intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

TÓM TẮT GIÁO KHOA TOÁN 12 - PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Chia sẻ: Nguyễn Như Ngọc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST
Báo xấu
525
lượt xem 225
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÓM TẮT LÝ THUYẾT GIÁO KHOA TOÁN 12 - PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: TÓM TẮT GIÁO KHOA TOÁN 12 - PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

  1. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 PH N I. TÓM T T GIÁO KHOA A. ð I S I. PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH 1. Phương trình b c hai Cho phương trình b c hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (3) có ∆ = b2 − 4ac . b 2) ∆ = 0 : (3) có nghi m kép x = − 1) ∆ < 0 : (3) vô nghi m. . 2a −b ± ∆ −b ± b2 − 4ac 3) ∆ > 0 : (3) có hai nghi m phân bi t x1,2 = = . 2a 2a ð nh lý Vi–et (thu n và ñ o)   S = x + x = − b  1) Cho phương trình ax + bx + c = 0 có hai nghi m x1, x2 thì  1 2 a. 2   c  P = x .x =   12  a  S = x + y 2) N u bi t  thì x, y là nghi m c a phương trình X2 − SX + P = 0 .   P = x.y   2. B ng xét d u c a tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c 1) a > 0, ∆ > 0 : 2) a < 0, ∆ > 0 : +∞ x −∞ +∞ x −∞ x1 x2 x1 x2 f(x) +0 – 0 + f(x) – 0 + 0 – 3) a > 0, ∆ = 0 : 4) a < 0, ∆ = 0 : x −∞ +∞ x −∞ +∞ xkép xkép f(x) + 0 + f(x) – 0 – 5) a > 0, ∆ < 0 : 6) a < 0, ∆ < 0 : x −∞ +∞ x −∞ +∞ f(x) + f(x) – 3. B ng bi n thiên c a hàm s b c hai f(x) = ax2 + bx + c 1) a > 0: 2) a < 0: b b x −∞ − +∞ x −∞ − +∞ 2a 2a f(x) +∞ +∞ f(x) Cð −∞ −∞ CT 4. So sánh nghi m c a tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c v i m t s  x < α < x2 < β 2) f(α ).f(β) < 0 ⇔  1 1) af(α) < 0 ⇔ x1 < α < x 2  α < x1 < β < x2      ∆ > 0   ∆ > 0   3)  af(α) > 0 ⇔ α < x1 < x2   4)  af(α) > 0 ⇔ x1 < x2 < α   S   S  >α   
  2. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 7.2. Phương trình b c b n ñ c bi t a) Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 ( a ≠ 0 ) (5) Phương pháp gi i: ð t t = x2, t ≥ 0 . (5) ⇔ at2 + bt + c = 0. b) Phương trình có d ng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e v i a + c = b + d (6) Phương pháp gi i: ð t t = (x + a)(x + c), ñưa (6) v phương trình b c 2 theo t. c) Phương trình có d ng (x + a)4 + (x + b)4 = c (7) a+b Phương pháp gi i: ð t t = x + , ñưa (7) v phương trình trùng phương theo t. 2 d) Phương trình trùng phương ax4 + bx3 + cx2 ± bx + a = 0 ( a ≠ 0 ) (8) Phương pháp gi i  1 + bx ± 1  + c = 0 .  Bư c 1. Chia 2 v cho x2, (8) ⇔ a  x2 +          x   2  x 1 Bư c 2. ð t t = x ± , ñưa (8) v phương trình b c hai theo t. x P(x) >0 8. B t phương trình h u t Q(x) Bư c 1. L p tr c xét d u chung cho P(x) và Q(x). Bư c 2. D a vào tr c xét d u ñ k t lu n nghi m. 9. ði u ki n ñ phương trình có nghi m trong kho ng (a; b) a) ð nh lý 1 Hàm s f(x) liên t c trên [a; b] th a f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghi m trong (a; b) (ngư c l i không ñúng). b) ð nh lý 2 Hàm s f(x) liên t c trên [a; b] và có f / (x) > 0 (ho c f / (x) < 0 ) trong kho ng (a, b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghi m trong (a, b) . II. PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T . 1. Các h ng ñ ng th c c n nh  2  A, A ≥ 0  B 3B2 1) A2 = A =  2) A2 ± AB + B2 =  A ±  +    ; ;   2  −A, A < 0   4   2  x + b  − ∆ . 3) (A ± B) = A ± B ± 3AB ( A ± B ) ; 4) ax + bx + c = a   3 3 3 2     2a  4a 2. Phương trình và b t phương trình ch a giá tr tuy t ñ i B ≥ 0  1) A = B ⇔ A2 = B2 ⇔ A = ±B ; 2) A = B ⇔  3) A < B ⇔ − B < A < B ;  ;  A = ±B   B > 0 B ≥ 0   4) A < B ⇔  5) A > B ⇔ B < 0 ∨    ; . −B < A < B  A < −B ∨ A > B     3. Phương trình và b t phương trình vô t A ≥ 0 ∨ B ≥ 0  1) A = B ⇔  2) A = B ⇔ B ≥ 0 ∧ A = B2 ; 3) A + B = 0 ⇔ A = B = 0 ;  ; A = B   A ≥ 0 ∧ B ≥ 0 ∧ C ≥ 0  B ≥ 0   4) A + B = C ⇔  ñưa v d ng A = B ; 5) A > B ⇔    ; ( ) 2  A+ B =C A > B      A ≥ 0 ∧ B > 0  B < 0 B ≥ 0   AB⇔ 3 3 A< B ⇔ A < B;    6) ; 7) ; 8)  A < B2  A ≥ 0  A > B2       B ≥ 0 A ≥ 0 ∨ B ≥ 0   A=B⇔ 10) 2n A = 2n B ⇔  2n +1 A = B ⇔ A = B2n +1 ; 2n   9) ; 11) . A = B  A = B2n     III. PHƯƠNG TRÌNH – B T PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 1. Hàm s mũ y = ax (a > 0) 1) Mi n xác ñ nh D = ℝ 2) Mi n giá tr G = (0; +∞) 3) 0< a< 1: Hàm ngh ch bi n trên ℝ 4) a > 1: Hàm s ñ ng bi n trên ℝ lim a x = +∞, lim a x = 0 lim a x = 0, lim a x = +∞ x →−∞ x →+∞ x →−∞ x →+∞ Trang 2
  3. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 M t s công th c c n nh (gi s các ñi u ki n ñư c th a) 1 2) a−n = 3) a m .a n = a m + n ; 4) a m : a n = a m−n ; 1) a 0 = 1 (a ≠ 0) ; ; an  a m m am 5) ( a ) = a ; 7)   = n n  8) a n = a m . 6) (ab) = a .b ; m m.n m m m ;  b   m b 2. Hàm s logarit y = logax (0 < a ≠ 1) : y = logax ⇔ x = ay 2) Mi n giá tr G = ℝ 1) Mi n xác ñ nh D = (0; +∞) 4) a > 1: Hàm s ñ ng bi n trên D 3) 0 < a < 1: Hàm ngh ch bi n trên D lim y = +∞, lim y = −∞ lim y = −∞, lim y = +∞ x →+∞ x →+∞ x → 0+ x → 0+ M t s công th c c n nh (gi s các ñi u ki n ñư c th a) 1) a loga x = x ; 3) a logb c = c logb a ; 4) log a x2n = 2n log a x ; 2) eln x = x ; β log c b 1 5) log aα b β = 7) log a b = 8) log a b.log b c = log a c ; log a b ; 6) log a b = ; ; α log b a log c a  b 10) log a   = log a b − log a c . 9) log a (bc) = log a b + log a c ;  c  3. Phương trình và b t phương trình mũ cơ b n a = 1     ∀x ∈ ℝ : f(x), g(x) ∈ ℝ  a f (x) = b b > 0    1)  2) a f (x) = a g(x) ⇔     ⇔  ; ; 0 < a ≠ 1 0 < a ≠ 1  f(x) = log a b         f(x) = g(x)  b > 0 b > 0       f(x) < log b   f(x) > log b  a f (x) > b  a f (x) > b     3)  4)  ⇔   ⇔     a a   ; ; b ≤ 0 b ≤ 0 0 < a < 1 a > 1            ∀x ∈ ℝ : f(x) ∈ ℝ    ∀x ∈ ℝ : f(x) ∈ ℝ      a f (x) > a g(x)  a f (x) > a g(x)  5)  6)  ⇔ f(x) < g(x) ; ⇔ f(x) > g(x) .   0 < a < 1 a > 1     4. Phương trình và b t phương trình logarit cơ b n  log f(x) = b  log f(x) = log a g(x)  f(x) > 0    1)  a 2)  a ⇔ ⇔ f(x) = a b ;    ; 0 < a ≠ 1 0 < a ≠ 1  f(x) = g(x)        log f(x) > b  log f(x) > b   3)  a 4)  a ⇔ 0 < f(x) < a b ; ⇔ f(x) > a b ;   0 < a < 1 a > 1      log f(x) > log a g(x)  log f(x) > log a g(x)   5)  a 6)  a ⇔ 0 < f(x) < g(x); ⇔ f(x) > g(x) > 0.   0 < a < 1 a > 1     IV. H PHƯƠNG TRÌNH  a x + b1y = c1  Nh c l i: H phương trình b c nh t hai n  1  .  a 2 x + b2 y = c 2   Trang 3
  4. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 a1 b1 c b1 a c1 , Dx = 1 , Dy = 1 ð t D= . a2 b2 c2 b2 a2 c2  x = Dx / D  1) D ≠ 0 : H phương trình có nghi m duy nh t   .  y = Dy / D   2) D = 0, Dx ≠ 0 ho c Dy ≠ 0 : H phương trình vô nghi m. 3) D = Dx = Dy = 0: H có vô s nghi m th a a1x + b1y = c1 ho c a2x + b2y = c2. 1. H phương trình ñ ng c p Phương pháp chung 1) Nh n xét y = 0 có th a h phương trình không, n u có tìm x và thu ñư c nghi m. 2) V i y ≠ 0 , ñ t x = ty thay vào h phương trình gi i tìm t, y và x. 3) Th l i nghi m.  x 2 + xy + y 2 = 1  y 3 − x 3 = 7   Ví d :  2 , 2   .  2x − xy + y = 2  2x y + 3xy = 16  2 2      2. H phương trình ñ i x ng lo i I (c 2 phương trình ñ u ñ i x ng) Phương pháp chung 1) Xét ñi u ki n, ñ t S = x + y, P = xy (S2 ≥ 4P) . 2) Gi i h tìm S, P r i dùng Vi–et ñ o tìm x, y.  x 2 y + xy2 = 30  Ví d :  3  .  x + y 3 = 35    3. H phương trình ñ i x ng lo i II a. D ng 1 (ñ i v trí x và y thì phương trình này tr thành phương trình kia) Phương pháp chung Cách 1. Tr hai phương trình cho nhau, ñưa v phương trình tích, gi i x theo y (hay ngư c l i) r i th vào m t trong hai phương trình c a h .  x 3 + 2x = y  2x + 3 + 4 − y = 4   Ví d :  3 ,   .  y + 2y = x  2y + 3 + 4 − x = 4       Cách 2 (n u cách 1 không th c hi n ñư c) C ng và tr l n lư t hai phương trình ñưa v h m i tương ñương g m hai phương trình tích (thông thư ng tương ñương v i 4 h m i).  x 3 − 2x = y  Ví d :  3  .  y − 2y = x    Cách 3. S d ng hàm s ñơn ñi u ñ suy ra x = y.  2x + 3 + 4 − y = 4  x = sin y   Ví d :  ,   .  2y + 3 + 4 − x = 4  y = sin x      b. D ng 2 (ch có 1 phương trình ñ i x ng) Cách 1 ðưa phương trình ñ i x ng v d ng tích, gi i y theo x th vào phương trình còn l i.   x − 1 = y − 1  Ví d :  x y. 2  2x − xy − 1 = 0    Cách 2 Thư ng ñưa v d ng f(x) = f(y) ⇔ x = y v i hàm f(x) ñơn ñi u.  ex − ey = y − x  Ví d :  2  .  x y − 3y − 18 = 0    4. H phương trình ch a mũ – logarit và d ng khác Tùy t ng trư ng h p c th ch n phương pháp thích h p (thư ng dùng phương pháp th ). V. B T ð NG TH C CAUCHY 1. B t ñ ng th c Cauchy hai s a+b ≥ ab. ð ng th c x y ra khi a = b. Cho hai s không âm a và b, ta có: 2 Trang 4
  5. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 2. B t ñ ng th c Cauchy n s a1 + a 2 + ... + a n ≥ n a1.a 2 ...a n . ð ng th c khi a1 = a2 = … = an. Cho n s không âm a1, a2,…, an ta có: n Chú ý:  a + a2 + ... + a n n .   B t ñ ng th c Cauchy ngư c a1 .a2 ...a n ≤  1      n VI. S PH C 1. S ph c và các phép tính cơ b n a) ð nh nghĩa s ph c M i bi u th c d ng a + bi , trong ñó a, b ∈ ℝ , i2 = −1 ñư c g i là m t s ph c. ð i v i s ph c z = a + bi , ta nói a là ph n th c, b là ph n o c a z. T p h p các s ph c ký hi u là ℂ = { a + bi a, b ∈ ℝ, i2 = −1 } . b) S ph c b ng nhau a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d . c) Bi u di n hình h c s ph c M i s ph c z = a + bi hoàn toàn ñư c xác b i m t c p s th c (a; b) . ði m M(a; b) trong h t a ñ vuông góc Oxy ñư c g i là ñi m bi u di n s ph c z = a + bi . d) Môñun c a s ph c Gi s s ph c z = a + bi ñư c bi u di n b i ñi m M(a; b) trên m t ph ng t a ñ Oxy. ð dài c a OM ñư c g i là môñun c a s ph c z và ký hi u là z . V y a + bi = a 2 + b2 . e) S ph c liên h p Cho s ph c z = a + bi . Ta g i a − bi là s ph c liên h p c a z và ký hi u là z = a − bi . NH N XÉT 1) Trên m t ph ng t a ñ ñi m bi u di n hai s ph c liên h p ñ i x ng v i nhau qua tr c Ox. 2) z = a + bi ⇒ z = a − bi ⇒ z = a + bi hay z = z . 3) z = a2 + (−b)2 = a 2 + b2 = z . f) Các phép tính cơ b n 1) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; 2) (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. 4) z + z = (a + bi) + (a − bi) = 2a ; 3) (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i; z1 z .z z .z 2 = 1 2 = 1 2 , z2 ≠ 0 . 5) z.z = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 = z ; 6) 2 z2 z2 .z2 z2 Chú ý i) Phép nhân hai s ph c ñư c th c hi n theo quy t c nhân ña th c r i thay i2 = −1 trong k t qu nh n ñư c. ii) Phép c ng và phép nhân các s ph c có t t c các tính ch t c a phép c ng và phép nhân các s th c. c + di , ta nhân c t và m u v i s ph c liên h p c a a + bi . iii) Trong th c hành, ñ tính thương a + bi 4i) S th c a âm có hai căn b c hai là ±i a. g) Phương trình b c hai v i h s th c Cho phương trình b c hai ax2 + bx + c = 0 v i a, b, c ∈ ℝ , a ≠ 0 . Bi t s c a phương trình là ∆ = b2 − 4ac . b a) Khi ∆ = 0 , phương trình có m t nghi m th c x = − . 2a Trang 5
  6. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 −b ± ∆ b) Khi ∆ > 0 , phương trình có hai nghi m th c phân bi t xác ñ nh b i công th c x1,2 = . 2a −b ± i ∆ c) Khi ∆ < 0 , phương trình có hai nghi m ph c phân bi t xác ñ nh b i công th c x1,2 = . 2a 2. D ng lư ng giác c a s ph c và ng d ng a) D ng lư ng giác c a s ph c i) Cho s ph c z khác 0 có ñi m bi u di n trên m t ph ng t a ñ là M. S ño (radian) c a góc lư ng giác tia ñ u Ox, tia cu i OM ñư c g i là m t acgumen c a z. ii) Cho s ph c z có moñun r và acgumen là φ thì z = r(cosφ + isinφ) ñư c g i là d ng lư ng giác c a z. b) Nhân và chia hai s ph c Cho hai s ph c z = r(cosφ + isinφ) và z’ = r’(cosφ’ + isinφ’), ta có: z' r' = [cos(ϕ '− ϕ) + i sin(ϕ '− ϕ)] (r > 0). zz’ = r.r’[cos(φ + φ’) + isin(φ + φ’)] và z r c) Công th c Moivre: zn = rn (cos nϕ + i sin nϕ) . d) Căn b c hai c a s ph c  ϕ  ϕ  ϕ  ϕ r  cos + i sin  và r  cos  + π  + i sin  + π   .       S ph c z dư i d ng lư ng giác (r > 0) có hai căn b c hai là:     2 2        2    2 ………………………………………………………. B. LƯ NG GIÁC I. CUNG VÀ GÓC – CÔNG TH C LƯ NG GIÁC 1. Quan h gi a ñ và radial (rad)  180 0 π  rad, 1 rad =  1=    π   180 2. B ng chuy n ñ i thư ng dùng 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 ð π π π π 2π 3π 5π π Radial 6 4 3 2 3 4 6 3. Bi u di n cung – góc lư ng giác k2π k.360 ) v i k ∈ ℤ , n ∈ ℕ+ thì có n ñi m M trên N u cung (ho c góc) lư ng giác AM có s ño là α + (ho c a 0 + n n ñư ng tròn lư ng giác cách ñ u nhau. 4. B ng giá tr lư ng giác c a cung (góc) ñ c bi t π π π π Cung (góc) α 0 6 4 3 2 1 2 3 sin α 0 1 2 2 2 1 3 2 cos α 1 0 2 2 2 3 tan α 0 1 3 3 3 cot α 1 0 3 3 5. Cung (góc) liên k t 5.1. Cung (góc) ñ i nhau 1) cos(−x) = cos x ; 2) sin(−x) = − sin x ; 3) tan(−x) = − tan x ; 4) cot(−x) = − cot x . 5.2. Cung (góc) bù nhau 1) cos(π − x) = − cos x ; 2) sin(π − x) = sin x ; 3) tan(π − x) = − tan x ; 4) cot(π − x) = − cot x . 5.3. Cung (góc) ph nhau π  π  π  π  1) cos  − x  = sin x ; 2) sin  − x  = cos x ; 3) tan  − x  = cot x ; 4) cot  − x  = tan x .             2 2 2 2             5.4. Cung (góc) hơn kém nhau π 1) cos(x + π) = − cos x ; 2) sin(x + π) = − sin x ; 3) tan(x + π) = tan x ; 4) cot(x + π) = cot x . Trang 6
  7. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 π 5.5. Cung (góc) hơn kém nhau 2  π  π  π  π 1) cos  x +  = − sin x ; 2) sin  x +  = cos x ; 3) tan  x +  = − cot x ; 4) cot  x +  = − tan x .         2         2        2  2 6. Công th c cơ b n 1 1 3) 1 + tan 2 x = 4) 1 + cot2 x = 1) sin2x + cos2x = 1; 2) tgx.cotgx = 1; ; . 2 sin 2 x cos x 7. Công th c c ng tan x ± tan y 1) cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y ; 2) sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y ; 3) tan(x ± y) = . 1 ∓ tan x.tan y 8. Công th c nhân ñôi 2 tan x 3) tan 2x = 1) cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1 = 1 – 2sin2x; 2) sin2x = 2sinxcosx; . 1 − tan 2 x 9. Công th c nhân ba 3 tan x − tan 3 x 3) tan 3x = 1) cos3x = 4cos3x – 3cosx; 2) sin3x = 3sinx – 4sin3x; . 1 − 3 tan 2 x 10. Công th c h b c 1 + cos 2x 1 − cos 2x 3 cos x + cos 3x 3 sin x − sin 3x 1) cos2 x = ; 2) sin2 x = ; 3) cos3 x = 4) sin 3 x = ; . 2 2 4 4 x 11. Công th c bi u di n sinx, cosx, tgx theo t = tg 2 1 − t2 2t 2t 1) sin x = 2) cos x = 3) tan x = ; ; . 1+ t 1+ t 1 − t2 2 2 12. Công th c bi n ñ i tích thành t ng 1 1 1) cos x cos y = [cos(x − y) + cos(x + y)] ; 2) sin x sin y = [cos(x − y) − cos(x + y)] ; 2 2 1 3) sin x cos y = [sin(x − y) + sin(x + y)] . 2 13. Công th c bi n ñ i t ng thành tích x+y x−y x+y x−y 1) cos x + cos y = 2 cos 2) cos x − cos y = −2 sin cos sin ; ; 2 2 2 2 x+y x−y x+y x−y 3) sin x + sin y = 2 sin 4) sin x − sin y = 2 cos cos sin ; ; 2 2 2 2 sin(x ± y) sin(y ± x) 5) tan x ± tan y = 6) cot x ± cot y = ; . cos x cos y sin x sin y 14. Công th c ñ c bi t c n nh 1 3 1) 1 + sin2x = (sinx + cosx)2; 2) 1 – sin2x = (sinx – cosx)2; 3) sin4x + cos4x = 1 – sin22x; 4) sin6x + cos6x = 1 – sin22x. 2 4 2 sin ( x + π / 4 ) = 2 cos ( x − π / 4 ) ; 5) sin x + cos x = 2 sin ( x − π / 4 ) = − 2 cos ( x + π / 4 ) . 6) sin x − cos x = II. PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC 1. Phương trình lư ng giác cơ b n  x = α + k2π  x = α + k2π 2) sin x = sin α ⇔  1) cos x = cos α ⇔  ,k ∈ Z ,k ∈ Z  x = π − α+k2π  x = −α + k2π 4) cot x = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z 3) tan x = tan α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z Phương trình cơ b n ñ c bi t c n nh 4) sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z π 1) cos x = 0 ⇔ x = + kπ, k ∈ Z π 2 5) sin x = 1 ⇔ x = + k2π, k ∈ Z 2) cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ Z 2 π 6) sin x = −1 ⇔ x = − + k2π, k ∈ Z 3) cos x = −1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ Z 2 Trang 7
  8. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 2. Các d ng phương trình lư ng giác 2.1. D ng b c hai theo m t hàm s lư ng giác 1) acos2x + bcosx + c = 0 3) a.tan2x + b.tanx + c = 0 2 4) a.cot2x + b.cotx + c = 0 2) asin x + bsinx + c = 0 Phương pháp gi i toán Bư c 1. ð t n ph t = cosx (ho c t = sinx, t = tanx, t = cotx) và ñi u ki n c a t (n u có). Bư c 2. ðưa phương trình v d ng at2 + bt + c = 0. Chú ý N u 1 phương trình lư ng giác ñư c bi n ñ i thành 2 phương trình cơ b n tr lên thì sau khi gi i xong, ta ph i d a vào ñư ng tròn lư ng giác ñ t ng h p nghi m (n u có). 2.2. D ng b c nh t theo sinx và cosx asinx + bcosx + c = 0 (*) (a và b khác 0) Phương pháp gi i toán b Cách 1. Chia hai v (*) cho a và ñ t = tan α . a c c (*) ⇔ sin x + tan α cos x = ⇔ sin(x + α) = cos α . a a a b Cách 2. Chia hai v (*) cho a2 + b2 và ñ t = cos α, = sin α . a +b a + b2 2 2 2 c c (*) ⇔ sin x cos α + cos x sin α = ⇔ sin(x + α ) = . a +b a + b2 2 2 2 Chú ý: ði u ki n ñ phương trình có nghi m là: a2 + b 2 ≥ c2 2.3. D ng ñ ng c p (thu n nh t) theo sinx và cosx a) ð ng c p b c hai asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (*) Phương pháp gi i toán π Cách 1. Ki m tra x = + kπ có là nghi m c a (*) không (n u có ta thu ñư c nghi m). 2 π V i x ≠ + kπ , chia hai v c a (*) cho cos2x: (*) ⇔ atan2x + btanx + c = 0. 2 Cách 2. Dùng công th c h b c và nhân ñôi, ta ñưa (*) v b c nh t theo sin2x và cos2x. b) ð ng c p b c cao (gi i tương t ) 2.4. D ng ñ i x ng ñ i v i sinx và cosx a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*) Phương pháp gi i toán  π t2 − 1 Bư c 1. ð t t = sinx + cosx = 2 sin  x +  ⇒ − 2 ≤ t ≤ 2 và sin x cos x =   .   4   2 Bư c 2. Thay vào (*) r i ta gi i phương trình b c hai theo t. Chú ý Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 cũng có cách gi i tương t v i t = sinx – cosx. 2.5. D ng phương trình khác Không có cách gi i t ng quát, tùy t ng bài toán c th ta dùng công th c bi n ñ i ñ ñưa v các d ng ñã bi t cách gi i. III. GI I TOÁN TRONG TAM GIÁC 1. Liên h các góc trong tam giác ABC A π B+C =−  A = π − (B + C) 2 2 2  B A+B+C π  = π−C+A 1) A + B + C = π ⇒  B = π − (C + A) = ⇒ 2)  C = π − (A + B) 2 2 2 2 2  C π A+B =−  2 2 2 2. Các ñ nh lý trong tam giác ABC. Trong ∆ABC , ta ký hi u: 1) a, b, c l n lư t là các c nh ñ i di n các góc A, B, C. 4) ma, mb, mc l n lư t là ñ dài các trung tuy n xu t phát t các ñ nh A, B, C. 2) R, r l n lư t là bán kính ñư ng tròn ngo i ti p và n i ti p. 5) ha, hb, hc l n lư t là ñ dài các ñư ng cao xu t phát t các ñ nh A, B, C. a+b+c 3) p = là n a chu vi ∆ABC . 6) S là di n tích c a ∆ABC . 2 Trang 8
  9. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 2.1. ð nh lý Phythagore (Pitago) Cho ∆ABC vuông t i A và ñư ng cao AH, ta có: a2 = b 2 + c2 H qu 1 1 1 = + 3) 1) BA2 = BH.BC, CA2 = CH.CB 2) AH.BC = AB.AC 2 2 AC2 AH AB 2.2. ð nh lý hàm s cosin 1) a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA 2) b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB 3) c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC 2.3. ð nh lý hàm s sin a b c = = = 2R sin A sin B sin C 3. Công th c tính ñ dài ñư ng trung tuy n 2b2 + 2c2 − a2 2a2 + 2c2 − b2 1) m a = 2) m b = ; ; 4 4 2a2 + 2b2 − c2 32 3) m c = 4) m2 + m2 + m 2 = (a + b2 + c2 ) . ; a b c 4 4 4. Công th c tính di n tích 1 1 1 1 1 1 1) S = ah a = bh b = ch c ; 2) S = ab sin C = bc sin A = ca sin B ; 2 2 2 2 2 2 abc 4) S = 5) S = p(p − a)(p − b)(p − c) . 3) S = p.r; ; 4R …………………………………………….. C. GI I TÍCH I. TÍNH CH N – L C A HÀM S ð nh nghĩa 1) T p h p D ⊂ ℝ ñư c g i là ñ i x ng ⇔ ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D . 2) Cho hàm s y = f(x) có MXð D ⊂ ℝ ñ i x ng a) f(x) ñư c g i là hàm s ch n ⇔ f (−x) = f(x), ∀x ∈ D . b) f(x) ñư c g i là hàm s l ⇔ f(−x) = −f(x), ∀x ∈ D . Chú ý ð th c a hàm s l ñ i x ng qua g c t a ñ . ð th c a hàm s ch n ñ i x ng qua tr c tung. II. ð O HÀM – VI PHÂN C A HÀM S 1. Quy t c tính ñ o hàm Cho u(x), v(x), w(x) là các hàm s theo bi n s x và có ñ o hàm. Ta có: 1) (a.u)/ = a.u/ (a ∈ ℝ) 2) (u ± v)/ = u/ ± v/ 3) (u.v)/ = u/ .v + u.v/ , (u.v.w)/ = u/ .v.w + u.v/ .w + u.v.w/  u /  a / u/ .v − u.v/ v/ 4)   = (v ≠ 0) ,   = −a.   (v ≠ 0, a ∈ ℝ) .  v v    v2 v2 2. B ng ñ o hàm c a các hàm s sơ c p (hàm s ñư c cho b i 1 công th c) ð o hàm c a các hàm s sơ c p cơ b n ð o hàm c a hàm s h p u = u(x) 1) ( xα ) = α.xα−1 1) ( uα ) = α.u/ .u α−1 / /  1 /  1 / u/ 1 2)   = − 2)   = −    u x     x2 u2 u/ ( x) 1 / ( u) / = = 3) 3) 2x 2u 4) ( sin x ) = cos x 4) ( sin u ) = u/ .cos u / / 5) ( cos x ) = − sin x 5) ( cos u ) = −u/ .sin u / / u/ 1 6) ( tan x ) = / 6) ( tan u ) = / = 1 + tan2 x = u/ (1 + tan 2 u) cos2 x cos2 u Trang 9
  10. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 −1 −u / 7) ( cot x ) = / 7) ( cot u ) = / = −(1 + cot2 x) = −u/ (1 + cot2u) 2 sin2 u sin x 8) ( e x ) = e x 8) ( eu ) = u/ .eu / / 9) ( a x ) = a x .ln a 9) ( a u ) = u/ .a u .ln a / / u/ 1 10) ( ln x ) / 10) ( ln u ) / = = x u 1 u/ 11) ( log a x ) / 11) ( log a u ) / = = x.ln a u.ln a 3. Vi phân df(x) = f / (x)dx hay dy = y/dx . III. HÀM S ðƠN ðI U – C C TR C A HÀM S 1. Hàm s ñơn ñi u ax + b Tr y = , các hàm s còn l i (b c 3, b c 4, b c 2/1) ta dùng k t qu sau: cx + d f(x) ñ ng bi n trên kho ng (a; b) ⇔ f / (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b) . f(x) ngh ch bi n trên kho ng (a; b) ⇔ f / (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b) . 2. C c tr c a hàm s ð nh lý 1. Cho y = f(x) xác ñ nh trên kho ng (a; b) ch a x0. N u f(x) ñ t c c tr t i x0 và có ñ o hàm t i x0 thì f / (x 0 ) = 0 . Chú ý a) Hàm s có th ñ t c c tr t i x0 nhưng không có ñ o hàm t i x0. b) Hàm s có f / (x 0 ) = 0 nhưng có th không ñ t c c tr t i x0. ð nh lý 2. Cho hàm s f(x) có ñ o hàm trong kho ng ch a x0 a) N u f / (x) ñ i d u t + sang – t i x = x 0 thì f(x) ñ t c c ñ i t i x0 b) N u f / (x) ñ i d u t – sang + t i x = x 0 thì f(x) ñ t c c ti u t i x0 ð nh lý 3. Cho hàm s f(x) có ñ o hàm ñ n c p hai liên t c trong kho ng ch a x0  f / (x ) = 0  f / (x ) = 0   a) N u  // 0 b) N u  // 0   thì f(x) ñ t c c ti u t i x0; thì f(x) ñ t c c ti u t i x0.    f (x 0 ) > 0  f (x 0 ) > 0     3. ðư ng th ng ñi qua hai ñi m c c tr c a ñ th hàm s (tham kh o) a) Hàm s b c ba Cho hàm s y = ax3 + bx2 + cx + d có ñ th (C). Gi s (C) có hai ñi m c c tr là A(x1; y1) và B(x2; y2) trong ñó x1, x2 là nghi m c a phương trình y/ = 0 , ñ vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua A và B ta th c hi n các bư c sau: Bư c 1. Chia y cho y/ ta ñư c y = (px + q)y/ + αx + β (*).  y = (px + q).y/ ( x ) + αx + β  y = αx1 + β     Bư c 2. Th t a ñ c a A và B vào (*) ta có:  1 1 1 1 ⇔ 1 .  y2 = (px2 + q).y ( x 2 ) + αx2 + β  y 2 = αx 2 + β /      Bư c 3. ðư ng th ng (AB) : y = αx + β . Chú ý: Giá tr c c tr là yCT = αxCT + β . ax 2 + bx + c b) Hàm s h u t y = (tham kh o) dx + e ax 2 + bx + c Cho hàm s y = có ñ th (C). Gi s (C) có hai ñi m c c tr là A(x1; y1) và B(x2; y2) trong ñó x1, x2 là nghi m dx + e c a phương trình y/ = 0 , ñ vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua A và B ta th c hi n các bư c sau: U/ V − UV/ Bư c 1. ð t U = ax2 + bx + c, V = dx + e ta có y/ = (*). V2 Bư c 2. Th t a ñ c a A và B vào (*) ta có: U/ (x1,2 ).V(x1,2 ) − U(x1,2 ).V/(x1,2 ) ⇒ U/ (x1,2 ).V(x1,2 ) − U(x1,2 ).V/ (x1,2 ) = 0 y/ (x1,2 ) = 2 V (x1,2 ) Trang 10
  11. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 / U(x1,2 ) U (x1,2 ) 2a b ⇒ y1,2 = = = x+. d 1,2 d V/ (x1,2 ) V(x1,2 ) 2a b Bư c 3. ðư ng th ng (AB) : y = x+ . d d = ( 2a / d ) xCT + ( b / d ) . Chú ý: Giá tr c c tr là yCT IV. GIÁ TR NH NH T – GIÁ TR L N NH T C A HÀM S Phương pháp gi i toán 1. Hàm s liên t c trên ño n [a; b] Cho hàm s y = f(x) liên t c trên ño n [a; b]. ð tìm giá tr l n nh t (max) và giá tr nh nh t (min) c a f(x) trên ño n [a; b] ta th c hi n các bư c sau: Bư c 1. Gi i phương trình f / (x) = 0 (tìm ñi m t i h n). Gi s có n nghi m x1; x2; …; xn thu c ño n [a; b] (ta lo i các nghi m n m ngoài ño n [a; b]). Bư c 2. Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b). Bư c 3. Giá tr l n nh t, nh nh t trong các giá tr bư c 2 là các giá tr tương ng c n tìm. Chú ý: a) ð cho g n ta dùng ký hi u fmin , fmax thay cho min f(x), max f(x) . x∈ X x∈ X b) N u ñ bài chưa cho ño n [a; b] thì ta ph i tìm MXð c a hàm s trư c khi làm bư c 1. c) Có th ñ i bi n s t = t(x) và vi t y = f(x) = g(t(x)) . G i T là mi n giá tr c a hàm t(x) (thư ng g i là ñi u ki n c a t ñ i v i x) thì: min f(x) = min g(t) , max f(x) = max g(t) . x∈ X t∈T x∈ X t∈T 2. Hàm s liên t c trên kho ng (a; b) ho c trên ℝ Cho hàm s y = f(x) liên t c trên D = (a; b) ho c D = ℝ ta th c hi n các bư c sau: Bư c 1. Gi i f / (x) = 0 (tìm ñi m t i h n). Gi s có n nghi m x1; x2; …; xn thu c D (ta lo i các nghi m không thu c D). Bư c 2. Tính lim f(x) = L1 , f(x1), f(x2), …, f(xn), lim f(x) = L2 . x → a+ x → b− Bư c 3. 1) min { f(x1 ), f(x 2 ),..., f(x n )} < min { L1, L2 } ⇒ fmin = min { f(x1 ), f(x 2 ),..., f(x n )} (1). 2) max { f(x1 ), f(x2 ),..., f(x n )} > max { L1, L2 } ⇒ fmax = max { f(x1 ), f(x2 ),..., f(x n )} (2). 3) N u không th a (1) (ho c (2)) thì hàm s không ñ t min (ho c max). Chú ý: Có th l p b ng bi n thiên c a hàm s f(x) thay cho bư c 3. V. TI P TUY N V I ð TH HÀM S 1. Ti p tuy n t i ñi m M(x0; y0) thu c ñư ng cong (C): y = f(x) Bư c 1. Ki m tra ñi m M thu c ñư ng cong (C). Bư c 2. Áp d ng công th c y − y 0 = f / (x 0 )( x − x 0 ) . 2. Ti p tuy n v i ñư ng cong (C): y = f(x) bi t h s góc là k Bư c 1. Gi i phương trình f / (x) = k ⇒ x 0 ⇒ y 0 ⇒ M(x 0 ; y 0 ) là ti p ñi m. Bư c 2. Áp d ng công th c y − y 0 = k ( x − x 0 ) . 3. Ti p tuy n ñi qua ñi m M(x0; y0) v i ñư ng cong (C): y = f(x) (M có th thu c (C)) Bư c 1. Ti p tuy n qua ñi m M có d ng (d): y = k(x – x0) + y0.  f(x) = k(x − x 0 ) + y 0 (1)  Bư c 2. (d) ti p xúc (C) khi và ch khi h phương trình sau có nghi m:  /  .  f (x) = k (2)   Bư c 3. Gi i h phương trình trên b ng cách th k t (2) vào (1), gi i x và th tr l i (2) ñ tìm k. Cu i cùng th k vào phương trình c a (d). VI. ð CH A GIÁ TR TUY T ð I TH C A HÀM S 1. ð th hàm s y = f ( x ) (hàm s ch n) G i (C) : y = f(x) và (C1 ) : y = f ( x ) ta th c hi n các bư c sau: Bư c 1. V ñ th (C) và ch gi l i ph n ñ th n m phía bên ph i tr c tung. Bư c 2. L y ñ i x ng ph n ñ th bư c 1 qua tr c tung ta ñư c ñ th (C1). 2. ð th hàm s y = f(x) G i (C) : y = f(x) và (C2 ) : y = f(x) ta th c hi n các bư c sau: Trang 11
  12. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 Bư c 1. V ñ th (C). Bư c 2. Gi l i ph n ñ th c a (C) n m phía trên tr c hoành. L y ñ i x ng ph n ñ th n m phía dư i tr c hoành c a (C) qua tr c hoành ta ñư c ñ th (C2). 3. ð th hàm s y = f ( x ) G i (C1 ) : y = f ( x ) , (C2 ) : y = f(x) và (C3 ) : y = f ( x ) . D th y ñ v (C3) ta th c hi n các bư c v (C1) r i (C2) (ho c (C2) r i (C1)). …………………………………………… D. HÌNH H C Chương I. HÌNH H C PH NG I. PHƯƠNG PHÁP T A ð TRONG M T PH NG Cho a = (a1 ; a 2 ), b = (b1 ; b2 ) , ta có: 1) a ± b = (a1 ± b1 ; a 2 ± b2 ) . 2) ka = (ka1 ; ka2 ), k ∈ ℝ . a1 a2 a a b ⇔ a = k.b ⇔ = 0 ⇔ a1b2 − a2 b1 = 0 ⇔ 1 = 2 (b1 ≠ 0 ≠ b2 ) . 3) a b1 b2 b1 b2 2 4) a.b = a1b1 + a2 b2 . 5) a = a1 + a 2 ⇒ a = a1 + a 2 . 2 2 2 2 a1b1 + a2 b2 a.b 6) a.b = a b cos(a, b) ⇒ cos(a, b) = = + a2 b1 + b2 2 2 ab a1 2 2 ⇒ a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 = 0 . ( xB − x A ) + ( yB − yA ) . 2 2 7) AB = (x B − x A ; y B − y A ) ⇒ AB =  x − k.x B y A − k.y B  .   8) ði m M chia ño n AB theo t s k ⇔ MA = k.MB ⇒ M  A ;   1−k  1−k    x + xB yA + yB  . 9) ði m I là trung ñi m c a ño n AB thì I  A   ;      2 2  x + x B + xC y A + y B + yC  . 10) T a ñ tr ng tâm G c a ∆ABC là G  A   ;      3 3 II. ðƯ NG TH NG 1. Phương trình ñư ng th ng 1.1. Phương trình t ng quát ( A2 + B2 > 0 ) . Phương trình t ng quát c a ñư ng th ng (d) có d ng Ax + By + C = 0 1) u = (−B; A) ho c u = (B; −A) là vectơ ch phương (VTCP) c a (d). 2) n = (A; B) là vectơ pháp tuy n (VTPT) c a (d). 3) (d) ñi qua M0 (x 0 ; y 0 ) và n = (A; B) thì (d): pt(d) : A(x − x 0 ) + B(y − y 0 ) = 0 . 1.2. Phương trình tham s (ptts)  x = x 0 + u1t  (d) ñi qua M0 (x 0 ; y 0 ) và có VTCP u = (u1 ; u2 ) thì ptts(d) :  (t ∈ ℝ) .   y = y 0 + u 2t   1.3. Phương trình chính t c (ptct) x − x0 y − y0 (d) ñi qua M0 (x 0 ; y 0 ) và có VTCP u = (u1 ; u2 ) v i u1u 2 ≠ 0 thì ptct(d) : = . u1 u2 1.4. Phương trình ñư ng th ng ñi qua hai ñi m x − xA y − yA x − xB y − yB = = pt(AB) : ho c pt(AB) : . x B − xA yB − yA x B − xA yB − yA 1.5. Phương trình ño n ch n xy Cho (d) ñi qua A(a; 0), B(0; b) (a ≠ 0 ≠ b) thì pt(d) : + = 1. ab 1.6. ð c bi t pt(Ox) : y = 0 , pt(Oy) : x = 0 . Trang 12
  13. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 2. M t s tính ch t Cho hai ñư ng th ng (d1): A1x + B1y + C1 = 0 và (d2): A2x + B2y + C2 = 0. 2.1. V trí tương ñ i c a hai ñư ng th ng A B1 A B ≠ 0 ⇔ A1B2 ≠ A2B1 . Ho c 1 ≠ 1 ( A2 ≠ 0 ≠ B2 ) . 1) (d1) c t (d2) ⇔ 1 A2 B2 A2 B2 A1 B1 B1 C1 C1 A1 2) (d1) song song (d2) ⇔ = 0, ≠ 0 ho c ≠ 0. A2 B2 B2 C2 C2 A2 A1 B1 B1 C1 C1 A1 3) (d1) trùng (d2) ⇔ = = = 0. A2 B2 B2 C2 C2 A2 2.2. Góc gi a hai ñư ng th ng n1 .n2 G i ϕ, n1, n2 là góc và VTPT c a (d1) và (d2), ta có: cos ϕ = . n1 . n 2 Ax 0 + By 0 + C M0 (x 0 ; y 0 ) ñ n (d): d(M0 ; (d)) = 2.3. Kho ng cách t . A2 + B2 III. ðƯ NG TRÒN 1. Phương trình ñư ng tròn Cho ñư ng tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R. 1.1. Phương trình chính t c (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2. 1.2. Phương trình t ng quát (C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, R = a 2 + b2 − c . 2. V trí tương ñ i c a ñư ng th ng và ñư ng tròn Cho (d): Ax + By + C = 0 và (C) tâm I bán kính R, ta có 3 v trí tương ñ i sau ñây: 1) (d) ti p xúc (C) ⇔ d(I; (d)) = R. 2) (d) c t (C) t i hai ñi m phân bi t ⇔ d(I; (d)) < R. 3) (d) không c t (C) ⇔ d(I; (d)) > R. 3. V trí tương ñ i c a hai ñư ng tròn Cho (C1) tâm I1 bán kính R1 và (C2) tâm I2 bán kính R2, ta có 5 v trí tương ñ i sau ñây: 1) (C1) và (C2) ngoài nhau ⇔ I1I2 > R1 + R2. 2) (C1) ti p xúc ngoài v i (C2) ⇔ I1I2 = R1 + R2. 3) (C1) c t (C2) t i hai ñi m phân bi t ⇔ R1 − R 2 < I1I2 < R1 + R 2 . 4) (C1) ti p xúc trong v i (C2) ⇔ I1I2 = R1 − R 2 . 5) (C1) và (C2) ch a nhau ⇔ I1I2 < R1 − R 2 . IV. CÁC ðƯ NG CONIC 1. ELIP 1.1. ð nh nghĩa Cho hai ñi m c ñ nh F1, F2 v i F1F2 = 2c và h ng s 2a (a > c > 0). T p (E) là m t elip n u M ∈ (E) ⇔ MF1 + MF2 = 2a . 1) F1, F2 là 2 tiêu ñi m. 2) F1F2 = 2c là tiêu c . 3) A1(– a; 0), A2(a; 0), B1(0;–b), B2(0; b) là 4 ñ nh c a elip. x2 y2 + = 1 . Trong ñó, b2 = a2 – c2 và a > b > 0. 1.2. Phương trình chính t c: (E) : a2 b2 1.3. Bán kính qua tiêu ñi m x2 y2 c c + = 1 ta có MF1 = a + x , MF2 = a − x M . Cho ñi m M thu c (E) : aM 2 2 a a b 1.4. Tâm sai a 2 − b2 c ( e < 1) . e= = a a 1.5. ðư ng chu n c a elip a2 a2 a a (∆1 ) : x = − ⇔ x = − , (∆2 ) : x = ⇔ x = . e c e c 1.6. Ti p tuy n v i elip ði u ki n ti p xúc x2 y2 + = 1 ta có: (d) ti p xúc (E) ⇔ a2A2 + b2B2 = C2 (C ≠ 0) . Cho ñư ng th ng (d): Ax + By + C = 0 và elip (E): 2 2 a b Trang 13
  14. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 2. HYPERPOL 2.1. ð nh nghĩa Cho hai ñi m c ñ nh F1, F2 v i F1F2 = 2c và h ng s 2a (c > a > 0). T p (H) là m t hyperpol n u M ∈ (H) ⇔ MF1 − MF2 = 2a . 1) F1(– c; 0), F2(c; 0) là 2 tiêu ñi m. 2) F1F2 = 2c là tiêu c . 3) A1(– a; 0), A2(a; 0) là 2 ñ nh thu c tr c th c. B1(0;–b), B2(0; b) là 2 ñ nh thu c tr c o. 2.2. Phương trình chính t c (H) x2 y2 − = 1 , c2 = a2 + b2. 2 2 a b 2.3. Bán kính qua tiêu ñi m 1) M thu c nhánh ph i (xM > 0): MF1 = exM + a, MF2 = exM – a. 2) M thu c nhánh trái (xM < 0): MF1 = – exM – a, MF2 = – exM + a. c 2.4. Tâm sai: e = > 1 a a2 a 2.5. ðư ng chu n: x = ± = ± e c b 2.6. Ti m c n: y = ± x a 2.7. ði u ki n ti p xúc v i ñư ng th ng: a2A2 – b2B2 = C2 (C ≠ 0) x2 y2 x2 y2 − = −1 là hyperpol liên h p c a − = 1. Chú ý: a2 b2 a2 b2 3. PARAPOL 3.1. ð nh nghĩa Cho ñư ng th ng c ñ nh ( ∆ ) và ñi m F ∉ ( ∆ ) c ñ nh. T p (P) là m t parapol n u M ∈ (P) ⇔ MF = d ( M, ∆ ) . p  1) F  ; 0  là tiêu ñi m, ( ∆ ) là ñư ng chu n.    2    2) p = d ( F, ∆ ) là tham s tiêu. 3) O(0; 0) là ñ nh và MF là bán kính qua tiêu ñi m c a M (M thu c parapol). 3.2. Phương trình chính t c (P): y2 = 2px (p > 0). 3.3. Tâm sai: e = 1. p 3.4. ðư ng chu n: x = − . 2 3.4. ði u ki n ti p xúc: 2AC = B2p. 3.5. Các d ng parapol khác: y2 = – 2px, x2 = 2py, x2 = – 2py (p > 0). Chương II. CÁC TÍNH CH T VÀ CÔNG TH C CƠ B N TRONG HÌNH H C KHÔNG GIAN 1. Quan h song song Trong không gian cho các ñư ng th ng a, b, c và m t ph ng (P), (Q), (R). Ta có: 1) a // b ⇔ a, b ñ ng ph ng và a ∩ b = Ø; 2) a // (P) ⇔ a ∩ (P) = Ø; 3) a // (P) ⇔ a ⊄ (P) và ∃b ⊂ (P) : a // b; 4) (P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = Ø; 5) (P) // (Q) ⇔ ∃a, b ⊂ (P) , a c t b: a, b // (Q); 6) a // (P) và (P) ∩ (Q) = b ⇒ a // b; 7) (P) // (Q), (R) ∩ (P) = a và (R) ∩ (Q) = b ⇒ a // b; 8) a ⊂ (P) , b ⊂ (Q) , a // b và (P) ∩ (Q) = c ⇒ a // b // c. 2. Quan h vuông góc Trong không gian cho các ñư ng th ng a, b, c và m t ph ng (P), (Q), (R). Ta có: 1) a ⊥ b ⇔ (a, b) = 900 ; 2) a ⊥ (P) ⇔ ∃b, c ⊂ (P) , b c t c: a ⊥ b , a ⊥ c ; 3) (P) ⊥ (Q) ⇔ ∃a ⊂ (P) : a ⊥ (Q) ; 4) (P) // (Q), a ⊥ (P) ⇒ a ⊥ (Q) ; 5) (P) ⊥ (R), (Q) ⊥ (R) và (P) ∩ (Q) = a ⇒ a ⊥ (R) ; 6) Ch(P)a = b, c ⊂ (P) và c ⊥ b ⇒ c ⊥ a (ð nh lý 3 ñư ng vuông góc). Trang 14
  15. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 3. Th tích 1) Th tích kh i lăng tr : V = Sh (S: di n tích ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 1 2) Th tích kh i chóp: V = Sh (S: di n tích ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 3 1 1 3) Th tích kh i nón: V = Sh = πR 2h (R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 3 3 4) Th tích kh i tr : V = Sh = πR 2h (R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 4 5) Th tích kh i c u: V = πR 3 (R: bán kính ñáy). 3 6) Cho kh i t di n S.ABC. Trên các tia SA, SB, SC l y l n lư t các ñi m A’, B’, C’ khác S. V SA ' SB' SC ' Khi ñó S.A ' B' C ' = . . . VS.ABC SA SB SC 4. Di n tích 1) Di n tích xung quanh hình nón: Sxq = πRl (R: bán kính ñáy, l: ñ dài ñư ng sinh). 2) Di n tích toàn ph n hình nón: Stp = πR(R + l) (R: bán kính ñáy, l: ñ dài ñư ng sinh). 3) Di n tích xung quanh hình tr : Sxq = 2πRh (R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 4) Di n tích toàn ph n hình tr : Stp = 2πR(R + h) (R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 5) Di n tích m t c u: S = 4πR 2 (R: bán kính ñáy). Chương III. PHƯƠNG PHÁP T A ð TRONG KHÔNG GIAN I. CÔNG TH C CƠ B N Cho a = (a1 ; a2 ; a 3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 ) ta có: 1) a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a 3 ± b3 ) . 2) k.a = (ka1 ; ka 2 ; ka 3 ), k ∈ R . 2 3) Tích vô hư ng a.b = a1b1 + a2 b2 + a 3b 3 . 4) a = a1 + a2 + a 2 ⇒ a = a1 + a2 + a 2 . 2 2 2 3 2 3 ( xB − xA ) + ( y B − y A ) + ( zB − zA ) . 2 2 2 5) AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA) ⇒ AB = a1b1 + a2 b2 + a 3b 3 a.b 6) cos(a, b) = = + a2 + a2 b1 + b2 + b2 2 2 a.b a1 2 3 2 3 ⇒ a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 + a 3 b3 = 0 . a  a3 a a1 a a2  7) Tích có hư ng  a, b  =  2 . ;3 ;1       b2  b3 b3 b1 b1 b2   a a a 8) a cùng phương b ⇔ a = k.b ⇔  a, b  = 0 ⇔ 1 = 2 = 3 ( b1, b2 , b 3 ≠ 0 ) .   b1 b2 b3 9)  a, b  ⊥ a,  a, b  ⊥ b .      a, b    10)  a, b  = a . b .sin(a, b) ⇒ sin(a, b) =  .   a.b 11) a, b, c ñ ng ph ng ⇔  a, b  c = 0.    x − k.x B y A − k.y B zA − k.zB  .   12) ði m M chia ño n AB theo t s k ⇔ MA = k.MB ⇒ M  A ; ;   1−k  1−k 1−k    x + x B y A + y B zA + zB  . 13) ði m I là trung ñi m c a ño n AB thì I  A   ; ;      2 2 2  x + x B + xC y A + y B + yC zA + zB + zC  . 14) T a ñ tr ng tâm G c a ∆ABC : G  A   ; ;      3 3 3 15) Tr ng tâm G c a t di n ABCD th a GA + GB + GC + GD = 0 và có t a ñ :  x + x B + xC + x D y A + y B + yC + y D zA + zB + zC + zD  . G A   ; ;      4 4 4 Trang 15
  16. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 1  AB, AC  . 16) Di n tích ∆ABC là S∆ABC =   2 17) Th tích hình h p ABCD.A’B’C’D’: VABCD.A ' B' C' D ' =  AB, AD  .AA ' .   1 18) Th tích t di n ABCD: VABCD =  AB, AC  .AD . 6   DE.AB = 0   ho c DE  AB, AC  . 19) DE ⊥ (ABC) ⇔    DE.AC = 0       DE.  AB, AC  = 0     20) DE (ABC) ⇔    D ∉ (ABC) ∨ E ∉ (ABC).    AB.CD ( )= 21) Góc α gi a ñư ng th ng AB và CD th a cos α = cos AB, CD . AB.CD  MA, AB    22) Kho ng cách gi a ñi m M và ñư ng th ng AB là d ( M, AB ) =  . AB  AB, CD  .AC   23) Kho ng cách gi a AB và CD chéo nhau: d ( AB, CD ) =  .  AB, CD    II. M T PH NG 1. Vector pháp tuy n và c p vector ch phương c a m t ph ng ð nh nghĩa 1 Vector n ≠ 0 vuông góc v i m t ph ng (α ) là pháp vector c a (α ) . ð nh nghĩa 2 Hai vector a, b không cùng phương, khác 0 và n m trên (α ) (ho c các m t ph ng ch a a, b song song v i (α ) ) là c p vector ch phương (VTCP) c a (α ) . Chú ý 1) N u a, b là c p VTCP c a (α ) thì n =  a, b  là pháp vector c a (α ) .   2) N u ba ñi m A, B, C ∈ (α) và không th ng hàng thì n =  AB, AC  là PVT c a (α ) .   2. Phương trình t ng quát c a m t ph ng Cho m t ph ng (α ) ñi qua ñi m M0(x0; y0; z0) và nh n n = (A; B; C) làm pháp vectơ thì phương trình t ng quát c a (α ) : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0. Chú ý N u m t ph ng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 thì n = (A; B; C) là pháp vector. 3. Các trư ng h p riêng a) M t ph ng t a ñ (Oxy): z = 0, (Oxz): y = 0, (Oyz): x = 0. b) M t ph ng ch n 3 tr c t a ñ Cho (α ) c t các tr c Ox, Oy, Oz l n lư t t i A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) ( a, b, c ≠ 0 ) thì phương trình m t xyz ph ng (α) : + + = 1 (g i là phương trình theo ño n ch n). abc 4. V trí tương ñ i c a hai m t ph ng Cho hai m t ph ng (α ) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (β) : A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0 có các pháp vector tương ng là nα = ( A1 ; B1 ; C1 ), n β = ( A2 ; B2 ; C2 ) . 1) (α ) c t (β) ⇔ n α , n β không cùng phương ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 . A1 B C D 2) (α ) trùng v i (β) ⇔ = 1= 1= 1. A2 B2 C2 D2 A1 B C D 3) (α ) song song v i (β) ⇔ = 1= 1≠ 1. A2 B2 C2 D2 Trang 16
  17. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 III. ðƯ NG TH NG 1. ð nh nghĩa Vector u ≠ 0 ñư c g i là vector ch phương (VTCP) c a ñư ng th ng d n u u n m trên d ho c ñư ng th ng ch a u song song v i d. Chú ý ðư ng th ng trong không gian không có pháp vector. 2. Phương trình tham s c a ñư ng th ng x = x + u t   0 1  d qua M(x0; y0; z0) và có VTCP u = (u1 ; u 2 ; u 3 ) thì: ptts d :  y = y 0 + u2 t (t ∈ ℝ) .   z = z + u t    0 3 3. Phương trình chính t c c a ñư ng th ng d qua M(x0; y0; z0) và có VTCP u = (u1 ; u 2 ; u 3 ) v i u1u2u 3 ≠ 0 thì x − x0 y − y0 z − z0 = = ptct d : . u1 u2 u3 5. V trí tương ñ i c a hai ñư ng th ng Cho hai ñư ng th ng d1, d2 có VTCP là u1, u 2 . G i ñi m M1 ∈ d1 và M2 ∈ d2 , ta có: a) Trư ng h p 1: d1 và d2 ñ ng ph ng ⇔  u1, u2  M1M2 = 0 .    u , u  M M = 0 và  u , u  ≠ 0 (không cùng phương). 1) d1 c t d2 ⇔  1 2  1 2  1 2    2) d1 song song v i d2 ⇔  u1, u2  = 0 và M1 ∉ d2 (ho c M2 ∉ d1 ).    u , u  = 0 và M ∈ d (ho c M ∈ d ). 3) d1 trùng v i d2 ⇔  1 2    1 2 2 1 b) Trư ng h p 2: d1 chéo d2 ⇔  u1, u2  M1M2 ≠ 0 (không ñ ng ph ng).   Chú ý: Ta có th xét h phương trình c a d1 và d2 ñ suy ra v trí tương ñ i như sau: 1) H phương trình có nghi m duy nh t ⇔ d1 c t d2. 2) H phương trình có vô s nghi m ⇔ d1 trùng d2. 3) H phương trình vô nghi m và a1, a 2 cùng phương ⇔ d1 song song v i d2. 4) H phương trình vô nghi m và a1, a 2 không cùng phương ⇔ d1 và d2 chéo nhau. 6. V trí tương ñ i c a ñư ng th ng và m t ph ng Cho ñư ng th ng d ñi qua ñi m M và có VTCP u , m t ph ng (α ) có VTPT n . 1) d c t (α ) ⇔ u.n ≠ 0 (ho c h phương trình có nghi m duy nh t). 2) d (α ) ⇔ u.n = 0 và M ∉ (α ) (ho c h phương trình vô nghi m). 3) d ⊂ (α ) ⇔ u.n = 0 và M ∈ (α ) (ho c h phương trình có vô s nghi m). 4) d ⊥ (α) ⇔ u n ⇔  u, n  = 0 .   IV. KHO NG CÁCH VÀ GÓC 1. Kho ng cách a) Kho ng cách t M(x0; y0; z0) ñ n m t ph ng (P): Ax + By + Cz + D = 0 Ax 0 + By 0 + Cz0 + D d  M, (P)  = . A2 + B2 + C2  MA, a    b) Kho ng cách t M ñ n ñư ng th ng d: d(M, d) =  , (A ∈ d) . a Chú ý: Ta có th tìm hình chi u H c a M trên d và d(M, d) = MH. c) Kho ng cách gi a d1 song song d2 (M1 ∈ d1, M2 ∈ d2 ) : d(d1, d2) = d(M1, d2) = d(M2, d1) d) Kho ng cách gi a ñư ng th ng d và m t ph ng (P) song song (M ∈ d) : d[d, (P)] = d[M, (P)] e) Kho ng cách gi a hai m t ph ng (P), (Q) song song ( M1 ∈ ( P ) , M2 ∈ ( Q ) ) : d[(P), (Q)] = d[M1, (Q)] = d[M2, (P)] Trang 17
  18. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009  a , a  .M M  1 2  1 2 f) Kho ng cách gi a d1 chéo d2: d(d1, d2 ) =  , (M1 ∈ d1, M2 ∈ d2 ) . a , a   1 2  2. Góc   Công th c cơ b n: a.b = a b cos  a, b        u1 .u2   ( )  a) Góc gi a d1 và d2: cos d1, d2 = cos  u1, u2  =  .     u1 u2 ( ) d2 ⇒ d1, d2 = 00 . 2) d1 ⊥ d2 ⇔ u1 .u2 = 0 . Chú ý: 1) d1 n P .nQ   ( ( P ), ( Q ) ) =   cos  n P, nQ  = b) Góc gi a hai m t ph ng: cos .    n P nQ ( Q ) ⇒ ( ( P ), ( Q ) ) = 00 . 2) ( P ) ⊥ ( Q ) ⇔ n P .n Q = 0 . Chú ý: 1) ( P ) u d .n P   ( ( P )) =  cos  u d , n P  = c) Góc gi a ñư ng th ng và m t ph ng: sin d,  .     ud nP 2) d ⊥ ( P ) ⇔  u d , n P  = 0 . ( P ) ⇒ ud .n P Chú ý: 1) d ⊂ ( α ) ho c d = 0.   V. M T C U 1. Phương trình chính t c c a m t c u M t c u (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình chính t c là: (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 2. Phương trình t ng quát c a m t c u (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 M t c u (S) có tâm I(a; b; c), bán kính R = a 2 + b2 + c2 − d > 0 . 3. V trí tương ñ i c a m t ph ng và m t c u Cho m t ph ng (P) và m t c u (S) tâm I, bán kính R ta có: a) M t ph ng không c t m t c u ⇔ d  I,(P)  > R . b) M t ph ng ti p xúc m t c u ⇔ d  I,(P)  = R . c) M t ph ng c t m t c u theo giao tuy n là ñư ng tròn ⇔ d  I,(P)  < R . Khi I ∈ ( P ) thì giao tuy n là ñư ng tròn l n có bán kính b ng bán kính m t c u. Chú ý: …………………………………………………. E. TÍCH PHÂN I. NGUYÊN HÀM 1. Tính ch t ( ∫ f(x)dx ) / ∫  f(x) ± g(x)  dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx . ∫ a.f(x)dx = a.∫ f(x)dx (a ≠ 0) ; = f(x) ; 2) 1) 3) 2. B ng nguyên hàm Nguyên hàm c a hàm s cơ b n Nguyên hàm m r ng, u = u(x) ∫ a.dx = ax + C, ∫ adu = au + C, a∈ℝ a∈ℝ 1) 1) x α+1 uα+1 ∫ ∫ xα dx = uα du = + C, α ≠ −1 + C, α ≠ −1 2) 2) α +1 α +1 dx du ∫ ∫ = ln x + C, x ≠ 0 = ln u + C, u ≠ 0 3) 3) x u dx 1 du 1 ∫ ∫ =− +C =− +C 4) 4) x2 u2 x u Trang 18
  19. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 du dx ∫ ∫ =2 u +C = 2 x +C 5) 5) u x ∫ exdx = ex + C ∫ eudu = eu + C 6) 6) ax au ∫ a x dx = ln a + C ∫ audu = ln a + C 7) 7) ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos udu = sin u + C 8) 8) 9) ∫ sin xdx = − cos x + C 9) ∫ sin udu = − cos u + C 1 du ∫ cos2 x dx = tan x + C ∫ cos2 u = tan u + C 10) 10) 1 du ∫ sin2 x dx = − cot x + C ∫ sin2 u = − cot u + C 11) 11) ð c bi t 1 ∫ f(x)dx = F(x) + C thì ∫ f(ax + b)dx = a F(ax + b) + C . Nu Các công th c thư ng g p: 1 (ax + b)α+1 dx 1 ∫ ax + b = a .ln ax + b ∫ (ax + b)α dx = a . +C; + C; 1) 2) α +1 1 ax + b 1 ∫ eax + b 4) ∫ cos(ax + b)dx = = +C; .sin(ax + b) + C ; .e 3) a a 1 dx 1 ∫ ∫ sin(ax + b)dx = − .cos(ax + b) + C ; = .tg(ax + b) + C . 5) 6) cos (ax + b) 2 a a II. PHƯƠNG PHÁP ð I BI N S 1. ð nh nghĩa Cho hàm s f(x) liên t c trên kho ng ( α; β ) và F(x) là m t nguyên hàm c a f(x) trên kho ng ñó, v i a, b ∈ ( α; β ) ta g i hi u F(b) − F(a) là tích phân t a ñ n b c a f(x). b b ∫ f(x)dx = F(b) − F(a) = F(x) a Ký hi u: (công th c Newton - Leibniz). a b b b ∫ ∫ ∫ f(u)du = ... = F(b) − F(a) . f(x)dx = f(t)dt = Nh n xét: a a a 2. Tính ch t Cho hai hàm s f(x), g(x) liên t c trên kho ng ( α; β ) và a, b, c ∈ ( α; β ) ta có: a b a ∫ ∫ f(x)dx = −∫ f(x)dx ; f(x)dx = 0 ; 1) 2) a a b b b b c b ∫ k.f(x)dx = k ∫ f(x)dx ∀k ∈ ℝ ; ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx . 3) 4) a a a a c b b b ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx ; 5) a a a b b 6) f(x) ≥ 0 ∀x ∈  a; b  ⇒ f(x)dx ≥ 0 , f(x) ≤ 0 ∀x ∈  a; b  ⇒ ∫ ∫ f(x)dx ≤ 0 ; a a b b 7) f(x) ≥ g(x) ∀x ∈  a; b  ⇒ ∫ f(x)dx ≥ ∫ g(x)dx ; a a b 8) m ≤ f(x) ≤ M ∀x ∈  a; b  ⇒ m(b − a) ≤ ∫ f(x)dx ≤ M(b − a) ; a t 9) N u t bi n thiên trên [a; b] thì G(t)=∫ f(x)dx là m t nguyên hàm c a f(t) th a G(a) = 0. a Trang 19
  20. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 3. Các k t qu c n nh a ∫ f(x)dx = 0 . 1) V i a > 0 , hàm s f(x) l và liên t c trên ño n [–a; a] thì −a a a ∫ f(x)dx = 2∫ f(x)dx . 2) V i a > 0 , hàm s f(x) ch n và liên t c trên ño n [–a; a] thì −a 0 III. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN T NG PH N 1. Công th c b b b ∫ − ∫ vdu (1) udv = uv a a a 2. Phương pháp gi i toán b ∫ f(x)g(x)dx ta th c hi n như sau: Gi s c n tính tích phân a Bư c 1. ð t u = f(x), dv = g(x)dx (ho c ngư c l i) sao cho d tìm nguyên hàm v(x) và vi phân du = u/ (x)dx không b ∫ vdu quá ph c t p. Hơn n a, tích phân ph i tính ñư c. a Bư c 2. Thay vào công th c (1) ñ tính k t qu . ð c bi t: b b b ∫ ∫ ∫ eax .P(x)dx , (P(x): ña th c) ta ñ t u = P(x) . P(x)sin axdx, P(x)cos axdx, 1) a a a b ∫ P(x)lnα xdx ta ñ t u = ln α x . 2) a ln x Chú ý: log a x = . ln a IV. TÍCH PHÂN CH A GIÁ TR TUY T ð I Phương pháp gi i toán b ∫ Gi s c n tính tích phân I = f(x) dx , ta th c hi n các bư c sau: a Bư c 1 L p b ng xét d u (BXD) c a hàm s f(x) trên ño n [a; b], gi s f(x) có BXD: x a x1 x2 b f(x) + 0 – 0 + Bư c 2 b x1 x2 b ∫ ∫ f(x)dx − ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx . Tính I = f(x) dx = a a x1 x2 Chú ý: N u trong kho ng (a; b) phương trình f(x) = 0 không có nghi m thì: b b ∫ ∫ f(x)dx f(x) dx = a a V. NG D NG C A TÍCH PHÂN 1. Tính di n tích hình ph ng 1.1. Trư ng h p 1 Di n tích hình ph ng S gi i h n b i các ñư ng y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là: b ∫ S= f(x) − g(x) dx a Trang 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
8=>2