Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian1Traàn Gia HuyCAÙC BAØI TOAÙN CHOÏN LOÏC1) Trong

Chia sẻ: Duong Vu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

56
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian 1 Traàn Gia Huy CAÙC BAØI TOAÙN CHOÏN LOÏC 1) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ vôùi A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD, a) Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A’C vaø MN. 1 b) Vieát phöông trình maët phaúng chöùa A’C vaø taïo vôùi maët phaúng Oxy moät goùc a bieát cos a = 6 (Ñaïi hoïc khoái A – 2006) Giaûi z a) Tính khoaûng caùch giöõa hai...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian1Traàn Gia HuyCAÙC BAØI TOAÙN CHOÏN LOÏC1) Trong

1 Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy CA ÙC B AØI TO AÙN CH OÏN LO ÏC 1) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ vôùi A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD, a) Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A’C vaø MN. 1 b) Vieát phöông trình maët phaúng chöùa A’C vaø taïo vôùi maët phaúng Oxy moät goùc a bieát cos a = 6 (Ñaïi hoïc khoái A – 2006) Giaûi z a) Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A’C vaø MN Choïn heä truïc toïa ñoä Axyz nhö hình veõ thì toïa ñoä caùc ñieåm laø: A’(0; 0; 1) D’ A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1); B’(1; 1 1 0; 1), C’(1; 1; 1), D’(0; 1; 1), M( ; 0; 0), N( ; 1; 0) C’ 2 2 B’ uuuur uuuu r uuuuu æ 1 r ö Ta coù A ' C = (1;1; -1) , M N = ( 0;1; 0 ) , A ' M = ç ; 0; -1 ÷ è2 ø uuuur uuuur D(0; 1; 0) é A ' C, MN ù = (1; 0;1) A ë û y M uuuur uuuu uuuuu r r 1 N -1 é A ' C, MN ù .A ' M 1 2 ë û Þ d ( A ' C, MN ) = C uuuur uuuu r = = B(1; 0; 0) 12 + 02 + 12 2 2 é A ' C, MN ù ë û x 1 b) Vieát phöông trình maët phaúng chöùa A'C vaø taïo vôùi maët phaúng Oxy moät goùc a bieát cos a = 6 uuuu r A ' C coù qua A'(0;0;1) VTCP laø A'C = (1;1; -1) ìx - y = 0 x y z -1 neân pt chính taéc A'C laø Þ pt toång quaùt A'C laø == í îy + z - 1 = 0 11 -1 Goïi (P) laø maët phaúng caàn tìm. Vì mp (P) chöùa A'C neân pt mp (P) daïng A ( x - y ) + B ( y + z - 1) = 0 ( A 2 + B2 ¹ 0 ) Û Ax + ( B - A ) y + Bz - B = 0 uuuur Mp Oxy coù pt laø z = 0 Þ n Oxy = ( 0; 0;1) B 1 Ycbt Þ cos a = cos ( (P), (Oxy) ) = = 6 2 A 2 + ( B - A ) + B2 é A = 2B Û 6B2 = 2A 2 - 2 AB + 2B2 Û A 2 - AB - 2B2 = 0 Û ê ë A = -B - A = 2B. Choïn B = 1, A = 2 Þ pt mp (P1 ) :2x - y + z - 1 = 0 - A = - B. Choïn B = -1, A = 1 Þ pt mp (P2 ) :x - 2 y - z + 1 = 0
2 Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy 2) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho hai ñöôøng thaúng ì x = -1 + 2 t x y -1 z + 2 ï d1 : = vaø d 2 : í y = 1 + t = 2 -1 1 ïz = 3 î a) Chöùng minh raèng d1 vaø d2 cheùo nhau. b) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) : 7x + y - 4z = 0 vaø caét hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2. (Ñaïi hoïc khoái A – 2007) Giaûi a) Chöùng minh d1 vaø d2 cheùo nhau. r r d1 qua A(0;1; -2) coù VTCP laø a = (2; -1;1), d 2 qua B(-1;1; 3) coù VTCP laø b = (2;1; 0) rr rr r Ta coù : é a, b ù = ( -1; 2; 4 ) ¹ 0 Þ a vaø b khoâng cuøng phöông (1) ëû uuur r r uuu r r r uuu r AB = ( -1; 0; 5 ) , é a, b ù .AB = 1 + 0 + 20 = 21 ¹ 0 Þ 3 vectô a, b, AB khoâng ñoàng phaúng (2) ëû Töø (1) & (2) Þ d1 vaø d 2 cheùo nhau b) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) : 7x + y - 4z = 0 vaø caét hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2. ìx + 2 y - 2 = 0 ì x - 2y + 3 = 0 Ta coù PT TQ cuûa d1 : í , d2 : í îy + z + 1 = 0 îz - 3 = 0 ì( a ) chöùa d1 ì( b ) chöùa d 2 ï ï Ta coù d Ì mp ( a ) : í , d Ì mp ( b ) : í ï( a ) ^ ( P ) ï( b ) ^ ( P ) î î - Vieát pt mp ( a ) : ( a ) chöùa d1 neân pt mp ( a ) daïng : A ( x + 2y - 2 ) + B ( y + z + 1) = 0 ( A 2 + B2 ¹ 0 ) Û Ax + ( 2A + B ) y + Bz - 2A + B = 0 uur uu r Ycbt Þ n a .n P = 0 Û 7A + 2A + B - 4B = 0 Û 9 A - 3B = 0 Û B = 3A Choïn A = 1 Þ B = 3 : pt ( a ) : x + 5y + 3z + 1 = 0 - Vieát pt mp ( b ) : ( b ) chöùa d 2 neân pt mp ( b ) daïng : M ( x - 2y + 3) + N ( z - 3 ) = 0 ( M 2 + N 2 ¹ 0 ) Û Mx - 2My + Nz + 3M - 3N = 0 uu uu rr Ycbt Þ n b .n P = 0 Û 7M - 2 M - 4N = 0 Û 5M - 4 N = 0 Choïn M = 4 Þ N = 5 : pt ( b ) : 4 x - 8y + 5z - 3 = 0 ìx + 5y + 3z + 1 = 0 Vaäy ptñt d: í î4 x - 8y + 5z - 3 = 0 Roõ raøng : d caét d1 taïi M ( 2;0; - 1) , caét d 2 taïi N ( -5; - 1;3 ) neân ta nhaän pt ñt d treân 3) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñieåm A(1;2;3) vaø hai ñöôøng thaúng: x -2 y +2 z -3 x -1 y -1 z +1 d1 : , d2 : = = = = 2 -1 1 -1 2 1 a) Tìm toïa ñoä ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi ñieåm A qua ñöôøng thaúng d1. b) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng D ñi qua A, vuoâng goùc vôùi d1 vaø caét d2. (Ñaïi hoïc khoái D – 2006)
3 Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy Giaûi a) Tìm toïa ñoä A’ ñoái xöùng vôùi ñieåm A qua ñöôøng thaúng d1 Tröôùc tieân ta tìm H - hình chieáu vuoâng goùc cuûa A leân d1 uu uur r Goïi (P) laø maët phaúng qua A vaø vuoâng goùc vôùi d1 thì (P) coù VTPT laø n P =ad1 = ( 2; - 1;1) Vaäy pt mp (P) daïng : 2 x - y + z + m = 0. Vì (P) qua A(1; 2; 3) neân 2 - 2 + 3 + m = 0 Û m = -3 ì2 x - y + z - 3 = 0 ï Vaäy pt mp (P) laø : 2 x - y + z - 3 = 0 Þ H thoûa í x - 2 y + 2 z - 3 Û H ( 0; -1; 2 ) ï 2 = -1 = 1 î ì x A + x A ' = 2x H ï H laø trung ñieåm cuûa AA' neân íy A + y A ' = 2y H Û A ' ( -1; -4;1) ïz + z = 2 z î A A' H b) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng D ñi qua A, vuoâng goùc vôùi d1 vaø caét d2. ì(P) q u a A ì ( Q ) c hö ù a d 2 D Ì mp ( P ) í , D Ì m p( Q ) í î ( P ) ^ d1 î(Q ) q u a A ì2 x + y - 3 = 0 Vieát p t m p (Q) : T a coù PTTQ cuûa d 2 : í îx + z = 0 ( ) Vì (Q ) ch öùa d 2 neân p t m p (Q ) d aïn g : A ( 2 x + y - 3 ) + B ( x + z ) = 0 A 2 + B2 ¹ 0 Û ( 2 A + B ) x + A y + Bz - 3 A = 0 (Q ) qua A(1 ;2 ;3) neân 2 A + B + 2 A + 3B - 3A = 0 Û A + 4 B = 0 Ch oïn B = -1, A = 4, ta ñöôïc pt m p (Q ) : 7 x + 4 y - z - 1 2 = 0 ì2 x - y + z - 3 = 0 Vaäy pt ñt D : í î 7x + 4 y - z - 1 2 = 0 Roõ raøn g D caét d 2 taïi M ( 2; -1; -2 ) neân nh aän pt ñt D treân 4) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hình laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1. Bieát A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), B1(-a;0;b), a>0, b>0 a) Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng B1C vaø AC1 theo a vaø b. b) Cho a, b thay ñoåi nhöng luoân luoân thoûa maõn a+ b = 4. Tìm a, b ñeå khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng B1C vaø AC1 ñaït giaù trò lôùn nhaát. (Ñaïi hoïc khoái D – 2004) Giaûi a) Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng B1C vuuuAC1uuuu aø u r r ABC.A1B1C1 laø hìn h laên g truï ñöùn g n eân ta coù : BB1 = CC1 ì x B1 - x B = x C1 - x C ì x C1 = 0 ï ï Û í y B1 - y B = y C1 - y C Û í y C1 = 1 Þ C1 ( 0;1; b ) ïz - z = z - z ïz = b î B1 B î C1 C1 C uuuur uuuur uuuu uuuu r r uuu r B1C = ( a;1; b ) , AC1 = ( -a;1; b ) , é B1C, AC1 ù = ( 2 b; 0; 2 a ) , AC = ( - a;1; 0 ) ë û uuuu uuuu uuu r r r é B1C, AC1 ù .AC -2 ab ab ë û d ( B1C, AC1 ) = uuuu uuuu r r = = 2 2 a + b2 2 é B1C, AC1 ù 4a + 4 b ë û
4 Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy b) Tìm a vaø b ñeå khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng treân ñaït giaù trò lôùn nhaát AÙp duïng BÑT Cau chy : a + b ³ 2 ab ab ab 1 1 a+ b neân a2 + b 2 ³ 2ab Þ ab £ = 2 (Vì a + b = 4) £ = 22 2ab 2 a2 + b 2 Vaäy d max = 2 khi a = b = 2 ì x - 2y + z - 9 = 0 5) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho ñieåm I(1;1;1) vaø ñöôøng thaúng d í î 2y + z + 5 = 0 Vieát phöông trình maët caàu (S) coù taâm laø I, caét ñöôøng thaúng d theo 1 daây cung AB coù ñoä daøi baèng 16 Giaûi 2 2 2 p t maët caàu (S) taâm I, baùn kính R laø : ( x - 1) + ( y - 1) + ( z - 1) = R 2 AB G oïi H laø trun g ñieåm cuûa AB th ì I H ^ AB. V aäy R 2 = IA 2 = IH 2 + HA 2 vôùi H A = = 8; IH = d ( I , d ) 2 uuu r ìx + z = 9 ìx = 14 Þ M (1 4; 0; -5 ) Î d Þ IM = (13; -1; -6 ) T r o n g ñ t d c h o y = 0 , t a ñ ö ô ïc í Ûí î z = -5 îz = - 5 uu r uu r uu uu rr uu r ì n1 = (1; -2;1) ï Þ d coù VTCP laø ad = é n1 , n 2 ù = ( -4; -1; 2 ) Þ ad = 1 6 + 1 + 4 = 2 1 d coù caëp V TPT laø í uu r ë û ï n 2 = ( 0; 2;1) î uu uuu rr uu uuu rr é ad ,IM ù = ( -8; -2; -1 7 ) Þ é ad ,IM ù = 6 4 + 4 + 2 89 = 3 5 7 ë û ë û uu uuu rr é a d ,IM ù 357 ë û = 1 7 Þ R 2 = 17 + 6 4 = 8 1 uur IH = = 21 ad 2 2 2 Vaäy pt m c (S) laø ( x - 1) + ( y - 1) + ( z - 1) = 81 6) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho ñieåm M(1;1;1), maët phaúng (P) : x + 2y + 3z – 6 = 0 vaø maët caàu (S) : x2 + y2 + z2 = 100. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d qua M, naèm trong maët phaúng (P) vaø caét maët caàu (S) theo daây AB thoûa MA = MB. Giaûi Maët caàu (S) coù taâm O, baùn kính laø 10, OM = 3 < R Þ M ôû trong maët caàu uur Vì d Ì mp(P) neân n P = (1; 2; 3) laø 1 VTPT cuûa d uuuu r MA = M B neân OM ^ AB neân OM = (1;1;1) laø 1 VTPT cuûa d uur uu uuuu r r x -1 y -1 z -1 Vaäy d coù VTCP laø ad = é n P , OM ù = ( -1; 2; -1) maø d qua M (1;1;1) neân pt ñt d : = = ë û -1 2 -1 7) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hai ñieåm A(1;4;2), B(-1;2;4) vaø ñöôøng thaúng x -1 y + 2 z D: = = -1 1 2 a) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua troïng taâm G cuûa tam giaùc OAB vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng OAB. b) Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc ñöôøng thaúng D sao cho MA2 + MB2 nhoû nhaát. (Ñaïi hoïc khoái D – 2007) Giaûi
5 Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy a) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d qua G, vuoâng goùc mp(OAB) x + xA + x B ì xG = O =0 ï 3 ï y + yA + y B ï G laø troïng taâm DOAB neân G thoûa íyG = O = 2 Þ G ( 0; 2; 2 ) 3 ï zO + zA + zB ï ïx G = =2 3 î uuur uuur r mp(OAB) coù caëp VTCP laø OA = (1; 4; 2 ) , OB = ( -1; 2; 4 ) Þ n = (12; -6; 6 ) = 6 ( 2; -1;1) uu r r x y-2 z-2 d ^ mp(P ) neân ad = n = ( 2; -1;1) maø d qua G neân pt ñt d : = = 2 -1 1 2 2 b) Tìm MÎD ñeå MA + MB nhoû nhaát AB2 Goïi E laø trung ñieåm cuûa AB thì M A 2 + MB2 = 2 ME 2 + 2 2 2 Vaäy M A + MB min Û ME min Û M º H - hình chieáu cuûa E leân ñt D uu uu r r E laø trung ñieåm AB neân E ( 0;3;3 ) ; Goïi (P) laø mp qua E vaø vuoâng goùc ñt D thì n P = aD = ( -1;1; 2 ) Þ pt mp (P) : - x + y + 2z + m = 0.(P) qua E neân 3 + 6 + m = 0 Û m = -9 Þ pt mp (P) : - x + y + 2z - 9 = 0 ì x = -1 ì - x + y + 2z - 9 = 0 ï ï Vaäy H thoûa í x - 1 y + 2 z Û íy = 0 Þ M ( -1; 0; 4 ) ï -1 = 1 = 2 ïz = 4 î î 8) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho hai ñöôøng thaúng : ìx = 1 + t ìx - 2 y + z - 4 = 0 ï D1 : í vaø D 2 : í y = 2 + t îx + 2 y - 2z + 4 = 0 ïz = 1 + 2 t î a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng D1 vaø song song vôùi ñöôøng thaúng D2. b) Cho ñieåm M(2;1;4). Tìm toïa ñoä ñieåm H thuoäc ñöôøng thaúng D2 sao cho ñoaïn thaúng MH coù ñoä daøi nhoû nhaát. (Ñaïi hoïc khoái A – 2002) Giaûi a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng D1 vaø song song vôùi ñöôøng thaúng D2. uu r uu uu uu r rr ìn1 = (1; -2;1) ï Þ D1 coù VTCP laø a1 = é n1 ,n 2 ù = ( 2; 3; 4 ) D1 coù caëp VTPT laø í uu r ë û ïn 2 = (1; 2; -2 ) î ìx - 2y = 4 ìx = 0 Þ D1 qua A ( 0; - 2; 0 ) Trong D1 cho z = 0, ta ñöôïc í Ûí î x + 2y = -4 î y = -2 uu r r uu uu rr Vì mp (P) chöùa D1 neân a1 = ( 2; 3; 4 ) laø 1 VTCP cuûa (P) ü ï Þ (P ) coù VTPT laø n = é a1 , a2 ù = ( 2; 0; -1) uu r ý ë û mp (P) // D 2 neân a2 = (1;1; 2 ) laø 1 VTCP cuûa (P) ï þ Þ pt mp (P) daïng : 2 x - z + m = 0. (P) qua A ( 0; - 2; 0 ) neân m = 0. Vaäy pt mp (P) laø : 2 x - z = 0 b) Tìm H Î D2 ñeå MH nhoû nhaát.
6 Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy K eû M E ^ D 2 . Ta coù M E £ MH . V aäy M H m in Û M H = ME Û H º E - h ìn h ch ieáu cuûa M xuoán g D 2 uur uu r G oïi (Q) laø m p qua M vaø vuoân g goùc vôùi D 2 th ì (Q ) coù VT PT laø n Q = a2 = (1;1; 2 ) Þ p t m p (Q ) d aïn g : x + y + 2 z + m = 0 . Vì ( Q) qua M (1 ;2 ;4 ) neân m = -1 1 Vaäy pt mp (Q ) : x + y + 2 z - 11 = 0 ìx = 1 + t ìx = 2 ïy = 2 + t ï ï Û í y = 3 Þ H ( 2; 3; 3 ) H th oûa : í ïz = 1 + 2 t ïz = 3 î ï x + y + 2z - 1 1 = 0 î 9) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ coù A truøng vôùi goác cuûa heä toïa ñoä, B(a;0;0), D(0;a;0); A’(0;0;b) (a>0, b>0). Goïi M laø trung ñieåm caïnh CC’. a) Tính theå tích khoái töù dieän BDA’M theo a vaø b. a b) Xaùc ñònh tæ soá ñeå hai maët phaúng (A’BD) vaø (MBD) vuoâng goùc vôùi nhau. b (Ñaïi hoïc khoái A – 2003) Giaûi z a) Tính theå tích khoái töù dieän BDA’M Toïa ñoä cuûa caùc ñieåm laø : A’(0; 0; b) D’ A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0) b C’ A’(0;0;b), B’(a;0;b), C’(a;a;b), D’(0;a;b), M(a;a; ) B’ 2 uuur uuuu r uuuu æ r bö Ta coù : BD = ( - a; a; 0 ) , BA ' = ( - a; 0; b ) , BM = ç 0; a; ÷ M 2ø è D(0; a; 0) A uuu uuuu r r uuur uuuu uuuu r r 2 2 é BD, BA 'ù = ( ab; ab; a2 ) , é BD, BA ' ù .BM = a2 b + a b = 3a b y ë û ë û 2 2 1 uuur uuuu uuuu 1 3a b a b r r C B(a; 0; 0) 2 2 VBDA ' M = é BD, BA ' ù .BM = = x 6ë û 62 4 a b) Xaùc ñònh tæ soá ñeå 2 mp (A’BD) vaø (MBD) vuoâng goùc b uuuur uuuur - (A'BD) coù caëp VTCP A ' B = ( a; 0; - b ) , A ' D = ( 0; a; - b ) uur uuuur uuuur Þ (A ' BD) coù VTPT n1 = é A ' B, A ' D ù = ab; ab; a2 = a ( b; b; a ) ( ) ë û uuur æ - b ö uuur ; BD = ( -a; a; 0 ) - (MBD) coù caëp VTCP M B = ç 0; -a; 2÷ è ø uur uuur uuur æ ab ab æb b ö ö Þ (M BD) coù VTPT n 2 = é MB, BD ù = ç ; ; -a2 ÷ = a ç ; ; -a ÷ ë û è2 2 è2 2 ø ø b 2 b2 uu uur r éb = a a - a2 = 0 Û b2 - a2 = 0 Û ê Ñeå 2 mp treân vuoâng goùc thì n1.n 2 = 0 Û Û =1 + ë b = -a(loaïi a, b > 0) 2 2 b a KL : = 1 thì 2 mp(A'BD) vaø (MBD) vuoâng goùc b
7 Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy 10) Tìm m ñeå hai maët phaúng sau song song : mp (P) : 2x + my + 3z + 6 –m = 0 vaø mp (Q) : (m+3)x + 2y + (5m+1)z – 10 = 0 Giaûi uur uur Ta coù : n P = ( 2; m; 3 ) vaø n Q = ( m + 3; 2; 5m + 1) uu uur r uu uur r Ñeå mp(P) // mp (Q) thì n P // n Q Û é n P , n Q ù = 0 Û ( 5m 2 + m - 6; -7m + 7; 4 - m 2 - 3m ) = ( 0; 0; 0 ) ë û ì5m 2 + m - 6 = 0 ï Û í -7 m + 7 = 0 Û m =1 ï4 - m 2 - 3m = 0 î Vôùi m = 1 : mp(P ) : 2 x + y + 3z + 5 = 0, mp(Q) : 4 x + 2 y + 6z - 10 = 0 \ Nhaän thaáy mp (P) // mp (Q) neân nhaän m = 1 11) Cho töù dieän ABCD coù AD vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC) vaø tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính dieän tích S cuûa tam giaùc BCD theo a, b, c vaø chöùng minh raèng : 2S ³ abc ( a + b + c ) (Döï bò 2 – Ñaïi hoïc khoái D – 2003) Giaûi Choïn heä truïc toïa ñoä nhö hình veõ, ta coù toïa ñoä caùc ñieåm laø : A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a) uuur uuur uuu uuur r z BC = ( - c; b; 0 ) , BD = ( - c; 0; a ) , é BC, BD ù = ( ab; ac; bc ) ë û D uuu uuur r 1 1 22 22 22 SBCD = é BC, BD ù = û 2 a b +a c +b c ë 2 ñpcm Û a2 b2 + a2 c2 + b 2 c2 ³ abc(a + b + c) Û a2 b2 + a2 c2 + b2 c2 ³ abc(a + b + c) y A Theo BÑT Cauchy ta ñöôïc : C a2 b2 +b 2 c2 ³ 2ab2 c ü B ï x b 2 c2 +c2 a2 ³ 2bc2 a ý Coäng veá : a2 b 2 + a2 c2 + b2 c2 ³ abc(a + b + c)(ñpcm ) c2 a2 + a2 b2 ³ 2ca2 b ï þ 12) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho maët caàu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 vaø maët phaúng (P) : 2x – y + 2z – 14 = 0 a) Vieát phöông trình maët phaúng (Q) chöùa truïc Ox vaø caét (S) theo moät ñöôøng troøn coù baùn kính baèng 3. b) Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc maët caàu (S) sao cho khoaûng caùch töø M ñeán maët phaúng (P) lôùn nhaát. (Ñaïi hoïc khoái B – 2007) Giaûi a) Vieát phöông trình mp (Q) chöùa Ox, caét (S) theo 1 ñöôøng troøn coù baùn kính baèng 3 M.caàu (S) coù taâm I(1; -2; -1), baùn kính R = 1 + 4 + 1 + 3 = 3 ìy = 0 neân pt mp (Q) daïng : Ay + Bz = 0 ( A 2 + B2 ¹ 0 ) mp (Q) chöùa truïc Ox í îz = 0 Vì mp (Q) caét (S) theo 1 ñöôøng troøn baùn kính baèng 3 neân (Q) phaûi qua taâm I cuûa m.c Vaäy - 2 A - B = 0. Choïn A = 1, B = -2, ta ñöôïc pt mp (Q) : y - 2z = 0
8 Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy b) Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc maët caàu (S) sao cho khoaûng caùch töø M ñeán mp (P) laø max Goïi d laø ñöôøn g th aún g q ua I v aø vuoân g goùc vôùi m p (P). d caét m .c taïi A vaø B. Neáu d ( A, mp (P) ) > d ( B, mp (P) ) th ì d ( M ,m p( P) ) m ax kh i M º A r x -1 y + 2 z +1 d coù VTCP laø a = ( 2; -1; 2 ) , q ua I n eân ptñt d laø = = 2 -1 2 Goïi ( a ) laø tieáp dieän cuûa m .c (S) vaø // m p (P) th ì pt ( a ) d aïn g : 2 x - y + 2 z + m = 0 ém + 2 = 9 ém = 7 2+2-2+m Ñeå ( a ) ti eáp x uùc m .c (S ) ñk laø d ( I, mp (a ) ) = R Û =3Û m+2 =9 Û ê Ûê ë m + 2 = -9 ë m = -1 1 4 +1+ 4 ì2x - y + 2z + 7 = 0 ï Vôùi m = 7, ta coù pt ( a1 ) : 2 x - y + 2 z + 7 = 0. d caét ( a1 ) taïi A th oûa hp t í x - 1 y + 2 z + 1 Þ A ( -1; -1; -3 ) ï 2 = -1 = 2 î ì2x - y + 2z - 11 = 0 ï Vôùi m = -1 1, ta coù pt ( a 2 ) : 2 x - y + 2 z - 11 = 0 . d caét ( a 2 ) taïi B th oûa hp t í x - 1 y + 2 z + 1 Þ B ( 3; -3;1) ï 2 = -1 = 2 î -2 + 1 - 6 - 1 4 6 + 3 + 2 - 14 T a c o ù d ( A , m p( P ) ) = = 7, d ( B, m p( P ) ) = = 1. 4 +1+ 4 4 +1+ 4 Vaäy d ( M, m p( P ) ) m ax kh i M º A ( -1; -1; -3 ) 13) Tìm a, b ñeå 3 maët phaúng sau cuøng chöùa moät ñöôøng thaúng : Mp (P) : 5x + ay + 4z + b = 0 , mp (Q) : 3x – 2y + z – 3 = 0 , mp (R) : x – 2y – 2z + 5 =0 Giaûi ì 3x - 2 y + z - 3 = 0 G oïi d laø giao tuyeán cuûa m p (Q ) vaø m p (R) th ì pt ñt d laø : í îx - 2y - 2z + 5 = 0 Ñeå 3 mp treân cuøn g ch öùa 1 ñt th ì m p (P) ph aûi ch öùa ñöôøn g d æ 9 ö æ 5 11 ö Ta thaáy ñöôøn g d qua 2 ñieåm : A ç 4 ; ; 0 ÷ , B ç ; ;1 ÷ è 2 ø è2 4 ø 9 ì ï2 0 + 2 a + b = 0 ìa = - 2 ï Ñeå m p (P) ch öùa ñöôøn g d th ì A , B Î m p( P ) Þ í Ûí ï 25 + 11 a + 4 + b = 0 î b = -1 1 ï2 4 î 14) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hai ñöôøng thaúng : ìx = 1 - t ìx = 2 - t ï ï d1 : í y = t v aø d2 : í y = 4 + 2 t ïz = 4 t ïz = 1 î î Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d naèm trong maët phaúng (P) : y + 2z = 0 vaø caét caû hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2. (Cao ñaúng kyõ thuaät Cao Thaéng – 2007) Giaûi
9 Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy Goïi A = d1 I ( P ) , ta theá x,y,z vaøo pt mp (P) : t + 8t = 0 Û t = 0 Þ A (1; 0; 0 ) Goïi B = d 2 I ( P ) , ta theá x,y,z vaøo pt mp (P) : 4 + 2t + 2 = 0 Û t = -3 Þ B ( 5; -2;1) d Ì (P ) caét caû d1 vaø d 2 neân d qua A vaø B. uuu r x -1 y z Vôùi VTCP AB = ( 4; -2;1) , ta ñöôïc pt ñt d : = = 4 -2 1 15) Trong khoâng gian vôùi heä truïc toïa ñoä Oxyz, cho hình choùp S.ABCD vôùi ñaùy ABCD laø hình thoi coù taâm O, A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0; 2 2 ). Goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh beân SA. a) Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng SC vaø DM. b) Maët phaúng (CDM) caét SB taïi N. Tính theå tích khoái töù dieän SCMN. (Ñaïi hoïc Saøi Goøn – Khoái A – 2007) Giaûi a) Khoaûng caùch giöõa SC vaø DM Ta coù toïa ñoä caùc ñieåm S(0;0; 2 2 ), A(2;0;0), B(0;1;0), C(-2;0;0), D(0;-1;0), M(1;0; 2 ) uuu r uuuur uuu r uuu uuuu r r ( ) ( ) ( ) ( ) SC = -2; 0; -2 2 , DM = 1;1; 2 , SD = 0; -1; -2 2 , éSC, DM ù = 2 2 ; 0; -2 ë û uuu uuuu uuu r r r éSC, DM ù .SD 42 42 26 ë û Vaäy d ( SC, DM ) = uuu uuuu r r = = = 3 12 2 3 éSC, DM ù ë û b) Tính VSCMN. uuur uuuu r ( ) mp(CDM ) coù caëp VTCP laø CD = ( 2; -1; 0 ) , CM = 3; 0; 2 r uuu uuuu r r ( ) (CDM ) coù VTPT laø n = éCD, CM ù = - 2 ; -2 2 ; 3 Þ pt(CDM ) daïng : - 2 x - 2 2 y + 3z + m = 0 ë û (CDM ) qua C ( -2; 0; 0 ) neân m = -2 2 Þ pt ( CDM ) : - 2 x - 2 2 y + 3z - 2 2 = 0 ìx = 0 uur æ1 ï ö ( ) SB = 0;1; -2 2 Þ pt ñt SB: íy = 1 + t .Vì {N} = SB I ( CDM ) neân ta coù toïa ñoä N ç 0; ; 2 ÷ è2 ø ï z = -2 2 t î uuu r uuur uuu æ 1 r ö uuu uuur r uuu uuur uuu r r ( ) ( ) ( ) SC = -2; 0; -2 2 , SM = 1; 0; - 2 , SN = ç 0; ; - 2 ÷ , é SC, SM ù = 0; 4 2 ; 0 , éSC, SM ù .SN = 2 2 øë û ë û è2 1 uuu uuur uuu 1 r r 2 VSCMN = éSC, SM ù .SN = . 2 2 = (ñvtt ) ë û 6 6 3 x - 3 y -1 z - 5 16) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho ñieåm A(2;1;-3), ñöôøng thaúng d : vaø maët = = 2 1 2 phaúng (P) : x + y – z – 1 = 0. a) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng D ñi qua A, vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d vaø song song vôùi maët phaúng (P). b) Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc d sao cho khoaûng caùch töø M ñeán maët phaúng (P) baèng 3 . (Cao ñaúng kinh teá – 2007) Giaûi a) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng D qua A, vuoâng goùc d vaø // (P)
10 Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy uu r D ^ d neân D coù 1 VTPT laø ad = ( 2;1; 2 ) uur D // mp(P ) neân D coù 1 VTPT laø n P = (1;1; -1) uu r uu uu rr Þ D coù VTCP laø aD = éad , n P ù = ( -3; 4;1) ë û x - 2 y -1 z + 3 ( A Ï ( P ) neân D //(P) ) D qua A ( 2;1; - 3 ) neân pt ñt D : = = -3 4 1 b) Tìm toïa ñoä M thuoäc d sao cho khoaûng caùch töø M ñeán (P) baèng 3 ì x = 3 + 2t ï Ta coù pt ñt d íy = 1 + t .Vì M Î d neân M ( 3 + 2t;1 + t; 5 + 2 t ) ïz = 5 + 2 t î ét - 2 = 3 ét = 5 3 + 2 t + 1 + t - 5 - 2t - 1 d ( M , mp(P ) ) = = 3 Û t -2 =3 Û ê Ûê ë t - 2 = -3 ë t = -1 1+1+1 Vaäy M1 (13; 6;15 ) , M 2 (1; 0; 3 ) 17) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho maët phaúng (P) : x – y + z + 3 = 0 vaø hai ñieåm A(-1;-3;-2) ; B(-5;7;12). a) Tìm toïa ñoä ñieåm A’ laø ñieåm ñoái xöùng vôùi ñieåm A qua maët phaúng (P). b) Giaû söû M laø moät ñieåm chaïy treân maët phaúng (P), tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : MA + MB (Döï bò 2 – Ñaïi hoïc khoái A – 2002) Giaûi a) Tìm A’ – ñoái xöùng vôùi A qua (P) A B Goïi d laø ñöôøng thaún g qua A v aø vuoân g goùc vôùi m p (P) th ì x +1 y + 3 z + 2 p t ñt d : = = 1 -1 1 Goïi H laø h ình ch ieáu vuoân g goùc cuûa A leân m p (P) th ì H M ìx +1 y + 3 z + 2 P = = ï 1 Þ H ( -2; -2; -3 ) H th oûa heä í 1 -1 ïx - y + z + 3 = 0 î A’ ìx A + x A' = 2 x H ï H laø tr un g ñieåm AA' neân í y A + y A ' = 2 y H Þ A ' ( -3; -1; -4 ) ï z + z = 2z îA A' H b) Tìm min(MA + MB) Th eá toïa ñoä A, B v aøo pt m p (P) ta ñöôïc rA = 3, rB = 3 . V aäy AB naèm cuøn g ph ía vôùi m p (P ) A' laø ñoái xöùn g cuûa A q ua m p (P) neân MA = M A ' uuuur MA + MB = M A '+ MB ³ A ' B Þ MA + M B ³ 1 8 ( A ' B = ( -2; 8;1 6 )) ì(P) : x - y + z + 3 = 0 ï Min ( MA + MB ) = 1 8 k hi M = A ' B Ç m p ( P ) Þ M th oûa heä í x + 3 y + 1 z + 4 Þ M ( -4; 3; 4 ) ï A ' B : -1 = 4 = 1 6 î
11 Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy 18) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho caùc ñieåm A(-1;2;3), B(0;3;1), C(2;2;-1) vaø D(4;-2;1) Tìm MÎAB, NÎCD sao cho ñoä daøi ñoaïn MN nhoû nhaát. Giaûi ì x = -1 + t uuu r ï AB = (1;1; -2 ) , p t ñt AB : í y = 2 + t , M Î AB Þ M ( -1 + t; 2 + t; 3 - 2 t ) ïz = 3 - 2 t î ìx = 2 + t ' uuu r ï CD = ( 2; -4; 2 ) , p t ñt CD : í y = 2 - 2 t ' , N Î CD Þ N ( 2 + t '; 2 - 2 t '; -1 + t ' ) ï z = -1 + t ' î uuuur MN = ( t '- t + 3; -2 t '- t; t '+ 2 t - 4 ) uuuu uuu rr ì MN.AB = 0 ï MN m in ch æ kh i MN laø ñöôøn g vuoân g g oùc chun g cuûa AB v aø CD vaäy í uuuu uuu rr ï MN.CD = 0 î ì t ' = -1 ì M æ 4 ; 1 3 ; - 5 ö ì t '- t + 3 - 2 t ' - t - 2 t ' - 4 t + 8 = 0 ì -3 t ' - 6 t = -1 1 ï ïç ÷ Ûí 7 Þí è3 3 3 ø Ûí Ûí î 2 t ' - 2 t + 6 + 8 t ' + 4 t + 2 t '+ 4 t - 8 = 0 î1 2 t '+ 6 t = 2 ït = 3 ï N (1; 4; -2 ) î î ì3x + ky - k = 0 ï (k ¹ 0) 19) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz, cho ñöôøng d : í ï(1 - k ) x - kz = 0 î Chöùng minh raèng d luoân ñi qua 1 ñieåm coá ñònh vaø luoân naèm trong 1 maët phaúng coá ñònh. Giaûi a) CMR : d luoân ñi qua 1 ñieåm coá ñònh ìb - 1 = 0 ï k ( b - 1) + 3a = 0 ì3a + kb - k = 0 ì ï ï Goïi E ( a;b;c ) laø ñieåm coá ñònh cuûa d thì í ( k ¹ 0) Û í ( k ¹ 0 ) Û ía = 0 ï(1 - k ) a - kc = 0 ï k ( -a - c ) + a = 0 î ï -a - c = 0 î î Þ E ( 0;1; 0 ) laø ñieåm coá ñònh cuûa ñöôøng thaúng d b) CMR : d luoân naèm trong 1 mp coá ñònh G oïi (P ) laø m aët ph aún g coá ñòn h ch öùa ñöôøn g d th ì pt m p (P) daïn g : ( ) a ( 3x + ky - k ) + b ( (1 - k ) x - kz ) = 0 a2 + b 2 ¹ 0 Û ( 3a + b - k b ) x + k ay - k bz - k a = 0 Û k ( ay - b z - a - b x ) + ( 3a + b ) x = 0 Ch oïn 3a + b = 0 .a = 1, b = -3 Þ p t mp (P) laø 3x + y + 3z - 1 = 0 Ñaây laø m p coá ñònh ch öùa ñöôøn g d x - 5 y z + 25 20) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho A(2;3;-1), ñöôøng thaúng d : == 1 1 -1 Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua ñöôøng thaúng d sao cho khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán maët phaúng (P) ñaït giaù trò lôùn nhaát. Giaûi
12 Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy Keû AH ^ (P ), AE ^ d, ta coù : AH £ AE Þ AH max Û AH = AE Û H º E Vaäy mp (P) caàn tìm phaûi vuoâng goùc vôùi AE Goïi (a) laø mp qua A vaø ^ d thì pt (a) daïng : x + y - z + m = 0. (a) qua A(2;3; - 1) neân 2 + 3 + 1 + m = 0 Û m = -6 Þ pt (a) : x + y - z - 6 = 0 ì x - 5 y z + 25 == ï -1 Þ E ( -3; -8; -17 ) E thoûa heä í 1 1 ïx + y - z - 6 = 0 î uuur (P ) ^ AE neân AE = ( -5; -11; -16 ) laø VTPT cuûa (P) Þ pt (P) daïng : -5x - 11y - 16z + n = 0 (P ) qua E ( -3; -8; -17 ) neân 15 + 88 + 272 + n = 0 Û n = -375 Þ pt mp (P) :5x + 11y + 16z + 375 = 0 21) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho toïa ñoä caùc ñieåm B(1;1;0), D(0;0;m). Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa O leân ñöôøng thaúng BD. Tìm m ñeå dieän tích tam giaùc OBH ñaït giaù trò lôùn nhaát. Giaûi a2 + b 2 1 HO 2 + HB2 1 S = HO.HB. AÙp duïng BÑT Cauchy:a.b £ ÞS£ O 2 2 2 2 uuu uuur r BO.BD 2 Vaäy Smax khi HO = HB Þ ( BO, BD ) = 45o Û = uuu uuur r 2 BO BD uuu r uuu r 1+1 2 D B H Û 2 + m2 = 2 Vôùi BO = ( -1; -1; 0 ) , BD = ( -1; -1; m ) Þ = 2 2 2 2+m Û 2 + m2 = 4 Û m 2 = 2 Û m = ± 2 22) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcaùc vuoâng goùc Oxyz, cho caùc ñieåm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). Goïi OP 2 M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa OA vaø BC. Goïi P, Q laø 2 ñieåm treân OC, AB sao cho = . Bieát raèng MN OC 3 AQ vaø PQ caét nhau. Haõy vieát phöông trình maët phaúng (MNPQ) vaø tính tæ soá AB Giaûi æ 3 3ö Vì M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa OA, BC neân toïa ñoä laàn löôït laø M (1; 0; 0 ) , N ç 0; ; ÷ è 2 2ø uuu 2 uuu r r OP 2 2 = Û OP = OC Þ OP = OC Þ P ( 0; 0; 2 ) Vì OC 3 3 3 uuur uuuu æ r 3 3ö mp (MN PQ ) coù caëp VTCP laø MP = ( -1; 0; 2 ) , MN = ç -1; ; ÷ 2 2ø è r uuur uuuur 1 3ö 1 æ Þ ( M NP Q ) coù VT PT n = é MP , MN ù = ç -3; - ; - ÷ = - ( 6;1; 3 ) Þ ( MN PQ ) daïn g : 6 x + y + 3z + m = 0 ë ûè 2 2ø 2 ( MN PQ ) qua M neân m = -6 Þ p t m p (M NP Q) : 6 x + y + 3z - 6 = 0
13 Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy ìx = 2 - 2 t uuu r ï AB qua A coù VTCP laø AB = ( -2; 3; 0 ) Þ pt ñt AB : íy = 3t ïz = 0 î 2 æ2 ö {Q} = AB Ç (MNPQ) neân : 6 ( 2 - 2 t ) + 3t - 6 = 0 Û t = Þ Q ç ; 2; 0 ÷ 3 è3 ø 2 æ 4ö 2 13 AQ 2 AB = 4 + 9 = 13 , AQ = ç - ÷ + 4 = Þ = è 3ø 3 AB 3 23) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hai ñöôøng thaúng : ìx + y - z - 2 = 0 x -1 y + 2 z +1 d1 : vaø d 2 : í = = îx + 3y - 12 = 0 3 -1 2 a) Chöùng minh raèng d1 vaø d2 song song vôùi nhau. Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa caû hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2. b) Maët phaúng toïa ñoä Oxz caét hai ñöôøng thaúng d1, d2 laàn löôït taïi caùc ñieåm A, B. Tính dieän tích tam giaùc OAB ( O laø goác toïa ñoä ) (Ñaïi hoïc khoái D – 2005) Giaûi a) CMR : d1 // d2. Vieát pt mp (P)u chöùa caû d1 vaø d2 ur d1 qua M (1; -2; -1) , coù VTCP laø a1 = ( 3; -1; 2 ) uu r uu r uu uu rr ìn1 = (1;1; -1) ï d 2 coù caëp VTPT laø í uur Þ d 2 coù VTCP laø a2 = é n1 , n 2 ù = ( 3; -1; 2 ) ë û ïn 2 = (1; 3; 0 ) î uu uu rr Roõ raøng : a1 = a2 . M Î d1 , M Ï d 2 Þ d1 // d 2 Vì mp (P) chöùa d 2 neân pt mp (P) daïng : A ( x + y - z - 2 ) + B ( x + 3y - 12 ) = 0 Û ( A + B) x + ( A + 3B) y - Az - 2A - 12B = 0. ( A 2 + B2 ¹ 0 ) Vì mp (P) chöùa d1 neân (P) phaûi qua M Þ A + B - 2A - 6B + A - 2 A - 12 B = 0 Û -2A - 17B = 0 Choïn A = 17, B = -2 Þ pt mp (P) : 15x + 11y - 17z - 10 = 0 b) Tính dieän tích tam giaùc OAB mp(Oxz ) : y = 0 caét d1 vaø d 2 taïi A vaø B ìx + y - z - 2 = 0 ì x -1 y + 2 z + 1 = = ï ï 2 Þ A ( -5; 0; -5 ) , B thoûa heä íx + 3y - 12 = 0 Þ B (12; 0;10 ) A thoûa heä í 3 -1 ïy = 0 ïy = 0 î î uuur uuur uuur uuu r OA = ( -5; 0; -5 ) , OB = (12; 0;10 ) , é OA, OBù = ( 0; -10; 0 ) ë û 1 uuur uuu r 1 é OA, OBù = .10 = 5(ñvdt ) SOAB = ë û2 2
14 Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy 24) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho 2 ñöôøng thaúng : x y-2 z+4 x + 8 y - 6 z - 10 d1 : = , d2 : = = = 1 -1 2 2 1 -1 a) Cho A Î d1, B Î d2. AB vuoâng goùc vôùi d1 vaø d2. Vieát phöông trình maët caàu ñöôøng kính AB. b) Vieát phöông trình maët phaúng (P) song song vôùi d1, d2 vaø caùch ñeàu chuùng. Giaûi a) Vieát pt maët caàu ñöôøng kính AB : A Î d 1 neân A ( t , 2 - t, 2 t - 4 ) , B Î d 2 neân B ( 2 t '- 8, 6 + t ',1 0 - t ' ) uuur uuu uu rr AB = ( 2 t '- t - 8, t '+ t + 4, - t '- 2 t + 1 4 ) ì AB.a1 = 0 ì AB ^ d 1 ï Þ í uuu uu rr Vôùi uur uu r Vì í î AB ^ d 2 a1 = (1; -1; 2 ) , a2 = ( 2;1; -1) ï AB.a2 = 0 î ì 2 t '- t - 8 - t '- t - 4 - 2 t '- 4 t + 2 8 = 0 ì - t ' - 6 t = -1 6 ìt ' = 4 Ta ñöôïc : í Ûí Ûí î 4 t '- 2 t - 1 6 + t '+ t + 4 + t '+ 2 t - 1 4 = 0 î 6 t '+ t = 2 6 ît = 2 Þ A ( 2; 0; 0 ) , B ( 0;1 0; 6 ) . Maët caàu ñöôøn g k ính AB coù taâm I laø tr un g ñieåm AB Þ I (1; 5; 3 ) AB 4 + 100 + 36 2 2 2 = 3 5 Þ p t.m c(S) : ( x - 1) + ( y - 5 ) + ( z - 3 ) = 35 R= = 2 2 b) Vieát phöông trình mp (P) : uu r r uu uu rr ìa1 = (1; -1; 2 ) ï (P ) coù caëp VTCP laø í uu r Þ (P) coù VTPT laø n = éa1 , a2 ù = ( -1; 5; 3 ) ë û ïa2 = ( 2;1; -1) î Þ pt mp (P) daïng : - x + 5y + 3z + m = 0 Laáy C ( 0; 2; -4 ) Î d1 , D ( -8; 6;10 ) Î d 2 .Y / c : d ( d1 , (P) ) = d ( d 2 , (P ) ) Þ d ( C, (P ) ) = d ( D, (P ) ) é m + 2 = m + 68 (voâ lyù!) 10 - 12 + m 8 + 30 + 30 + m Û m - 2 = m + 68 Û ê Û = ë m + 2 = - m - 68 Û m = -33 1 + 25 + 9 1 + 25 + 9 Þ pt.mp.(P ) : - x + 5y + 3z - 33 = 0 25) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hai ñieåm A(4;2;2), B(0;0;7) vaø ñöôøng thaúng x - 3 y - 6 z -1 d: = = -2 2 1 Chöùng minh raèng hai ñöôøng thaúng d vaø AB thuoäc cuøng moät maët phaúng. Tìm ñieåm C thuoäc ñöôøng thaúng d sao cho tam giaùc ABC caân taïi ñænh A. (Döï bò 1 – Ñaïi hoïc khoái B – 2004) Giaûi uur uuu r uu uuu rr r ad = ( -2; 2;1) , AB = ( -4; -2; 5 ) , éad , ABù = (12; 6;12 ) ¹ 0 Þ d vaø AB khoâng cuøng phöông ë û uuu r uu uuu uuu rr r uu uuu uuu r r r d qua D ( 3; 6;1) , AC = ( -1; 4; -1) . éad , ABù .AC = -12 + 24 - 12 = 0 Þ 3 vectô ad , AB, AC ñoàng phaúng ë û Vaäy d vaø AB thuoäc cuøng moät maët phaúng 2 2 2 C Î d neân C ( 3 - 2 t , 6 + 2 t, 1 + t ) .ycbt Þ AB2 = AC2 Û 45 = ( -2t - 1) + ( 2 t + 4 ) + ( t - 1) é t = 1 Þ C1 (1; 8; 2 ) Û 9t 2 + 18t + 18 = 45 Û 9t 2 + 18t - 27 = 0 Û ê ê t = -3 Þ C 2 ( 9; 0; -2 ) ë
15 Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy ì2 x - 2 y - z + 1 = 0 26) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho ñöôøng thaúng d : í î x + 2y - 2z - 4 = 0 vaø maët caàu (S) : x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + m = 0. Tìm m ñeå ñöôøng thaúng d caét maët caàu (S) taïi hai ñieåm M, N sao cho khoaûng caùch giöõa hai ñieåm ñoù baèng 9. (Döï bò 1 – Ñaïi hoïc khoái D – 2002) Giaûi Maët caàu (S) coù taâm I ( -2; 3; 0 ) , R = 13 - m . Ñeå (S) laø maët caàu thì 13 - m > 0 Û m < 13 MN 9 HM = = 2 2 2 2 Goïi H laø trung ñieåm M N thì IH ^ M N Þ R = IM = IH + HM (*) 2 2 I H = d ( I, d ) uu r uur r uu uu rr d coù caëp VTPT laø n1 = ( 2; -2; -1) , n 2 = (1; 2; -2 ) Þ d coù VTCP laø a = é n1 , n 2 ù = ( 6; 3; 6 ) ë û uur r uur Trong pt ñt d cho x = 0 Þ y = 1; z = -1 Þ A ( 0;1; -1) Î d Þ IA = ( 2; -2; -1) , é a, IA ù = ( 9;18; -18 ) ë û r uur é a, IA ù 81 + 324 + 324 81 65 ë û r d ( I, d ) = = 3 = IH. Vaäy (*) Û 13 - m = 9 + Û m = - = 4 4 36 + 9 + 36 a 27) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz , cho caùc ñieåm A(1;-3;0), B(5;-1;-2) vaø maët phaúng (P) : x + y + z – 1 = 0. Tìm toïa ñoä MÎ(P) sao cho | MA – MB | ñaït giaù trò lôùn nhaát. Giaûi Th eá toïa ñoä A, B vaøo pt m p (P), ta ñöôïc r A = -3, r B = 1 Þ A, B ôû traùi ph ía v ôùi m p (P) G oïi A' laø ñoái xöùng cuûa A qua m p (P) th ì M A = M A ' Þ MA - M B = MA '- MB £ A ' B Þ MA - MB m ax kh i M laø giao ñieåm cuûa A'B vaø m p (P) G oïi H laø hìn h ch ieáu cuûa A leân m p (P). Goïi d laø ñöôøn g th aún g qua A, vuoân g goùc m p (P ) x -1 y + 3 z = .{H} = d I ( P ) n eân H ( 2; -2;1) . A' laø ñoái xöùn g cuûa A qua (P ) Þ A' ( 3; -1; 2 ) Þ pt d : = 1 1 1 uuu r x - 5 y +1 z + 2 A ' B q ua B coù VTCP laø AB = ( 2; 0; -4 ) = 2 (1; 0; -2 ) Þ pt A ' B : = = 1 0 -2 {M} = A ' B I (P ) Þ M ( 6; -1; -4 ) .Max M A - MB = A ' B = 4 + 16 = 2 5 28) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho maët phaúng (P) : x + y + z + 3 = 0. M laø moät uuuu uuur r ñieåm di ñoäng chaïy treân maët phaúng (P). Tìm toïa ñoä ñieåm M sao cho MA + M B ñaït giaù trò nhoû nhaát, bieát toïa ñoä ñieåm A(3;1;1), B(7;3;9). Giaûi uuuu uuur r uuur uuuu uuur r Goïi E laø trung ñieåm AB thì : M A + MB = 2 ME Û MA + M B = 2 ME uuuu uuur r Þ MA + M B min Û M E min Û M º H : hình chieáu cuûa E leân mp (P) E laø trung ñieåm AB neân E ( 5;2;5 ) .Goïi d laø ñöôøng thaúng qua E vaø vuoâng goùc mp (P) x -5 y-2 z-5 .{E} = d I (P ) Þ M º E ( 0; -3; 0 ) pt d : = = 1 1 1
16 Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy 29) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñieåm A(0;1;2) vaø hai ñöôøng thaúng : ìx = 1 + t x y -1 z +1 ï d1 : = , d 2 : í y = -1 - 2 t = 2 1 -1 ïz = 2 + t î a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua A, ñoàng thôøi song song vôùi d1 vaø d2. b) Tìm toïa ñoä caùc ñieåm M thuoäc d1, N thuoäc d2 sao cho ba ñieåm A, M, N thaúng haøng. (Ñaïi hoïc khoái B – 2006) Giaûi a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) : uu r uu r (P ) // d1 vaø d 2 neân coù caëp VTCP laø a1 = ( 2;1; -1) , a2 = (1; -2;1) r uu uu rr Þ (P ) coù VTPT laø n = é a1 , a2 ù = ( -1; -3; -5 ) Þ pt.mp(P ) : -x - 3y - 5z + m = 0 ë û (P ) qua A ( 0;1; 2 ) neân - 3 - 10 + m = 0 Û m = 13 Vaäy pt mp (P) : x + 3y + 5z - 13 = 0 b) Tìm toïa ñoä M, N : M Î d1 neân M ( 2t ',1 + t ', -1 - t ' ) , N Î d 2 neân N (1 + t , -1 - 2t , 2 + t ) uuuu r uuur AM = ( 2 t ', t ', -3 - t ' ) , AN = (1 + t , -2 - 2 t, t ) uuuu uuur r r uuuu uuur r A, M , N thaúng haøng Û é AM, AN ù = 0 M aø é AM , AN ù = ( -2 tt '- 6t - 2t '- 6; -3tt '- 3t - t '- 3; -5tt '- 5t ' ) ë û ë û Vaäy ( -2 tt '- 6 t - 2 t '- 6; -3tt '- 3t - t '- 3; -5tt '- 5t ' ) = ( 0; 0; 0 ) ì-2 tt '- 6t - 2t '- 6 = 0 ìt ' = 0 ï Þ M ( 0;1; -1) , N ( 0;1;1) Þ í-3tt '- 3t - t '- 3 = 0 Û í î t = -1 ï-5tt '- 5t ' = 0 î 30) Cho tam giaùc ABC bieát A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3). Haõy tìm toïa ñoä J – taâm ñöôøng troøn noäi tieáp cuûa tam giaùc ABC. Giaûi Goïi D laø chaân ñöôøng phaân giaùc trong goùc B. uuur uuu r Ta coù BA = ( -2; -1; 2 ) Þ BA = 4 + 1 + 4 = 3, BC = ( -14; 5; 2 ) Þ BC = 196 + 25 + 4 = 15. x C + 5x A -10 + 10 ì ïx D = =0 = 6 6 uuur ï uuu r D A BA 1 y + 5y A 5 - 5 ï = Þ DC = 5DA Þ DC = -5DA Þ íyD = C Þ D ( 0; 0; 3 ) Ta c où =0 = = DC BC 5 6 6 ï z C + 5z A 3 + 15 ï ïz D = =3 = 6 6 î uuur Goïi J laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp cuûa tam giaùc ABC. AD = ( -2;1; 0 ) Þ AD = 5 uur 3 uur æ45 9+ 5ö JB AB 3 3 Þ JB = JD Þ JB = - JD Þ J ç ; 0; = = ÷ ç 3+ 5 3+ 5 ÷ JD AD 5 5 5 è ø