ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
——————– * ———————
TIỂU LUẬN
LÝ THUYẾT VÀNH VÀ MÔ ĐUN
Đề tài:
LINH HÓA TỬ
Giảng viên hướng dẫn : GS.TS. Lê Văn Thuyết
Học viên thực hiện : Hà Văn Quý
Lớp Cao học Toán K20
HUẾ, 11-2012
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy giáo, Giáo sư, Tiến sĩ Lê Văn
Thuyết đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành tốt tiểu luận này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trong khoa Toán,
trường Đại học Sư phạm Huế đã tận tâm truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt
quá trình học tập tại khoa.
Tôi cũng xin cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, động viên của quý thầy cô giáo và
bạn bè trong suốt thời gian tôi làm tiểu luận.
Huế, ngày 20 tháng 11 năm 2012
Sinh viên thực hiện
Hà Văn Quý.
i
MỤC LỤC
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Chương 1. Một số kiến thức về Môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Vành và Iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Môđun con và môđun thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Song môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5. Đồng cấu môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Chương 2. Lý thuyết Linh hóa tử. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1. Linh hóa tử. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
ii
MỞ ĐẦU
Chúng ta đều biết rằng các cấu trúc đại số cơ bản như nhóm, vành là sự khái
quát hóa từ các tập hợp số với hai phép toán (+) và (×)thông thường. Môđun là
khái niệm mở rộng của khái niệm nhóm aben và khái niệm không gian vectơ. Một
cấu trúc R-môđun Mđược xây dựng từ một vành R. Vấn đề đặt ra là tìm hiểu
các tính chất của một môđun Mthông qua vành R. Một trong những công cụ hỗ
trợ khảo sát mối liên hệ giữa đó là linh hóa tử.
Để có tính hệ thống trong trình bày, tiểu luận sẽ nhắc lại hết sức ngắn gọn khái
niệm, tính chất cần thiết về vành, môđun trong Chương 1. Chương 2 là nội dung
chính của tiểu luận, giới thiệu khá chi tiết về linh hóa tử và cuối cùng là giải quyết
ba bài toán liên quan đến vành nửa đơn.
Để hoàn thành được tiểu luận này, tôi xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, Giáo
sư, Tiến sĩ Lê Văn Thuyết đã giảng dạy và tạo điều kiện. Mặc dù đã có nhiều cố
gắng, song trong quá trình nghiên cứu và trình bày khó tránh khỏi các sai sót,
mong quý thầy cô giáo và các bạn chỉ bày thêm để cuốn tiểu luận được hoàn thiện
hơn.
Huế, ngày 20 tháng 11 năm 2012
Học viên thực hiện
Hà Văn Quý.
iii
CHƯƠNG 1
Một số kiến thức về Môđun
Phần này trình bày hết sức ngắn gọn một số khái niệm và tính chất cần thiết
để chuẩn bị cho Chương 2. Các khái niệm vành, iđêan, môđun, song môđun xem
như đã biết và được chứng minh đầy đủ trong [1], [2]. Những chứng minh còn lại
(mà trong [2] chưa trình bày) là của bản thân học viên, mong nhận được sự góp ý
của Thầy và người đọc.
1.1. Vành và Iđêan
Định nghĩa 1.1 ([1], tr. 78).Một tập hợp Rđược gọi là một vành nếu trên Rcó
hai phép toán hai ngôi, một gọi là phép cộng và một gọi là phép nhân, sao cho các
điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Tập hợp Rlà một nhóm aben đối với phép cộng.
(ii) Phép nhân trên Rlà kết hợp.
(iii) Luật phân phối: Phép nhân là phân phối đối với phép cộng. Tức, với các
phần tử x, y, z ∈Rtùy ý, ta có
(x+y)z=xz +yz, z(x+y) = zx +zy.
Vành Rđối với phép cộng có phần tử không, ký hiệu 0; đối với phép nhân nếu
có phần tử đơn vị gọi là vành có đơn vị.
Trong toàn bộ tiểu luận này, nếu không nói gì thêm, ta quy ước vành Rluôn
có đơn vị khác không và được ký hiệu là 1.
Định nghĩa 1.2. (i) Một tập hợp Acủa một vành Rđược gọi là một vành con
của R, nếu Alập thành một nhóm con aben với phép cộng của Rvà đóng
đối với phép nhân, tức ab ∈A, ∀a, b ∈A.
1