Tổng hợp các bài toán đại số thi HSG quốc gia

Chia sẻ: Vũ Minh Hoàng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

87
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

bao gồm 59 bài toán đại số hay trong các đề thi hsg quốc gia và chọn hsg tham dự kì thi quốc gia do tôi - học sinh Vũ Minh Hoàng lớp 11A trường THPT Yên Mô A- Ninh Bình chọn lọc. Tài liệu này chỉ gồm các đề toán vầ tôi đang tiếp tục viết lời giải cho các bài toán đó

Chủ đề:

các bài toán đại số ôn thi hsg quốc gia

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tổng hợp các bài toán đại số thi HSG quốc gia

Tông hợp cac bai toan đai số ôn thi HSG Quôc Gia ̉ ́ ̀ ́ ̣ ́ Người soan : Vũ Minh Hoang 11A-THPT Yên Mô A - Ninh Binh ̣ ̀ ̀ Bai 1. Cho trước số nguyên tố p và số nguyên dương a với 1 < a ≤ p-1. Giả sử ̀ A= a. Chứng minh răng với moi ước nguyên tố q cua A ta đêu có q-1 chia hêt cho p. ̀ ̣ ̉ ̀ ́ Bai 2. Tim số tự nhiên n lớn nhât sao cho số 1995 băng tông cua n số a, a, a..., a ̀ ̀ ́ ̀ ̉ ̉ trong đó cac số a (i=1,2,...,n) đêu là hợp sô. ́ ̀ ́ Bai 3. Cho a,b,c là ba số hữu tỉ thoả man: ̀ ̃ abc=1 và + + = + + Chứng minh răng it nhât môt trong 3 số a,b,c là binh phương cua 1 số hữu ti. ̀ ́ ́ ̣ ̀ ̉ ̉ Bai 4. Cho day số (b), (n=1,2,...) được xac đinh bởi: b=0; b=14; b=-18 và ̀ ̃ ́ ̣ b = 7b - 6b với moi n ≥ 3. ̣ Chứng minh răng với moi số nguyên tố p ta đêu có b chia hêt cho p. ̀ ̣ ̀ ́ Bai 5. Giai phương trinh nghiêm nguyên ̀ ̉ ̀ ̣ 4y = 2 + 199 − x − 2 x 2 Bai 6. Tim tât cả cac số tự nhiên a để phương trinh ̀ ̀ ́ ́ ̀ x - ax+a+1=0 có nghiêm nguyên. ̣ Bai 7. Chứng minh răng với moi số tự nhiên n (n ≥ 2) ta đêu có ̀ ̀ ̣ ̀ C.C chia hêt́ cho 4. Bai 8. Tim cac số tự nhiên m,n để A = 3 +4 là số nguyên tô. ̀ ̀ ́ ́ Bai 9. Tim cac nghiêm nguyên (x ; n) cua phương trinh ̀ ̀ ́ ̣ ̉ ̀ 1 1 x + x+ + x+ = n. 2 4 Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh ̀ ̀ Bai 10. Cho p là số nguyên tô. Chứng minh răng với moi số m nguyên không âm bât ̀ ́ ̀ ̣ ́ ki, tôn tai môt đa thức Q có hệ số nguyên sao cho p là ước chung lớn nhât cua tât cả ̀ ̀ ̣ ̣ ́ ̉ ́ cac số ́ a = (p+1) +Q với n=1,2,3,... Bai 11. Cho day số nguyên (a), (n=0,l,2,...) thoả man ̀ ̃ ̃
a + a = 2(a + a) với n=1,2,... Chứng tỏ răng tôn tai số nguyên M không phụ thuôc vao n sao cho M+4a.a là số ̀ ̀ ̣ ̣ ̀ chinh phương với moi n ∈ N. ́ ̣ Bai 12. Cho A có 1997 chữ số trong đó có 1996 chữ số 5 và môt chữ số khac 5. Hoi ̀ ̣ ́ ̉ A có thể là số chinh phương hay không? ́ Bai 13. Cho day số (a), (n=1,2,...) được xac đinh bởi ̀ ̃ ́ ̣ a = 1, a = 3, a = (n+2)a - (n+1)a ∀ n ≥ 2. Tim tât cả cac giá trị cua n để a là số chinh phương. ̀ ́ ́ ̉ ́ Bai 14. Chứng minh răng nêu môt câp số nhân có n số hang (n ≥ 3) là cac số tự ̀ ̀ ́ ̣ ́ ̣ ́ nhiên phân biêt và công bôi cung là môt số tự nhiên thì tông cua tât cả n số hang đó ̣ ̣ ̃ ̣ ̉ ̉ ́ ̣ không thể là luỹ thừa cua 5. ̉ Bai 15. Giai phương trinh nghiêm nguyên ̀ ̉ ̀ ̣ xy - x - 8y = 2xy Bai 16. Xet day số hữu tỉ (a), (n=1,2,...) thoả man ̀ ́ ̃ ̃ a = 3a - 2 ∀ n ≥ 1. Tim tât cả cac số hữu tỉ a để tôn tai cac số m,n phân biêt thoả man a = a. ̀ ́ ́ ̀ ̣ ́ ̣ ̃ Bai 17. Tim cac số nguyên tố x, y thoả man phương trinh ̀ ̀ ́ ̃ ̀ [] + [] + ... + [] = y Bai 18. Giả sử x và y là hai số nguyên dương sao cho x + y + 6 chia hêt cho xy. ̀ ́ Chứng minh răng là lâp phương cua môt số tự nhiên. ̀ ̣ ̉ ̣ Bai 19. Cho cac số không âm x, y, z thoả man x+y+z=1, và n ∈ N. Tim giá trị lớn ̀ ́ ̃ ̀ nhât cua biêu thức ́ ̉ ̉ P = xy + yz + zx. Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh ̀ ̀ Bai 20. Chứng minh bât đăng thức sau với a, b, c là cac số dương ̀ ́ ̉ ́ + + ≥ Bai 21. Chứng minh bât đăng thức ̀ ́ ̉ + + ≤ Bai 22. Giai hệ phương trinh ̀ ̉ ̀
Bai 23. Chứng minh bât đăng thức sau với n ≥ 5: ̀ ́ ̉ 1,71 < 1 + + +...+ < 1,72. Bai 24. Tim tât cả cac đa thức P với cac hệ số thực và thoả man: ̀ ̀ ́ ́ ́ ̃ P = 0, P = P + 1, với moi x ∈ R ̣ Bai 25. Cho ham số ϕ : R → R, đăt A = {x ∈ R, ϕ = x}; A = {x ∈ R, ϕ(ϕ) = x} ̀ ̀ ̣ Giả sử A\A là môt tâp hợp hữu han và tôn tai ham số f: R → R thoả man ̣ ̣ ̣ ̀ ̣ ̀ ̃ f(f) = ϕ ∀ x ∈ R. Chứng minh răng số phân tử cua A\A là môt số nguyên chia hêt cho 4. ̀ ̀ ̉ ̣ ́ Bai 26. Cho a, b, c, d, e, f là 6 số thực thoả man ̀ ̃ ab + bc + cd + de + ef = 1. Chứng minh răng a + b + c + d + e + f ≥ ̀ Bai 27. Hay tim cac giá trị x, y, z, t để biêu thức ̀ ̃ ̀ ́ ̉ A = (x-y) + (y-z) + (z-t) + (t-x) Đat giá trị nhỏ nhât, trong đó 4 số x, y, z, t là cac số 1930, 1945, 1975, 1995. ̣ ́ ́ Bai 28. Cho day (a), (n=0, 1, 2,...) được xac đinh như sau ̀ ̃ ́ ̣ a = , a = a(4a - 10a +5) ∀ n=0, 1, 2,... Tim số hang tông quat a ̀ ̣ ̉ ́ Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh ̀ ̀ Bai 29. Tim nghiêm dương cua hệ phương trinh ̀ ̀ ̣ ̉ ̀ Bai 30. Giai phương trinh ̀ ̉ ̀ 729x + 8 = 36 Bai 31. Giả sử a, b, c là ba số dương, n ∈ N, n ≥ 2. Chứng minh răng ̀ ̀ + + >. Bai 32. Tim tât cả cac ham số f: R → R thoả man ̀ ̀ ́ ́ ̀ ̃ f((x+1).f(y)) = y(f(x)+1) ∀ x, y ∈ R. Bai 33. Tim tât cả cac giá trị cua m để hệ phương trinh ̀ ̀ ́ ́ ̉ ̀ có năm nghiêm. ̣ Bai 34. Xet song anh f: N → N, chứng minh răng tôn tai vô số bộ (a, b, c) ̀ ́ ́ ̀ ̀ ̣
với a, b, c ∈ N thoả man điêu kiên a < b < c và 2f(b) = f(a)+f(c). ̃ ̀ ̣ Bai 35. Cho đa thức f(x) = x + 4x - 2x - 12x + 1. ̀ ̃ ́ ̉ Hay tinh tông S = Ở đó n là số nghiêm và x là cac nghiêm cua đa thức f(x). ̣ ́ ̣ ̉ Bai 36. Cho ba số thực a, b, c thoả man điêu kiên a + b + c = 2. Chứng minh răng: ̀ ̃ ̀ ̣ ̀ 1, |a+b+c-abc| ≤ 2 2, |a + b + c - 3abc| ≤ 2 Bai 37. Cho cac số dương a, b, c và cac số x, y, z thoả man điêu kiên ̀ ́ ́ ̃ ̀ ̣ Chứng minh răng a(x+b) + b(y+c) + c(z+a) < 1. ̀ Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh ̀ ̀ Bai 38. Tim hăng số dương C nhỏ nhât sao cho với n số dương bât kì a, a,..., a. ̀ ̀ ̀ ́ ́ ta đêu có ̀ + +...+ < C( + + ... + ). Bai 39. Tim giá trị lớn nhât cua biêu thức ̀ ̀ ́ ̉ ̉ F= + + + Với a, b, c, d ∈ [0;1] Bai 40. Cho hai đa thức có hệ số thực P(x) và Q(x), trong đó P(x) là đa thức bâc ba ̀ ̣ tuỳ y, Q(x) là tam thức bâc hai không có nghiêm thực. Chứng minh răng nêu đồ thị ́ ̣ ̣ ̀ ́ ham số y = có ba điêm uôn thì ba điêm uôn cua nó năm trên môt đường thăng. ̀ ̉ ́ ̉ ́ ̉ ̀ ̣ ̉ Bai 41. Cho 2n số a, a,..., a, b, b,..., b thoả man: ̀ ̃ 1, a ≤ a ≤ ... ≤ a 2, b ≥ 0, (i = 1, 2,..., n). ̣ Đăt m={a - a; a}, M = {b}. Chứng minh răng̀ M(ab + ab + ... + ab) ≥ (b + b + ... + b). Bai 42. Cho day số thực (x), (n = 1, 2, ...) được xac đinh như sau : ̀ ̃ ́ ̣ x = 2; x = với moi n ≥ 1. ̣ Chứng minh răng < x < 2 với moi n ≥ 1 ̀ ̣ Bai 43. Hay xac đinh tât cả cac bộ ba số thực (a, b, c) sao cho ham số ̀ ̃ ́ ̣ ́ ́ ̀ f(x) = ax + bx + cx + 1 có tinh chât |f(x)| ≤ 1 với moi x ∈ [-1; 1] ́ ́ ̣
Bai 44. Cho 0 ≤ a, b, c, d ≤ 1. Chứng minh răng ̀ ̀ + + + ≤ 1+ Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh ̀ ̀ Bai 45. Biêt răng đa thức f(x) = x + ax + ax + ... + ax + a ̀ ́ ̀ có 2000 nghiêm thực khac nhau và a = 1995, a = 1997. ̣ ́ Chứng minh răng |a| > 1996. ̀ Bai 46. Cho số nguyên dương n. Chứng minh răng : ̀ ̀ + + ... + < Bai 47. Cho ba số thực không âm x, y, z thoả man x + y + z = 3. Tim giá trị lớn nhât ̀ ̃ ̀ ́ cua biêu thức ̉ ̉ F=x+y+z Bai 48. Cho x, x,..., x là n số thực thuôc đoan [0; 1]. Chứng minh răng ̀ ̣ ̣ ̀ x(1 - x) + x(1 - x) + ... + x(1 - x) + x(1 - x) ≤ Bai 49. Day số (a), (n = 1, 2,...) được xac đinh như sau ̀ ̃ ́ ̣ a = 1, a = a + với moi n ≥ 1. ̣ Tim tât cả cac số thực α sao cho day số (u), (n = 1, 2,...) xac đinh bởi u = (n ≥ 1) ̀ ́ ́ ̃ ́ ̣ là hôi tụ và giới han cua nó khac 0. ̣ ̣ ̉ ́ Bai 50. Cho cac day (a) và (b), n ∈ N được xac đinh như sau ̀ ́ ̃ ́ ̣ a = 1 + + ... + . b = với moi n ∈ N. ̣ ̀ Tim b. Bai 51. Chứng minh răng với moi số nguyên dương n cho trước thì phương trinh ̀ ̀ ̣ ̀ x=x+1 có đung môt nghiêm thực. Goi nghiêm ây là x, hay tim giới han cua x khi n→ +∞. ́ ̣ ̣ ̣ ̣ ́ ̃ ̀ ̣ ̉ Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh ̀ ̀ Bai 52. Cho phương trinh x - x + 3x - 3x + 1 = 0. ̀ ̀ a, Chứng minh răng phương trinh trên có đung môt nghiêm thực. ̀ ̀ ́ ̣ ̣
b, Đăt x = 1 và ̣ x = với moi n ∈ N. ̣ Chứng minh răng day số (x) có giới han khi n → +∞ và khi đăt x = -lim x thì x là ̀ ̃ ̣ ̣ nghiêm thực noi trên. ̣ ́ c, Dung may tinh bỏ tui hay tinh gân đung nghiêm thực noi trên đên hai chữ số thâp ̀ ́ ́ ́ ̃ ́ ̀ ́ ̣ ́ ́ ̣ phân. Bai 53. Giả sử S = , biêt răng = . ̀ ́ ̀ Tinh ́ Bai 54. Cho day số (x), (n = 1, 2, ...) thoả man 1 < x < 2 và x = 1+ x - ̀ ̃ ̃ Với moi n ≥ 1. Chứng minh răng day số (x) hôi tụ và hay tim giới han cua nó khi ̣ ̀ ̃ ̣ ̃ ̀ ̣ ̉ n → +∞. Bai 55. Cho ham số f(x) liên tuc trên [0; 1], có đao ham trong (0; 1) và f(0) = f(1) = 0. ̀ ̀ ̣ ̣ ̀ Chứng minh răng tôn tai môt số c ∈ (0; 1) sao cho f(c) = 1996f '(x). ̀ ̀ ̣ ̣ Kêt luân cua bai toan có thay đôi không nêu cho f(0)=f(1)=m, với m là số thực khac ́ ̣ ̉ ̀ ́ ̉ ́ ́ 0 cho trước. Bai 56. Tim tât cả cac ham số f: R→ R thoả man điêu kiên |f(x)-f(q)| ≤ 5(x-q) ̀ ̀ ́ ́ ̀ ̃ ̀ ̣ với moi q ∈ Q, moi x ∈ R. ̣ ̣ Bai 57. Cho m là số thực dương. Với môi n nguyên dương, day số thực (a), (i=0, ̀ ̃ ̃ 1,...,n) được xac đinh như sau ́ ̣ a = 1, a = a với i=0, 1, ..., n-1. 1, Chứng minh răng nêu m ≤ 1 thì a > với moi n ∈ N. ̀ ́ ̣ 2, Giả sử n > 1. Chứng minh răng̀ a, a < với moi n ∈ N ̣ b, a = . Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh ̀ ̀ Bai 58. Cho day (a), (n = 1, 2, ...) thoả man ̀ ̃ ̃ a = a; a = với moi n ∈ N. ̣ Chứng minh răng nêu |a| ≥ 2 thì day (a) hôi tụ và tinh giới han cua day khi n → +∞. ̀ ́ ̃ ̣ ́ ̣ ̉ ̃ Bai 59. Cho day số (b), (n = 1, 2, ...) được xac đinh bởi: ̀ ̃ ́ ̣ b = , b = với moi n ≥ 1. ̣ Chứng minh răng day (b) là day hôi tụ và hay tim giới han cua day khi n→ +∞. ̀ ̃ ̃ ̣ ̃ ̀ ̣ ̉ ̃
Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh ̀ ̀