intTypePromotion=1

Tối ưu hóa và điều khiển tối ưu - Các bài toán cơ bản: Phần 2

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:135

0
224
lượt xem
79
download

Tối ưu hóa và điều khiển tối ưu - Các bài toán cơ bản: Phần 2

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 Các bài toán cơ bản của tối ưu hóa và điều khiển tối ưu gồm nội dung các chương: Một số bài toán tổng hợp hệ điều khiển, một số bài toán thiết kế tối ưu trong cơ học. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết Tài liệu.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tối ưu hóa và điều khiển tối ưu - Các bài toán cơ bản: Phần 2

  1. ChươNq IX MỘT SỐ BÀÍ TOÁN TỔNG HỢP Tốl ưu HỆ ĐIỂU KHIỂN I. BÀI TOÁN TỐI ƯU VỂ THÒI G IAN (TÁC Đ Ộ N G NHANH) Bài toán tối ưu về thời gian là bài toán khó hơn so với các bài toán có tiêu ch u ẩn tối ưu phụ thuộc trạng thái hoặc đầu ra của hệ. Tron g kỹ thuật thường d ù n g bài toán tổng hợp tối ưu về thời gian để tạo ra các bộ điều khiển về thời gian. 1.1 Hệ autonom tổng quát Phư ơng trình của hệ : x = f ( x , u ) (9.1.1) với cá c v é c tơ f= X = [X |,...,X J\ u = T i ê u chuẩ n tối ưu là: 1, J = f|,dt - > m in 0 khi fg = 1: tị. -» m in n H à m Hamilton: H = .f i-i H à m Ham ilton m ở rộng ; H = H -t, V e c t ơ biến liên hợp: p = [P |, P v , - Đặt; H = t p , f , ( x , u ) = (p (t),f(x ,u )> i-l C á c phương trình vi phàn Hamilton:
  2. 208 CÁC BẢI TOÁN Cơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VÀ ĐlỀU KHIỂN TỐI ưu cH . _ cH x .= — ’ P i“ ~ ; i = 1 , 2 , . . ., n. (9.1.2) c p , - cx, Giá trị m a x H đạt được cùng với m a x H = M(p,x). * N g u y ê n lý cực đại đối với bài toán tác đ ộ n g n ha nh của hệ autonom: Đ iề ii k iệ n c ầ ti d ể d iề u k h iể n tố i im u-ít) íỉư a h ệ th ố n g ( 9 .1 .1 ) từ tr ạ n g th á i d ầ u c ỉế n t r ạ n g th á i c itố i th e o q u ỹ d ạ o tố i im tư ơ n g ứ n g x‘(t) tr o n g th ờ i g ia n n h a n h n h ấ t là : A . T ổ n tạ i v é c tơ k h ô n g d ồ n g n h ấ t b â n g k h à n g p ’(tj tlio á m ã n p h ư ơ n g tr ìn h ( 9 .1 .2 ) . B . H à m H a m i l to n c ố g iá trị k h ô n g đ ổ i: H = ^ p , f j = const i=i c. K h i tr ạ n g th á i đ ầ u , tr ạ n g th á i c iiố i ( h o ặ c c h ỉ m ộ t) b ị r à n g b u ộ c th ì c h ủ n g p l ì á i t h o ả m ã n d iề u k iệ n tr ự c g ia o : p’(0) 1 s,; p*(t,) 1 s,. 1.2 Hệ tuyến tính a) X é t hệ độ ng lực được m ô tả bởi hệ P T V P tuyến tính, điều khiển ư là vô hướng, bị giới hạn: x = Ax + bu (9.1.3) a,, - iìln X= ; A = ; b = - > n,_ - 1 < U < 1 H ã y xác định điều khiển tối ưu u* để đưa hệ từ trạng thái đầu X,, về trạng thái c u ố i X = 0 tro n g thời g ian n h a n h nhất. H à m H am ilton có dạng: H = p^^CAx + b u ) P T V P đối với biến liên hợp là:
  3. Chươri!’ IX. MỘTSỐ' BẢI T O Á N T ổ N G HỢP T ố i ưu HỆ Đ IỂ U KHIỂN 209 P j= “ẳ^4P^- J = ’' - ...... (9.1.4) k-ỉ h a y ; p = -p^A ỠH Đặt: ơ = ổu ơ được gọi là h à m c h u y ể n ÍỈÔ I (.switching íuntion) Điều khiển tối ư u để hà m H đạt max có dạng [4],[18 u’ = í u _ ; nếuơ> 0 (9.1.5) Un.,„ hoặc u _ nếu ơ = 0 , ; min ’ nếu ơ < 0 Đ iều khiển u* có dạng như hình 9.1.1 * u -1 Hình 9.1.1 b) Khi điều khiển là vectơ u: X = Ax + Bu (9.1.6) u. < U ; < Ll imin i Tương tự trường hợp a, ta có: H àm chuyển đổi: ơ, = trong đó b, là cột thứ i của m a trận B. Điều khiển tối ưu để h àm H đạt m ax có dạng: nếuơ, > 0 U: hoặcu,^,.^ nếua, = 0 ( 9 .1 .7 ) u n ế u ơ. < 0
  4. 210 CÁC BÀI TOÁN cơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VÀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ưu M ặ t khác, khi các giá trị riêng của m a trận A là thực thì k h ô n g có qu á ( n - 1 ) lần chuyển m ạch trong điều khiển tối ưu u * . 1.3 Hệ autonom c ấ p hai Xé t hệ độ ng lực được m ô tả bởi P T V P ; x + f ( x , x ) = u; -1
  5. ChưưnỊ’ IX. M Ộ T S Ố BÀI T O Á N T ổ N G HỢP T ố l ưu HỆ Đ lỂ U K H IỂ N 211 Giải H à m Hamilton: H = - u ‘ + P|X, + p , u P T V P liên hcfp: P | = - - ^ = 0; p, = -P| ỔX| ỡx, ỠH 1 T im u để m a x H: — = 0 ^ u = - p , ỡu 2 T h a y u vào hệ PTVP: X |= X 2 ; X2 = 2 P-' P2 = ^P i X i ( 0 ) = 0; X2(0) = - 3 Gọi điều kiện đầu củ a Pi và p, là: P | ( 0 ) = P|„; P2 (0 ) = P 2,, Giải hệ P T V P với điều kiện đầu, ta được: X |( t) = - ^ P i „ t ’' + Ị P 2ol^ - 3 t ; p , ( t ) = p,„ x,(t) = + ^ p ,„t -3 : p , ( t ) = - p , „ t + p,„ Từ điều kiện cuối: X | ( t , ) = x , ( t | ) = 0 - > P | „ = ^ ; = — Do đ ó điều khiển tối ưu có dạn« : ... 1 . 18 12 2 tí t,. Th a y u vào phiếm h àm m ụ c tiêu, ta (tược phương trình: >12 18 ^ , 36 _ 2 (------^ t ) dt = a t, = a t, 0 t. ‘t t: *-r tM Vậy thời oian điều khiển tối ưulà: tj = —. a T h a y t| vào X | , X2 , u, ta nhặn được trạ ns thái tối ưu và điều khiển tối ưu. Khi khảo sát bằn g M A P L E , ta được các biểu thức như trên. Cho giá trị a = 2 và giái hệ PTVP, ta được kết quả đồ thị như dưới đây.
  6. 212 CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VÀ ĐlỂU KHIỂN TỐI ưu Dieu khien toi uu ầ Quy dao theo thoi gian Thí dụ 9.1.2 Xét con lắc vật lý chịu tác dụ ng của m ô m e n M ( t ) < M g . Khi góc quay nhỏ, phương trình vi phân có dạng: M(t) 9 + co (p = k M, (p(0) = ( p o ,ộ ( 0 ) = với: (0 - tần số góc; k > 0 - hệ số. Xác định M(t) để đưa con lắc từ trạng thái đầ u đến trạng thái cân bằng trong thời gian nha nh nhất. Giải 1. P T V P trạng thái ® .. 1 M(t) Đ ặ .:x ,= ^ < p ;x ,= i< p ;u = i|^ X| = 0 X2 Xt = -C0 X| + u; -1 < u < 1 2. PTV P liên hợp H à m Hamilton: H = Pj .C0 .X2 + P 2 (-(O.Xj + u ) ỠH , ỠH P i = - i ^ = « - P 2 ; P 2 = “ i ^ = -®-Pi ỡx, ỡx.
  7. Chương IX. MỘTSỐ BÀI TOÁN TổNG HỢP Tốl ưu HỆ ĐIỂU KHIỂN 213 3. X á c định m ax của H H à m H(u) - P2 U , do đó hàm H đạt m ax khi: P2 > 0 u = 1 u = sig n (p ,) P 2 < 0 -> u = - 1 4. P T V P (trạng thái, liên hợp) cúa con lắc là: Xj^ = COX2 X2 = -caXj + u P i = tóp., P2 = - ® P i 5. X á c địn h h àm điều khiển uíXpXo) P T V P trạng thái có nghiệm là: X, (t) = Aj s i n ( ( 0t + a) +— co XgCt) = Aj cos(fflt + a) sin^(.) + cos^(.) = ^ [ ( X j +x^] = l co - > (Xj - — f + x!^ = A j co Th a y u = - 1 , nhận được họ đường tròn tâm ở - 1 / c o , thay u =1, họ đường tròn tâm ở + l / c o , (hình 9.1.2). Mật (x , , x , ) gọi là m ật ph ẳng pha.
  8. 214 CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA Tốl ưu HÓA VÀ ĐIỂU KHIỂN TÔÌ ưu Nửa m ật phẳng trên là s. có > 0 ; nửa dưới là s^. có X, < 0 . do đó mọi điểm trên m ật phẳn g pha ch uy ển đ ộ n g về gốc tọa độ theo thuận chiều kim đ ồ n g hồ. Đường ơ = ơ _ u ơ ^ được oọi là đư ờ n g c h u y ể n đổi (swching) nh ư hình 9.1.3 X, ơ ơ -----a— r 8 -----^-------- o--- -3/co - 1 /íO \l/w A, 3 /c o , X ơ Hình 9.1.3 N hữ ng điể m ph a n ằm trên ơ c h u y ể n đ ộ n g về g ố c với ư = + l hoặc u = - 1 . N hữ ng điểm khác u phải đổi dấu m ộ t s ố lần. H à m điều khiển phản hồi u(X|,X 2) c ó dạng: - 1; (Xj,X2) e s_ uơ_ u(X i,X 2 ) = +1; (Xj,X2) G 6 . Xác đị nh hàm điều khiến u(t) c ủ a m ộ t đ i ể m p h a (hình 9 . 1 .4) Cho: 03 = 2, k = 2 . Xét đ iể m A trên đ ư ờng tròn, tâm - 1 / co, tọa độ A ( l , l ) Hình 9.1.4
  9. Chương IX. M Ộ T S Ố BÀ I T O Á N T ổ N G HỢP T ố l ư u HỆ Đ lỀ U K H IỂ N 215 Cu ng AB; điều khiển u = - 1 x,(t) = 1,803 sin(2t + 0 ,9 8 3 ) - 0 ,5 x^ít) = l,803cos(2t + 0,983) hay: (Xj+0,5f+x^ =3,25 (x, -1,5)''' +Xg =0,25 Giải hai phưcfng trình, n h ậ n được tọa đ ộ giao đ i ể m B(l,25; -0,4 3 6 ) . G ọ i thời gian c h u y ể n đ ộ n g từ A đ ế n B là tị, khi đó; l,803cos(2tj + 0,983) = - 0 ,4 3 6 ^ tj = 0,416 s - C u n g BC (trên đ ư ờng tròn, tâ m l / o j ): u = +1; t > 0,416 1,25 = sin(2 X 0,416 + p) + 0,5 -0 ,4 3 6 = c o s ( 2 X 0 , 4 1 6 + p) x , ( t ) - - 0 , 8 6 7 s i n ( 2 t - 1 , 8 7 6 ) + 0,5 Xgíy) = - 0,867 cos(2t - 1,876) T ừ đó, nhận được giao đ iể m C ( - 0 , 2 5 ; 0 , 4 3 6 ) và thời gian chuyển động từ A đến c là t 2 - 1,987 s. - C u n g C O (trên đ ư ờng tròn, tâm - l / ( ĩ ) ) : u = - 1 ; t > 1 , 9 8 7 x,(t) = 0 , 5 s i n ( 2 t - 3 , 4 5 3 ) - 0 , 5 x.,(t) = 0 , 5 c o s ( 2 t - 3 , 4 5 3 ) T ừ đó: X, = Xg = 0; tị. = 2 , 5 1 s V ậ y con lắc có trạ ng thái đầ u tại đ iể m y\ chuyển độ ng về trạng thái cân bàng với thời gian n h a n h nh ất là t| = 2,51 s và h àm điều khiển có dạng từng khúc (piecewise); ' - 1 t< 0 ,4 1 6 u = ^+l 0 , 4 1 6 < t < 1 ,9 8 7 -1 l,9 8 7 < t< 2 ,5 1 N ìiậ n x é t: Trong nhiều bài toán, việc xác định thời gian điều khiển t| và h àm điều khiển u(t) theo phươn g pháp giải tích như trên khá phức tạp. Vì vậy có thê d ù n g m á y tính để k h ả o sát bằnơ cách:
  10. 216__________ CÁC BẢI TOÁN CO BẢN CÙA T ố l ư u HỎA VÀ ĐlỂU KHIẩN Tố'l ưu 1. ƯỚC đ o á n thời g ia n đ iều k h iể n . 2. Xác định điều ki ện cuối của biến liên hợp; H àm Hamilton: H = p,.Oí.x., + P 2 (-C0 .XJ + u ) = c = c o n s t u = 1 , chọ n c= 1 Khi t = t f : X j ( t f ) = X2 ( t f ) = 0 . Do đó: P 2 ( t f ) = ± 1 The o dạn g củ a P T V P liên hợp, có thể ch ọ n P j ( t f ) = - P ọ ( t f ) = + 1 . 3. Giải ngược P T V P với “điều kiện đ ầ u ” : X j ( 0 ) = 0 ,X 2 (0 ) = 0; p , ( 0 ) = + 1 , P 2 ( 0 ) = ± 1 V ẽ quỹ đạo pha. 4. Chỉnh lại t, sao ch o quỹ đạo pha về đứ ng gốc. H à m u(t) tương ứng sẽ là tối ưu, các thời đ i ể m đổi dấu của u(t) ứng với u(t) = 0. Thí dụ này được giải theo cá ch ước đ o á n thời gian điều kh iển bằn g M A T L A B , M A P L E : x e m phụ lục. T hí dụ 9.1.3 Hệ dao đ ộ n g có cản được m ô tả bởi PTVP: X, = X 2 - f | x , = -C0'X| - 2C^x ù .X2 + u = Í 2; -1 < u < + 1 trong đó; là tần số góc cơ bản, hệ số cản. Tim điều kh iển tối ưu để đưa hệ về vị trí g ố c câ n b ằ n g trong thời gian n han h nhất. Giải H à m Hamilton: H = Pi .f| + p, P T V P đối với biến liên hợp: ỔH , p, = - ^ = 0) .p, ỡx, P2 = - T ^ = -P . + 2 C « .P 2 ỡ x,
  11. Chưưnfi IX. MỘTSỐ BẢI TOÁN T ổ N G HỢP Tổl ưu HỆ Đ IỂ U KHIỂN____________^ Đ iểu khiển u* để H đạt inin là: u* = s i g n ( p O Mặt khác : 0 = H| = 1 - P ’l D o đó; p ,| = ±1 G iớ i n g ư ợ c theo thời g ia n hệ p r v p liên hc;íp ta được: P i ( ^ ) = [Pn + ( P n - P 2, P : ( t ) = [p2, + ( P | | - p , , ) t ] e " ^ Đố i với Pii / p , | . > 1. điều khiến tối ưu sẽ đổi dấu khi P ị Í t , ) = 0 1 d o đó: P l f / P 2 | - 1 Đối với Pi i / p , | < 1. điểu khiển tối ưu s ẽ không đổi dấu. Giải ngược theo thời gian PTVP trạng thái từ gốc tọa độ với u * = ± l; 0 < X< , ta được: x,(x) = u * .[l + ( T - l ) e ' ] x,(x) = - u * . T e \ Điều khiển đổi dấ u tại X = T và tiếp tục giái ngược F Ĩ 'V P trạng thái, ta được: x ,(t) = - u ' +[u' +X|^ - ( u " + X| ^ + X , J ( T - T j ] e ' " ’ ' X2 ( t ) = [ x , , + ( u ' + x ,J (x -T j]e ' Khi T > , ta có: x,^ = u ‘.[l + (i^-l)e^'J = -u * .T ^ e '-] Đ ư ờn g c h u y ể n đổi ơ ( x ) = 0 được định ns hĩa bởi các điểm x(tJ , từ đó ta co; X, = u ’ - Xi - u'e'' Suy ra, thời đ iế m c h u y c n đối:
  12. 218 CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA TÒÌ ưu HÓA VÀ ĐIỂU KHIỂ n TỐI ưu u X, = - u ( 1 ----- ln(l — u hay; exp(— X| + - u u Do; u = ±l; > 0 , đường ch uyển đổi có dạn g X, exp( ) - l + ( X| + X2 ) khiX|+X20 X, + Ấ 2 - 1 Cuối cùng, điều khiển tối UXI phản hồi có dạng; - s i g t i [ ơ ( x ) ] khi ơ ( x ) ? i O u*( x) = < | - s i g n ( x 2) khi ơ ( x ) = o & x 0 khi X = 0 Thí dụ này cũn g có thể giải bằn g m á y tính theo cách ước đoán thời gian điều khiển nh ư nhận xét cuối thí dụ 9 .1.3 Thí dụ 9.1.4 Xét vật rắn chuyển động trong hệ q u y chiếu quán lính. Gọi : 0 )^, co, - các thành phần vậ n tốc ?óc đối với 3 trục toạ độ v u ô n “ g ó c X, y, z g ắ n l i ề n v ớ i v ậ t v à q u a k h ố i t â m c ủ a v ậ t . J,, Jy, - m ô m e n q u á n tính chính của vật đối với 3 trục X, y, z; u, u „ u, - m ô m e n ngẫu lực quay q u anh 3 trục X, y, z do các dòng khí tạo nên. Phưcmg trình động lực Euler của vật: - J y ) + b,u^ trong đó : b^, by, b, là các hằng số dưcmg.
  13. Chương IX. MỘTSỐ BÀI TOÁN TổNG HỢP Tốl ưu HỆ ĐlỀU KHIỂN 219 Điéu kiện biên: co(0) = 0 \„ , co(t|) = (0, 0, 0). Giả thiết: I u j 0 -1 p,(t) < 0 j = X, y, z i = 1,2,3 N h ư vậy, điều khiển u(t) hoàn toàn được xác định bởi P j(t). Vì vậy việc xác định các khôn ơ điểm cúa P|{t) có vai trò qu an trọ n s trong việc xác định u(t). M u ố n vậy, hệ phương trình ( S | ) và (Si) thưcynơ được aiải ngược theo thời gian, 0 < t < t,. Khi đó có thể chọn W j 0 ) = 0 )^(0 ) = co,(0) = 0 và chọn P|(0). p,(0), p,,(0) sao cho ihoá mã n (*).
  14. 2 2 0 __________ CÁC BÀI TOÁN cơ BẢN CỦA Tổl ưu HÓA VÁ Đlẩu KHIỂN TỐI ưu C h ít V : Cần phân biệt nguyên lý cực đại Pontryagin với n g u y ê n lý lối ưu Bellman (phát biểu 1957). Nguyên lý tối ưu Bellman là cơ sở của phương pháp Í///V h o ạ c h d ộ n g , xem [1], [9], [10 2. ĐIỂU KHIỂN TỐI ƯU HỆ TUYẾN TÍNH, TIÊU CHUẨN tố i ưu c ó D ẠN G TOÀN PHƯƠNG Bài toán này thưèíng được áp dụng trong kỹ thuật để tạo ra bộ điều khiển với liên kết phản hồi u = u(x). 2.1 Thòi gian điếu khiển hữu hạn a ) B à i to á n đ iề u k h iể n tr ạ n g th á i * Hệ độn g lực được m ô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính: X = Ax + Bu (9.2.1) x(0) = x„ trong đó; A là ma trận (n X n); B là ma trận ( n X m ) Tiêu ch u ẩn tối ưu có dạng: 1 '' J = g ( x ( t | )) + - í ( x \ M . x + u ^ N . u ) d t ^ min (9.2.2) ^ 0 trong đó: g ( x ( t | ) ) l à ràng buộ c ở điểm cuối, c ó thể g(x(t|)) - 0 . Có thể viết dưới dạng: g ( x ( t | )) = —x ‘ (t| ) . F . x ( t ị ) F, M là các m a trận (n X n ) xác định kh ông âm; X ^ . M . X > 0 N là m a trận ( r x r) xác định dươns,: U ^ . N . U > 0 Cần phải xác định điều khiển tối ưu phản hồi u*=u(x) sao cho thỏa m ãn P7’V P trạng thái và tiêu chuẩ n tối UXI. D ạng (9.2.2) thể hiện n ă n s lượng khi điều khiển, vì; Đ ô n a n ă n 2 và t h ế năng có dang: T = — . M . x ; V = —x ^ . c . x
  15. Chương IX. MỘTSỐ BÀI TOÁN TổNG HỢP Tốl ưu HỆ ĐlỂU KHIỂN 221 T + V = rXT X• T]T c 0 X = -x '\M .x 0 M X 2 N ă n g lương điều khiển: u = —U ^ . N . U S = T+V +U = x ^ M . x + u^ .N .u * H à m H a m i ỉ to n : H ( p , x , u ) = - - ( x ' . M . x ) + u ^ . N . u ) + p ' .A.x + p ' .B.u Q u a n hê u ( t ) với x(t) và p{t) đươc xác đinh từ điều kiên = 0: 5u f ^ = -Ẻ N „ u ,+ X B ,p , = 0 ; j = l,2......r /^ 1 Hay: N . u = B ' . p - > u = N ‘. B \ p (9.2.3) D o N xác địn h dưcíng nên tồn tại N ^ ' . a^H Mặt khác: d n õ n ^ ỔU|ỔU| ổu,ổu^ a^H hay: = -N ỡu' Õ - H a-H ổu ỠU| ỡ u .ổ u do đó tồn tại m a x i m u m của H đói với u . * T ìm đ iề u k h iê n t ố i IC II u - ủ ( t ) d ô i v ớ i h ệ m à : P T V P đối với biến liên hợp: ỠH p =- ổx 1 pỹL i n Đặt: H, = — .M . x — -L = y M .X, ; j = 1,2......n ' 2 ỡx^ à '
  16. 222 C Á C BÀI T O Á N c ơ B Ả N C Ủ A T ố l ư u H Ó A V À ĐlỂU KH I ỂN TỐI ưu gradH, = ỡx, ỡx n Đật: H, = p \ A . x - ^ ^ = ị A , j P , ; J = l,2,...,n Ơ X 2 k-1 gradH, = ......= A'^.p ỡx, ỡx„ Do đó: p = - — = M .x -A ^ p ổx * Xét P T V P trạng thái: X = A .x + B.u T h a y u từ (9.2.3): x = Ax + B.N . B \ p = A.x + S . P trong đó: S = B.N^ '.B^ V ậ y hệ P T V P Hamilton là: X = A x + B.N ‘ .p = A . x + s . p (9.2.4) p = M .x-A ^.p Hệ (9.2.4) gồm 2n P T V P cấp I với n điều kiện đầu c ủ a biến trạng thái x ( 0 ) = x , | , còn n điều kiện của biến liên hợp được xác định từ điều kiện vuông góc củ a p ( l | ) -L S|^. Á p dụn g điều kiện vuông góc đối với hệ tuyến tính, ta có: p( tr) = - “ V g ( x ( t , ) ) (9. 2. 5a) khi: g ( x ( t | ) ) = ^ x ' ’( t , ) . F . x ( t | ) ^ p ( t | ) = - F . x ( t , ) (9.2.5b) Khi giải (9.2.4) với các điều kiện biên, ta nhận được x * ( t ) , p “'( t ) . Do đó điều khiển tối ưu của hệ m ở có dạng: u*(t) = N - 'B '^ p (t) (9.2.6) * T im điều khiển tối ưu u = u*(x) đối với hệ có phản hồi: Trong (9.2.3) ta đ ặ t : p* = - R . x (9.2.7)
  17. Chương IX. MỘTSỚ BÀI TOÁN TổNG HỢP Tốl ưu HỆ ĐIỂU KHIỂN 2 23 khi đó điều khiển có dạng : U(x) = - N ' . B \ R x = - K . x (9.2.8) K = N ' trong đ ó R là m a trận đối xứng cần phái xác định. Từ (9.2.7), (9.2.4) ta có: p = - R. X - R. ( A . X + s.p) = M . x - A ' . p - R . x - R ( A x - BN 'B R x) = Mx + A Rx May: R = - R . A - A ’ R + R.B.N ' .B ,R - M (9.2.9) T ừ (9.2.5) và (9.2.7) ta có; R(t,) = - F (9.2.10) Phương trình (9.2.9) được gọi là p h ư ơ n i ’ tr ìn h v i p h á n R ic c a ti. Khi giải (9.2.9) với điều kiện biên (9.2.10) ta nhận được nghiệm du y nhất R(t), do đó xác định được u(x) theo (9.2.8). * N g h iệ m R củ a (9.2.9) là m a trận đối xứng. Vì các ma trận s = B.N ' .B' và M đối xứng, do đó khi chuy ển vị R trong (9.2.9) với chú ý dt ta có; + ( 9 .2 . 1 1 ) Ma trận F đối xứng, nén R ' ( t | ) = - F Phương trình (9.2.9) và (9.2.11) có cùng dạng, điều kiện cuối R (t|) = ( t | ) , do đó R = R ' , suy ra R là m a trận đối xứng. * P T V P trạng thái tối ưu bây giờ có dạ n g : X = (Â - B N 'B'R)X = (A - B K).x = G.x K = N “'B'R; G = A -B .K (9.2.12) x(0) = x„ * Tiêu chuẩn tồi ưu trở thành: J(x(t)) = - x ’ (t).R(t).x(t) (9.2.13)
  18. 224 CÁC BÀI TOÁN cơ BẢN CỦA TÔI ưu HÓA VÀ ĐIỀU KHIỂN t ò i ưu K ết luận: • T r ìn h íự x á c d in h u (l) : + Giải hệ p r v p (9.2.4) với điều kiện biên x(0) & p(t|), nhận được x(t), p(t). + Xác định điều khiển tối ưu th eo (9.2.6). + Xác định m ụ c tiêu đạt được th e o (9.2.2). • T ììtìh tự x á c đ ịn h u ( x ) : + Giải PTV P Riccati (9.2.9) với điều kiện biên (9.2.10), nhận được R. + Điều khiển lối ưu u(x) được xác đ ịn h theo (9.2.8). + Giải hệ P T V P (9.2.12) ta n h ậ n đượ c trạng thái tối ưu x(t). + Giá trị tối ưu xác định theo (9.2.13). b ) B à i to á n d iề u k h iể n đ á u r a : * Hệ động lực được m ô tả bởi PTV P; * = (M J4) y = c .x trong đó; y = [yI, Y2. yn ]^ ■ ™ lực, c - ma trận ( m x n ) . Phiếm hàm m ụ c tiêu có dạng: 1 1 *' J = -y '(t,).F .y (t|)+ - ( y \ M . y + u ^ N . u ) d t - > min (9.2.15) 2 2 II Cần phải xác định u(x), qu ỹ đạ o x(t) và giá trị m ụ c tiêu J tương ứng. Đối với bài toán này, điều khiển tối ưu u(x) vẫn có d ạ n g (9.2.8), cò n F I 'V P Ricca ti có dạng: R = - R .A -A \R + R BN ‘ B ^ R -C ^ .M C (9 2 16) Điều kiện biên: R(t,, ) = - C " ( t , . ) . F . C ( t r ) ( 9. 2. 17) Phương trình trạng thái tối ưu vẫn có d ạ n g (9.2.12), giá trị m ụ c tiêu vẫn xác định theo (9.2.13).
  19. ChươnỊi IX. MỘTSÔ' BÀI TOÁN TổNG HỢP Tối ưu HỆ ĐlỀU KHIỂN 225 2.2 Thòi gian điểu khiển vô hạn a ) B à i to á n đ iề u k h iế n t r ạ n g th á i p r v p cúa hệ đ ộ n g lực; X = A.X + B.U (9.2.18) M ụ c tiêu có dạng: 1 J = - (x .M .x + U . N . u ) d t - > m i n (9.2.19) 2 G i ả thiết hệ (9.2.18) là đ i ề u k h iể n d ư ợ c , nghĩa là: rank[B AB...A"“'B] = n (9.2.20) T iế n hành tương tự n h ư đối với thời gian hữu hạn, ta nhận được P T V P (9.2.9), nhưng R = const, F = 0, R(tf)= 0 nên: R A + A ^ ^ R - R B N 'B^R + M = 0 (9 2 21) Phươn g trình (9.2.21) được gọi là p h ư ơ n g tr ìn h đ ợ i s ố R i c c a t i . Khi đó: u(x) = - N " ‘.B'’ .R.x = - K . x (9.2.2 2) X = ( A - B ) X = G.X (9. 2. 23) Đ ã chứng m in h [4], hệ tối ưu ổn đ ịn h tiệm cận: lim x(t) = 0 P h i ế m h à m m ụ c tiêu: J = —x \ t ) . R . x ( t ) (9.2.24) h ) B à i to á n đ iể ư k h iể n đ ẩ u r a Pl^VP trạng thái: x = A . x + B.u (9.2.25) y = c .x M ụ c tiêu có dạng: 1 r J = - ( y ^ M . y + u \ N . u ) d t -> min (9.2.26) ^ " Giả thiết hệ (9.2.25) là đ i ề u k h iể n d ư ợ c v à q u a n s ú t d ư ợ c , nghĩa là:
  20. 226 CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA Tốl ưu HÓA VÀ ĐlỀU KHIỂN TỐI ưu rank[B AB...A"-'B]; rm k ịơ = n (9.2.27) Tiến hành tương tự n h ư trước, ta n h ậ n được: Phư ơn g trình đại số Riccati: RA + A ^R - R B N 'B ^R + C ^ M C = 0 (9.2.28) Đ i ề u kh iển tối ưu: u ( x ) = - N “' .B^.R.X = - K . x (9.2.29) Phư ơng trình trạng thái: X = ( A - B) x = G.x (9.2.30) Hệ tối ưu ổn định tiệm cận: lim x ( t ) = 0 l- ^ c c P h iế m h à m m ụ c tiêu: J = —x ( t ) . R . x ( t ) (9.2.31) 2 Chú ý : + T r ong phưcíng trình vi phân Riccati, các phần tử của R là h àm của thời gian t. + T r o n g phưcfng trình đại số Riccati, các phần tử của R là các h ằ n g số. Phưcíng trình đại số Riccati có thể có nhiều nghiệm , như n g chỉ có n g h iệ m R xác đ ịn h âm mới làm cho hệ ổn định, tức là m a trận G = A - B.K có giá trị riêng với p h ầ n thực âm (nằm bên trái trục ảo). + Phư ơng trình vi p h â n Riccati và phương trình đại số Riccati thường được giải bằn g phương ph á p số trên m á y tính [13]. G h i c h ú : Đ ể giải phươn g trình đại số Riccati, có thể dùng phương pháp L Q R (Linea r Quadratic Regulator). Phươn g pháp này có sẵn trong m ộ t s ố phần m ề m k h o a học kỹ thuật. T h í d ụ , tr o n g M A T L A B c ố lệ n h : [K,R,L]= lqr(A,B,M,N) trong đó: A, B, M, N: các m a trận đã cho, K, R, L: các m a trận cần xác định, L: m a trận xác đ ịnh các giá trị riêng của G = A - B , x em [13]. T h í dụ 9.2.1 Phương trình vi ph àn Riccati C h o phương trình vi phân của hệ thống :
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2