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Toán Cao cấp C 1

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Toán Cao cấp C 1

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Tham khảo tài liệu 'toán cao cấp c 1', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

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Nội dung Text: Toán Cao cấp C 1

  1. TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT KHOA TOAÙN - TIN HOÏC ÑOÃ NGUYEÂN SÔN - TRỊNH ĐỨC TÀI TOAÙN CAO CAÁP C1 (Baøi Giaûng Toùm Taét) -- Löu haønh noäi boä -- Ñaø Laït 2008
  2. Môc lôc I. C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n 1. TËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 TËp hîp-TËp con- TËp hîp b»ng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. ¸nh x¹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 2.1 C¸c ®Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 ¶nh vµ nghÞch ¶nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.3 §¬n ¸nh- Toµn ¸nh- Song ¸nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3. Quan hÖ trªn tËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.1 Quan hÖ hai ng«i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.2 Quan hÖ t-¬ng ®-¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.3 Quan hÖ thø tù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4. C¸c cÊu tróc ®¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.1 PhÐp to¸n hai ng«i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.2 C¸c cÊu tróc ®¹i sè c¬ b¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5. Tr-êng sè phøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5.1 §Þnh nghÜa sè phøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.2 BiÓu diÔn sè phøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6. §a thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6.1 Vµnh ®a thøc mét biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 6.2 PhÐp chia Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 6.3 NghiÖm cña ®a thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6.4 S¬ ®å Horner . . . . . . . . 20 6.5 §a thøc trªn tr-êng sè phøc . . . . . . . . 20 6.6 §a thøc trªn tr-êng sè thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6.7 §a thøc trªn tr-êng sè h÷u tØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6.8 Gi¶i ph-¬ng tr×nh ®¹i sè b»ng c¨n thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 7. Ph©n thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.1 Tr-êng c¸c ph©n thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.2 Ph©n tÝch ph©h thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 II. §¹i sè tuyÕn tÝnh
  3. 1. Ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.1 §Þnh nghÜa ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.2 C¸c ma trËn ®Æc biÖt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3 C¸c phÐp to¸n trªn ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4 BiÕn ®æi s¬ cÊp trªn ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2. §Þnh thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1 Ho¸n vÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 NghÞch thÕ-Ký sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3 §Þnh nghÜa ®Þnh thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 C¸c tÝnh chÊt cña ®Þnh thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5 C¸c ph-¬ng ph¸p tÝnh ®Þnh thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.6 ¸dông ®Þnh thøc tÝnh ma trËn nghÞch ®¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.7 H¹ng cña ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.8 HÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3. Kh«ng gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1 §Þnh nghÜa vµ vÝ dô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2 Kh«ng gian vector con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3 Kh«ng gian con sinh bëi mét tËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4 C¬ së- Sè chiÒu- Täa ®é . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4. Tæng, tÝch, th-¬ng c¸c kh«ng gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1 Tæng c¸c kh«ng gian con- Tæng trùc tiÕp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.2 TÝch c¸c kh«ng gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3 Kh«ng gian th-¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5. ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.1 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.2 ¶nh vµ nh©n cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.3 §¼ng cÊu tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.4 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh vµ ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6. PhÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh vµ chÐo hãa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.1 §æi c¬ së - C«ng thøc ®æi täa ®é . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.2 Ma trËn ®ång d¹ng - ChÐo hãa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.3 Gi¸ trÞ riªng - Vector riªng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.4 Tiªu chuÈn chÐo hãa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
  4. 6.5 ThuËt tãan chÐo hãa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6.6 ThuËt tãan chÐo hãa ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7. D¹ng song tuyÕn tÝnh - D¹ng toµn ph-¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.1 D¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.2 Ma trËn biÓu diÔn d¹ng song tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.3 D¹ng toµn ph-¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 7.4 D¹ng chÝnh t¾c cña d¹ng toµn ph-¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.5 D¹ng x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 III. PhÐp tÝnh vi ph©n hµm mét biÕn thùc 1. Sè thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 1.1 Sè h÷u tØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 1.2 Sè thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1.3 C¸c phÐp tãan sè häc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 1.4 CËn trªn cËn d-íi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2. D·y sè thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.1 Kh¸i niÖm d·y sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.2 D·y bÞ chÆn, d·y ®¬n ®iÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.3 Giíi h¹n d·y sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.4 C¸c tÝnh chÊt vµ phÐp to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.5 C¸c ®iÒu kiÖn héi tô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.6 Sè e vµ logarithm tù nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3. Hµm mét biÕn thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.1 Kh¸i niÖm hµm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.2 C¸c phÐp to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.3 C¸c lo¹i hµm sè víi tÝnh chÊt ®Æc biÖt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.4 Hµm hîp, hµm ng-îc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.5 C¸c hµm s¬ cÊp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4. Giíi h¹n hµm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.1 Kh¸i niÖm giíi h¹n hµm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2 C¸c tÝnh chÊt vµ qui t¾c tÝnh giíi h¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.3 Giíi h¹n mét phÝa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.4 Giíi h¹n v« cïng, giíi h¹n ë v« cïng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.5 V« cïng bÐ, v« cïng lín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
  5. 5. Hµm liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.1 Kh¸i niÖm hµm liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.2 Liªn tôc mét phÝa - §iÓm gi¸n ®o¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.3 C¸c tÝnh chÊt cña hµm liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6. §¹o hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.1 Kh¸i niÖm ®¹o hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.2 ý nghÜa h×nh häc vµ c¬ häc cña ®¹o hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.3 C¸c tÝnh chÊt vµ qui t¾c tÝnh ®¹o hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7. Vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.1 §Þnh nghÜa vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.2 øng dông cña vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.3 C¸c qui t¾c tÝnh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.4 §¹o hµm vµ vi ph©n cÊp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 8. C¸c ®Þnh lý c¬ b¶n cña phÐp tÝnh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 8.1 C¸c ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 8.2 Khai triÓn Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 9. øng dông ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t hµm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 9.1 TÝnh ®¬n ®iÖu - Cùc trÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 9.2 TÝnh låi, lâm, ®iÓm uèn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 IV. PhÐp tÝnh tÝch ph©n hµm mét biÕn 1. Nguyªn hµm - TÝch ph©n bÊt ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 1.1 Nguyªn hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 1.2 B¶ng tÝnh tÝch ph©n c¸c hµm s¬ cÊp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 1.3 C¸c tÝnh chÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 1.4 C¸c ph-¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2. TÝch ph©n mét sè líp hµm th«ng dông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 2.1 TÝch ph©n c¸c hµm h÷u tØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 2.2 TÝch ph©n c¸c hµm v« tØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2.3 TÝch ph©n c¸c hµm l-îng gi¸c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3. TÝch ph©n x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
  6. 3.1 Bµi to¸n diÖn tÝch h×nh thang cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.2 §Þnh nghÜa tÝch ph©n x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.3 C¸c líp hµm kh¶ tÝch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.4 C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 3.5 C«ng thøc Newton-Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.6 C¸c ph-¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3.6 C¸c ph-¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3.7 øng dông h×nh häc cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4. TÝch ph©n suy réng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.1 TÝch ph©n suy réng lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.2 TÝch ph©n suy réng lo¹i 1 cña hµm kh«ng ©m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.3 Sù héi tô tuyÖt ®èi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.4 TÝch ph©n suy réng lo¹i 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 V. PhÐp tÝnh vi ph©n hµm nhiÒu biÕn 1. Kh«ng gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 1.1 Kh«ng gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141 1.2 TÝch v« h-íng, chuÈn, kho¶ng c¸ch trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 1.3 D·y trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 1.4 C¸c tËp hîp trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 2. Hµm nhiÒu biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 2.1 Hµm nhiÒu biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 2.2 Giíi h¹n hµm nhiÒu biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 2.3 TÝnh liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 3. §¹o hµm vµ vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 3.1 §¹o hµm riªng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 3.2 Sù kh¶ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 3.3 C¸c c«ng thøc c¬ b¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 3.4 ý nghÜa cña sù kh¶ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3.5 §Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh, §Þnh lý phÇn gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4. §¹o hµm vµ vi ph©n cÊp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.1 §¹o hµm riªng cÊp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.2 C«ng thøc Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
  7. 5. Hµm ng-îc, hµm Èn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.1 §Þnh lý hµm ng-îc ®Þa ph-¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.2 §Þnh lý hµm Èn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6. Cùc trÞ hµm nhiÒu biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174 6.1 Cùc trÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 6.2 Cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 VI. TÝch ph©n béi 1. TÝch ph©n trªn h×nh hép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 1.1 Tång Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 1.2 Tæng Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 1.3 ThÓ tÝch kh«ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 2. TÝch ph©n trªn tËp giíi néi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 2.1 TËp ®o ®-îc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 2.2 TÝch ph©n trªn tËp giíi néi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 3. C¸c c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3.1 C«ng thøc Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3.2 C«ng thøc ®æi biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 VII. TÝch ph©n ®-êng - TÝch ph©n mÆt 1. TÝch ph©n ®-êng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 1.1 §-êng cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195 1.2 TÝch ph©n ®-êng lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 1.3 ý nghÜa cña tÝch ph©n ®-êng lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 1.4 C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n ®-êng lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 1.5 TÝch ph©n ®-êng lo¹i 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 1.6 C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n ®-êng lo¹i 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 1.7 ý nghÜa cña tÝch ph©n ®-êng lo¹i 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 2. TÝch ph©n mÆt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 2.1 MÆt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 2.2 TÝch ph©n mÆt lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 2.3 ý nghÜa cña tÝch ph©n mÆt lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 2.4 TÝch ph©n mÆt lo¹i 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
  8. 3. Mét sè c«ng thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 3.1 C¸c kh¸i niÖm trong lý thuyÕt tr-êng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 3.2 C«ng thøc Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 3.3 C«ng thøc Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 3.4 C«ng thøc Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
  9. 1 I. Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n 1 TËp hîp 1.1 TËp hîp - TËp con - TËp b»ng nhau TËp hîp lµ mét kh¸i niÖm nguyªn thñy. TËp hîp ®-îc m« t¶ nh- mét toµn thÓ nµo ®ã bao gåm c¸c ®èi t-îng cã cïng mét dÊu hiÖu hay mét tÝnh chÊt nhÊt ®Þnh. C¸c ®èi t-îng lËp nªn tËp hîp gäi lµ phÇn tö. Cã hai c¸ch ®Ó x¸c ®Þnh mét tËp hîp. Mét lµ liÖt kª tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña nã A = {a1, a2, . . . , an }, hai lµ m« t¶ ®Æc tÝnh cña c¸c phÇn tö thuéc tËp hîp A = {a | a cã tÝnh chÊt E}. NÕu a lµ mét phÇn tö cña cña tËp hîp A, th× ta viÕt a ∈ A. NÕu a kh«ng lµ mét phÇn tö cña cña tËp hîp A, th× ta viÕt a ∈ A. TËp hîp kh«ng chøa phÇn tö nµo / gäi lµ tËp rçng, ký hiÖu lµ ∅. NÕu mäi phÇn tö cña tËp hîp A ®Òu lµ c¸c phÇn tö cña tËp hîp X , th× ta nãi A lµ tËp con cña X , ký hiÖu A ⊂ X . Râ rµng ta cã ∅ ⊂ X víi mäi tËp hîp X . C¸c tËp con cña X lËp thµnh mét tËp hîp , ký hiÖu 2X , vµ gäi lµ tËp hîp c¸c tËp con cña X . Hai tËp hîp A vµ B gäi lµ b»ng nhau, ký hiÖu A = B , nÕu A ⊆ B vµ B ⊆ A. NÕu A ⊆ B vµ A = B , th× ta nãi A lµ tËp con thùc sù cu¶ B , khi ®ã ta viÕt A B. 1.2 C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp §Þnh nghÜa 1. Hîp cña hai tËp hîp A vµ B , ký hiÖu A ∪ B , lµ tËp hîp gåm c¸c phÇn tö hoÆc thuéc A hoÆc thuéc B . Giao cña hai tËp hîp A vµ B , ký hiÖu A ∩ B , lµ tËp hîp gåm c¸c phÇn tö võa thuéc A võa thuéc B . NÕu A ∩ B = ∅, th× ta nãi A vµ B rêi nhau.
  10. 2 HiÖu cña hai tËp hîp A vµ B , ký hiÖu A \ B , lµ tËp hîp gåm c¸c phÇn tö thuéc A nh-ng kh«ng thuéc B . NÕu A lµ tËp con cña X th× hiÖu X \ A gäi lµ phÇn bï cña A trong X . TÝch trùc tiÕp hay tÝch Descartes cña hai tËp hîp A vµ B , ký hiÖu A × B , lµ tËp hîp gåm tÊt c¶ c¸c cÆp (x, y ) víi x ∈ A vµ y ∈ B . MÖnh ®Ò 1. Cho A, B, C, X lµ c¸c tËp hîp bÊt kú. Khi ®ã 1) ∅ ⊂ A, A ⊂ A. 2) NÕu A ⊂ B vµ B ⊂ C , th× A ⊂ C . 3) (A ∩ B ) = (B ∩ A), (A ∪ B ) = (B ∪ A). 4) (A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ), (A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ). 5) A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ), A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C ). 6) Qui t¾c De Morgan X \ (A ∪ B ) = (X \ A) ∩ (X \ B ), X \ (A ∩ B ) = (X \ A) ∪ (X \ B ). Chøng minh. C¸c c«ng thøc ®-îc dÔ dµng suy ra tõ ®Þnh nghÜa c¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp. Ta chøng minh, ch¼ng h¹n, c«ng thøc De Morgan. ThËt vËy ta cã x ∈ X \ (A ∪ B ) ⇐⇒ x ∈ X vµ x ∈ (A ∪ B ) / ⇐⇒ x ∈ X vµ (x ∈ A vµ x ∈ B ) / / ⇐⇒ (x ∈ X vµ x ∈ A) vµ (x ∈ X vµ x ∈ B ) / / ⇐⇒ x ∈ (X \ A) vµ x ∈ (X \ B ) ⇐⇒ x ∈ (X \ A) ∪ (X \ B ). 2 2 ¸nh x¹ 2.1 C¸c ®Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 2. Cho hai tËp hîp X vµ Y . Mét ¸nh x¹ f tõ X ®Õn Y lµ mét qui t¾c cho t-¬ng øng mçi phÇn tö x ∈ X víi duy nhÊt mét phÇn tö y ∈ Y . PhÇn tö y gäi lµ ¶nh cña x, ký hiÖu lµ f (x), vµ x ®-îc gäi lµ t¹o ¶nh cña y . TËp hîp X ®-îc gäi lµ tËp nguån hay miÒn x¸c ®Þnh, cßn tËp Y gäi lµ tËp ®Ých hay miÒn gi¸ trÞ cña ¸nh x¹ f . Mét ¸nh x¹ th-êng ®-îc viÕt nh- sau f : X −→ Y x −→ y = f (x).
  11. 3 Hai ¸nh x¹ f vµ g gäi lµ b»ng nhau, ký hiÖu f = g , nÕu chóng cã cïng tËp nguån X vµ f (x) = g (x) víi mäi x ∈ X . √ VÝ dô. a) T-¬ng øng f : R −→ R, x −→ 3 x, lµ mét ¸nh x¹. b) T-¬ng øng IdX : X −→ X , x −→ x, lµ mét ¸nh x¹ gäi lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt trªn X . c) Cho ¸nh x¹ f : X −→ Y vµ U ⊂ X . Khi ®ã t-¬ng øng f |U :−→ Y x¸c ®Þnh bëi f |U (x) = f (x) víi mäi x ∈ U lµ mét ¸nh x¹, gäi lµ h¹n chÕ cña ¸nh x¹ f lªn bé phËn U . ¶nh vµ NghÞch ¶nh 2.2 §Þnh nghÜa 3. Cho ¸nh x¹ f : X −→ Y vµ U ⊂ X , V ⊂ Y lµ c¸c tËp con. Khi ®ã tËp hîp f (U ) = {f (x) | x ∈ U } gäi lµ ¶nh cña tËp U qua ¸nh x¹ f , vµ tËp hîp f −1 (V ) = {x ∈ X | f (x) ∈ V } gäi lµ nghÞch ¶nh cña tËp V qua ¸nh x¹ f . NÕu V = {y }, th× ta viÕt f −1 (y ) thay cho f −1 ({y }). MÖnh ®Ò 2. Cho ¸nh x¹ f : X −→ Y vµ A, B ⊂ X , U, V ⊂ Y . Khi ®ã 1) NÕu A ⊂ B , th× f (A) ⊂ f (B ). 2) NÕu U ⊂ V , th× f −1 (U ) ⊂ f −1 (V ). 3) f (A ∪ B ) = f (A) ∪ f (B ), f (A ∩ B ) ⊂ f (A) ∩ f (B ). 4) f −1 (U ∪ V ) = f −1 (U ) ∪ f −1 (V ), f −1 (U ∩ V ) = f −1 (U ) ∩ f −1 (V ). Chøng minh. C¸c c«ng thøc ®-îc dÔ dµng suy ra tõ ®Þnh nghÜa. Ta chøng minh, ch¼ng h¹n, c¸c c«ng thøc thø hai trong 3) vµ 4). ThËt vËy, ta cã ∀y ∈ f (A ∩ B ) =⇒ ∃x ∈ (A ∩ B ) : f (x) = y =⇒ (∃x ∈ A vµ ∃x ∈ B ) : f (x) = y =⇒ (∃x ∈ A : f (x) = y ) vµ (∃x ∈ B : f (x) = y ) =⇒ y ∈ f (A) vµ y ∈ f (B ) =⇒ y ∈ f (A) ∩ f (B ). Tõ ®ã suy ra f (A ∩ B ) ⊂ f (A) ∩ f (B ). T-¬ng tù, ta cã ∀x ∈ f −1 (U ∩ V ) ⇐⇒ f (x) ∈ U ∩ V ⇐⇒ f (x) ∈ U vµ f (x) ∈ V ⇐⇒ x ∈ f −1 (U ) vµ x ∈ f −1 (V ) ⇐⇒ x ∈ f −1 (U ) ∩ f −1 (V ).
  12. 4 VËy f −1 (A ∩ B ) = f −1 (A) ∩ f −1 (B ). 2 NhËn xÐt. §¼ng thøc f (A ∩ B ) = f (A) ∩ f (B ) nãi chung kh«ng ®óng. Ch¼ng h¹n, víi ¸nh x¹ f : R → [−1, 1] , f (x) = sinx, vµ A = [0, π/2], B = [π/4, π ]. 2.3 §¬n ¸nh - Toµn ¸nh - Song ¸nh §Þnh nghÜa 4. Cho ¸nh x¹ f : X −→ Y . ¸nh x¹ f gäi lµ ®¬n ¸nh nÕu víi mäi x1 , x2 ∈ X sao cho f (x1) = f (x2 ), th× suy ra x1 = x2 . Nh- vËy, víi mçi phÇn tö y ∈ Y tån t¹i kh«ng qu¸ mét phÇn tö x ∈ X sao cho y = f (x). ¸nh x¹ f gäi lµ toµn ¸nh nÕu f (X ) = Y , tøc lµ, víi mçi phÇn tö y ∈ Y tån t¹i Ýt nhÊt mét phÇn tö x ∈ X sao cho y = f (x). ¸nh x¹ f gäi lµ song ¸nh nÕu f võa ®¬n ¸nh võa toµn ¸nh. Tøc lµ, víi mçi phÇn tö y ∈ Y tån t¹i ®óng mét phÇn tö x ∈ X sao cho y = f (x). VÝ dô. a) ¸nh x¹ f : R −→ R, x −→ x3, lµ mét song ¸nh. ThËt vËy, víi mçi √ y ∈ R, ph-¬ng tr×nh y = x3 cã duy nhÊt nghiÖm x = 3 y . b) ¸nh x¹ f : R −→ R, x −→ x2, kh«ng ph¶i lµ ®¬n ¸nh, v× víi 1 ∈ R cã hai sè thùc 1, −1, lµ t¹o ¶nh cña 1. 2.4 C¸c phÐp to¸n trªn ¸nh x¹ 2.4.1 Hîp hai ¸nh x¹ §Þnh nghÜa 5. Cho hai ¸nh x¹ f : X → Y vµ g : Y → Z . Hîp cña f vµ g , ký hiÖu g ◦ f , lµ ¸nh x¹ tõ X vµo Z x¸c ®Þnh bëi g ◦ f (x) = g (f (x)). VÝ dô. Víi f : R → R, f (x) = x2 vµ g : R → R, g (x) = x + 2, ta cã (g ◦ f )(x) = g (f (x)) = g (x2) = x2 + 2, (f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f (x + 2) = (x + 2)2 . NhËn xÐt. Nãi chung g ◦ f = f ◦ g . MÖnh ®Ò 3. Cho c¸c ¸nh x¹ f : X → Y , f : Y → Z , h : Z → T . Khi ®ã 1) f ◦ IdX = IdY ◦ f = f , 2) h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f. Chøng minh. 1) lµ hiÓn nhiªn. 2) suy ra tõ h ◦ (g ◦ f )(x) = h((g ◦ f )(x)) = h(g (f (x))) = (h ◦ g )(f (x)) = (h ◦ g ) ◦ f (x). 2
  13. 5 ¸nh x¹ ng-îc 2.4.2 §Þnh nghÜa 6. ¸nh x¹ f : X −→ Y gäi lµ kh¶ nghÞch nÕu tån t¹i mét ¸nh x¹ g : Y −→ X sao cho g ◦ f = IdX vµ f ◦ g = IdY . ¸nh x¹ g khi ®ã gäi lµ ¸nh x¹ ng-îc cu¶ ¸nh x¹ f vµ ký hiÖu g = f −1 . NhËn xÐt. ¸nh x¹ ng-îc cña f : X −→ Y nÕu tån t¹i lµ duy nhÊt. ThËt vËy, gi¶ sö f cã hai ¸nh x¹ ng-îc lµ g, g : Y −→ X . Khi ®ã ta cã g ◦ f = IdX vµ f ◦ g = IdY . Tõ ®ã suy ra g = g ◦ IdY = g ◦ (f ◦ g ) = (g ◦ f ) ◦ g = IdX ◦ g = g . MÖnh ®Ò 4. ¸nh x¹ f : X −→ Y kh¶ nghÞch khi vµ chØ khi f lµ song ¸nh. Khi ®ã f −1 : Y −→ X ®-îc x¸c ®Þnh bëi x = f −1 ( y ) ⇔ y = f ( x ) . Chøng minh. Gi¶ sö f cã ¸nh x¹ ng-îc lµ f −1 : Y −→ X . f lµ ®¬n ¸nh v× víi mäi x, x ∈ X : f (x) = f (x ) =⇒ f −1 (f (x)) = f −1 (f (x )) =⇒ (f −1 ◦ f )(x) = (f −1 ◦ f )(x ) =⇒ IdX (x) = IdX (x ) =⇒ x = x . B©y giê, gi¶ sö y lµ mét phÇn tö bÊt kú cu¶ Y . Khi ®ã tån t¹i x = f −1 (y ) sao cho f (x) = f (f −1 (y )) = y . VËy f lµ toµn ¸nh. Suy ra f lµ song ¸nh. Ng-îc l¹i, nÕu f : X −→ Y lµ mét song ¸nh th× víi mçi y ∈ Y cã duy nhÊt x ∈ X sao cho y = f (x). §iÒu nµy cho phÐp ta x¸c ®Þnh mét ¸nh x¹ g : Y → X bëi x = g (y ) ⇔ y = f (x). Ta dÔ dµng kiÓm tra r»ng (g ◦ f ) = IdX vµ (f ◦ g ) = IdY . VËy g lµ ¸nh x¹ ng-îc cu¶ f . 2 VÝ dô. a) ¸nh x¹ f : [−π/2, π/2] −→ [−1, 1], f (x) = sin x, lµ song ¸nh. ¸nh x¹ ng-îc cña f ®-îc ký hiÖu lµ f −1 (x) = arcsinx, tøc lµ ta cã y = arcsinx ⇐⇒ x = sin y. b) Ký hiÖu R>0 lµ tËp c¸c sè thùc d-¬ng. Khi ®ã ¸nh x¹ f : R −→ R>0 , f (x) = ex, cã ¸nh x¹ ng-îc lµ f −1 (x) = ln x. V× ta cã y = ln x ⇐⇒ x = ey .
  14. 6 MÖnh ®Ò 5. Cho f : X → Y , g : Y → Z , lµ c¸c song ¸nh. Khi ®ã f −1 vµ g ◦ f còng lµ song ¸nh vµ ta cã 1) (f −1 )−1 = f . 2) (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 . Chøng minh. f −1 vµ g ◦ f lµ song ¸nh lµ dÔ dµng kiÓm tra. §¼ng thøc 1) lµ hiÓn nhiªn. §¼ng thøc 2) suy ra tõ (g ◦ f ) ◦ (f −1 ◦ g −1 ) = g ◦ (f ◦ f −1 ) ◦ g −1 = g ◦ g −1 = IdZ , (f −1 ◦ g −1 ) ◦ (g ◦ f ) = f −1 ◦ (g −1 ◦ g ) ◦ f = f −1 ◦ f = IdX . 2 3 Quan hÖ trªn mét tËp hîp 3.1 Quan hÖ hai ng«i §Þnh nghÜa 7. Quan hÖ (hai ng«i) trªn tËp X ®-îc ®Þnh nghÜa lµ mét tËp con R cña tÝch trùc tiÕp X × X . NÕu cÆp phÇn tö (x, y ) ∈ R th× ta nãi x cã quan hÖ R víi y vµ ký hiÖu lµ xRy . VÝ dô. a) Trªn tËp X bÊt kú ta cã quan hÖ b»ng nhau R = {(x, y ) ∈ X × X | x = y } = {(x, x) ∈ X × X | x ∈ X } b) Cho X lµ tËp bÊt kú. Trªn 2X ta cã quan hÖ bao hµm R = {(A, B ) ∈ 2X × 2X | A ⊂ B } 3.2 Quan hÖ t-¬ng ®-¬ng §Þnh nghÜa 8. Cho X lµ mét tËp hîp. Mét quan hÖ R trªn X gäi lµ quan hÖ t-¬ng ®-¬ng nÕu vµ chØ nÕu nã tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau ®©y 1) Ph¶n x¹: xRx, víi mäi x ∈ X . 2) §èi xøng: NÕu xRy th× y Rx. 3) B¾c cÇu: NÕu xRy vµ y Rz th× xRz . Víi mçi x ∈ X tËp con [x]R := {y ∈ X | y Rx} gäi lµ líp t-¬ng ®-¬ng cña x (theo quan hÖ t-¬ng ®-¬ng R). TËp tÊt c¶ c¸c líp t-¬ng ®-¬ng gäi lµ tËp th-¬ng cña X ®èi víi quan hÖ t-¬ng ®-¬ng R, ký hiÖu lµ X/R := {[x]R | x ∈ X }.
  15. 7 ¸nh x¹ X −→ X/R cho bëi x −→ [x]R lµ mét toµn ¸nh ®-îc gäi lµ toµn cÊu chÝnh t¾c. Ng-êi ta th-êng sö dông dÊu ∼ ®Ó ký hiÖu mét quan hÖ t-¬ng ®-¬ng trªn X vµ x ∼ y ®äc lµ x t-¬ng ®-¬ng víi y . VÝ dô. a) XÐt ¸nh x¹ f : X −→ Y . Khi ®ã quan hÖ R(f ) = {(x, y ) ∈ X × Y | f (x) = f (y )} lµ mét quan hÖ t-¬ng ®-¬ng trªn X . §Æc biÖt víi Y = X vµ f = IdX , R(IdX ) lµ quan hÖ b»ng nhau trªn tËp X . b) XÐt V lµ tËp hîp c¸c vector h×nh häc. Trªn V cho mét quan hÖ x¸c ®Þnh bëi xRy :⇐⇒ x = y. Khi ®ã R lµ mét quan hÖ t-¬ng ®-¬ng vµ tËp th-¬ng X/R chÝnh lµ tËp c¸c vector tù do. c) Cho n lµ mét sè tù nhiªn. Trªn tËp c¸c sè nguyªn Z x¸c ®Þnh quan hÖ ®ång d- modulo n nh- sau x≡y mod n ⇐⇒ x − y chia hÕt cho n. DÔ kiÓm tra r»ng ®©y lµ mét quan hÖ t-¬ng ®-¬ng. Líp t-¬ng ®-¬ng cña m lµ tËp con [m] = {m + nk | k ∈ Z}. TËp th-ong cña Z ®èi víi quan hÖ ®ång d- modulo n, th-êng ®-îc ký hiÖu lµ Zn hay Z/n, gåm n phÇn tö Z/n = {[0], [1], . . . , [n − 1]}. 3.3 Quan hÖ thø tù §Þnh nghÜa 9. Cho X lµ mét tËp hîp. Mét quan hÖ R trªn X gäi lµ quan hÖ thø tù nÕu vµ chØ nÕu nã tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt sau ®©y 1) Ph¶n x¹: xRx, víi mäi x ∈ X . 2) Ph¶n ®èi xø ng: NÕu xRy vµ y Rx th× x = y . 3) B¾c cÇu: NÕu xRy vµ y Rz th× xRz .
  16. 8 Mét tËp hîp X mµ trªn ®ã cã trang bÞ mét quan hÖ thø tù R gäi lµ tËp s¾p thø tù hay tËp ®-îc s¾p. TËp ®-îc s¾p th-êng ®-îc viÕt lµ (X, R). Ng-êi ta th-êng sö dông dÊu ≤ ®Ó ký hiÖu mét quan hÖ thø tù trªn X . Khi ®ã x ≤ y ®-îc ®äc lµ x bÐ h¬n hoÆc b»ng y . NÕu x ≤ y vµ x = y th× ta viÕt x < y vµ ®äc lµ x bÐ h¬n y . VÝ dô. a) Quan hÖ bÐ h¬n hoÆc b»ng ≤ th«ng th-êng trªn tËp sè thùc lµ mét quan hÖ thø tù. b) Cho X lµ mét tËp hîp. Quan hÖ bao hµm ⊂ trªn tËp hîp 2X lµ mét quan hÖ thø tù. c) Quan hÖ chia hÕt x | y lµ mét quan hÖ thø tù trªn tËp sè tù nhiªn N. Trong vÝ dô a) hai phÇn tö x, y bÊt kú ta lu«n lu«n so s¸nh ®-îc, tøc lµ lu«n lu«n cã x ≤ y hoÆc y ≤ x. Mét quan hÖ thø tù trªn tËp X = ∅ mµ mäi cÆp phÇn tö cña X ®Òu so s¸nh ®-îc gäi lµ quan hÖ thø tù toµn phÇn. Trong vÝ dô c) kh«ng ph¶i hai phÇn tö nµo còng so s¸nh ®-îc, ch¼ng h¹n 2 vµ 3, nÕu X cã nhiÒu h¬n mét phÇn tö th× ®iÒu nµy còng x¶y ra trong vÝ dô b). Mét quan hÖ thø tù kh«ng toµn phÇn gäi lµ quan hÖ thø tù bé phËn. 4 C¸c cÊu tróc ®¹i sè 4.1 PhÐp to¸n hai ng«i 4.1.1 §Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 10. Cho X vµ Y lµ hai tËp kh¸c rçng. Mét ¸nh x¹ f : X × X → X ®-îc gäi lµ mét phÐp to¸n (hai ng«i) trªn X . PhÇn tö f (x, y ) gäi lµ c¸i hîp thµnh cña x vµ y . NÕu f : X × X → X lµ mét phÐp to¸n trªn X th× ta th-êng ký hiÖu c¸i hîp thµnh f (x, y ) bëi xfy . Ng-êi ta hay sö dông c¸c ký tù ®Æc biÖt nh- : ∗ , +, ·, , ⊥, . . ., ®Ó chØ phÐp to¸n. NÕu dïng c¸c ký tù + vµ ·, th× ta gäi c¸c phÐp to¸n t-¬ng øng lµ phÐp céng vµ phÐp nh©n. C¸i hîp thµnh x + y , x · y (th-êng ®-îc viÕt kh«ng cã dÊu chÊm xy ) lóc nµy sÏ ®-îc gäi lµ tæng vµ tÝch cña x vµ y . VÝ dô. a) Trªn tËp sè nguyªn Z c¸c ¸nh x¹ (x, y ) → x + y , (x, y ) → xy (phÐp céng vµ phÐp nh©n c¸c sè nguyªn th«ng th-êng) lµ c¸c phÐp to¸n. ¸nh x¹ (x, y ) → 2x + 6xy + 5y còng lµ phÐp to¸n trªn Z. Tuy nhiªn ¸nh x¹ (x, y ) → xy
  17. 9 kh«ng ph¶i lµ mét phÐp to¸n trªn Z v× nãi chung xy kh«ng thuéc Z. b) C¸c t-¬ng øng (A, B ) → A ∪ B , (A, B ) → A ∩ B lµ phÐp to¸n trªn tËp c¸c tËp con 2X . c) T-¬ng øng (f, g ) → g ◦ f lµ phÐp to¸n trªn Map(X ) = {¸nh x¹ f : X → X }. 4.1.2 C¸c tÝnh chÊt cña phÐp to¸n hai ng«i TÝnh giao ho¸n. PhÐp to¸n ∗ : X × X → X gäi lµ giao ho¸n nÕu a∗b = b∗a a, b ∈ X. víi mäi TÝnh kÕt hîp. PhÐp to¸n ∗ : X × X → X gäi lµ kÕt hîp nÕu (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) a, b, c ∈ X. víi mäi TÝnh ph©n phèi. Gi¶ sö ∗, : X × X → X lµ hai phÐp to¸n trªn X . PhÐp to¸n ∗ gäi lµ ph©n phèi bªn tr¸i ®èi víi phÐp to¸n nÕu víi mäi a, b, c ∈ X ®Òu cã a ∗ (b c) = (a ∗ b) (a ∗ c). T-¬ng tù, phÐp to¸n ∗ gäi lµ ph©n phèi bªn ph¶i ®èi víi phÐp to¸n nÕu víi mäi a, b, c ∈ X ®Òu cã (b c) ∗ a = (b ∗ a) (c ∗ a). NÕu ∗ võa ph©n phèi tr¸i võa ph©n phèi ph¶i ®èi víi th× ta nãi phÐp to¸n ∗ cã tÝnh chÊt ph©n phèi ®èi víi . VÝ dô. Trªn tËp sè tù nhiªn N, phÐp céng vµ phÐp nh©n th«ng th-êng cã tÝnh giao ho¸n, kÕt hîp, phÐp nh©n ph©n phèi ®èi víi phÐp céng. PhÐp to¸n (m, n) → mn kh«ng giao ho¸n còng kh«ng kÕt hîp. 4.1.3 C¸c phÇn tö ®Æc biÖt ®èi víi phÐp to¸n hai ng«i PhÇn tö ®¬n vÞ. Cho ∗ : X × X → X lµ mét phÐp to¸n trªn X . PhÇn tö e cña X gäi lµ phÇn tö ®¬n vÞ ®èi víi phÐp to¸n ∗ nÕu víi mäi x ∈ X ®Òu cã e ∗ x = x ∗ e = x. PhÇn tö kh¶ nghÞch. Cho ∗ : X × X → X lµ mét phÐp to¸n trªn X vµ e lµ phÇn tö ®¬n vÞ cña X ®èi víi phÐp to¸n ∗. Ta nãi phÇn tö a ∈ X lµ kh¶ nghÞch nÕu tån t¹i mét phÇn tö a ∈ X sao cho a ∗ a = a ∗ a = e.
  18. 10 Khi ®ã phÇn tö a gäi lµ phÇn tö nghÞch ®¶o cña a. Ng-êi ta hay gäi phÇn tö ®¬n vÞ ®èi víi phÐp to¸n céng lµ phÇn tö kh«ng, kÝ hiÖu 0, vµ gäi phÇn tö nghÞch ®¶o cña x lµ phÇn tö ®èi cña x, kÝ hiÖu −x. NÕu phÐp to¸n ®-îc viÕt theo lèi nh©n, th× phÇn tö ®¬n vÞ th-êng ®-îc kÝ hiÖu lµ 1, vµ phÇn tö nghÞch ®¶o cña x sÏ ®-îc kÝ hiÖu lµ x−1 . VÝ dô. a) Trªn tËp 2X , phÇn tö ®¬n vÞ ®èi phÐp to¸n hîp ∪ lµ e = ∅, mäi tËp A = ∅ ®Òu kh«ng kh¶ nghÞch. PhÇn tö ®¬n vÞ ®èi víi phÐp ∩ lµ e = X , mäi tËp A = X ®Òu kh«ng kh¶ nghÞch. b) PhÇn tö ®¬n vÞ ®èi víi phÐp to¸n hîp trªn tËp Map(X ) = {¸nh x¹ f : X → X } lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt IdX . Mäi song ¸nh f trong Map(X ) ®Òu kh¶ nghÞch, vµ nghÞch ®¶o cña nã lµ ¸nh x¹ ng-îc f −1 . 4.2 C¸c cÊu tróc ®¹i sè c¬ b¶n 4.2.1 Nhãm §Þnh nghÜa 11. Mét nhãm lµ mét cÆp (G, ∗), trong ®ã G lµ mét tËp hîp kh«ng rçng, cßn ∗ lµ phÐp to¸n hai ng«i trªn G cã tÝnh kÕt hîp, cã phÇn tö ®¬n vÞ vµ mäi phÇn tö cña G ®Òu kh¶ nghÞch. Mét nhãm ®-îc gäi lµ nhãm giao ho¸n hay nhãm Abel nÕu phÐp to¸n trªn nã cã tÝnh giao ho¸n. VÝ dô. 1) (Z, +), (Q, +), (R, +)víi phÐp céng c¸c sè th«ng th-êng lµ c¸c nhãm giao ho¸n, gäi lµ nhãm céng c¸c sè nguyªn, sè h÷u tØ, sè thùc . 2) (Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·) víi phÐp nh©n th«ng th-êng lµ c¸c nhãm giao ho¸n, gäi lµ nhãm nh©n c¸c sè h÷u tØ vµ sè thùc kh¸c kh«ng. 3) Cho tËp hîp X = ∅ ®Æt S (X ) = {f : X → X | f song ¸nh}. Khi ®ã (S (X ), ◦), víi phÐp hîp c¸c ¸nh x¹ lµ mét nhãm, gäi lµ nhãm c¸c ho¸n vÞ cña X hay nhãm ®èi xøng cña X. Trong tr-êng hîp ®Æc biÖt X = {1, 2, . . . , n} ta viÕt Sn = S ({1, 2, . . . , n}). Mçi phÇn tö cña Sn gäi lµ mét ho¸n vÞ cña {1, 2, . . . , n}. 4.2.2 Vµnh §Þnh nghÜa 12. Mét vµnh lµ mét bé ba (R, +, ·), trong ®ã R lµ mét tËp hîp kh«ng rçng, cßn + vµ · lµ c¸c phÐp to¸n trªn R sao cho: (R, +) lµ mét nhãm giao ho¸n, phÐp · cã tÝnh kÕt hîp vµ ph©n phèi ®èi víi phÐp céng. Mét vµnh ®-îc gäi lµ vµnh giao ho¸n nÕu phÐp to¸n · cã tÝnh giao ho¸n. Mét vµnh ®-îc gäi lµ vµnh cã ®¬n vÞ nÕu phÐp to¸n · cã ®¬n vÞ.
  19. 11 VÝ dô. 1) (Z, +, ·) víi phÐp céng vµ phÐp nh©n c¸c sè nguyªn th«ng th-êng lµ mét vµnh giao ho¸n gäi lµ vµnh sè nguyªn. 2) Víi sè nguyªn d-¬ng p cho tr-íc ®Æt [m]p := {n ∈ Z | n = m + pt, t ∈ Z} Zp := {[m]p, m ∈ Z}. DÔ dµng chøng minh ®-îc r»ng Zp lµ tËp h÷u h¹n gåm p phÇn tö Zp := {[0]p, [1]p, . . . , [p − 1]p}. Trªn Zp x¸c ®Þnh hai phÐp to¸n céng vµ nh©n nh- sau [m]p + [n]p = [m + n]p, [m]p[n]p = [mn]p. Khi ®ã (Zp , +, ·) lµ mét vµnh giao ho¸n gäi lµ vµnh sè nguyªn ®ång d- modulo p. Ch¼ng h¹n víi m = 4 ta cã b¶ng céng vµ nh©n trong Z4 nh- sau, trong ®ã [m]4 ®-îc viÕt lµ m ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 1 2 3 0 1 2 3 + . ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 2 3 0 1 0 1 2 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 2 3 0 1 2 0 2 0 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 3 0 1 2 3 0 3 2 1 4.2.3 Tr-êng §Þnh nghÜa 13. Mét tr-êng lµ mét vµnh giao ho¸n (K, +, ·) cã ®¬n vÞ 1 = 0 vµ mäi phÇn tö kh¸c 0 ®Òu kh¶ nghÞch. VÝ dô. 1) (Q, +, ·) víi phÐp céng vµ phÐp nh©n c¸c sè h÷u tØ th«ng th-êng lµ mét tr-êng, gäi lµ tr-êng sè h÷u tØ. 2) (Zp , +, ·), víi p nguyªn tè, lµ mét tr-êng. 5 Tr-êng sè phøc 5.1 §Þnh nghÜa sè phøc §Æt C = R × R = {(x, y ) | x, y ∈ R}. Trªn C x¸c ®Þnh hai phÐp to¸n céng vµ nh©n nh- sau (x1, y1) + (x2 , y2) = (x1 + x2, y1 + y2 ) (x1, y1) · (x2 , y2) = (x1 x2 − y1y2 , x1y2 + x2y1 ).
  20. 12 Khi ®ã (C, +, ·) lµ mét tr-êng gäi lµ tr-êng sè phøc. NhËn xÐt. Víi kÝ hiÖu i = (0, 1) ∈ C, ta cã i2 = i · i = (−1, 0). NÕu ®ång nhÊt R víi tËp con {(x, 0) | x ∈ R} cña C, tøc lµ xem x ∈ R nh- lµ phÇn tö (x, 0) cña C, th× khi ®ã R ⊂ C vµ i2 = (−1, 0) ≡ −1. 5.2 BiÓu diÔn sè phøc 5.2.1 D¹ng ®¹i sè cña sè phøc Tõ ®¼ng thøc (x, y ) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) vµ tõ nhËn xÐt ë trªn cã thÓ viÕt mét sè phøc z = (x, y ) bÊt kú d-íi d¹ng sau z = x + iy. D¹ng z = x + iy gäi lµ d¹ng ®¹i sè cña sè phøc z . C¸c sè thùc x, y lÇn l-ît gäi lµ phÇn thùc, phÇn ¶o cña z vµ ®-îc ký hiÖu lµ Rez , Imz . Sè phøc z = x − iy gäi sè phøc liªn hîp víi z . DÔ dµng kiÓm tra c¸c tÝnh chÊt sau MÖnh ®Ò 6. . a) z + w = z + w; zw = z · w. b) z + z = 2Rez ; z − z = 2iImz ; z · z = x2 + y 2 . c) z = z ⇐⇒ z ∈ R. x y d) NÕu z = x + iy = 0, th× z −1 = 2 −i 2 . 2 x + y2 x +y NhËn xÐt. Céng, trõ (tøc céng víi sè ®èi), nh©n , chia (tøc lµ nh©n víi sè nghÞch ®¶o) c¸c sè phøc d-íi d¹ng ®¹i sè nh- sè thùc víi chó ý lµ i2 = 1. 5.2.2 D¹ng l-îng gi¸c cña sè phøc Cã mét sù t-¬ng øng mét-mét gi÷a tËp tÊt c¶ c¸c sè phøc z = (a, b) víi tËp c¸c −→ ®iÓm M (a, b) hay vector OM = (a, b) trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Descartes Oxy cßn −→ −→ gäi lµ mÆt ph¼ng phøc, víi e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) lµ hai vector c¬ së, trôc hoµnh gäi lµ trôc thùc, trôc tung gäi lµ trôc ¶o (H.1). Trong c¸ch biÓu diÔn nµy phÐp céng c¸c sè phøc ®-îc biÓu thÞ bëi phÐp céng c¸c vector h×nh häc.

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