Toán xác suất_ Chương 3

Chia sẻ: Truong An | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

253
lượt xem 123
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Môn kinh tế lượng, toán xác suất thống kê_ Chương " Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất"dành cho sinh viên chuyên ngành kinh tế.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán xác suất_ Chương 3

CHÖÔNG 3 BIEÁN NGAÃU NHIEÂN VAØ PHAÂN PHOÁI XAÙC SUAÁT (Random Variables and Probability Distributons) 3.1. ÑÒNH NGHÓA BIEÁN NGAÃU NHIEÂN 3.1.1. Ñònh nghóa • Bieán ngaãu nhieân laø nhöõng bieán maø giaù trò cuûa noù ñöôïc xaùc ñònh moät caùch ngaãu nhieân. • Veà maët toaùn hoïc, neáu moãi bieán coá sô ñaúng A thuoäc taäp hôïp bieán coá ω naøo ñaáy coù theå ñaët töông öùng vôùi moät ñaïi löôïng xaùc ñònh X = X(A) thì X ñöôïc goïi laø moät bieán coá ngaãu nhieân. Bieán ngaãu nhieân X coù theå xem nhö haøm cuûa bieán coá A vôùi mieàn xaùc ñònh laø ω. • Caùc bieán ngaãu nhieân ñöôïc kyù hieäu baèng caùc chöõ lôùn X, Y, Z,… coøn caùc giaù trò cuûa chuùng ñöôïc kyù hieäu baèng caùc chöõ nhoû x, y, z... 3.1.2. Phaân loaïi Bieán ngaãu nhieân ñöôïc chia laøm hai loaïi bieán ngaãu nhieân rôøi raïc vaø bieán ngaãu nhieân lieân tuïc. 3.1.2.1. Bieán ngaãu nhieân rôøi raïc (Discrete Random Variable) Neáu giaù trò cuûa bieán ngaãu nhieân X coù theå laäp thaønh daõy rôøi raïc caùc soá x1, x2, …, xn (daõy höõu haïn hay voâ haïn) thì X ñöôïc goïi laø bieán ngaãu nhieân rôøi raïc. 3.1.2.2. Bieán ngaãu nhieân lieân tuïc (Continuous Random Variable) Neáu giaù trò cuûa bieán ngaãu nhieân X coù theå laáp ñaày toaøn boä khoaûng höõu haïn hay voâ haïn (a,b) cuûa truïc soá 0x thì bieán ngaãu nhieân X ñöôïc goïi laø bieán ngaãu nhieân lieân tuïc. Thí duï • Löôïng khaùch haøng ñeán cöûa haøng trong ngaøy laø bieán ngaãu nhieân rôøi raïc. • Nhieät ñoä trong ngaøy ôû Saøi Goøn laø bieán ngaãu nhieân lieân tuïc. 3.2. PHAÂN PHOÁI XAÙC SUAÁT ÑOÁI VÔÙI BIEÁN NGAÃU NHIEÂN RÔØI RAÏC (Probability Distribution for Discrete Variable) 3.2.1. Haøm xaùc suaát (Probability Function) Haøm xaùc suaát Px(x) cuûa bieán ngaãu nhieân rôøi raïc X duøng dieãn taû xaùc suaát ñeå cho bieán ngaãu nhieân X ñaït giaù trò x. PX(x) laø haøm cuûa giaù trò x PX(x) = P(X=x) Thí duï Trong thí nghieäm thaûy 1 con xuùc saéc, ta coù Gv. Cao Haøo Thi
P(X=1) = P(X=2) = … = P(X=6) = 1/6 Haøm xaùc suaát laø PX(x) = P(X=x) = 1/6 vôùi x =1, 2, 3, 4, 5, 6 3.2.2. Phaân phoái xaùc suaát (Probability Distribution) Phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân X theå hieän söï töông quan giöõa caùc giaù trò xi cuûa X vaø caùc xaùc suaát cuûa xi, söï töông quan coù theå trình baøy baèng baûng ñoà thò hoaëc baèng bieåu thöùc. Thí duï Trong thí nghieäm thaûy 1 con xuùc saéc, phaân phoái xaùc suaát laø: Trình baøy baèng baûng: X 1 2 3 4 5 6 PX(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Trình baøy baèng ñoà thò : PX(x) 1/6 0 1 2 3 4 5 6 x 3.2.3. Haøm xaùc suaát tích luõy (Cumulative Probalility Function). 3.2.3.1. Ñònh nghóa Haøm xaùc suaát tích luõy FX(xo) cuûa bieán ngaãu nhieân rôøi raïc x theå hieän xaùc suaát ñeå X khoâng vöôït quaù giôùi haïn xo. FX(xo) laø haøm cuûa xo FX(xo) = P (X≤xo) 3.2.3.2. Tính chaát Ta coù caùc tính chaát sau: a. FX(xo) = ∑ PX ( x ) x ≤xo 2 Gv. Cao Haøo Thi
∑ PX (x) : toång cuûa taát caû caùc giaù trò coù theå coù cuûa x vôùi ñieàu kieän x≤xo x ≤xo b. 0 ≤ FX(xo) ≤ 1 ∀xo c. Neáu x1 < x2 thì FX(x1) ≤ FX(x2) Thí duï Trong thí nghieäm thaûy 1 con xuùc saéc, ta coù haøm xaùc suaát tích luõy nhö sau 0 neáu x 0 < 1  j FX(xo) =  neáu j ≤ x 0 < j + 1 ( j = 1,2,...,5) 6  1 neáu x 0 ≥ 6 FX(xo) 1 5/6 4/6 3/6 2/6 1/6 x 0 1 2 3 4 5 6 FX(x≤ 2.5) = PX(1) + PX(2) = 1/6 + 1/6 = 1/3 • Ñoái vôùi bieán ngaãu nhieân rôøi raïc haøm xaùc suaát tích luõy luoân coù daïng baäc thang baét ñaàu töø 0 vaø taän cuøng baèng 1. 3.2.4. Kyø voïng cuûa bieán ngaãu nhieân rôøi raïc (Expected Value of Discrete Random Variable) 3.2.4.1. Kyø voïng cuûa bieán ngaãu nhieân • Kyø voïng, E(X), cuûa bieán ngaãu nhieân rôøi raïc X ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: E(X) = ∑ x.Px (x) x 3 Gv. Cao Haøo Thi
• ∑ : Toång taát caû caùc giaù trò coù theå coù cuûa x x • Kyø voïng cuûa bieán ngaãu nhieân ñöôïc goïi laø soá trung bình (mean) vaø ñöôïc kyù hieäu laø µx E(X) = µx Thí duï Goïi X laø soá loãi coù trong 1 trang saùch. Haøm xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân X ñöôïc cho bôûi: PX(0) = 0.81, PX(1) = 0.17, PX(2) = 0.02. Tìm soá loãi trung bình coù trong 1 trang saùch ? Giaûi µx = E(X) = ∑ x * PX ( x ) x = 0 * 0.81 + 1 * 0.17 + 2 * 0.02 = 0.21 loãi /1 trang PX(x) 0.8 0.4 0 0 1 2 x µx = 0.21 3.2.4.2 Kyø voïng cuûa haøm soá cuûa bieán ngaãu nhieân Goïi X laø bieán ngaãu nhieân rôøi raïc vôùi haøm xaùc suaát PX(x) g(X) laø moät haøm soá cuûa bieán ngaãu nhieân X Kyø voïng cuûa haøm soá g(X) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : E[g(x)] = ∑ g(x)PX (x) x 3.2.5. Phöông sai (Variance) Goïi X laø bieán ngaãu nhieân rôøi raïc. 4 Gv. Cao Haøo Thi
Goïi µX laø soá trung bình cuûa bieán ngaãu nhieân • Phöông sai cuûa bieán ngaãu nhieân X chính laø kyø voïng cuûa (X - µx)² vaø ñöôïc kyù hieäu σ 2 . X σ 2 = E[(X - µX)²] = ∑ (x − µ X ) 2 X * PX ( x ) x • Phuông sai σ 2 coù theå tính theo coâng thöùc : X σ 2 = E(X²) - µ 2 = X X ∑ x 2 PX (x) − µ 2 X x Chöùng minh σ2 = X ∑ (x −µ X ) 2 PX (x) = ∑ x 2 PX (x) − 2µ X ∑ x.PX (x) + µ 2 ∑ x + µ 2 ∑ P X x x x x x σ2 = X ∑ x 2 PX (x) − µ 2 X x 3.2.6. Ñoä leäch chuaån σx (Standard Deviation) Ñoä leäch chuaån ñöôïc kyù hieäu σx σX = σ2 X Thí duï Cho haøm xaùc suaát cuûa soá loãi X coù trong 1 trang saùch laø PX(0) = 0.81, PX(1) = 0.17, PX(2) = 0.02 Tìm ñoä leäch chuaån cuûa soá loãi coù trong 1 trang saùch ? Giaûi Trong thí duï tröôùc ta coù µX = 0.21 • Kyø voïng cuûa X² E(X²) = ∑ x 2 PX ( x ) x = 0² * 0.81 + 1² * 0.17 + 2² * 0.02 E(X²) = 0.25 • Phöông sai σ 2 = E(X²) - µ 2 = 0.25 - (0.21)² = 0.2059 X X • Ñoä leäch chuaån σx = σ 2 = 0.2059 = 0.4538 X 5 Gv. Cao Haøo Thi
MOMEN Momen goác caáp k (Momen of Order k) mk = E [Xk] = ∑ x k PX ( x ) x • k=1 m1 = E[X] = ∑ xPX (x) = µ X x m1 = µX • k=2 m2 = E[X²] Momen trung taâm caáp k (Central Momen of Order k) Mk = E[(X-µX)k] = ∑ (x −µ X ) k .PX (x) • k=2 σ 2 = E[(X - µX)²] X σ 2 = m2 - m 1 X 2 • M1 = E [(X - µ)] = 0 M2 = E [(X - µ)² ] = σ² (Variance) M3 = E [(X - µ)³] = γ (Skewness : ñoä leäch) M4 = E [(X - µ)4] = KM2² = Kσ4 K : heä soá Kurtorsis 6 Gv. Cao Haøo Thi
3.2.7. Phaân phoái xaùc suaát nhò thöùc (Binomial Probability Distubutions) 3.2.7.1 Haøm xaùc suaát cuûa phaân phoái nhò thöùc (Probability Function of Binomial Distribution). Tieán haønh n pheùp thöû ñoäc laäp. Goïi p laø xaùc suaát thaønh coâng trong moãi pheùp thöû ñoäc laäp => q = (1-p) laø xaùc suaát thaát baïi trong moãi pheùp thöû ñoäc laäp. Xaùc suaát ñeå coù soá laàn phaàn thöû thaønh coâng laø x trong nhöõng pheùp thöû ñoäc laäp ñöôïc cho bôûi haøm xaùc suaát nhö sau : Px(x) = [n!/ (x!(n - x)!)].[px(1 - p)n-x ] vôùi x = 0,1,2,…, n hay Px(x) = C x pxqn-x n vôùi q = 1 - p Ghi chuù • Phaân phoái cuûa soá laàn pheùp thöû thaønh coâng laø x ñöôïc goïi laø phaân phoái nhò thöùc.. • Haøm xaùc suaát PX(x) laø haøm xaùc suaát cuûa phaân phoái nhò thöùc. 3.2.7.2. Soá trung bình, phöông sai vaø ñoä leäch chuaån cuûa phaân phoái nhò thöùc Goïi X laø soá laàn thaønh coâng trong n pheùp thöû, moãi pheùp thöû coù xaùc suaát thaønh coâng laø p. X tuaân theo phaân phoái nhò thöùc vôùi soá trung bình, phöông sai vaø ñoä leäch chuaån ñöôïc tính theo caùc coâng thöùc sau: Soá trung bình µX = E(X) = np Phöông sai σ 2 = E[(X - µx)²] = np(1-p) X Hay σ 2 = npq X vôùi q = 1-p Ñoä leäch chuaån σx = npq Thí duï Moät ngöôøi ñi baùn haøng ñi tieáp xuùc ñeå chaøo haøng vôùi 5 khaùch haøng. Xaùc suaát ñeå baùn ñöôïc haøng trong moãi laàn chaøo haøng laø 0.4. a) Tìm phaân phoái xaùc suaát cuûa soá laàn baùn ñöôïc haøng. b) Tìm soá trung bình, phöông sai vaø ñoä leäch chuaån cuûa soá laàn baùn ñöôïc haøng. c) Tìm xaùc suaát cuûa soá laàn baùn ñöôïc haøng trong khoaûng 2 ñeán 4 laàn. 7 Gv. Cao Haøo Thi
Giaûi a. Xaùc suaát cuûa soá laàn baùn ñöôïc haøng tuaân theo phaân phoái nhò thöùc : PX(x) = C x Px qn-x n PX(x) = C 5 * (0.4)x * (0.6)5-x x 5! PX(x) = * (0.4)x * (0.6)5-x x! (5 − x)! x = 0 => PX(0) = 0.078 PX(x) (khoâng baùn ñöôïc) 0.4 x = 1 => PX(1) = 0.259 x = 2 => PX(2) = 0.346 x = 3 => PX(3) = 0.230 0.2 x = 4 => PX(4) = 0.077 x = 5 => PX(5) = 0.010 0 (trong 5 laàn baùn ñöôïc caû 5) 0 1 2 3 4 5 X soá laàn thaønh coâng b. Soá trung bình cuûa soá laàn baùn ñöôïc haøng µx = np = 5 * 0.4 = 2 Phöông sai σ 2 = np(1-p) = 5 * 0.4 * 0.6 = 1.2 X Ñoä leäch chuaån σx = 12 = 1.10 . c. P(2 < X < 4) = PX(2) + PX(3) + PX(4) = 0.653 3.2.8 Phaân phoái xaùc suaát Poisson 3.2.8.1. Phaân phoái Poisson Bieán ngaãu nhieân X ñöôïc goïi tuaân theo phaân phoái Poisson neáu haøm xaùc suaát cuûa X coù daïng e − λ λx PX(x) = vôùi λ > 0, ∀λ x! x = 0,1,2,… 3.2.8.2. Soá trung bình, phöông sai vaø ñoä leäch chuaån cuûa phaân phoái Poisson • Soá trung bình cuûa phaân phoái Poisson µx = E(x) = λ 8 Gv. Cao Haøo Thi
• Phöông sai. σ²x = E[(x-µx)²] = λ • Ñoä leäch chuaån σx = λ Thí duï Moät traïm ñieän thoaïi töï ñoäng nhaän ñöôïc trung bình 300 laàn goïi trong 1 giôø. hoûi xaùc suaát ñeå traïm ñoù nhaän ñöôïc ñuùng 2 laàn goïi trong 1 phuùt cho tröôùc. Giaûi Soá laàn nhaän ñöôïc trung bình trong 1 phuùt 300/60 = 5 laàn/1phuùt => λ = 5 Xaùc suaát ñeå nhaän ñöôïc ñuùng 2 laàn trong 1 phuùt. PX(2) = (5² * e-5)/2! = 25/2e5 ≈ 0.09 3.3. PHAÂN PHOÁI XAÙC SUAÁT ÑOÁI VÔÙI BIEÁN NGAÃU NHIEÂN LIEÂN TUÏC (Probability Distributions For Continuous Random Variables) Phaân phoái cuûa bieán ngaãu nhieân lieân tuïc ñöôïc xaùc ñònh bôûi haøm maät ñoä xaùc suaát. 3.3.1. Haøm maät ñoä xaùc suaát (Probability Density Function) Goïi X laø bieán ngaãu nhieân lieân tuïc, goïi x laø giaù trò baát kyø naèm trong mieàn caùc giaù trò coù theå coù cuûa X. Haøm maät ñoä xaùc suaát fX(x) cuûa bieán ngaãu nhieân lieân tuïc laø haøm coù nhöõng tính chaát sau : • fX(x) ≥ 0 , ∀x • Xaùc suaát P(a
FX(x) FX(x) S a b x P(a 1 Tìm xaùc suaát ñeå X rôi vaøo khoaûng (0.5, 0.75) Giaûi ] 0.75 0.75 2 0.75 P[0.5
0.5 0.75 1 x Kieåm tra ñieàu kieän cuûa haøm maät ñoä phaân phoái • fX(x) ≥ 0, ∀x +∞ 0 1 ∞ • ∫ f (x)dx = ∫ 0dx + ∫ 2xdx + ∫ 0dx = 1 −∞ −∞ 0 1 Thí duï Cho haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân coù daïng : fx(x) 0 neáu x < -1  ax + a  neáu - 1 ≤ x < 0 fx(x) =  a - ax + a neáu 0 ≤ x ≤ 1  0  neáu x > 1 -1 0 1/2 1 x a. Tìm a b. Tìm xaùc suaát ñeå bieán ngaãu nhieân X coù giaù trò ôû trong khoaûng (1/2,1) vaø ôû trong khoaûng (-1/3,1/3) c. Tìm P(X=1/2) Giaûi a. Tìm a: 1 1 S= ∫−1 f X (x)dx = 1 => S = a(1 − (−1)) = a = 1 2 b. Tìm xaùc suaát 1 x2 P(1/2≤X≤1) = ∫1 / 2 (−x + 1)dx = − 2 + x]1 / 2 1 11 Gv. Cao Haøo Thi
12 (1 / 2) 2 = [- + 1] − [− + 1 / 2] 2 2 = 1/2-[-1/8+1/2] = 1/8 1/ 3 P(-1/3≤X≤1/3) = 2P(0≤X≤1/3)=2 ∫ (− x + 1)dx 0 =2 [ -x²/2+x ] 1/ 3 0 = 2 [-1/18+1/3] = 5/9 1/ 2 c. P(X = ½) = ∫1 / 2 f X (x)dx = 0 Thí duï Cho haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân X fX(x) 1 1/2 0 ¼ ½ ¾ 1 1 1 1 1 x 4 2 Tìm a) P (X ≤ 3/4) b) P (X > 1/2) c) P (1/4 ≤ X ≤ 1 1 ) 4 Giaûi 3/ 4 1/ 2 3/ 4 a. P (X ≤ 3/4) = ∫0 f X (x)dx = ∫0 f X (x)dx + ∫0 f X (x)dx = 1/2(1/2 *1) + 1 (1(3/4 - 1/2) = 0.5 1 1 b. P (X > 1/2) = ∫ 1 2 fx (x)dx 2 1 = 1(1-1/2) + 1/2 (1)( 1 − 1 ) = 0.75 2 12 Gv. Cao Haøo Thi
1 1 1 c. P (1/4 ≤X≤1 ) = ∫1 4 fx (x)dx 4 4 = 1-2 [1/2 * 1/4 * 1/2] = 7/8 3.3.2. Haøm phaân phoái tích luõy (Cumulative Distribution Function) Haøm phaân phoái tích luõy coøn ñöôïc goïi laø haøm phaân tích hay haøm phaân phoái xaùc suaát 3.3.2.1. Ñònh nghóa Haøm phaân phoái tích luõy, FX(x) cuûa bieán ngaãu nhieân lieân tuïc X theå hieän xaùc suaát ñeå X khoâng vöôït quaù giaù trò x. FX(x) laø haøm cuûa x. Fx(x) = P(X ≤ x) 3.3.2.2. Tính chaát x a. Fx(x) = ∫−∞ f X (x)dx vôùi fX(x) laø haøm maät ñoä xaùc suaát. b. FX(x)dx = f ’X(x) = dFX(x)/dx c. FX(x) laø haøm khoâng giaûm => FX(x + ∆x) ≥ FX(x) d. 0 ≤ FX(x) ≤ 1 e. F(-∝ ) = 0 f. F(+∝ ) =1 g. P (a < X < b) = FX(b) – FX(a) FX(x) 1 FX(x) -∝ 1 +∝ x Thí duï Bieán ngaãu nhieân X ñöôïc cho bôûi haøm phaân phoái  0 Neáu x 1  13 Gv. Cao Haøo Thi
Tính xaùc suaát ñeå bieán ngaãu nhieân X naèm trong khoaûng (1.5, 2.5) vaø khoaûng (2.5, 3.5) Giaûi P(1.5 < X < 2.5) = F(2.5) - F(1.5) = (2.5 - 1)/2 - (1.5 -1)/2 = 0.5 P(2.5 < X < 3.5) = F(3.5) - F(2,5) = 1 - (2,5 -1)/2 = 0.25 3.3.3. Kyø voïng cuûa bieán ngaãu nhieân lieân tuïc 3.3.3.1. Kyø voïng cuûa bieán ngaãu nhieân Kyø voïng E(X) cuûa bieán ngaãu nhieân lieân tuïc X ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : ∞ E(X) = −∞ ∫ xfx (x)dx Kyø voïng cuûa bieán ngaãu nhieân ñöôïc goïi laø soá trung bình kyù hieäu laø µx E(X) = µx 3.3.3.2. Kyø voïng cuûa haøm soá cuûa bieán ngaãu nhieân ∞ E[g(x)] = ∫−∞ g(x) fX (x)dx 3.3.4. Phöông sai σ² = E[X - µx)²] ∞ σ² = ∫ −∞ [x - µx)²]fX(x)dx hay σ² = E(X²) - µ²x 3.3.5. Ñoä leäch chuaån : σ² = σ2 x 14 Gv. Cao Haøo Thi
3.3.6. Haøm phaân phoái chuaån (The Normal Distribution) 3.3.6.1. Haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa phaân phoái chuaån Neáu haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân X coù daïng ( x −µ ) 2 1 − fX (x) = e 2σ 2 2 2Π σ Vôùi - ∝ < µ < +∝ 0 < σ² < +∝ Thì bieán ngaãu nhieân X ñöôïc goïi laø tuaân theo luaät phaân phoái chuaån. 3.3.6.2. Tính chaát cuûa phaân phoái chuaån Goïi X laø bieán ngaãu nhieân tuaân theo luaät phaân phoái chuaån vôùi caùc tham soá µ vaø σ². Ta coù caùc tính chaát sau a. Soá trung bình cuûa bieán ngaãu nhieân X tuaân theo luaät phaân phoái chuaån laø µ. E(X) = µ b. Phöông sai cuûa bieán ngaãu nhieân X laø σ² Var(X) = E[(X - µ)²] = σ² c. Ñöôøng cong cuûa haøm maät ñoä xaùc suaát coù daïng hình chuoâng ñoái xöùng qua trò soá trung bình µ vaø ñöôïc goïi laø ñöôøng cong chuaån (normal curve) fX(x) σ σ µ fX(x) 15 Gv. Cao Haøo Thi
• Phaân phoái chuaån coù phöông sai gioáng nhau nhöng soá trung bình khaùc nhau σ²1 σ²2 σ²3 σ²3 > σ²2 > σ²1 • Phaân phoái chuaån coù soá trung bình gioáng nhau nhöng phöông sai khaùc nhau d. Kyù hieäu: Neáu bieán ngaãu nhieân X tuaân theo phaân phoái chuaån coù soá trung bình laø µ vaø phöông sai laø σ², ta kyù hieäu X ~ N (µ,σ²) 3.3.6.3. Haøm phaân phoái tích luõy cuûa phaân phoái chuaån (Cumulative Distribution Function of Normal Distribution) Ñònh nghóa Cho X ~ N (µ,σ²). Haøm phaân phoái tích luõy cuûa bieán ngaãu nhieân X tuaân theo phaân phoái chuaån ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : x ( x −µ ) 2 1 − FX(x) = P(X
FX(x) FX(x) Ñöôøng cong phaân phoái tích luõy 1 FX(x) Dieän tích S FX(xo) µ xo x xo x xo Dieän tích S = ∫ f X (x)dx −∞ FX(xo) = P (X≤xo) = S FX(x) FX(x) Ñöôøng cong phaân phoái tích luõy 1 FX(b) FX(x) S a µ b x a b x P[a
FZ(z) 0.5 2 z0 1 − e 2 2πσ 2 -2 -1 0 1 zo 2 Z Tung ñoä cuûa 1 ñieåm baát kyø treân ñöôøng cong chuaån seõ ñöôïc xaùc ñònh töø phöông trình cuûa haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa phaân phoái chuaån. ( x −µ ) 2 1 − FX(x) = e 2σ2 2 2πσ Vôùi µ = 0 , σ = 1 vaø x = z • Giaù trò cuûa haøm phaân phoái tích luõy cuûa phaân phoái chuaån chuaån hoùa (cuõng baèng dieän tích naèm döôùi ñöôøng cong chuaån) ñöôïc laäp thaønh baûng vaø ñöôïc cho saün trong caùc phuï luïc cuûa saùch thoáng keâ. Caùc baûng naøy cho giaù trò cuûa z FZ(z) = P (Z ≤ z) = ∫ f Z (z)dz −∞ FZ(z) FZ(z) FZ(z) 0 z z Moät soá baûng laäp saün, chæ cho ta dieän tích naèm döôùi ñöôøng cong chuaån töø 0 ñeán z. FZ(z) S 18 Gv. Cao Haøo Thi 0 z z
Döïa vaøo baûng naøy ta coù theå tính ñöôïc xaùc suaát ñeå cho bieán ngaãu nhieân Z naèm trong khoaûng naøo ñoù. Cuï theå. P[Z < a] P[a ≤ Z ≤ b] P[Z > b] 3.3.7.2. Chuaån hoùa bieán ngaãu nhieân (Standardization of Variable) Neáu bieán ngaãu nhieân X coù soá trung bình laø µ vaø phöông sai laø σ², thì bieán ngaãu nhieân Z = (X-µ)/σ seõ coù soá trung trung bình laø 0 vaø phöông sai laø 1. Z ñöôïc goïi laø bieán ngaãu nhieân ñöôïc chuaån hoùa (standardized). Neáu X tuaân theo phaân phoái chuaån thì Z tuaân theo phaân phoái chuaån chuaån hoùa vaø Z ñöôïc goïi laø bieán ngaãu nhieân chuaån chuaån hoùa (Standard normal variable). Khi ñoù : P(a < X < b) = P[(a-µ)/σ < Z < (b-µ)/σ µ-3σ µ-2σ µ-σ µ µ+σ µ+2σ µ+3σ X -3 -2 -1 0 1 2 3 Z Thí duï Cho Z ~N(0,1). Tìm xaùc suaát ñeå giaù trò cuûa Z a) Nhoû hôn - 1.25 b) Naèm trong khoaûng (-0.50 , 0.75) c) Lôùn hôn 1 Giaûi FZ(1.25) a. P(Z ≤ - 1.25) = FZ (-1.25) = 1 - FZ(1.25) 19 Gv. Cao Haøo Thi -1.25 0 1.25 z
= 1 - 0.8944 = 1 - 0.1056 P(0.5018) = P(Z> [(18 -µ)/σ] = P(Z> [(18 - 15)/4] = P(Z> 0.75) = 1 - P(Z18) = 0.2266 Thí duï Neáu X laø bieán ngaãu nhieân tuaân theo phaân phoâi chuaån coù soá trung bình laø 3 vaø ñoä leäch chuaån laø 2. Tìm P(4