Tiết 42 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT .
A. CHUẨN BỊ:
I. Yêu cầu bài:
1. Yêu cầu kiến thức, kỹ năng, tư duy:
Nhằm giúp học sinh nắm được một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số
như tìm giao điểm của hai đường, viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp,
dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình
Học sinh có kĩ năng giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số. Thông qua
đó rèn luyện cho học sinh tư duy toán học, tư duy lô gíc trên cơ sở các kiến thức liên
quan đến khảo sát hàm số.
2. Yêu cầu giáo dục tư tưởng, tình cảm:
Qua bài giảng, học sinh say mê bộ môn hơn và có hứng thú tìm tòi, giải quyết
các vấn đề khoa học.
II. Chuẩn bị:
Thầy: giáo án, sgk, thước.
Trò: vở, nháp, sgk và đọc trước bài.
B. Thể hiện trên lớp:
I. Kiểm tra bài cũ: ( Kết hợp trong bài giảng)
II. Dạy bài mới:
Đặt vấn đề: Trong khi khảo sát chúng ta thường gặp một số dạng bài toán liên
quan đến khảo sát. Hôm nay chúng ta đi xét một số bài toán tiêu biểu
PHƯƠNG PHÁP tg NỘI DUNG
? Nêu bài toán 1
? Để tìm giao điểm của
hai tiệm cận ta làm thế
nào
? Em hãy cho biết số
nghiệm của phương trình
(1) phụ thuộc vào gì
? Ngược lại nếu biết số
giao điểm của (C) &
(C1) ta kết luận được
điều gì
? Em hãy biện luận số
giao điểm của (C) và d
22
1.Bài toán 1: Tìm giao điểm hai đồ thị hai hàm số y= f(x)
có đồ thị (C) ; y=g(x) có đồ thị (C’)
Giải:
Toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ:
y f(x)
y g(x)
PT hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (1)
+ Số nghiệm PT(1) là số giao điểm của (C) và (C’)
+ Số giao điểm của (C) và (C’) là số nghiệm của PT (1)
a.Ví dụ 1:
Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị
2
x 6x 3
y C
x 2
và y= x – m (d)
Giải:
Số giao điểm của (C) và d là số nghiệm của PT:
2
x 6x 3
x m
x 2
(1)(với x -2) ta có
(1)
(8 m)x 3 2m
x 2
3 2m
x 2, m
8 m
m 8
+ Nếu m=8 PT vô nghiệm d không cắt (C)
+ Nếu m 8 thì d cắt (C) tại 1 giao điểm có toạ độ là:
? Hãy biện luận theo m
số nghiệm cuat phương
trình
? Kết luận
GV: đưa ra ví dụ 2
3 2m
x
8 m
y x m
Ví dụ 2:
a.Vẽ đồ thị hàm số:
y= x4 - 2x2 + 2
b. Dựa vào đồ thị(C) biện
luận số nghiệm của PT: -x4 +
2x2 - m = 0
Giải:
a. Đồ thị:
b. PT (1) có thể viết:
x4 - 2x2 + 2 = m + 2 (2)
+ PT (2)là PT hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng
d: y = m +2
+Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C) và
d
+Dựa vào đồ thị ta có:
Nếu m<-1: PT(1) vô nghiệm
Nếu m=-1: PT(1) có 2 nghiệm kép
Nếu m>0: PT(1) có hai nghiệm đơn
Nếu m=2: PT(1) có 2 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép
? Em hãy cho biết dáng
điệu của đồ thị hàm số
? Để dựa vào đồ thị(C)
biện luận số nghiệm của
phương trình (2) ta làm
thế nào
? Em hãy biện luận theo
tham số m số giao điểm
của đồ thị hai hàm số
? Nêu bài toán 2
? Để viết phương trình
tiếp tuyến ta xét các
trường hợp nào
22
Nếu –1<m<0: PT(1) có 4 nghiệm đơn
2. Bài toán 2: Viết PT tiếp tuyến với đồ thị hàm s
ố y=f(x)
(C)
a. Biết tiếp điểm M0(x0; y0) PT tiếp tuyến là: y=
f’(x0)(x-x0)+y0
b. Biết tiếp tuyến đi qua M1(x1;y1)
+ Viết PT đường thẳng đi qua M1(x1;y1) có hệ số góc
là k: y= k(x-x1)+y1 (d)
+ Để d là tiếp tuyến của (C) thì hệ sau có
nghiệm:
1 1
f(x) k(x x ) y
f '(x) k
c. Biết hệ số góc tiếp tuyến bằng k
+ Giải PT f’(x)=k tìm nghiệm x0
+ PT tiếp tuyến: y=k(x-x0) + f(x0)
3. Ví dụ:
Cho hàm số: y = x3 – 3x2 +2
a. Viết PT tiếp tuyến tại điểm uốn
b. Viết PT tiếp tuyến với (C) đi qua A(0 ;3)
c. Viết PT tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông
góc với đường thẳng: y =
x
1
3
Giải
? Nếu biết tiếp tuyến đi
qua M(x1;y1) ta làm thế
nào
? Khi biết hệ số góc của
tiếp tuyến ta có thể xác
định toạ độ của các tiếp
điểm không
GV: Đưa ra ví dụ
? Em hãy xác định điểm
uốn của đồ thị
? Để viết phương trình
tiếp tuyến tại điểm uốn
cần xác định yếu tố nào
? phương trình đường
thẳng d qua A và có hệ
số góc k
? Điều kiện để d là tiếp
tuyến
? Giải hệ phương trình
a. Viết PT tiếp tuyến tại điểm uốn
Ta có y’=3x2 – 6x;
y”=6x-6=0 x=1 điểm uốn I(1;0)
y’(1)=-3 PT tiếp tuyến tại điểm uốn là:
y=-3(x-1) y= -3x +3
b. Viết PT tiếp tuyến với (C) đi qua A(0 ;3)
Đường thẳng d đi qua A(0;3) có hệ số góc là k PT là: y=
kx + 3
Để d là tiếp tuyến của (C) thì:
3 2
2
x 3x 2 kx 3(1)
3x 6x k(2)
có nghiệm
Thế (2) vào (1) ta có:
3 2 3 2
x 3x 2 3x 6x 3
2
3 2
x 1
2x 3x 1 0 x 1 2x 1 0
1
x
2
+ Với x=1 k=-3 PT tiếp tuyến y = -3x+3
+ Với x = -1/2 k=15/4 PT tiếp tuyến y=15/4x+3
c. Viết PT tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng: y=
x
1
3
Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y =
x
1
3
nên PT tiếp tuyến có dạng y= -3x + a