®êng ®Æc trng ban ®Çu biÓu thÞ sù truyÒn cña sãng nghÞch, ta dïng ph¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ (H). C¸c yÕu tè nh v, h, l, W’, z, v.v... trªn ®êng ®Æc trng ban ®Çu vÉn lµ c¸c yÕu tè cña dßng æn ®Þnh ban ®Çu ®∙ cho trong ®iÒu kiÖn ban ®Çu nªn kh«ng cÇn dïng ®Õn ph¬ng tr×nh thø hai cña hÖ (G) hoÆc (H). C¸c nót ë phÝa tr¸i cña ®êng ®Æc trng ban ®Çu còng ®Òu ë tr¹ng th¸i æn ®Þnh, nªn kh«ng cÇn tÝnh. Trong h×nh (11-6) ®êng 00 – 08 lµ ®êng ®Æc trng ban ®Çu vÏ trong trêng hîp tuyÕn kÝch thÝch t¹i mÆt c¾t trªn. 46 http://www.ebook.edu.vn
Ta thÊy c¸ch gi¶i nh trªn cßn rÊt phiÒn phøc vµ tèn c«ng. Dùa vµo nguyªn lý trªn, L©m BØnh Nam (Trung Quèc) ®∙ ®Ò ra ph¬ng ph¸p vÏ líi ®Æc trng cã thêi ®o¹n Dt kh«ng ®æi. NguyÔn Nh Khuª (trêng ®¹i häc Thñy lîi Hµ Néi) ®∙ c¶i tiÕn thªm ph¬ng ph¸p nµy cña L©n BØnh Nam, ®ång thêi ®Ò ra ph¬ng ph¸p vÏ líi ®Æc trng cã ®é dµi Ds kh«ng ®æi ®Ó ¸p dông cho kªnh cã nhiÒu kªnh nh¸nh vµ cã mÆt c¾t thay ®æi tõng ®o¹n. Cã thÓ t×m hiÓu kü h¬n c¸ch tÝnh theo ph¬ng ph¸p nµy ë cuèn Thñy lùc dßng hë cña GS. TS. NguyÔn C¶nh CÇm, Nhµ xuÊt b¶n X©y dùng, 2006. §11-6. TÝnh dßng kh«ng æn ®Þnh b»ng ph¬ng ph¸p tr¹ng th¸i tøc thêi 1. HÖ ph-¬ng tr×nh sai ph©n Víi dßng kh«ng æn ®Þnh cã lu lîng hoÆc mùc níc thay ®æi chËm, ta cã thÓ bá qua 1 ¶v sè h¹ng qu¸n tÝnh , lóc ®ã ph¬ng tr×nh ®éng lùc sÏ lµ: g ¶t ¶z v ¶v -Q Q + = (11-40) ¶s g ¶s K2 Ph¬ng tr×nh nµy hoµn toµn gièng ph¬ng tr×nh ®éng lùc cña dßng æn ®Þnh thay ®æi dÇn (ch¬ng IX). Cã thÓ nãi r»ng theo gi¶ thiÕt trªn, ®êng mÆt níc tøc thêi cña dßng kh«ng æn ®Þnh hiÓn thÞ b»ng ph¬ng tr×nh (11-40) tu©n theo quy luËt cña dßng æn ®Þnh. Do ®ã ph¬ng ph¸p nµy gäi lµ ph¬ng ph¸p tr¹ng th¸i tøc thêi. Trong trêng hîp sù biÕn thiªn cét níc lu tèc däc theo dßng ch¶y nhá so víi ®é dèc ¶ æ v2 ö ç ÷ . Lóc ®ã hÖ ph¬ng tr×nh ®éng lùc chØ cßn lµ: thñy lùc, ta cßn cã thÓ bá c¶ sè h¹ng ¶s ç 2g ÷ èø ¶z -Q Q = = ±J (11-41) ¶s K2 Nh vËy, hÖ ph¬ng tr×nh (11-15) trë thµnh: ¶Q ¶ω ü + = 0ï ¶s ¶t ï (11-15’) ý QQ ï ¶z =- 2 Kï ¶s þ §a vÒ d¹ng sai ph©n, viÕt cho mét ®o¹n lßng dÉn dµi Ds, vµ trong mét kho¶ng thêi gian Dt. §Ó tiÖn diÔn gi¶i, ta cÇn thèng nhÊt c¸c ký hiÖu sau ®©y: 47 http://www.ebook.edu.vn
Trªn ®o¹n dßng ch¶y Ds, c¸c yÕu tè thñy lùc cña mÆt c¾t trªn ký hiÖu b»ng chØ sè (t), c¸c yÕu tè thñy lùc cña mÆt c¾t díi ký hiÖu b»ng chØ sè (d). C¸c yÕu tè thñy lùc trung b×nh cña ®o¹n s«ng ký hiÖu b»ng dÊu g¹ch ngang ( –). Trong thêi ®o¹n Dt, c¸c yÕu tè thñy lùc lóc ®Çu thêi ®o¹n ký hiÖu dÊu (’) (mét phÈy) c¸c yÕu tè thñy lùc lóc cuèi thêi ®o¹n ký hiÖu dÊu (’’) (hai phÈy), c¸c yÕu tè thñy lùc trung b×nh trong thêi ®o¹n ký hiÖu (*). ThÝ dô: z't lµ mùc níc ë mÆt c¾t trªn lóc ®Çu thêi ®o¹n, Q " lµ lu lîng trung b×nh cña ®o¹n s«ng lóc cuèi thêi ®o¹n. Q't + Q'' d Q" = 2 Q* lµ lu lîng trung b×nh trong thêi ®o¹n, t¹i mÆt c¾t díi: d Q'd + Q'' Q* = d d 2 Ta ®a hÖ (11-15) vÒ d¹ng sai ph©n: Ph¬ng tr×nh liªn tôc sÏ lµ: ΔQ Δω + =0 Δs Δt Q* - Q* ω'' - ω' d t + =0 Δs Δt Gäi: W = ω Δs lµ dung tÝch cña ®o¹n s«ng, ph¬ng tr×nh liªn tôc sÏ thµnh: (Q ) * - Q* Δt = W "- W ' (11-42) t d hoÆc: Q't + Q'' Q'd + Q'' W'' W' t d - = - (11-42’) Δt Δ t 2 2 Ph¬ng tr×nh ®éng lùc viÕt cho lóc cuèi thêi ®o¹n sÏ lµ: Δz " Q " Q " - = K"2 Δs 48 http://www.ebook.edu.vn
hay Q" Q" z" - z" = Δs (11-43) t d 2 " K hay z" - z" t d " Q " = ±K (11-43’) Δs DÊu (+) khi zt > zd, dÊu (-) khi zt < zd. Ta viÕt l¹i hai ph¬ng tr×nh (11-42’) vµ (11-43’) vµo mét hÖ: ü Q't + Q'' Q'd + Q'' W'' W' t d - = - (11 - 42 ') ï Δt Δt 2 2 ï (I) ý z" - z" (11 - 43 ') ï Q" + Q '' t d = Q " = ± K" t d ï þ Δs 2 Trong c¸c ph¬ng tr×nh trªn, W (dung tÝch ®o¹n s«ng) vµ K = ω C R , cã thÓ biÓu thÞ thµnh hµm sè cña ®é s©u trung b×nh h hoÆc mùc níc trung b×nh z . §èi víi kªnh l¨ng trô cã mÆt c¾t hoµn chØnh th× tÝnh b»ng c«ng thøc gi¶i tÝch, ®èi víi s«ng thiªn nhiªn th× sö dông tµi liÖu thñy v¨n vµ tµi liÖu ®o ®¹c ®Þa h×nh mµ vÏ ra quan hÖ K ( z ) vµ W ( z ) . 2. C¸ch gi¶i tæng qu¸t Khi ®iÒu kiÖn ban ®Çu ®∙ cho, tøc biÕt Q't , Q'd , z't , z'd ta cã hÖ hai ph¬ng tr×nh (11-42’) vµ (11-43’) ®Ó t×m 4 Èn sè lµ Q't' , Q'd , z'' , z'd . Ngoµi hÖ hai ph¬ng tr×nh ®ã cßn ' ' t ®iÒu kiÖn biªn ë mÆt c¾t ®Çu trªn, vµ ®iÒu kiÖn ë mÆt c¾t ®Çu díi. NÕu dßng ch¶y ®îc chia ra n ®o¹n bëi (n + 1) mÆt c¾t th× ta cã 2(n + 1) Èn sè (mçi mÆt c¾t cÇn t×m Q" vµ z"). Mçi ®o¹n cã hai ph¬ng tr×nh (11-42’) vµ (11-43’) toµn dßng ch¶y cã 2n ph¬ng tr×nh, céng víi hai ®iÒu kiÖn biªn nªn cã 2(n + 1) ph¬ng tr×nh, tõ ®ã sÏ gi¶i ra 2(n + 1) Èn sè. C¸ch gi¶i tæng qu¸t hÖ ph¬ng tr×nh ®ã ®îc tr×nh bµy nh sau: §Ó tiÖn diÔn gi¶i, ta gi¶ thö xÐt mét dßng kh«ng æn ®Þnh trªn mét kªnh ë h¹ lu tr¹m thñy ®iÖn dÉn ®Õn mét hå chøa níc lín. ë mÆt c¾t trªn cïng cho quy luËt thay ®æi cña lu lîng Q1(t) (®iÒu kiÖn biªn t¹i mÆt c¾t 1), vµ ë mÆt c¾t cuèi cïng, mùc níc cuèi kªnh b»ng mùc níc hå (kh«ng ®æi) zn+1 = C (®iÒu kiÖn biªn t¹i mÆt c¾t n + 1). 49 http://www.ebook.edu.vn
Ta b¾t ®Çu tÝnh to¸n tõ ®o¹n ®Çu trë xuèng. Trong ®o¹n (1-2), theo ®iÒu kiÖn ban ®Çu ®∙ biÕt Q1 , Q'2 , z1 , z'2 ; theo ®iÒu kiÖn biªn l¹i biÕt Q1' . Cßn 3 Èn sè z1 , z'' , Q'2 . Ta chØ cã ' ' ' '' ' 2 '' hÖ hai ph¬ng tr×nh (I). VËy ph¶i tù cho mét trong ba trÞ sè ®ã, ch¼ng h¹n tù cho z1 . Nh vËy dÉn tíi viÖc gi¶i hÖ hai ph¬ng tr×nh (I) ®Ó t×m z'2 , Q'2 lÊy z1' lµm th«ng sè. ' ' ' HÖ ph¬ng tr×nh nµy ph¶i gi¶i b»ng gÇn ®óng (thö dÇn) v× W" vµ K " l¹i còng phô thuéc c¸c Èn sè. Sau khi gi¶i ®îc z'2 , Q'2 , ta tÝnh sang ®o¹n (2-3) t×m z'3 , Q'3 … vµ cø thÕ ' ' ' ' tiÕp tôc ®Õn z 'n +1 , Q'n+1 . ' ' TrÞ sè nµy rÊt cã thÓ cha tháa m∙n ®iÒu kiÖn biªn ë mÆt c¾t cuèi cïng. Ta ph¶i cho th«ng sè z1' mét lo¹i trÞ sè kh¸c vµ tÝnh nh trªn, sÏ t×m ®îc mét lo¹t nghiÖm, c¸c nghiÖm ' nµy ®Òu tháa m∙n ®iÒu kiÖn biªn ë mÆt c¾t trªn nhng trong ®ã ta chØ chän ®îc mét nghiÖm tháa m∙n ®iÒu kiÖn biªn ë mÆt c¾t cuèi, nghÜa lµ cã: z 'n +1 = zn+1(t")= C (®∙ biÕt) ' NÕu ®iÒu kiÖn biªn cña bµi to¸n cho kh¸c ®i, c¸ch gi¶i còng t¬ng tù nh trªn. Nh vËy lµ ®Ó tÝnh cho mét thêi ®o¹n Dt ph¶i qua hai bíc tÝnh ®óng dÇn: Mét lµ víi mét trÞ sè tïy ý cña th«ng sè z1' ph¶i gi¶i lÇn lît n hÖ ph¬ng tr×nh (I) cho n ®o¹n kªnh, ' '' mçi ®o¹n lµ mét bµi to¸n ®óng dÇn. Hai lµ ph¶i lÆp l¹i nh vËy víi nhiÒu trÞ sè cña z1 ®Ó t×m ra nghiÖm tháa m∙n ®iÒu kiÖn biªn cña mÆt c¾t cuèi cïng. Bµi to¸n còng cã thÓ tiÕn hµnh theo tr×nh tù ngîc l¹i, nghÜa lµ b¾t ®Çu tõ mÆt c¾t cuèi cïng tÝnh ngîc trë lªn. Cã kÕt qu¶ cuèi thêi ®o¹n thø nhÊt, ta lÊy kÕt qu¶ ®ã lµm ®iÒu kiÖn ban ®Çu ®Ó tÝnh tiÕp thêi ®o¹n thø hai vµ cø thÕ tiÕp tôc. Khèi lîng tÝnh to¸n t¬ng ®èi nhiÒu; ®Ó gióp cho viÖc tÝnh ®óng dÇn ®îc nhanh, nhiÒu nhµ thñy lùc häc ®∙ ®Ò ra c¸c c¸ch gi¶i b»ng ®å thÞ, hoÆc ®a thªm mét sè gi¶ thiÕt gÇn ®óng, vÝ dô ph¬ng ph¸p ¸ckhanghenski. §11-7. Ph¬ng ph¸p sãng cã biªn ®é nhá §Ó gi¶i quyÕt mét vµi vÊn ®Ò cã liªn quan ®Õn vÊn ®Ò truyÒn sãng dµi, nh vÊn ®Ò giao ®éng mùc níc ë h¹ lu tr¹m thñy ®iÖn trong trêng hîp ®iÒu tiÕt ngµy, ngêi ta thêng dïng nh÷ng tiªn ®Ò c¬ b¶n cña lý thuyÕt sãng cã biªn ®é nhá. Trong lý thuyÕt cæ ®iÓn cña sãng cã biªn ®é nhá, ngêi ta gi¶ thiÕt lµ tÊt c¶ nh÷ng thay ®æi cña c¸c yÕu tè thñy lùc do chuyÓn ®éng sãng g©y nªn thùc chÊt lµ nh÷ng trÞ sè nhá; do ®ã c¸c b×nh ph¬ng vµ tÝch sè trÞ sè cña chóng ®Òu cã thÓ bá qua ®îc. 50 http://www.ebook.edu.vn
Cho c¸c yÕu tè thñy lùc øng víi tr¹ng th¸i ban ®Çu mang thªm chØ sè “0” tøc Q0, v0, h0... vµ gäi q, v’, z... lµ sù thay ®æi cña c¸c yÕu tè thñy lùc khi sãng ®i tíi (h×nh 11- 7). Nh vËy trong tr¹ng th¸i chuyÓn ®éng kh«ng æn ®Þnh, ta cã: Q = Q0 + q, v = v0 + v’, h = h0 + z,... Dw A' A z z c B' B0 h h ho h0 vo v cDt B' B H×nh 11-7 Trªn c¬ së c¸c gi¶ thiÕt ® ∙ nãi ë trªn ta cã: ω = ωo + B 0 ζ ü ï (11-44) ý v2 = ( v 0 + v ' ) 2 2 » v0 + 2v0 v 'ï þ C¸c ®¹o hµm trong hÖ ph¬ng tr×nh (11-15) sÏ ®îc viÕt l¹i: ¶h ¶ζ ¶v ¶v ' ¶ω ¶ζ ü =; = » B0 ; ; ï ¶s ¶s ¶t ¶t ¶t ¶t ï ¶v 1 ¶v 2 1 ¶ 2 ï ¶v ' = » (v 0 + 2 v 0 v ') » v 0 ; (11-45) ý ¶s 2 ¶s 2 ¶s ¶s ï ¶ ¶ ¶v ' ¶ζ ï ( vω ) = é ( v 0 + v ' ) ( ω 0 + B 0 ζ ) ù » ω 0 + v 0 B 0 ï ¶s ë û ¶s ¶s ¶s þ B©y giê sö dông kh¸i niÖm sè mò thñy lùc ® ∙ nãi ë ch¬ng IX, ta cã: 2 x æKö æ h0 + ζ ö ÷ =ç (11-46) ç ÷ è K0 ø è h0 ø x æ ζö 2 K2 K= ç1 + ÷ o h0 ø è x - sè mò thñy lùc cña lßng dÉn. Khai triÓn theo nhÞ thøc Niut¬n, vµ lÊy gÇn ®óng ta ®îc: æ xζ ö K2 » K2 ç 1 + (11-47) ÷ 0 h0 ø è 51 http://www.ebook.edu.vn
Ta l¹i cã: æ 2q ö Q2 = (Q0 +q)2 = Q 2 ç 1 + ÷ 0 Q0 ø è Nhng Q - Q 0 ( v 0 + v' ) ( ω0 + B0 ζ ) - v 0 ω0 v ' B0 q = = » + ζ v 0 ω0 v 0 ω0 Q0 Q0 Do ®ã: æ 2 v ' 2B0 ö Q2 = Q 2 ç 1 + + ζ÷ (11-48) 0 v0 ω0 ø è Tõ nh÷ng biÓu thøc (11-47) vµ (11-48), sau nh÷ng phÐp biÕn ®æi thÝch hîp ta ®îc: é 2 v ' æ 2B0 xöù Q2 » J 0 ê1 + +ç - ÷ ζú (11-49) 2 v 0 è ω0 h0 ø ú ê K ë û Q2 0 trong ®ã J0 = lµ ®é dèc thñy lùc ban ®Çu. K2 0 Dïng c¸c biÓu thøc (11-45), (11-49) vµ xem i = J0 = J, hÖ ph¬ng tr×nh (11-15) sÏ cã d¹ng: ü æ 2B xö ¶ζ 1 ¶v ' v 0 ¶v ' 2Jv ' + Jç 0 - + + + ÷ ζ = 0 (11 - 50) ï ï ¶s g ¶t g ¶s è ω0 v0 h0 ø ý (K) ¶ζ ¶v ' ¶ζ ï + ω0 + v0 B 0 =0 (11 - 51) ï B0 ¶t ¶s ¶s þ §©y lµ hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n cña chuyÓn ®éng kh«ng æn ®Þnh dùa trªn c¸c gi¶ thiÕt vÒ sãng cã biªn ®é nhá. Ta cã thÓ ®a hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n nµy vÒ mét ph¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp hai. §¹o hµm ph¬ng tr×nh (11-50) ®èi víi s vµ xem J lµ kh«ng ®æi ta ®îc: ¶2 ζ 1 ¶ 2 v ' v 0 ¶ 2 v ' 2J ¶v ' æ 2B x ö ¶ζ + Jç 0 - + + + ÷ =0 (11-52) g ¶t¶s g ¶s v 0 ¶s h 0 ø ¶s ¶s2 2 è ω0 Tõ (11-51) ta cã thÓ viÕt: ¶v ' B ¶ζ v 0 B 0 ¶ζ =- 0 - (11-53) ¶s ω0 ¶t ω0 ¶s 52 http://www.ebook.edu.vn